不等式的基本性质

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不等式的基本性质

不等式的基本性质

不等式就是用大于,小于,大于等于,小于等于连接而成的数学式子。

那么网友们知道不等式的基本性质是什么吗?对于不知情的网友们,下面一起来了解一下吧。

1如果XY,那么YX;如果YX,那么XY;
2如果XY,YZ;那么XZ;
3如果XY,而Z为任意实数或整式,那么X+ZY+Z,即不等式两边同时加或减去同一个整式,不等号方向不变;
4如果XY,Z0,那么XZYZ,即不等式两边同时乘(或除以)同一个大于0的整式,不等号方向不变;
5如果XY,Z0,那么XZYZ,即不等式两边同时乘(或除以)同一个小于0的整式,不等号方向改变;
6如果XY,MN,那么X+MY+N;
7如果XY0,MN0,那么XMYN;
8如果XY0,那么X的N次幂Y的N次幂(N为正数),X的N次幂Y的N次幂(N 为负数)。

以上就是对于不等式的基本性质是什么的全部内容。

不等式的基本性质

不等式的基本性质

不等式的基本性质不等式是数学中常见的一种数值关系表示方法,它可以描述数字之间的大小关系。

与等式不同,不等式中的符号可以表示大于、小于、大于等于或小于等于的关系。

本文将介绍不等式的基本性质,包括不等式的性质、解不等式的方法以及一些常见不等式的应用。

一、1. 传递性:如果a>b且b>c,那么a>c。

这意味着如果不等式的两个数之间有大小关系,那么这种关系可以传递给第三个数。

2. 加法性:如果a>b,那么a+c>b+c。

这表示在不等式两边同时加上相同的数,不等式的方向不改变。

3. 减法性:如果a>b,那么a-c>b-c。

这表示在不等式两边同时减去相同的数,不等式的方向不改变。

4. 乘法性:如果a>b且c>0,那么ac>bc。

对于两个正数的乘法和两个负数的乘法,不等式的方向不改变。

5. 除法性:如果a>b且c>0,那么a/c>b/c。

对于两个正数的除法和两个负数的除法,不等式的方向不改变。

这些基本性质在解不等式及推导数学证明中有重要的应用,帮助我们简化运算和判断。

二、解不等式的方法要解决不等式,我们需要找出满足不等式条件的数值范围。

以下是常见的解不等式的方法:1. 加减法解不等式:通过加减法改变不等式两边的值,将未知数分离出来,并确定不等式方向。

2. 乘除法解不等式:通过乘除法改变不等式两边的值,将未知数分离出来,并确定不等式方向。

需要注意的是,若乘除以负数,则需要反转不等式的方向。

3. 绝对值不等式的解法:当不等式中含有绝对值时,需要分情况讨论。

通常,将绝对值分为正数和负数两种情况,分别解出不等式。

4. 求解复合不等式:当不等式中存在多个不等关系时,需要将其分解为多个简单的不等式,并找出它们的交集或并集。

解不等式的过程中,保持不等式的严格性是很重要的。

当遇到平方、开方等操作时,需注意方程根与不等式的关系。

三、常见不等式的应用1. 一次不等式:一次不等式是指变量的指数为1的不等式,如ax+b>0。

不等式的基本性质

不等式的基本性质
=2x2-3x-5-2x2+3x
=-5<0
∴(2x-5)(x+1)<2x2-3x
亲爱的同学们,下节课见!
第二章 不等式
2.1 不等式的基本性质
1.作差比较法:比较两个实数的大小,可以通过考察它们的差来实现.
对于两个任意的实数a和b,有:a-b>0⇔a>b;
a-b=0⇔a=b;
a-b<0⇔a<b.
2.不等式的性质.
(1)性质1(加法法则):如果a>b,那么a+c>b+c.
(2)性质2(乘法法则):如果a>b,c>0,那么ac>bc;

√ )
2.如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.

√ )
3.如果a>b,且c>d,那么ac>bd.

× )
三、选择题
1.已知a>b,且ac>bc,那么(
A. c>0
B. c=0
A ).
C. c<0
2.若m>3,则下列不等式中必定成立的是(
A. m>0
B. m-3<0
3.如果a>b,那么(
A. ac<bc
(4)设a>b,则-2a< -2b,
(5)设x<y,则1-2x>1-2y,
1 1
(6)设x>y>0,则 < .

2.根据条件,写出x的取值范围:
(1)x+4>7, x>3
(2)2x-1<3,x<2
(3)3-2x>5, x<-1
(4)2-x<x-4, x>3
二、判断题
1.如果a<b,且b<c,那么a<c.


三、解答题
比较大小.
1.x2+1与(x+1)2,其中x>0.
解:∵(x2+1)-(x+1)2
=x2+1-(x2+2x+1)

不等式的概念和基本性质

不等式的概念和基本性质

不等式的概念和基本性质:
概念:不等式就是用大于,小于,大于等于,小于等于连接而成的数学式子。

基本性质:
如果x>y,那么y<x;如果y<x,那么x>y;(对称性)
如果x>y,y>z;那么x>z;(传递性)
如果x>y,而z为任意实数或整式,那么x±z>y±z,即不等式两边同时加或减去同一个整式,不等号方向不变;
如果x>y,z>0,那么x*(/)z>y*(/)z ,即不等式两边同时乘(或除以)同一个大于0的整式,不等号方向不变;
如果x>y,z<0,那么x*(/)z<y*(/)z, 即不等式两边同时乘(或除以)同一个小于0的整式,不等号方向改变;
如果x>y,m>n,那么x+m>y+n;
如果x>y>0,m>n>0,那么xm>yn;
如果x>y>0,那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数),x的n次幂<y的n次幂(n为负数)。

不等式的基本性质有哪些

不等式的基本性质有哪些

不等式的基本性质有哪些基本性质:①对称性;②传递性;③加法单调性,即同向不等式可加性;④乘法单调性;⑤同向正值不等式可乘性;⑥正值不等式可乘方;⑦正值不等式可开方;⑧倒数法则。

不等式的基本性质有哪些1不等式8个基本性质如果x>y,那么y<x;如果y<x,那么x>y;如果x>y,y>z;那么x>z;如果x>y,而z为任意实数或整式,那么x+z>y+z,即不等式两边同时加或减去同一个整式,不等号方向不变;如果x>y,z>0,那么xz>yz,即不等式两边同时乘以(或除以)同一个大于0的整式,不等号方向不变;如果x>y,z<0,那么xz<yz,即不等式两边同时乘(或除以)同一个小于0的整式,不等号方向改变;如果x>y,m>n,那么x+m>y+n;如果x>y>0,m>n>0,那么xm>yn;如果x>y>0,那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数),x的n次幂<y的n次幂(n为负数)。

2不等式定理口诀解不等式的途径,利用函数的性质。

对指无理不等式,化为有理不等式。

高次向着低次代,步步转化要等价。

数形之间互转化,帮助解答作用大。

证不等式的方法,实数性质威力大。

求差与0比大小,作商和1争高下。

直接困难分析好,思路清晰综合法。

非负常用基本式,正面难则反证法。

还有重要不等式,以及数学归纳法。

图形函数来帮助,画图、建模、构造法。

3基本不等式两大技巧“1”的妙用。

题目中如果出现了两个式子之和为常数,要求这两个式子的倒数之和的最小值,通常用所求这个式子乘以1,然后把1用前面的常数表示出来,并将两个式子展开即可计算。

如果题目已知两个式子倒数之和为常数,求两个式子之和的最小值,方法同上。

调整系数。

有时候求解两个式子之积的最大值时,需要这两个式子之和为常数,但是很多时候并不是常数,这时候需要对其中某些系数进行调整,以便使其和为常数。

不等式的基本性质

不等式的基本性质

作业题A组4.
若x﹥y , 比较2-3x 与 2-3y 的大小,
解并∵说x﹥明理y (由已.知)
∴ -3x<-3y (不等式的基本性质3) ∴ 2-3x < 2-3y (不等式的基本性质2)
作业题B组5.
若x<y ,且a-3)x > (a-3)y
解求∵ax的<y取,值且范(围a-. 3)x > (a-3)y ∴ a-3<0 (不等式的基本性质3)
不等式的两边都乘以(或除以)同一种正数,
所得的不等式仍成立;(不等号方向不变)
不等式的两边都乘以(或除以)同一种负数,
必须把不等号的方向变化,所得的不等式成立.
(不等号方向变化)
如果a>b,且c>0,那么ac>bc,
a c

b c
如果a>b,且c<0,那么ac<bc,
a c
<bc
课内练习1
(1) 若x+1>0,两边同加上-1,得_____x__>__-_1__
课本举例
例 已知a<0 ,试比较2a与a的大小.
想一想:尚 有其它比较
解法一:∵ 2>1,a<0(已知), 2a与a的大 ∴ 2a<a(不等式的基本性质3)小的办法吗?
解法二:在数轴上分别表达2a和a的点(a<0),
如图5—10. 2a位于a的左边,因此2a<a.
课本举例
例 已知a<0 ,试比较2a与a的大小.
做一做
选择适宜的不等号填空: (1)∵0 < 1,
∴ a < a+1(不等式的基本性质2); (2)∵(a-1)2 ≥ 0,
∴(a-1)2-2 ≥ -2(不等式的基本性质2)
合作学习三
观察并用“<”或“>”填空,并找一找其中的

不等式的基本性质

不等式的基本性质
易证Rt△ACD∽Rt△DCB,那 么CD2=CA· B C 即CD=
D
ab .
A
ab 这个圆的半径为 2 显然,它大于或等于CD,
ab 2
ab
C
a
O
b
B
半径不小于半弦
E
二. 最值定理应用:设 x 0, y 0,由x y 2 xy
x 1.若积 xy P(定值),则和 y有最小值2 P
作业:
P10 Ex 3、10、11、13选做来自Ex 14五、基本不等式
一.常用的重要的不等式和基本不等式
a R, 则a 2 0, a 0( 当且仅当 a 0时, 取“” 1.若 )。
2.若 a, b R, 则a b 2ab (当且仅当a=b时取等号).
2 2
a, b R ,则 a b 2 ab (当且仅当a=b时取等号). 3.若
不等式的基本性质
一.不等式的三个基本事实:
a b a b 0; a b a b 0; a b a b 0.
比较大小的基本依据。
O
二. 不等式的基本性质(运算性质)
(1)a b b a. 对称性 (2)a b, b c a c. 传递性 (3)a b a c b c. 可加性 (4)a b, c 0 ac bc; 可乘性 a b, c 0 ac bc. (5)a b 0 a b (n N , n 2).
a 2 b2 ab 2 ( ) (当且仅当a=b时取等号). 4.若a, b R , 则 2 2
1 3:(1)已知0<x< , 求函数y x(1 3x)的最大值。 3

不等式的基本性质

不等式的基本性质

教学目标:
知识与技能
掌握不等式的基本性质.
过程与方法
明白用类比的方法是一个重要的学习方法
情感态度与价值观
通过探索不等式的基本性质,增强学习数学的兴 趣。
.
4<8
乘(或除以减)正数
4×5__ < 8× 5
1 4×1 < __ 8× 4 4
乘(或除以)负数
4× (-5)__ > 8× (-5)
36500365
胯恒柠
已知,x<y,用“>”“<”填空 1、 x+2___y+2
1 1 y 2、 x ___ 3 3
3、-x___ -y
(不等式的基本性质——) (不等式的基本性质——) (不等式的基本性质——)
4、 x-m___ y-m (不等式的基本性质——)
1 4×(-4 ) __ >
8×( )
1 4
4÷2 __ < 8÷ 2
4÷(-2)> __ 8÷ (-2)
(1)a+3___b+3 (2)a-9___b-9 (3)a+2c___a+2c
a b (4)3 ___ 3
(5)-5a___-5b
2、在下列括号内,填出不等式变形所根据的性质 如果3x-2>2x-1,那么3x-2x>2-1 如果- 如果2x≥-3,那么≥- 3、判断题
3 x 0 ,那么x>0 4 3
用同样的方法猜想不等式的基本 性质,并设法验证你的猜想,说 一说你用什么方法验证的?
等式的基本性质2:等式两边同时乘同一个 数(或除以同一个不为0的数),所得的结 果仍是等式。 不等式基本性质2:不等式的两边都乘(或除 以)同一个正数,不等号的方向不变. 不等式基本性质3:不等式的两边都乘(或除 以)同一个负数,不等号的方向改变.
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性质 2: :

不等式两边都乘以(或除以)同一个正 不等式两边都乘以(或除以) 不等号的方向不变。 数,不等号的方向不变。
证明: 如果 a > b 证明:
那么 a -b > 0 c > 0时 : 时 a ×c - b × c = c ×(a -b)> 0 ) 所以 : a×c > b×c
性质 3: : 不等式两边都乘以(或除以)同一个负数, 不等式两边都乘以(或除以)同一个负数, 不等号的方向改变。 不等号的方向改变。 如果 a>b 而 c< 0 时 ,你能依照前面的 方法推导出a× 方法推导出 ×c 与b×c 之间的关系吗? × 之间的关系吗?
练习:设 a < b ,用“<”或“>”号填空: 号填空: 练习: 或 号填空
(1) a+1____b+1 <
(2) a-3____b-3 - < -
想一想
不等式的基本性质与等式的基本性质有什 么相同之处,有什么不同之处? 么相同之处,有什么不同之处?
性质 1: :
不等式的两边都加上(或减去)同一个数或 不等式的两边都加上(或减去) 同一个整式,不等号的方向不变。 同一个整式,不等号的方向不变。 证明: a > b 证明: 如果 a -b > 0 那么 ( a + c )-( b + c ) = a + c-b-c - - - = a-b > 0 - 所以: 所以: a + c > b + c 同理: - 同理: a-c > b-c -
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