圆锥曲线——椭圆(基础知识)

圆锥曲线——椭圆

①基础知识：

一、 第一定义：平面内 的轨迹叫椭圆。 其中 叫做椭圆的焦点（F 1 F 2）。 叫做椭圆的焦距（|F 1 F 2|）。 ★思考：|PF 1|+|PF 2|=|F1F2|时的轨迹是什么？

|PF 1|+|PF 2|<|F1F2|时呢？

二、 第二定义：平面内 的轨迹叫椭圆。 其中定直线为： 定点为： 定值为： 范围：(0＜e ＜1)。 三、标准方程。 椭圆的标准方程为： 或 （a>b>0）。 注意：标准方程说表示的椭圆及中心在坐标原点、长短轴在坐标轴上的椭圆。 如何判断焦点所在坐标轴：看分母、焦点在分母大的那一轴。

例如：x 24＋y 2

3＝1 ，两个分母分别为：4、3 。∵4＞3 又∵4是X 项的分母 ∴焦点在X 轴上。

四、参数方程

cos sin x a y b ϕ

ϕ=⎧⎨

=⎩

（ϕ为参数）

四、椭圆的简单几何性质。 ①、范围。

以焦点在X 轴的椭圆为例：

∵ x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ∴x 2a 2≤1 y 2

b

2≤1 ∴|x|≤a |y|≤b 即：-a ≤x ≤a -b ≤y ≤b

②、对称性。

关于X 、Y 轴成轴对称。 关于原点成中心对称。 ③、顶点。

坐标轴和椭圆的四个交点：A 1 、A 2 、B 1 、B 2。 长轴：|A 1A 2| 短轴：|B 1B 2|

连接B 、F 。构成RT △OBF |OB|=b |OF|=c |BF|=a ∴ a 2

=b 2

+c 2

（重要的性质） ④、离心率。

椭圆的离心率：e=c

a

（0＜e ＜1） e 越大越扁 e 越小越近圆。

⑤、扩展。

通径：过焦点且垂直于长轴。

焦半径：椭圆上一点到椭圆焦点的连线。

焦半径公式：若M （x 0,y 0） |MF 1|=a+ex 0 |MF 2|=a-ex 0

★规律及其解题方法提炼：

1．椭圆中任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .

2．过焦点弦的所有弦长中，垂直于长轴的弦是最短的弦，而且它的长为 把这个弦叫椭圆的通径．

3．求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0＜e ＜1)．

B

O

F

4．从一焦点发出的光线，经过椭圆(面)的反射，反射光线必经过椭圆的另一焦点．

5．过椭圆外一点求椭圆的切线，一般应用判别式Δ＝0求斜率，也可设切点后求导数(斜率)．

6．求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：(1)中心是否在原点，(2)对称轴是否为坐标轴．

★解题技巧

①、求椭圆的标准方程。（先确定方程为标准方程 方法如上。） 常用方法：

定义法：即根据椭圆的第一定义或第二定义 直接写出椭圆的标准方程。

待定系数法：当题目所给已知条件中不能直接写出椭圆方程时、 利用待定系数法。此时应注意 焦点的位置（X 轴 或Y 轴）假设相应方程 。如不确定焦点位置可假设方程为：mx 2＋ny 2

＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )． ②、求切线方程。

若求

在（X 0，Y 0）处的切线方程，则： 一、 设切线方程为：x 0x

a

2

＋

y 0y

b 2

＝1 。 再代入一点即可求得。

二、 建立方程组：联立切线方程 与 椭圆方程 消元后得到一个二次方程 。再利用根的判别式Δ=b 2

-4ac=0

确定系数 从而确定切线方程。

③、线系方程。

同焦距的方程 可假设为：x 2a 2+t ＋y 2

b 2+t ＝1 。

同离心率的方程 可假设为：x 2a 2＋y 2b

2＝t 2

【定义、方程的考察】

8、F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是 （ ）

A ．椭圆

B ．直线

C ．线段

D ．圆

9、设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)

0(921

>+

=+a a a PF PF ，则点P 的轨迹是（ ）

A ．椭圆

B ．线段

C ．不存在

D ．椭圆或线段

10、过椭圆4x 2+2y 2=1的一个焦点F 1的弦AB 与另一个焦点F 2围成的三角形△ABF 2的周长是 . 1、如果方程2

2

2x ky +=表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是

2、椭圆552

2=-ky x 的一个焦点是()2,0 ，那么=k 。

6、若方程x 2a 2 —y 2

a =1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是

7、椭圆

12

22

2=+

b

y a

x 和

k

b

y a

x =+

2

22

2()0>k 具有（ ）

A ．相同的离心率

B ．相同的焦点

C ．相同的顶点

D ．相同的长、短轴

【求椭圆方程】

1、已知A B C ∆的周长是18，)0,4(),0,4(B A -，求点C 的轨迹方程。

3、椭圆的一个顶点为A （2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．

4、设椭圆:

E 222

2

1x y a

b

+

=（,0a b >>）过(2,2)M ，(6,1)N 两点，O 为坐标原点，求椭圆E 的方程。

5、已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为()0,1，点31,

2M ⎛

⎫

- ⎪⎝

⎭

在椭圆上，