数学建模--建筑变形问题

合集下载

建筑物变形分析的数学模型建立

建筑物变形分析的数学模型建立

建筑物变形分析的数学模型建立引言:建筑物是人类创造的独特艺术形式,随着科技的进步和工程建设的发展,各种结构形式的建筑物如雨后春笋般涌现。

然而,建筑物常常会受到各种外界因素(如重力、温度、地震等)的影响,从而导致形态发生变化。

因此,为了保证建筑物的安全性和稳定性,需要对其变形进行分析与研究,以便采取相应的措施来修复和加固。

本文将探讨建筑物变形分析的数学模型建立方法。

I. 弹性力学模型弹性力学模型是建筑物变形分析中最基本的数学模型之一。

弹性力学模型假设建筑物的变形受到哈克定律的约束,即变形量与受力成正比。

这种模型适用于小变形情况下,常用于简单结构的分析,如梁、柱等。

在弹性力学模型中,可以利用杆件单元和有限元方法来进行计算,通过求解弹性平衡方程得到变形的解析解或近似解。

II. 弹塑性分析模型弹塑性分析模型是一种更加复杂的数学模型,适用于变形较大、材料呈现塑性行为的建筑物分析。

弹塑性模型将建筑物的变形分为弹性变形和塑性变形两个部分,并考虑了材料的非线性特性。

在弹塑性模型中,可以采用有限元方法来进行离散化计算,求解变形的数值解。

III. 结构分析软件模型随着计算机科学的发展,结构分析软件逐渐成为建筑物变形分析的重要工具之一。

结构分析软件利用数值计算方法和数学模型,将建筑物的结构和受力情况进行离散化处理,并通过求解线性方程组得到变形的数值解。

结构分析软件通常包括有限元分析、有限差分分析、边界元分析等多种方法,可以对建筑物进行全面的变形分析。

IV. 考虑非线性因素的模型除了弹性力学模型和弹塑性模型,还有一些考虑了其他非线性因素的数学模型。

例如,考虑温度变化引起的热胀冷缩效应的热力学模型,考虑随时间变化的动力学模型,以及考虑建筑物与土壤相互作用的地震动力学模型等。

这些模型需要更加复杂的数学方法和计算手段来求解,但可以提供更加准确的建筑物变形分析结果。

结论:建筑物变形分析的数学模型建立是建筑工程领域一个重要的研究课题。

2013数学建模——古塔的变形

2013数学建模——古塔的变形

承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》(以下简称为“竞赛章程和参赛规则”,可从全国大学生数学建模竞赛网站下载)。

我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺,严格遵守竞赛章程和参赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛章程和参赛规则的行为,我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会,可将我们的论文以任何形式进行公开展示(包括进行网上公示,在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等)。

我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写): C我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话):5339所属学校(请填写完整的全名):参赛队员(打印并签名) :1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名):(论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致,只是电子版中无需签名。

以上内容请仔细核对,提交后将不再允许做任何修改。

如填写错误,论文可能被取消评奖资格。

)日期: 2013 年 09 月 16 日赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):编号专用页赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号):全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):古塔的变形数学模型摘要:本文是研究关于古塔变形类型以及变形分析的模型,用Matlab画出古塔的三维结构可以看出它是近似于正八边形的形状。

因此,问题一我们用每层各个测量点坐标的平均值作为塔每层的中心坐标,再用中心坐标的三个坐标值分别对时间t做回归来得到确定古塔各层中心位置的通用方法。

关于古塔的变形问题的分析

关于古塔的变形问题的分析

建筑科学科技创新导报 Science and Technology Innovation Herald441 模型假设(1)每层的八个勘测点共面。

(2)每年测得都是相同的观测点。

(3)塔基未发生改变。

2 模型的建立与求解2.1 确定古塔各层中心位置的方法在A u t o C A D 中,画出每层的8个测试点,连接成八边形,并组合为八边形面域。

在命令栏输入m a sspro p命令后,点击八边形,则可求出此八边形的质心坐标,即中心点坐标。

2.2 求古塔四次各层的中心点坐标依照上述方法,就能求出古塔四年各层的中心点坐标,1986年各层中心坐标为(566.7412,522.7005)、(566.7219,522.6807)、(566.7793,522.6318)、(566.8213,522.6035)、(566.8684,522.5714)、(566.9168,522.5399)、(566.9512,522.5231)、(566.9845,522.5066)、(567.0247,522.4993)、(567.0491,522.4759)、(567.1021,522.4356)、(567.1530,522.4029)、(567.2253,522.3370),1996年各层中心坐标为(566.6651,522.7089)、(566.7227,522.6699)、(566.7792,522.6317)、(566.8235,522.6031)、(566.8712,522.5685)、(566.9202,522.5365)、(566.9550,522.5193)、(566.9887,522.5024)、(567.0230,522.4850)、(567.0542,522.4707)、(567.1079,522.4299)、(567.1611,522.3893)、(567.2114,522.3549),2009年各层中心坐标为(566.7412,522.7005)、(566.8068,522.5411)、(566.8095,522.6437)、(566.9175,522.5799)、(566.8367,522.6208)、(566.9541,522.5476)、(566.0236,522.6082)、(567.0900,522.4693)、(567.0915,522.4604)、(567.1659,522.4656)、(567.2291,522.3484)、(567.2332,522.3265)、(567.2799,522.2822),2011年古塔各层中心坐标为(566.7413,522.7004)、(566.7763,522.6710)、(566.8098,522.6441)、(566.8372,522.6203)、(566.8662,522.5964)、(566.9548,522.5468)、(566.9879,522.5246)、(567.0402,522.4923)、(567.0925,522.4595)、(567.1474,522.4057)、(567.1901,522.3656)、(567.2326,522.3260)、(567.2812,522.2807)。

浅谈几种变形分析与建模方法

浅谈几种变形分析与建模方法
浅谈几种变形分析与建模方法
浅谈几种变形分析与建模方法
姓名:
学号:
班级:
指导老师:
成绩: 2014年6月26 日 变形是自然界普遍存在的现象,它是指变形体在各种荷载作用下,其形状,大小,及位置在时间域和空间域中的变化。变形体 的变形在一定范围里被认为是允许的,如果超出允许值,则可能引发灾害,自然界的变形危害现象时很普遍的,如地震,滑 坡,崩塌,地表沉降,火山爆发,溃坝,桥梁与建筑物的倒塌等。
(2) 式中,y 为n 维变形量的观测向量,;x 是一个n* (p+1) 矩阵,其形式为:
是回归系数向量,;是服从同一正态分布 的n维随机向量,。 由最小二乘原理可求得的估值为 2)回归方程显著性检验。如果因变量y 与自变量之间不存在线性 关系,则式(1) 中的为零向量,即有原假设: 将此原假设作为式(1) 的约束条件,求得统计量。
故可组成检验原假设的统计量
它在原假设成立时服从分布。分子通常又称为因子Xj 的偏回归平方和。 时间序列法是一种动态数据处理方法, 它是一种处理随时间变化而又相互关联的数据的数学方法, 是用来分析各种相依有序的离 散数据集合。时间序列分析的特点在于: 逐次的观测值通常是不独立的, 且分析必须考虑到观测资料的时间顺序, 当逐次观测值 相关时, 未来数值可以由过去观测资料来预测, 可以利用观测数据之间的自相关性建立相应的数学模型来描述客观现象的动态特 征。 时间序列分析的基本原理是: 对于平稳、正态、零均值的时间序列{xt} , 若xt的取值不仅与其n 步的各个取值Xt - 1, Xt- 2 ,…… ,Xt- n 有关, 而且还与前m 步的各个干扰a t - 1, a t- 2 ,…, a t- m 有关( n, m =1, 2,…) , 按多元线性回归的思想, 可得到最一般的 ARMA 模

数学建模古塔的变形

数学建模古塔的变形

数学建模-古塔的变形————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》(以下简称为“竞赛章程和参赛规则”,可从全国大学生数学建模竞赛网站下载)。

我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺,严格遵守竞赛章程和参赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛章程和参赛规则的行为,我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会,可将我们的论文以任何形式进行公开展示(包括进行网上公示,在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等)。

我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写): C我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话):所属学校(请填写完整的全名):参赛队员(打印并签名) :1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名):ﻩ(论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致,只是电子版中无需签名。

以上内容请仔细核对,提交后将不再允许做任何修改。

如填写错误,论文可能被取消评奖资格。

)日期:2013年 9 月 13 日赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用):评阅人评分备注全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号):全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):对古塔变形问题的数学建模摘要ﻩ中国古语有云,“救人一命胜造七级浮屠”,所谓浮屠也就是大众口中的“塔”。

测绘技术中的建筑物形变监测与分析方法

测绘技术中的建筑物形变监测与分析方法

测绘技术中的建筑物形变监测与分析方法近年来,随着城市的快速发展和人们对建筑安全的日益关注,测绘技术在建筑物形变监测与分析方面发挥着重要的作用。

通过测量和分析建筑物的形变情况,可以及时发现潜在的安全隐患,保障人们的生命财产安全。

本文将介绍测绘技术中常用的建筑物形变监测与分析方法。

1. 建筑物形变监测方法测绘技术中常用的建筑物形变监测方法包括全站仪监测、卫星定位监测以及激光扫描监测等。

全站仪监测是一种通过测量建筑物各点的三维坐标变化来实现形变监测的方法。

全站仪可以测量建筑物各点的水平、垂直位移以及倾角变化,通过比较前后两次测量结果的差异,可以判断建筑物是否存在形变情况。

卫星定位监测是利用全球卫星定位系统(GNSS)对建筑物进行定位和监测的方法。

通过在建筑物上安装接收天线,接收卫星信号,然后计算建筑物各点的坐标变化,从而实现建筑物形变的监测。

激光扫描监测是利用激光扫描仪对建筑物进行三维数据采集的方法。

激光扫描仪可以快速获取建筑物表面的点云数据,通过比较前后两次扫描的数据,可以得到建筑物形变的信息。

2. 建筑物形变分析方法建筑物形变分析是根据测量到的形变数据,通过统计分析和数学建模来评估建筑物的变形情况和安全性能。

统计分析是一种常用的建筑物形变分析方法。

通过对建筑物形变数据的统计分布、相关性以及趋势分析,可以得到建筑物形变的整体情况和趋势,从而评估建筑物的安全性能。

数学建模是另一种常用的建筑物形变分析方法。

通过将建筑物形变数据建立数学模型,可以对建筑物的形变进行预测和仿真分析。

数学建模可以帮助工程师更好地理解建筑物的形变机理,为建筑物的设计和施工提供科学依据。

除了统计分析和数学建模,还可以使用机器学习算法对建筑物形变数据进行分析。

机器学习算法可以从大量数据中自动学习和发现规律,帮助工程师更准确地评估建筑物的形变情况。

3. 应用案例测绘技术中的建筑物形变监测与分析方法已在许多实际工程项目中得到应用。

在高铁沿线建设中,通过全站仪监测和激光扫描监测,可以及时发现高铁桥梁和隧道的形变情况,确保高铁线路的安全运营。

数学建模在建筑专业课程教学中的应用

数学建模在建筑专业课程教学中的应用

数学建模在建筑专业课程教学中的应用在当今建筑领域的快速发展中,数学建模作为一种强大的工具,正逐渐在建筑专业课程教学中发挥着重要作用。

它不仅能够帮助学生更好地理解建筑设计中的复杂问题,还能培养学生的创新思维和解决实际问题的能力。

建筑专业涉及众多学科知识,包括力学、材料学、物理学等,而数学建模则为这些知识的整合与应用提供了有效的途径。

例如,在建筑结构设计课程中,通过建立数学模型,可以精确计算建筑物在不同荷载作用下的受力情况,从而确保结构的安全性和稳定性。

以常见的框架结构为例,我们可以将框架中的梁柱视为杆件,利用材料力学和结构力学的知识,建立杆件的受力平衡方程。

通过数学建模,可以求解出各杆件的内力和变形,进而确定构件的尺寸和材料的选择。

这种基于数学模型的分析方法,比单纯依靠经验和直觉更加科学准确,能够有效提高建筑结构的质量和经济性。

在建筑热环境分析中,数学建模同样具有重要意义。

建筑物的室内温度、湿度和气流分布等因素直接影响着人们的舒适度和能源消耗。

通过建立热传递和流体流动的数学模型,可以预测不同建筑设计方案下的热环境状况,并据此优化建筑的保温隔热、通风等设计,以实现节能减排的目标。

此外,数学建模在建筑施工管理中也有广泛的应用。

在施工进度安排方面,可以利用网络计划技术建立数学模型,确定各项工作的先后顺序和时间节点,从而合理安排资源,确保项目按时完成。

同时,还可以通过建立成本控制的数学模型,对施工过程中的成本进行预测和监控,避免超支现象的发生。

在建筑专业课程教学中引入数学建模,能够显著提升学生的综合素质和能力。

首先,它有助于培养学生的逻辑思维能力。

数学建模需要学生对问题进行清晰的分析和梳理,将复杂的实际问题转化为数学语言,并建立合理的数学关系。

这个过程能够锻炼学生的逻辑推理和抽象思维能力,使他们在面对建筑设计和施工中的各种问题时能够迅速理清思路,找到解决问题的关键。

其次,数学建模能够提高学生的创新能力。

在建立模型的过程中,学生需要不断尝试不同的方法和思路,寻找最优的解决方案。

2020数学建模-古塔的变形

2020数学建模-古塔的变形

2013数学建模-古塔的变形承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》(以下简称为“竞赛章程和参赛规则”,可从全国大学生数学建模竞赛网站下载)。

我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺,严格遵守竞赛章程和参赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛章程和参赛规则的行为,我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会,可将我们的论文以任何形式进行公开展示(包括进行网上公示,在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等)。

我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写): C我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话):所属学校(请填写完整的全名):参赛队员(打印并签名) :1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名):(论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致,只是电子版中无需签名。

以上内容请仔细核对,提交后将不再允许做任何修改。

如填写错误,论文可能被取消评奖资格。

)日期: 2013 年 9 月 13 日赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):编号专用页赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):评阅人评分备注全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号):全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):对古塔变形问题的数学建模摘要中国古语有云,“救人一命胜造七级浮屠”,所谓浮屠也就是大众口中的“塔”。

在中国辽阔的大地上,古塔的踪影随处可见。

它们造型精美、结构巧妙,成为可多得的独特景观。

早起的古塔,主要是阁楼式的建筑,从唐朝经过两宋至辽、金,是我国古塔发展的高峰时期,特别是唐和两宋,古塔的建造达到了空前繁荣度,总量较以前大增,材料也更为丰富,除了木材和砖、石以外,还使用了铜、铁、琉璃等、材料上有木塔为主转为以石塔为主,平面则由四方形逐渐演变为六角和八角形。

数学建模--建筑变形问题

数学建模--建筑变形问题

第十一届“创新杯〞大学生数学建模竞赛编号专用页论文编号(竞赛组织者编写):题号:C题—建筑物的变形问题XX:学号::学院:土木与交通学院专业:土木工程:建筑物的变形问题摘要论文编号:本文针对建筑体变形问题,将数据模型化,采用替代法,用控制点代表建筑整体,用控制点的中心代表整体建筑的中心。

通过对控制点及中心点的量化研究,分析整个建筑的各种变形情况。

对于问题1,给出确定此类建筑物各层中心位置的通用方法,并对题中的建筑物算出其各层中心的具体坐标。

我们采用CAD制图软件,先确定出建筑的大体形状,建立建筑物的模型,再对各层的变形进展分析,然后确定中心点应满足的条件,最后用数据求解。

对于问题2,分析该建筑物倾斜、弯曲、扭曲等变形情况,并对其变形趋势进展研究。

我们在问题1的根底上,将建筑的变形模型化,分为随各层中心点的平动及绕中心点的定轴转动。

其中,平动表现为倾斜,而绕中心的转动又分为绕中心轴的转动和绕平面上过中心点的轴的转动。

前者表现为扭曲,后者表现为弯曲。

通过的数据对模型进展定量计算,推测其未来的变形趋势。

在分析现有数据时,我们对明显错误的数据进展了舍弃,对建筑物的突然出现的大变形进展了合理假设。

在对以上两问题研究时,我们建立模型后,仅用Excel就完成了数据的分析和对变形的预测,并未动用其它数学软件。

关键词:〔3-5个〕替代平动定轴转动绕轴转动倾斜扭转弯曲第十一届_2021_“创新杯〞数学建模竞赛建筑物的变形问题2021年5月20日目录一、问题的重述 (2)二、问题的分析 (2)三、模型假设 (2)四、建模过程 (2)1)、问题一 (2)1、建立模型 (2)2、模型求解 (3)2)、问题二 (6)〔1〕倾斜 (6)1、定义符号说明 (6)2、建立模型 (6)3、模型求解 (10)〔2〕弯曲 (11)1、定义符号说明 (11)2、建立模型 (11)3、模型求解 (12)〔3〕扭曲 (12)1、定义符号说明 (12)2、建立模型 (12)3、模型求解 (12)五、变形趋势 (13)六、建模的优缺点 (13)七、参考文献 (13)一、问题的重述高层建筑物长期承受各种荷载,会发生下沉、倾斜、弯曲、扭曲等各种变形。

基于MATLAB的古塔变形情况数学模型(2013年全国大学生数学建模大赛)

基于MATLAB的古塔变形情况数学模型(2013年全国大学生数学建模大赛)

承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》(以下简称为“竞赛章程和参赛规则”,可从全国大学生数学建模竞赛网站下载)。

我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺,严格遵守竞赛章程和参赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛章程和参赛规则的行为,我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会,可将我们的论文以任何形式进行公开展示(包括进行网上公示,在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等)。

我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写): C我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话):5448所属学校(请填写完整的全名):广东科学技术职业学院参赛队员(打印并签名) :1. 周盛友2. 佘振武3. 王杰峰指导教师或指导教师组负责人(打印并签名):康海刚(论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致,只是电子版中无需签名。

以上内容请仔细核对,提交后将不再允许做任何修改。

如填写错误,论文可能被取消评奖资格。

)日期: 2013 年 9 月 13 日赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):编号专用页赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号):全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):基于MATLAB的古塔变形情况数学模型摘要本文以MATLAB软件为核心工具,几何知识为基础,分别建立古塔的几何中心模型、变形情况模型以及变形预测模型。

在模型建立之前,首先对观察数据进行分析观察,以此确定建模目标与建模基础,通过观察发现,古塔塔身为近似正八棱台结构,从而为后续几何中心模型的建立提供了几何基础。

2013全国大学生数学建模山西赛区山西财经大学华商第43队论文----C题-古塔变形

2013全国大学生数学建模山西赛区山西财经大学华商第43队论文----C题-古塔变形

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写): C我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话):所属学校(请填写完整的全名):山西财经大学华商学院参赛队员(打印并签名) :1. 胡珺怡2. 赵萌3. 陈茜指导教师或指导教师组负责人(打印并签名):张培强日期: 2013 年 9 月 16 日赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号):全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):古塔的变形分析摘要本文针对古塔的变形这,由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用,偶然还要受地震,飓风的影响,古塔会产生各种变形,为保护古塔,文物部门需要对古塔进行观测,了解古塔的变形情况。

因为当3个观测点位于一个圆周上时,可以用图解或解析的方法确定圆心的位置;当观测点数大于3时,可以用最小二乘进行曲线拟合,计算出圆心的坐标。

本文用最小二乘法进行曲线的拟合,得到古塔各层中心点坐标。

使用线性回归,曲线拟合法,梯度下降法得到各层中心所在的直线方程。

对直线进行投影,利用曲率对古塔的变形、弯曲、扭曲进行了研究。

通过对问题一所给数据的处理分析,用matlab对其中已知数据的作图发现所给的数据呈圆形,从而建立圆形塔模型,画出相应图形。

发现题设所给的数据所画的图形拟合程度极高。

2013数学建模——古塔的变形

2013数学建模——古塔的变形

承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》(以下简称为“竞赛章程和参赛规则”,可从全国大学生数学建模竞赛网站下载)。

我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺,严格遵守竞赛章程和参赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛章程和参赛规则的行为,我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会,可将我们的论文以任何形式进行公开展示(包括进行网上公示,在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等)。

我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写): C我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话):5339所属学校(请填写完整的全名):参赛队员(打印并签名) :1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名):(论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致,只是电子版中无需签名。

以上内容请仔细核对,提交后将不再允许做任何修改。

如填写错误,论文可能被取消评奖资格。

)日期: 2013 年 09 月 16 日赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):编号专用页赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号):全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):古塔的变形数学模型摘要:本文是研究关于古塔变形类型以及变形分析的模型,用Matlab画出古塔的三维结构可以看出它是近似于正八边形的形状。

因此,问题一我们用每层各个测量点坐标的平均值作为塔每层的中心坐标,再用中心坐标的三个坐标值分别对时间t做回归来得到确定古塔各层中心位置的通用方法。

关于古塔变形的数学研究

关于古塔变形的数学研究

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》(以下简称为“竞赛章程和参赛规则”,可从全国大学生数学建模竞赛网站下载)。

我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺,严格遵守竞赛章程和参赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛章程和参赛规则的行为,我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会,可将我们的论文以任何形式进行公开展示(包括进行网上公示,在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等)。

我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写): C我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话):所属学校(请填写完整的全名):贵州电力职业技术学院参赛队员(打印并签名) :1. 林力2. 韩娅3. 陈蕾指导教师或指导教师组负责人(打印并签名):江静(论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致,只是电子版中无需签名。

以上内容请仔细核对,提交后将不再允许做任何修改。

如填写错误,论文可能被取消评奖资格。

)日期:2013 年9 月 15 日赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用):评阅人评分备注全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号):全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):基于古塔变形的分析摘要古塔建筑,其形态千奇百态,巍巍壮观。

在中国,有的塔是一个地区或一个城市的标志,如杭州雷锋塔、西安大雁塔等。

古塔变形模型分析

古塔变形模型分析

古塔变形模型分析作者:冯秋芬来源:《科技传播》2014年第03期摘要本文研究的是古塔变形的相关问题,根据给出的1986年、1996年、2009年、2011年不同的观测数据,应用垂直投影法计算出了各次测量古塔的中心坐标;在分析古塔的倾斜程度时,我们采用的是空间直线拟合的方法,对比了中心点与其余几个观测点的倾斜程度,发现该古塔经过多年洗礼,215年里并为倾斜;古塔的弯曲我们主要从古塔是否发生沉降变形来分析考虑,发现古塔有沉降迹象,在1mm~2mm之间。

在分析古塔扭曲情况时,我们将每年的中心坐标做了均值处理,假设其为定点,进而分析了每年底层同一观测点的夹角变化,由此来分析该古塔的扭曲情况,发现4年间古塔的偏移角度在0.6°左右。

关键词古塔的变形;垂直投影法;空间直线拟合;matlab计算中图分类号O29 文献标识码A 文章编号 1674-6708(2013)107-0136-021 问题分析古塔的变形问题在建筑学中已经是个很成熟的问题了,中国是个文明古国,各式古塔是先人遗留给我们的宝贵遗产,千年以来,未了保护好他们,很多人献出了生命;在这个科技发达的和平年代,国家越来越重视对其的保护,更是有很多学者多年来一直致力于古塔的变形原因研究及保护措施研究。

本文给出的数据只是一个个例,数据来源于2013年全国大学生数学建模竞赛C题,根据给出的四组数据确定古塔各层中心位置的通用方法,并计算出各次测量的古塔各层中心坐标,然后分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况、最后对塔的变形趋势做详细的分析。

在文中分析很多方法也是借鉴于其他优秀学者的研究成果,结合实际数据对此做出的分析。

2 模型假设1)不考虑古塔地基的影响,假设各种自然条件包括地震、飓风等对古塔地基无影响;2)假设此古塔建筑材料为砖; 3)忽略古塔本身的形制结构的影响。

3 模型的建立与求解3.1各层中心坐标的模型与求解由于文中附件1给出的数据1986年、1996年古塔的13层第5个观测点的数据缺失,我们做了均值化处理,将该层其余观测点的均值做其坐标,计算得出1986年第5个观测点的坐标为(566.916,522.886,52.88), 1996年第5个观测点的坐标为(569.9704,523.1144,52.796)。

关于古塔变形的数学研究

关于古塔变形的数学研究

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》(以下简称为“竞赛章程和参赛规则”,可从全国大学生数学建模竞赛网站下载)。

我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺,严格遵守竞赛章程和参赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛章程和参赛规则的行为,我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会,可将我们的论文以任何形式进行公开展示(包括进行网上公示,在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等)。

我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写): C我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话):所属学校(请填写完整的全名):贵州电力职业技术学院参赛队员(打印并签名) :1. 林力2. 韩娅3. 陈蕾指导教师或指导教师组负责人(打印并签名):江静(论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致,只是电子版中无需签名。

以上内容请仔细核对,提交后将不再允许做任何修改。

如填写错误,论文可能被取消评奖资格。

)日期:2013 年9 月 15 日赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用):评阅人评分备注全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号):全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):基于古塔变形的分析摘要古塔建筑,其形态千奇百态,巍巍壮观。

在中国,有的塔是一个地区或一个城市的标志,如杭州雷锋塔、西安大雁塔等。

古塔变形的数学分析

古塔变形的数学分析

古塔变形的数学分析古塔受到长年累月的各种外力因素影响后,容易发生各种变形,通过对古塔建立各种变形模型,以便对其变形情况进行详细的分析,为其保养、修复等工作提供必要的理论依据。

标签:古塔变形;扭曲;数学模型考虑到古塔可能的各种变形情况,本文从古塔的倾斜程度、弯曲程度、扭曲程度等变形情况进行分析。

在分析之前,管理部门通过委托测绘公司在近30天的时间里对古塔进行了四次定点测量,得到了系列数据。

1.塔的倾斜情况由于古塔最初是垂直于地面的,该塔的倾斜情况即是偏离了原来的位置有多少,根据每层的测量数据求出古塔各层的中心点坐标,这些中心点中的大多数点所在的空间直线即为倾斜直线。

先利用MATLAB软件画出第一次测量年份各层中心点的散点图(见下图),可以看出其大致排列在一条空间直线上,我们设拟合函数为:x=az+by=cz+d其中a、b、c、d为待定系数。

利用Matlab可求出该空间直线的方程为:x=0.0107z+566.6336y=-0.0072z+522.7259该直线的方向向量为s={0.0107,-0.0072,1},地面的法向量为n={0,0,1},这两向量之间的夹角即为倾斜角θ。

cosθ= ≈0.99917则arccosθ≈0.012896,即这一年的倾斜角为0.738886度。

同理可求得其他年份的倾斜直线、倾斜角。

2.分析古塔的弯曲情况我们可以用塔的中心点的弯曲情况来表示塔的弯曲变形情况,由于中心点弯曲变形,直接利用Matlab进行拟合空间曲线难度较大,考虑到塔的中心点大多在塔中心的倾斜线所在的垂面内,所以可以在此垂面内重新建立平面直角坐标系,将空间曲线拟合问题转化为平面内的曲线拟合问题,用第一层的中心点为坐标原点,假定各层的中心点都能投影在古塔倾斜直线的投影所成的那条直线上(个别中心点偏离引起的误差忽略不计),并以该直线为轴,以第一层的中心点为坐标原点,平行于轴的直线为轴建立一个新的直角坐标系,则可以得到各观测点在新坐标系下的坐标。

建筑结构力学问题的数学建模与分析

建筑结构力学问题的数学建模与分析

建筑结构力学问题的数学建模与分析建筑结构力学问题的数学建模与分析一直是建筑工程领域的重要研究方向。

通过数学建模,可以更好地了解和分析建筑结构在受力状态下的性能和行为。

本文将从数学建模的角度出发,探讨建筑结构力学中的一些典型问题及其分析方法。

一、弹性力学模型的建立弹性力学模型是建筑结构力学问题中最为基础和常用的模型之一。

弹性力学模型的建立涉及到材料力学的知识,以及应力、应变和位移之间的关系。

通过建立弹性力学模型,可以分析建筑结构在受力过程中的变形和应力分布情况,进而评估其受力性能和安全性。

以简支梁为例,假设其材料为线弹性材料,可以通过弹性模量和横截面惯性矩等参数来描述材料的力学性质。

根据杨氏弹性模量、横截面积和长度等参数,可以建立梁的弹性力学模型,并通过数学方程来描述其受力状态和变形情况。

进一步分析这些方程的解及其特征,可以得到梁的应力分布、挠度和刚度等重要参数,为建筑设计和工程施工提供理论依据。

二、静力平衡的模拟与分析静力平衡是建筑结构力学分析的重要基础,通过建立静力平衡方程可以分析建筑结构受力平衡的条件和力学性能。

在实际工程中,建筑结构的受力分析常常涉及到多个力和力矩的作用,通过建立力的叠加原理和力矩的平衡条件,可以完成对建筑结构受力平衡的模拟与分析。

以三维空间中的刚性结构为例,可以分析力和力矩的平衡条件,建立受力平衡方程组,并通过求解方程组得到未知力和力矩的数值。

通过受力分析可以得到结构的受力平衡状态,以及各个节点和构件的内力分布情况。

这对于建筑结构设计和工程施工具有指导意义,可以保证结构在受力状态下的稳定性和安全性。

三、振动问题的数学建模与分析振动问题是建筑结构力学分析中的一个重要问题,通过数学建模和分析可以描述结构在振动状态下的动力特性和响应行为。

在地震、风荷载等自然灾害或外力的作用下,建筑结构的振动特性对于工程安全至关重要。

以简谐振动为例,可以通过建立质点和弹簧的等效模型,以及考虑振动阻尼的影响,建立建筑结构振动问题的数学模型。

古塔的变形数学模型

古塔的变形数学模型

古塔的变形数学模型
刘英男
【期刊名称】《科技风》
【年(卷),期】2013(000)024
【摘要】本文针对古塔的变形问题,用八个点坐标均值的方法和CAD软件绘图测量的方法,建立了古塔各层中心坐标模型,并建立了古塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况的计算模型。

【总页数】1页(P104-104)
【作者】刘英男
【作者单位】辽源职业技术学院,吉林辽源 136200
【正文语种】中文
【相关文献】
1.古塔变形的数学模型研究 [J], 张家国
2.古塔的变形趋势数学模型 [J], 刘中宁
3.关于古塔变形研究的数学模型 [J], 唐纪芳;张子卫
4.基于数学模型的古塔变形问题研究 [J], 周千
5.基于 Matlab 对古塔变形趋势探究的数学模型 [J], 余国锋;张绍兰;刘家保
因版权原因,仅展示原文概要,查看原文内容请购买。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

第十一届“创新杯”大学生数学建模竞赛
编号专用页
论文编号(竞赛组织者编写):
题号:C题—建筑物的变形问题
姓名:
学号:
电话:
学院:土木与交通学院
专业:土木工程
邮箱:
建筑物的变形问题
摘要论文编号:
本文针对建筑体变形问题,将数据模型化,采用替代法,用已知控制点代表建筑整体,用控制点的中心代表整体建筑的中心。

通过对控制点及中心点的量化研究,分析整个建筑的各种变形情况。

对于问题1,给出确定此类建筑物各层中心位置的通用方法,并对题中的建筑物算出其各层中心的具体坐标。

我们采用CAD制图软件,先确定出建筑的大体形状,建立建筑物的模型,再对各层的变形进行分析,然后确定中心点应满足的条件,最后用数据求解。

对于问题2,分析该建筑物倾斜、弯曲、扭曲等变形情况,并对其变形趋势进行研究。

我们在问题1的基础上,将建筑的变形模型化,分为随各层中心点的平动及绕中心点的定轴转动。

其中,平动表现为倾斜,而绕中心的转动又分为绕中心轴的转动和绕平面上过中心点的轴的转动。

前者表现为扭曲,后者表现为弯曲。

通过已知的数据对模型进行定量计算,推测其未来的变形趋势。

在分析现有数据时,我们对明显错误的已知数据进行了舍弃,对建筑物的突然出现的大变形进行了合理假设。

在对以上两问题研究时,我们建立模型后,仅用Excel就完成了数据的分析和对变形的预测,并未动用其它数学软件。

关键词:(3-5个)
替代平动定轴转动绕轴转动倾斜扭转弯曲
第十一届_2014_“创新杯”数学建模竞赛
建筑物的变形问题
2014年5月20日
目录
一、问题的重述 (2)
二、问题的分析 (2)
三、模型假设 (2)
四、建模过程 (2)
1)、问题一 (2)
1、建立模型 (2)
2、模型求解 (3)
2)、问题二 (6)
(1)倾斜 (6)
1、定义符号说明 (6)
2、建立模型 (6)
3、模型求解 (10)
(2)弯曲 (11)
1、定义符号说明 (11)
2、建立模型 (11)
3、模型求解 (12)
(3)扭曲 (12)
1、定义符号说明 (12)
2、建立模型 (12)
3、模型求解 (12)
五、变形趋势 (13)
六、建模的优缺点 (13)
七、参考文献 (13)
一、问题的重述
高层建筑物长期承受各种荷载,会发生下沉、倾斜、弯曲、扭曲等各种变形。

为了解其变形情况,人们会对其进行多次观测。

现有4次观测数据,要求根据现有的数据,给出此类建筑各层中心的计算方法,并用此方法计算出各层的中心坐标。

然后分析其倾斜、弯曲、扭曲等变形情况,并对其变形趋势进行研究。

二、问题的分析
由题意可知,本题的目的是建立一个较好的数学模型,用以研究建筑物的各种变形情况。

对于问题一,首先,由已知数据着手,建立对建筑整体的模型,然后分析中心点的性质,比如每一层都随中心点平动、绕中心点转动。

以此为约束条件,建立函数模型,最后带入已知数据,求出各中心点的坐标。

对于问题二,我们用各层中心点连线的变形反映建筑的整体变形情况。

对于倾斜问题,我们以一层的中心点为相对点,用Excel表格统计出各层中心点偏离一层中心点的水平距离。

然后将水平距离和高度拟合成曲线,此曲线是倾斜与弯曲的叠加。

对第一层的点出求斜率,再化为角度值,即为建筑的倾斜程度。

将曲线减去倾斜直线,即可得到弯曲模型。

结合这四次的数据,可预测未来的变形趋势。

对于扭转问题,我们用同一层上所有点绕中心点的转角的均值表示,点在只随中心点平动而不转动的情况下的坐标可以求出,然后用三角函数求出各个转角。

由此三个数据,可对未来扭转情况进行预测。

三、模型假设
1、假设建筑的变形只由倾斜、弯曲和扭曲变形造成,不考虑其他变形。

2、假设除明显有误的数据外,其它数据都是准确的。

3、假设测量点的选取是固定的,没有变化。

4、假设各层测量的点是关于本层中心点对称的。

四、建模过程
1)问题一
1、建立模型
根据已知数据,用CAD软件画出此建筑各个点的等轴测图,并连线。

图(1):建筑物的空间形态
由模型可以看出,此建筑为塔类建筑,各层的平面均具有对称性。

在制图期间,我们发现:表格给出数据中,第13层的第5点在记录时有明显的错误。

故将其列为错误数据,在所有的步骤中,不予使用。

同时,在用到对称性的地方,对与其对称的13层1点的数据也不予使用。

2、模型求解
塔类建筑具有特殊性,其中心点的求法应该很简洁。

当塔体发生倾斜、弯曲和扭转时,中心点因倾斜和弯曲而发生空间上的移动,扭转时各点绕中心点转动,中心点不动。

而本层上的各个点在倾斜时随中心点平动,弯曲时绕过中心点的轴转动,扭转时绕中心点转动。

可以发现,由于各点是关于中心点对称的,这些变形发生后,中心点仍然在各点的中间。

由于对称,各点必在以中心点为圆心的圆上,故可取各点坐标平均值为中心点坐
标。

计算公式为:
,(1)
,(2)
,(3)
其中,分别表示中心点的坐标值,分别表示第i点的坐标值。

n为有效点个数。

各层中心点坐标计算如下:
表(1):1998年各层中心点坐标
表(2):2003年各层中心点坐标
表(3):2008年各层中心点坐标
表(4):2013年各层中心点坐标
自2008年往后,顶层只有一个观测点。

推测应该是2008年地震影响,其余三点被破坏。

2)问题二
(1)倾斜
1、定义符号说明
:第i层中心点与第一层中心点的x,y坐标差;
:第i层中心点与第一层中心点的水平距离:在图中拟合函数里用x代替
:第i层中心点距第一层中心点的高度;在图中拟合函数里用y表示。

:建筑物的倾斜角
2、建立模型
将各层中点与第一层的中点相比较,以中心点到第一层中心点的水平距离为横轴,以中心点相对于第一层中心点的高度为纵轴,用Excel软件画出散点图并拟合为曲线。

,
,
,
,(4)表(5):1998及2003年各层l与dz的值
表(6):2008及2013年各层l与dz的值
用Excel画出散点图,并拟合为多项式曲线:
图(2):1998年中心点的拟合函数
图(3):2003年中心点的拟合函数
图(4):2008年中心点的拟合函数
图(5):2013年中心点的拟合函数
此拟合函数即代表建筑物的变形函数。

3、模型求解
对各个拟合函数求导,在处的倒数即为斜率k
表(7):倾斜角值表
由表可知,1998到2003年倾斜度在极缓慢的增加,但经过2008年地震以后,建筑自身重新平衡,2008年到2013年倾斜情况不变。

故预测,今后若
不遇见地震等特殊灾害,倾斜度将保持在不变。

(2) 弯曲 1、 定义符号说明:
:建筑物的变形函数,即中心点的拟合函数。

:倾斜函数 :弯曲函数
2、 建立模型
将建筑的变形函数减去其倾斜的函数,即为建筑的弯曲函数。

建筑的变形函数已经求出,倾斜函数即为
, (6)
故有其弯曲函数的表达式:
=-, (7)
做出表现弯曲的散点图
图(6):1998年建筑弯曲情况 图(7)2003年建筑弯曲情况:
图(8):2008年建筑弯曲情况图(9):2013年建筑弯曲情况
3、模型求解
分析图表可知,建筑的底层几乎不弯曲,顶层弯曲较大。

在未来的
几年内,顶层会继续发生微微弯曲。

(3)扭曲
1、建立模型
取第一层1点在1998年到2003年的数据为例。

1998年,1层1点坐标(x,y,x),1层中心点坐标(a,b,c)。

2003年,1
点坐标A(x’,y’,z’),中心点O坐标(a’,b’,c’).98年到03年,中心点平移。

1点随中心点平移到B后,坐标为(x-a+a’,y-b+b’,z-c+c’),问
题即转化为已知三点坐标,求两边夹角的问题。

分别求出OA,OB,AB三条边的长度。

扭转角可表示为:
, (8)
2、模型求解
带入数据,有:
表(8):扭转角的值
由表可知,在正常情况下,此建筑不发生扭转变形。

03-08年发生的扭转是由地震造成的。

据此也可以预测,今后,若无地震等地质灾害的发生,此建筑不发生扭曲变形。

五、变形趋势
由模型的建立与求解,可以发现,此建筑的变形很小,即使经过地震后,建筑仍然比较稳定。

该建筑在今后不会再发生进一步的弯曲,也不会发生扭转变形,弯曲会继续发生,但幅度越来越小。

六、模型的优缺点:
此模型的优点是:构建比较简单,没有应用很强大的数学软件,也没有用到很高深的数学理论知识,过程很简单,思路很明确,期间还联系实际,成功的解决了这类问题。

当然,缺点也很明显,由于没有强大的软件支持,数据精度不够。

关于弯曲的变形趋势更是无法深入研究,只能对弯曲做大致的预测。

七、参考文献
[1] 杨开云,理论力学北京:科学出版社,2013
[2] 韩中庚,数学建模方法及其应用(第二版)[M],北京:高等教育出版社,2009.
[3] 韩中庚,数学建模方法及其应用,北京:高等教育出版社,2005.6。

相关文档
最新文档