中考数学相似难题压轴题

1、如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB

上的点，DE AC ⊥，EF AB ⊥，FD BC ⊥，则DEF △的面

积与

ABC △的面积之比等于（ ）

A ．1∶3

B ．2∶3

C ．3∶2

D ．3∶3

2、如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°

，3BC =，4AC =，AB 的垂直平

分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（ ）

A ．32

B ．76

C ．25

6

D ．2

3.提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（BC AB =，且AC BC ≠），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．

背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．

尝试解决：

（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出.请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．

（2） 小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C 画了一条直线CD 交AB 于点D ．你觉得小华会成功吗如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由． （3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB ＝BC ＝5 cm ，

A B C

A

B C B 图 1 C B

AC ＝6 cm ，请你找出△ABC 的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．

4.如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连结CP 并延长，交AD 于E ，交BA 的延长线点F ．问：

(1) 图中△APD 与哪个三角形全等并说明理由．

(2) 求证：△APE ∽△FPA ．

(3) 猜想：线段PC 、PE 、PF 之间存在什么关系并说明理由．

5、如图1，在Rt ABC △中，90BAC ∠=°，AD BC ⊥于点D ，点O 是AC 边上一点，连接

BO 交AD 于F ，OE OB ⊥交BC 边于点E ． （1）求证：ABF COE △∽△；

（2）当O 为AC 边中点，2

AC

AB =时，如图2，求OF OE 的值；

（3）当O 为AC 边中点，AC

n

AB =时，请直接写出OF OE 的值．

6、已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD ∥BC ，P 为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且

满足AB AD

PC PQ =

（如图1所示）．

（1）当AD=2，且点Q 与点B 重合时（如图2所示），求线段PC 的长；

B

B

A

A

C O

E

D D E

O

F

图1

图2

F

（2）在图中，连结AP ．当

3

2AD =

，且点Q 在线段AB 上时，设点B Q 、之间的距离为x ，

APQ PBC

S y

S =△△，其中

APQ

S △表示△APQ 的面积，

PBC

S △表示PBC △的面积，求y 关于x 的函数解

析式，并写出函数定义域；

（3）当AD AB <，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图3所示），求QPC ∠的大小．

7、如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(80)-，，直线BC 经过点(86)B -，，(06)C ，，将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA B C '''，此时直线OA '、

直线B C ''分别与直线BC 相交于点P 、Q ．

（1）四边形OABC 的形状是 ，

当90α=°时，BP

BQ 的值是 ；

（2）①如图2，当四边形OA B C '''的顶点B '落在y 轴正半轴时，求BP

BQ 的值；

②如图3，当四边形OA B C '''的顶点B '落在直线BC 上时，求OPB '△的面积．

A

D P

C

B

Q 图1

D

A

P

C

B （Q ）

图2

图3

C

A

D

P

B Q

（3）在四边形OABC 旋转过程中，当0180α<≤°时，是否存在这样的点P 和点Q ，使

12BP BQ =

若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

8、如图，在矩形ABCD 中，AB=3,AD=1,点P 在线段AB 上运动，设AP=x ，现将纸片折叠，使点D 与点P 重合，得折痕EF （点E 、F 为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。 （1）当x=0时，折痕EF 的长为_______；当点E 与点A 重合时，折痕EF 的长为_______；

（2）请写出使四边形EPFD 为菱形的x 的取值范围，并求出当x=2时菱形的边长；

（3）令

2

y EF =，当点E 在AD 、点F 在BC 上时，写出y 与x 的函数关系式。当y 取最大值时，判断EAP 与PBF 是否相似若相似，求出x 的值；若不相似，请说明理由。

9、如图，在ABC △中，9010A BC ABC ∠==°

，，△的面积为25，点D 为AB 边上的任意一点（D 不与A 、B 重合），过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ．设DE x =，以DE 为折线将ADE △翻折（使ADE △落在四边形DBCE 所在的平面内），所得的A DE '△与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y ．

（1）用x 表示ADE △的面积；

）

（图3）

（图2）

（备用图）

（第26题）

E

D

B

C

A

A