3.4函数的应用(Ⅱ)教案学生版

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函数模型的应用实例(Ⅱ) 必修一教案34

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1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到 0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符； 2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到 13 亿？探索以下问题： 1）本例中所涉及的数量有哪些？ 2）描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？ 3）根据表中数据如何确定函数模型？ 4）对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应做出如何评价？如何根据确定的函数模型具体预测我国某个时间的人口数，用的是何种计算方法？本例的题型是利用给定的指数函数模型 y y0ert 解决实际问题的一类问题，引导学生认识到确定具体函数模型的关键是确定两个参数 y0 与 t . 完成数学模型的确定之后，因为计算较繁，可以
人教版高中数学必修 1 教案
授课时间：备课时间: 年年月月日日
课题：函数模型的应用实例（Ⅱ）能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题，
教学目标
进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价. 利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题. 将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单
教学重点
教学难点
的分析评价. 学法与教学用具 1. 学法：自主学习和尝试，互动式讨论. 2. 教学用具：多媒体四、教学设想（一）创设情景，揭示课题. 现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是
教学过程
确定的，但需我们利用问题中的数据及其蕴含的关系来建立. 对于已给定数学模型的问题，我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度. （二）实例尝试，探求新知例 1. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示.

《三角函数的应用(第二课时)》示范公开课教学设计【高中数学人教版】

《三角函数的应用（第二课时）》教学设计 1．通过分析和解决现实生活中的实际问题，使学生经历利用三角函数近似刻画实际问题的过程，了解利用数学知识解决实际问题的一般思路，提高数形结合能力． 2．通过例题分析和练习巩固，促进学生养成运用几何直观思考问题的习惯，发展学生的直观想象核心素养．教学重点：通过实例，使学生经历完整的数学建模过程．教学难点：将实际问题转化为数学问题．视频、Geogebra 软件、PPT 课件．资源引用：【数学探究】画函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象【情景演示】潮汐运动（一）整体感知引导语：匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象，可以用三角函数模型准确的描述它们的运动变化．在现实生活中也有大量运动变化现象，仅在一定范围内呈现出近似于周期变化特点，这些现象也可以借助三角函数近似的描述．（二）新知探究例1 如图1，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω．（1）求这一天6～14时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式．问题1：如何根据温度变化曲线得到这一天6～14时的最大温差？预设的师生活动：学生回答．预设答案：曲线在自变量为6～14时，图形中的最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标就◆ 教学过程◆ 课前准备 ◆ 教学重难点◆ ◆ 教学目标图1是这一天6～14时的最大温差，观察图形得出这段时间的最大温差为20℃．设计意图：通过问答形式得到（1）的解答．问题2：如何求温度随时间的变化满足的函数关系“b x A y ++=)sin(ϕω”中A ，ω，ϕ，b 的值？★资源名称：【数学探究】画函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象 ★使用说明：本资源为“画函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象”知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率．适合教师课堂进行演示讲解．注：此图片为“动画”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设的师生活动：学生回答，教师补充，之后学生板演解答过程，教师强调要注意自变量的变化范围．预设答案：A 为最大值减去最小值的差的一半，ω可以利用半周期为14-6=8建立方程得解，ϕ可以利用特殊值求得．所求解析式为π3π10sin()20[416]84y x x =++∈，，．设计意图：启发学生利用待定系数法解决（2）．例2 海水受日月的引力，在一定时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常的情况下，船在涨潮时驶进巷道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．表1是某港口某天的时刻与水深关系的预报．（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似值（精确到0.001 m）．（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4 m，安全条例规定至少要有1.5 m 的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？（3）若船的吃水深度为4 m，安全间隙为1.5 m，该船在两点开始卸货，吃水深度以0.3 m/h的速度减少，那么该船在什么时间必修停止卸货，将船驶向较深的水域？★资源名称：【情景演示】潮汐运动★使用说明：本资源通过生活中有关海水潮汐运动的展示，激发学生学习的兴趣．也体现数学来源于生活，又服务于生活．适合教师课堂展示播放．注：此图片为“情景视频”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．问题3：观察表1中的数据，你发现了什么规律？根据数据做出散点图，观察图形，你可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律？请试着完成（1）的解答．预设的师生活动：教师提出问题，学生观察数据，发现规律．教师引导学生作散点图，根据散点图特点，选择函数模型，学生根据散点图及有关数据，求出这个函数模型的解析式．得出解析式之后，教师让学生根据解析式填写整点时的水深，完成（1）的解答．预设答案：观察表格中数据可以看出，水深的变化具有周期性，根据表中数据画出散点图如图2．表1从散点图的形状可以判断，这个港口的水深y 与时间x 的关系可以用形如sin()y A x h ωϕ=++的函数来刻画，从数据和图形可以得出：A =2.5，h =5，T =12.4，φ=0；由2π124T ω==.，得ω=5π31．所以各港口的水深与时间的关系可用函数y =2.5sin5π31x +5近似描述．将整点对应的自变量代入解析式求出相应的水深，得到表2完成（1）的解答．设计意图：从所给数据中发现周期性变化规律，引导学生根据散点图特点选择函数模型，并求出函数解析式，并得到（1）的解答．问题4：（2）中，货船需要的安全深度是多少？从函数的解析式来看，满足怎样的条件时，该船能够进入港口？从图象上看呢？预设的师生活动：学生回答，教师补充．预设答案：货船需要的安全水深为4+1.5=5.5 m ．从函数的解析式来看，满足y ≥5.5，即2.5sin 5π31x +5≥5.5，该船能够进入港口；从图象上看，就是函数y =2.5sin 5π31x +5的图象在直线y =5.5上方时，该船能够进入港口．利用信息技术绘出两个函数的图象如图3．图2表2求得交点的横坐标分别为：x A ≈0.3975，x B ≈5.8025，x C ≈12.7975，x D ≈18.2025．问题5：可以将A ，B ，C ，D 点的横坐标作为进出港时间吗？为什么？预设的师生活动：教师请学生们自由回答，答案不唯一．预设答案：事实上为了安全，进港时间要比算出的时间推后一些，出港时间要比算出的时间提前一些，这样才能保证货船始终在安全水域．因此，货船可以在零时30分左右进港，早晨5时45分左右出港；或在下午13时左右进港，下午18时左右出港．每次可以在港口停留5小时左右．设计意图：启发学生数形结合得到（2）的解答．问题6：（3）中，设在x h 时货船的安全水深为y m ，y 与时间x 满足怎样的函数关系？从解析式来看，满足怎样的条件时，该船必须停止卸货？从图象上看呢？预设的师生活动：学生回答，教师补充．预设答案：设在x h 时货船的安全水深为y m ，那么y =5.5-0.3(x -2)(x ≥2)．从函数的解析式来看，满足y ≥5.5-0.3(x -2)，即2.5sin 5π31x +5≥5.5-0.3(x -2)时，该船能够进入港口；从图象上看，就是函数y =2.5sin5π31x +5的图象在直线y =5.5-0.3(x -2)上方时，该船能够进入港口．利用信息技术绘出两个函数的图象如图4．可以看到在6～8时之间两个函数只有一个交点P ，求得P 点的横坐标为7.016.≈P x 问题7：在船的安全水深正好等于港口水深时停止卸货可以吗？图3图4预设的师生活动：教师请学生们自由回答，答案不唯一．预设答案：为了安全，船停止卸货驶向安全水域的时间要比算出的时间提前一些．因此为了安全，货船最好在6.6时停止卸货，将船驶向较深的水域．设计意图：让学生感受利用数学模型得到的答案要根据实际情况进行检验和调整。

人教版新课程《3.4 函数的应用(一)》导学案(2套)

3.4 函数的应用（一）1.能够利用给定的函数模型或建立函数模型解决实际问题；2.经历建立函数模型解决实际问题的过程，提高综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力。

1.教学重点：建立函数模型解决实际问题；2.教学难点：选择适当的方案和函数模型解决实际问题。

1.一次函数、反比例函数、二次函数、幂函数的解析式分别是什么?一次函数：；反比例函数：；二次函数：；幂函数：。

一、探索新知例1 .设小王的专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他扣除金额与3.1.2例8相同，全年综合所得收入额为x（单位：元），应缴纳综合所得个税税额为y（单位：元）．（１）求y关于x的函数解析式；（２）如果小王全年的综合所得由189600元增加到249600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？例2 一辆汽车在某段路程中的行驶速率v(单位：km/h)与时间t(单位：h)的关系如图1所示，（1）求图1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象.1．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元．2．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．3．某移动公司采用分段计费的方法来计算话费,月通话时间x(分钟)与相应话费y(元)之间的函数图象如图所示：(1)月通话为100分钟时，应交话费多少元；(2)当x⩾100时,求y与x之间的函数关系式；(3)月通话为280分钟时，应交话费多少元?这节课你的收获是什么？参考答案：知识梳理：一次函数：)0(≠+=k b kx y 反比例函数：)0(≠=k x k y二次函数：)0(2≠++=a c bx ax y 幂函数 )(为常数ααx y = 学习过程：例题解析见教材93页例1.，94页例2. 达标检测1.【解析】设彩电的原价为a ，∴a (1＋0.4)·80%－a ＝270，∴0.12a ＝270，解得a ＝2 250. ∴每台彩电的原价为2 250元．【答案】 2 2502.【解析】 L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000＝－120Q 2＋30Q －2 000＝－120(Q －300)2＋2 500，当Q ＝300时，L (Q )的最大值为2 500万元．【答案】 2 500【新教材】3.4 函数的应用（一）（人教A 版）1、能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型解决实际问题；2、感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型在数学和其他学科中的重要性．重点：运用一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的处理实际问题；难点：运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题．一、预习导入阅读课本93-94页，填写。

函数题的应用教案模板高中

教学目标：1. 让学生理解函数在解决实际问题中的应用，提高学生的应用能力。

2. 培养学生运用函数知识分析问题、解决问题的能力。

3. 培养学生的数学思维和创新能力。

教学重点：1. 理解函数在解决实际问题中的应用。

2. 掌握函数模型的选择和建立。

3. 能够运用函数知识解决实际问题。

教学难点：1. 理解函数模型的选择和建立。

2. 解决实际问题时的创新思维。

教学过程：一、导入1. 引入实际问题：举例说明函数在生活中的应用，如物价、人口、温度等。

2. 提出问题：如何运用函数知识解决这些问题？二、新课讲解1. 函数模型的选择和建立- 举例说明不同类型的问题应选择合适的函数模型。

- 讲解函数模型建立的方法和步骤。

2. 函数在解决实际问题中的应用- 举例说明函数在解决实际问题中的应用，如求最大值、最小值、预测等。

- 讲解解决实际问题的步骤和方法。

三、课堂练习1. 课堂练习1：选择合适的函数模型解决实际问题。

2. 课堂练习2：运用函数知识解决实际问题。

四、讨论与交流1. 学生展示自己的解题过程，互相交流心得体会。

2. 教师点评学生的解题方法，总结解题技巧。

五、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调函数在解决实际问题中的应用。

2. 鼓励学生在生活中运用函数知识解决实际问题。

六、课后作业1. 完成课后练习题，巩固所学知识。

2. 寻找生活中的实际问题，尝试运用函数知识解决。

教学反思：1. 本节课是否达到了教学目标？2. 学生是否掌握了函数在解决实际问题中的应用？3. 学生在解决实际问题时是否具有创新思维？4. 教学过程中是否存在不足，如何改进？教学评价：1. 学生对函数在解决实际问题中的应用的理解程度。

2. 学生解决实际问题的能力。

3. 学生创新思维的培养情况。

2024春新教材高中数学3.4函数的应用(一)教学设计新人教A版必修第一册

（3）实验法：在教学过程中，教师引导学生利用计算机软件绘制函数图像，观察函数2.教学手段
（1）多媒体设备：教师利用多媒体课件，生动形象地展示函数的性质和图像，激发学生的学习兴趣，提高教学效果。
（2）教学软件：教师运用教学软件，如数学建模软件、函数图像绘制工具等，辅助教学，使学生更好地理解函数的应用。
核心素养目标分析
本节课的核心素养目标主要围绕数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象四个方面展开。
首先，通过实际问题引入函数模型，培养学生从复杂问题中抽象出函数关系的能力，即数学抽象素养。学生需要能够识别实际问题中的数量关系，自主构建函数模型，从而培养其抽象思维能力。
其次，通过对实际问题进行数学建模，让学生学会如何用函数来描述现实世界中的变化规律，培养学生的数学建模素养。学生需要能够将现实问题转化为数学问题，运用函数理论知识进行分析，进而提高其解决实际问题的能力。
（3）学生可以利用在线函数图像绘制工具，自主探索函数的性质和变化规律，加深对函数概念的理解。
（4）建议学生学习一些数学软件的使用方法，如MATLAB、Python等，掌握这些软件在函数分析和应用方面的功能，提高自己的实际问题解决能力。
内容逻辑关系
①函数应用的基本概念：
-重点词汇：函数、自变量、因变量、函数值、定义域、值域等。
选择几个典型的函数应用案例进行分析。
详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解函数应用的多样性或复杂性。
引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用函数解决实际问题。
4.学生小组讨论（10分钟）
目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。
过程：
将学生分成若干小组，每组选择一个与函数应用相关的主题进行深入讨论。

《函数的应用》教案

《函数的应用》教案《函数的应用》教案教学目标1.能够运用函数的性质，指数函数，对数函数的性质解决某些简单的实际问题．(1)能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本，弄清题中出现的量及其数学含义．(2)能根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题，并调动函数的相关性质解决问题．(3)能处理有关几何问题，增长率的问题，和物理方面的实际问题．2.通过联系实际的引入问题和解决带有实际意义的某些问题，培养学生分析问题，解决问题的能力和运用数学的意识，也体现了函数知识的应用价值，也渗透了训练的价值．3.通过对实际问题的研究解决，渗透了数学建模的思想．提高了学生学习数学的兴趣，使学生对函数思想等有了进一步的了解．教学建议教材分析（1）本小节内容是全章知识的综合应用．这一节的出现体现了强化应用意识的要求，让学生能把数学知识应用到生产，生活的实际中去，形成应用数学的意识．所以培养学生分析解决问题的能力和运用数学的意识是本小节的重点，根据实际问题建立数学模型是本小节的难点．（2）在解决实际问题过程中常用到函数的知识有：函数的概念，函数解析式的确定，指数函数的概念及其性质，对数概念及其性质，和二次函数的概念和性质．在方法上涉及到换元法，配方法，方程的思想，数形结合等重要的思方法．．事业本节的学习，既是对知识的复习，也是对方法和思想的再认识．教法建议（1）本节中处理的均为应用问题，在题目的叙述表达上均较长，其中要分析把握的.信息量较多．事业处理这种大信息量的阅读题首先要在阅读上下功夫，找出关键语言，关键数据，特别是对实际问题中数学变量的隐含限制条件的提取尤为重要．（2）对于应用问题的处理，第二步应根据各个量的关系，进行数学化设计建立目标函数，将实际问题通过分析概括，抽象为数学问题，最后是用数学方法将其化为常规的函数问题(或其它数学问题)解决．此类题目一般都是分为这样三步进行．（3）在现阶段能处理的应用问题一般多为几何问题，利润最大，费用最省问题，增长率的问题及物理方面的问题．在选题时应以以上几方面问题为主．教学设计示例函数初步应用教学目标1.能够运用常见函数的性质及平面几何有关知识解决某些简单的实际问题．2.通过对实际问题的研究，培养学生分析问题，解决问题的能力3.通过把实际问题向数学问题的转化，渗透数学建模的思想，提高学生用数学的意识，及学习数学的兴趣．教学重点，难点重点是应用问题的阅读分析和解决．难点是根据实际问题建立相应的数学模型教学方法师生互动式教学用具投影仪教学过程b一.提出问题数学来自生活，又应用于生活和生产实践．而实际问题中又蕴涵着丰富的数学知识，数学思想与方法．如刚刚学过的函数内容在实际生活中就有着广泛的应用．今天我们就一起来探讨几个应用问题．问题一：如图，△是边长为2的正三角形，这个三角形在直线的左方被截得图形的面积为，求函数的解析式及定义域．(板书) (作为应用问题由于学生是初次研究，所以可先选择以数学知识为背景的应用题，让学生研究)首先由学生自己阅读题目，教师可利用计算机让直线运动起来，观察三角形的变化，由学生提出研究方法．由学生说出由于图形的不同计算方法也不同，应分类讨论．分界点应在，再由另一个学生说出面积的计算方法．当时，，(采用直接计算的方法)当时，．(板书)(计算第二段时，可以再画一个相应的图形，如图)综上，有，此时可以问学生这是什么函数?定义域应怎样计算?让学生明确是分段函数的前提条件下，求出定义域为．(板书)问题解决后可由教师简单小结一下研究过程中的主要步骤(1)阅读理解；(2)建立目标函数；(3)按要求解决数学问题．下面我们一起看第二个问题问题二：某工厂制定了从1999年底开始到2005年底期间的生产总值持续增长的两个三年计划，预计生产总值年平均增长率为，则第二个三年计划生产总值与第一个三年计划生产总值相比，增长率为多少?(投影仪打出)首先让学生搞清增长率的含义是两个三年总产值之间的关系问题，所以问题转化为已知年增长率为，分别求两个三年计划的总产值．设1999年总产值为，第一步让学生依次说出2000年到2005年的年总产值，它们分别为：2000年2003年2001年2004年2002年2005年(板书)第二步再让学生分别算出第一个三年总产值和第二个三年总产值=++=．=++=．(板书)第三步计算增长率．．(板书)计算后教师可以让学生总结一下关于增长率问题的研究应注意的问题．最后教师再指出关于增长率的问题经常构建的数学模型为，其中为基数，为增长率，为时间．所以经常会用到指数函数有关知识加以解决．总结后再提出最后一个问题问题三：一商场批发某种商品的进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促进销售，拟采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法，试验表明，礼品价格为1元时，销售量可增加10%，且在一定范围内礼品价格每增加1元销售量就可增加10%．设未赠送礼品时的销售量为件．(1)写出礼品价值为元时，所获利润(元)关于的函数关系式;(2)请你设计礼品价值，以使商场获得最大利润．(为节省时间，应用题都可以用投影仪打出)题目出来后要求学生认真读题，找出关键量．再引导学生找出与利润相关的量．包括销售量，每件的利润及礼品价值等．让学生思考后，列出销售量的式子．再找学生说出每件商品的利润的表达式，完成第一问的列式计算．解：．(板书)完成第一问后让学生观察解析式的特点，提出如何求这个函数的最大值(此出最值问题是学生比较陌生的，方法也是学生不熟悉的)所以学生遇到思维障碍，教师可适当提示，如可以先具体计算几个值看一看能否发现规律，若看不出规律，能否把具体计算改进一下，再计算中能体现它是最大?也就是让学生意识到应用最大值的概念来解决问题．最终将问题概括为两个不等式的求解即(2)若使利润最大应满足同时成立即解得当或时，有最大值．由于这是实际应用问题，在答案的选择上应考虑价值为9元的礼品赠送，可获的最大利润．三．小结通过以上三个应用问题的研究，要学生了解解决应用问题的具体步骤及相应的注意事项．四．作业略五．板书设计2．9函数初步应用问题一：解：问题二分析问题三分析小结：。

4.5 函数的应用(二) 教学设计-2020年秋高中数学人教版(2019)必修一

单元教学设计：4.5 函数的应用（二）一、内容和内容解析1.内容函数的零点与方程的解；用二分法求方程的近似解；函数模型在实际问题中的应用．2.内容解析“函数的应用（二）”是在第三章“函数的应用（一）”的基础上，从两个方面介绍函数的应用．一是数学学科内部的应用，利用所学过的函数研究一般方程的解；二是实际应用，建立实际问题的函数模型，并通过函数模型反映实际问题的变化规律，从而分析和解决实际问题．通过“函数的应用（二）”，使学生进一步理解指数函数和对数函数，学会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．基于以上分析，确定本单元教学的重点：函数零点与方程解的关系，函数零点存在定理的应用，用二分法求方程近似解的思路与步骤，用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程．二、目标和目标解析1.目标(1)结合二次函数的图象，了解函数零点存在定理．(2)结合具体连续函数及其图象的特点，探索用二分法求方程近似解的思路与步骤．(3)进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．2.目标解析达成上述目标的标志是：(1)结合二次函数的图象，进一步了解函数的零点与方程解的关系，并能用函数取值规律来刻画图象穿过x轴的图象特点．(2)结合具体连续函数及其图象的特点，探索用二分法求方程近似解的思路，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性并了解二分法中的算法思想．(3)结合现实情境中的具体问题，能利用已知函数模型解决实际问题．通过比较对数函数、线性函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”、“直线上升”、“指数爆炸”等术语的现实含义，会选择合适的函数模型解决实际问题．三、教学问题诊断分析在零点存在定理的教学中，学生从具体的函数图象概括出一般化的特征，并用取值规律这一代数形式来表达，这种从形到数的转化是学生思维的障碍．在二分法教学中，从具体的函数出发利用二分法求方程的近似解较为容易，但把二分法的步骤抽象成一般化的算法并用符号来表示是一个难点．在函数模型的应用教学中，利用已知函数模型解决实际问题容易操作，但选择合适的函数模型解决实际问题，需要对不同函数模型的增长规律有一定的了解，并且需要符合实际问题中的条件限制．结合以上分析确定本节课的教学难点：函数零点存在定理的导出，用二分法求方程近似解的算法，选择恰当的函数模型分析和解决实际问题．四、教学过程设计4.5.1 函数的零点与方程的解(一) 引言思考：我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点，像ln 260x x +-=这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？(二) 函数的零点与方程的解的关系对于一般函数=y f x ()，我们把使=0f x ()的实数x 叫做函数=y f x ()的零点．这样，函数=y f x ()的零点就是方程=0f x ()的实数解，也就是函数=y f x ()的图象与x 轴的公共点的横坐标．所以方程=0f x ()有实数解 ⇔函数=y f x ()有零点⇔函数=y f x ()的图象与x 轴有公共点．由此可知，求方程=0f x ()的实数解，就是确定函数=y f x ()的零点．对于不能用公式求解的方程=0f x ()，我们可以把它与相应的函数=y f x ()联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解．(三) 零点存在定理的导出探究：对于二次函数2=23f x x x --()，观察它的-2 -1 O 1 2 3 4 xy 2 1 -1 -2-2 -1O 1 2 3 4 x y2 1-3 -4 -1 -2图象，发现它在区间24[，]上有零点．这时，函数图象与x 轴有什么关系？在区间20-[，]上是否也有这种关系？你认为应如何利用函数f x ()的取值规律来刻画这种关系？可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”x 轴．函数在端点=2x 和=4x 的取值异号，即240f f ()()＜，函数2=23f x x x --()在区间24(，)内有零点=3x ，它是方程223=0x x --的一个根．同样地，200f f -()()＜，函数2=23f x x x --()在20-(，)内有零点=1x -，它是方程223=0x x --的另一个根．一般地，我们有：函数零点存在定理：如果函数=y f x ()在区间a b [，]上的图象是一条连续不断的曲线，且有0f a f b ()()＜，那么，函数=y f x ()在区间a b (，)内至少有一个零点，即存在c a b ∈(，)，使得=0f c ()，这个c 也就是方程=0f x ()的解．问题1：条件“连续不断”可以去掉吗？师生活动：学生画出反例，教师强调，图象间断了，虽然函数值异号，仍然没有零点．所以我们要求函数图象连续不断．追问：反之成立吗？即如果函数=y f x ()在区间a b (，)内存在零点，是否有0f a f b ()()＜？师生活动：学生举例说明，教师强调，“连续不断”和“0f a f b ()()＜”是“函数存在零点的”充分条件，而非必要条件．设计意图：让学生理解零点存在定理的功能是给出一个判定零点存在的充分条件．(四) 零点存在定理的应用例1 求方程ln 260x x +-=的实数解的个数．分析：可以先列出函数=ln 26y x x +-的对应值表，为观察、判断零点所在区间提供帮助．解：设函数=ln 26f x x x +-()，列出函数=y f x ()的对应值表．根据已有对数知识容易发现2=ln 220f -()＜，3=ln 30f ()＞，则230f f ()()＜．由函数零点存在定理可知，函数=ln 26f x x x +-()在区间23(，)内至少有一个零点．再利用画图软件画出函数=ln 26f x x x +-()的图象，我们看到f x ()是定义域上的单调递增函数，f x ()在区间23(，)内只有一个零点．问题2：为什么由230f f ()()＜还不能说明函数f x ()？师生活动：学生举例说明已知0f a fb ()()＜，函数在区间a b (，)内可能存在多个零点．追问1：在原有条件的基础上添加什么条件能够保证f x ()只有一个零点？师生活动：如果函数具有单调性，就能保证只有一个零点．由此我们得出函数零点存在定理的推论：若=y f x ()在区间a b [，]上是单调函数，其图象是一条连续不断的曲线，且有O 5 10 x y14 12 10 8 6 4 2-2 -4 -60f a f b ()()＜，则函数=y f x ()在区间a b (，)内有且仅有一个零点，即存在唯一的c a b ∈(，)，使得=0f c ()．事实上，=ln y x 与=26y x -在0x ∈+∞(，)上都是增函数，所以=ln 26f x x x +-()，0x ∈+∞(，)是增函数．所以它只有一个零点，即相应方程ln 260x x +-=只有一个实数解．追问2：你能用定义法证明函数=y f x ()是增函数吗？师生活动：120x x ∀∈+∞，(，)，且12x x ＜，有121122=ln 26ln 26f x f x x x x x -+-+-()()()-()1122=ln2x x x x +-()．因为120x x ＜＜，所以1201x x ＜＜，所以12ln0x x ＜，又因为120x x -＜，于是1122ln20x x x x +-()＜，即12f x f x ()＜()．所以，函数=ln 26f x x x +-()在区间0+∞(，)上单调递增．设计意图：让学生认识到零点存在定理可以证明函数有零点，但不能断定函数无零点或零点个数，如果要判断零点的个数，还要与结论“函数在单调区间上最多有一个零点”相结合．4.5.2 用二分法求方程的近似解(一) 二分法的引入我们已经知道，函数=ln 26f x x x +-()在区间23(，)内存在一个零点．进一步的问题是，如何在满足一定精确度的前提下求出这个零点呢？(二) 二分法的形成这个问题中设定的精确度为01.，可以理解为近似值与精确值之间的误差不超过01.．一个直观的想法是：如果能将零点所在的区间尽量缩小，直到区间长度小于等于01.，那么区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值．为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围．取区间23(，)的中点25.，用计算工具算得250084f ≈-(.).．因为2530f f (.)()＜，所以零点在区间253(.，)内，区间长度为0.5．再取区间253(.，)的中点275.，用计算工具算得2750512f ≈(.).．因为252750f f (.)(.)＜，所以零点在区间25275(.，.)内，区间长度为0.25．由于23(，) 253(.，) 25275(.，.)，所以零点所在的范围变小了．如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小．零点所在区间区间长度中点的值中点的函数值23(，) 125. 0084-. 253(.，) 05. 275. 0512. 25275(.，.) 025. 2625. 0215. 252625(.，.) 0125.25625 .0066.2525625 (.，.)00625 .……这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间．因为区间2525625 (.，.)的长度为00625.，所以区间2525625 (.，.)内任意一点都可以作为零点的近似值，为了方便，我们把区间的一个端点=25x .作为函数=ln 26f x x x +-()零点的近似值，也即方程ln 260x x +-=的近似解．2.5 2.75 2.625 O 2 3 x y0.5 - 0.4 - 0.3 - 0.2 - 0.1 --0.1- -0.2- -0.3- -0.4- -0.5-这样求方程近似解的方法称为二分法，我们来看二分法的定义：对于在区间a b [，]上图象连续不断且0f a f b ()()＜的函数=y f x ()，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(三) 二分法的步骤我们依据解决上述问题的过程来概括一下：给定精确度ε，用二分法求函数=y f x ()零点0x 的近似值的一般步骤： 1.确定零点0x 的初始区间a b [，]，验证0f a f b ()()＜． 2.求区间a b (，)的中点c ．3.计算f c ()，并进一步确定零点所在的区间：（1）若=0f c ()（此时0=x c ），则c 就是函数的零点；（2）若0f a f c ()()＜（此时0x a c ∈(，)），则令=b c ；（3）若0f c f b ()()＜（此时0x c b ∈(，)），则令=a c ． 4.判断是否达到精确度ε：若|a b ε-|＜，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复步骤2～4．(四) 二分法的应用例2 借助信息技术，用二分法求方程237xx +=的近似解（精确度为0.1）解：原方程即237=0xx -+，令=237xf x x -+()，用信息技术画出函数=y f x ()的图象，结合计算容易发现120f f ()()＜，说明该函数在区间12(，)内存在零点0x ．-5 O 5 10 xy16141210 8 64 2-2 -4 -6取区间12(，)的中点1=15x .，用信息技术算得15033f ≈(.).．因为1150f f ()(.)＜，所以0115x ∈(，.)．再取区间115(，.)的中点2=125x .，用信息技术算得125087f ≈-(.).．因为125150f f (.)(.)＜，所以012515x ∈(.，.)．同理可得，0137515x ∈(.，.)，0137514375 x ∈(.，.)．由于137514375|=0062501 -|...＜.，所以，原方程的近似解可取为1375.．问题3：如果精确度改为0.01？0.001？0.000 1？怎样做才不会给我们带来过大的运算负担呢？师生活动：我们从二分法中提炼出了算法思想，借助于Excel 表格当中的函数功能呈现出来，具体来看：我们利用Excel 表格中的七列依次呈现区间端点a ，b ，区间中点c ，函数值f a ()，f c ()，f b ()和区间长度b a -，首先，我们输入初始区间12(，)，然后，我们对单元格D3到H3依次应用公式完成输入，公式在编辑栏可见．对于单元格B4，我们利用Excel 的内置函数If 语句，它实现的功能是，如果0f a f c ()()＜，则区间的左端点就是a ，否则是c ，同样，对于单元格C4，如果0f a f c ()()＜，则区间的右端点就是c ，否则是b ．接下来，我们选中单元格D3到H3，将鼠标移到单元格的右下角，鼠标指针变成十字形状，按住鼠标向下拖动一行，即可实现对单元格D4到H4的自动填充，更进一步的，我们选中单元格B4到H4，重复相同的操作，可以实现对以下若干行的自动填充．我们可以根据题目精确度的要求，选择拖动到哪一行结束．这个问题的解决让我们体会到，对于人工运算很耗时耗力的问题，如果借助于计算机，可以瞬间完成，既省时省力，又准确无误，可见，工具的选择和使用至关重要．设计意图：让学生体会信息技术在处理计算量较大而且有重复步骤的问题时的重要价值．4.5.3 函数模型的应用引言：以上，我们学习了函数在数学内部的应用，接下来我们学习函数模型的实际应用． (一) 已知函数模型例3 阅读下面资料并回答问题．良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区良渚和瓶窑镇，1936年首次发现．这里的巨型城址，面积近630万平方米，包括古城、水坝和多处高等级建筑．2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，于是推测古城存在时期为公元前3300年～前2500年．你知道考古学家在测定遗址年代时用了什么数学知识吗？在前面的学习中，我们得到了一个预备知识，注释：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量y 会随死亡年数x 在初始量k 的基础上按确定的比率p 衰减（p 称为衰减率），并满足函数关系=1xy k p k -∈R ()(，010 k p x ≠且0；＜＜；≥)，大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．分析：首先，我们需要求出函数关系中的参数p ，明确函数解析式．然后，把0.552k 作为函数值代入解析式，求出死亡年数．解：根据已知条件，573011=2k p k -()，从而51=p -，所以生物体内碳14含量y 与死亡年数x 之间的函数解析式是5=xy k (．由样本中碳14的残留量约为初始量的55.2%可知，5=552xk (.%k ，即 5=0552x(.．解得5=log552x .．由计算工具得 4 912x ≈．因为2010年之前的4 912年是公元前2903年，所以推断此水坝大概是公元前2903年建成的．设计意图：培养学生阅读理解的能力，培养学生从数学的角度分析和解决问题的能力． (二) 选择恰当的函数模型在实际问题中，有的能应用已知的函数模型解决，有的需要根据问题的条件建立函数模型加以解决．例4 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？问题1：你能根据对三种投资回报的描述，建立三种投资方案所对应的函数模型吗？师生活动：设第x 天所得回报是y 元，则方案一可以用函数*=40y x ∈N ()进行描述；方案二可以用函数*=10y x x ∈N ()进行描述；方案三可以用函数1*=042x y x -⨯∈N .()进行描述．设计意图：培养学生把实际问题数学化的意识和能力．问题2：要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析．怎样借助已有函数模型，分析解决当前的问题？师生活动：首先我们可以画出三个函数的图象．通过图象我们直观地看到，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但是增长情况并不精确，不能体现投资收益与投资期限之间的关系．接下来，我们计算三种方案每天的回报数以及回报数的增长情况．x方案一方案二方案三y增加量/元y 增加量/元y增加量/元1 40 10 10 04.2 40 0 20 10 08. 04.3 40 0 30 10 16. 08.4 40 0 40 10 32. 16.5 40 0 50 10 64. 32.6 40 0 60 10 128.64.7 40 0 70 10 256. 128. 8 40 0 80 10 512. 256. 9 40 0 90 10 1024. 512. 10 40 0 100 10 2048.1024.… … … … … ……3040300102147483648 . 1073741824 .通过表格，我们可以发现，每天的回报数，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三最多．但是，这似乎也不能体现投资收益与投资期限之间的关系．接下来，我们再看累计的回报数，=10y x =40y1=042x y -⨯.问题3：根据以上对函数模型增长情况的分析，我们该如何选择投资方案呢？师生活动：教师引导学生根据累计的回报数作为划分投资期限的标准．投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三．设计意图：使学生认识到要作出正确选择，除了考虑每天的收益外，还要考虑一段时间内累计的回报．通过以上三种呈现方式可知，尽管方案一、方案二在第1天所得回报远大于方案三，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的．由此，我们更直观的理解了“直线上升”、“指数爆炸”的实际含义．接下来，我们一起来归纳一下用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程：首先，我们要把实际问题化归为函数模型，经过运算和推理求出函数模型的解，然后，用数学问题的解来解释说明实际问题，使实际问题得以解决。

3.4函数的奇偶性教案-2021-2022学年人教版（山东专用）中职数学第一册

授课班级21机1、汽1 授课内容 3.4函数的奇偶性授课地点835、803 授课时间12.8-12.9教学目标知识目标理解函数奇偶性的概念能力目标能根据函数的图像判断简单函数的奇偶性素质目标通过函数奇偶性体会生活中关于数学的对称美教学重难点教学重点能根据函数的图像判断简单函数的奇偶性教学难点理解函数奇偶性的概念教学过程教学环节教学内容学生活动教师活动设计意图一、回顾旧知，做实铺垫二、引课示标，明确方向多媒体展示山东剪纸的相关图片让学生仔细观察，并总结特点通过对于图形的观察与分析教师展示函数图像，让学生观察函数图像的特点，从而引出本节课的学习目标能根据函数的图像判断简单函数的奇偶性（重点）理解函数奇偶性的概念（难点）自学范围：课本49-51自学时间：10分钟完成以下知识点内容补充及自测题：让学生仔细观察总结特点学生自读学习目标，明确本节课的学习任务引导学生又图片发现对称图形和中心对称图形教师强调学习重难点，提醒学生上课时的注意方向培养学生的观察能力及概况能力学生明确学习目标三、自学质疑，合作探究判断一个函数f(x)的奇偶性，首先考虑函数的定义域是否关于________对称．(1)若不对称，则函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)若对称，则当f(－x)＝－f(x)时，函数f(x)为________．当f(－x)＝f(x)时，函数f(x)为________．当f(－x)≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)时，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．当f(－x)＝f(x)，且f(－x)＝－f(x)时，函数f(x)既是奇函数又是偶函数．常见函数函数的奇偶性(1)对于常量函数y＝c (c为常数且c≠0)，若定义域关于原点对称，则是________．(2)若f(x)＝0，函数定义域关于原点对称，则f(x) 既是奇函数又是偶函数，反之亦然．奇函数与偶函数的单调性如果一个函数是奇函数，那么它在关于原点对称的区间上单调性相同；如果一个函数是偶函数，那么它在关于原点对称的区间上单调性相反。

函数的应用教案二

函数的应用教案二《函数的应用》教案12教学目标：利用数形结合的数学思想分析问题解决问题。

利用已有二次函数的知识经验，自主进行探究和合作学习，解决情境中的数学问题，初步形成数学建模能力，解决一些简单的实际问题。

在探索中体验数学来源于生活并运用于生活，感悟二次函数中数形结合的美，激发学生学习数学的兴趣，通过合作学习获得成功，树立自信心。

教学重点和难点：运用数形结合的思想方法进行解二次函数，这是重点也是难点。

教学过程：（一）引入：分组复习旧知。

探索：从二次函数y=x2+4x+3在直角坐标系中的图象中，你能得到哪些信息？可引导学生从几个方面进行讨论：（1）如何画图（2）顶点、图象与坐标轴的交点（3）所形成的三角形以及四边形的面积（4）对称轴从上面的问题导入今天的课题二次函数中的图象与性质。

（二）新授：1、再探索：二次函数y=x2+4x+3图象上找一点，使形成的图形面积与已知图形面积有数量关系。

例如：抛物线y=x2+4x+3的顶点为点a，且与x轴交于点b、c；在抛物线上求一点e使sbce= sabc。

再探索：在抛物线y=x2+4x+3上找一点f，使bce与bcd 全等。

再探索：在抛物线y=x2+4x+3上找一点m，使bom与abc 相似。

2、让同学讨论：从已知条件如何求二次函数的解析式。

例如：已知一抛物线的顶点坐标是c（2，1）且与x轴交于点a、点b，已知sabc=3，求抛物线的解析式。

（三）提高练习根据我们学校人人皆知的`船模特色项目设计了这样一个情境：让班级中的上科院小院士来简要介绍学校船模组的情况以及在绘制船模图纸时也常用到抛物线的知识的情况，再出题：船身的龙骨是近似抛物线型，船身的最大长度为48cm，且高度为12cm。

求此船龙骨的抛物线的解析式。

让学生在练习中体会二次函数的图象与性质在解题中的作用。

（四）让学生讨论小结（略）（五）作业布置1、在直角坐标平面内，点o为坐标原点，二次函数y=x2+（k—5）x—（k+4）的图象交x轴于点a（x1，0）、b （x2，0）且（x1+1）（x2+1）=—8。

函数应用二的教案

函数应用二的教案一、教学目标1. 理解函数的实际应用。

2. 掌握函数应用二的相关概念和方法。

3. 能够运用函数应用二解决实际问题。

二、教学重难点1. 函数应用二的概念和原理。

2. 如何将实际问题转化为函数应用二的形式。

三、教学过程1. 导入新知识通过一个实际例子引入函数应用二的概念。

例如，某学生去超市购买面包，面包的价格为每袋5元。

学生购买了n袋面包，我们要求学生写一个函数来计算购买n袋面包所需的总金额。

2. 理解函数应用二的概念和原理向学生解释函数应用二的概念和原理。

函数应用二是指在函数应用的基础上，进一步运用函数的特性和性质解决实际问题。

函数应用二是数学学科的一个重要分支，也是数学与实际生活紧密结合的体现。

3. 讲解函数应用二的方法和步骤首先，将实际问题转化为函数的形式。

例如，购买面包的问题可以转化为函数f(n)=5n，其中n为购买的面包袋数，f(n)为购买n袋面包所需的总金额。

然后，根据问题的要求，通过函数的运算来解决问题。

例如，如果问题是求购买10袋面包所需的总金额，只需要将n=10代入函数f(n)=5n中即可得到结果。

最后，对结果进行分析和解释。

例如，购买10袋面包所需的总金额为50元，可以得出结论：购买面包的金额与购买袋数成正比，每袋面包的价格为5元。

4. 练习与运用让学生进行一些练习和应用，加深对函数应用二的理解和掌握。

例如，给学生一些实际问题，要求他们转化为函数的形式，并求解问题。

5. 总结和归纳通过讨论和总结，归纳函数应用二的方法和步骤。

强调函数应用二在解决实际问题中的重要性和实用性。

四、教学反思通过本节课的教学，学生对函数应用二的概念和方法有了初步的理解和掌握。

但是，部分学生在将实际问题转化为函数的形式时还存在一定的困难。

因此，在后续的教学中，需要加强实例讲解和练习，帮助学生更好地理解和运用函数应用二。

同时，可以引导学生思考更多的实际问题，培养他们运用函数解决问题的能力。

《函数的应用》全章教案完美版

《函数的应用》全章教案一、课程要求本章通过学习用二分法求方程近似解的的方法，使学生体会函数与方程之间的关系，通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题 .1 .通过二次函数的图象,懂得判断一元二次方程根的存在性与根的个数,通过具体的函数例子,了解函数零点与方程根的联系.2. 根据函数图象,借助计算器或电脑,学会运用二分法求一些方程的近似解,了解二分法的实际应用,初步体会算法思想.3. 借助计算机作图,比较指数函数、对数函数、幂函数的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的关系 .4. 收集现实生活中普遍使用几种函数模型的案例,体会三种函数模型的应用价值,发展学习应用数学知识解决实际问题的意识.二、编写意图和教学建议1. 教材高度重视函数应用的教学,注重知识间的相互联系（比如函数、方程、不等式之间的关系，图象零点与方程根的关系）.2. 教材通过具体例子介绍二分法,让学生初步体会算法思想, 以及从具体到一般的认识规律.此外, 还渗透了配方法、待定分数法等数学思想方法.3．教材高度重视信息技术在本章教学中的作用，比如，利用计算机创设问题情境，增加了学生的学习兴趣，利用计算机描绘、比较三种增长模型的变化情况，展示log x a a x a 与随的不同取值而动态变化的规律，形象、生动，利于学生深刻理解. 因此，教师要积极开发多媒体教学课件，提高课堂教学效率.4．教材安排了“阅读与思考”的内容，肯在提高学生的数学文化素养，教师应引导学生通过查阅、收集、整理、分析相关材料，增强信息处理的能力，培养探究精神，提高数学素养.5．本章最后安排了实习作业，学生通过作业实践，体会函数模型的建立过程，真实感受数学的应用价值. 教师可指导学生分组完成，并认真小结，展示、表扬优秀的作业，并借以充实自己的教学案例 .三、教学内容与课时的安排建议全章教学时间约需9课时.3.1 函数与方程 3课时3.2函数模型及其应用 4课时实习作业1课时小结1课时§3.1.1方程的根与函数的零点一、教学目标1．知识与技能①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．②培养学生的观察能力．③培养学生的抽象概括能力．2．过程与方法①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．②让学生归纳整理本节所学知识．3．情感、态度与价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．二、教学重点、难点重点零点的概念及存在性的判定．难点零点的确定．三、学法与教学用具1．学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标。

数学北师大九年级下册(2014年新编)《二次函数的应用(2)》教案2

《二次函数的应用（2）》教案2一、学生知识状况分析通过本章前三节的学习，学生已对二次函数的概念、二次函数的图像及其性质、如何确定二次函数的解析式等问题有了明确的认识.二次函数应用的第一课时是“何时面积最大”，学生初步感受到数学模型思想及数学的应用价值.本节课将进一步利用二次函数解决实际问题.二、教学任务分析“何时获得最大利润”似乎是商家才应该考虑的问题，但是这个问题的数学模型正是我们研究的二次函数的范畴.二次函数化为顶点式后，很容易求出最大或最小值.而何时获得最大利润就是当自变量取何值时，函数值取最大值的问题.因此本节课中关键的问题就是如何使学生把实际问题转化为数学问题，从而把数学知识运用于实践.即是否能把实际问题表示为二次函数，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释.教学目标(一)知识与技能1、经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值.2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力.(二)过程与方法经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.(三)情感态度与价值观1、体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值.增进对数学的理解和学好数学的信心.2、认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.教学重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值教学难点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值三、教学过程分析本节课以探究活动一、探究活动二及议一议这三个环节为主体，展开对二次函数应用的研究与探讨.第一环节探究活动一活动内容：（有关利润的问题）服装厂生产某品牌的T 恤衫成本是每件10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件.请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？回顾:在学习一元二次方程的应用时遇到过有关销售利润的问题，常用相等关系是：销售利润=单件利润×销售量若设批发单价为x 元，则：单件利润为；降价后的销售量为；销售利润用y 元表示，则)14024(5000-2+-=x x20000)12(50002+--=x∵-5000＜0∴抛物线有最高点，函数有最大值.当x ＝12元时，y 最大= 20000元.答：当批发单价是12元时，厂家可以获得最大利润，最大利润是20000元．若设每件T 恤衫降a 元，则：单件利润为；降价后的销售量为；销售利润用y 元表示，则)32(5000-2--=a a20000)1(50002+--=a∵-5000＜0∴抛物线有最高点，函数有最大值.当x ＝1元时，即批发单价是12元时，y 最大= 20000元.答：当批发单价是12元时，厂家可以获得最大利润，最大利润是20000元．想一想：解决了上述关于服装销售的问题，请你谈一谈怎样设因变量更好？活动目的：）元（10-x 件)5001.0-135000(⨯+x )5001.0135000)(10(⨯-+-=x x y ）元（1013--a 件)5001.05000(⨯+a ）（5001.05000)(1013⨯+--=a a y通过这个实际问题，让学生感受到二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值.在这里帮助学生分析和表示实际问题中变量之间的关系，帮助学生领会有效的思考和解决问题的方法，学会思考、学会分析，是教学的一个重要内容.第二环节探究活动二活动内容：某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？分析：相等关系是客房日租金的总收入=每间客房日租金×每天客房出租数解：设每间客房的日租金提高x 个10元，则每天客房出租数会减少6x 间，若客房日租金的总收入为y 元，则：=19440)260-2+-x （∵06-120,0>≥x x 且∴200<≤x当x ＝2时，y 有最大值 19440.这时每间客房的日租金为180210160=⨯+元，客房总收入最高为19440元.随堂练习：课本P49随堂练习某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？解：设销售单价提高x 元，销售利润为y 元，则y=(30-20+x)(400-20x)＝-20x 2+200x+4000＝-20(x-5)2+4500.答：当销售单价提高5元时，可在半月内获得最大利润4500元．第三环节议一议活动内容：解决本章伊始，提出的“橙子树问题”本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题，我们得到了表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的函数关系是：二次函数表达式y ＝(600-5x)(100+x)＝-5x 2+100x+60000.(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？（要求学生画出二次函数的图象，并根据图象回答问题）)6120)(10160(x x y -+=实际教学效果：学生可以顺利解决这个问题，答案如下(1)当x<10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加；当x>10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减小.(2)由图可知，增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵，都可以使橙子总产量在60400个以上.课堂小结:请你结合本节课的内容谈谈你对二次函数应用的认识.。

【教案】3.4函数的应用(一) 教学设计-2020年秋高中数学人教版(2019)必修一

3.4函数的应用（一）一、内容和内容解析1.内容利用函数概念及其蕴含的数学思想方法解决简单的实际问题，使用分段函数建立简单的函数建模．2.内容解析函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．函数模型及其应用是中学重要内容之一，又是数学与生活实践相互衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数模型的应用实质是揭示了客观世界中量的相互依存又互有制约的关系，因而函数模型的应用举例有着不可替代的重要位置和现实意义．本节是学生进入高中第一次正式接触利用函数模型解决实际问题．在教学中要让学生能够充分体验数学抽象和如何建立函数模型的过程．在此之前学生已学习正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数以及分段函数，对函数有了一定的认识和理解，能建立简单实际问题的解析式，具备类一定的分析与解决问题的能力．因此本节课的学习建立在学生已有的函数学习经验上，主要是利用函数概念及其蕴含的数学思想方法解决简单的实际问题，两个例题都是分段函数，实际上是用一次函数建立简单的函数模型．本节的两个例题都是给定数学模型的实际应用，相对简单一些，但它是后续更加复杂的、需要根据实际背景建模的基础，因此教学中重点引导学生体会应用数学知识解决实际问题的过程和方法．基于以上分析，确定本节课的教学重点：将实际问题中的量抽象成数学中的变量，并找到变量之间的关系．二、目标和目标解析1.目标体会函数与现实世界的密切联系，初步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）能从教科书例1中分析出存在几个变量，并确定他们之间的关系，通过这些关系确定应缴纳综合所得个税与综合所得收入额间的关系．（2）能正确理解教科书例题中函数关系的实际意义，能使用它分析简单的实际问题；（3）能准确理解例题中文字部分和图表部分的多种信息，并综合应用于确定函数关系，从而培养学生的数学抽象和数学建模素养．三、教学问题诊断分析学生在本节课之前已经学习了几类基本函数以及函数的概念、图象和性质，并接触过一些简单的实际问题，有对实际问题分析和解决的基本能力．但对从实际情景中提取变量，寻求变量的变化范围及变量间的对应关系建立函数模型去描述现实世界中的事物的变化规律，解决相应实际问题，以及对函数定义域进行分划考虑等问题比较陌生，大多数学生缺乏这方面的经验，以及对于较繁琐题目的综合分析缺乏思路清晰的抽象能力．教学时可以帮助学生克服困难：一是以问题引导的形式根据实际问题的若干条件确定有几个变量，它们之间有什么关系，从而将实际问题抽象为数学问题；二是综合题目中的语言叙述和图表展示，结合信息技术的运用，准确理解问题含义，确定变量关系，从而建立函数模型，让学生充分体验数学抽象的过程．本节课的教学难点是：能将实际问题中的量抽象成数学中的变量，并找到变量之间的关系．四、教学支持条件分析为了帮助学生正确分析实际问题中的变量关系，并能利用已知条件中的各种信息，教学时应注意使用问题引导的形式与信息技术的综合辅助功能相结合，使问题解决思路清晰，处理数据计算便捷，让学生能够将主要精力投入到建立数学模型的体验中，能更加深刻地感受到数学问题不同呈现形式的意义与数学建模的实用价值．五、教学过程设计（一）复习引入问题1：我们前面学过了哪些函数？师生活动：教师提出问题，学生回答问题．学生回答并相互补充，归纳得到：一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数．教师引导学生写出每类函数的解析式．一次函数：= 0y kx b k +(≠)反比例函数：=0ky k x(≠) 二次函数：2= 0y ax bx c a ++(≠)幂函数 = y x α(为常数)α追问：什么是分段函数？你能举例说明吗？师生活动：教师提出问题，学生思考并回答.教师引导学生回顾分段函数定义并举例说明：形如 0 0 x x y x x -⎧=⎨⎩＜，，，≥．这样的函数称为分段函数．设计意图：本节课就是利用分段函数解决实际问题，通过回顾一次函数、二次函数、反比例函数和分段函数，为后面的实际应用奠定基础．（二）例题教学例1：设小王的专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他扣除金额与3.1.2例8相同，全年综合所得收入额为x （单位：元），应缴纳综合所得个税税额为y （单位：元）．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）如果小王全年的综合所得由189 600元增加到249 600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？问题２：大家仔细读题并回想前面的例8以及它的分析结果．如何得到y关于x的函数解析式？第70页例8：依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税），2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为个税税额=应纳税所得额税率–速算扣除数．应纳税所得额的计算公式为应纳税所得额=综合所得收入额–基本减除费用–专项扣除–专项附加扣除–依法确定的其他扣除．其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60 000元．税率与速算扣除数见表y f t()，并画出图象；（1）设全年应纳税所得额为t，应缴纳个税税额为y，求=（2）小王全年综合所得收入额为189 600元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52 800元，依法确定其他扣除是4 560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？师生活动：学生读题后思考，尝试回答．老师启发引导，探寻解题思路，得到：先使用个人应纳税所得额计算公式得到t 与x 的关系，再利用例8第（1）问的结果，得到应缴纳个税税额y 关于全年应纳税所得额t 的解析式，再将t 等量代换为x 即可得到y 关于x 的函数解析式．在学生独立书写后，教师可将学生答案展示后纠正不标准的叙述，再用多媒体展示答案．解析：（1）若小王全年综合所得收入额为x （单位：元），由个人应纳税所得额计算公式，可得= 6 0008%2%1%9%52 800 4 560t x x --+++--() =08117 360x -. 令=0 =146 700t x ，得根据个人应纳税所得额的规定可知，当0146 700x ≤≤时，0=t ．所以，个人应纳税所得额t 关于综合所得收入额x 的函数解析式为0 0146 700 =08117 360 146 700 x t x x ⎧⎨-⎩，　≤≤，　.，．＞　结合例8所得的解析式0.03 036 000 0.1 2 520 36 000144 000 0.216 920 144 000300 000 =0.2531 920 300 000420 000 0.352 920 420 000660 000 0.3585 920 660 000960 000 0.45181t t t t t t y t t t t t t t ------，　≤≤，， ≤，， ≤，， ≤，　，≤，，≤＜，＜＜＜＜ 920 960 000 t ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩＞，．可得：当0146 700x ≤≤时，=0t ，所以=0y ；当146 700191 700x ≤＜时，036 000t ≤＜，所以=3%=0.024 3 520.8y t x ⨯-；当191 700326 700x ≤＜时，36 000144 000t ＜≤，所以=10% 2 520=0.0814 256y t x ⨯--；当326 700521 700x ≤＜时，144 000300 000t ≤＜，所以=20%16 920=0.1640 392y t x ⨯--；当521 700671 700x ≤＜时，300 000420 000t ≤＜，所以=25%31 920=0.261 260y t x ⨯--；当671 700971 700x ≤＜时，420 000660 000t ≤＜，所以=30% 2 920=0.2488 128y t x ⨯-5-；当971 7001 346 700x ＜≤时，660 000960 000t ≤＜，所以=35%85 920=0.28126 996y t x ⨯--；当 1 346 700x ＞时，960 000t ＞，所以=45%181 920=0.36234 732y t x ⨯--．所以，函数解析式为0 0146 700 0.024 3 520.8 146 700191 700 0.0814 256 191 700326 700 0.1640 392 326 700521 700 =0.261 260 521 700671 700 0.2488 128 671 700971 700 0.2812x x x x x x x y x x x x x ------，≤≤，　，≤，，≤，，≤，，≤，＜＜＜＜＜，≤， 6 996 971 700 1 346 700 0.36234 732 1 346 700 x x x ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪-⎩，≤，，＜＞．（2）根据上述解析式，当=249 600x 时，=0.08249 60014 256=5 712y ⨯-．所以，小王全年需要缴纳的综合所的个税税额为5 712元．设计意图：通过中间量t ，建立起y 与x 的关系，提升学生的数学运算素养．通过展示解答，纠正问题，规范演示，培养学生严谨的语言表述习惯．例2：一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v （单位：km /h ）与时间t （单位：h ）的关系如图所示，（1）求图3.4-1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km ，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s （单位：km ）与时间t 的函数解析式，并画出相应的图象．问题３：你能说出图3.4-1中反映出汽车行驶的什么规律？从图中能获得哪些信息？师生活动：让学生思考回答，最后使学生认识到：当时间t 在[0，5]内变化时，对于任意的时刻t 都有唯一确定的行驶速率与之相对应．根据图3.4-1，在时间段[0，1)，[1，2)，[2，3)，[3，4)，[4，5]内行驶的平均速率分别为50 km /h ，80 km /h ，90 km /h ，75 km /h ，65 km /h ，因此在每个时间段内，行驶路程与时间的关系也不一样，需要分段表述．追问1：（1）能写出平均速率v 与时间t 的关系式吗？（2）你能理解阴影部分面积的实际意义吗？师生活动：（1）学生读图后尝试写出，教师规范引导，得出汽车的行驶规律的解析式表示如下：50 0 1 80 1 2 =90 2 3 75 3 4 65 4 5 t t v t t t ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩＜＜＜＜，≤，，≤，，≤，，≤，，≤≤．（2）教师适时引导学生把阴影部分面积转化为多边形的面积，即5个长方形面积的和，并提示：每个长方形的长是什么？是多少？长方形的宽是什么？是多少？“是多少”能回答面积的计算问题，“是什么”能回答面积的意义问题．得到阴影部分的面积为：501801901751651=360⨯+⨯+⨯+⨯+⨯．因此阴影部分的面积表示汽车在这5 h 内行驶的路程为360 km ．追问2：寻求汽车行驶路程与时间的函数解析式与图象．师生活动：让学生思考回答，最后使学生认识到：通过借助第（1）问的结论，可以将求路程的问题转化为求对应多边形的面积问题加以解决．教师引导学生动态地观察图中直线0=t t 左侧的阴影部分的面积．如：当001t ≤＜时，直线0=t t 左侧的阴影部分是一个长方形，长是50，宽是t ；当012t ≤＜时，直线0t t =左侧的阴影部分是两个长方形，一个长是1，宽是50，另一个长是01t -()，宽是80；当023t ≤＜时，直线0=t t 左侧的阴影部分是三个长方形，一个长是1，宽是50，一个长是1，宽是80，另一个长是02t -()，宽是90；……如图0=t t 0=t t得到结论路程150 0 1 50801 1 2 =5080902 2 3 508090753 3 4 50809075654 45 t t t t s t t t t t t ⎧⎪+-⎪⎪++-⎨⎪+++-⎪⎪++++-⎩＜，≤，() ，≤，() ，≤，() ，≤，() ，≤≤＜＜．＜追问3：上述结果是汽车里程表读数与时间的函数解析式吗？如不是该如何调整呢？师生活动：学生思考回答，得到150 2 004 0 1 50 2 004 0 1 801 2 054 1 2 80 1 974 1 2 = 2 004=902 2 134 2 3 =90 1 954 2 3 75 1 999 753 2 224 3 4 654 2 299 4 5 t t t t t t t t s s t t t t t t t t t ++⎧⎪-++⎪⎪+-++⎨⎪+-+⎪⎪-+⎩，≤，，≤，()，≤＜＜＜＜＜＜≤，，，()，≤，，≤，，()，≤，(，≤＜)≤3 4 65 2 039 4 5 t t t ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪+⎪⎩，≤≤．＜≤，这个函数的图象如图所示设计意图：问题的信息除了以文字形式表述外，也见于速率关于时间变化的图象中．通过学生全面的审题，有助于培养学生的读图能力，提高学生获得信息的能力．另外通过动态观察获得数学表示，进一步转化为直观图象，通过这一过程感受数学化的好处，提高直观想象和数学建模素养．（三）应用练习练习1：（教材第95页练习1）若用模型2=y ax 描述汽车紧急刹车后滑行的距离y （单位：m ）与刹车时的速率x （单位：km /h ）的关系，而某种型号的汽车在速率为60 km /h 时，紧急刹车后滑行的距离为20 m ．在限速为100 km /h 的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为50 m ，那么这辆车是否超速行驶？师生活动：教师指导学生审题后，学生思考后回答．解析：由220=60a ()解得1=180a ，由2150=180x 解得=x ，因为100，所以这辆车没有超速．练习2：某广告公司要为客户设计一幅周长为l （单位：m ）的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？师生活动：教师指导学生审题后，学生思考作答．解析：设矩形的一边长为x ，广告牌的面积为S ，则2==22l l S x x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭22=04162l l l x x ⎛⎫⎛⎫--+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，当=4l x 时，S 取得最大值，且2max =16l S ．所以当广告牌是边长为4l的正方形时，广告牌的面积最大．设计意图：通过练习巩固本节所学知识，提高学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识．（四）归纳小结教师引导学生回顾本节课的学习内容，并回答以下几个问题：（1）解决数学应用问题的基本思路与过程是什么？（2）你能说出函数应用过程中要注意什么问题吗？设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力，提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力．（五）布置作业教科书第95页，习题3.4第1，2，3题．六、目标检测设计（教材第95页练习3）．某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2 500元，每件产品的售价为3 500元．若该公司所生产的产品全部销售出去，则（1）设总成本为1y （单位：万元），单位成本为2y （单位：万元），销售总收入为3y （单位：万元），总利润为4y （单位：万元），分别求出它们关于总产量x （单位：件）的函数解析式；（2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益做出简单分析．解析：（1）1=1500.25y x +；2150=0.25y x+；3=0.35y x ；4=0.1150y x -．（2）若分析盈利问题则考虑函数4=0.1150 0y x x -(≥)．由图可知想要盈利则4=0.1150y x -≥0，即 1 500x ≥，所以当 1 500x ＜件时，该公司亏损；当=1 500x 件时，该公司不赔不赚；x＞件时，该公司盈利．当 1 500设计意图：教师引导学生通过审题——找变量间的关系——列出解析式——解决实际问题的过程，回顾本节课函数应用的基本思路，并让学生能够在各环节中抓住关键点，如本题中的单位换算问题，从而体现数学的逻辑性和严谨性．。

函数的实际应用教案

函数的实际应用教案一、教学目标通过本教案的学习，学生应能够：1.了解函数的概念及其在数学和实际生活中的应用；2.掌握函数的定义和表示方法；3.学会解决实际问题时使用函数进行建模和求解。

二、教学重点1.函数的定义和表示方法；2.函数在实际问题中的应用。

三、教学难点1.函数的实际应用；2.使用函数进行建模和求解实际问题。

四、教学过程Step 1 引入1.引导学生回顾函数的定义：函数是一种对应关系，它将一个集合的每个元素与另一个集合的唯一元素相对应。

2.通过几个简单的例子，让学生了解函数的基本概念，并引发学生对函数在实际生活中的应用的思考。

Step 2 函数的表示方法1.介绍函数的表示方法：函数可以用方程、表格和图像来表示。

2.通过具体的例子，让学生了解不同表示方法之间的转换关系，并掌握如何将方程、表格和图像互相转换。

Step 3 函数在实际问题中的应用1.引导学生思考函数在实际问题中的应用，比如数学建模、物理问题、经济问题等。

2.通过一些实际问题的例子，让学生体会到函数在实际生活中的重要性，并了解如何将实际问题转化为函数的形式进行求解。

Step 4 使用函数进行建模和求解问题1.讲解如何使用函数进行建模：根据实际问题中的条件和要求，选择适当的变量和函数形式来建立数学模型。

2.通过一些综合性的例子，让学生掌握使用函数进行建模的方法和技巧，并学会通过求解函数来解决实际问题。

Step 5 练习与拓展1.设计一些练习题，让学生运用所学知识解决实际问题；2.引导学生思考更多的实际问题，并尝试用函数进行建模和求解。

五、教学评价1.观察学生在课堂中的表现，包括参与讨论的积极性、解决问题的能力等；2.布置作业，检查学生对函数实际应用的理解和运用能力。

六、教学反思通过本节课的教学，学生对函数的实际应用有了更深入的了解。

在教学过程中可以通过实际问题的引入，让学生深入体验函数在解决实际问题中的作用，培养学生的数学思维和建模能力。

《3.4 函数的应用》教学设计教学反思-2023-2024学年中职数学高教版2021基础模块上册

《函数的应用》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 理解函数的概念，掌握函数的定义域和值域。

2. 学会运用函数知识解决简单的实际问题。

3. 培养数学思维和解决问题的能力。

二、教学重难点1. 重点：函数的概念和性质。

2. 难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型。

三、教学准备1. 准备教学用具：黑板、粉笔、函数图象工具软件。

2. 准备教学材料：相关实际问题案例，函数模型建立方法。

3. 设计教学活动：引导学生通过实际例子，引入函数概念，讲解函数性质，引导学生建立函数模型解决实际问题。

4. 预习提示：学生预习内容，准备相关实际例子，提出疑问。

四、教学过程：（一）导入新课1. 复习提问：请学生回顾初中学习的函数概念，请学生列举生活中的函数关系式。

2. 引出课题：今天我们一起来学习中职数学课程《函数的应用》。

（二）教学实施任务一：理解函数的概念1. 教师介绍函数的定义，并引导学生理解定义中的三个要素：定义域、值域、对应法则。

2. 教师举例说明函数的应用，如：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等的应用场景。

3. 学生小组讨论，分享生活中的函数实例。

4. 分享与讨论：请学生分享自己搜集的函数实例，并讨论函数的用途和特点。

任务二：构建函数模型1. 教师介绍常见的函数模型及其应用场景，如：一次函数模型在市场营销中的应用，指数函数模型在经济增长中的应用等。

2. 教师引导学生思考如何构建适合的函数模型来解决实际问题。

3. 学生尝试构建函数模型，并尝试用函数解决实际问题。

4. 成果展示与交流：请学生展示自己的成果，并分享构建函数模型和解决问题的思路和方法。

任务三：应用函数的优化与决策1. 教师引导学生分析如何根据函数的性质进行优化和决策，如：利用函数的单调性、奇偶性、周期性等性质进行决策。

2. 学生尝试利用函数进行优化和决策，并与其他同学分享自己的方法和心得。

（三）课堂小结1. 请学生回顾本节课学习的内容，包括函数的概念、构建函数模型的方法和利用函数进行优化决策的思路等。

3.4函数的应用(Ⅱ)习题课教案学生版

习题课【学习要求】1.进一步掌握常用的函数模型,并会应用它们来解决实际问题;2.提高在面临实际问题时,通过自己建立函数模型来解决问题的能力.试一试：双基题目、基础更牢固1.某商店出售A、B两种价格不同的商品,由于商品A连续两次提价20%,同时商品B连续两次降价20%,结果都以每件23元售出,若商店同时售出这两种商品各一件,则与价格不升不降时的情况比较,商店盈利情况是()A.多赚约6元B.少赚约6元C.多赚约2元D.盈利相同2.某地区植被破坏、土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则下列函数中与沙漠增加数y万公顷关于年数x的函数关系较为相似的是()A. y＝0.2xB. y＝110(x2＋2x) C. y＝2x10 D. y＝0.2＋log16x3.国家规定个人稿费纳税办法是:不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税;超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税.已知某人出版一本书,共纳税420元,则这个人应得稿费(扣税前) ()A. 2 800元B. 3 000元C. 3 800元D. 3 818元4.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规律为y＝e kt(其中k为常数,t表示时间,单位:小时,y表示病毒个数),则k＝______,经过5小时,1个病毒能繁殖为______个.研一研：题型解法、解题更高效题型一二次函数模型的应用例1某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元,销售单价与日均销售量的关小结：有些问题的两变量之间是二次函数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型,利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值,从而解决实际问题中的最值问题.利用二次函数求最值时特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符.跟踪训练1某农家旅游公司有客房300间,每间日房租为20元,每天都客满. 公司欲提高档次,并提高租金,如果每间客房日增加2元,客房出租数就会减少10间. 若不考虑其他因素,旅社将房间租金提高到多少时,每天客房的租金总收入最高？题型二选择函数的拟合问题例2(1)与身高x (cm)的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175 cm,体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？小结：依据问题给出的数据,建立反映数据变化规律的函数模型的探索方法为:(1)首先建立直角坐标系,画出散点图;(2)根据散点图设出比较接近的可能的函数模型的解析式;(3)利用待定系数法求出各解析式;(4)对模型拟合程度进行检验,若拟合程度差,重新选择拟合函数,若拟合程度好,符合实际问题,就用这个函数模型解释实际问题.跟踪训练2为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山上建立了一个观察站,测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续(1);(3)根据所建立的函数模型,若今年最大积雪深度为25 cm,可以灌溉土地多少公顷？题型三指数型函数模型的应用例3人口问题是当今世界各国普遍关注的问题,认识人口数量的变化规律,可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年,英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型:y＝y0e rt,其中t表示经过的时间,y0表示t＝0时的人口数,r表示人口的年平均增长率.下表是1950～1959年我国的人口数据资料:(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.000 1),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否相符;(2)如果按表中的增长趋势,大约在哪一年我国的人口达到13亿？小结：(1)已给出函数模型的实际应用题时,关键是考虑该题考查的是何种函数,并要注意定义域,然后结合所给模型,列出函数关系式,最后结合其实际意义作出解答.(2)判断所得到的数学模型是否拟合,必须使所有数据基本接近数学模型,对于一般的应用问题,不会让数学模型完全符合,只是基本符合,对此,无最优解,只有满意解.跟踪训练3已知1650年世界人口为5亿,当时人口的年增长率为0.3%;1970年世界人口为36亿,当时人口的年增长率为2.1%.(1)用马尔萨斯人口模型计算,什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？(2)实际上,1850年以前世界人口就超过了10亿;而2003年世界人口还没有达到72亿.你对同样的模型得出的两个结果有何看法？课堂小结：1.函数模型的应用实例主要包括三个方面(1)利用给定的函数模型解决实际问题;(2)建立确定性的函数模型解决问题;(3)建立拟合函数模型解决实际问题.2.函数拟合与预测的一般步骤(1)能够根据原始数据、表格,绘出散点图.(2)通过考察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上,滴“点”不漏,那么这将是个十分完美的事情,但在实际应用中,这种情况是一般不会发生的.因此,使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧,使两侧的点大体相等,得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了.(3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.(4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,为决策和管理提供依据.。