巴蜀中学2020届高考适应性月考卷理科数学(六)

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重庆市巴蜀中学2020届高三高考适应性月考卷(六)数学(文)试题与答案

巴蜀中学2020届高考适应性月考卷（六）文科数学注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}2|10A x x =->，{}0,1,2,3B =，则()R C A B =I （）A. {}2,3B. {}0,1C. []1,1-D. ()(),11,-∞-+∞U 2. 设复数1z i =+，则34z i=+（） A. 725i + B.725i - C. 1725i -- D. 1725i -+ 3. 在等差数列{}n a 中，若21336a a +=，则252729a a a ++=（）A. 6B. 9C. 12D. 544. 命题“()1,1a ∀∈-，1ln cos 21a a x x e e+-≤+”的否定形式是（） A. ()1,1a ∀∈-，1ln cos 21a ax x e e +->+B. ()1,1a ∃∈-，1ln cos 21a a x x e e +-≤+C. (][),11,a ∃∈-∞-+∞U ，1ln cos 21a a x x e e +-≤+D. ()1,1a ∃∈-，1ln cos 21a a x x e e+->+ 5. 在区间[]1,5-上随机取一个实数a ，则使[]2log 0,2a ∈的概率为（） A. 13 B. 12C. 23D. 14+ 6. 函数5sin 12cos 66y x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值是（） A. 13B. 17C. -13D. 127. 若实数x ，y 满足不等式组210028000x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则z y x =-的最大值为（） A. 1B. 2C. 3D. 48. 设1l ，2l 是两条不同的直线，1α，2α是两个不同的平面，下列选项正确的是（）A. 若11l α⊥，22l α⊂，且12l l ⊥，则12αα⊥B. 若11l α⊂，22l α⊂，且12//l α，21//l α，则12//ααC. 若11l α⊥，22l α⊥，且12αα⊥，则12l l ⊥D. 若11//l α，22//l α，且12//αα，则12//l l9. 已知正实数a ，b ，则“4ab ≤”是“4a b +≤”的（）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC △为等边三角形，AB =1BB =，则三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为（）A. 64πB. 36πC. 27πD. 16π11. 已知1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，直线l ：()b y x c a=-与双曲线的一条渐近线交于点P ，且12PF PF ⊥，则双曲线的离心率为（）A.B. C. 2 D. 3 12. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()12f =，对任意的实数1x ，2x 且12x x <，()()1212f x f x x x -<-，则不等式()1f x x ->的解集为（）A. (),2-∞-B. ()2,+∞C. ()(),11,-∞-+∞UD. ()(),22,-∞-+∞U 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若向量m u r 与n r 夹角为3π，2m =u r ，()1,0n =r ，则2m n +=u r r ______.14. 在ABC △中，若BC =2AB =，3CAB π∠=，则AC =______. 15. 函数()213log 2212y x x =-++的单调递增区间为______.16. 焦点为F 的抛物线24y x =上有不同的两点P ，Q ，且满足()1PF FQ λλ=>u u u r u u u r ，若线段PQ 的中点M 到抛物线的准线的距离为83，则λ=______. 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 在数列{}n a 中，前n 项和为()*n S n N ∈，若0n a >，数列{}n S 为等比数列，126S S +=，3424S S +=.（1）求n S ；（2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 18. 某学校高三年级在开学时举行了入学检测.为了了解本年级学生寒假期间历史的学习情况，现从年级1000名文科生中随机抽取了200名学生本次考试的历史成绩，得到他们历史分数的频率分布直方图如图.已知本次考试高三年级历史成绩分布区间为[]35,95.（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生历史成绩的平均分，众数；（每组数据用该组的区间中点值作代表）（3）已知该学校每年高考有65%的同学历史成绩在一本线以上，用样本估计总体的方法，请你估计本次入学检测历史学科划定的一本线该为多少分？19. 如图，在三棱台111ABC A B C -中，AB AC ⊥，11122AB AC AA A B ====.若点M 为1CC 的中点，点N 为BC 靠近点C 的四等分点.（1）求证：//MN 平面11ABB A ；（2）若三棱台111ABC A B C -的体积为73V =，求三棱锥1A AMN -的体积.注：台体体积公式：()1'3V S S h =++，其中S ，'S 分别为台体的上下底面积，h 为台体的高. 20. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()()2,00F c c >，上顶点为P ，右顶点为Q .若2POF △（O 为坐标原点）的三个内角大小成等差数列.（1）求椭圆C 的离心率e ；（2）直线l 与椭圆交于A ，B 两点.设直线l ：65b my x =-，若AQB △面积的最大值为425，且该椭圆短轴长小于焦距，求椭圆C 的标准方程.21. 函数()21ln 12f x x ax bx =-++.（1）若函数()f x 在1x =处的切线为2y =，求函数()f x 的单调递增区间；（2）证明：对任意210x x >>时，()()121212'2f x f x x x f x x -+⎛⎫< ⎪-⎝⎭. 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】点P 的极坐标为2,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆M 的极坐标方程为4cos ρθ=.点S 为圆M 上一动点，线段PS 的中点为点N .（1）求点N 的轨迹方程1C ；（2）设线段PM 的中点为点Q ，直线l 过点Q 且与圆M 交于A ，D 两点，直线l 交轨迹1C 于B ，C 两点，求QA QD QB QC+的最小值. 23.【选修4-5：不等式选讲】已知函数()1222f x x a x a=++--. （1）当1a =时，解关于x 的不等式()8f x <；（2）已知2a ≤-，求函数()f x 的最小值.。

重庆市巴蜀中学2020届高三下学期高考适应性月考(六)数学(理)试题 Word版含解析

巴蜀中学2020届高考适应性月考卷（六）理科数学一、选择题1.已知集合{}220A x x x =+-<，集合11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =（） A. ∅B. {}1x x <C. {}01x x << D. {}20x x -<<【答案】D 【解析】【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合A ，B ，再用交集的定义求解. 【详解】{}21A x x =-<<，{0B x x =<或}1x >，所以{}20A B x x ⋂=-<<，故选：D .【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.已知复数z 满足：()11i z i +=-，其中i 是虚数单位，则z 的值为（） A. 1 B.12C. 1-D. 12-【答案】A 【解析】【分析】先通过复数的乘除运算化简复数，再求模.【详解】因为()221111i i z i i i--===-+-，所以1z =. 故选：A .【点睛】本题主要考查复数的运算和复数模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3.已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，()40.74P ξ≤=，则()02P ξ≤≤=（）A. 0.26B. 0.24C. 0.48D. 0.52【答案】B 【解析】【分析】根据随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()40.74P ξ≤=，得到2μ=，利用正态分布的对称性求解.【详解】因为随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()40.74P ξ≤=，所以()2,00.26P μξ=≤=，所以()()()020.24042P P P ξξξ≤-=≤≤≤=.故选：B【点睛】本题主要考查随机变量的正态分布，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4.已知向量()1,2a =-，()1,3b =，2,4c ，若t 为实数，()//a tb c +，则t =（）A .2B. 2-C. 4D. 4-【答案】D 【解析】【分析】根据()//a tb c +，由共线向量得到()()22341t t +=-+求解. 【详解】因为向量()1,2a =-，()1,3b =，所以()1,23a tb t t +=-++，因为()//a tb c +，所以()()22341t t +=-+，解得4t =-.故选：D .【点睛】本题主要考查平面向量的共线定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5.下列说法中，正确的有（）个. ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥； ②过球面上任意两点只能作球的一个大圆； ③三棱锥的四个面都可以是直角三角形； ④梯形的直观图可以是平行四边形. A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】【分析】举例说明.②根据平面的基本性质判断.③举例说明.④根据斜二测画法判断. 【详解】①如两个同底的三棱锥构成的六面体，不是三棱锥，故错误； ②过球面上任意两点与球心共线时，可以作球的无数个大圆，故错误；③一条侧棱垂直于底面直角三角形的一个锐角顶点的三棱锥，满足题意，故正确； ④因为平行于x 轴的线段长度不变，平行于y 轴的线段长度减半，故错误. 故选：A【点睛】本题主要考查命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的渐近线与圆()()22311x y -+-=没有交点，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（）A. 54e < B.53e < C. 513e >>D. 514e >>【答案】C 【解析】【分析】根据双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的渐近线a y x b =±与圆()()22311x y -+-=没有1>求解.【详解】因为双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的渐近线a y x b =±与圆()()22311x y -+-=没有交点，1>，解得34a b >，又因为222c a b =+，所以53e =<. 故选：C .【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质以及直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7.“ln ln x y >”是“1132x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用对数函数，指数函数和幂函数的单调性，根据逻辑条件的定义判断.【详解】由ln ln x y >，得0x y >>，此时111332x y y⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，反之1132xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立时，可以取1x =-，2y =-，不能推出ln ln x y >.故选：A .【点睛】本题主要考查逻辑条件的判断，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭满足()23f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，()06f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，那么函数()y f x =的图象（）A. 关于点7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B. 关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 关于直线712x π=-对称 D. 关于直线712x π=对称【答案】B 【解析】【分析】根据()23f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，()06f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，可得推出()()f x f x π+=，即T π=得到2ω=，再由()23f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，得到3x π=是()f x 的一条对称轴，求得()f x 再验证即可.【详解】因为()23f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，()06f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以236f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即266f x f x πππ⎛⎫⎛⎫+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以()()fx f x π+=，所以T π=，所以2ω=，因为()23f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以3x π=是()f x 的一条对称轴，所以2sin =133f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以232k ππϕπ+=+，又2πϕ<，所以6πϕ=-，所以()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 所以77sin 2012126f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 故选：B .【点睛】本题主要考查函数的基本性质以及三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9.如图是某个闭合电路的一部分，每个元件正常导电的概率为23，则从A 到B 这部分电源能通电的概率为（）A. 188243 B.55243 C. 95243D. 148243【答案】A 【解析】【分析】由并联和串联电路性质先求出从A 到B 电路不能正常工作的概率，再由对立事件的概率求解.【详解】从A 到B 电路不能正常工作的概率为1222115115511133333927243P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯-⨯=⨯=⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以从A 到B 电路能正常工作的概率为15518811243243p P =-=-=. 故选：A .【点睛】本题主要考查独立事件和对立事件的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 10.已知()121xaf x =-+是定义域为R 的奇函数，且对任意实数x ，都有()2123f x mx -+>，则m 的取值范围是（）A. 22m -<<B. 02m <<C. 44m -<<D. 2m >【答案】A 【解析】【分析】根据()121xaf x =-+是定义域为R 的奇函数，由()00f =，得到a ，再利用函数的单调性，将()()21213f x mx f -+>=恒成立，转化为210x mx -+>恒成立求解.【详解】因为()121x af x =-+是定义域为R 的奇函数所以由()00f =，得2a =，而()()21213f x mx f -+>=且()f x 单调递增，所以210x mx -+>恒成立，所以240m -<，解得22m -<<. 故选：A .【点睛】本题主要考查函数的基本性质以及不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.11.锐角ABC 的三边分别为,,a b c ，2cos a b B =，则cb的取值范围是（） A. [)1,3B. 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 3⎛ ⎝D. [)1,2【答案】D 【解析】分析】根据2cos a b B =，由正弦定理得到sin 2sin cos sin 2A B B B ==，再根据ABC 是锐角三角形，分2A B =，2A B π+=两种情况求解. 【详解】因为2cos a b B =，所以sin 2sin cos sin 2A B B B ==，因为ABC 是锐角三角形，所以当2A B =时，()0,202,202,2B B B B ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-+<⎪⎩解得64B ππ<<.所以 211sin ,42B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()()2sin 3sin sin 334sin 1,2sin sin sin B c C B B b B B Bπ-====-∈. 当2A B π+=时，B C =，得1cb=. 故选：D .【点睛】本题主要考查正弦定理以及三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12.已知单调递增的整数列{}n a 共有n 项，11a =，200n a =，且对任意的整数[]2,m n ∈，都存在整数[],1,1i j m ∈-使得m i j a a a =+（,i j 可以相等），则数列{}n a 至少有（）项. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10【答案】D 【解析】【分析】根据数列的新定义，采用验证推理的方法求解.【详解】当10n =时，数列1,2,3,5,10,20,40,80,160,200满足；若有9项，依题意22a =，12m m a a -≤，所以34a ≤，48a ≤，516a ≤，632a ≤，764a ≤，8128a ≤，而9200a =，所以8100a =，750a =，625a =，此时625816a =>+，所以5a 无法取整数；显然当8n ≤都不成立. 故选：D .【点睛】本题主要考查数列的新定义，还考查了分析推理求解的能力，属于难题. 二、填空题13.如果1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为32，则展开式中21x 的系数是______. 【答案】90- 【解析】【分析】根据1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为32，令1x =解得n ，得到其通项公式，再令x的指数为-2求解即可.【详解】令1x =，得展开式中各项系数之和为2n . 由232n =，得5n =，通项公式为(()()5355215513rrrr r rr r x x T C C ---+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭= 令5322r-=-，得3r = 所以21x 的系数是()32351390C -⨯⨯=-. 故答案为：90-【点睛】本题主要考查二项展开式的系数以及通项公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14.已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin α=______.【解析】【分析】根据1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由平方关系得到sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由角的变换得到sin sin 66ππαα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，利用两角差的正弦公式求解.【详解】因为1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故sin sin in cos cos sin 666666s ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：16【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式以及两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15.设抛物线24y x =的焦点为F ，点,A B 的抛物线上，直线AB 过焦点F ，若32BF AF -=，则AF BF 的值为______.【答案】12【解析】【分析】设直线AB 方程为()()11221,,,,x ty A x y B x y =+，联立方程组214x ty y x =+⎧⎨=⎩，再根据32BF AF -=，结合抛物线定义解得21,x x ，然后由1222px AF p BF x +=+求解. 【详解】设直线AB 方程为()()11221,,,,x ty A x y B x y =+，联立方程组214x ty y x=+⎧⎨=⎩，得2440y ty --=,所以1212044y y t y y >⎧⎪+=⎨⎪=-⎩所以()()()2121212121111ty ty t y y x y y x t ++++==+=⋅因为32BF AF -=，由抛物线定义得：2132x x -=，所以112x =，22x =，故1112212AF BF +==+.故答案为：12【点睛】本题主要考查抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16.在三棱锥A BCD -中，2AB BC BD ===，22AC AD ==，CD 23=，则三棱锥A BCD -的外接球的半径为______.【答案】5 【解析】【分析】根据2AB BC BD ===，22AC AD ==，由勾股定理得到AB BC ⊥，AB BD ⊥，从而有 AB ⊥平面BCD ，根据截面圆的性质，得到球心到平面BCD 的距离h ，在CBD 中，由余弦定理和正弦定理求得BCD 的外接圆半径r ，再利用球的半径为22R r h =+求解. 【详解】如图所示：因为2AB BC BD ===，AC AD == 由勾股定理得AB BC ⊥，AB BD ⊥，BC BD B =所以AB ⊥平面BCD ，所以球心到平面BCD 的距离为1在CBD 中，由余弦定理得2221cos 22BC BD CD CBD BC BD +-∠==-⋅，所以23CBD π∠=所以BCD的外接圆半径为122sin3=，=【点睛】本题主要考查球的外接问题，以及截面圆的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 三、解答题17.已知数列{}n a 中，11a =，()*1122n n n a a n +=-∈N . （1）求证：数列{}2nn a ⋅是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设1nn a b n =+，令{}n b 的前n 项和为n S ，求证：1n S <. 【答案】（1）证明见解析；12n n n a +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据11a =，()*1122nn n a a n +⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N ，两边同时乘以2n ，有11221n nn n a a ++⋅-⋅=，再由等差数列定义求解.（2）由（1）知112n n n a b n ==+，再利用等比数列求和公式求解..【详解】（1）∵11a =，()*1122nn n a a n +⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N ，两边同时乘以2n ，即有11221n n n n a a ++=-，即11221n n n n a a ++⋅-⋅=.又1122a =，所以数列{}2nn a ⋅是首项为2和公差为1的等差数列，所以21nn a n ⋅=+，故12n nn a +=. （2）由（1）知112n n n a b n ==+，所以111122111212n n n S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-<-.【点睛】本题主要考查等差数列的定义以及等比数列的求和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90DAB ∠=︒，2BC =，1AD =，PAB △与PAD △都是等边三角形.（1）证明：平面PBD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角A PD C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）63- 【解析】【分析】（1）取BD 的中点为O ，连接,PO AO ，根据PAB △与PAD △都是等边三角形且有公共边PA ，又1AD =，得到PO BD ⊥，再由222PO AO PA +=，得到PO AO ⊥，利用线面垂直的判定定理得到PO ⊥平面ABD ，再利用面面垂直的判定定理证明.（2）由（1）知，,,BD OA OP 两两垂直，以O 为原点，取,,OB OA OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面APD 和平面PDC 一个法向量，由二面角的向量公式求解.【详解】（1）如图所示：设BD 的中点为O ，连接,PO AO ，因为PAB △与PAD △都是等边三角形且有公共边PA ，又1AD =，所以1AD AB AP PD PB =====，所以PO BD ⊥. 在等腰直角三角形ABD 中，易知22AO =，又ABD PBD △△，所以22PO =，所以222PO AO PA +=，所以PO AO ⊥. 又BDOA O =，,BD OA ⊂平面ABD ，所以PO ⊥平面ABD .又PO ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面ABCD .（2）由（1）知，,,BD OA OP 两两垂直，以O 为原点，取,,OB OA OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图3所示的空间直角坐标系，则2,02A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，22,02C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，20,0,2P ⎛ ⎝⎭. 设平面APD 一个法向量为()1111,,n x y z =，又22,22DA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，22,0,22DP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以1111220,22220,22x y x z +=⎪+=⎩，取11x =，得()11,1,1n =--.设平面PDC 的一个法向量为()2222,,n x y z =，又()0,2,0DC =-，2222DP ⎛= ⎝⎭，所以22220,220,x z ⎧==，取21x =，得()21,0,1n =-. 所以1211116cos ,332n n ⨯+-⨯-==⨯设二面角A PD C --的大小为,,2πθθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以126cos cos ,n n θ=-=. 【点睛】本题主要考查线面垂直，面面垂直的判定定理，二面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.19.新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，即2019新型冠状病毒.2020年2月7日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”暂命名为“新型冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”.患者初始症状多为发热、乏力和干咳，并逐渐出现呼吸困难等严重表现.基于目前流行病学调查，潜伏期为1~14天，潜伏期具有传染性，无症状感染者也可能成为传染源.某市为了增强民众防控病毒的意识，举行了“预防新冠病毒知识竞赛”网上答题，随机抽取10000人，答题成绩统计如图所示.（1）由直方图可认为答题者的成绩z 服从正态分布()2,N μσ，其中2,μσ分别为答题者的平均成绩x 和成绩的方差2s ，那么这10000名答题者成绩超过84.81分的人数估计有多少人？（同一组中的数据用该组的区间中点值作代表）（2）如果成绩超过56.19分的民众我们认为是“防御知识合格者”，用这10000名答题者的成绩来估计全市的民众，现从全市中随机抽取4人，“防御知识合格者”的人数为ξ，求()3P ξ≤.（精确到0.001）附：①2204.75s =204.7514.31=；②()2~,z Nμσ，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，()220.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501=，30.84130.595=.【答案】（1）1587人（2）0.499 【解析】【分析】（1）由频率分布直方图求得x ，z 服从正态分布()2,N μσ根据提供的数据，得到()()22,70.5,14.31N N μσ=，然后通过σ法则求解.（2）由（1）知，成绩超过56.19的概率为10.15870.8413-=，()~4,0.8413B ξ，利用二项分布公式求解.【详解】（1）由题意知：450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 因为z 服从正态分布()2,N μσ，其中70.5x μ==，()2204.75D σξ==，14.31σ=，∴z 服从正态分布()()22,70.5,14.31N N μσ=，而()()56198481068.6..2P z P z μσμσ-<<+=<<=， ∴()10.682684.810.15872P z -≥==， ∴竞赛成绩超过84.8的人数估计为0.1587100001587⨯=人. （2）由（1）知，成绩超过56.19的概率为10.15870.8413-=，而()~4,0.8413B ξ，∴()()44431410.841310.5010.499P P C ξξ≤=-==-⋅=-=.【点睛】本题主要考查频率分布直方图估计总体，正态分布以及二项分布的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，过原点O 作圆()()22:8R x a y b -+-=的两条切线，切点分别为,A B ，圆心R 的轨迹为C .（1）若AOB ∠为钝角，求四边形OARB 的面积的取值范围；（2）设OA 与OB 的斜率分别为12,k k ，且1212k k =-，OA 与OB 交轨迹C 于,M N ，求22OM ON +的值.【答案】（1）()0,8（2）36 【解析】【分析】（1）设AOR θ∠=，则,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.根据AR =得到OA =，再由2OARB OARS S =△求解.（2）根据1:OA y k x =与圆R=，整理得()222118280a k abk b --+-=，同理()222228280a k abk b --+-=，得到12,k k 是方程()2228280ak abk b --+-=的两根，再由 1212k k =-得到圆心的轨迹方程，由点()11,M x y ，()22,N x y ，在轨迹C 上，结合1212k k =-，由()()2222221122OM ON x y x y +=+++求解.【详解】（1）设AOR θ∠=，则,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭. AR =OA =，()820,8tan OARB OAR S S θ==∈△.（2）由于1:OA y k x =与圆R=，整理得()222118280a k abk b --+-=，同理()222228280a k abk b --+-=，故12,k k 是方程()2228280a k abk b --+-=的两根.所以21228182b k k a -==--，整理得(2212412a b a +=≠±，故轨迹C的方程为(2212412x y x +=≠±.设()11,M x y ，()22,N x y ，由1212k k =-，得121220y y x x +=①，又221112412x y +=，所以2211242x y =-，同理2222242x y =-，则()()()2222222212121212242242448576x x y y y yy y =--=--+，将①代入得221212y y +=.所以()()()()22222222112212242436OM ON x y x y y y +=+++=-+-=.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法以及直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21.已知函数()()22ln 1f x x x a x=+-.（1）证明：1ln 1x x≥-+；（2）（i ）证明：当102a <<时，对任意0,1a x a ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，总有()0f x >；（ii ）讨论函数()f x 的零点个数.【答案】（1）证明见解析（2）（i ）证明见解析（ii ）当0a ≤或12a =时，函数()f x 有唯一零点；当0a >且12a ≠时，函数()f x 有两个零点【解析】【分析】（1）()()1ln 10g x x x x=+->，用导数法求得最小值大于零即可。

【精准解析】重庆市巴蜀中学2020届高三下学期高考适应性月考(六)数学(理)试题

）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
利用对数函数，指数函数和幂函数的单调性，根据逻辑条件的定义判断.
【详解】由 ln
x
ln
y
，得
x
y
0
，此时
1 x 3
1 y 3
1 2
y
，
反之
1 3
x
1 2
y
成立时，可以取
x
1 ，
【点睛】本题主要考查数列的新定义，还考查了分析推理求解的能力，属于难题.
二、填空题
13.如果
3
x
1 x
n
的展开式中各项系数之和为 32 ，则展开式中
1 x2
的系数是______.
【答案】 90
【解析】
【分析】
根据
3
x
1 x
n
的展开式中各项系数之和为
32
，令
x
1
解得
n
，得到其通项公式，再令
x
的指数为-2 求解即可.
188
A.
243 95
C.
243
【答案】A
55
B.
243 148
D.
243
【解析】
【分析】
由并联和串联电路的性质先求出从 A 到 B 电路不能正常工作的概率，再由对立事件的概率求
解.
【详解】从 A 到 B 电路不能正常工作的概率为
P1
1
2 3
2 3
1
2 3
1
1 3
1 3
5 9

2020届重庆市巴蜀中学高三高考适应性月考数学(理)试题Word版含解析

2020届重庆市巴蜀中学高三高考适应性月考数学（理）试题一、单选题1．已知α是第二象限角，且sin 45α=，则cosα＝（） A ．45 B ．45- C ．35 D ．35- 【答案】D【解析】通过同角三角函数的平方关系，结合α是第二象限角，cosα为负值，直接代入解得答案.【详解】∵α是第二象限角，且sin 45α=，可得3cos 5α==-, 故选：D .【点睛】本题考查同角三角函数关系，注意象限角的符号即可，属于基础题.2．集合A ＝{x |（x ﹣1）（x ﹣7）≤0}，集合B ＝{x |x ＝2k +1，k ∈N }，则A ∩B ＝（）A ．{1，7}B ．{3，5，7}C ．{1，3，5，7}D ．{1，2，3，4，5，6，7}【答案】C【解析】先求出集合A 与B ，求出两集合的交集即可．【详解】 ∵集合()(){}{}|=17017|Ax x x x x ≤≤≤＝﹣﹣，集合B ={x |x =2k +1,k ∈Z }，∴A ∩B ={1，3，5，7}，故选：C .【点睛】本题考查集合的运算，此类题目一般比较简单，只需将两集合解出，再进行交并补运算即可求解.3．向量a =r （1，2），b =r （2，λ），c =r （3，﹣1），且（a b +r r ）∥c r，则实数λ＝（）A ．3B ．﹣3C ．7D ．﹣7【答案】B 【解析】向量a r ，b r ，计算可得a b +r r ，再由c r 和（a b +r r ）∥c r ，代入向量平行的性质公式计算，即可求解.【详解】根据题意, 向量=a r （1，2），=b r （2，λ），则()=32+a b λ+，r r ， c =r （3，﹣1），且（a b +r r ）∥c r ,则有()()3132+0λ⨯--=，解可得=3λ-，故选：B .【点睛】本题考查平面向量的坐标运算和平行的性质，属于平面向量常考题型.4．已知随机变量X 服从正态分布N （3，σ2），且P （x ≤1）＝0.1，则P （3＜X ≤5）＝（）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4 【答案】D【解析】根据已知随机变量X 服从正态分布N （3，σ2），得到正态分布曲线关于=3x 对称，又根据题目P （x ≤1）＝0.1，由对称性可得()50.1P x ≥＝，因此得到P （1≤X ≤5）的值，再乘12即为所求. 【详解】∵随机变量X 服从正态分布N （3，σ2），∴正态分布曲线关于=3x 对称，又P （x ≤1）＝0.1，∴()50.1P x ≥＝，∴()()510.1235==0.422P X P X ≤≤-⨯≤1＜＝，故选：D【点睛】本题考查正态分布概率问题，此类问题通常根据正态分布曲线的对称性质推导求解，属于基础题.5．函数πsin(2)3y x =-的图象的一条对称轴方程为（） A ．π12x =B ．π12x =-C ．π6x =D ．π6x =- 【答案】B 【解析】试题分析：令232x k πππ-=+，即5212k x ππ=+()k Z ∈，当1k =-时，12x π=-，故选B. 【考点】1、两角差的正弦函数；2、正弦函数的图象与性质.6．定义H （x ）表示不小于x 的最小整数，例如：H （1.5）＝2，对x ，y ∈R ，则下列正确的是（）A ．H （﹣x ）＝﹣H （x ）B ．H （2﹣x ）＝H （x ）C ．H （x +y ）≥H （x ）+H （y ）D ．H （x ﹣y ）≥H （x ）﹣H （y ）【答案】D【解析】根据题意，可用特殊值法进行逐一排除，最后得到正确选项.【详解】∵定义H （x ）表示不小于x 的最小整数， A 选项，令()()1.5, 1.5=11.5=2x H H =----，，显然错误， B 选项，令()()3,233x H H =-≠，显然错误，C 选项，令()()()1.5, 2.5,=4=5x y H x y H x H y ==++，，故错误，D 选项根据排除法，因此正确，故选：D .【点睛】此类问题属于定义新概念题型，根据定义去判断各个推论是否正确，此类问题最快速的办法是举特例进行排除，可快速锁定答案，属于中等题.7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b +c ＝acosB +acosC ，则A ＝（）A ．2πB ．3πC ．6πD ．23π 【答案】A【解析】由题意代入余弦定理，可得到三边a ，b ，c 的等式，化简可得222a b c =+，从而得到△ABC 为直角三角形，A 为直角.【详解】由b +c ＝acosB +acosC ，根据余弦定理可得，22222222a c b a b c b c a a ac ab+-+-++＝， 22222222a c b a b c b c c b+-+-++＝， ()()()2332a b c bc b c b c b c bc +++-++＝()()()()222=2a b c bc b c b c b bc c bc +++-+-+，进一步化简可得222a b c =+∴△ABC 为直角三角形，2A π＝. 故选：A .【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查运算求解能力，通过余弦定理找到各边之间的关系，然后推导出角的大小，属于中等题.8．对任意x ∈R ，存在函数f （x ）满足（）A ．f （cosx ）＝sin 2xB ．f （sin 2x ）＝sinxC ．f （sinx ）＝sin 2xD ．f （sinx ）＝cos 2x 【答案】D【解析】根据题意，对任意x ∈R ，存在函数f （x ）满足，对选项逐一判断即可.【详解】对于A 选项，取x =4π,则cos x =2,sin2x =1,∴f (2)=1；取x =4π-,则cos x x =-1,∴f ()=-1；∴f (2)=1和-1，不符合函数的定义，故不满足题意；对于B 选项，取x =0,则sin2x =0,∴f (0)=0；取x =2π,则sin2x =0,∴f (0)=1；∴f (0)=0和1，不符合函数的定义，故不满足题意；对于C 选项，取x =4π,则sin x ,sin2x =1,∴f )=1；取x =34π,则sin x =2,sin2x =-1,∴f (2)=-1；∴f (2)=1和-1，不符合函数的定义，故不满足题意；对于D 选项，∵22=12sin cos x x -,∴f （sinx ）＝cos 2x ＝212sin x -，即对任意x ∈R ，存在函数f （sinx ）＝cos 2x ，只有D 选项满足题意.故选：D .【点睛】本题考查三角函数二倍角公式和函数的解析式，需要对公式和概念的熟练掌握，属于简单题.9．在三棱锥S ﹣ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且SA ＝2，AB ＝1，BC =S ﹣ABC 外接球的表面积为（）A ．4πB ．6πC ．8πD ．10π【答案】C【解析】由勾股定理可得AC ，求得△ABC 外接圆的半径，从而再利用勾股定理可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥S -ABC 的外接球的表面积．【详解】∵AB ⊥BC ，AB ＝1，BC =∴由勾股定理可得AC =2，∴AC 是△ABC 外接圆的直径，∴△ABC 外接圆的半径为r =1，∵SA ⊥平面ABC ，且SA ＝2，设球心到平面ABC 的距离为d ,则由勾股定理可得2222211(2)R d d =+=+-，∴22=1R d =，，∴三棱锥S −ABC 的外接球的表面积为248R ππ=.故选：C .【点睛】本题考查几何体外接球的表面积，此类问题常常先求底面的外接圆半径，再与球心到底面距离、球的半径运用勾股定理求解，属于中等难度题型.10．已知AB u u u r •AC =u u u r 0，|BC |＝4，P 是三角形ABC 平面内任意一点，且满足|PA u u u r |＝1，则PB u u u r •PC uuu r 的最小值是（）A ．﹣4B ．﹣3C ．﹣2D ．﹣1 【答案】B【解析】利用已知0AB AC ⋅=u u u r u u u r，得到AB AC ⊥，|BC |＝4，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，再根据P 点满足|PA u u u r |＝1，设P 点坐标为()cos sin P θθ，，代入点坐标计算PB PC ⋅u u u r u u u r ，再根据辅助角公式和坐标之间的关系可得PB PC ⋅u u u r u u u r 的取值范围，从而得解.【详解】∵0AB AC ⋅=u u u r u u u r，∴AB AC ⊥，建立如图直角坐标系，设()()()0,00,,0A B y C x ，，，又|BC |＝4，∴2224x y += ∵|PA u u u r|＝1，∴设()cos sin P θθ，， ()()cos sin cos sin B P y x P C θθθθ⋅=--⋅--，，u u u r u u u r22cos +cos sin +sin x y θθθθ=--()+1θϕ=-()4cos +1θϕ=--,∵()1cos 1θϕ-≤-≤,35PB PC -≤⋅≤u u u r u u u r ,故最小值为3-，故选：B .【点睛】本题考查向量积的最值问题，通常建立直角坐标系，设未知数，得到各个向量的坐标，运用坐标运算计算出含有未知量的解析式，再进一步运用函数思想找出取值范围，属于中等题.11．已知f （x ）＝sin （ωx 6π+）（ω∈Z ）x ∈（0，3π]时f （x ）12=有唯一解，则满足条件的ω的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】D 【解析】对ω进行分类讨论，当0>ω，通过0,,3x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦可确定6x πω+的范围,636ππωπ⎛⎤+ ⎥⎝⎦，由f （x ）12=，得到2,233πωππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，从而得到[)2,6ω∈，再根据ω∈Z ，可得ω的值；当0ω<时,同理可得ω的值.【详解】当0>ω时,0,,,,36636x x ππππωπω⎛⎤⎛⎤∈∴+∈+ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦Q 513,3666πωπππ⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭， ∵()12f x =有唯一解， 2,233πωππ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，[)2,6ω∈，又,2,3,45,Z ωω∈∴=，当0ω<时,0,,,,36366x x πππωππω⎛⎤⎡⎫∈∴+∈+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭Q 117,,3666πωπππ⎡⎫∴+∈--⎪⎢⎣⎭∴42,,(6,4]33πωππω⎛⎤∈--∈-- ⎥⎝⎦, 又,5,4Z ωω∈∴=--,综上所述, 2,3,4,5,5,4ω=--故选：D .【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，函数零点与方程的根的关系，求三角函数的ω值时，利用函数图像数求出ω的范围，即可求得ω值，属于中等题.12．已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0），直线l 1：y ＝kx +t 与抛物线C 交于A ，B 两点（A 点在B 点右侧），直线l 2：y ＝kx +m （m ≠t ）交抛物线C 于M ，N 两点（M 点在N 点右侧），直线AM 与直线BN 交于点E ，交点E 的横坐标为2k ，则抛物线C 的方程为（）A ．x 2＝yB ．x 2＝2yC ．x 2＝3yD ．x 2＝4y 【答案】D【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，3344(,),(,)M x y N x y ，利用根与系数关系公式，推出12+2x x pk =，34+2x x pk =，取A 、B 中点P ，M 、N 中点Q ，则E 、P 、Q 三点共线，且所在直线方程为x =pk ，又根据E的横坐标为2k ，求解即可．【详解】如图所示,设1122(,),(,)A x y B x y ,则直线l 1：y ＝kx +t 与抛物线C 联立消去y ，可得2220,x pkx pt --=∴12+2x x pk =，设3344(,),(,)M x y N x y ,则直线l 2：y ＝kx +m 与抛物线C 联立消去y可得2220,x pkx pm --=∴34+2x x pk =，取A 、B 中点P ，M 、N 中点Q ，则E 、P 、Q 三点共线,且所在直线方程为x =pk ，∵E 的横坐标为2k ，∴22k pk p ==，，∴抛物线C 的方程为：x 2＝4y.故选：D .【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及平面几何知识，取A 、B 中点，M 、N 中点与E 三点共线,考查分析能力及转化能力，属于中档题.二、填空题13．设复数z 满足12z i =+2+i ，则|z |＝_____ 【答案】5【解析】复数方程的两边同乘1+2i ，然后利用多项式展开化简，即可确定z ，再进一步求得z ．【详解】复数z 满足212z i i=++，所以()()212=2245z i i i i i =++-++=，故5z =故答案为：5.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的模的计算，属于基础题.14．函数f （x ）＝log 13（x 2﹣2x ﹣24）的单调递增区间是_____ 【答案】（﹣∞，﹣4）.【解析】先求出函数f （x ）的定义域，确定真数部分函数的单调性，再由复合函数的单调性可知函数的单调增区间.【详解】函数的定义域为22240x x >﹣﹣，即为64{|}x x x -＞或＜，令2224t x x =﹣﹣，则原函数13y log t ＝，因为13y log t ＝在（0，+∞）单调递减， 2224t x x =﹣﹣在（-∞，-4）单调递减，在（6，+∞）单调递增，由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为（-∞，-4），故答案为：（-∞，-4）.【点睛】本题考查复合函数单调性，复合函数单调性的判断遵循“同增异减”的判断法则，前提是先求定义域，然后找出中间函数的单调区间，再判断复合函数的单调区间即可，属于基础题. 15．sin 20°+2sin 20°cos 40°＝_____.【答案】2. 【解析】利用20301040301==0+︒︒︒︒︒︒-，进行角的转化，再利用和差公式化简即可求解. 【详解】sin 202sin 20cos 40︒︒︒+()()()=sin 30102sin 3010cos 3010︒︒︒︒︒︒--++()()=sin 301012cos 3010︒︒︒︒⎡⎤-++⎣⎦()()sin 12sin30cos10cos3010cos30cos102sin30sin10︒︒︒︒︒︒︒︒-+=-()1cos10101sin10n 2︒︒︒︒⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭1cos1010cos102︒︒︒︒=+1310sin10cos10sin1010cos1022sin ︒︒︒︒︒︒--sin 20cos 0in 202+s ︒︒︒-==【点睛】本题为计算题，主要考察正余弦和差公式的灵活应用，此类问题中非特殊角三角函数化简求值，如20°、40°等角度，一般找出与特殊角的和差关系，再利用和差公式化简即可，属于中等题. 16．已知函数f （x ）＝lnx 1x ++a ，f ′（x ）是f （x ）的导函数，若关于x 的方程f ′（x ）1f x x -=+（）0有两个不等的根，则实数a 的取值范围是_____【答案】（﹣∞，14-ln 2）【解析】根据题意可得f ′（x ），代入关于x 的方程f ′（x ）()1f x x -=+0，方程有2个交点转化为y ＝121x --lnx 1x -与y ＝a 有两个不同的交点，则令g （x ）＝121x --lnx 1x-，求导研究g （x ）的图象从而可得a 的取值范围. 【详解】根据题意可得，f ′（x ）22111x x x x-=-=，x ＞0 ∵关于x 的方程关于x 的方程f ′（x ）()1f x x -=+0有两个不相等的实数根，∴221x x-=lnx 1x ++a 有两个不相等的实数根， ∴y ＝121x --lnx 1x-与y ＝a 有两个不同的交点；令g （x ）＝121x --lnx 1x-， ∴g ′（x ）()()23233212112x x x xx x x x x -+-+=-+==-，令g ′（x ）＝0，x ＝2或﹣1（舍负）；令g ′（x ）＞0，0＜x ＜2；令g ′（x ）＜0，x ＞2； ∴g （x ）的最大值为g （2）＝114--ln 21124-=-ln 2； ∴a 14-＜ln 2；∴a 的取值范围为（﹣∞，14-ln 2）. 故答案为：（﹣∞，14-ln 2）. 【点睛】本题主要考查导数的运算、导数在函数中的应用、函数零点等基础知识，考查了转化能力、运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想方法，属于较难题．三、解答题17．已知函数f （x ）＝sinxcosx cos 2x +1 （1）求f （x ）的最小正周期和最大值，并写出取得最大值时x 的集合；（2）将f （x ）的函数图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到的函数g （x ）是偶函数，求φ的最小值. 【答案】（1）最小正周期为T =π，f （x ）取得最大值为2，此时x 的集合为{x |x ＝kπ12π+，k ∈Z }.（2）12π【解析】（1）由三角函数公式化简可得f （x ）＝sin （2x 3π+）+1，由此可得最小正周期及最大值，由当且仅当2x 3π+=2kπ2π+，k ∈Z 时，f （x ）取得最大值，解出x 的集合；（2）通过平移变换可得g （x ）=sin （2x +2φ3π+）+1，若函数g （x ）是偶函数，运用三角函数的诱导公式，令23πϕ+=2k ππ+，k ∈Z 即可，从而得到φ的最小值．【详解】（1）f （x ）＝sinxcosx +cos 2x +112=sin 2x +cos 2x +1＝sin （2x 3π+）+1，所以函数f （x ）的最小正周期为T 22π==π，当且仅当2x 3π+=2kπ2π+，k ∈Z 时，f （x ）取得最大值为2，此时x 的集合为{x |x ＝kπ12+π，k ∈Z }.（2）g （x ）＝f （x +φ）＝sin （2x +2φ3π+）+1，因为g （x ）是偶函数，所以2φ3π+=kπ2π+，k ∈Z ，即φ12=kπ12+π，k ∈Z ，所以φ的最小值为12π.【点睛】本题主要考查了利用公式化简三角函数，求三角函数的周期、最值、极值点和三角函数的图像和性质等，需要特别注意集合的书写规范，属于基础题.18．如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，E 是线段SD 上一点.（1）若E是SD的中点，求证：SB∥平面ACE；（2）若SA＝AB＝AD＝2，SC＝，且DE23DS，求二面角S﹣AC﹣E的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】（1）由题意连结BD，交AC于点O，连结OE，可证OE∥SB，SB∥平面ACE得证；（2）建立空间直角坐标系，求得平面SAC与平面ACE的法向量，代入公式求二面角的余弦值即可. 【详解】（1）证明：连结BD，交AC于点O，连结OE，∵底面ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，∵E是SD的中点，∴OE∥SB，∵SB⊄平面ACE，OE⊂平面ACE，∴SB∥平面ACE.（2）∵SA⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴SA⊥AC，在Rt△SAC中，SA＝2，SC＝2，∴AC＝2，∵AB＝AD＝2，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴BD＝以O为原点，OD为x轴，OA为y轴，过O作AS的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，O（0，0，0），D0，0），A（0，1，0），S（0，1，2），DS =u u u r（1，2），23DE DS ==u u u r u u u r（3-，2433，）， OE OD DE =+=u u u r u u u r u u u r（24333，，）， ∵BD ⊥平面SAC ，取平面SAC 的一个法向量n OD ==u u u r r0，），设平面ACE 的法向量m =r（x ，y ，z ），则024033m OA y m OE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u uv r u u u v r ，取x ＝4，得m =r （4，0，，设二面角S ﹣AC ﹣E 的平面角为θ，则cosθ19m n m n ⋅===⋅r r r r .∴二面角S ﹣AC ﹣E的余弦值为19.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，二面角的向量求法，意在考查学生的分析转化能力和计算求解能力，属于基础题.19．甲、乙两名射击运动员在进行射击训练，已知甲命中10环，9环，8环的概率分别是13，13，13，乙命中10环，9环，8环的概率分别是18，14，58，任意两次射击相互独立. （1）求甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率；（2）现在甲、乙两人进行射击比赛，每一轮比赛两人各射击1次，环数高于对方为胜，环数低于对方为负，环数相等为平局，规定连续胜利两轮的选手为最终的胜者，比赛结束，求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率【答案】（1）13（2）427【解析】（1）甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18包含“第一次10环和第二次8环”，“第一次8环第二次10环”，“第一次9环和第二次9环”这三种情况，分别求三种情况概率再求和；（2）求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率，先确定甲胜利，平局，失败的概率，恰好进行3轮射击后比赛结束情形包括两种：①当甲获得最终胜利结束3轮比赛时，由第2轮、第3轮甲连续胜利，第一轮甲没有获得胜利，算出其概率P118=；②当乙获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮、第3轮乙连续胜利，第1轮乙没有获得胜利，其概率P25=216，两情形概率之和即为所求.【详解】（1）记X表示甲运动员两次射击命中环数之和，则X＝18包含“第一次10环和第二次8环”，“第一次8环第二次10环”，“第一次9环和第二次9环”这三种情况，∴甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率为：P1211111 33333C=⨯⨯+⨯=.（2）记A i表示甲在第i轮胜利，B i表示甲在第i轮平局，∁i表示甲在第i轮失败，∴P（A i）151151384382⎛⎫=⨯++⨯=⎪⎝⎭，P（B i）13=，P（∁i）16=，①当甲获得最终胜利结束3轮比赛时，由第2轮、第3轮甲连续胜利，第一轮甲没有获得胜利，其概率P1111112228⎛⎫=⨯⨯-=⎪⎝⎭，②当乙获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮、第3轮乙连续胜利，第1轮乙没有获得胜利，其概率P21155 666216 =⨯⨯=，∴经过3轮比赛结束的概率P12154 821627P P=+=+=.【点睛】本题考查了概率的计算，第一种为已知取值，求取此值的概率，常常利用排列组合、枚举法、概率公式等方法计算，第二种需要分析判断得到结果所有的可能情况，再根据每种状况求出概率，属于中档题.20．已知椭圆E ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率e =（1）若点P （1，2）在椭圆E 上，求椭圆E 的标准方程；（2）若D （2，0）在椭圆内部，过点D 的直线交椭圆E 于M .N 两点，|MD |＝2|ND |，求椭圆E 的方程.【答案】（1）2214x y +=（2）221123x y +=【解析】（1）因为c e a ==，所以2234c a =，则2214b a =，所以222214x y b b +=，将P （1程，得b 2＝1，所以a 2＝4，可得椭圆方程；（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），设y 1＜y 2，因为2214b a =，所以椭圆的方程为222214x y b b+=，MN 的直线方程为x =+2，联立求解韦达定理，结合条件|MD |＝2|ND |，可得y 1＝﹣2y 2，所以解得1y =22y =b 2＝3，a 2＝12，求得椭圆E 的方程. 【详解】（1）因为2c e a ==，所以2234c a =，则2214b a =，所以222214x y b b +=，将P （1b 2＝1，所以a 2＝4，所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=；（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），不妨设y 1＜y 2，因为2214b a =，所以椭圆的方程为222214x y b b+=，MN 的直线方程为x =+2，联立2222214x x y b b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得，16y 2+12﹣12b 2＝0，所以y 1+y2=，y 1y 22334b -=①.因为|MD |＝2|ND |，即y 1＝﹣2y 2，所以1y =22y = 代入①，得b 2＝3，a 2＝12，所以椭圆E 的方程为221123x y +=.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，一种为根据离心率及椭圆上的点建立方程组求解，考查计算能力；另一种为已知弦长之间的关系求解，利用弦长关系转化得到纵坐标的关系，结合韦达定理即可求解，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 21．已知函数f （x ）＝()21211x x x e -+-（1）求f （x ）＞0的解集；（2）若x ∈R 时，2221mxxx e e +≥+恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）（0，+∞）（2）[12，+∞）【解析】（1）通过对f （x ）求导，可得x ∈R 时，f ′（x ）≥0，所以f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增，又f （0）＝0，x ∈（0，+∞）时f （x ）＞0，不等式得解；（2）若x ∈R 时，2221mxxxe e+≥+恒成立，不等式转化为2e 2mx ≥e x1xe +（x ∈R ），因为都是偶函数，所以只需x ∈[0，+∞）时，2e 2mxx+-e 2x﹣1≥0成立即可，构造新的函数F （x ）＝2e 2mxx+-e 2x﹣1，求导后再对导函数进行分类讨论，可得实数m 的取值范围. 【详解】（1）因为f （x ）＝()21211x x x e-+-，则f ′（x ）＝2122xxx e -；所以x ∈R 时，f ′（x ）≥0，所以f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增，又f （0）＝0，所以x∈（﹣∞，0）时，f（x）＜0，x∈（0，+∞）时f（x）＞0，∴f（x）＞0的解集为（0，+∞）.（2）因为x∈R时，2e2mx x+≥e2x+1恒成立，等价于221mx xxxeee+-≥恒成立，即2e2mx≥e x1xe+（x∈R），因为都是偶函数，所以只需x∈[0，+∞）时，2e2mx x+-e2x﹣1≥0成立即可，令F（x）＝2e2mx x+-e2x﹣1，F（0）＝0，F′（x）＝2（2mx+1）e2mx x+-2e2x＝2e2x[（2mx+1）e2mx x--1]，F′（0）＝0，令G（x）＝（2mx+1）e2mx x--1，G（0）＝0，G′（x）＝2me2mx x-+（2mx+1）（2mx﹣1）e2mx x-=（4m2x2+2m﹣1）e2mx x-①当2m﹣1≥0，即m12≥时，G′（x）≥0，所以G（x）在[0，+∞）上单调递增，又因为G（0）＝0，所以x∈[0，+∞）时，G（x）≥0，即F′（x）≥0，所以F（x）在[0，+∞）上单调递增，又因为F（0）＝0，所以x∈[0，+∞）时，F（x）≥0，所以m1 2≥时满足要求；②当m＝0，x＝1时，2e＜e2+1，不成立，所以m≠0；③当2m﹣1＜0且m≠0时，即m12＜且m≠0时，x∈122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，上单调递减，又因为G（0）＝0，所以x∈122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，时，G（x）＜0，即F′（x）＜0，所以F（x）在122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，上单调递减，又因为F（0）＝0，所以x∈122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，时，F（x）＜0，所以m12＜且m≠0时不满足要求.综上所述，实数m的取值范围是[12，+∞）.【点睛】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及不等式恒成立求参数问题，将不等式恒成立转化为构造差函数，求函数的最值是解决本题的关键，也是本题的难点，需要对导函数进一步求导和分类讨论，综合性较强，运算量较大，难度较大．22．在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线C2的参数方程为1x tcosy tsinαα=+⎧⎨=⎩（t为参数）.（1）求曲线C1的直角坐标方程和直线C2的普通方程；（2）若P（1，0），直线C2与曲线C1相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值.【答案】（1）曲线C1：x2+y2﹣4x＝0；直线C2：xsinα﹣ycosα﹣sinα＝0（2）3【解析】（1）求曲线C1的直角坐标方程需利用直角坐标与极坐标关系互化关系式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，将ρ＝4cosθ，等式两边乘ρ得ρ2＝4ρcosθ代入即可，直线C2的参数方程消去参数t即为普通方程；（2）因为P（1，0）在直线C2上，将直线C2的参数方程1x tcosy tsinαα=+⎧⎨=⎩（t为参数）代入曲线C1：x2+y2﹣4x＝0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，根据根与系数关系可得则t1t2＝﹣3，故可求|PA|•|PB|＝|t1t2|＝3.【详解】（1）曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，可得ρ2＝4ρcosθ，即为x2+y2﹣4x＝0，直线C2的参数方程为1x tcosy tsinαα=+⎧⎨=⎩（t为参数），可得xsinα﹣ycosα﹣sinα＝0；（2）因为P（1，0）在直线C2上，将直线C2的参数方程1x tcosy tsinαα=+⎧⎨=⎩（t为参数）代入x2+y2﹣4x＝0，可得（1+tcosα）2+（tsinα）2﹣4（1+tcosα）＝0，化为t2﹣2tcosα﹣3＝0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝﹣3，可得|PA|•|PB|＝|t1t2|＝3.【点睛】本题考查极坐标方程与平面直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化、求弦长关系问题，极坐标方程与平面直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化，可利用转化关系直接求解，求弦长关系问题通常借助联立二次方程，转化为根与系数关系问题求解.23．已知函数f（x）＝|x+1|+2|x﹣m|（1）当m＝2时，求f（x）≤9的解集；（2）若f（x）≤2的解集不是空集，求实数m的取值范围.【答案】（1）[﹣2，4]（2）[﹣3，1]【解析】（1）当m＝2时，函数f（x）＝|x+1|+2|x﹣2|≤9,对x分类讨论，分别在三个区间1122x x x--≤≤＜，，＞，去掉绝对值求解不等式即可求得解集；（2）若f（x）≤2的解集不是空集，转化为f（x）min≤2成立，又根据|x+1|+|x﹣m|≥|m+1|恒成立，f （x）min＝|m+1|≤2，解得﹣3≤m≤1.【详解】（1）当m＝2时，f（x）＝|x+1|+2|x﹣2|332512331x xx xx x-⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪-+-⎩，＞，，＜.∵f（x）≤9，∴3392xx-≤⎧⎨⎩＞或5912xx-+≤⎧⎨-≤≤⎩或3391xx-+≤⎧⎨-⎩＜，∴2＜x≤4或﹣1≤x≤2或﹣2≤x＜﹣1，∴﹣2≤x≤4，∴不等式的解集为[﹣2，4]；（2）∵f（x）≤2的解集不是空集，∴f（x）min≤2.∵|x+1|+|x﹣m|≥|m+1|，|x﹣m|≥0，∴f（x）＝|x+1|+2|x﹣m|≥|m+1|，当且仅当x＝m时取等号，∴|m+1|≤2，∴﹣3≤m≤1，∴实数m的取值范围为[﹣3，1].【点睛】本题考查含有绝对值不等式的解法和求参数范围问题，解含有绝对值不等式一般进行分区间讨论去掉绝对值，然后求解不等式即可；不等式恒有解求参数问题一般进行等价转化成求函数最值问题，然后通过函数最值确定参数的取值范围，属于中等题.。

2020届重庆市巴蜀中学高考适应性月考数学(理)试题Word版含解析

2020届重庆市巴蜀中学高考适应性月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|20A x x x =-->,集合1|12xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,则A B =I ( )A ．(),0-∞B ．()2,+∞C ．(),1-∞-D ．()0,∞+【答案】C【解析】化简集合A 和B ,根据交集定义,即可求得A B I . 【详解】∴ {}2|20A x x x =-->∴ 化简可得()(),12,A =-∞-⋃+∞根据指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数∴ 121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝,即01122x ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故0x < ∴ (),0B =-∞故(),1A B =-∞-I 故选:C. 【点睛】本题考查了集合的交集,在集合运算比较复杂时,可以使用数轴来辅助分析问题,属于基础题. 2．已知复数12iz i -=+(i 为虚数单位),则z 对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】化简12iz i -=+,可得()()()()1211322255i i i z i i i i ---===-++-,即可求得z 对应的点. 【详解】Q ()()()()1211322255i i i z i i i i ---===-++- ∴ z 对应的点为13,55⎛⎫- ⎪⎝⎭,故在第四象限故选:D. 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算,以及复数的基本概念的应用,其中解答中熟练应用复数的运算法则化简是解答的关键,属于基础题.3．已知实数x ,y 满足102022x y x y y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥-⎩则z x y =+的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合即可求得z x y =+的最小值. 【详解】作出可行域,由z x y =+,得y x z =-+,Q 当y x z =-+与边界直线20x y +-=重合时,z 取得最小值. ∴ 可取公共点13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭,可知min 13222z =+= 故选:B. 【点睛】本题考查线性规划的相关内容,解题关键是根据约束条件画出不等式组表示的平面区域,数形结合解决问题,属于中档题.4．命题p :2m =,命题q :直线()1120m x y m --+-=与直线230mx y m +-=垂直,则p 是q成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】Q 由直线()1120m x y m --+-=与直线230mx y m +-=垂直 ∴ 可得(1)20m m --=,即220m m --=,解得1m =-或2m =.故:由直线()1120m x y m --+-=与直线230mx y m +-=垂直不能推出:2m =∴命题p 是命题q 不必要条件Q 由2m =时直线分别是: 100x y --=,30x y +-=,此时两条直线垂直.故命题p 能推出命题q∴ 命题p 是命题q 充分条件综上所述,p 是q 充分不必要条件. 故选:A. 【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了理解能力与运算能力,属于基础题. 5．已知()tan 2πθ-=,则sin sin 2πθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为( ) A ．25B ．25-C ．25±D ．45【答案】B【解析】由()tan 2πθ-=,可得tan 2θ=-,根据诱导公式化简sin sin 2πθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,即可求得答案. 【详解】Q ()tan 2πθ-= ∴ tan 2θ=-Q sin sin cos sin 2πθθθθ⎛⎫+=⋅ ⎪⎝⎭222cos sin tan cos sin 1tan θθθθθθ==++ 22145-==-+ 故选:B. 【点睛】本考查了由诱导公式求三角函数值,能熟练使用诱导公式是解本题关键,考察了计算能力,属于基础题. 6．“辛卜生公式”给出了求几何体体积的一种计算方法:夹在两个平行平面之间的几何体,如果被平行于这两个平面的任何平面所截,截得的截面面积是截面高（不超过三次）的多项式函数,那么这个几何体的体积,就等于其上底面积、下底面积与四倍中截面面积的和乘以高的六分之一.即:()046hV S S S '=++,式中h ,S ,S ',0S 依次为几何体的高,下底面积,上底面积,中截面面积.如图,现将曲线()20y x x =≥与直线2y =及y轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周得到一个几何体.利用辛卜生公式可求得该几何体的体积V =( )A ．2π B ．πC ．2πD ．4π【答案】C【解析】根据“辛卜生公式”:()046hV S S S '=++,根据旋转体特点,结合已知,即可求得答案. 【详解】Q 根据辛卜生公式:()046hV S S S '=++ Q 根据题意可知该几何体是由,曲线()20y x x =≥与直线2y =及y 轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周得到.∴ 0S '=,22S ππ==,201S ππ=⋅=,∴ 根据辛卜生公式()220426V πππ=⨯++= 故选:C. 【点睛】本题考查了求旋转体体积,解题的关键是能够理解辛卜生公式,考查了理解能力和计算能力,属于基础题. 7．已知()f x 是R 上的偶函数,当0x ≥时,有()()3f x f x +=-,当[)0,3x ∈时,()2xf x =,则12log 192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A ．12B ．13C ．2D ．3【答案】D【解析】利用偶函数()f x 满足()()3f x f x +=-求出函数的周期,然后化简12log 192f ⎛⎫ ⎪⎝⎭,通过周期性和偶函数性质,即可求得答案. 【详解】Q 当0x ≥时,()()3f x f x +=-,∴ ()()6f x f x +=,故()f x 最小正周期:6T =.Q ()122log 192log 192f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,又Q ()f x 为偶函数故()()()222log 192log 192log 643f f f -==⨯()()2log 3226log 3log 323f f =+===故选D. 【点睛】本题考查了函数的周期性,需要掌握(+)()f m x f x =的周期为m ,当所求的变量不在所给的函数定义域内,利用函数的周期和奇偶性化简到定义域内,这是解此类型题的关键. 8．如图是一程序框图,则输出的S 值为( )A ．20222023B ．10112013C ．10102021D ．20202021【答案】C【解析】由程序框图可得111133520192021S =+++⨯⨯⨯L ,根据数列的裂项求和,即可得出答案. 【详解】由程序框图可知:111133520192021S =+++⨯⨯⨯L 1111111233520192021⎛⎫=⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭ 11120201010122021220212021⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭ 故选:C. 【点睛】本题考查数列的裂项求和,解题关键是能够理解程序框图,考查了分析能力,属于基础题.9．已知向量()2,0a =r ,向量(b =r ,向量c r满足c a b --=r r r ,则c r 的最大值为( )A B ．C ． 3D ．【答案】D【解析】设(),c x y =r ,()2,0a =r,(b =r ,则(3,c a b x y --=-r r r ,即可求得()(2233x y -+=,将c r的起点放到坐标原点,则终点在以(为圆心,,即可求得cr 的最大值.【详解】Q 设(),c x y =r ,()2,0a =r,(b =r∴ (3,c a b x y --=-r r r故c a b --==r r r即()(2233x y -+=Q将c r的起点放到坐标原点,则终点在以(为圆心,.∴c r的最大值即:圆心到原点的距离+半径,=故选:D. 【点睛】本题主要考查向量的模的最值问题,根据向量模的几何意义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题型. 10．巴蜀中学作为一所中华名校,不仅是培养学生的摇篮,也是培养教师的摇篮,每一年都有许多实习老师到巴蜀中学实习.现有甲乙等4位实习老师被分到高二年级的（1）,（2）,（3）三个班级实习.要求每个班级至少有一名实习老师,每个实习老师只能到一个班级实习,则甲不去高二（1）班,乙必须去高二（3）班实习的概率为( ) A ．736B ．16C ．29D ．772【答案】A【解析】根据题意,基本事件数234336n C A =⋅=,甲去（3）班,有222A =种,甲去（2）班,有2112225C C C +⋅=种,即可求得答案.【详解】根据题意基本事件数234336n C A =⋅=Q ①甲去（3）班,有222A =种,②甲去（2）班,有2112225C C C +⋅=种,∴ 甲不去高二（1）班,乙必须去高二（3）班实习的概率为:736P =, 故选:A. 【点睛】本题考查排列组合的简单应用.在排列组合的过程中,一般我们要注意:特殊元素优先排,相邻元素捆绑排这样一个原则.11．已知抛物线24x y =的焦点为F ,过直线2y x =-上任一点引抛物线的两条切线,切点为A ,B ,则点F 到直线AB 的距离( ) A ．无最小值B ．无最大值C ．有最小值,最小值为1D ．有最大值,【答案】D【解析】设()11,A x y ,()22,B x y ,可得2114x y =,2224x y =,即可求得A 为切点的切线方程1l 和以B 为切点的切线方程2l ,设过直线2y x =-上任一点为()00,P x y ,将()00,P x y 代入1l 和2l ,即可求得直线AB 的方程,进而求得点F 到直线AB 的距离. 【详解】设()11,A x y ,()22,B x y ,可得2114x y =,2224x y =Q 以A 为切点的切线方程为1l :()1112x y y x x -=-,即112x y x y =-——① 同理可得,以B 为切点的切线方程为2l :222x y x y =- ——② 设过直线2y x =-上任一点为()00,P x y∴ ()00,P x y 代入①②得10012002,2,2x y x y x y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以直线AB 的方程为002xy x y =-,即002x y x y =-, 又Q 002y x =-,即0122x y x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭Q AB 过定点()2,2P ,∴ 当PF AB ⊥时,()0,1F 到l 的距离的最大值为=当AB 过点F 时,距离的最小值为0故选:D . 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,综合性强,本题涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.12．已知函数()()()()()22213122x x f x a a e a x e x =---+++有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,22e +⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,11,2e ⎛⎫⎪⎝⎭U D ．11,11,22e +⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 【答案】D【解析】因为()0f x =,故()()()()222131220x x a a e a x e x ---+++=,化简为:()()()e 221e 20x xa x a x ⎡⎤⎡⎤-+--+=⎣⎦⎣⎦,即2e x x a +=,221e x x a +-=,构造函数()2ex x g x +=,求其最值即可求得实数a 的取值范围. 【详解】Q 由()0f x =,()()()()222131220x x a a e a x e x ---+++=∴ 得()()()e 221e 20x xa x a x ⎡⎤⎡⎤-+--+=⎣⎦⎣⎦,可得:2e x x a +=,221e xx a +-=, 设()2e x x g x +=,则()()1e xx g x -+'=, Q 当()0g x '>时,1x <-当()<0g x '时,1x >-∴ ()g x 在(),1-∞-上单调递增,在()1,-+∞上单调递减,故()20g -=,()()max 1e g x g =-=, 当2x >-,()0g x >.Q x →-∞,()g x →-∞,x →+∞,()0g x +→.要使方程有4个不同的零点,则0e021e 21a a a a<<⎧⎪<-<⎨⎪-≠⎩,可得11e 22a +<<,1a ≠, 故选:D. 【点睛】本题考查了函数零点问题,要将函数的求零点问题转化为求方程根的问题,就自变量取不同范围进行讨论求解这是解题关键.二、填空题13．二项式2462x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为______. 【答案】－32【解析】写出二项式2462x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开通项公式:()()462142rr r r r T C x x --+=-,即可求得答案. 【详解】Q 二项式2462x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开通项公式: ()()()46224814422rrrr r r rr T C x x C x ---+=-=-∴ 当3r =时,()()32483442232rr rC x C -=--=-∴二项式2462x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为:32-. 故答案为:32-. 【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项,解题关键是掌握二项展开式的通项公式,考查分析能力和计算能力,属基础题.14．已知函数()()()sin 2cos 202f x x x πϕϕϕ⎛⎫=+++<< ⎪⎝⎭,将()f x 的图像向右平移12π个单位后得到的函数图像关于y 轴对称,则ϕ的值为______. 【答案】512π【解析】将()()()sin 2cos 202f x x x πϕϕϕ⎛⎫=+++<<⎪⎝⎭化简可得:()24f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭, 将()f x 的图像向右平移12π个单位后得:()212g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,根据()g x 图像关于y 轴对称,即可求得答案. 【详解】Q ()()()sin 2cos 202f x x x πϕϕϕ⎛⎫=+++<<⎪⎝⎭∴ 由辅助角公式可得:()24f x x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭将()f x 的图像向右平移12π个单位后得:()212g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴ ()212g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图像关于y 轴对称 ∴()122k k ππϕπ+=+∈Z ,512k ϕππ=+,又02πϕ<<,∴0k =,512ϕπ=. 故答案为:512π. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换、及三角函数的图像变换和三角函数的性质的应用,其中根据三角恒等变换的公式,化简得到函数的解析式,掌握三角函数的图像变换和三角函数的性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.15．已知双曲线C :22221x y a b-=(0a >,0b >)的左,右焦点为1F ,2F ,以12F F 为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点P ,线段2PF 与双曲线的交点M 为2PF 的中点,则双曲线C 的离心率为______.1【解析】因为以12F F 为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点P ,故222x y c by x a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得,,x a y b =⎧⎨=⎩,求得(),P a b ,由中点坐标公式解得,22a c b M +⎛⎫⎪⎝⎭,将其代入22221x ya b-=,即可求得双曲线C 的离心率. 【详解】Q 以12F F 为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点P ,∴ 222x y c by xa ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得:,,x a y b =⎧⎨=⎩ 故(),P a b , 又Q ()2,0F c ,∴,22a c b M +⎛⎫ ⎪⎝⎭,代入双曲线方程22221x y a b-= 可得:22240c ac a +-=,化简可得2240e e +-=∴1e =-±,又1e >,∴1e =.故答案为1. 【点睛】本题考查了求双曲线离心率的问题,解题关键双曲线的几何性质及离心率的求法,数形结合是本题的关键,查分析能力和计算能力,属于中档题.16．已知数列{}n a ,满足()()*112n n na n a n +--=∈N ,{}na 的前n 项和为nS,对任意的*n ∈N ,当5n ≠时,都有5n S S <,则5S 的取值范围为______. 【答案】()5,6【解析】由()112n n na n a +--=,当1n =,得12a =.由()()1121212n n n n na n a n a na +++⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩ 可得212n n n a a a +++=,即可求得{}n a 为等差数列,结合当5n ≠时,都有5n S S <,即可求得5S 的取值范围. 【详解】Q 由()112n n na n a +--=, ∴ 当1n =,得12a =.Q ()112n n na n a +--=——①可得()1212n n n a na +++-=——②∴ 由①②得:212n n n a a a +++=,故{}n a 为等差数列.又Q 120a =>,5S 最大,则0d <,50a >,60a <,即240,250d d +>⎧⎨+<⎩1225d ⇒-<<-, 又51010S d =+,可得()55,6S ∈ 故答案为:()5,6. 【点睛】本题解题关键是根据已知条件判断出数量是等差数列,掌握数列单调性是解本题的关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.三、解答题17．已知数列{}n a ,是一个等差数列,且22a =,145a a +=,数列{}n b 是各项均为正数的等比数列,且满足:112b =,24164b b ⋅=. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; （2）求证:11222n n a b a b a b ++⋅⋅⋅+<.【答案】（1）n a n =，12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）证明见解析【解析】（1）因为{}n a 为等差数列,设公差为d ,则1112,35,a d a a d +=⎧⎨++=⎩即可求得首项和公差,即可求得{}n a .因为{}n b 为等比数列,2243164b b b ⋅==,23118b b q ==,即可求得公比,进而求得{}n b . （2）因为n a n =,12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以()23111111123122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,根据数列求和错位相减法,即可求得n T ,进而求得答案. 【详解】（1）Q {}n a 为等差数列,设公差为d ,∴1112,35,a d a a d +=⎧⎨++=⎩∴11,1,a d =⎧⎨=⎩∴()11n a a n d n =+-=.Q {}n b 为等比数列,0n b >,设公比为q ,则0q >, ∴2243164b b b ⋅==,23118b b q ==, ∴12q =,1111222n nn b -⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）令112233n n n T a b a b a b a b =+++⋅⋅⋅+,∴ ()23111111123122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭——①可得:()2311111112122222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭——②∴由①-②得:23111112211111111222222212nn n n n T n n ++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-⨯=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-,∴1112222n nn T n -⎛⎫⎛⎫=--⨯< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故11222n n a b a b a b ++⋅⋅⋅+<. 【点睛】本题考查求等差数列通项公式和数列求和.错位相减法求数列和,适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式,考查了学生的计算能力,属于基础题型.18．2019年双十一落下帷幕,天猫交易额定格在268(单位:十亿元)人民币(下同),再创新高,比去年218(十亿元)多了50(十亿元),这些数字的背后,除了是消费者买买买的表现,更是购物车里中国新消费的奇迹,为了研究历年销售额的变化趋势,一机构统计了2010年到2019年天猫双十一的销售额数据y (单位:十亿元).绘制如下表1: 表1根据以上数据绘制散点图,如图所示.(1)根据散点图判断,y a bx =+与2y cx d =+哪一个适宜作为销售额y 关于x 的回归方程类型？(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及下表中的数据,建立y 关于x 的回归方程,并预测2020年天猫双十一销售额;(注:数据保留小数点后一位)(3)把销售额超过10(十亿元)的年份叫“畅销年”,把销售额超过100(十亿元)的年份叫“狂欢年”,从2010年到2019年这十年的“畅销年”中任取3个,求取到的“狂欢年”个数ξ的分布列与期望. 参考数据:2i i t x =.参考公式:对于一组数据()11,u v ,()22,u v ,…,(),n n u v ,其回归直线$µva u β=+$的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为µ1221111ni ni u v nuvu nuβ==-=-∑∑,µµv u αβ=-$. 【答案】（1）2y cx d =+更适宜（2）$22.7 2.0y x =-，预测2020年双十一的销售额为324.7十亿元（3）答案见解析【解析】（1）根据其图像的形状,即可得出答案.（2）根据101102211010i ii i t y t ybtt =-=-=-∑∑$,a y bt =-$$,即可求得y 关于x 的回归方程,即可预测2020年天猫双十一销售额;（3）因为畅销年个数为8,狂欢年个数为4,ξ的可能取值为0,1,2,3,分别求出()0P ξ=,()1P ξ=,()2P ξ=,()3P ξ=,即可求得随机变量X 的分布列和数学期望.【详解】（1）根据其图像的形状可知,2y cx d =+更适宜.（2）1011022110677701038.5102285005702.725380148301055021110i ii i t y t ybtt =-=--⨯⨯====≈--∑∑$,$102 2.738.5 2.0ay bt =-=-⨯≈-$, ∴ $22.7 2.0y x =-,当1x =时,$324.7y =（十亿元）, ∴预测2020年双十一的销售额为324.7十亿元.（3）畅销年个数为8,狂欢年个数为4,ξ的可能取值为0,1,2,3()34384105614C P C ξ====,()2144382431567C C P C ξ⋅====, ()2144382432567C C P C ξ⋅====,()34384135614C P C ξ====,∴()1331301231477142E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了概率的求法和离散型随机变量分布列及其数学期望,在列分布列时,要弄清随机变量所满足的分布列类型,结合相应公式求出事件的概率,进而得出概率分布列以及数学期望,考查计算能力.19．已知,在ABC V 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,()sin cos ,sin p A C A =+u r,()cos sin ,sin q C A C =--r ,若1cos 22B p q +⋅=u r r .（1）求角B ;（2）若3b =,求ABC V 面积的最大值.【答案】（1）23B π=（2）4【解析】（1）因为()sin cos ,sin p A C A =+u r ,()cos sin ,sin q C A C =--r ,1cos 22Bp q +⋅=u r r 可得:222cos sin sin sin cos p q C A A C B ⋅=--=u r r,根据正弦定理可得222a c ac b ++=,即可求得答案.（2）由余弦定理:2222cos b a c ac B =+-,2293a c ac ac =++≥,则3ac ≤,根据三角形面积公式即可求得答案. 【详解】（1）Q ()sin cos ,sin p A C A =+u r ,()cos sin ,sin q C A C =--r ,1cos 22Bp q +⋅=u r r ∴ 222cos sin sin sin cos p q C A A C B ⋅=--=u r r,可得:2221sin sin sin sin 1sin C A A C B ---=-,∴ 222sin sin sin sin sin A C A C B ++=.由正弦定理:222a c ac b ++=故:2222cos a c b ac ac B +-=-=∴ 1cos 2B =-, Q 0B π<<, ∴23B π=.（2）由余弦定理:2222cos b a c ac B =+-,∴2293a c ac ac =++≥,∴3ac ≤,当且仅当a c =时,()max 3ac =,∴1sin 244ABC S ac B ac ==≤V .∴ABC V 面积的最大值为:4.【点睛】本题主要考查正弦定理,余弦定理解三角形和三角形面积公式,解题关键是利用正弦定理sin sin sin a b c A B C==边化角,再利用和角的正弦公式化简所给式子,属于基础题.20．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的两个焦点为1F ,2F ,焦距为直线l :1y x =-与椭圆C 相交于A ,B 两点,31,44P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为弦AB 的中点. （1）求椭圆的标准方程;（2）若直线l :y kx m =+与椭圆C 相交于不同的两点M ,N ,()0,Q m ,若3OM ON OQ λ+=u u u u r u u u r u u u r（O 为坐标原点）,求m 的取值范围.【答案】（1）2213x y +=（2）113m <<或113m -<<-【解析】（1）因为31,44P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为弦AB 的中点,设()11,A x y ,()22,B x y ,将其代入22221x ya b+=利用点差法,即可求得答案.（2）因为M ,Q ,N 三点共线,133OQ OM ON λ=+u u u r u u u u r u u u r , 根据三点共线性质可得:1133λ+=,则2λ=,将直线l和椭圆C 联立方程22,33y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消掉y ,结合已知,利用韦达定理即可求得答案. 【详解】（1）Q焦距为则c =设()11,A x y ,()22,B x y ,Q 31,44P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为弦AB 的中点,根据中点坐标公式可得:1232x x +=,1212y y +=-, 又Q 将其()11,A x y ,()22,B x y 代入椭圆C :22221x ya b+=∴ 2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩ ∴ 将两式作差可得:()()()()22121212120b x x x x a y y y y +-++-=, ∴()()22121222121231ABb x x y y b k x x a y y a+-==-==-+, ∴223a b =——①. Q 222a c b -=——②由①②得: 2231a b ⎧=⎨=⎩∴椭圆的标准方程为2213x y +=. （2）Q M ,Q ,N 三点共线,133OQ OM ON λ=+u u u r u u u u r u u u r∴ 根据三点共线性质可得: 1133λ+=,则2λ=设()11,M x y ,()22,N x y ,则1212033x x +=,∴122x x =-.将直线l 和椭圆C 联立方程22,33y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消掉y . 可得:()222136330kxkmx m +++-=.220310k m ∆>⇒-+>——①,根据韦达定理:122613km x x k +=-+,21223313m x x k-=+, 代入122x x =-,可得:22613km x k =+,222233213m x k--=+, ∴ ()222222363321313k m m kk --⨯=++,即()2229131m k m -⋅=-. Q 2910m -≠,219m ≠, ∴22213091m k m -=≥-——②, 代入①式得22211091m m m --+>-,即()22211091m m m -+->-, ∴()()2221910m m m --<,∴2119m <<满足②式, ∴113m <<或113m -<<-.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理解决. 21．已知函数()ln f x x x =. （1）求()f x 的单调区间与极值；（2）若不等式23ln 0322x x x e x λλ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭+对任意[]1,3x ∈恒成立，求正实数λ的取值范围. 【答案】（1）单减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()f x 的单增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,()1ef x =-极小值,无极大值.（2）127ln32λ≤【解析】（1）因为()ln f x x x =,定义域为()0,∞+,则()1ln f x x '=+,即可求得()f x 的单调区间与极值;（2）223e ln 0322x x x x x x λλ⋅⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭+,故2302x x +>,将其化简可得2233ln e 22x x x x x x λλ⎛⎫⎛⎫+⋅+≥⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()23e 2x f x x f λ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭,由（1）知()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单增,23e 2x x x λ+≥,23ln 2x x xλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤,即可求得正实数λ的取值范围.【详解】（1）Q ()ln f x x x =∴ ()1ln f x x '=+,定义域为()0,∞+,又∴()0f x '>,1e x >,()0f x '<,10e x <<.∴()f x 的单减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭,()f x 的单增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭∴()1111ln e e e e f x f ⎛⎫===- ⎪⎝⎭极小值,无极大值.（2）Q 223e ln 0322xx x x x x λλ⋅⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭+,故2302x x +>∴将223eln 0322xxx x x x λλ⋅⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭+化简可得: 2233ln e 22x x x x x x λλ⎛⎫⎛⎫+⋅+≥⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴()23e 2xf x x f λ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭. Q 2322x x +≥,0e e 1x λ>=,∴由（1）知()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单增, ∴23e 2x x x λ+≥,∴23ln 2x x x λ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,即23ln 2x x xλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤. 令()23ln 2x x h x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭=, ()223232ln 322x x x x h x x +⎛⎫-+ ⎪⎝⎭+'∴= 令()23232ln 322x k x x x x +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭+, 则()22332223322x k x x x x +'=-⎛⎫++ ⎪⎝⎭3321223322x x x x ⎛⎫+ ⎪=- ⎪ ⎪++⎝⎭29231403322x x x x x ---=⋅<⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭, ∴ ()k x 在[]1,3上单减,()751ln 052k =->,()5273ln 032k =-<, ∴()01,3x ∃∈,()00k x =且在()01,x 上,()0k x >,()0h x '>,()h x 单增,在()0,3x 上,()0k x <,()0h x '<,()h x 单减.()()(){}()()min 27ln 52min 1,3,1ln ,3ln 23h x h h h h ===∴=∴()()13h h > ∴127ln32λ≤. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用和不等式恒成立问题.对于恒成立问题,通常利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的不等关系式.着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.22．在直角坐标系xOy 中,曲线1C :22cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C :24sin 3ρρθ=-,曲线1C 与曲线2C 相交于M ,N 两点.（1）求曲线2C 的直角坐标方程与直线MN 的一般方;（2）点3,04P ⎛⎫- ⎪⎝⎭,求PM PN +. 【答案】（1）2C ：2243x y y +=-，直线MN ：4430x y -+=（2【解析】（1）将曲线1C :22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩化简为:2cos 2sin 2x y θθ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,根据22sin cos 1θθ+=消参,即可得到2C 的直角坐标方程,将1C 和2C 直角坐标方程作差,即可求得直线MN 的一般方程.（2）将MN l :34y x =+方程,改写成直线参数方程: 342x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,将其代入1C ,即可求得PM PN +.【详解】（1）1C :()2224x y -+=即2240x x y -+=. ——① 2C :2243x y y +=-——②将①-②得: MN l :4430x y -+-=,∴ 曲线2C 的直角坐标方程: 2243x y y +=-,直线MN 的一般方程为:4430x y -+=.（2）MN l :34y x =+, ∴ 3,04P ⎛⎫- ⎪⎝⎭在MN l 上, 直线MN 的参数方程为:342x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,代入1C :()2224x y -+=,整理得257016t +=,根据韦达定理: 12t t +=125716t t =⋅, ∴10t >,20t >.故:12PM PN t t +=+=. 【点睛】本题考查了极坐标和直角坐标方程.解题关键是掌握直线的标准参数方程,结合韦达定理来求线段和,意在考查学生的转化能力和计算求解能力,属于基础题.23．已知函数()122f x x x a =-++.（1）若1a =,求不等式()4f x ≥的解集;（2）证明:对任意x ∈R ,()22f x a a ≥+-.【答案】（1）[)5,1,3x ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦U （2）证明见解析【解析】（1）当1a =时,()122f x x x =-++,分别讨论1x ≤-,11x -<<和1x ≥时求解()4f x ≥,即可求得答案;（2）因为()()221f x x x a x a =-++++,根据||||||||||a b a b a b -≤+≤+即可求得答案.【详解】（1）当1a =时,()122f x x x =-++①当1x ≤-时,()1224f x x x =---≥,得53x ≤-；②当11x -<<时,()12234f x x x x =-++=+≥,得1x ≥,∴x ∈∅③当1x ≥时,()122314f x x x x =-++=+≥,得1x ≥, ∴[)5,1,3x ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦U . （2）Q ()()()22121f x x x a x a x x a x a =-++++≥---++()2121222a x a a a a a =+++≥+=+≥+-.∴ 对任意x ∈R ,()22f x a a ≥+-.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解,其中解答中合理分类讨论去掉绝对值,转化为等价不等式求解是解答的关键,着重考查了分类讨论思想,以及推理与运算能力,属于中档试题.。

2019-2020巴蜀高三下理科适应性月考六试题

所以 g(x) ≥ g(1) 0 ，即 ln x ≥ 1 1. x
（2）（ⅰ）证明：由（1）知：
………………………………………………（4 分）
f
(x)
x2
ln
x
a(1
x2 )
≥
x2
1 x
1
a(1
x2
)
(x
1)[(1
a)x
a] .
………………………………………………（6 分）
当
0
a
1 2
，
x
0，1
a
a
时，
1
a
a
(0，1)
，
(x 1)[(1 a)x a] 0 ，故 f (x) 0 . ………………………………………………（8 分）
（ⅱ）解：
f
(x)
x2
ln x
a
1 x2
1
，令 ( x)
ln x
a
1 x2
1
，则
f
(x)
x 2 ( x).
因为函数 f (x) x2(x) 的定义域为 (0， ) ，
an n 1
1 2n
，
所以 Sn
1 2
1
1 2n
1
1 2
1
1 2n
1.
18．（本小题满分 12 分）
………………………………………………（7 分） ………………………………………………（8 分） ………………………………………………（9 分）
………………………………………………（12 分）
（1）证明：如图 2，设 BD 的中点为 O ，连接 PO，AO ，
巴蜀中学 2020 届高考适应性月考卷（六）理科数学参考答案

重庆市巴蜀中学2020届高三高考适应性月考卷( 六)理科数学含解析

……………………………（9 分）
又 DC (0，
2，0)
，
DP
2 2
，0，
2 2
，
所以
2 y2
2
2 x2
0， 2 2 z2
取 0，
x2
1，得
n2
(1，0， 1)
.
所以
cosn1，n2
11
(1) 3
(1) 2
6. 3
…………………………（11 分）
设二面角
A PD C
理科数学参考答案·第 6 页（共 8 页）
∴ y (x) 的最小值为(
2a ) ln
2a
a
1 2
．
①令 m(a) ln
2a
a
1 2
，则
m(a)
1 2a
1，
所以
m(a)
在
0，1 2
上单调递增，在
12 ，
上单调递减，又
m
1 2
2． z
1 1
i i
(1 i)2 1 i2
i，| z | 1 ，故选
A．
3．
0.74
2
0.26
0.24
，故选
B．
4．依题意 (1 t，2 3t)∥(2，4) ，所以 2(2 3t) 4(1 t)，得 t 4 ，故选 D．
5．只有第三个正确，故选 A．
6．依题意
3a 1 b
a b
∴
P(z
≥
84.81)
1
0.6826 2
0.1587，
………………………………………………（6 分）
∴竞赛成绩超过 84.8 的人数估计为 0.1587 10000 1587 人.

2020届重庆市巴蜀中学高三下学期高考适应性月考(六)数学(文)试题(解析版)

【解析】（1）根据频率和为，即可求出的值；
（2）根据频率直方图，取频率最大组的中值即为众数；由平均数公式即可求出结论；
（3）先确定从小到大概率和为所在的组，以及在该组所在的比例，即可求出结果.
【详解】
（1）依题意得，，
解得；
（2）估计这名学生历史成绩的平均分为，
，
众数为；
（3）的频率和为，的频率为
【详解】
函数有意义须，解得，
要使函数单调递增，
则应使函数单调递减，
函数的单调递减区间为，
结合定义域可得函数的单调递增区间为 .
故答案为：
【点睛】
本题考查对数型复合函数的单调性，研究函数性质要注意定义域优先原则，属于基础题.
16．焦点为的抛物线上有不同的两点，且满足，若线段的中点到抛物线的准线的距离为，则 ______.
由正弦定理得，∵ ，
∴ ，即，又，
所以，所以，
所以外接球的表面积为 .
故选：B.
【点睛】
本题考查多面体与球的“外接”“内切”问题，确定球心位置是解题关键，属于中档题.
11．已知分别是双曲线的左、右焦点，直线与双曲线的一条渐近线交于点，且，则双曲线的离心率为（）
A． B．
C． D．
【答案】C
2．设复数，则（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】求出，根据复数的除法运算法则，即可求解.
【详解】
.
故选：C.
【点睛】
本题考查共轭复数、复数的代数运算，属于基础题.
3．在等差数列中，若，则（）
A． B． C． D．
【答案】B

巴蜀中学2020届高考适应性月考卷理科数学试卷及其答案(六)

A． 188 243
B． 55 243
C． 95 243
D． 148 243
10．已知
f
(x)
1
a 2x 1
是定义域为
R
的奇函数，且对任意实数
x
，都有
f
(x2
mx
2)
1 3
，则
m
的取值范围是
（）
A． 2 m 2
B． 0 m 2
C． 4 m 4
D． m 2
11．锐角 △ABC 的三边分别为 a ， b ， c ， a 2bcosB ，则 c 的取值范围是（） bf2 3x，
f
(x)
f
6
x
0
那么函数
y
f
x 的图
象（）
A．关于点
7 12
,
0
对称
B．关于点
7 12
,
0
对称
C．关于直线 x 7 对称 12
D．关于直线 x 7 对称 12
9．图 1 是某个闭合电路的一部分，每个元件正常导电的概率为 2 ， 3
则从 A 到 B 这部分电路能通电的概率为（）
A． 5 e 4
B． 5 e 3
C． 5 e 1 3
D． 5 e 1 4
7．“ ln x ln y ”是“ (1)x (1)y ”的（） 32
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．已知函数
f
x
sin(x )
0,| |
2
满足
f
(x)
A． 1,3
B．
1 2
,
2

【100所名校】2020届重庆市巴蜀中学高三上学期第六次月考(一模)数学(理)试题(含解析版)

2020届重庆市巴蜀中学高三上学期第六次月考（一模）数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．若z=25i3+4i ，则z 的共轭复数z 对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．设集合M ={x|x 2−32x +12=0}，N ={x|3x >√3}，则M ∩N =A ． {1,12}B ． ∅C ． {1}D ． {34} 3．在双曲线C:x 29−y 216=1中，F 1,F 2分别为C 的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点且满足|PF 1|+|PF 2|=14，则|PF 1|2+|PF 2|2=A ． 108B ． 112C ． 116D ． 1204．由数字0，1,2,3组成的无重复数字的4位数，比2018大的有个 A ． 10 B ． 11 C ． 12 D ． 135．已知正实数x ，y 满足a x <a y （0<a <1），则下列一定成立的是 A ． 1x−1y >0 B ． x 5y 2<x 4y 3C ． |x −1|>|y −1|D ． log (x 2+1)e <log (y 2+1)e6．执行如图所示的程序框图，若输入的a 为24，c 为5，输出的数为3，则b 有可能为A ． 11B ． 12C ． 13D ． 147．设实数x ，y 满足{2x −y ≥0,x ≤0,x +y +2≤0, 则x 2+y 2的最小值为 A ． 4 B ． 2 C ．209D ． 1038．已知α∈(0,π2)，sin(α+116π)=13，则sinα=A ．2√3+√26B ．1+2√66C ． √3+2√26D ．1+3√269．若ΔABC 的内角满足3sinA =sinB +sinC ，则cosA 的最小值是 A ． 23B ． 79C ． 13D ． 5910．已知平面上有3个点A ，B ，C ，在A 处放置一个小球，每次操作时将小球随机移动到另一个点处，则4次操作之后，小球仍在A 点的概率为A ．1116B ． 58C ． 13D ． 3811．已知f(x)=x 2+lnx ，在f(x)的图象上存在一点P ，使得在P 处作f(x)图象的切线l ，满足l 的斜率为a 2+√2a−8a−√2，则a 的取值范围为A ． [−√2,√2)∪[2√2,+∞)B ． (−∞,−√2]∪(√2,2√2]C ． [−√2,√2)∪(√2,2√2]D ． (√2,2√2]12．已知抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，A ，B 两点在抛物线C 上，且AF ⃑⃑⃑⃑⃑ =2FB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，过点A ，B 分别引抛物线C 的切线l 1，l 2，l 1，l 2相交于点P ，则|PF⃑⃑⃑⃑⃑ |= A ． 3√22B ．4√33C ． 2√2D ． 2√3二、填空题13．|a |=1，|b ⃑ |=2，a ⊥b ⃑ ，则|a +2b ⃑ | =__________． 14．在(x −2x )5的展开式中1x 的系数为__________．15．已知函数f(x)=(sinx +√3cosx)(√3sinx +cosx)，则函数f(x)在x ∈[−π2,π2]时的最大值为__________．此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号16．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1+na n=2(n+1)(n∈N+)，则|a2017|−|2016a2016|=__________．三、解答题17．已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1=3，a1⋅a4=a22．（1）求{a n}的通项公式及a n的前n项和S n的通项公式；（2）b n=1S1+1S2+⋯+1S n，求数列{b n}的通项公式，并判断b n与1927的大小．18．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ΔABC的面积为acsinAsinC2sinB．（1）求证：a，b，c成等比数列；（2）求sinB的最大值，并给出取得最大值时的条件．19．2017~2018赛季的欧洲冠军联赛八分之一决赛的首回合较量将于北京时间2018年2月15日3:45在伯纳乌球场打响．由C罗领衔的卫冕冠军皇家马德里队（以下简称“皇马”）将主场迎战刚刚创下欧冠小组赛最多进球记录的法甲领头羊巴黎圣日曼队（以下简称“巴黎”），激烈对决，一触即发．比赛分上，下两个半场进行，现在有加泰罗尼亚每题测皇马，巴黎的每半场进球数及概率如表：（1）按照预测，求巴黎在比赛中至少进两球的概率；（2）按照预测，若设H为皇马总进球数，A为巴黎总进球数，求A和H的分布列，并判断E(A)和E(H)的大小．20．已知椭圆E：x26+y22=1的右焦点为F2，设过F2的直线l的斜率存在且不为0，直线l交椭圆于A，B两点，若AB中点为C，O为原点，直线OC交x=3于点D．（1）求证：AB⊥DF2；（2）求|AB||DF2|的最大值．21．设函数f(x)=ae x+bx2+cx−1，其中a，b，c为常数．（1）若b=0，ac≠0，试讨论函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在R上单调递增，且abc≠0，证明：a>0>b，并求c的最小值（用a，b的代数式表示）．22．在直角坐标系xOy中，直线l：{x=√3+tcosα,y=tsinα（t为参数，其中α为直线的倾斜角）与曲线C：{x=2cosθ,y=sinθ（θ为参数）相交于不同的两点A，B．（1）当α=π4时，求直线l与曲线C的普通方程；（2）若|MA|⋅|MB|=|OM|2−52，其中M(√3,0)，求直线l的斜率．23．已知函数f(x)=|x−1|+|x−2|，若f(x)≤3的解集为C．（1）求解集C；（2）已知非零实数a，b，c满足1a2+14b2+1c2=2，求证：a2+4b2+9c2≥252第3页（共4页）第4页（共4页）第9页（共10页）第10页（共10页）2020届重庆市巴蜀中学高三上学期第六次月考（一模）数学（理）试题数学答案参考答案 1．D 【解析】由题意可得：z =25i3+4i =25i (3−4i )(3+4i )(3−4i )=5(3i +4)=20+15i ，则z̅=20−15i ，据此可得：z 对应的点在第四象限. 本题选择D 选项. 2．C 【解析】求解一元二次方程可得：M ={1,12}，求解指数不等式可得：N ={x|x >12}，结合交集的定义可得：M ∩N ={1}. 本题选择C 选项. 3．C 【解析】由双曲线的定义可得：||PF 1|−|PF 2||=2a =6，结合题意有：|PF 1|+|PF 2|=14，两式平方相加可得：|PF 1|2+|PF 2|2=116 . 本题选择C 选项. 4．B 【解析】千位数字为3时满足题意的数字个数为：3!=6，千位数字为2时，只有2013不满足题意，则满足题意的数字的个数为3!−1=5，综上可得：2018大的有6+5=11个. 本题选择B 选项. 5．D 【解析】利用排除法：由指数函数的单调性可得：x >y >0，由反比例函数的单调性可得：1x <1y ,∴1x −1y <0，选项A 错误； x 5y 2−x 4y 3=x 4y 2(x −y )>0,∴x 5y 2>x 4y 3，选项B 错误；当x =12,y =13时，|x −1|<|y −1|，选项C 错误；本题选择D 选项. 6．B 【解析】结合流程图，若输出的数字为3，则经过循环结构之后的b =a +3=27，由于27MOD5=2，结合循环结构的特点可得：输入的数字除以5的余数为2，结合选项可得：b 有可能为12. 本题选择B 选项. 7．C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数边上坐标原点与可行域内点距离的平方，据此可得，目标函数在点A (−23,−43)处取得最小值：49+169=209.本题选择C 选项.点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法． (2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义． 8．C 【解析】由题意可得：sin(α+116π)=sin(α−π6)=13，∵α∈(0,π2),∴α−π6∈(−π6,π3)，据此可得：cos(α+116π)=√1−sin2(α+116π)=2√23，结合两角和差正余弦公式有：sinα=sin[(α−π6)+π6]=sin(α−π6)cosπ6+cos(α−π6)sinπ6=√3+2√26.本题选择C选项.9．B【解析】由题意结合正弦定理有：3a=b+c，结合余弦定理可得：cosA=b2+c2−a22bc=b2+c2−(b+c3)22bc=89b2+89c2−29bc2bc=89b2+89c22bc−19≥2×√89b×√89c2bc−19=79.当且仅当b=c时等号成立.综上可得：cosA的最小值是79.本题选择B选项.10．D【解析】由于可知，所有可能的放置方法为：ABABA,ABABC,ABACA,ABACB,ABCAB,ABCAC,ABCBA,ABCBC,ACABA,ACABC,ACACA,ACACB,ACBAB,ACBAC,ACBCA,ACBCB,共有16种可能的放置方法，其中满足题意的方法有6种，由古典概型计算公式可得：小球仍在A点的概率为p=nN =616=38.本题选择D选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.11．A【解析】结合函数的解析式有：f′(x)=2x+1x≥2√2x×1x=2√2，当且仅当x=√22时等号成立，据此可得：2√2a−8a−√2≥2√2恒成立，即：2√2a−8a−√22√2≥0，整理可得：√2)(a+√2)a−√2≥0，求解分式不等式可得a的取值范围为[−√2,√2)∪[2√2,+∞).本题选择A选项.12．A【解析】由焦点弦的性质有：1|AF|+1|BF|=2p=1，结合AF⃑⃑⃑⃑⃑ =2BF⃑⃑⃑⃑⃑ 可得：|AF|=3,|BF|=32，设A,B两点的坐标为：A(x1,y1),B(x2,y2)，结合y′=12x有直线方程：l1:y−y1=x12(x−x1),l2:y−y2=x22(x−x2)，联立直线方程可得交点坐标为P(x1+x22,−1)，则AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF⃑⃑⃑⃑⃑ =(x2−x1,y2−y1)⋅(−x1+x22,2)=0,∴AB⊥PF，结合焦点弦的性质可知：直线l1l2的斜率：x12×x22=−p24=−1，即l1⊥l2，结合射影定理有：|PF|2=|AF|×|BF|=92，据此可得：|PF⃑⃑⃑⃑⃑ |=3√22.本题选择A选项.点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．13．√17【解析】由题意可得：|a+2b⃑|=√(a+2b⃑)2=√a2+4a⋅b⃑+4b⃑2=√1+4×0+4×22=√17.14．−80【解析】由题意结合二项式展开式的通项公式有：T r+1=C5r x5−r(−2x)r=(−2)r C5r x5−2r，满足题意时：5−2r=−1,∴r=3，其系数为：(−2)3C53=−80.第7页（共10页）第8页（共10页）第9页（共10页）第10页（共10页）15．√3+2 【解析】由题意结合三角函数的性质有：f (x )=√3sin 2x +sinxcosx +3sinxcosx +√3cos 2x =√3+2sin2x ， ∵x ∈[−π2,π2],∴2x ∈[−π,π]，据此可得，当2x =π2,x =π4时，函数取得最大值：√3+2.16．−4034 【解析】由递推关系可得：a n+1−2=−n (a n −2)，则：a n+1−2=(−n )×(−n +1)×⋯×[(−1)×(a 1−2)]=(−1)n+1×n!，即列的通项公式为：a n+1=(−1)n+1×n!+2，则：|a 2017|−|2016a 2016|=2016!−2−(2016!+4032)=−4034.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．17．(1)a n =3n ，S n =3n(n+1)2．(2)b n =23(1−1n+1),1b n<1927.【解析】试题分析：(1)由题意结合数列的通项公式可得关于公差的方程，解方程有d =3，则数列的通项公式为a n =3n ，前n 项和S n =3n(n+1)2．(2)结合(1)的结论有1S n=23⋅1n(n+1)=23(1n −1n+1)，据此裂项求和可得b n =23(1−1n+1)，据此有1b n<23<1927．试题解析：（1）设a 1=a ，公差为d ，则a(a +3d)=(a +d)2，解得d =a =3，所以a n =3n ，S n =3n(n+1)2．（2）1S n=23⋅1n(n+1)=23(1n −1n+1)，从而b n =1S 1+1S 2+⋯+1S n=23(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1) =23(1−1n+1)，故1b n<23<1927．18．(1)证明见解析；(2)答案见解析. 【解析】试题分析：(1)由题意结合面积公式有：12acsinB =acsinAsinC 2sinB，则sin 2B =sinAsinC ，角化边可得a b =bc ，故a ，b ，c 成等比数列．(2)由题意结合余弦定理和(1)的结论有：cosB =a 2+c 2−b 22ac≥12，则sinB =√1−cos 2B ≤√32，由均值不等式的结论可得当ΔABC 为等边三角形时等号成立．试题解析：（1）证明：S ΔABC =12acsinB =acsinAsinC 2sinB，即sin 2B =sinAsinC ，由正弦定理可得ab =bc ，故a ，b ，c 成等比数列．（2）解：依题意得cosB =a 2+c 2−b 22ac=12(c a +a c −1)≥12，又B 为ΔABC 的一个内角，从而sinB =2B ≤√32，当且仅当ΔABC 为等边三角形时等号成立．19．(1)79144；(2)答案见解析. 【解析】试题分析：(1) 设A 为巴黎总进球数，由题意可得P (A ≥2)=P (A =2)+P (A =3)+P (A =4)=79144． (2)由题意首先求得A ,H 的分布列，然后结合分布列计算数学期望可得E(A)=E(H)=53．试题解析：（1）设A 为巴黎总进球数，则P(A ≥2)=P(A =2)+P(A =3)+P(A =4)=(512×14+13×13+14×512)+(13×14+14×13)+14×14=2372+16+116=79144．（2）A 和H 的分布列如下：第7页（共10页）第8页（共10页）则E(A)=E(H)=53． 20．(1)证明见解析；(2)√3. 【解析】试题分析：(1)设直线l 的斜率为k （k ≠0），联立直线方程与椭圆方程可得(3k 2+1)x 2−12k 2x +12k 2−6=0．结合韦达定理可得线段AB 中点C 的坐标为(6k 23k 2+1,−2k3k 2+1)．据此计算可得直线DF 2的斜率为k DF 2=−1k ，则AB ⊥DF 2.(2)考查t =(|AB||DF 2|)2=(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)21+1k2=k 2(x 1−x 2)2=24k 2(k 2+1)(3k 2+1)2．换元令u =3k 2+1，则t =−163[(1u −14)2−916]．结合二次函数的性质可得k =±1时，t 取最大值3，此时|AB||DF 2|取最大值√3．试题解析：（1）证明：设直线l 的斜率为k （k ≠0），则直线l 的方程为y =k(x −2)，联立方程组{x 26+y 22=1,y =k(x −2),消去y 可得(3k 2+1)x 2−12k 2x +12k 2−6=0．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则{x 1+x 2=12k 23k 2+1,x 1x 2=12k 2−63k 2+1, 于是有y 1+y 2=k(x 1+x 2)−4k =−4k 3k 2+1，所以线段AB 中点C 的坐标为(6k 23k 2+1,−2k3k 2+1)．又直线OC 的斜率k OC =−13k，因此直线OC 的方程为y =−13kx ，它与直线x =3的交点D(3,−1k)，故直线DF 2的斜率为k DF 2=−1k，于是k DF 2⋅k =−1．因此AB ⊥DF 2. （2）解：记t =(|AB||DF 2|)2=(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)21+1k 2=(x 1−x 2)+k 2(x 1−x 2)21+1k 2=k 2(x 1−x 2)2=k 2[(x 1+x 2)2−4x 1x 2] =k 2[(12k 23k 2+1)2−4(12k 2−63k 2+1)]=24k 2(k 2+1)(3k 2+1)2．令u =3k 2+1，则t =8⋅(u−1)(u+2)3u 2=−163(1u 2−12u −12)=−163[(1u −14)2−916]．因为u =3k 2+1>1，所以0<1u <1．故当u =4时，即k =±1时，t 取最大值3．从而当k =±1时，|AB||DF 2|取最大值√3．点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21．(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：(1)函数f(x)的定义域为R ，求导可得f′(x)=ae x +c ．据此分类讨论：若a >0，c >0，f(x)在R 上单调递增；若a <0，c <0，f(x)在R 上单调递减；若a >0，c <0，f (x )在(−∞,ln (−c a ))上单调递减，在(ln (−ca ),+∞)上单调递增；若a <0，c >0，f (x )在(−∞,ln (−ca ))上单调递增，在(ln (−ca ),+∞)上单调递减；(2)函数f(x)在R 上单调递增，则f′(x)=ae x +2bx +c ≥0对任意实数x 均成立，取实数x 1>0，−x 1<0，有a(e x 1+e −x 1)+2c ≥0，据此讨论可得a >0>b ．证明问题c ≥−2b(ln(−2b a)−1)来说明c 的最小值为−2b(ln(−2b a)−1)：构造函数g(x)=ae x ，ℎ(x)=−2bx −c ，可证明g(x)=ae x ≥−2bx +2bln(−2b a)−2b ，则g(x)≥ℎ(x)恒成立，据此可得c ≥−2b(ln(−2b a)−1)成立．试题解析：（1）解：依题意得f(x)的定义域为R ，当b =0时，f′(x)=ae x +c ．若a >0，c >0，则f′(x)>c >0，从而f(x)在R 上单调递增；若a <0，c <0，则f′(x)<0，从而f(x)在R 上单调递减；若a >0，c <0，令f′(x)=0，得x =ln(−ca )，列表如下：若a <0，c >0，令f′(x)=0得x =ln(−ca )，列表如下：（2）证明：函数f(x)在R上单调递增，则f′(x)=ae x+2bx+c≥0对任意实数x均成立，取实数x1>0，−x1<0，则{ae x1+2bx1+c≥0,ae−x1−2bx1+c≥0,两式相加得：a(ex1+e−x1)+2c≥0，令x1→+∞，则e x1+e−x1→+∞，从而a>0．又由ae−x1−2bx1+c≥0，当x1→+∞时，ae−x1→0，若b>0，则ae−x1−2bx1+c≥0不恒成立，又b≠0，从而b<0，从而a>0>b．下证c≥−2b(ln(−2ba)−1)．记g(x)=ae x，ℎ(x)=−2bx−c，x2=ln(−2ba)，由于g′(x)=ae x，g(x)在点(x2,g(x2))处的切线方程为：y=−2b(x−x2)+g(x2)=−2bx+2bln(−2ba)−2b．接下来，我们证明g(x)=ae x≥−2bx+2bln(−2ba)−2b，构造函数H(x)=ae x+2bx−2bln(−2ba)+2b，H′(x)=ae x+2b．当x∈(−∞,x2)时，H′(x)<0，H(x)单调递减；当x∈(x2,+∞)时，H′(x)>0，H(x)单调递增；从而H(x)≥H(x)min=H(x2)=0，故g(x)=ae x≥−2bx+2bln(−2ba)−2b成立．考虑到直线y=−2bx+2bln(−2ba)−2b与直线y=ℎ(x)斜率相等，即它们平行，又由于g(x)≥ℎ(x)恒成立，从而−2bx+2bln(−2ba)−2b≥ℎ(x)恒成立，即−c≤2b(ln(−2ba )−1)，即c≥−2b(ln(−2ba)−1)．点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．22．(1)直线l的普通方程为y=x−√3，曲线C的普通方程为x24+y2=1．(2)±√22.【解析】试题分析：(1)由题意结合参数方程可得直线l的普通方程为y=x−√3，曲线C的普通方程为x24+y2=1．(2) 联立直线的参数方程与椭圆方程可得(4sin2α+cos2α)t2+(2√3cosα)t−1=0，结合参数的几何意义可得sin2α=13，则直线的斜率k=±√22．试题解析：（1）当α=π4时，直线l的普通方程为y=x−√3，曲线C的普通方程为x24+y2=1．（2）把{x=√3+tcosα,y=tsinα代入x24+y2=1，得(4sin2α+cos2α)t2+(2√3cosα)t−1=0，|MA|⋅|MB|=|t1t2|=14sin2α+cos2α=|OM|2−52=12，得sin2α=13，∴tan2α=12，∴斜率k=±√22．23．(1)[0,3]；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)由题意零点分段求解不等式可得不等式的解集C=[0,3]；(2)由题意结合柯西不等式有a2+4b2+9c2=12(a2+4b2+9c2)(1a2+14b2+1c2)≥12(a⋅1a+2b⋅12b+3c⋅1c)2≥252，当且仅当a2=4b2=3c2=52时取等号．则题中的不等式得证.试题解析：（1）解：f(x)=|x−1|+|x−2|≤3，即{x<1,−x+1−x+2≤3或{1≤x≤2,x−1−x+2≤3或{x>2,x−1+x−2≤3,即0≤x<1或1≤x≤2或2<x≤3，即解集C=[0,3]．（2）证明：∵1a2+14b2+1c2=2，由柯西不等式得a2+4b2+9c2=12(a2+4b2+9c2)(1a2+14b2+1c2)≥12(a⋅1a+2b⋅12b+3c⋅1c)2≥252，当且仅当a1a=2b12b=3c1c时取等号，即a2=4b2=3c2=52时取等号．第9页（共10页）第10页（共10页）。

重庆市巴蜀中学2019-2020学年高三下学期高考适应性月考( 六)数学(文)试题(解析版)

巴蜀中学2020届高考适应性月考卷（六）文科数学一、选择题1.已知集合{}2|10A x x =->，{0,1,2,3}B =，则()R C A B =I （） A. {}2,3B. {}0,1C. []1,1-D. ()(),11,-∞-+∞U【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合A ，求出R C A 再与B 取交集，即可得答案.【详解】∵2{|10}{|1A x x x x =->=>或1}x <-，∴(){}{}{}|110,1,2,30,1R C A B x x =-≤≤=I I .故选：B .【点睛】本题考查集合的交、补运算，考查运算求解能力，属于基础题.2.设复数1z i =+，则34z i=+（） A.725i + B.725i - C. 1725i -- D. 1725i -+ 【答案】C【解析】【分析】求出z ，根据复数的除法运算法则，即可求解. 【详解】()()()()134134343434i i z i i i i i ---==+++- 2374172525i i i -+--==.故选：C.【点睛】本题考查共轭复数、复数的代数运算，属于基础题.3.在等差数列{}n a 中，若21336a a +=，则252729a a a ++=（）A. 6B. 9C. 12D. 54 【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质，将已知式子和所求式子都转化为27a ，即可求解【详解】因为在等差数列{}n a 中，252921332726a a a a a +=+==，所以2527292739a a a a ++==.故选：B.【点睛】本题考查等差数列性质的应用，属于基础题.4.命题“()1,1a ∀∈-，1ln cos 21a ax x e e +-≤+”的否定形式是（） A. ()1,1a ∀∈-，1ln cos 21aa x x e e+->+ B. ()1,1a ∃∈-，1ln cos 21a a x x e e +-≤+ C. (][),11,a ∃∈-∞-+∞U ，1ln cos 21a ax x e e +-≤+ D. ()1,1a ∃∈-，1ln cos 21a ax x e e +->+ 【答案】D【解析】分析】根据全称命题的否定形式，即可求出结论.【详解】()1,1a ∀∈-，1ln cos 21a a x x e e+-≤+，全称命题的否定是先改变量词，然后否定结论，故所求的否定是“()1,1a ∃∈-，1ln cos 21aa x x e e +->+”．故选：D .【点睛】本题考查命题的否定形式，要注意量词之间的转化，属于基础题.5.在区间[]1,5-上随机取一个实数a ，则使[]2log 0,2a ∈的概率为（） A. 13B. 12C. 23D. 【答案】B【解析】【分析】利用对数函数的单调性，求出满足[]2log 0,2a ∈的a 的范围，根据几何概型的概率公式，即可求解.【详解】由20log 2a ≤≤，得14a ≤≤，所求概率为()411512P -==--. 故选：B.【点睛】本题考查几何概型长度型概率，属于基础题.6.函数5sin 12cos 66y x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值是（） A. 13B. 17C. 13-D. 12【答案】A【解析】【分析】根据辅助角公式，将函数化为正弦型函数，即可求解. 【详解】5sin 12cos 66y x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12513sin(),(sin ,cos )61313x πϕϕϕ=--==，所以函数的最大值为13.故选：A.【点睛】本题考查三等变换化简函数以及三角函数的性质，熟记公式是解题的关键，属于基础题.7.若实数,x y 满足不等式组2100,280,0,0,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则z y x =-的最大值为（） A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域,将目标函数变形为y =x+z ,作出直线y x =,将直线y x =平移,由图判断出直线过过点()0,4B 时，z 取得最大值，可得选项.【详解】画出不等式表示的平面区域如下图所示：由z y x =-得，y =x+z ，平移直线y x =，由图象可知当直线y =x+z 过点()0,4B 时，直线y =x+z 的纵截距最大，此时z 取得最大值，最大值为：max 404z =-=，故选：D.【点睛】本题考查不等式组所表示的平面的区域，线性规划中目标函数的最值问题，可以从明确目标函数的几何意义入手，运用数形结合的思想求得最值，属于基础题.8.设12,l l 是两条不同的直线，12,αα是两个不同的平面，下列选项正确的是（）A. 若11l α⊥，22l α⊂，且12l l ⊥，则12αα⊥B. 若11l α⊂，22l α⊂，且12//l α，21//l α，则12//ααC. 若11l α⊥，22l α⊥，且12αα⊥，则12l l ⊥D. 若11//l α，22//l α，且12//αα，则12//l l【答案】C【解析】【分析】根据空间线、面平行平行、垂直关系，逐项判断.【详解】由12,l l 是两条不同的直线，12,αα是两个不同的平面，知：在A 中，若11l α⊥，22l α⊂，且12l l ⊥，则1α与2α相交或平行，故A 错误；在B 中，若11l α⊂，22l α⊂，且1l ∥2α，2l ∥1α，则1α与2α相交或平行，故B 错误；在C 中，若1122,l l αα⊥⊥，且12αα⊥，设12l αα=I ，在2α平面内做b l ⊥，则1b α⊥，又11l α⊥，所以b ∥1l ，因为22l α⊥，所以2l b ⊥，所以12l l ⊥，故C 正确；在D 中，若1l ∥1α，2l ∥2α，且1α∥2α，则1l 与2l 相交，平行或异面，故D 错误.故选：C.【点睛】本题考查空间有关线、面位置关系的判断，熟记定理是解题的关键，属于基础题.9.已知正实数,a b ，则“4ab ≤”是“4a b +≤”的（）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由a b ≤+可得，4a b +≤成立，则4ab ≤成立；4ab ≤成立，可举例说明4a b +≤不一定成立，根据充分必要条件的定义，即可得出结论.【详解】不充分性：4a =，1b =；必要性：∵4a b ≤+≤，∴4ab ≤.故选：B.【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，属于基础题.10.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 为等边三角形，AB =1BB =，则三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为（）A. 64πB. 36πC. 27πD. 16π【答案】B【解析】【分析】直三棱柱111ABC A B C -中，上下底面平行且全等，可得直三棱柱111ABC A B C -外接球的球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，求出底面外接圆半径，即可求解.【详解】如下图所示，取ABC V ，111A B C △的外接圆的圆心分别为,M N ，连接MN ，取MN 的中点O ，则O 是三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心，设ABC V 的外接圆的半径为r ，三棱柱111ABC A B C -的外接球的半径为R ，由正弦定理得，∵2sin sin 60AB r C ==︒，∴2r =，即2AM =，又1BB =，所以OM =3R OA ===，所以外接球的表面积为2244336R πππ=⨯=.故选：B.【点睛】本题考查多面体与球的“外接”“内切”问题，确定球心位置是解题关键，属于中档题.11.已知12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，直线():b l y x c a =-与双曲线的一条渐近线交于点P ，且12PF PF ⊥，则双曲线的离心率为（）A. B.C. 2D. 3 【答案】C【解析】【分析】由已知得，直线l 过焦点2F 且与渐近线b y x a =平行，则与另一渐近线b y x a =-交于点P ，将直线l 方程与b y x a=-联立，求出点P 坐标，利用2||||OP OF =，建立,a b 关系，即可求解. 【详解】双曲线的渐近线方程为b y x a=±，与直线l 相交的渐近线的直线方程为b y x a=-，直线():b l y x c a=-与b y x a =-联立，得到P 的坐标为,22c bc a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 122,||||PF PF OP OF ⊥∴=Q ，∴2222244c b c c a+=，∴223b a =，∴2223c a a -=，∴2c e a ==. 故选：C.【点睛】本题考查双曲线性质，考查计算求解能力，属于基础题.12.已知定义在R 上的函数()f x 满足()12f =，对任意的实数1x ，2x 且12x x <，()()1212f x f x x x -<-，则不等式()1f x x ->的解集为（）A. (),2-∞-B. ()2,+?C. ()(),11,-∞-⋃+∞D. ()(),22,-∞-⋃+∞【答案】B【解析】【分析】根据题意设新函数()()1F x f x x =--，则可得()1F x -，又因为()12f =即可算出()01F =，再根据12x x <，()()1212f x f x x x -<-得到函数是增函数，根据增函数的定义即可求出()1f x x ->的解．【详解】解：设()()1F x f x x =--，则()()11F x f x x -=--， ()()11110F f =--=，对任意的1x ，2x 且12x x <，()()1212f x f x x x -<-，得()()112211f x x f x x --<--，即()()12F x F x <，所以()F x 在R 上是增函数，不等式()1f x x ->即为()()11F x F ->，所以11x ->，2x >.故选：B【点睛】本题考查函数的单调性解不等式，属于中档题．二、填空题的13.若向量m u r 与n r 的夹角为3π，2m =u r ，()1,0n =r ，则2m n +=u r r ______.【答案】【解析】【分析】由已知可得||1n =r ，根据向量数量积性质，转化为求2(2)m n +u r r 的值，由向量的数量积运算律即可求解. 【详解】()1,0,||1n n =∴=r r Q ， 22222(2)44m n m n m m n n ∴+=+=+⋅+u r r u r r u r u r r r1841212,|2|2m n =+⨯⨯⨯=∴+=u r r故答案为：【点睛】本题考查向量的模长、向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于基础题.14.在ABC V中，若BC =2AB =，3CAB π∠=，则AC =______. 【答案】3【解析】【分析】根据余弦定理，建立AC 方程，求解即可.详解】由余弦定理得22272cos BC AC AB AB AC CAB ==+-⋅⋅∠整理得2230AC AC --=，解得3AC =或1AC =-（舍去）.故答案为：3. 【点睛】本题考查应用余弦定理解三角形，属于基础题. 15.函数()213log 2212y x x =-++的单调递增区间为______. 【答案】1,32⎛⎫⎪⎝⎭（也可以为1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭）【解析】【分析】先求出函数的定义域，根据二次函数的单调性和对数函数的单调性，即可求解.【详解】函数有意义须222120x x -++>，解得23x -<<，【要使函数()213log 2212y x x =-++单调递增，则应使函数22212y x x =-++单调递减，函数22212y x x =-++的单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，结合定义域可得函数()213log 2212y x x =-++的单调递增区间为1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，研究函数性质要注意定义域优先原则，属于基础题.16.焦点为F 的抛物线24y x =上有不同的两点,P Q ，且满足()1PF FQ λλ=>u u u r u u u r ，若线段PQ 的中点M 到抛物线的准线的距离为83，则λ=______. 【答案】3【解析】【分析】抛物线的焦点(1,0)F ，设1122(,),(,)P x y Q x y ，根据抛物线的定义可得12x x +，设直线PQ 方程为1x my =+，与抛物线方程联立求出12,y y ，转化为12x x +，建立m 的方程，进而求出12,y y ，即可求解.【详解】法一：抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，设1122(,),(,)P x y Q x y ，又()1PF FQ λλ=>u u u r u u u r ，,,P Q F ∴三点共线，设其方程为1x my =+，12y y λ=-， Q 线段PQ 的中点M 到抛物线的准线的距离为83， 12121281041,,()2333x x x x m y y +∴+=+=∴+=，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩消去x 得2440y my --=，①2121244,()4,33y y m m y y m m +=∴+===±，当3m =240y --=，解得y =或y =121,3y y λλ>∴=-=Q ，同理33m λ=-=. 法二：不妨设点P 在第一象限，作PA ⊥准线于点A ，作QB ⊥准线于点B ，作MC ⊥准线于点C ，∵()()111||||||||||||222MC PA QB PF QF PQ =+=+=， ∴16||3PQ =.设直线PQ 的倾斜角为θ， 222416||sin sin 3p PQ θθ===，∴60θ=︒，∴||1cos 1cos 3||1cos 1cos pPF p QF θθθθ+-===-+. 故答案为：3【点睛】本题考查抛物线方程和性质，以及直线与抛物线的位置关系，焦点弦要注意焦半径公式的灵活应用，考查计算求解能力，属于中档题.三、解答题17.在数列{}n a 中，前n 项和为()*n S n N∈，若0na>，数列{}n S 为等比数列，12346,24S S S S +=+=.（1）求n S ；（2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）2nn S =；（2）13122n n T -⎛⎫=- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设{}n S 的公比为q ，根据已知得到1,q S ，即可求出n S ；（2）由（1）结论求出数列{}n a 的通项公式，进而得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，根据其特征求出前n 项和n T . 【详解】（1）由数列{}n S 为等比数列234124S S q S S +==+，由0n a >，则0q >，2q =，()12116S S S q +=+=，有12S =，则2n n S =.（2）由（1）112a S ==，2n ≥，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，所以12,1,2,2,n n n a n -=⎧=⎨≥⎩则11,1,211,2,2n n n a n -⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 当2n ≥时，121121111111......2222n n n T a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111113121222212n n --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+⨯=- ⎪⎝⎭-，又11112T a ==符合，所以13122n n T -⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式基本量的运算与其前n 项和的求解，以及由前n 项和求通项，考查计算求解能力，属于中档题.18.某学校高三年级在开学时举行了入学检测.为了了解本年级学生寒假期间历史的学习情况，现从年级1000名文科生中随机抽取了200名学生本次考试的历史成绩，得到他们历史分数的频率分布直方图如图.已知本次考试高三年级历史成绩分布区间为[]35,95.（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生历史成绩的平均分，众数；（每组数据用该组的区间中点值作代表）（3）已知该学校每年高考有65%的同学历史成绩在一本线以上，用样本估计总体的方法，请你估计本次入学检测历史学科划定的一本线该为多少分？【答案】（1）0.02a =；（2）平均数为75.8，众数为80；（3）73分【解析】【分析】（1）根据频率和为1，即可求出a 的值；（2）根据频率直方图，取频率最大组的中值即为众数；由平均数公式即可求出结论；（3）先确定从小到大概率和为0.35所在的组，以及在该组所在的比例，即可求出结果. 【详解】（1）依题意得，0.020.030.10.250.4101a +++++=，解得0.02a =；（2）估计这200名学生历史成绩的平均分为，0.02400.03500.1600.25700.4800.29075.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，众数为80；（3）[35,65)的频率和为0.15，[65,75)的频率为0.25 所以估计本次入学检测历史学科划定的一本线为0.26510730.25+⨯=. 【点睛】本题考查补全频率分布直方图，并利用频率直方图求众数、平均数以及估计百分比数，属于基础题.19.如图，在三棱台111ABC A B C -中，11122,A AB AC AA B C B A A ==⊥==，.若点M 为1CC 的中点，点N 为BC 靠近点C 的四等分点.（1）求证：//MN 平面11ABB A ；（2）若三棱台111ABC A B C -的体积为73V =，求三棱锥1A AMN -的体积.注：台体体积公式：()13V S S h '=++，或在,S S '分别为台体上下底面积，h 为台体的高. 【答案】（1）证明见解析；（2）14【解析】【分析】（1）取BC 的中点D ，连接1C D ，可得MN ∥1DC ，再由已知可证四边形11B C DB 为平行四边形，得1BB ∥1DC ，进而有MN ∥1BB ，即可证明结论；（2）根据已知可得三棱台的高为12AA =，可得1AA ⊥平面ABC ，再结合已知可证AB ⊥平面1AA M ，应用11A AMN N AA M V V --=，即可求解.【详解】（1）如图3，取BC 的中点D ，连接1C D . 在1DCC △中，由,M N 为中点，有MN ∥1DC . 由棱台的性质知11B C ∥BC ，ABC V 与111A B C △相似，且1112AC AC =，则有1112B C BC =，所以有1111,B C BD B C =∥BD ，所以四边形11B C DB 为平行四边形，则1BB ∥1DC ，所以MN ∥1BB ，又MN ⊄平面11A B BA ，1BB ⊂平面11A B BA ，所以MN ∥平面11A B BA .（2）设三棱台111ABC A B C -的高为h ，11112,2ABC A B C S S ==△△，则体积11721323V h ⎛⎫=++⨯= ⎪⎝⎭，则12h AA ==，故1AA ⊥平面ABC . 由AB AC ⊥，1AA AB ⊥，1AC AA A =∩，所以AB ⊥平面1AA M .11111222AB AC AA A B AC =====，M 为1CC 中点，111113222AA M AC AC S AA +∴=⨯=△，所以111111114434A AMN N AA M B AA M AA M V V V AB S ---===⨯⋅=△.【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面平行以及几何体的体积，空间垂直关系的应用是解题的关键，注意等体积法的运用，属于中档题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为2(,0)(0)F c c >，上顶点为P ，右顶点为Q .若2POF V （O 为坐标原点）的三个内角大小成等差数列. （1）求椭圆C 的离心率e ；（2）直线l 与椭圆交于,A B 两点，设直线6:5b l my x =-，若AQB V 面积的最大值为425，且该椭圆短轴长小于焦距，求椭圆C 的标准方程.【答案】（1）12或2；（2）2241x y += 【解析】【分析】（1）由已知可得26OPF π∠=或3π，并且2||PF a =，在2Rt POF △中，即可求出离心率；（2）根据已知条件可得b c <，进而有2a b =，椭圆方程化为222214x y b b+=，直线l 过6(,0)5b ，设()11,A x y ，()22,B x y ，1216225AQB S b b y y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭△，直线l 方程与椭圆方程联立，得到12,y y 关系，将AQB S V 表示为m 的函数，根据函数特征，求出AQB S V 最大值，建立b 的方程，求解即可. 【详解】（1）2POF V 的三个内角大小为6π，3π，2π，又22POF π∠=，则26OPF π∠=或3π. 所以椭圆的离心率21sin 2c e OPF a ==∠=（2）由b c <，所以2POF V 中，23OPF π∠=，21cos 2b OPF a ∠==，则2a b =. 设椭圆的标准方程为222214x y b b+=，直线6:5bl my x =-，()11,A x y ，()22,B x y . 直线与椭圆方程联立2226,544,b my x x y b ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩ 消去x 得()222126440525bm y bmy ++-=，所以()()122212212,5464,254bm y y m b y y m -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以1216225AQB S b b y y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭△222855425b b m =⨯=+令()()225644t h t t +=+，[)20,t m =∈+∞，则()()()()4425284t t h t t +--'=+，当0t ≥时，()0h t '<恒成立，故()h t [)0,+∞上单调递减，()()max 04h t h ==.所以0m =时，()22max164125254AQBb S b ==⇒=△，故椭圆的标准方程为2241x y +=.【点睛】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，要掌握根与系数关系设而不求的方法处理相交弦的问题，考查计算求解能力，属于较难题. 21.函数()21ln 12f x x ax bx =-++. （1）若函数()f x 在1x =处的切线为2y =，求函数()f x 的单调递增区间；（2）证明：对任意210x x >>时，()()1212122f x f x x x f x x -+⎛⎫'<⎪-⎝⎭. 【答案】（1）()0,1；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出'()f x ，由'(1)0,(1)2f f ==，建立,a b 方程关系，求解，得到'()f x ，求出'()0f x >的解即可；（2）作差并化简()()()1212121121212212ln 22f x f x x x x x x f x x x x x x x -⎛⎫++⎛⎫-=-⋅ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭'，只需证明12112212ln 01x x x x x x +-<-，设12,(0,1)x t t x =∈，只需证明12ln 01t t t +-<-，转化为证明4ln 21t t +<+，构造函数()4ln 1g t t t =++，()0,1t ∈，利用()g t 的单调性即可证明结论. 【详解】（1）解：()122f x ax b x -'=+，由题有()()3,112,215120,22a f a b f a b b ⎧⎧==-++=⎪⎪⎪⇒⎨⎨=-+='⎪⎪=⎩⎪⎩所以()()()()26516111532222x x x x f x x x x x----+-=-+='=，又定义域为()0,x ∈+∞，()001f x x >⇒<<'，所以函数()f x 的单调递增区间为()0,1. （2）由（1）有()12121212x x f a x x b x x +⎛⎫=-++⎪+'⎝⎭， ()()()()()221212121212121ln ln 2x x a x x b x x f x f x x x x x ---+--=-- ()()121212ln ln 2x x a x x b x x -=-++-，由()()()121212121212ln ln 122f x f x x x x x f x x x x x x -+-⎛⎫-=-⎪--⎝⎭'+ ()1211212212ln 2x x x x x x x x ⎛⎫+=-⋅ ⎪+-⎝⎭，下证1211222ln 0x x x x x x +-<-，等价于12112212ln 01x x xx x x +-<-. 设12x t x =，由210x x >>，则()0,1t ∈. 原式等价于：()21142ln 0ln ln 2111t t t t t t t t -+-⇔⇔+<-++. 设()4ln 1g t t t =++，()0,1t ∈， ()()()()222114011t g t t t t t -=-=+'>+恒成立，所以()g t 在()0,1t ∈上单调递增， ()()12g t g <=，()0,1t ∈得证.【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及到导数的几何意义、单调区间、不等式的证明等知识，考查等价转化思想，以及逻辑推理和数学计算能力，属于较难题. 22.点P 的极坐标为2,2π⎛⎫⎪⎝⎭，圆M 的极坐标方程为4cos ρθ=.点S 为圆M 上一动点，线段PS 的中点为点N .（1）求点N 的轨迹方程1C ；（2）设线段PM 的中点为点Q ，直线l 过点Q 且与圆M 交于,A D 两点，直线l 交轨迹1C 于,B C 两点，求QA QDQB QC+的最小值. 【答案】（1）()()22111x y -+-=（2）【解析】【分析】（1）根据点S 为圆M 上一动点，N 为线段PS 的中点设点(),N x y ，点S 为()11,x y ，有11,222x x y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，得到 112,22,x x y y =⎧⎨=-⎩代入圆的方程整理即可.（2）根据点Q 为圆1C 的圆心，则1QB QC ==，得到QA QDQA QD QB QC+=+，设直线1cos ,:1sin ,x t l y t θθ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），代入圆M 有()22cos sin 20t t θθ---=，再由1212QA QD t t t t +=+=-=.【详解】（1）点P 的直角坐标为()0,2，圆M 的标准方程为()2224x y -+=.设点(),N x y ，点S 为()11,x y ，有1111,2,222,22x x x x y y y y ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=-+⎩⎪=⎪⎩代入()2224x y -+=，得()()2222224x y -+-=，即()()22111x y -+-=，所以点N 的轨迹方程1C 为()()22111x y -+-=.（2）点()2,0M ，点Q 的坐标为()1,1为圆1C 的圆心，1QB QC ==，所以QA QD QA QD QB QC +=+，设直线1cos ,:1sin ,x t l y t θθ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），代入圆M ，得()()22cos 1sin 14t t θθ-++=，即()22cos sin 20t t θθ---=，所以()12122cos sin ,2,t t t t θθ⎧+=-⎨=-⎩所以1212QA QD QA QD t t t t QB QC+=+=+=-====≥【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系以及直线参数方程的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23.已知函数()1222f x x a x a=++--. （1）当1a =时，解关于x 的不等式()8f x <；（2）已知2a ≤-，求函数()f x 的最小值. 【答案】（1）733x -<<（2）12【解析】【分析】（1）利用绝对值的几何意义，去掉绝对值求解.（2）根据()11222f x x a x x a x a x a a=++--=++++--，利用绝对值三角不等式得到()12f x a a≥++，再根据2a ≤-，利用不等式的基本性质求解.【详解】（1）当1a =时，()31,3,2235,13,31,1,x x f x x x x x x x ->⎧⎪=++-=+-≤≤⎨⎪-+<-⎩()8f x <等价于1318x x <-⎧⎨-+<⎩或1358x x -≤≤⎧⎨+<⎩或3318x x >⎧⎨-<⎩解得733x -<< 所以原不等式的解集是7|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. （2）()1112222f x x a x x a x a x x a x a a a =++--=++++--≥++-++ 12a a≥++，当且仅当x a =-时，取“=” 因为2a ≤-，所以111111222222a a a a a a +≤--⇒++≤-⇒++≥，所以当2x a =-=时，函数()f x 的最小值为12. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法以及绝对值三角不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题..。

重庆市巴蜀中学2019-2020学年高三下学期高考适应性月考( 六)数学(文)试题

巴蜀中学2020届高考适应性月考卷（六）文科数学一、选择题1.已知集合{}2|10A x x =->，{0,1,2,3}B =，则()R C A B =I （）A. {}2,3B. {}0,1C. []1,1-D. ()(),11,-∞-+∞U2.设复数1z i =+，则34zi=+（） A. 725i+ B.725i- C. 1725i --D. 1725i -+3.在等差数列{}n a 中，若21336a a +=，则252729a a a ++=（） A. 6B. 9C. 12D. 544.命题“()1,1a ∀∈-，1ln cos 21aa x x e e+-≤+”的否定形式是（） A. ()1,1a ∀∈-，1ln cos 21aa x x e e +->+B. ()1,1a ∃∈-，1ln cos 21aa x x e e+-≤+C. (][),11,a ∃∈-∞-+∞U ，1ln cos 21aax x e e +-≤+ D. ()1,1a ∃∈-，1ln cos 21aa x x e e+->+5.在区间[]1,5-上随机取一个实数a ，则使[]2log 0,2a ∈的概率为（） A.13B.12C. 23D.14+ 6.函数5sin 12cos 66y x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值是（） A. 13 B. 17 C. 13-D. 127.若实数,x y 满足不等式组2100,280,0,0,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则z y x =-的最大值为（） A. 1B. 2C. 3D. 48.设12,l l 是两条不同的直线，12,αα是两个不同的平面，下列选项正确的是（） A. 若11l α⊥，22l α⊂，且12l l ⊥，则12αα⊥ B 若11l α⊂，22l α⊂，且12//l α，21//l α，则12//αα C. 若11l α⊥，22l α⊥，且12αα⊥，则12l l ⊥ D. 若11//l α，22//l α，且12//αα，则12//l l9.已知正实数,a b ，则“4ab ≤”是“4a b +≤”的（） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件10.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC V为等边三角形，AB =1BB =，则三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为（）A. 64πB. 36πC. 27πD. 16π11.已知12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，直线():b l y x c a =-与双曲线的一条渐近线交于点P ，且12PF PF ⊥，则双曲线的离心率为（）A.B..C. 2D. 312.已知定义在R 上的函数()f x 满足()12f =，对任意的实数1x ，2x 且12x x <，()()1212f x f x x x -<-，则不等式()1f x x ->的解集为（） A. (),2-∞-B. ()2,+?C. ()(),11,-∞-⋃+∞D. ()(),22,-∞-⋃+∞二、填空题13.若向量m u r 与n r 的夹角为3π，2m =u r ，()1,0n =r ，则2m n +=u r r ______.14.在ABC V 中，若BC =2AB =，3CAB π∠=，则AC =______.15.函数()213log 2212y x x =-++的单调递增区间为______. 16.焦点为F 的抛物线24y x =上有不同的两点,P Q ，且满足()1PF FQ λλ=>u u u r u u u r，若线段PQ 的中点M 到抛物线的准线的距离为83，则λ=______.三、解答题17.在数列{}n a 中，前n 项和为()*n S n N∈，若0na>，数列{}n S 为等比数列，12346,24S S S S +=+=.（1）求n S ；（2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18.某学校高三年级在开学时举行了入学检测.为了了解本年级学生寒假期间历史的学习情况，现从年级1000名文科生中随机抽取了200名学生本次考试的历史成绩，得到他们历史分数的频率分布直方图如图.已知本次考试高三年级历史成绩分布区间为[]35,95.（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生历史成绩的平均分，众数；（每组数据用该组的区间中点值作代表）（3）已知该学校每年高考有65%的同学历史成绩在一本线以上，用样本估计总体的方法，请你估计本次入学检测历史学科划定的一本线该为多少分？19.如图，在三棱台111ABC A B C -中，11122,A AB AC AA B C B A A ==⊥==，.若点M 为1CC 中点，点N 为BC 靠近点C 的四等分点.（1）求证：//MN 平面11ABB A ；（2）若三棱台111ABC A B C -的体积为73V =，求三棱锥1A AMN -的体积.注：台体体积公式：()13V S S h '=++，或在,S S '分别为台体上下底面积，h 为台体的高. 20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为2(,0)(0)F c c >，上顶点为P ，右顶点为Q .若2POF V （O 为坐标原点）的三个内角大小成等差数列. （1）求椭圆C 的离心率e ；（2）直线l 与椭圆交于,A B 两点，设直线6:5b l my x =-，若AQB V 面积的最大值为425，且该椭圆短轴长小于焦距，求椭圆C 的标准方程. 21.函数()21ln 12f x x ax bx =-++ （1）若函数()f x 在1x =处的切线为2y =，求函数()f x 的单调递增区间；（2）证明：对任意210x x >>时，()()1212122f x f x x x f x x -+⎛⎫'<⎪-⎝⎭. 22.点P 的极坐标为2,2π⎛⎫⎪⎝⎭，圆M 的极坐标方程为4cos ρθ=.点S 为圆M 上一动点，线段PS 的中点为点N .的.（1）求点N 的轨迹方程1C ；（2）设线段PM中点为点Q ，直线l 过点Q 且与圆M 交于,A D 两点，直线l 交轨迹1C 于,B C 两点，求QA QDQB QC+的最小值. 23.已知函数()1222f x x a x a=++--. （1）当1a =时，解关于x 的不等式()8f x <；（2）已知2a ≤-，求函数()f x 最小值.的的。

2020届重庆市巴蜀中学高三下学期适应性月考数学(理)试题Word版含解析

2020届重庆市巴蜀中学高三下学期适应性月考数学（理）试题一、单选题1．已知复数z 满足()2z i i i -⋅=-，则z =（） A ．1i + B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】D【解析】首先得到2iz i i-∴=+，再化简复数. 【详解】2iz i i--=()2222111i i i i z i i i i i i --+∴=+=+=+=---. 故选：D 【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题型. 2．已知集合{}|1A x x =<，1|1B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =I （） A ．{}|01x x x <>或 B ．{}|010x x x <<<或 C ．{}|0x x < D ．φ【答案】C【解析】解不等式得出集合B ，根据交集的定义写出A ∩B ．【详解】()()1|1=1,0B x x ⎧⎫=<+∞⋃-∞⎨⎬⎩⎭，,则A B =I {}|0x x <故选：C 【点睛】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．3．在等差数列 {}n a 中， n S 表示 {}n a 的前 n 项和，若 363a a += ，则 8S 的值为（）A ．3B ．8C ．12D ．24 【答案】C【解析】由题意可知，利用等差数列的性质，得18363a a a a +=+=，在利用等差数列的前n 项和公式，即可求解，得到答案。

【详解】由题意可知，数列{}n a 为等差数列，所以18363a a a a +=+=， ∴由等差数列的求和公式可得1888()831222a a S +⨯=== ，故选C 。

【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，及前n 项和公式的应用，其中解答中数列等差数列的性质和等差数列的前n 项和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

4．已知随机变量X 服从正态分布(1,1)N -，则(01)P X <≤=（）（附：若2(,)X N μσ-，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=）A ．0.1359B ．0.906C ．0.2718D ．0.3413【答案】A【解析】由题意可知1,1μσ=-=，利用3σ原则，计算结果. 【详解】由题意可知1,1μσ=-=()()012P X P X μσμσ<≤=+<≤+()()112222P X P X μσμσμσμσ=-<≤+--<≤+ ()10.95450.68270.13592=⨯-=. 故选：A 【点睛】本题考查正态分布曲线的特性和曲线所表示的意义，意在考查3σ原则和曲线的对称性，属于基础题型. 5．将函数()sin 2f x x =的图像保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来的12，再向右平移6π个单位长度后得到()g x ，则()g x 的解析式为A ．()sin()6g x x π=-B ．()sin()6g x x π=+C ．2()sin(4)3g x x π=- D ．()sin(4)6g x x π=-【答案】C【解析】将函数()sin2f x x =的图像保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来的12得到sin 4y x =，再向右平移6π个单位长度后得到()g x ，2()sin 4()sin(4)63g x x x ππ=-=-，故选C. 6．已知点(,)a b 在函数11()221x f x =-+的图象上，则下列四点中也在图象上的是（） A ．(,1)a b -+ B ．(,)a b --C ．(,1)a b --D ．(,)a b -【答案】B【解析】首先计算()()0f x f x -+=，由此判断选项. 【详解】()()1111221221x x f x f x --+=-+-++ 2111221x x x=--++ 21111012x x+=-=-=+ ， ∴点(,)a b 在函数11()221x f x =-+的图象上时，点(),a b --也在图象上. 故选：B 【点睛】本题考查函数的对称性的简单应用，属于基础题型，本题的关键是根据函数的形式，判断()()0f x f x -+=.7．如图是一个算法的程序框图，若该算法输出的结果是1011，则选择框里应该填入的是（）A ．9?i <B ．10?i <C ．11?i <D ．12?i <【答案】C【解析】首先判断程序框图的作用，然后根据输出结果判断选项. 【详解】由程序框图可知，程序是求数列()1111...1223341n n ++++⨯⨯⨯-的和， ()11111n n n n=---（2n ≥）根据裂项相消法可知()1111...1223341n n ++++⨯⨯⨯- 11111111......223341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111n n n-=-= ，由题意可知11011i i -=，解得：11n =，这里i n = ，∴10i =进入循环，11=i 退出循环， ∴选择框里应填入11?i <.故选：C 【点睛】本题考查根据程序框图的的输出结果，求判断框的内容，属于基础题型，本题的关键是读懂循环结构，并会用裂项相消法求和.8．从“舞蹈、相声、小品、歌唱、杂技 ”5个候选节目中选出4个节目参加“艺术节”的汇演，其中第一出场节目不能是“舞蹈”，则不同的演出方案种数是（） A ．72 B ．96 C ．120 D ．144【答案】B【解析】分选到的4个节目没有“舞蹈”和有“舞蹈”两类情况讨论，按照先选再排的方法求解. 【详解】当选出的4个节目没有“舞蹈”，则有4424A =种演出方法，当选出的4个节目有“舞蹈”，则再选3个，则有344C =种选择方案，第一场有3种方法，再安排其他节目有336A =种方案，则不同的演出方案有43672⨯⨯=种方法，综上，共有247296+=种方案. 故选：B 【点睛】本题考查排列的应用，意在考查分析问题的能力，属于基础题型.9．已知正项数列{}n a 满足：12n n a a +>，n S 是{}n a 的前n 项和，则下列四个命题中错误的是（）A ．112nn a a +>B ．()212kk kS S>+⋅C ．12(2)n n S a a n <-≥D ．1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列【答案】D【解析】由条件逐一分析选项，A,;利用不等式迭代得到选项；B.由条件可知112kk a a +> ，222kk a a +>，……22kk k a a >，得到12212...2...k k k kka a a a a a +++++>+++，再证明；C. 由条件对不等式进行放缩得到123123 (2222)n n n nn n n n n n a a a a S a a a a a ---=++++<+++++，再求和证明；D.设数列{}n a 是公比为4的等比数列，说明结论. 【详解】A.0n a >Q ，根据已知可知231121222......2nn n n n a a a a a +-->>>>，112n n a a +∴>，故A 正确；B.0n a >，()()12122212.........k k k k k k ka a a a a a S S a a a +++++++++=+++ 12212...1...k k kka a a a a a +++++=++++ ，由A 可知112k k a a +> ，222k k a a +>，……22kk k a a >,12212...2...k k k kka a a a a a +++++∴>+++，()221212k k kk k kS S S S ∴>+⇒>+，故B 正确； C.由A 可知1122n n n n a a a a -->⇒<……,222222n n n n a a a a -->⇒<111122n n n n a a a a -->⇒<()2n ≥， 123123......2222n n n nn n n n n n a a a a S a a a a a ---∴=++++<+++++ 1211......122n n n a --⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭1112211212n n n n a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭122n n n aa -=- ，由A 可知112nn aa -> ，()2n ≥ 11222n n n n aa a a -∴-<- ， 12n n S a a ∴<- ()2n ≥，故C 成立；D.若数列{}n a 是正项等比数列，并且公比4q =，则142n na a +=>，此时1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列，不是递增数列，故D 不正确. 故选：D 【点睛】本题考查数列，不等式，证明的综合问题，意在考查推理证明，数列的综合应用，属于难题，本题的关键是根据条件进行迭代，从而根据不等式进行证明.10．已知三棱锥P ABC -中，90PAB PAC BAC ︒∠=∠=∠=，1PA =，2AB AC ==，M ，N 分别为PB ，PC 的中点，则直线MN 被三棱锥P ABC -外接球截得的线段长为（）A ．7B ．2C ．33D ．22【答案】A【解析】首先将三棱锥P ABC -补全如图所示的长方体，求球心到直线MN 的距离，再求直线MN 被三棱锥P ABC -外接球截得的线段长. 【详解】由题意，将三棱锥P ABC -补全如图所示的长方体，外接球的球心长方体的对角线的中点O ，22221223R =++= ,即32R =， OM ⊥平面PAB ，ON ⊥平面PAC ， OM ON ∴⊥，且1OM ON ==OMN ∴∆是等腰直角三角形，2MN =点O 到直线MN 的距离就是等腰直角三角形的高1222OH MN ==， ∴ 直线MN 被三棱锥P ABC -外接球截得的线段长为229122742R OH -=-=.故选：A 【点睛】本题考查球和几何体的组合体的综合问题，意在考查空间想象能力，作图能力，计算能力，属于中档题型，三棱锥的条件是三条棱两两垂直，或是对棱相等时都可以采用补体，将三棱锥补成长方体，再分析外接球的问题.11．已知1F ，2F 分别为双曲线22143x y -=的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，2F 关于直线1PF 的对称点为M ，1F 关于直线2PF 的对称点为N ，则当||MN 最小时，12F PF ∠的大小为（） A ．150︒ B ．120︒C ．90︒D ．60︒【答案】B【解析】根据对称性得到1224PN PM PF PF a -=-==，根据余弦定理得到()212121621cos3MN PF PF F PF =+⋅-∠，由三角函数的有界性得到得到||MN 的最小值.【详解】根据对称性知：2PM PF =，1PN PF =，故1224PN PM PF PF a -=-==. 根据余弦定理：2222cos MN PM PN PM PN MPN =+-⋅∠()()()()2121212121221cos 231621cos3PF PF PF PF F PF PF PF F PF π=-+⋅--∠=+⋅-∠120PF PF ⋅>Q ，12cos31F PF ∠≤故当121cos30F PF -∠=，即1223F PF π∠=时，||MN 有最小值. 故选：B 【点睛】本题考查了双曲线内三角函数最值，余弦定理，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于中档题型. 12．已知0a <，不等式1ln 0a x x e a x +⋅+≥对任意的实数1x >恒成立，则实数a 的最小值为（） A ．12e-B ．2e -C ．1e-D ．e -【答案】D【解析】首先不等式变形为ln ln ax a x xe x e --≥⋅，()xf x xe=()1x >，不等式等价于()()ln a f x f x -≥，然后利用函数的单调性可得ln x a x ≥-对任意1x >恒成立，再利用参变分离ln x a x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭恒成立，转化为求函数的最小值. 【详解】不等式变形为()ln x axe xa x -≥- ，即ln ln ax a x xe x e --≥⋅，设()xf x xe =()1x >，则不等式1ln 0a x x e a x +⋅+≥对任意的实数1x >恒成立，等价于()()ln af x f x-≥对任意1x >恒成立，()()10x f x x e '=+>，则()f x 在()1,+∞上单调递增，ln a x x -∴≥ ，即ln x a x ≥-对任意1x >恒成立，ln x a x ⎛⎫∴-≤ ⎪⎝⎭恒成立，即min ln x a x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，令()ln x g x x= ，则()()2ln 1ln x g x x -'= ()1x >，当1x e <<时，()0g x '<，()g x 在()1,e 上单调递减，当x e >时，()0g x '> ，()g x 在(),e +∞上单调递增，x e ∴=时，()g x 取得最小值()g e e = ，a e ∴-≤ ，即a e ≥-，a ∴的最小值是e -.故选：D 【点睛】本题考查函数，导数，不等式恒成立的综合问题，意在考查转化与化归的思想，计算能力，本题的关键和难点是不等式的变形ln ln ax a x xe x e --≥⋅，并能构造函数并转化为()()ln af x f x-≥对任意1x >恒成立.二、填空题 13．（题文）的二项展开式中的常数项为________．【答案】15【解析】试题分析：展开式的通项公式为，令，常数项为【考点】二项式定理14．若变量,x y 满足约束条件1,1,1,y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值是_______.【答案】5【解析】画出可行域分析最大值点即可. 【详解】由题画出可行域,将目标函数2z x y =+化为2y x z =-+, 易得在(2,1)处取得最大值为2215z =⨯+=.故答案为：5 【点睛】本题主要考查了线性规划的一般方法,属于基础题型.15．若a r，b r，c r 均为单位向量，a r，b r的夹角为60︒，且c ma nb =-rr r，则mn 的最大值为________. 【答案】1【解析】()22222c ma nbm n mna b =-=+-⋅r rr rr ，再利用基本不等式求mn 的最大值.【详解】()22222c ma nbm n mna b =-=+-⋅r rr rr111cos602a b ⋅=⨯⨯=o rr ，221m n mn ∴+-=， 222m n mn +≥Q ，21mn mn ∴-≤ ，即1mn ≤ ，等号成立的条件是m n = ，mn ∴的最大值为1.故答案为：1 【点睛】本题考查向量数量积，基本不等式求最值的综合应用，属于基础题型.16．已知抛物线22(0)y px p =>与直线:4320l x y p --=在第一、四象限分别交于A ，B 两点，F 是抛物线的焦点，若||||AF FB λ=u u u r u u u r，则λ=________.【答案】4【解析】首先判断直线l 过抛物线的焦点，方程联立求点,A B 的坐标，并得到AF ，BF 的值，求λ. 【详解】直线:l 当0y =时，2p x =， ∴直线l 过抛物线的焦点，,,A F B 三点共线，联立直线与抛物线方程，224320y pxx y p ⎧=⎨--=⎩ ，得2281720x px p -+=，解得：2A x p = ，8B p x =， 522A p AF x p ∴=+=，528B p BF x p =+=，4AF FBλ==u u u r u u u r .故答案为：4 【点睛】本题考查直线与抛物线的简单综合问题，焦半径公式，意在考查计算能力，属于基础题型.三、解答题17．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos a b c B =+. （1）求角C 的大小；（2）若5a b +=，c =，求ABC V 的面积. 【答案】（1）3π；（2【解析】（1）首先根据正弦定理，边角互化得到2sin sin 2sin cos A B C B =+，再利用三角恒等变形得到cos C 的值；（2）根据余弦定理得2213a b ab =+-，变形求ab 和三角形的面积. 【详解】（1）在ABC ∆中，由正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B =+，()sin sin A B C =+Q ，可得()2sin sin 2sin cos B C B C B +=+ 得：2sin cos sin B C B =，sin 0B ≠Q ,1cos 2C ∴=, 0C π<<Q ，3C π∴=；（2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，代入可得()222133a b ab a b ab =+-=+-，()231312ab a b ∴=+-= ，4ab ∴= ，1sin 2ABC S ab C ∆∴==【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，意在考查转化与化归的思想，属于基础题型.18．某学校有30位高级教师，其中60%人爱好体育锻炼，经体检调查，得到如下列联表.（1）根据以上信息完成22⨯列联表，并判断有多大把握认为“身体好与爱好体育锻炼有关系”？（2）现从身体一般的教师中抽取3人，记3人中爱好体育锻炼的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：【答案】（1）详见解析；（2）分布列见解析，35E ξ=【解析】（1）首先求22⨯列联表，并计算27.879K >，得到答案；（2）由题意可知0,1,2ξ=，并按照超几何分布概型求概率，并写出分布列和数学期望. 【详解】（1）由题意可知爱好体育锻炼的人有3060%18⨯=人，22⨯列联表如下表所示，()223016842107.87920101812K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯∴有99.5%的把握认为“身体好与爱好体育锻炼有关系”.（2）身体一般的人数有10人，任取3人，其中爱好体育锻炼的人有2人，则0,1,2ξ=()383107015C P C ξ===，()12283107115C C P C ξ=== ,()21283101215C C P C ξ=== ,ξ0 1 2P 715715 11577130121515155E ξ∴=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查独立性检验，超几何概率类型求分布列和数学期望，意在考查对数据的分析，理解题意，抽象概括为数学问题，属于基础题型.19．如图，三棱锥S ABC -中，90ASC ABC ︒∠=∠=，30CAB ︒∠=，60CAS ︒∠=，30SB =，43AC =.（1）求证：平面ASC ⊥平面ABC ；（2）M 是线段AC 上一点，若534AM =A SM B --的大小. 【答案】（1）详见解析；（2）135o【解析】（1）过点S 作SH AC ⊥于点H ，连接BH ，要证明面面垂直，转化为证明线面垂直，即证明SH ⊥平面ABC ；（2）以点H 为坐标原点，,HA HS 所在直线分别为x 轴，z 轴，在平面ABC 上垂直于AC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，分别求平面ASM 和平面SMB 的一个法向量为n r ，m r，利用公式cos ,m n <>r r求二面角的大小. 【详解】（1）证明：过点S 作SH AC ⊥于点H ，连接BH ，在Rt ASC ∆中，由90ASC ∠=o ，60CAS ∠=o ，43AC =可得3AS =6SC =，在Rt AHS ∆中，由SH AC ⊥，60CAS ∠=o ，可得3SH =，3AH =，在Rt ABC ∆中，由43AC =30CAB ∠=o ，可得6AB =，在ABH ∆中，由余弦定理可得22262621BH =+-⨯=o，即BH =，在SHB ∆中，3SH =，BH =SB =，222SB SH BH ∴=+SH BH ∴⊥又SH AC ⊥，BH AC H =I ，SH ∴⊥平面ABC ， SH ⊂Q 平面ASC ，∴平面ASC ⊥平面ABC .（2）如图所示，以点H 为坐标原点，,HA HS 所在直线分别为x 轴，z 轴，在平面ABC 上垂直于AC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,3S，()B -，M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则34SM ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r，()3SB =--u u r ，易知平面ASM 的一个法向量为()0,1,0n =r，设平面SMB 的一个法向量为(),,m x y z r=，则00m SM m SB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vr u u v r，即304330x z y z ⎧--=⎪⎨⎪-+-=⎩，令1z =，得()7,1m =--r，于是cos ,2m n m n m n ⋅<>===-r r r rr r ，又二面角A SM B --为钝角，所以二面角A SM B --为135o .【点睛】本题考查面面垂直的证明，二面角，意在推理证明，利用空间向量解决空间角，属于中档题型，本题第一问的关键是作辅助线，并且根据三边长度满足勾股定理，证明SH BH⊥.20．如图，B，A是椭圆22:14xC y+=的左、右顶点，P，Q是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是BQk，AQk，APk.（1）求证：14BQ AQk k⋅=-；（2）若直线PQ过定点6,05⎛⎫⎪⎝⎭，求证：4AP BQk k=.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）设()11,Q x y，代入斜率公式求14BQ AQk k⋅=-；（2）设直线PQ的方程是65x my=+，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示1AP AQk k⋅=-，再根据（1）的结论证明.【详解】（1）设()11,Q x y21211122111111422444BQ AQxy y yk kx x x x-⋅=⋅===-+---；（2）设直线PQ 的方程是65x my =+，设()()1122,,,P x y Q x y 与椭圆方程联立，226514x my x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得：()22126440525m y my ++-= ， ()1221254m y y m +=-+ ，()12264254y y m =-+ ，12121212442255AP AQ y y y y k k x x my my ⋅=⋅=--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()()2122221212226425441664481652525254254m y y m m m y y m y y m m -+==-++-++++()2226416448164m m m -==--+++ ，1AP AQ k k ∴⋅=- ,由（1）可知14BQ AQ k k ⋅=-，两式消去AQ k ，解得：4AP BQ k k =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，定值和定点，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于中档题型，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.21．已知函数()ln xe f x a x x-=．（1）当0a =时，求函数()f x 在()0,∞+上的最小值；（2）若202e a <≤，求证：()0f x >．【答案】（1）()min f x e =（2）证明见解析【解析】（1）由0a =得()()0xe f x x x>=，对其求导，解对应的不等式，判断单调性，即可得出最值；（2）先对函数求导，得到()()21--'=x x e ax f x x，根据202ea <≤，判断函数()f x 的单调性，求出最小值，再由导数的方法研究()f x 最小值的范围，即可证明结论成立. 【详解】（1）当0a =时，由()()0x e f x x x >=，得()()21x x e f x x-'=，当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 在()0,1上单调递减；当()1,+x ∈∞时，()0f x '>，()f x 在()1,+∞上单调递增，∴()()min 1f x f e ==．（2）由题意，函数的定义域为()0,+∞，()()()2211x x x e x e ax a f x x xx ---'=-=，令()()1xg x x e ax =--，0x >，则()xg x xe a '=-，设()xt x xe a =-，则()()+10xt x x e '=>，易知()g x '在()0,+∞上单调递增，∵202e a <≤，∴()00g a '=-<，()2220g e a '=->，所以存在唯一的()10,2x ∈，使()10g x '=，当()10,x x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减，当()1+x x ∈∞，时，()0g x '>，()g x 单调递增，又∵()0=1g -，()2220g e a =-≥，∴当()10,x x ∈时，()()00g x g <<，即()g x 在()10,x 上无零点， ∴存在唯一的(]01,2x x ∈，使()00g x =，即()0001=xx e ax -，∵()10g a =-<，∴012x <<，则000=1x e ax x -．当()00,x x ∈时，()0g x <，即()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,+x x ∈∞时，()0g x >，即()0f x '>，()f x 单单调递增． ∴()()00000min0001ln =ln ln 11x e af x f x a x a x a x x x x ⎛⎫==--=- ⎪--⎝⎭，012x <<．令()1ln 1h x x x =--，则()h x 在()1+¥，上单调递减，∵012x <<∴()()021ln20h x h >=->，又∵0a >∴()min 0f x >，从而()0f x >．【点睛】本题主要考查求函数的最值，以及由导数的方法证明不等式恒成立，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，极值，最值等即可，属于常考题型. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）求曲线1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（2）曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【答案】（1）1C ：2cos ρθ=，2C ：2240x y y +-=；（2）5【解析】（1）先消参得1C 的普通方程，再由cos ,sin x y ρθρθ==进行转换即可；（2）两曲线联立求得交点坐标，再由两点间距离公式求解即可. 【详解】（1）曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），转换为直角坐标方程为：22(1)1x y -+=，即222x y x +=，转化为极坐标方程为：2cos ρθ=.曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，两边同乘ρ，得24sin ρρθ=，即2240x y y +-=；（2）联立2222240x y x x y y ⎧+=⎨+-=⎩，得00x y =⎧⎨=⎩或4585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 不妨设(0,0)A ，48(,)55B，则5AB ==.【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，考查了两点间的距离的求解，属于基础题. 23．已知函数()22f x x x m =-++. （1）当1m =时，解不等式()3f x ≤；（2）若不等式()3f x ≤的解集不是空集，求实数m 的取值范围．【答案】（1）4[0,]3；（2）42m -≤≤【解析】（1）分段讨论去绝对值求解不等式即可；（2）讨论m 和-1的大小，求函数的最小值，只需最小值满足不等式即可. 【详解】（1）1m =时，()32213f x x x ≤⇔-++≤11223x x x ≤-⎧⇔⎨---+≤⎩或111223x x x -<<⎧⎨+-+≤⎩或12213x x x ≥⎧⎨-++≤⎩，解得：40x 3≤≤，所以不等式的解集为4[0,]3.（2）①当1m <-时，22,1()22,122,x x m x f x x x m x m x x m x m -+--<⎧⎪=---≤≤-⎨⎪-++>-⎩，即32,1()2,132,x m x f x x m x m x m x m -+-<⎧⎪=--≤≤-⎨⎪-+>-⎩. ∴1x =时，()f x 取得最小值1m --，∴13m --≤，解得41m -≤<-， ②当01x ≠时，33,1()3133,1x x f x x x x -≤⎧=-=⎨->⎩，所以1x =时，()f x 取得最小值0，03≤，故01x ≠符合，③当1m >-时，32,()2,132,1x m x m f x x m m x x m x -+-<-⎧⎪=-++-≤≤⎨⎪-+>⎩，所以1x =时，()f x 取得最小值1m +，∴13m +≤，即得12m -<≤，综上：42m -≤≤．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解及含绝对值函数的最值的求解，涉及分类讨论的思想，属于中档题.。

重庆市巴蜀中学2020届高三(理)数学适应性月考卷(含解析)

重庆市巴蜀中学2020届高三（理）数学适应性月考卷（含解析）一、选择题1.已知集合1lg 1x A x y x ⎧⎫-==⎨⎬+⎩⎭，{}11B x x =->，则A B =（） A. (,1)(2,)-∞-+∞ B. (,1)(1,)-∞-+∞ C. (,0)(2,)-∞+∞ D. (,0)(1,)-∞⋃+∞A【解析】【分析】解不等式确定集合,A B ，再求交集．【详解】由101x x ->+，得1x <-或1x >，即(,1)(1,)A =-∞-+∞，由11x ->，得2x >或0x <，即(,0)(2,)B =-∞+∞， ∴(,1)(2,)AB =-∞-+∞．故选：A.【点睛】本题考查集合的交集运算，考查对数函数的定义域，掌握集合运算的概念是解题基础． 2.20(2dx =⎰（）A .4π+B. 42π+C. 44π+D. 2π+ 【答案】A【解析】【分析】由定积分公式，22000(22dx dx =+⎰⎰，其中0由定积分的几何意义求解．【详解】22222 000(24)24x dx dx x dx+-=+-⎰⎰⎰22224dx x⎰==，以原点为圆心，2 为半径作圆，如图，224x dx-⎰表示圆在第一象限部分的面积，∴224x dx-⎰2124ππ=⨯⨯=，∴22222000(24)24x dx dx x dx+-=+-⎰⎰⎰4π=+．故选：A.【点睛】本题考查定积分，考查定积分的几何意义．属于基础题．3.直线220x y++=与圆224x y+=交于,A B两点，O为坐标原点，则AOB∆的面积为（）5B.45C.85D.165【答案】C【解析】【分析】求出圆心到直线的距离，由垂径定理求得弦长，然后可求面积．【详解】圆224x y+=的圆心为(0,0)O，半径为4r=，。