第10章：极小值原理及其应用

当 U (t ) 属于有界闭集，U (t ) 在边界上取值时，U 就不是任意的了，因为无法向边界外取值，这时 就不一定是最优解的必要条件。考察由 图10-1所表示的几种情况，图中横轴上每一点都表 示一个标量控制函数 u ，其容许取值范围为 。
H 0 U
H
H
H
u*
u
u*
u0
u

(b )
第十章 极小值原理及其应用
10.1 经典变分法的局限性
10.2 连续系统的极小值原理
古典变分法存在的问题
10.1 经典变分法的局限性
上面我们用经典变分法解最优控制问题时，得出了 最优性的必要条件
H 0 U
在得出这个条件时，作了下面的假定： 是一个开集； 是存在的。
1 U 是任意的，即不受限制，它遍及整个向量空间，
控制域；u(t)是在Ω内取值的任何分段连续 函数；末端时刻 t f 未知；末态 x (t f ) 自由。假设 函数f(x,u)和 (x ) 都是其自变量的连续 函数； 函数f(x,u)和 (x ) 对于x是连续可微的；
函数f(x,u)在任意有界集上对变量x满足李卜 希茨条件：当 1 为有界集时，存在一常 数ɑ>0,使得只要 x1 , x2 1 ，有
古典变分法存在的问题
10.2 连续系统的极小值原理
由于可以利用扩充变量的方法将各类最优 控制问题化为定常系统，末值型性能指标情况 下的标准形式。我们这里只就定常系统、末值 型性能指标、t f 固定、末端受约束情况下给出 极小值原理的简单证明。
连续系统的极小值原理
最优控制问题的具体形式是多种多样的， 由于可以利用扩充变量的方法将各类最优 控制问题化为定常系统，末值型性能指标 情况下的标准形式，故先研究定常系统、 末值型指标、末端自由控制问题的极小值 原理。
定理10-8 对于如下定常系统、末值型性能 指标、末端自由、控制受约束的最优控制 问题
u ( t )
min J (u ) [ x(t f )]
x(t ) f ( x, u )
x(t0 ) x0 , t [t0 , t f ]
x(t ) R n , 为系统状态向量；Ω为容许 式中
在实际工程问题中，控制作用常常是有界的。 如飞机舵面的偏角有限制，火箭的推力有限制，生 产过程中的生产能力有限制等等。一般，我们可用 下面的不等式来表示
u i (t ) M i
i 1,2,, m
这时 U (t ) u1 (t ), u2 (t ),, um (t )T 属于一个有界的闭集， 写成 U (t ) ， 为闭集。更一般的情况可用下面 的不等式约束来表示。 g U (t ), t 0
f ( x1 , u ) f ( x2 , u ) a x1 x2
u (t ) 和 则对于最优解

轨线
x (t )，必存在非零的n维向量函数λ(t)，
t f ，以及相应的最优

使得： (1) x(t)及λ(t)满足下述正则方程： H x (t ) (t ) H x
f f f
极小值原理与经典变分法相比：控制输入 受约束；最优控制使哈密顿函数取全局极 小值；极小值原理不要求哈密顿函数对控 制的可微性。
古典变分法存在的问题
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例1
式中哈密顿函数
H ( x , u , ) f ( x, u )
T
（2）x(t)及λ(t)满足边界条件与横截条件
x(t0 ) x0 (t f ) x(t f )
（3）极小值条件：哈密顿函数相对最优控制 为极小值
H ( x , u , ) min H ( x , u , )
u*
u

(c )

(a)
图10-1有界闭集内函数的几种形状
对于图10-1（a） H / u 0 仍对应最优解u 。对于 图10-1(b)H / u 0 所对应的解u 0 不是最优解，最优 解 u 在边界上。对于图10-1（c） / U 常数，由这 H u 来（这种情况称为奇异情 个方程解不出最优控制 况），最优解 u 在边界上。另外，H / U 也不一定是 存在的。例如状态方程的右端 f ( X ,U , t ) 对U的一阶偏 导数可能不连续，或由于有些指标函数，如燃料最优 控制问题中，具有下面的形式
J


tf t0
F ( X ,U , t )dt

tf t0
U dt
H ( X ,U , , t ) F ( X ,U , t ) T f ( X ,U , t ) 对U的一 这时 阶偏导数不连续。
经典变分法无法处理上面的情况，必须另辟新 的途径。极小值原理就是解决这类问题的有力工具。 用极小值原理求解控制无约束的最优控制问题和古 典变分法是完全一样的。1956年前苏联学者庞特里 雅金提出这个原理时，把它称为极大值原理，目前 较多地采用极小值原理这个名字。
u ( t )
（4）哈密顿函数相对最优轨线保持为常数。 当 t f 固定时
H [ x(t ), u (t ), (t )] H [ x(t f ), u (t f ), (t f )] const
当 t f 自由时
H [ x (t ), u (t ), (t )] 0