SG08离散数学大全 集合与图论

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2010-12-31
《集合论与图论》第8讲
26
划分的加细(refinement)
划分的加细: 设A和B都是集合A的划分, 若A的每个划分块都包含于B的某个划分 块中, 则称A为B的加细. A为B的加细 ⇔ RA⊆RB
2010-12-31
《集合论与图论》第8讲
27
例14
例14: 考虑A={a,b,c}上的划分之间的加细. 解: a
2010-12-31 《集合论与图论》第8讲 5
例10(续)
tsr(R)=trs(R) =rts( R ) 自反 对称 传递 等价关系 √ √ √ √(等价闭包) str(R)=srt(R) =rst( R ) √ √ × ×
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《集合论与图论》第8讲
6
等价类(equivalence class)
z x
2010-12-31
y
《集合论与图论》第8讲 10
定理27(证明(4))
(4) U{ [x]R | x∈A } = A. 证明: (4) A=U{ {x} | x∈A } ⊆ U{ [x]R | x∈A } ⊆ U{ A | x∈A }=A. ∴ U{ [x]R | x∈A } = A. #
《集合论与图论》第8讲
例10
例10: 设 R⊆A×A 且 A≠∅, 对R依次求三 种闭包共有6种不同顺序, 其中哪些顺序 一定导致等价关系? rst( R ), rts( R ), str( R ), srt( R ), trs( R ), tsr( R )=t(s(r( R ))) 解: st( R )⊆ts( R ), sr( R )=rs( R ),… tsr( R )=trs( R )=rts( R ) str( R )=srt( R )=rst( R )
2010-12-31 《集合论与图论》第8讲 12
例11
例11: 设 A={1,2,3,4,5,8}, 求 R3 = { <x,y> | x,y∈A ∧ x≡y(mod 3) } 的等价类, 画出R3的关系图. 解: [1]=[4]={1,4}, [2]=[5]=[8]={2,5,8}, [3]={3}. #
k =0 k =0
2010-12-31 《集合论与图论》第8讲 23
n

n
Bell数表
n 1 2 3 4 5 6 7
2010-12-31
Bn 1 2 5 15 52 203 877
n 8 9 10 11 12 13 14
《集合论与图论》第8讲
Bn 4,140 21,147 115,975 678,570 4,213,597 27,644,437 190,899,322
第8讲 等价关系与序关系
内容提要 等价关系,等价类,商集 划分, 第二类Stirling数 偏序,线序,拟序,良序 哈斯图 特殊元素: 最?元,极?元,?界,?确界 (反)链
2010-12-31 《集合论与图论》第8讲 1
等价(equivalence)关系
定义 同余关系 等价类 商集 划分 划分的加细 Stirling子集数
等价类: 设R是A≠∅上等价关系,∀x∈A,令 [x]R={ y | y∈A ∧ xRy }, 称[x]R为x关于R的等价类, 简称x的等价类, 简记为[x]. [x]. 等价类性质: [x]R≠∅ ; xRy ⇒ [x]R=[y]R ; ¬xRy ⇒ [x]R∩[y]R=∅ ; U{ [x]R | x∈A } =A.
《集合论与图论》第8讲
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Stirling子集数
递推公式:
n n −1 n −1 + = k . k k k −1
剔除一个
其余分k类
加入一类
其余分k-1类
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自成一类
《集合论与图论》第8讲 22
第一、二类Stirling数
第一类Stirling数(Stirling number of the first kind): s(n,k)
《集合论与图论》第8讲
16
划分(举例)
设 ∅≠A1,A2,…,An⊂E, 则以下都是划分: Ai = {Ai,~Ai}, ( i=1,2,…,n ) Aij = {Ai∩Aj,~Ai∩Aj, Ai∩~Aj, ~Ai∩~Aj}-{∅} ( i,j =1,2,…,n ∧ i≠j ) …… A12…n = {~A1∩~A2∩… ∩~An,…, ~A1∩~A2∩… ∩~An-1∩An,… A1∩A2∩… ∩An}-{∅}. #
2010-12-31 《集合论与图论》第8讲
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Bell数(Bell number)
问题: 给n个对象分类, 共有多少种分法? n n n n = + +L+ . 答案: Bell数 Bn= ∑k 1 2 n (Eric Temple Bell, 1883~1960) n Stirling子集数(Stirling subset number) k : 把n个对象分成k个非空子集的分法个数.
2010-12-31 《集合论与图论》第8讲 15
划分(partition)
划分: 设A≠∅, A⊆P(A),若A满足 (1) ∅∉A ; (2) ∀x,y( x,y∈A ∧ x≠y ⇒ x∩y=∅ ) (3) UA = A 则称A为A的一个划分, A中元素称为划分 块(block).
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 1 127
0 1 255 3,035
10 0 1 511 9,330 34,501 42,525 22,827 5,880
2010-12-31 《集合论与图论》第8讲
例13
例13: 问A={a,b,c,d}上有多少种等价关系? 解:
4 4 4 4 B4 = + + + = 1+ (23 −1) + C42 +1 = 1+ 7 + 6 +1 = 15. 1 2 3 4
பைடு நூலகம்24
第二类Stirling数表
n\k 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 3 7 15 31 63 1 6 25 90 301 966 1 10 65 350 1,170 7,770 1 15 140 1,050 6,951 1 21 266 2,646 1 28 462 1 36 750 1 45
x
y
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《集合论与图论》第8讲
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定理27(证明(3))
(3) ¬xRy ⇒ [x]R∩[y]R=∅ ; 证明: (3) (反证) 假设∃z, z∈[x]R∩[y]R, 则 z∈[x]R∩[y]R ⇒ zRx∧zRy ⇒ xRz∧zRy ⇒ xRy, 这与¬xRy矛盾! ∴ [x]R∩[y]R=∅.
2010-12-31 《集合论与图论》第8讲 3
例9(续)
定义 R1 R2 R3 R4 R5 x与y同年生 x与y同姓 x的年龄不比 y小 x与y选修同 门课程 x的体重比y 重 自反 √ √ √ √ × 对称 传递 等价关系 √ √ × √ × √ √ √ × √ √ √ × × ×
4
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4 8
1
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2
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《集合论与图论》第8讲
3
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商集(quotient set)
商集: 设R是A≠∅上等价关系, A/R = { [x]R | x∈A } 称为A关于R的商集, 简称A的商集. 显然 U A/R = A. 例11(续): A/R3 ={ {1,4}, {2,5,8}, {3} }.
2010-12-31
《集合论与图论》第8讲
14
例12(1)
例12(1): 设A={a1,a2,…,an}, IA, EA, Rij=IA∪{<ai,aj>,<aj,ai>} 都是A上等价关系, 求对应的商集, 其中 ai,aj∈A, i≠j. ∅ A ∅是A上等价关系吗? ? 解: A/IA={ {a1}, {a2},…, {an } } A/EA={ {a1,a2,…,an } } A/Rij= A/IA∪{{ai,aj}} - {{ai},{aj}}. ∅不是A上等价关系(非自反). #
n k= 1
递推公式:
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n n n n n−1 2 n , , = 0, = 1 = 2 −1 = Cn , = 1. 0 1 2 n −1 n
n n −1 n −1 = k + . k k k −1
2010-12-31 《集合论与图论》第8讲 17
划分(举例,续)
~Ai Ai
2010-12-31
《集合论与图论》第8讲
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等价关系与划分是一一对应的
定理28: 设A≠∅, 则 (1) R是A上等价关系 ⇒ A/R是A的划分 (2) A是A的划分 ⇒ RA是A上等价关系,其中 xRAy ⇔ ∃z(z∈A ∧ x∈z ∧ y∈z) RA称为由划分A 所定义的等价关系(同块关系). #
x
2010-12-31 《集合论与图论》第8讲 8
定理27(证明(2))
(2) xRy ⇒ [x]R=[y]R ; 证明: (2) 只需证明[x]R⊆[y]R和[x]R⊇[y]R. (⊆) ∀z, z∈[x]R∧xRy ⇒ zRx∧xRy ⇒ zRy ⇒ z∈[y]R . ∴ [x]R⊆[y]R. (⊇) 同理可证. z
2010-12-31 《集合论与图论》第8讲 2