绝对值不等式

(2) 8 x 3
形状
去掉绝对 值符号后
解的含义区别
|ax+b|<c c<ax+b<c {x|ax+b>c}∩{x|ax+b<c}
|ax+b|>c
ax+b<c或 ax+b>c
{x|ax+b<c}∪{x|ax+b>c}
形如m ax b n型不等式 的解法
形如m ax b n型不等式 的解法
[例2] 解不等式3 3x 2 9.
ax b cx d与 ax b cx d 的解法
ax b cx d与 ax b cx d 的解法
[例1] 解下列不等式： (1) 3x 4 x 1； (2) 3x 4 2x 1.
ax b cx d与 ax b cx d 的解法
什么时候等号才成立呢？
a b ab a b
ab 0且 a b
ab 0
ab=0
左右边都取等号
定理变式
定理： a b a b a b
定理能不能推广到三个字母以上呢?
推论一：a1 a2 a3 a1 a2 a3
推 广：a1 a2 a3 ..... an a1 a2 a3 ..... an (n N, n 2)
宣威五中 刘彩云
1.绝对值的概念
a (a 0)
a
Hale Waihona Puke Baidu
0
(a
0)
2.|a|的几-a何(a意义0)：
数轴上表示实数a的点与原点间的距离.
3.绝对值的基本运算性质 ab a . b
4.|x|<a与|x|>a的解集
| x | a x2 a2 a x a
a a bb
| x | a x2 a2 x a或x a
练习：把下列绝对值不等式转 化为同解的非绝对值不等式。
1、|2x-3|<5x 2、|x2-3x-4|>4
3、| x-1 | > 2( x-3)
4、
x x
x2 x2
5、| 2x+1 |> | x+2 |
证明:∵-|a|≤a≤|a|， -|b|≤b≤|b|
∴-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b| ∴|a+b|≤|a|+|b|
a b ab
第二部分的证明
a b ab
证明: a a b b a (a b) (b) a b b a b b a ab b a b ab
[例1] 解下列不等式： (1) 3x 4 x 1； (2) 3x 4 2x 1.
结论：可以用整体法的思想把cx+d 看作一个整体，套用题形二的结论.
定理证明
定理： a b a b a b
分析: 此定理包括两部分 a b a b a b ab
第一部分的证明
ab a b
定理能不能再变形了呢？
变形:把定理中的b换为-b,定理可变为
推论二：|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|
变形:把定理中的a换为b,b换为a,定理可变为
a,b满足什么 条件时取等
号
|b|-|a|≤|a+b|≤|a|+|b|
变形:结合定理和变形又可变式为
︱|a|-|b|︱≤|a+b|≤|a|+|b|
方法1：几何意义 方法3：函数的观点
方法2：去绝对值
解不等式
x2 x3 7
2x 4 3x 3 7
巩固练习：
求下列不等式的解集
① |2x+1|<5 ② 3|1-4x|>9
（-3，2） （-∞，-1/2）∪（1，+ ∞）
③ |4x|<-1
④ |x2-5x|>-6 R
⑤ 3<| 2x+1 | <5 （-3，-2）∪（1，2）
ax b c与 ax b c(c 0) 的解法
ax b c与 ax b c(c 0) 的解法
[例1] 解下列不等式：
(1) 1 x 1 2 2
(2) 8 x 3
ax b c与 ax b c(c 0) 的解法
[例1] 解下列不等式：
(1) 1 x 1 2 2
2.求上述函数的值域。
9.已知三个关于x的方程: x2 4ax 4a 3 0, x2 (a 1)x a2 0, x2 2ax 2a 0中至少有一个方程有实数 根, 求 实 数a的 取 值 范 围.
类型2
x a x b c和 x a x b c
例：
x 1 x 2 5
更为严格的变形 a b a b a b
定理应用
a b ab a b
a b ab a b
例1. 已知 x , y , z ,
3
6
9
求证 x 2 y 3z
例2.求函数 f (x) x 1 x 2 最小值 。
变题1：求函数 f (x) x 1 x 2最小值 。 变题2: 1.求函数 f (x) x 1 x 2最大值 。