自动控制原理4

§1.绪论部分
由第三章可知，闭环极点完全决定了系统的稳 定性，闭环极点和零点则决定了系统的品质。所以， 如能确定闭环极点在S平面上的位置，则对控制系统的 性能分析则意义重大。 由于闭环极点是特征方程的根，随着特征方程阶 数的增大，求解困难（试探求法）。而开环传函由简 单环节串联组成，零极点易确定，若能用开环极零点 确定闭环极点在S平面的位置，并通过调节开环极零点 位置改善闭环极零点位置，将使问题更加简单。该方 法为：
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1.根轨迹的起始点和终止点
起点 Kg=0，由根轨迹方程(↓)可知起点应从开环极点 （或s=-pj）开始
(s zi) / (s pj) 1/ Kg
终点 Kg=∞，同理，终点应在s=-zi（开环零点处）， 有多少个开环极点就有多少个起点，零点也一样， 只不过由于n-m＞0，所以零点将有n-m个在无穷远 处．
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２.根轨迹数（分支数）和它的对称数
分支数等于开环极点数n（特征方程阶数）．
由实系数特征方程知，特征根不是实根，就是共 轭复根，故根轨迹一定对称于实轴．
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３.实轴上的根轨迹
由轴上某个区段，若它的右侧开环零极点总数 为奇数， 则该区段为一根轨迹分支 n m 由辐角条件可知： i j N z N p (2k 1)
1 1
特征根S左侧开环零极点对开环传函的幅角没有贡献 P112，而右侧的每个开环零极点都引起180°的辐角变 化，所以右侧零极点总数为奇数个时恰好能满足辐角 条件。
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4.分离点和会合点
分离点：由实轴分离 进入复平面的点。 会合点：复平面汇合进入实轴上的点。
i 1 j 1 m n
或
K K K g zi / p j
i 1 j 1
m
n
根轨迹以根轨迹放大系数Kg绘制
p110, 例 4--1
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§3.根轨迹的绘制法则
一、根轨迹分类：
主根轨迹：0<=Kg<∞ 的根轨迹（180°根轨迹） 辅根轨迹：-∞<=Kg<0 的根轨迹 广义根轨迹：以除Kg 外的某一其它系统参数绘制的 根轨迹 零度根轨迹：幅角条件是±360的根轨迹 根轨迹族：几个系统参数同时变化构成的的根轨迹
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根轨迹法：根据开环极零点分布，当系统某参 数由零变到无穷大，绘制出闭环特根在S平面上的 相应的变化轨迹，由此来分析，系统的暂态响应， 参数对暂态响应的影响，以及系统的综合与校正。 这是一种图解方法。
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§2.根轨迹法的基本概念与绘制条件

基本概念 根轨迹的绘制条件 根轨迹的分类
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、基本概念
例1：单位反馈二阶系统
K* Wk s ( s 2)
K* WB 2 s 2s K *

K* s ( s 2)
特征方程：s² +2s+k*=0 特征根：
s1 1 1 K * , s2 1 1 K*
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１、幅值条件： WK ( s ) 1 ２、相角条件： WK ( s ) 180 (2k 1), k Z 注意：
I.
若用
WK ( s )
K g ( s zi )
i 1
m
(s p j )
j 1
n
n

K g N ( s) D( s)
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二、根轨迹的绘制条件
Kg ( s zi ) / ( s pj) KgN ( s) / D( s)
i 1 j 1 m n
特征方程：
１＋Ｗk(s)=0
根轨迹方程：
Ｗk(s)= -1 （＊）
凡满足（＊）式的s都是根轨迹上的点，反之，根 轨迹上的点也都满足（＊）式。（曲线与方程一一对 应关系）则绘制其根轨迹条件应为：
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K*
S1
S2
开
闭
响应
0
0
-2 过阻尼
临界阻尼
（0，1） S1左移〈0 S2右移〈0 ↑
1 -1 -1
（1，+∞） -1+j K*-1 ↑
-1-j K*-1
欠阻尼
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结论：
1、开环传函参数K*影响着闭环极点的分布。 2、随着K*的增大，系统响应经历着过阻 尼 、等阻尼、欠阻尼。 3、K*与闭环极点，一一对应，进而可分析 系统稳定性及其它各项性能指标。
代入（＊）式根： s=δ+jω 则有
N ( s) / D( s) ( s zi ) / ( s pj) A( )e j ( ) 1 / Kg
i 1 j 1 m
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1. A( w)
(s z ) (s p )
i j m i 1
l L
n j 1
i j

1 Kg
m n i 1 j 1
2. ( w) ( s zi ) ( s p j ) i j (2k 1) , k Z
S L3 β3 -P2 l1 α1 -Z1 L2 β2 -P1 L1 β1 P0
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Ⅱ若
WK ( s ) K K (Tzi s 1)
i 1 m
1 1 (Tp s 1) Tzi , Tp j j zi pj j 1
n
则根轨道放大倍数 K g 与开环放大倍数 K K 的关系为：
K g K K Tzi / Tp j
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二、绘制根轨迹的一般法则(*)
1 根轨迹的起始点和终止点 2 根轨迹数和它的对称数 3 实轴上的根轨迹 4 分离点和会合点 5 根轨迹的渐近线 6 根轨迹出射角和入射角 7 根轨迹与虚轴交点 8 根轨迹的走向 9 放大系数求取值 10分离角与会合角
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