第十三章结构的极限荷载(精)

第十三章 结构的极限荷载第一节 概述（先作三个图）1、 材料性质的简化模型：线弹性小变形、弹塑性、全塑性三种概念。

2容许应力法（弹性分析方法）:（1） 假定结构为理想弹性体，线弹性小变形，卸载变形可恢复，应力应变成正比 （2） 结构的最大应力达到材料的极限应力时结构将会破坏 （3） 强度条件：kuσσσ=≤][max（4） 缺点：a 塑性材料的结构，在最大应力到达屈服极限，甚至某一局部已进入塑性阶段时并不破坏b 以个别截面的局部应力来衡量整个结构的承载能力不经济合理c 安全系数k 也不能反映整个结构的强度储备2、 塑性分析方法：（不适用叠加原理）（1） 破坏标志：结构进入塑性阶段并最后丧失承载能力是的极限状态 （2） 极限荷载，结构的极限状态，考虑塑性；结构丧失承载能力，考虑安全系数。

r 0S ≤R（3）强度条件：KP Pu≤3、 理想弹塑性材料：应力应变关系4、 比例加载：荷载一次加于结构，且各荷载按同一比例增加 4、例子1） 一次超静定组合结构，不考虑横梁的弯曲影响和破坏（EI=∞） 2） 比例加载3） 弹性分析（力法）（线弹性小变形）：N AE =0.5P ，N BD =0.98P ，N CD =0.72P4） P 不断增大， N BD 先屈服（拉杆，应力均匀）：0.98P S =A σs ，P S =18.8KN 。

弹性极限状态，弹性极限荷载（卸载后，变形完全恢复）5） P 继续增加：（塑性分析）比例加载，BD 杆相当于一个常力：弹性塑性分两种颜色：P N AE∆=∆，P N CD ∆=∆245.18272.0==∆+s s A P P σ，ΔP=3.46KN ，P j =P s +ΔP=22.28KN 塑性极限荷载增量法：逐渐加载法（结构破坏，极限荷载），弹性极限荷载：线弹性小变形，变形恢复；塑性极限荷载：结构破坏。

14-2极限弯距和塑性铰、破坏机构、静定梁的计算受拉、压杆件，应力均匀；受弯杆件：理想弹塑性材料，纯受弯，矩形截面梁。

一、矩形截面梁梁（纯弯曲塑性材料的矩形等截面梁，任一截面） 应力、应变、塑性区的分布图（先作三组图）1）弹性阶段弹性极限弯矩，屈服弯曲 σ=E ε，ε=k •y ，k EI ydA M A⋅=⋅=⎰σ，y y bh M σ62= 屈服弯距s s s bh W M σσ62==弹性抗弯截面系数62bh W =2）弹塑性阶段y y s ⋅=σσ，两部分组成。

3）塑性流动阶段s σσ=梁在竖向荷载下轴力为0021=-A A s s σσ2/21A A A ==)(212211S S a A a A M s s s u +=+=σσσ21S S W s += s s u W M σ=塑性极限弯矩：s u bh M σ⋅=4242bh W s =WW M M ss u ==αα=1.5截面形状系数 塑性铰：（1）单向铰一般铰：（2）承受弹性极限弯矩一般横向荷载，不考虑Q 、N 的影响，结论同样适用。

框架梁设计时，弯矩调幅，内力重分布。

二、具有一根对称轴的任意截面的梁 （σl =σy ） 1、静矩：220aA S ⋅=2、塑性截面模量（系数），形心轴、中性轴：W s =2S 03、系数，截面形状系数WW M M ssj ==α，s jW M0⋅=σ矩形 α=1.5 圆形 α=1.70薄壁圆环形 α=1.27—1.4(一般取 1.3) 工字形 α=1.1—1.2(一般取 1.15) 三、静定梁的极限荷载破坏机构：结构出现若干个塑性铰而成为几何可变或瞬变体系时，结构已丧失承载能力，达到了极限状态。

静定梁：只有一个塑性铰， 等截面：塑性铰出现于maxM处4lP M u u =lM P u u 4=变截面梁：塑性铰出现于maxuM M 处或minuM M 处1、平衡法2、虚功原理 结论相同（两个例子）第三节 单跨超静定梁的极限荷载一、单跨超静定梁极限荷载的方法 1）增量法 2）平衡法 3）虚功原理 1、 集中荷载，跨中间（图14-4） 静力法：利用平衡条件确定极限荷载24uu u M l P M -=lM P uu 6=机动法：利用虚功原理（机构沿荷载正方向产生任意微小的虚位移，外力虚功=变形虚功）确定极限荷载θθθ2*2u u u M M lP +=lM P u u 6=2、集中荷载，任意位移跨中 1）极限平衡法；弯矩调整法P j ×θ1×a=M j ×θ1+M j ×θ2+M j (θ1+θ2)=2M j (θ1+θ2)=2M j (1+a/b)θ1=2M j ·l ·θ1/b 2）虚功原理3、均匀分布荷载，两端固定1）弯矩调整法2）虚功原理（均布荷载虚功） 4、一端固定、一端铰支，均布q ： 先求x ，0=dxdM C，x=0.4142l ，M max 不在中间，先定位置。

三点结论：（1） 超静定结构极限荷载的计算无需考虑结构弹塑性变形的发展过程，只需考虑最后的破坏机构，需要确定真实的破坏机构才能求得其极限荷载值；（2） 超静定结构极限荷载的计算只需考虑静力平衡条件，无需考虑变形协调条件 （3） 超静定结构极限荷载不受温度变化、支座移动的影响 龙驭球书，P124。

先画几个图，先写几点结论。

第四节 比例加载时判定极限荷载的一般定理1、多种破坏形式（所有破坏形式中最小破坏荷载）2、荷载参数P j （比例加载）3、结构的极限状态满足如下三个条件： 1） 平衡（瞬时平衡）2） 2）屈服，自身截面的极限弯矩值。

3） 3）机构条件（足够塑性铰）。

（单向机构） 4、三个定理1）上限：P j ≤P k （可破坏）平衡+机构 2）下限：P s ≤P j （极大）平衡+屈服 3）单值定理（只有一个）5、方法：试算法。

比较法（机动法）步骤：列出各种可能的破坏机构，利用弯矩调整法或虚功原理求出各相应的破坏荷载，其中最小值 ⇒ P j 试算法：选一个破坏机构求出可破坏荷载，再验算在该荷载作用下的弯矩分布（结合超静定结构计算）是否满足屈服条件。

满足即P j例13-3，P135。

例题1、龙驭球P129，极小值定理dg/dx=0，x 2-4lx+2l 2=0l l l l l a ac b b x 2222416424222±=⨯-±=-±-=24232222l M q l l x uj -=⇒-=例13-2：两跨连续梁，例13-10a 图三跨连续梁（前面）虚功原理，注意中间跨 例4：P8，杨天祥书， 两种方法比较： 杨天祥P1014-5 计算极限荷载的穷举法和试算法一、 穷举法（机动法）：列出所有可能的各种破坏机构，由平衡条件或虚功原理求出相应的荷载，取其中最小者即为极限荷载二、 试算法：任选一种破坏机构，由平衡条件或虚功原理求出相应的荷载，并作出其弯距图，满足内力局限条件即是；不满足再试。

例14-3 试求图14-7a 所示变截面梁的极限荷载。

（1） 穷举法（3种可能的破坏机构） 机构1：A 、D 处出现塑性铰θθθ3*2*23u u M M lP +=lM P u21=机构2：A 、C 处出现塑性铰θθθ3**232u u M M lP+= l M P u 5.7=机构3：D 、C 处出现塑性铰θθθ2**3u u M M lP +=lM P u 9=取lM P uu5.7=（2） 试算法 机构1：lM P u21=，绘出弯距图如图，C 截面的弯距4M u > M u机构2:lM P u5.7=, 绘出弯距图如图，各截面的弯距均不大于M u14-6连续梁的极限荷载先决条件，每跨都可能局部破坏。

破坏机构的可能形式：1、比例加载；2、每跨内等截面，等材料；3、各跨截面可以不同，材料可以不同。

结合两跨连系梁。

（1） 某一跨出现三个塑性铰或铰支端跨出现两个塑性铰 （2） 相邻各跨联合形成破坏机构（不可能） 结论： 两个例子。

P j·1·3θ1=50×θ1+50θ1×2 ⇒ P j =50KN①② 0.2·P j12=16×70/64 ⇒ P j12=350/4=87.5（不对）θθθθ2707050412⨯+⨯+⨯=⋅⋅l q j260642.04112=⋅⨯j p ⇒ 3.2p j12=260KN③ 70×θ1+90θ2+90(θ1+θ2)=1.5P ·θ1×2+1.5P ·θ2×270×θ1+45θ1+90(θ1+0.5θ1)=3P ·θ1+1.5P ·θ1 70+45+90×1.5=4.5 P j·3 P=55.56KN ，显然P j =50KN弯矩调整法比较简单，两种方法各有优缺点：例14-4 试求图14-9a 所示连续梁的极限荷载。

第一跨机构：θθθ*2*8.0u u M M Pa += aM P u75.3=第二跨机构：θθθθ*2**22u u u M M M a aa P ++= a M P u 4= 第三跨机构：θθθθ3*3*2*u u M M a P Pa +=+ aM P u 33.3=第三跨首先破坏，极限荷载aM P uu 33.3=14-7 刚架的极限荷载1）手算方法（轴、剪力对塑性铰的影响可以忽略不计） 2）矩阵位移法（可视情况介绍）弯矩图轮廓，五个塑性铰的可能位置。

1）梁结构 2）侧移结构 3）组合结构 更多地采用试算法破坏形式：塑性铰可能出现位置：A 、B 、C 、D 、E 点4个塑性铰或一个杆上出现三个塑性铰 一、穷举法机构1：C 、D 、E 处出现塑性铰θθθθ*2*22u u u M M M Pa ++= aM P u 3=机构2：A 、C 、E 、B 处出现塑性铰θθu M a P 45.1*= aM P u67.2=机构3：A 、D 、E 、B 处出现塑性铰θθθθθθu u u u M M M M Pa a P +++=+2*2*225.1*aM P u29.2=机构4：A 、C 、D 、B 处出现塑性铰θθθθθθu u u u M M M M Pa a P +++=+-2*2*225.1* aM P u16=取aM P uu29.2=二、试算法选择机构2，得aM P u67.2=，作M 图u u u u D M M aP M M M 267.242*22>=+-=不满足内力平衡条件 选择机构2，得aM P u29.2=，作M 图u u C u M Pa aP M M M 29.242*222===+-u u C M M M <=42.0 满足内力局限条件，此机构为极限状态极限荷载aM P uu 29.2=。