D10_3格林公式

添线段 L1 , 它与L 所围区域为D , 则
I

L L1
L1
12xd xd y
D
1
(e1 12x1)d x 1
A
yL1
DB
L
1 o 1 x
D 的 边 1界1d为xL1x(2取12正x d向y)2e 2e

L
Pd
x

Qd
y


D
(
Q x

P y
里面顺时针方向.
D
负向
L
L的正向: 当观察者沿该方向行走时，D内在 他近处的那部分总在他的左边.
3、格林公式
定理1.设区域 D 由分段光滑正向闭曲线 L 围成 ,
函数
在 D 上有连续偏导数 , 则
L Pd x
Qd y


D
(
Q x

P )dxd y y
(格林公式)
注1 关键条件（1） L 是正向闭曲线；

3
xy
2
)d
y
P dx Q3dxy2 y2d[ux(yx3, y)] 的条件：P Q y x
此时：u( x, y) ( x, y) P( x, y)dx Q( x, y)d y ( x0 , y0 )
x
y
x0 P( x, y0 )dx y0 Q( x, y)d y
, y1 ) P
y0 )dx
(x, y)
d
x
yQy01 (Qx(,x1y,)yd)dyy
( x0 , y0 )
()
注3 若P (x,y)d x + Q (x,y)d y d u(x, y)，
则有
( x1 , y1 ) P( x, y)dx Q( x, y)d y ( x0 , y0 )
原式 =

L L1
L1
a
3 ( x2 y2 )d xd y
cos yd y
a
D
D 的正向边界为 L

sin
y
a a

L
Pd
x

Qd
y


D
(
Q x

P y
)d
xd
y
y
L
D
a L1
ox
a
思考
例4 计算
其中L为包含原点分段
光滑的正向闭曲线.这里 (0,0) L.

y1 y0
Q(
x1
,
y)d y
例6. 设积分
在xoy面上与路径无关，求(1)常数a 和 b, (2)此积分值，
其中L是
y sin x上从点 (0,0) 到 ( ,1) 的一段弧.
2
解 （1） P ax cos y y2 sin x,
由 P Q , 得 y x
Q bycos x x2 sin y,
D
L1
例1 求 L 2 y dx ( x y2e y )d y, L为
取逆时针方向.
解:令 P 2 y, Q ( x y2ey ), 则
由格林公式 , 得
原式

D
Q x

P y
dxd y
D 的边界为LDd(取xd正y向) ab

L另P解d x:（ Q参d数y 方D程(法Qx）
第三节 格林公式及其应用
一、格林公式
1.平面单连通区域
D
D
简言之:
单连通区域 ( 无洞区域 )
复连通区域 ( 有洞区域 )
设D为平面区域 ,如果D内任一闭曲线 所围的部分都属于D, 则称D为平面单连通 区域，否则称为复连通区域.
2. 平面区域D 的边界L的正向
简言之, 边界曲线的正向:
外面逆时针方向,
指明(书P186,定理11-4)
下列四个条件等价:
(1) 在 D 内每一点都有 P Q . y x
(2) 对D 中任意闭曲线 L ,都有 L Pdx Qdy 0.
(3) 对D 中任意曲线 L ,曲线积分 L Pdx Qd y 与路
径无关 , 只与起点及终点有关 .
(4)
如果有
L1 P d x Q d y L2 P d x Q d y
G •B
L1 L •A L2
则称 L P d x Qd y 在G内A,B两点处与路径L无关 ,
否则便说与路径L有关.
如果对于G中的任意两点,都有曲线积分与路径L
无关 , 那么就称该曲线积分在G内与积分路径无关.
定理2. 设D 是单连通域 , 函数
Pd
x

6 Qd
y


D
(
Q x

P y
)dxd
y
例3.计算 I L(e y 12x y)d x ( x e y cos y)d y, 其中
L L为曲线 y x2 上从点 A(1,1) 到点B(1,1)的一段弧.
解：P ey 12xy, Q xey cos y, Qx Py 12x
2
∴积分 =

OB BA



2 0
2x
d
x
1 0

2
4
sin
yd
y
o
B( ,0) x
2
2
与路径 无4 关co时s1,
( x1 , y1 ) P( x, y)dx Q( x, y)d y
( x0 , y0 )

x1 x0
P( x,
y0 )dx

y1 y0
Q(
x1 ,
P y
)d
xd
y
y L
D ox
烦！
例2. 计算 L =oABo, 如图。
解: P xy 2, Q x y,
则
原式 ?
其中
. y A(1,1) . .D
o (0,0) B(1,0) x


1d
0
x
x
0
(1

x)d
y


1
(1
0

x)
xDd的x 边 界1为L(取正向)

L

x1 x0
P( x,
y0 )dx

y1 y0
Q(
x1 ,
y)d
y
例7.
是否为
某个函数的全微分？如是，求出一个这样的函数.
解: P 6x y2 y3, Q 6x2 y 3xy2,
∵ P 12x y 3 y2
y ∴存在函数 u (x , y), 使得
P dux Q(6dxy2是 yu3()xd, xy)全(6微x分2 y 3xy2)Pd y Q
y x
此时：u( x, y) ( x, y) P( x, y)dx Q( x, y)d y ( x0 , y0 )
x
y
x0 P( x, y0 )dx y0 Q( x, y)d y
例7.
是否为
某个函数的全微分？如是，求出一个这样的函数.

x
0
0
dx


y 0
(6
x
2
y
不记
定理3. 设D 是单连通域 , 函数 在D内具有一阶连续偏导数 ,则 P(x,y)d x+Q(x,y)dy 在 D 内是函数
的全微分的充要条件为： P Q 在 D 内恒成立. y x
注1 du( x, y) P dx Q d y ux P, uy Q
注2 u( x , y ) 的求法为：
y
E
u( x, y) (x, y) P( x, y)dx Q( x, y)d y
( x0 , y0 )
y0 A
B


x x0
P(
x,
y0 )dx
y y0
Q(
x,
y)d
y
x0 x
[ ( x0, y0 ) 是 D 中任意取定的一点 ]
与路径无关时, ( x1 , y1 ) P( x, y)dx Q( x, y)d y ( x0 , y0 )
上半圆弧从点（2，1）到点（1，2）.
方法1：直接法（参数方程法） 方法2：格林公式法 （. 注意使用格林公式的条件）
（如果直接法繁、难，用格林公式！其本质是把 困难的直接法换成容易的直接法与二重积分) 方法3：如果判断出原积分与路径无关，则可选择 容易的积分路径.
例5. 求
其中L沿半径为R 的
上半圆弧从点（2，1）到点（1，2）. y B(1, 2)
y
设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有
L P d x Q d y 在 D 内与路径无关. 对 D 内任意闭曲线 L 有 L P d x Qd y 0
在 D 内有 Q P x y
在 D 内有 du P dx Qdy
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P
(a 2)xsin y ( ysin x)(2 b) 0
ab2
L P dx Q d y与路径无关
P Q y x
例6.
求此积分值，其中L是 y sin
的一段弧. a = b = 2
（2） ∵ 积分与路径无关
x
上从点
(0,
0)
y
到
( ,1)
2
A( ,1)
(*)
注2 当 P Q 时 , 积分(*)的求法 y1
E
y x
( x1, y1 ) P( x, y)dx Q( x, y)d y ( x0 , y0 )
y0 A
B
x0 x1

AB
BE
xx
AB : y y0
BE :
x x1
y y


x1 (xx01
P( x,

u( x, y)
( x1 , y1 ) ( x0 , y0 )
例如, yd x xdy d (x y)
则有
(
(1,2)
ydx
P x1(,0y,10)) ( x,
xdy
y)d x
xy
Q(
(1,2)
x(,0y,0))d

y
2
( x0 , y0 )
()
例5. 求
其中L沿半径为R 的
xd y x2

ydx y2

D1 0d xd
y

l
xd y x2
ydx y2
y
lL

2xdry2
0
L
x2
coysd2 x
y2 r2
r2
D
siyn
2
L
d

o
x
D1
2
o l:
xx r cos y r sin
二、曲线积分与路径无关
设A,B为开区域G中的两点, L1, L2 为G内从点A到点B的任意两条曲线,
（2）
在 D 上有连续偏导数 。
定理1. 设区域 D 由分段光滑正向闭曲线 L 围成 ,

L
Pd
x

Qd
y


D

Q x

P y
d
xd
y
(格林公式)
注2 对复连通区域 ,格林公式亦成立 .

L1 L 2
Pd
x

Qd
y


D
(
Q x

P y
)dxd
y
L2
注3 区域D的面积 L xd y
y)d
y
三、二元函数的全微分求积
微分学中, 已知 z = f ( x , y ), 求全微分dz d z fx( x, y)d x f y( x, y)d y
现在考虑相反问题: 已知 P(x,y)d x + Q(x,y)d y
是否存在二元函数u=u(x,y), 使得 d u= P(x,y)d x+Q(x,y)dy
)dxd
y
xx
L1 : y 1
设 L 为沿 x a2 y2 从点 (0, a)到点 (0, a)
的半圆, 计算 (ex sin y y3 )dx (ex cos y x3 )dy L 解 Qx Py (ex cos y 3x2) (ex cos y 3 y2) 3( x2 y2)
在D内具有一阶连续偏导数 ,则对D 中任意曲线 L ,
曲线积分 L Pdx Qd y 与路径L无关的充要条件是:
P Q 在 D 内恒成立. y x
注1: 把以 ( x0 , y0 ) 为起点, ( x1, y1 ) 为终点的 曲线积分记为:
( x1 , y1 ) P( x, y)d x Q( x, y)d y ( x0 , y0 )
Q
1 计算
其中L 沿上半圆
由点(1 ,0)到(0,0).
解 Q P 8 x y
yL D
添加线段 L1 oA,
原式=

则
8dxd y
o
1
L1
2xd x
L L1
L1
D
0
A1 x
L取8正D向d x, d y
Pd x Qd y
L
y
解令
L
D
则
o
x

定理1.设区域D由分段正向闭曲线L围成 ,
函数
在D上有连续偏导数,则
L Pd x 在QdDy上不D连( Q续x ！Py )dxd y (格林公式)
正解：在D 内作圆周 l : x2 y2 r2, l 和L围成
的区域为D1， (D1上用格林公式)


Ll
解:
AE
EB
A(2,1)
E(1,1)
∴原曲线积分在右 12半(平1面)d内y与路径无o关， 从而 x
L
P
d
x


Q dy 与路径无关 ( x1 , y1 ) P( x, y)dx
( x0 , y0 )

P y Q( x, y
Q
x )d y

x1 x0
P( x,
y0 )dx
在 D 内是某一函数
的全微分,
即 du( x, y) P dx Q d y 。
习题P205 • 1(1)(2)(5)(6) • 2(1) • 4(1) • 5(1) • 6(2)(3)
内容小结
1. 2.
格林公式 等价条件

Pd
L
x

Qd
y


D
Q x

P y

d

xd