格林公式与曲线积分路径无关
格林(Green)公式曲线积分与路径无关的条
格林公式在数学物理方程、电动力学、流体力学等领域有 广泛的应用，是连接数学与物理世界的重要桥梁。
格林公式的历史背景
发展历程
格林公式是微积分学中的重要内 容，它的起源可以追溯到19世纪 上半叶，当时数学家开始研究如 何将线积分转化为面积分的问题。
贡献人物
乔治·格林（George Green）在 1830年代对这一领域做出了重大 贡献，他通过引入所谓的“格林 函数”来研究平面上向量场的性 质。
格林公式在解决曲线积分问题中的优势
简化计算过程
通过格林公式，可以将复杂的曲线积分问题 转化为面积分问题，从而简化计算过程。
提供解决问题的新思路
格林公式为解决曲线积分问题提供了新的思 路和方法，有助于拓展解题思路。
04
曲线积分与路径无关的应用实例
物理学中的磁场问题
磁场线闭合
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么磁场线必然是闭合的。这意味着磁场没有源点或漏点，即不存在磁单 极。
磁通量不变
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么通过某一区域的磁通量将保持不变。这意味着磁场不会因为路径的改 变而发生改变。
电学中的电场问题
电势差恒定
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电势差将保持恒定。这意味着电场不会因为路径的改变而 发生改变。
电场线闭合
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电场线必然是闭合的。这意味着电场没有源点或漏点，即 不存在电荷聚集点。
通过格林公式，可以判断一个曲线积分是否 与路径无关，为解决相关问题提供依据。
格林公式与曲线积分的关系证明
利用向量场的散度性质
通过向量场的散度性质，可以推导出格林公 式，从而证明其与曲线积分的关系。
格林公式习题解析
“ u(x, y) (x,y) 2x ydx x2 d y ”. ( x0 , y0 )
图1
又由于积分 u(x, y) (x,y) 2X Y d X X 2 dY 与路径无关， ( x0 , y0 )
也就意味着，我们可以选取使计算简便的路径，通常我们选择 折线路径，如图 1 和图 2 所示.
y
x
y x
符合定理 9.3.2 中的充要条件，因此，积分与路径无关.
再来计算积分值——
本题中并没有指定积分弧段，只取定了起点 (1,1) 和终点 (2,3) . 由于积分与路径无关，
因此，无论沿哪条积分弧段计算曲线积分，积分值都是相同的， 我们可以选择较简便的折线路径（如图 3 所示）进行计算，记
因此，无论沿哪条积分弧段计算曲线积分，积分值都是相同的， 我们可以选择较简便的折线路径（如图 4 所示）进行计算，记
x x
LAB
:
y
2
(x
:1
3)
，
LBC
:
x y
3 y
( y : 2 4) ，则有
图4
(3,4) (6 x y2 y3)dx (6 x2 y 3 x y2 )d y (1,2)
的正向边界；
答案： 1 (e 1) 5
解析： 本题考查课本第 137~138 页知识点——
可简单地理解为曲线上无“尖点”（导数或偏导数不存在的点）， 即曲线上处处有切线，且切线随切点的移动而连续转动.
简单地讲，格林公式就是把闭区域内的二重积分和该闭区域边界上的曲线积分联系了起 来，这两种积分可以根据我们的需要相互转化，从而简化计算.
u(x, y) y0 (x2 x02 ) x2 ( y y0) 的全微分，随着 (x0, y0 ) 的不同， u(x, y) 也不同.
高等数学第三节 格林公式 平面上曲线积分与路径无关条件
其中曲线积分是按沿Ｌ的正向计算的，公式 ①
称为格林公式.
其中曲线积分是按沿Ｌ的正向计算的，公式 ①
称为格林公式.
y
C y = 2(x) L
B D
A y =1(x)
E
Oa
bx
证明 假定穿过区域 D 内部且平行于坐标轴的直
线与 D 的边界曲线的交点不超过两个 (如图所示).
于是根据二重积分
的计算法，有
D
P y
d
b a
12((xx))Py dydx
y
C y = 2(x) L
D
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A y =1(x)
E
Oa
bx
a b{P [x,2(x) ]P [x,1(x)d ]x.}
第十一章 曲线积分与曲面积分
*第三节 格林公式 平面上曲线积分与路径无 关的条件
一、格林(Green)公式
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件
一、格林(Green)公式
定理(格林定理) 设 D 是以分段光滑曲线 L 为边界的平面有界闭区域，函数 P(x, y) 及 Q(x, y) 在 D 上具有一阶连续的偏导数，则
解 显然，用这段路径来计算是很复杂且困难.
能否换一条路径呢？为此计P算 ,Q. 其中 P(x, y) y x
= x2y + 3xex, Q(x,y)1x3ysiny,
3
得
Px2Q.
y
x
显P(然 x,y)Q ,(x,y) ,P,Q在 全D 平 上面 连 . 域 续 y x
mdmπa2mπa2.
D
格林公式积分与路径无关的条件
例1 计算
L
(3 x y )dy ( x y )dx , 其中
2 2
L为圆周( x 1) ( y 4) 9, 逆时针方向
解一 L的参数方程为
x 1 3 cost , y 4 3 sint , 0 t 2
( 3 x y)dy ( x y)dx ( 21cost 27cos t 18cost sint
0
2
I
L
( x y )dx ( x y )dy x2 y2
③包围原点的任意正向闭曲线
③
在所为区域D内作小圆 l : x 2 y 2 r 2 , 取逆时针方向, 记 l 所围的区域为 D1 , 对区域 D \ D1 应用格林公式 , 得
L
Pdx Qdy Pdx Qdy
I
r
l
D \ D1
(
Q P )dxdy =0 x y
Pdx Qdy
y
L
l 1 2
( x y )dx ( x y )dy
l
[ ( y x ) ( x y )]dxdy r D1 x y
1 2
o
D1
l
r
x
2 2 r
dxdy 2
( x x , y ) ( x, y )
Pd x Qd y
Pd x
P( x x, y )x xu u lim P ( x x, y ) P( x , y ) lim x x 0 x x 0 u 同理可证 Q( x , y ), 因此有 d u P d x Q d y y
积分与路径无关后的计算方法
积分与路径无关后的计算方法积分与路径无关是指在一个区域内，无论沿着哪条路径进行积分，得到的结果都是相同的。
这种情况下，我们可以使用路径无关积分的计算方法来求解积分。
路径无关积分的计算方法有两种：一种是格林公式，另一种是斯托克斯公式。
1. 格林公式格林公式是描述平面区域内的积分与路径无关的公式。
它的表达式为：$$\oint_{C}Pdx+Qdy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$$其中，$C$是平面区域内的一条简单闭合曲线，$D$是$C$所包围的区域，$P$和$Q$是$D$内的一对连续偏导数，$dx$和$dy$分别表示$x$和$y$的微小增量。
格林公式的应用范围很广，可以用来计算平面区域内的各种积分，如线积分、面积积分等。
2. 斯托克斯公式斯托克斯公式是描述三维空间内的积分与路径无关的公式。
它的表达式为：$$\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{S}$$其中，$C$是三维空间内的一条简单闭合曲线，$S$是$C$所包围的曲面，$\vec{F}$是一个可微向量场，$d\vec{r}$和$d\vec{S}$分别表示曲线$C$和曲面$S$上的微小位移向量。
斯托克斯公式可以用来计算三维空间内的各种积分，如线积分、面积积分等。
综上所述，积分与路径无关后的计算方法可以使用格林公式或斯托克斯公式来求解。
这两个公式都是基于微积分的理论推导而来，可以用来描述积分与路径无关的情况，具有广泛的应用价值。
数学分析21.3格林公式、曲线积分与路线的无关性(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分3格林公式、曲线积分与路线的无关性一、格林公式概念：当区域D 的边界L 由一条或几条光滑曲线所组成时，规定边界曲线的正方向为：当人沿边界行走时，区域D 总在他的左边. 与正方向相反的方向称为负方向，记为-L.定理21.11：若函数P(x,y), Q(x,y)在闭区域D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有格林公式：⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . L 为区域D 的边界曲线，并取正方向.证：根据区域D 的不同形状，可分三种情形来证明： (1)若区域D 既是x 型区域，又是y 型区域(如图1)，即 平行于坐标轴的直线和L 至多交于两点，该区域D 可表示为： φ1(x)≤y ≤φ2(x), a ≤x ≤b 或ψ1(x)≤x ≤ψ2(x), c ≤y ≤d.这里y=φ1(x)和y=φ2(x)分别为曲线⌒ACB 和⌒AEB 的方程, x=ψ1(x)和x=ψ2(x) 分别为曲线⌒CAE 和⌒CBE的方程, ∴⎰⎰∂∂Dd x Qσ=⎰⎰∂∂)()(21y y d c dx x Q dy ψψ=⎰d c dy y y Q )),((2ψ-⎰d c dyy y Q )),((1ψ=⎰⋂CBE dy y x Q ),(-⎰⋂CAE dy y x Q ),(=⎰⋂CBE dy y x Q ),(+⎰⋂EAC dy y x Q ),(=⎰L dy y x Q ),(.同理可证：-⎰⎰∂∂Dd y Pσ=⎰L dx y x P ),(. 即有⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . (2)若区域D 是一条按段光滑的闭曲线围成(如图2)，则先用几段光滑曲线将D 分成有限个既是x 型又是y 型的子区域，然后逐块按(1)得到它们的格林公式，相加即可.图2中区域D 可分成三个既是x 型又是y 型的区域D 1,D 2,D 3，则有⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂1D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂2D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂3D d y P x Q σ =⎰+1L Qdy Pdx +⎰+2L Qdy Pdx +⎰+3L Qdy Pdx =⎰+L Qdy Pdx.(3)若区域D 由几条闭曲线所围成(如图3)， 可适当添加直线AB, CE,把区域转化为(2)的情况处理.图D 的边界线由AB,L 2,BA,⌒AFC ,CE,L 3,EC 及⌒CGA构成. 由(2)知 ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋂⋂CGA EC l CE AFCBA l AB32(Pdx+Qdy)=()⎰⎰⎰++132L L L (Pdx+Qdy)=⎰+L Qdy Pdx .注：格林公式可写为：⎰⎰∂∂∂∂Dd QP y x σ=⎰+L Qdy Pdx .例1：计算⎰AB xdy ，其中曲线AB 为半径为r 的圆在第一象限部分. 解：如图，对半径为r 的四分之一圆域D 应用格林公式有⎰⎰-D d σ=⎰-L xdy =⎰OA xdy +⎰AB xdy +⎰BO xdy =⎰AB xdy . ∴⎰AB xdy =⎰⎰-Dd σ=-41πr 2.例2：计算I=⎰+-Ly x ydxxdy 22, 其中L 为任一不包含原点的闭区域的边界线.解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂22y x x x =22222)(y x x y +-, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂22y x y y =22222)(y x x y +- 在上述区域D 上连续且有界，∴⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂Dd yx yx y x x x σ2222=0. 由格林公式可得I=0.注：在格林公式中，令P=-y, Q=x ，则得到一个计算平面区域D 的面积S D 的公式：S D =⎰⎰Dd σ=⎰-L ydx xdy 21.例3：如图，计算抛物线(x+y)2=ax (a>0)与x 轴所围的面积.解：曲线⌒AMO由函数y=x ax -, x ∈[0,a]， 直线OA 为直线y=0， ∴S D =⎰-ydx xdy 21=⎰-OA ydx xdy 21+⎰⋂-AMO ydx xdy 21=⎰⋂-AMO ydx xdy 21=dx x ax ax ax a ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0)(1221=dx ax a ⎰-02121=dx x a a⎰4=62a .二、曲线积分与路线的无关性概念：若对于平面区域D 上任一封闭曲线，皆可不经过D 以外的点而连续收缩于属于D 的某一点，则称此平面区域为单连通区域，否则称为复连通区域。
格林公式·曲线积分与线路的无关性
du( x, y) P( x, y)dx Q( x, y)dy.
P( x, y ) Q( x, y ) . y x
(iv) 在D的每一点处, 有
由(iii)有
ux ( x, y) P( x, y), uy ( x, y) Q( x, y)
[ P( x, ( x)) P( x, ( x))]dx
b
a
AEB
P( x, y )dx
ACB
P( x, y )dx
Q( x, y)dy
ACBEA
P( x, y )dx
同理可证:
Q dxdy x D
L
(ii)
若D由一条按段光滑的闭曲线围成
u( x x , y ) u( x , y ) P ( x , y ), x 0 x lim
u( x x, y) u( x, y) ABC P ( x , y )dx Q( x , y )dy AB P ( x , y )dx Q( x , y )dy
L
P( x, y )dx Q( x, y )dy.
B
S
与线路无关, 只与L的起点终点有关; 设ARB与ASB为联结点A, B的任两条光滑曲线. 由(i)
L
P ( x , y )dx Q( x , y )dy 0
Pdx Qdy ) (
ASB
(
ARB
Pdx Qdy ) 0
P( x, y )dx Q( x, y )dy
BC
u( x , y y ) u( x , y ) lim Q( x , y ). y 0 y
微积分II课件——11-3(2) 格林公式及其应用2 曲线积分与路径无关
例1 求解方程
(5x4 + 3xy2 − y3)dx + (3x2 y − 3xy2 + y2 )dy = 0.
四、小结
与路径无关的四个等价命题
条 在单连通开区域D上 P( x, y), Q( x, y)具有 件 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
等 (1) 在D内∫L Pdx + Qdy与路径无关
三、二元函数的全微分求积
定理3 设开区域G 是一个单连通域, 函数 P( x, y), Q( x, y)在G 内具有一阶连续偏导 数, 则 P( x, y)dx + Q( x, y)dy 在G 内为某一 函数u( x, y)的全微分的充要条件是等式
∂P = ∂Q ∂y ∂x 在G 内恒成立.
若 ∂P ≡ ∂Q
y
∂y ∂x
∫ 则 B( x1 , y1 ) Pdx + Qdy A( x0 , y0 )
• A( x0 , y0 )
o
∫ ∫ =
x1 x0
P
(
x
,
y0
)dx
+
Hale Waihona Puke y1Q(y0x1
,
y)dy
∫ ∫ 或 =
Q y1 (
y0
x0
,
y
)dy
+
x1 x0
P(
x,
y1
)dx
• B( x1 , y1 )
• C( x1, y0 )
∂x ∂x
原积分与路径无关
∫ ∫ 故原式=
1 x2dx +
1
(1 +
y4 )dy=
23 .
0
0
15
格林(Green)公式及其应用-1
偏增量
( x, y ) ( x0 , y0 )
Pdx + Qdy −∫
( x+∆x, y) ( x, y )
Pdx + Qdy
=∫
=∫
( x, y ) ( x0 , y0 )
+∫
−∫
( x, y ) ( x0 , y0 )
Pdx + Qdy
( x+∆x, y)
( x+∆x, y) ( x, y )
Pdx + Qdy =∫
(1) ⇒(2) ⇒(3) ⇒(4) ⇒(1) (1) ⇒(2): ∀A, B ∈ G , ∀L, L′,
y
封闭曲线) 封闭曲线 有 L + ( − L′ ) = C (封闭曲线
A
o
⋅
L
⋅
B C
G
L′
x
∫
得
L+( − L′ )
Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy = 0
C
即 ∫ L Pdx + Qdy +∫ −L′ Pdx + Qdy = 0
一、格林（Green)公式及其应用 格林（ 公式及其应用 4.平面上曲线积分与路径无关的 . 等价条件
4.平面上曲线积分与路径无关的 . 等价条件 y
如果在区域D内 如果在区域 内,
∀L1 , L2 , 有
L 1
⋅B
L2
D
A o
⋅
∫L Pdx + Qdy = ∫L Pdx + Qdy
1
x
2
则称曲线积分
y = sin
πx
2
.
格林公式曲线积分与路径的无关性
y
M
解 曲线 ¼ AMO 由函数 y ax x , x [0, a]
O
N A(a,0) x
图 21 17
表示, ONA 为直线 y 0 , 于是
SD
1 2
Ñ x dy
y dx
1
2
x dy y dx 1
ONA
2
¼ AMO x dy y dx
1
2
¼ AMO x dy y dx
»AB P dx Q dy
与路线的选择无关, 故当
B( x, y) 在 D 内变动时, 其
积分值是 B( x, y) 的函数, 即有
u( x, y) P dx Q dy . »AB
取 x 充分小, 使 C( x x , y) D , 则函数
u( x , y)
对于 x 的偏增量(图21-20)
值定理可得
xu
P dx Q dy
BC
xx
x P(t , y)dt P( x x , y)x ,
其中 0 1. 根据 P( x , y) 在 D 上连续, 于是有
u lim xu lim P( x x , y) P( x , y).
x x0 x x0
同理可证
u Q( x , y). 所以证得 y
(
x
x 1.5 0.5)2
1
dx
4arctan 0.5 2arctan 2.
注1 定理 21.12 中对“单连通区域”的要求是重要 的.如本例若取沿 y 轴由点 A 到点 D 的路径 , 虽 然算起来很简单,但却不可用.因为任何包含 的单连通区域必定含有奇点 E . 又如本节例 2,对任 何不包含原点的单连通区域, 已证得在这个区域内 的任何封闭曲线 L 上, 皆有
09 第四节 格林公式
3) 利用第二类曲线积分可求闭曲线所围区域的面积 利用第二类曲线积分可求闭曲线所围区域的面积.
∂Q ∂ P − )dxdy = ∫ Pdx + Qdy 格林公式: 格林公式 ∫∫ ( ∂y D ∂x ∂D +
的面积A 闭区域 D 的面积 = ∫∫ dxdy .
D
取 P = 0, Q = x , 得 A =
解 记原积分 = ∫ P ( x , y )dx + QP ( x , y )dy ,
x 则 Q x = e cos y , Py = e cos y − m ,
y
D
O
L
x
Ax
作定向线段 OA : y = 0, x : 0 → a , 它与 所围闭区域记为 D, 它与L所围闭区域记为
则原积分 =
L+ OA
o
A(a,0)
曲线弧 AO : y = ax − x , x : a → 0,
∴A= −
∂D +
0
∫ ydx = −( ∫
OA
+
∫ ) ydx
AO a
1 2
1 2 = 0 − ∫a ( ax − x )dx = ∫ ( a x − x )dx = a . 0 6 1 1 或 : A = ∫ xdy − ydx = ( ∫ + ∫ ) xdy − ydx 2 ∂D + 2 OA AO a a 1 2 1 0 a = ∫a [ x( − 1) − ( ax − x )]dx = ∫ 0 xdx = 6 a . 4 2 2 ax
xdy − ydx ∫ x 2 + y 2 = ∫∫ 0 dxdy = 0 . L D
o
L
D
格林公式·曲线积分和路线的无关性
(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分
L Pdx Q dy
与路线无关, 只与 L 的起点及终点有关;
(iii) P dx Qdy 是 D 内某一函数 u( x , y) 的全微分, 即在 D 内有 du P dx Qdy;
u( x, y) P dx Q dy . AB
(iv)
在 D 内处处成立
P
Q .
y x
有关定理的说明：
(1) 开区域G 是一个单连通域.
(2) 函数 P( x, y), Q( x, y)在G 内具有一阶连
续偏导数.
两条件缺一不可
(i) 沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L, 有
L P dx Q dy 0;
(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分
( )dxdy
D x y
x D1 D2 D3 y
D1
(
Q x
P y
)dxdy
D2
(
Q x
P y
)dxdy
D3
(
Q x
P y
)dxdy
L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy L3 Pdx Qdy
L Pdx Qdy
L3 D3
D1
(L1, L2 , L3对D来说为正方向) L1
D2 L2
M
曲线AMO 由函数
A(a,0) N
y ax x, x [0,a]表示,
A
1 2
L
xdy
ydx
1
2 ONA
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
格林公式平面曲线积分与路径无关的条件
图 10-12
二、 平面上曲线积分与路径无关的定义与条件
(10-8) (10-9)
二、 平面上曲线积分与路径无关的定义与条件
函数P(x,y)，Q(x,y)满足定理4的条件时，表达式 P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个二元函数u(x,y)的全微分.因此可解决一 类特殊的一阶微分方程——全微分方程.
一、 格林公式
规定区域D的边界曲线L的正向:当观察者沿L的某个方 向行进时，区域D总在它的左侧，则该方向即为L的正向， 称该方向的边界曲线L为D的正向边界曲线.例如，对于区 域(x,y)|x2+y2<1，逆时针方向的圆周x2+y2=1是它的正向 边界曲线；对于区域(x,y)|1<x2+y2<2，逆时针方向的圆 周x2+y2=2与顺时针方向的圆周x2+y2=1共同组成了它的 正向边界曲线.
图 10-7
【例10】
一、 格林公式
求I=∫Lexsiny－ b(x+y)dx+(excos y－ ax)dy，其中a,b为正的 常数，L为从点A(2a,0)沿 曲线y=2ax－x2到点 O(0,0)的弧(见图10-8).
图 10-8
一、 格林公式
一、 格林公式
本例中，通过添加一段简单的辅助 曲线，使它与所给曲线构成一封闭曲线， 然后利用格林公式把所求曲线积分化为 二重积分来计算.在利用格林公式计算曲 线积分时，这是常用的一种方法.
(10-7)
二、 平面上曲线积分与路径无关的定义与条件
与路径无关,可以取先从M0(x0,y0)到M(x,y),然后沿平行于x 轴的直线段从M(x,y)到Nx+Δx,y作为上式右端曲线积分的路径 (见图10-11),于是
§4 格林(Green)公式和曲线积分与路径无关性
。
再利用例 2 的注即可求出结果。】
例 4 在格林公式中，若 P y ， Q x ，则公式变为
ydx xdy 2 D d 2D ，即
D
1 2
ydx
xdy （平面图形的面积公式）。
2
2
试用上述公式再计算星形线
x a
3
y b
3
1（a
0，b
0 ）围成的平面图形
D
的体积
D 。
【
例 1 求 x2 ydx xy2dy ，其中 ： x2 y2 R2 ， 为顺时针。
【记 P x2 y ，Q xy2 ，显然它们在以 为边界的闭圆： x2 y2 R2 上连续可微。注意
到 为顺时针，所以，由格林公式得，
x2 ydx xy2dy x2 ydx xy2dy
我们总可以选择适当垂直于 x 的直线将 D 分解成有限个 x 型区域的并集。 不失一般性，仅就 D 为图（1）的情形证明。
-3-
数学分析/第 20 章 重积分
如图示， D D1 D2 ， D1 和 D2 都是 x 型区域， D1 的边界正向为
D1 A, B B, E E , F F, A ，
数学分析/第 20 章 重积分
§4 格林（Green）公式和曲线积分与路径无关性
作为二重积分计算的应用，本节我们将建立利用二重积分来计算沿平面封闭曲线的第二 型曲线积分的一种有效方法——格林公式。
本节，具体学习两个内容： 1、建立格林公式（特点：反映了沿平面曲线的第二型曲线积分与二重积分的关系。） 2、格林公式的应用。包括两个方面： 一是计算某些曲线积分和证明某些涉及曲线积分的积分等式； 二是建立曲线积分与路径无关的条件。
y)
，
格林公式积分与路径无关的条件
格林公式积分与路径无关的条件格林公式听起来像是高深莫测的数学魔法，但其实它也挺有趣的，咱们就从最基础的开始聊聊吧。
想象一下你在一个阳光明媚的日子，跟朋友一起在公园散步，手里还拿着冰淇淋。
这时候，突然你发现了一条小路，旁边的小河波光粼粼，真是让人心情大好。
格林公式就像这条小路，帮助我们在平面上计算一些有趣的东西，像是区域的面积，流动的水，或者是风的方向。
说到这里，咱们得先弄明白“路径无关”的意思。
简单说，就是不管你走哪条路，最后的结果都是一样的。
就像你去朋友家，不管你是走左边的街，还是右边的巷子，最终都能到达。
是不是很酷？在数学的世界里，如果你能找到一个这样“稳稳的”路径，那就意味着你可以轻松搞定积分问题，不用担心那些弯弯绕绕的曲线。
就像你选择吃冰淇淋的口味，巧克力还是草莓，结果都是美味的。
咱们得提到格林公式的前提条件。
哎，听起来好像有点复杂，其实就是要确保你所研究的区域是“简单”的，没什么奇怪的洞或者尖尖的角。
就像你在家里打扫卫生，只有地面干净，才能找到丢失的钥匙。
如果你的区域里有缺口，那就得小心翼翼，积分的结果可能就跟你想象的完全不同。
记住，别让复杂的形状把你搞晕了。
干净利落的区域才能给你带来清晰的答案。
除了区域的整洁，曲线的光滑也是非常重要的。
想象一下，如果你在河边骑自行车，结果发现路上满是坑坑洼洼，你肯定骑得晃晃荡荡的，没法顺利前进。
格林公式也一样，它希望你走的路径是平滑的，没有尖锐的转弯。
否则，你的计算可能会像骑在不平坦的路上，得不偿失。
哎，这就好比你跟朋友约好了一起去吃饭，结果她半路上停下来购物，那你肯定得在外面等得无聊透顶。
说到底，格林公式的美妙之处在于它能把复杂的事物简化成简单的计算。
就像在厨房做饭，材料繁多的时候，能找到一个万能的调味料，那真是省时又省力。
使用格林公式，你就可以把多条曲线的积分问题转化为简单的区域积分，一举两得。
是不是很爽快？数学的魅力就在于，它能把看似复杂的东西变得明了，像剥开洋葱一样，层层解开。
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2 2 0
y
L
l
D1
o
r
x
r cos 2 r 2 sin2 d 2 r
2 .
( 其 中l 的 方 向 取逆时针方向)
(注意格林公式的条件)
3. 计算平面面积
Q P 格林公式: ( )dxdy L Pdx Qdy y D x
取 P y , Q x , 得 2 dxdy L xdy ydx
由(2)知
Q P ( )dxdy y D x
2 3
G
L3
E
L2
B
A
L1
C F
L EC CGA } ( Pdx Qdy) { AB L BA AFC CE
( L L L )( Pdx Qdy)
2 3 1
L Pdx Qdy
d x 1 ( y) A
E
y 2 ( x)
D
B
c
o a
x 2 ( y) Cy 1 ( x ) x b
D {( x , y ) 1 ( x ) y 2 ( x ), a x b} D {( x , y ) 1 ( y ) x 2 ( y ), c y d }
2u 2u . xy yx
（ⅳ） （ⅰ）
围的区域为
P Q 从而在 D 内每一点处有 . y x
(2) 当(0,0) D 时,
o y
L
x
作位于D 内圆周 l : x y r ,
2 2 2
记 D1 由L 和l 所ห้องสมุดไป่ตู้成,
应用格林公式,得
o
l
r
D1
x
xdy ydx xdy ydx L x 2 y 2 l x 2 y 2 0 xdy ydx xdy ydx L x 2 y 2 l x 2 y 2
3 3
xdy 3 cos t sin tdt•
L
0
12 [cos 4 t cos6 t ]dt
3 1 5 3 1 3 12 4 2 2 6 4 2 2 8 重要意义：
π 2 0
D -1 O
1
x
-1
1.它建立了二重积分与曲线积分的一种等式关系 2.它揭示了函数在区域内部与边界之间的内在联系 3.从它出发，可以导出数学物理中的许多重要公式
3
格林(Green)公式
一、格林公式 二、简单应用
一、区域连通性的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区 域, 否则称为复连通区域.
D
D
单连通区域
复连通区域
二、格林公式
D 由分段光滑的曲线 定理1 设闭区域
阶连续偏导数, 则有
L围
D 上连续且具有一 成,函数 P ( x , y )及 Q ( x , y ) 在
L Pdx Qdy 0.
L L1 ( L2 )
定 理 4 设 区 域D 是 一 个 单 连 通 闭 区 域 , 函 数 P ( x , y ), Q ( x , y ) 在D 内连续且具有一阶连续偏导数 ,则以 下四个条件等价：
(i )沿D内任一按段光滑封闭曲线L，有
L
P( x, y )dx Q( x, y )dy 0
3
D2
L2
D
1
L
Q P Q P ( )dxdy ( )dxdy y y D x D D D x
1 2 3
Q P Q P Q P ( )dxdy ( )dxdy ( )dxdy x y x y x y D D D
y E D
d
d
x 1 ( y)
L Q ( x , y )dy
c o
C
x 2 ( y)
x
同理可证
P dxdy L P ( x , y )dx D y
两式相加得
Q P ( )dxdy L Pdx Qdy y D x
3
L D 证明(2) 若区域D 由按段光 滑的闭曲线围成.如图, D1 将 D 分成三个既是X 型又是 L Y 型的区域 D1 ,D2 ,D3 .
D
xdy,其中曲
o L
B
x
解 引入辅助曲线L , L OA AB BO
应用格林公式,
P 0, Q x 有
dxdy xdy
D L
OA xdy AB xdy BO xdy , 由于OA xdy 0,
BO xdy 0,
1 2 xdy dxdy r . AB 4 D
AB
u x x, y u x, y Pdx Qdy Pdx Qdy
AC AB
Pdx Qdy
BC
其中直线段 BC 平行于 x 轴由积分中值定理可得 u u x x, y u x, y Pdx Qdy BC
其中 0 1 ，由 Px, y 在 D 上的连续性 u u = lim lim P x x, y = Px, y x x0 x x0
x x x
Pdx Qdy P x x, y x,
u 同理可证 Q x, y .因此 y
D
闭区域D 的面积
1 A L xdy ydx . 2
取 P 0, Q x , 得 取 P y , Q 0, 得
A L xdy
A L ydx
x 轴所 例 4 计算抛物线( x y )2 ax (a 0)与 围成的面积.
解 ONA 为直线 y 0 .
四、曲线积分与路径无关的定义
如果对于区域 G 内任意指定的两点 A、B 以及 G 内 从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1，L2 有
L1 Pdx Qdy
y
L
2
Pdx Qdy
o
L1
B
L2
G
A
则称曲线积分 L Pdx Qdy
x
在 G 内与路径无关, 否则与路径有关.
L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy
格林公式的实质:
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
沟通了沿闭曲线的积分与
二重积分之间的联系.
便于记忆形式:
D
x y dxdy L Pdx Qdy . P Q
三、简单应用
1. 简化曲线积分
例 1 计算 线 AB 是半径为 r 的圆在 第一象限部分.
AB
y
A
解
D , 记 L 所围成的闭区域为
y x , Q 2 令P 2 , 2 2 x y x y 2 2 Q y x P 2 2 2 则当 x y 0 时, 有 . 2 2 x ( x y ) y
y
(1) 当(0, 0) D 时,
L
D
xdy ydx 0 由格林公式知 L 2 2 x y
(ii )对 D内任一按段光滑曲线L，曲线积分
L
P( x, y )dx Q( x, y )dy
与路线无关,只与L的起点及终点有关; （ⅲ） Pdx Qdy是 D 内某一函数 u 的全微分，即
du Pdx Qdy；
P Q （ⅳ）在 D 内处处成立 y x
证 （ⅰ） （ⅱ）如图
dxdy
y2
xe OA AB BO
1 0
y2
dy
xe
OA
dy xe
x2
dx
1 1 (1 e ). 2
xdy ydx L 例 3 计算 L 2 2 ,其中 为一条无重点, x y L 的方 分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,
向为逆时针方向.
a a 1 2 x dx a . 4 0 6
格林公式的应用
从
Q P x y dxdy D
证明了：
P ( x, y)dx Q( x, y)dy（格林公式）
L
练习1
计算积分
x x ( e sin y y ) d x ( e cos y 1)dy L
曲线 AMO 由函数
M
A(a ,0)
N
y ax x , x [0, a ]表示,
1 A xdy ydx 2 L
1 1 ONA xdy ydx AMO xdy ydx 2 2
1 AMO xdy ydx 2
M
A(a ,0)
N
1 0 a a x( 1)dx ( ax x )dx 2 2 ax
y
1 L D
其中L是曲线|x|+|y|=1围成的区域D的正向边界。
解
x x ( e sin y y ) d x ( e cos y 1)dy L
②
-1
①
1 x
( e x cos y e x cos y 1) dxdy
D
O
A 2 2 2
③
-1
④
练习2 解
求星形线 L：x cos t , y sin t 所界图形的面积。 Q P y A dxdy d x d y x y 1 D D L 2π 4 2
du Pdx Qdy.
（ⅲ） （ⅳ）设存在 u x , y ，使得 du Pdx Qdy
所以P x, y u x, y , Q x, y u x, y .因此 x y 2 2 P u Q u , . y xy x yx 因 Px, y ， Qx, y 在区域 D 内有连续的偏导数，所以