点和圆的位置关系1学案

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数学(文)一轮教学案：第九章第2讲圆的方程及点、线、圆的位置关系 Word版含解析

第2讲圆的方程及点、线、圆的位置关系考纲展示命题探究1 圆的方程(1)圆的标准方程与一般方程(2)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，以AB 为直径的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.2 点与圆的位置关系圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)．(1)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔点M 在圆上；(2)(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔点M 在圆外；(3)(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔点M 在圆内．注意点圆的标准方程与一般方程的关系圆的标准方程展开整理即可得到圆的一般方程，而圆的一般方程通过配方亦可转化为圆的标准方程，二者只是形式的不同，没有本质区别.1．思维辨析(1)方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的一个圆．( )(2)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a ，半径为12 －3a 2－4a ＋4的圆．( )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( )(5)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．圆心在曲线y ＝14x 2(x <0)上，并且与直线y ＝－1及y 轴都相切的圆的方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝2B ．(x －1)2＋(y －2)2＝4C ．(x －2)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝4答案 D解析设圆心的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x ，14x 2，据题意得14x 2＋1＝－x ，解得x ＝－2，此时圆心的坐标为(－2,1)，圆的半径为2，故所求圆的方程是(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.3．直线y ＝x －1上的点到圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋4＝0的最近距离为( )A ．2 2B.2－1 C ．22－1D ．1答案 C解析圆心(－2,1)到已知直线的距离为d ＝22，圆的半径为r ＝1，故所求距离d min ＝22－1.[考法综述] 求圆的方程是考查圆的方程中的一个基本点，一般涉及圆的性质，直线与圆的位置关系等．主要依据圆的标准方程、一般方程、直线与圆的几何性质，运用代数方法和几何方法解决问题．命题法1 求圆的方程典例1 (1)若圆心在x 轴上、半径为5的圆O ′位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O ′的方程是( )A ．(x －5)2＋y 2＝5或(x ＋5)2＋y 2＝5B ．(x ＋5)2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝5(2)求经过A (5,2)，B (3,2)，圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程．[解析] (1)设圆心坐标为(a,0)(a <0)，因为圆与直线x ＋2y ＝0相切，所以5＝|a ＋2×0|5，解得a ＝－5，因此圆的方程为(x ＋5)2＋y 2＝5.(2)解法一：从数的角度，若选用一般式：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2. ∴⎩⎨⎧ 52＋22＋5D ＋2E ＋F ＝0，32＋22＋3D ＋2E ＋F ＝0，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2－3＝0.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－8，E ＝－10，F ＝31.∴圆的一般方程为x 2＋y 2－8x －10y ＋31＝0.解法二：从形的角度，AB 为圆的弦，由平面几何知识知，圆心P 应在AB 中垂线x ＝4上，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＝4，得圆心P (4,5)． ∴半径r ＝|P A |＝10.∴圆的标准方程为(x －4)2＋(y －5)2＝10.[答案] (1)D (2)见解析【解题法】用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1)选用圆的方程两种形式中的一种，若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标轴间的关系，通常选用标准方程．(2)根据所给条件，列出关于D ，E ，F 或a ，b ，r 的方程组．(3)解方程组，求出D ，E ，F 或a ，b ，r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程．命题法2 与圆有关的最值问题典例2 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求： (1)y x 的最大值和最小值；(2)y－x的最大值和最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．[解]原方程变形为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，半径r ＝3的圆．(1)设yx＝k，即y＝kx，由题知，直线y＝kx与圆恒有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径 3.∴|2k－0|k2＋1≤ 3.∴k2≤3，即－3≤k≤3，∴yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)设y－x＝b，则当直线y－x＝b与圆相切时，b取最值，由|2－0＋b|2＝3，得b＝－2±6，∴y－x的最大值为6－2，最小值为－2－ 6.(3)令d＝x2＋y2表示原点与点(x，y)的距离，∵原点与圆心(2,0)的距离为2，∴d max＝2＋3，d min＝2－ 3.∴x2＋y2的最大值为(2＋3)2＝7＋43，最小值为(2－3)2＝7－4 3.【解题法】与圆上点(x，y)有关的最值问题的常见类型及解法(1)形如t＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题，即转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值．(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如t＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．命题法3与圆有关的轨迹问题典例3已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．[解] (1)设AP 的中点为M (x 0，y 0)，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x 0－2,2y 0)．因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x 0－2)2＋(2y 0)2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ′，y ′)．在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |. 设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x ′2＋y ′2＋(x ′－1)2＋(y ′－1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.1．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10 答案 C解析设过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ D ＋3E ＋F ＋10＝04D ＋2E ＋F ＋20＝0D －7E ＋F ＋50＝0，解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20，所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，令x ＝0，得y 2＋4y －20＝0，设M (0，y 1)，N (0，y 2)，则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－20，所以|MN |＝|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝4 6.故选C.2．如图，圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.(1)圆C 的标准方程为________________；(2)过点A 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于M ，N 两点，下列三个结论：①|NA ||NB |＝|MA ||MB |；②|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2；③|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝2 2.其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号) 答案 (1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)①②③解析 (1)依题意，设C (1，r )(r 为圆C 的半径)，因为|AB |＝2，所以r ＝12＋12＝2，所以圆心C (1，2)，故圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0(x －1)2＋(y －2)2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝2－1或 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2＋1，因为B 在A 的上方，所以A (0，2－1)，B (0，2＋1)．不妨令直线MN 的方程为x ＝0(或y ＝2－1)，M (0，－1)，N (0,1)，所以|MA |＝2，|MB |＝2＋2，|NA |＝2－2，|NB |＝ 2.所以|NA ||NB |＝2－22＝2－1，|MA ||MB |＝22＋2＝2－1，所以|NA ||NB |＝|MA ||MB |，所以|NB ||NA |－|MA ||MB |＝22－2－(2－1)＝2＋1－(2－1)＝2，|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝22－2＋(2－1)＝2＋1＋2－1＝22，正确结论的序号是①②③.3.设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．答案 [－1,1]解析解法一：当x 0＝0时，M (0,1)，由圆的几何性质得在圆上存在点N (－1,0)或N (1,0)，使∠OMN ＝45°.当x 0≠0时，过M 作圆的两条切线，切点为A 、B .若在圆上存在N ，使得∠OMN ＝45°，应有∠OMB ≥∠OMN ＝45°，∴∠AMB ≥90°，∴－1≤x 0<0或0<x 0≤1.综上，－1≤x 0≤1.解法二：过O 作OP ⊥MN ，P 为垂足，OP ＝OM ·sin45°≤1，∴OM ≤1sin45°，∴OM 2≤2，∴x 20＋1≤2，∴x 20≤1，∴－1≤x 0≤1.4．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．答案 x 2＋(y －1)2＝1解析因为(1,0)关于y ＝x 的对称点为(0,1)，所以圆C 是以(0,1)为圆心，以1为半径的圆，其方程为x 2＋(y －1)2＝1.直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.注意点切线长的计算涉及到切线长的计算时，一般放在由切线长、半径及该点与圆心的连线构成的直角三角形中求解.1．思维辨析(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( )(2)“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的必要不充分条件．( )(3)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( )答案 (1)√ (2)× (3)√2．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( )A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心答案 C解析 ∵x 2＋y 2＝2的圆心(0,0)到直线y ＝kx ＋1的距离d ＝|0－0＋1|1＋k 2＝11＋k 2≤1，又∵r ＝2，∴0<d <r .显然圆心(0,0)不在直线y ＝kx ＋1上，故选C.3．圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长为________．答案 23解析圆C 1的方程减圆C 2的方程，即得公共弦所在的直线l 的方程为x ＋y －1＝0，圆C 3的圆心为(1,1)，其到l 的距离d ＝12，由条件知，r 2－d 2＝234，∴弦长为23. [考法综述] 直线与圆的位置关系主要通过数形结合思想考查直线和圆的几何性质．命题法直线与圆的位置关系及应用典例 (1)直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定 (2)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) [解析] (1)直线ax －y ＋2a ＝0⇒a (x ＋2)－y ＝0，即直线恒过点(－2,0)，因为点(－2,0)在圆内，所以直线与圆相交．(2)因为直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，所以圆心到直线的距离d ＝|a －0＋1|2≤r ＝2，可得|a ＋1|≤2，即a ∈[－3,1]． [答案] (1)C (2)C【解题法】 1.有关弦长问题的两种方法(1)几何法：直线被圆截得的半弦长l 2，弦心距d 和圆的半径r 构成直角三角形，即r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＋d 2. (2)代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x 的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2或|AB |＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1k 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.2．过一点求圆的切线的方法(1)过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法先求切点与圆心连线的斜率k ，由垂直关系知切线斜率为－1k ，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x ＝x 0.(2)过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法当斜率存在时，设为k ，切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当斜率不存在时要加以验证．1．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34答案 D解析圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为C (－3,2)，半径r ＝1.如图，作出点A (－2，－3)关于y 轴的对称点B (2，－3)．由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点B .设反射光线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y －(－3)＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切可得|k (－3)－2－2k －3|1＋k 2＝1，即|5k ＋5|＝1＋k 2，整理得12k 2＋25k ＋12＝0，即(3k ＋4)(4k ＋3)＝0，解得k ＝－43或k ＝－34.故选D.2.设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4) 答案 D解析当直线l 的斜率不存在时，这样的直线l 恰有2条，即x ＝5±r ，所以0<r <5；所以当直线l 的斜率存在时，这样的直线l 有2条即可．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝2x 0y 1＋y 2＝2y 0. 又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1y 22＝4x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2y 0.设圆心为C (5,0)，则k CM ＝y 0x 0－5.因为直线l 与圆相切，所以2y 0·y 0x 0－5＝－1，解得x 0＝3，于是y 20＝r 2－4，r >2，又y 20<4x 0，即r 2－4<12，所以0<r <4，又0<r <5，r >2，所以2<r <4，选D.3．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( ) A ．2B ．4 2C ．6D ．210 答案 C解析由题意得圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆C 的圆心为(2,1)，半径为2.因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1，所以|AB |2＝|AC |2－|BC |2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝36，所以|AB |＝6，故选C.4．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.4π5B.3π4 C ．(6－25)πD.5π4 答案 A解析解法一：由题意得以AB 为直径的圆C 过原点O ，圆心C 为AB 的中点，设D 为切点，要使圆C 的面积最小，只需圆的半径最短，也只需OC ＋CD 最小，其最小值为OE (过原点O 作直线2x ＋y －4＝0的垂线，垂足为E )的长度．由点到直线的距离公式得OE ＝45. ∴圆C 面积的最小值为π×⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45π.故选A. 解法二：由题意可知圆C 的圆心(设其为M )为线段AB 的中点，且圆C 过原点(0,0)，∵圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，∴圆C 的圆心M 到原点(0,0)的距离等于M 点到直线2x ＋y －4＝0的距离．由抛物线的定义可知，圆C 的圆心M 的轨迹是以(0,0)为焦点，2x ＋y －4＝0为准线的抛物线．如图所示．要使圆C 面积最小，则需找出圆C 半径的最小值．由抛物线和准线的关系可知抛物线的顶点到准线的距离最短，即为(0,0)到直线2x ＋y －4＝0的距离的一半．因此，圆C 半径的最小值为r min ＝45×12＝255.故圆C 面积的最小值为πr 2min ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫2552＝4π5. 5．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．答案 (x －1)2＋y 2＝2解析因为直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径r ＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.6．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.答案 2解析由题意，得圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即|a |2＝|b |2，|a |2＝cos45°＝22，所以a 2＝b 2＝1，故a 2＋b 2＝2.7．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．答案 2555解析圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心为C (2，－1)，半径r ＝2，圆心C 到直线x ＋2y －3＝0的距离为d ＝|2＋2×(－1)－3|12＋22＝35，所求弦长l ＝2r 2－d 2＝24－95＝2555.8．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.答案 4±15解析由△ABC 为等边三角形可得，C 到AB 的距离为3，即(1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离d ＝|a ＋a －2|1＋a2＝3，即a 2－8a ＋1＝0，可求得a ＝4±15.9.已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解 (1)圆C 1的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心C 1(3,0)．(2)由垂径定理知，C 1M ⊥AB ，故点M 在以OC 1为直径的圆上，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94. 故线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94在圆C 1：(x －3)2＋y 2＝4内部的部分，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53＜x ≤3. (3)联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝53，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，解得⎩⎨⎧x ＝53，y ＝±253.不妨设其交点为P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253， P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－253，设直线L ：y ＝k (x －4)所过定点为P (4,0)，则kPP 1＝－257，kPP 2＝257.当直线L 与圆C 相切时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪32k －4k k 2＋1＝32，解得k ＝±34. 故当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－257，257时，直线L 与曲线C 只有一个交点．圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R，r，R>r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：注意点判别式与两圆的位置关系在利用判别式Δ判断两圆的位置关系时，Δ>0是两圆相交的充要条件，而Δ＝0是两圆外切(内切)的必要不充分条件，Δ<0是两圆外离(内含)的必要不充分条件.1．思维辨析(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．()(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．()(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．()(4)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y ＝r2.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有()A．1条B．2条C．3条D．4条答案 B解析圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2.3．若圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l 对称，则直线l的方程是()A．x＋y＝0 B．x－y＝0C．x－y＋2＝0 D．x＋y＋2＝0答案 C解析圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0，即(x＋2)2＋(y－2)2＝4，圆心C的坐标为(－2,2)．直线l 过OC 的中点(－1,1)，且垂直于直线OC ，易知k OC ＝－1，故直线l 的斜率为1，直线l 的方程为y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0.故选C.[考法综述] 根据两个圆的方程判断两圆的位置关系，利用圆的几何性质解决相关问题．命题法圆与圆的位置关系典例 (1)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离(2)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是______．[解析] (1)两圆心之间的距离为d ＝(－2－2)2＋(0－1)2＝17，两圆的半径分别为r 1＝2，r 2＝3.则r 2－r 1＝1<d <r 1＋r 2＝5，故两圆相交．(2)圆C 方程可化为(x －4)2＋y 2＝1，圆心坐标为(4,0)，半径为1.由题意知，直线y ＝kx －2上至少存在一点(x ，kx －2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，所以(x －4)2＋(kx －2)2≤2，整理得(k 2＋1)x 2－(8＋4k )x ＋16≤0，此不等式有解的条件是Δ＝(8＋4k )2－64(k 2＋1)≥0，解得0≤k ≤43，故k 的最大值为43.[答案] (1)B (2)43【解题法】两圆位置关系的相关问题(1)圆与圆的位置关系有5种：外离、外切、相交、内切、内含．在高考中涉及两圆位置关系时，常见有两种命题方式：①已知两圆方程判断两圆的位置关系，一般采用几何法求解． ②圆与圆位置关系的应用，即通过圆与圆的位置关系，研究公共弦及公切线等问题．(2)两圆相交公共弦问题①求相交圆公共弦问题设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如果先求交点坐标，再用两点式求直线方程，显然太繁琐，为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．设两圆任一交点坐标是(x0，y0)，则有：x20＋y20＋D1x0＋E1y0＋F1＝0，①x20＋y20＋D2x0＋E2y0＋F2＝0.②①－②得(D1－D2)x0＋(E1－E2)y0＋(F1－F2)＝0.显然，两交点坐标均满足此方程．因此，方程(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0就是两圆的公共弦方程．②求两圆公共弦长的步骤第一步，先求两圆公共弦所在的直线方程；第二步，利用圆心到直线的距离、半径和弦长的一半，这三个量构成的直角三角形计算，即可求出两圆公共弦长．(3)两圆位置关系与公切线条数，12M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．52－4 B.17－1C．6－2 2 D.17答案 A解析圆C1，C2如图所示．设P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理可得|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，连接C1′C2，与x轴交于点P，连接PC 1，根据三角形两边之和大于第三边可知|PC 1|＋|PC 2|的最小值为|C 1′C 2|，则|PM |＋|PN |的最小值为52－4.选A.2．已知两圆⊙C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y －3＝0和⊙C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y －3＝0都经过点A (2，－1)，则同时经过点(D 1，E 1)和点(D 2，E 2)的直线方程为( )A ．2x －y ＋2＝0B ．x －y －2＝0C ．x －y ＋2＝0D ．2x ＋y －2＝0 答案 A解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 5＋2D 1－E 1－3＝05＋2D 2－E 2－3＝0即⎩⎪⎨⎪⎧2D 1－E 1＋2＝02D 2－E 2＋2＝0，∴点(D 1，E 1)和点(D 2，E 2)都在直线2x －y ＋2＝0上，故同时经过(D 1，E 1)和(D 2，E 2)的直线方程为2x －y ＋2＝0.3．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦长为23，则a ＝________.答案 1解析两圆方程作差易知弦所在的直线方程为y ＝1a ，如图，由已知得|AC |＝3，|OA |＝2，∴|OC |＝1a ＝1，∴a ＝1.创新考向与圆有关的创新交汇问题是近几年高考命题的一个热点，此类问题多以其他相关知识为依托，考查圆的方程以及直线与圆的位置关系，考查分类讨论思想；或以圆为依托考查基本不等式求最值等．常见的有与集合问题相交汇、与线性规划相交汇、与不等式相交汇、与向量相交汇等．创新例题设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋3]B ．(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)答案 D解析由圆的方程得圆心为(1,1)，半径为r ＝1，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离为d ＝|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1. 整理得m ＋n ＋1＝mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22 设m ＋n ＝x ，则有x ＋1≤x 24解得，x ≥2＋22或x ≤2－2 2.则m ＋n 的取值范围是(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)，故选D.创新练习1．M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －3)2＝a 2，a >0}，则M ∩N ≠∅时，a 的最大值与最小值分别为________、________.答案 2＋22 22－2 解析由已知可得集合M 表示圆x 2＋y 2＝2a 2的上半部分，而集合N 表示圆心(1，3)半径为a 的圆，若M ∩N ≠∅，则圆N 与半圆M 有公共点，设两圆的圆心距为d ，且d ＝2.则(2－1)a ≤d ≤(2＋1)a ，解得a ≥22－2或a ≤22＋2.2．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2≥0x －2y ＋1≤0x ＋y －2≤0上，点Q 在曲线x 2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为________．答案 5－1解析根据条件画出可行域如图．设z＝|PQ|表示圆上的点到可行域的距离．当点P在A处时，求出|PQ|＝5，即|PQ|min＝5－1.创新指导1．准确转化：解决此类创新问题时，一定要读懂题目的本质含义，紧扣题目所给条件，结合题目要求进行恰当转化，将问题转化为熟知的问题解决．2．方法选取：对于此类问题要特别注意圆的定义及其性质的应用，要根据条件，合理选择代数方法或几何方法，对于涉及参数的问题，要注意参数的变化对问题的影响，以便确定是否需要分类讨论．已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，则过点P(－1,1)的圆的切线方程为________．[错解][错因分析]没有对k进行分类讨论，从而遗漏了k不存在的情况．[正解](1)当直线的斜率不存在时，方程为x＝－1.此时圆心C(1，－2)到直线x＝－1的距离d＝|－1－1|＝2.故该直线为圆的切线．(2)当直线的斜率存在时，设为k，则其方程为y－1＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋1＝0.由已知圆心到直线的距离等于圆的半径，即|k×1－(－2)＋k＋1|k2＋(－1)2＝2，整理得|2k＋3|k2＋1＝2，解得k＝－512，故此时切线方程为－512x－y＋712＝0，即5x＋12y－7＝0，综上，圆的切线有两条：x ＝－1或5x ＋12y －7＝0.[答案] x ＝－1或5x ＋12y －7＝0[心得体会] ………………………………………………………………………………………………时间：50分钟基础组1.[2016·衡水二中仿真]已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2B ．(x ＋1)2＋y 2＝8C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝8答案 A解析根据题意，直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x －y ＋1＝0，得(－1,0)．因为圆与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.故选A.2．[2016·枣强中学期中]已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝43 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝13 C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43 D ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝13 答案 C解析由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣孤所对圆心角为23π，设圆心为(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ±332＝43.3．[2016·衡水二中热身]圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y 23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋(y －1)2＝1B ．x 2＋()y －32＝3C ．x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －322＝34D ．x 2＋(y －2)2＝4答案 A解析依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3，倾斜角为60°，结合图形可知，所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x 2＋(y －1)2＝1，选A.4．[2016·武邑中学期末]将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位长度，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( )A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或11答案 A解析由题意可知，将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位长度后，所得直线l 的方程为2(x ＋1)－y ＋λ＝0.由已知条件知圆的圆心为O (－1,2)，半径为 5.解法一：直线l 与圆相切，则圆心到直线l 的距离等于圆的半径，即|2×(－1＋1)－2＋λ|5＝5，解得λ＝－3或λ＝7.解法二：设直线l 与圆相切的切点为C (x ，y )，由直线与圆相切，可知CO ⊥l ，所以y －2x ＋1×2＝－1.又C (x ，y )在圆上，满足方程x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，解得切点坐标为(1,1)或(－3,3)．又C (x ，y )在直线2(x ＋1)－y ＋λ＝0上，则λ＝－3或λ＝7.5. [2016·衡水二中一轮检测]已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，若直线l 与圆C 交A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2答案 A解析圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径为2，直线l 的斜率为－1，方程为x ＋y －1＝0.圆心到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2，弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝22，又坐标原点O 到AB 的距离为22，∴△OAB 的面积为12×22×22＝1，故选A.6．[2016·衡水二中猜题]已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－4x ＋6y ＋12＝0，则|2x －y －2|的最小值是( )A ．5－ 5B ．4－ 5 C.5－1 D ．5 5答案 A解析将x 2＋y 2－4x ＋6y ＋12＝0化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝1，|2x －y －2|＝5×|2x －y －2|5，几何意义表示圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上的点到直线2x －y －2＝0的距离的5倍，要使其值最小，只使|2x －y －2|5最小，由直线和圆的位置关系可知⎝ ⎛⎭⎪⎫|2x －y －2|5min ＝|2×2＋3－2|5－1＝5－1，∴|2x －y －2|的最小值为5×(5－1)＝5－5，选A. 7．[2016·衡水二中猜题]已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(bc >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2(注：此题条件还经常论述为“圆x 2＋y 2－2y －5＝0关于直线ax ＋by ＋c －1＝0对称”．)答案 A解析依题意得，圆心坐标是(0,1)，于是有b ＋c ＝1，4b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4b ＋1c (b ＋c )＝5＋4c b ＋bc ≥5＋24c b ×bc ＝9，当且仅当⎩⎨⎧b ＋c ＝1(bc >0)4c b ＝bc，即b ＝2c ＝23时取等号，因此4b ＋1c 的最小值是9，选A.8. [2016·衡水二中一轮检测]已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，那么k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ．[3，22)答案 C解析如右图，当|OA →＋OB →|＝33|AB →|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k >0)的距离为1，此时k ＝2；当k >2时，|OA →＋OB →|>33|AB →|，又直线与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，故2<k <22，综上，k 的取值范围为[2，22)．9．[2016·冀州中学周测]已知点N (3,4)，圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1，M 是圆C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为________．答案 52－1解析作点N 关于x 轴的对称点N ′(3，－4)，则(|PC |＋|PN |)min＝|CN ′|＝52，所以(|PM |＋|PN |)min ＝52－1.10．[2016·冀州中学热身]已知圆C 过定点A (0，a )(a >0)，且被x 轴截得的弦MN 的长为2a ，若∠MAN ＝45°，则圆C 的方程为________．答案 (x ＋2a )2＋(y －a )2＝2a 2或(x －2a )2＋(y －a )2＝2a 2 解析设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，依题意，圆C 的半径r ＝x 2＋(y －a )2，又圆C 被x 轴截得的弦MN 的长为2a ，所以|y |2＋a 2＝r 2，即y 2＋a 2＝x 2＋(y －a )2，化简得x 2＝2ay .因为∠MAN ＝45°，所以∠MCN ＝90°.从而y ＝a ，x ＝±2a ，圆的半径r ＝x 2＋(y －a )2＝2a ，所以圆C 的方程为(x ＋2a )2＋(y －a )2＝2a 2或(x －2a )2＋(y －a )2＝2a 2.11．[2016·枣强中学周测]设圆C ：(x －k )2＋(y －2k ＋1)2＝1，则圆C 的圆心轨迹方程为________，若k ＝0，则直线l ：3x ＋y －1＝0截圆C 所得的弦长为________．答案 2x －y －1＝0 2155解析由圆的方程(x －k )2＋(y －2k ＋1)2＝1得圆心坐标C (k,2k －1)，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝2k －1，消去k ，得2x －y －1＝0，即圆C 的圆心轨迹方程为2x －y －1＝0；当k ＝0时，圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心到直线l ：3x ＋y －1＝0的距离d ＝|－1－1|10＝105，则直线l ：3x ＋y －1＝0截圆C 所得的弦长为21－25＝2155.12．[2016·冀州中学预测]已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝2，圆M 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，过圆M 上任一点P 作圆O 的切线P A ，若直线P A 与圆M 的另一个交点为Q ，则当弦PQ 的长度最大时，直线P A 的斜率是________．答案 1或－7解析由圆的性质易知，当切线过圆M 的圆心(1,3)时，|PQ |取最大值，这个最大值即为圆M 的直径，设此直线方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y －k ＋3＝0(k 显然存在)．由|k －3|k 2＋1＝2得k ＝1或－7.能力组13.[2016·衡水二中月考]圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，过点P (2，－1)作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )A ．1013B ．921C ．1023D ．911答案 C解析因为圆的方程为(x －1)2＋y 2＝25，所以圆心坐标为C (1,0)，半径r ＝5，因为P (2，－1)是该圆内一点，所以经过P 点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．因为|PC |＝2，所以与PC 垂直的弦长为225－2＝223.因此所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023.14．[2016·枣强中学模拟]在圆x 2＋y 2＝5x 内，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32有n 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a 1，最大弦长为a n ，若公差为d ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，13，那么n 的取值集合为( )A ．{4,5,6,7}B ．{4,5,6}C ．{3,4,5,6}D ．{3,4,5,6,7}答案 A解析圆的标准方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －522＋y 2＝254，∴圆心为⎝⎛⎭⎪⎫52，0，半径r＝52，则最大的弦为直径，即a n ＝5，当圆心到弦的距离为32，即点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32为垂足时，弦长最小为4，即a 1＝4，由a n ＝a 1＋(n －1)d 得d ＝a n －a 1n －1＝5－4n －1＝1n －1，∵16≤d ≤13，∴16≤1n －1≤13，即3≤n －1≤6，∴4≤n ≤7，即n ＝4,5,6,7，选A.15．[2016·衡水二中期末]已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过点M 的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值；(3)若直线ax －y ＋4＝0与圆相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值．解 (1)由题意知圆心的坐标为(1,2)，半径r ＝2，当过点M 的直线的斜率不存在时，方程为x ＝3.由圆心(1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时，直线与圆相切．当过点M 的直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由题意知|k －2＋1－3k |k 2＋(－1)2＝2，解得k ＝34. ∴方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0. 故过点M 的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0. (2)由题意有|a －2＋4|a 2＋(－1)2＝2，解得a ＝0或a ＝43. (3)∵圆心到直线ax －y ＋4＝0的距离为|a ＋2|a 2＋1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|a ＋2|a 2＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫2322＝4，解得a ＝－34. 16. [2016·武邑中学猜题]在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a的值．解(1)曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点为(0,1)，(3±22，0)，故可设圆的圆心坐标为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(22)2＋t2，解得t ＝1，则圆的半径为32＋(t－1)2＝3.所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组消去y得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0，由已知可得判别式Δ＝56－16a－4a2>0.由根与系数的关系可得x1＋x2＝4－a，x1x2＝a2－2a＋12.①由OA⊥OB可得x1x2＋y1y2＝0.又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a.所以y1y2＝x1x2＋a(x1＋x2)＋a2，即2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②由①②可得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.。

人教B版2019高中数学必修二学案：2.3.2 圆的一般方程_含答案

2.3.2 圆的一般方程[学习目标] 1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径.2.会在不同条件下求圆的一般式方程.[知识链接]1.圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，它的圆心坐标为(a ，b )，半径为r .2.点与圆的位置关系有点在圆外、点在圆上、点在圆内，可以利用代数法与几何法进行判断.[预习导引]1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方得：⎝⎛⎭⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4. (1)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点，该点的坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2； (2)当D 2＋E 2－4F <0时，方程不表示任何图形；(3)当D 2＋E 2－4F >0时，方程表示的曲线为圆，它的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径等于12.2.比较二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0和圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，可以得出以下结论：当二元二次方程具有条件：(1)x 2和y 2的系数相同，且不等于0，即A ＝C ≠0；(2)没有xy 项，即B ＝0；(3)D 2＋E 2－4AF >0时，它才表示圆.要点一圆的一般方程的概念例1 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径.(1)2x 2＋y 2－7y ＋5＝0；(2)x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0；(3)x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0；(4)2x 2＋2y 2－5x ＝0.解 (1)∵方程2x 2＋y 2－7y ＋5＝0中x 2与y 2的系数不相同，∴它不能表示圆.(2)∵方程x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0中含有xy 这样的项.∴它不能表示圆.(3)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0化为(x －1)2＋(y －2)2＝－5，∴它不能表示圆.(4)方程2x 2＋2y 2－5x ＝0化为⎝⎛⎭⎫x －542＋y 2＝⎝⎛⎭⎫542， ∴它表示以⎝⎛⎭⎫54，0为圆心，54为半径长的圆. 规律方法二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，应满足的条件是：①A ＝C ≠0，②B ＝0，③D 2＋E 2－4AF >0.跟踪演练1 如果x 2＋y 2－2x ＋y ＋k ＝0是圆的方程，则实数k 的范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，54 解析由题意可知(－2)2＋12－4k >0，即k <54. 要点二求圆的一般方程例2 已知△ABC 的三个顶点为A (1,4)，B (－2,3)，C (4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径.解方法一设△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，∵A ，B ，C 在圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋16＋D ＋4E ＋F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋25＋4D －5E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2，E ＝2，F ＝－23，∴△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.方法二设△ABC 的外接圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，∵A 、B 、C 在圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(4－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(3－b )2＝r 2，(4－a )2＋(－5－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1，r ＝5，即外接圆的圆心为(1，－1)，半径为5，∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25，展开易得其一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0.方法三 ∵k AB ＝4－31＋2＝13，k AC ＝4＋51－4＝－3， ∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC .∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形.∴圆心是线段BC 的中点，坐标为(1，－1)，r ＝12|BC |＝5. ∴外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.展开得一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0.规律方法应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D 、E 、F .跟踪演练2 已知A (2,2)，B (5,3)，C (3，－1)，求三角形ABC 的外接圆的方程.解设三角形ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，3D －E ＋F ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－8，E ＝－2，F ＝12，即三角形ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0.要点三求动点的轨迹方程例3 等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边一个端点是B (3,5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？解设另一端点C 的坐标为(x ，y ).依题意，得|AC |＝|AB |.由两点间距离公式，得(x －4)2＋(y －2)2 ＝(4－3)2＋(2－5)2，整理得(x －4)2＋(y －2)2＝10.这是以点A (4,2)为圆心，以10为半径的圆，如图所示，又因为A 、B 、C 为三角形的三个顶点，所以A 、B 、C 三点不共线.即点B 、C 不能重合且B 、C 不能为圆A 的一直径的两个端点.因为点B 、C 不能重合，所以点C 不能为(3,5).又因为点B 、C 不能为一直径的两个端点，所以x ＋32≠4，且y ＋52≠2，即点C 不能为(5，－1). 故端点C 的轨迹方程是(x －4)2＋(y －2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A (4,2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点.规律方法求与圆有关的轨迹问题常用的方法.①直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式.②定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.③相关点法：若动点P (x ，y )随着圆上的另一动点Q (x 1，y 1)运动而运动，且x 1，y 1可用x ，y 表示，则可将Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程.跟踪演练3 已知直角△ABC 的两个顶点A (－1,0)和B (3,0)，求直角顶点C 的轨迹方程. 解方法一设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1.又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3.且k AC ·k BC ＝－1，所以y x ＋1·y x －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1).方法二 △ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形，设顶点C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1.由勾股定理得|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，即(x ＋1)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝16，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1).1.圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )A.(2,3)B.(－2,3)C.(－2,－3)D.(2,－3)答案 D 解析－D 2＝2，－E 2＝－3，∴圆心坐标是(2，－3). 2.方程x 2＋y 2－x ＋y ＋k ＝0表示一个圆，则实数k 的取值范围为( )A.k ≤12B.k ＝12C.k ≥12D.k <12答案 D解析方程表示圆⇔1＋1－4k >0⇔k <12. 3.方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为( )A.以(a ，b )为圆心的圆B.以(－a ，－b )为圆心的圆C.点(a ，b )D.点(－a ，－b ) 答案 D解析原方程可化为：(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0.所以它表示点(－a ，－b ).4.圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0的直径为3，则m 的值为________.答案 114 解析 ∵(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－m ，∴r ＝5－m ＝32，∴m ＝114. 5.圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝________. 答案 3解析圆心(1,2)到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离为|3×1＋4×2＋4|5＝3.1.圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，来源于圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件.2.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出适当方程，以便简化解题过程.3.曲线的轨迹问题，要作简单地了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤.。

九年级上册 24.2.1 点和圆的位置关系学案

练习： 1．已知圆的半径r 等于5厘米，点到圆心的距离为d ，（1）当d =2厘米时，有d r ，点在圆（2）当d =7厘米时，有d r ，点在圆（3）当d =5厘米时，有d r ，点在圆2. ⊙O 的半径cm r 10=，圆心到直线l 的距离cm OM 8=，在直线l 上有一点P 且cm PM 6=，则点P （）（A ）在⊙O 内（B ）在⊙O 上（C ）在⊙O 外（D ）可能在⊙O 内也可能在⊙O 外3.半径是7的圆，其圆心在坐标原点，则下列各点在圆外的是（）A ．（3,4）B ．（4,4）C ．（4,5）D ．（4,6）探究（1）如图，作经过已知点A 的圆，这样的圆你能作出多少个？AA D CB（2）如图作经过已知点A、B的圆，这样的圆你能作出多少个？他们的圆心分布有什么特点？B探究：经过已知的三点作圆，这样的圆能作出多少个？（1）经过不在同一条直线上的三点作一个圆，如何确定这个圆的圆心？BC结论：__________ ______________________. ___________________________________，这个圆叫做三角形的外接圆. ___________________________________，叫做这个三角形的外心．思考：任意四个点是不是可以作一个圆？请举例说明.练习：分别用尺规作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆.它们的外心的位置有什么特点？反馈检测1.已知⊙O的半径为10厘米，根据下列点P到圆心的距离，判定点P与圆的位置关系：（1）8厘米；（2）10厘米；（3）12厘米.2.已知：如图，⊙O的半径为5厘米，直线a穿过⊙O的圆心，点P是直线a上的一个动点，现离圆心7个单位长度，以每秒钟1个单位的速度向右运动.问当点P运动到第几秒时，点P在圆上？。

人教版高中数学必修二 4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用学案+课时训练

人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用学案【学习目标】1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(重点、易错点)2．能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题．(难点)【要点梳理夯实基础】知识点1圆与圆位置关系的判定阅读教材P129至P130“练习”以上部分，完成下列问题．1．几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|0≤d＜|r1－r2| ⎭⎬⎫圆C1方程圆C2方程――→消元一元二次方程⎩⎨⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含[思考辨析学练结合]两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是()A．外离B．相交C．内切D．外切[解析]两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的圆心分别为(0,0)和(4，－3)，半径分别为3和4.所以两圆的圆心距d＝42＋(－3)2＝5.又4－3<5<3＋4，故两圆相交．[答案] B知识点2 直线与圆的方程的应用阅读教材P130“练习”以下至P132“练习”以上部分，完成下列问题．用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”[思考辨析学练结合]一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过()A．1.4米B．3.5米C．3.6米D．2米[解析]建立如图所示的平面直角坐标系．如图，设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)．半圆所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62，∴h＝40.77≈3.5(米)．[答案] B【合作探究析疑解难】考点1 圆与圆位置关系的判定[典例1] 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？[分析]求圆C1的半径r1→求圆C2的半径r2→求|C1C2|→利用|C1C2|与|r1－r2|和r1＋r2的关系求k[解答]将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝50－k(k＜50)．从而|C1C2|＝(－2－1)2＋(3－7)2＝5.当1＋50－k＝5，k＝34时，两圆外切．当|50－k－1|＝5，50－k＝6，k＝14时，两圆内切．当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，即14＜k＜34时，两圆相交．当1＋50－k＜5或|50－k－1|＞5，即0≤k＜14或34＜k＜50时，两圆相离．1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；(2)计算两圆圆心的距离d；(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．[解]圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C 1(a,1)，C 2(2a,1)，半径r 1＝4，r 2＝1.∴|C 1C 2|＝(a －2a )2＋(1－1)2＝a .(1)当|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝5，即a ＝5时，两圆外切；当|C 1C 2|＝r 1－r 2＝3，即a ＝3时，两圆内切．(2)当3＜|C 1C 2|＜5，即3＜a ＜5时，两圆相交．(3)当|C 1C 2|＞5，即a ＞5时，两圆外离．(4)当|C 1C 2|＜3，即a ＜3时，两圆内含．考点2 两圆相交有关问题[典例2] 求圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长． [分析] 联立圆C 1、C 2的方程――→作差得公共弦所在的直线―→圆心C 3到公共弦的距离d ―→圆的半径r ―→弦长＝2r 2－d 2[解答] 设两圆的交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 的坐标是方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的解，两式相减得x ＋y －1＝0.因为A ，B 两点的坐标满足 x ＋y －1＝0，所以AB 所在直线方程为x ＋y －1＝0，即C 1，C 2的公共弦所在直线方程为x ＋y －1＝0，圆C 3的圆心为(1,1)，其到直线AB 的距离d ＝12，由条件知r 2－d 2＝254－12＝234，所以直线AB 被圆C 3截得弦长为2×232＝23.1．圆系方程一般地过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x2．求两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．[解] 联立两圆的方程得方程组⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减得x －2y ＋4＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程．法一：设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎨⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以|AB |＝(－4－0)2＋(0－2)2＝25，即公共弦长为2 5.法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r ＝52，圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝3 5. 设公共弦长为2l ，由勾股定理得r 2＝d 2＋l 2，即50＝(35)2＋l 2，解得l ＝5，故公共弦长2l ＝2 5.考点3 直线与圆的方程的应用探究1 设村庄外围所在曲线的方程可用(x －2)2＋(y ＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，你能求出从村庄外围到小路的最短距离吗？[分析]从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，即|2＋3＋2|12＋(－1)2－2＝722－2.探究2已知台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，请建立适当的坐标系，用坐标法求B城市处于危险区内的时间．[分析]如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．射线AC为∠xAy的平分线，则台风中心在射线AC上移动．则点B到AC的距离为202千米，则射线AC被以B为圆心，以30千米为半径的圆截得的弦长为2302－(202)2＝20(千米)．所以B城市处于危险区内的时间为t＝2020＝1(小时)．[典例3] 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图4-2-1)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km 到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．图4-2-1[分析]建立适当坐标系，求出圆O的方程和直线BC的方程，再利用直线与圆的位置关系求解．[解答]以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1，因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为x8＋y8＝1，即x＋y＝8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆的切点处时，DE为最短距离．此时DE长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1) km.[方法总结]解决关于直线与圆方程实际应用问题的步骤[跟踪练习]3．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？[解] 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为x7＋y4＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝|－28|42＋72＝2865，而半径r＝3，∴d＞r，∴直线与圆外离，所以轮船不会受到台风的影响．【学习检测巩固提高】1．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是()A．(x－3)2＋(y－5)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25[解析]设⊙C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y)在⊙C1上，∴(x－5)2＋(y＋1)2＝25.[答案] B2．一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过()A．1.4 m B．3.5 m C．3.6 m D．2.0 m [解析]圆半径OA＝3.6，卡车宽1.6，所以AB＝0.8，所以弦心距OB＝ 3.62－0.82≈3.5(m)．[答案] B3．圆x2＋y2＋6x－7＝0和圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系是__相交__.[解析]圆x2＋y2＋6x－7＝0的圆心为O1(－3,0)，半径r1＝4，圆x2＋y2＋6y－27＝0的圆心为O 2(0，－3)，半径为r 2＝6，∴|O 1O 2|＝(－3－0)2＋(0＋3)2＝32，∴r 2－r 1<|O 1O 2|<r 1＋r 2，故两圆相交．4．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2＝1，则y ＋2x ＋1的取值范围为__ [34，＋∞) __. [解析] 如右图所示，设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上的点，则y ＋2x ＋1表示过P (x ，y )和Q (－1，－2)两点的直线PQ 的斜率，过点Q 作圆的两条切线QA ，QB ，由图可知QB ⊥x 轴，k QB 不存在，且k QP ≥k QA .设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由圆心到QA 的距离为1，得|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.所以y ＋2x ＋1的取值范围是[34，＋∞)． 5．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程.[解析] 解法一：联立两圆方程⎩⎨⎧ x 2＋y 2－12x －2y －13＝0x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0，相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.再由⎩⎨⎧4x ＋3y －2＝0x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，联立得两圆交点坐标(－1,2)、(5，－6)．∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径为12(5＋1)2＋(－6－2)2＝5. ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.解法二：由解法一可知公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)．可求得圆心C (－12λ－122(1＋λ)，－16λ－22(1＋λ))． ∵圆心C 在公共弦所在直线上，∴4·－(12λ－12)2(1＋λ)＋3·－(16λ－2)2(1＋λ)－2＝0，解得λ＝12.∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系课时检测一、选择题1．圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0[解析] 解法一：线段AB 的中垂线即两圆的连心线所在直线l ，由圆心C 1(1,0)，C 2(－1,2)，得l 方程为x ＋y －1＝0.解法二：直线AB 的方程为：4x －4y ＋1＝0，因此线段AB 的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y ＝－(x －1)，故选A ．[答案] A2．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系为( )A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切[解析] 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径长r 2＝2；1＝r 2－r 1＜|O 1O 2|＝5＜r 1＋r 2＝3，即两圆相交．[答案] B3．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a 、b应满足的关系式是()A．a2－2a－2b－3＝0 B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0[解析]利用公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a2＋2a＋2b＋5＝0.[答案] B4．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋7)2＝9C．(x－5)2＋(y＋7)2＝15 D．(x＋5)2＋(y－7)2＝25[解析]设动圆圆心为P(x，y)，则(x－5)2＋(y＋7)2＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25.[答案] A5．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r ＝()A．5B．4C．3D．2 2 [解析]设一个交点P(x0，y0)，则x20＋y20＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，∴r2＝41－8x0＋6y0，∵两切线互相垂直，∴y0x0·y0＋3x0－4＝－1，∴3y0－4x0＝－16.∴r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，∴r＝3.[答案] C6．半径长为6的圆与y轴相切，且与圆(x－3)2＋y2＝1内切，则此圆的方程为()A．(x－6)2＋(y－4)2＝6 B．(x－6)2＋(y±4)2＝6C．(x－6)2＋(y－4)2＝36 D．(x－6)2＋(y±4)2＝36[解析]半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则a＝6，再由b2＋32＝5可以解得b＝±4，故所求圆的方程为(x－6)2＋(y±4)2＝36.7．已知M 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝1上的点，N 是圆C ′：(x －4)2＋(y －4)2＝82上的点，则|MN |的最小值为( )A ．4B ．42－1C ．22－2D ．2[解析] ∵|CC ′|＝5＜R －r ＝7，∴圆C 内含于圆C ′，则|MN |的最小值为R －|CC ′|－r ＝2.[答案] D8．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( )A ．4x －y －4＝0B ．4x ＋y －4＝0C ．4x ＋y ＋4＝0D ．4x －y ＋4＝0[解析] 以线段OM 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋y ＝0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x －y －4＝0，这就是经过两切点的直线方程．[答案] A9．已知两圆相交于两点A (1,3)，B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．0 [解析] 两点A ，B 关于直线x －y ＋c ＝0对称，k AB ＝－4m －1＝－1. ∴m ＝5，线段AB 的中点(3,1)在直线x －y ＋c ＝0上，∴c ＝－2，∴m ＋c ＝3.[答案] C10．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离[解析] 由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M 、圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1、半径之和为3，故两圆相交．二、填空题11．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a＝.[解析]两个圆的方程作差，可以得到公共弦的直线方程为y＝1a，圆心(0,0)到直线y＝1a的距离d＝|1a|，于是由(232)2＋|1a|2＝22，解得a＝1.[答案] 112．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为________.[解析]C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由题意得|C1C2|＝5，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5.[答案]2或－513．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是.[解析]∵点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，∴a2＋b2＝4.又圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，半径r1＝1，圆(x－a)2＋y2＝1的圆心C2(a,0)，半径r2＝1，则d＝|C1C2|＝a2＋b2＝4＝2，∴d＝r1＋r2.∴两圆外切．[答案]外切14．与直线x＋y－2＝0和圆x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是.[解析]已知圆的标准方程为(x－6)2＋(y－6)2＝18，则过圆心(6,6)且与直线x＋y －2＝0垂直的方程为x－y＝0.方程x－y＝0分别与直线x＋y－2＝0和已知圆联立得交点坐标分别为(1,1)和(3,3)或(－3，－3)．由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间，故所求圆的圆心为(2,2)，半径为2，即圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.[答案](x－2)2＋(y－2)2＝215．判断下列两圆的位置关系.(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；(2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－23x－6＝0；(3)C1：x2＋y2－4x－6y＋9＝0，C2：x2＋y2＋12x＋6y－19＝0；(4)C1：x2＋y2＋2x－2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－6y－3＝0. [解析](1)∵C1：(x－1)2＋y2＝4，C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝2.∴圆C1的圆心坐标为(1,0)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2，－1)，半径r2＝2，d＝|C1C2|＝(2－1)2＋(－1)2＝ 2.∵r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－2，∴r1－r2<d<r1＋r2，两圆相交．(2)∵C1：x2＋(y－1)2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，∴圆C1的圆心坐标为(0,1)，r1＝1，圆C2的圆心坐标为(3，0)，r2＝3，d＝|C1C2|＝3＋1＝2.∵r2－r1＝2，∴d＝r2－r1，两圆内切．(3)∵C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，C2：(x＋6)2＋(y＋3)2＝64.∴圆C1的圆心坐标为(2,3)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(－6，－3)，半径r2＝8，∴|C1C2|＝(2＋6)2＋(3＋3)2＝10＝r1＋r2，∴两圆外切．(4)C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－3)2＝16，∴圆C1的圆心坐标为(－1,1)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2,3)，半径r2＝4，∴|C1C2|＝(2＋1)2＋(3－1)2＝13.∵|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交．16．求经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程．[解] 法一：解方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＋6x －4＝0，x 2＋y 2＋6y －28＝0，得两圆的交点A (－1,3)，B (－6，－2)．设所求圆的圆心为(a ，b )，因为圆心在直线x －y －4＝0上，故b ＝a －4. 则有(a ＋1)2＋(a －4－3)2 ＝(a ＋6)2＋(a －4＋2)2，解得a ＝12，故圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－72，半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－72－32＝892. 故圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋722＝892，即x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0. 法二：∵圆x 2＋y 2＋6y －28＝0的圆心(0，－3)不在直线x －y －4＝0上，故可设所求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0(λ≠－1)，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，代入x －y －4＝0，求得λ＝－7. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.17．已知圆M ：x 2＋y 2－2mx －2ny ＋m 2－1＝0与圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆心M 的轨迹方程.[解析] 两圆方程相减，得公共弦AB 所在的直线方程为2(m ＋1)x ＋2(n ＋1)y －m 2－1＝0，由于A 、B 两点平分圆N 的圆周，所以A 、B 为圆N 直径的两个端点，即直线AB 过圆N 的圆心N ，而N (－1，－1)，所以－2(m ＋1)－2(n ＋1)－m 2－1＝0，即m 2＋2m ＋2n ＋5＝0，即(m ＋1)2＝－2(n ＋2)(n ≤－2)，由于圆M 的圆心M (m ，n )，从而可知圆心M 的轨迹方程为(x ＋1)2＝－2(y ＋2)(y ≤－2)．18．已知圆O ：x 2＋y 2＝1和定点A (2,1)，由圆O 外一点P (a ，b )向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，|PQ |＝|P A |成立，如图.(1)求a，b间的关系；(2)求|PQ|的最小值．[解析](1)连接OQ，OP，则△OQP为直角三角形，又|PQ|＝|P A|，所以|OP|2＝|OQ|2＋|PQ|2＝1＋|P A|2，所以a2＋b2＝1＋(a－2)2＋(b－1)2，故2a＋b－3＝0.(2)由(1)知，P在直线l：2x＋y－3＝0上，所以|PQ|min＝|P A|min，为A到直线l的距离，所以|PQ|min＝|2×2＋1－3|22＋12＝255.人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用课时检测一、选择题1．已知实数x、y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是() A．30－105B．5－5C．5D．25[解析]x2＋y2为圆上一点到原点的距离．圆心到原点的距离d＝5，半径为5，所以最小值为(5－5)2＝30－10 5.[答案] A2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB 的垂直平分线方程为()A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0[解析]所求直线即两圆圆心(1,0)、(－1,2)连线所在直线，故由y－02－0＝x－1－1－1，得x＋y－1＝0.[答案] A3．方程y＝－4－x2对应的曲线是()[解析]由方程y＝－4－x2得x2＋y2＝4(y≤0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝4在x轴上和以下的部分．[答案] A4．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是()A．π4B．3π4C．3π2D．π[解析]数形结合，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的1 4.[答案] D5．方程1－x2＝x＋k有惟一解，则实数k的范围是()A．k＝－2B．k∈(－2，2)C．k∈[－1,1)D．k＝2或－1≤k<1[解析]由题意知，直线y＝x＋k与半圆x2＋y2＝1(y≥0只有一个交点．结合图形易得－1≤k<1或k＝ 2.[答案] D6．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，直线P A、PB分别与圆x2＋y2＝4相切于A、B两点，则四边形P AOB(O为坐标原点)的面积的最小值等于()A ．24B ．16C ．8D ．4[解析] ∵四边形P AOB 的面积S ＝2×12|P A |×|OA |＝2OP 2－OA 2＝2OP 2－4，∴当直线OP 垂直直线2x ＋y ＋10＝0时，其面积S 最小．[答案] C7．已知圆C 的方程是x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．9B ．14C ．14－65D ．14＋6 5[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，圆心为C (－2,1)，半径为3.|OC |＝5，圆上一点(x ，y )到原点的距离的最大值为3＋5，x 2＋y 2表示圆上的一点(x ，y )到原点的距离的平方，最大值为(3＋5)2＝14＋6 5.[答案] D8．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l 1：ax ＋3y ＋6＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2＋2x ＝b 2－1(b >0)的位置关系是“平行相交”，则实数b 的取值范围为( )A ．(2，322)B ．(0，322)C ．(0，2)D ．(2，322)∪(322，＋∞)[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝b 2.由两直线平行，可得a (a ＋1)－6＝0，解得a ＝2或a ＝－3.当a ＝2时，直线l 1与l 2重合，舍去；当a ＝－3时，l 1：x －y －2＝0，l 2：x －y ＋3＝0.由l 1与圆C 相切，得b ＝|－1－2|2＝322，由l 2与圆C 相切，得b ＝|－1＋3|2＝ 2.当l 1、l 2与圆C 都外离时，b < 2.所以，当l 1、l 2与圆C “平行相交”时，b 满足⎩⎨⎧ b ≥2b ≠2，b ≠322，故实数b 的取值范围是(2，322)∪(322，＋∞)．[答案] D9．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．106B．206C．306D．40 6 [解析]圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为252－12＝46，所以四边形ABCD的面积为12×AC×BD＝12×10×46＝20 6.[答案] B10．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为()A．4π5B．3π4C．(6－25)πD．5π4[解析]原点O到直线2x＋y－4＝0的距离为d，则d＝45，点C到直线2x＋y－4＝0的距离是圆的半径r，由题知C是AB的中点，又以斜边为直径的圆过直角顶点，则在直角△AOB中，圆C过原点O，即|OC|＝r，所以2r≥d，所以r最小为25，面积最小为4π5，故选A．[答案] A二、填空题11．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A、B两点，则直线AB 的方程是________．[解析] 过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线，因此该直线方程为：x2＋y2－10－[(x－1)2＋(y－3)2－20]＝0，即x＋3y＝0.[答案]x＋3y＝012．已知M＝{(x，y)|y＝9－x2，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是.[解析] 数形结合法，注意y ＝9－x 2，y ≠0等价于x 2＋y 2＝9(y ＞0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝9在x 轴之上的部分(如图所示)．结合图形不难求得，当－3＜b ≤32时，直线y ＝x ＋b 与半圆x 2＋y 2＝9(y ＞0)有公共点．[答案] (－3,32]13．某公司有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km 和2 2 km ，且A 、B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设于 .[解析] 所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点，以小路所在直线为x 轴，过B 点与x 轴垂直的直线为y 轴上建立直角坐标系．由题意，得A (2，2)、B (0,22)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2.由A 、B 在圆上，得⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2，或⎩⎨⎧a ＝42b ＝52，由实际意义知⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2.∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)，∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．[答案] B 景点在小路的投影处14．设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}，若存在实数t ，使得A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是 .[解析] 首先集合A 、B 实际上是圆上的点的集合，即A 、B 表示两个圆，A ∩B ≠∅说明这两个圆相交或相切(有公共点)，由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径之和2，即(t －4)2＋(at －2)2≤2，整理成关于t 的不等式：(a 2＋1)t 2－4(a ＋2)t ＋16≤0，据题意此不等式有实解，因此其判别式不小于零，即Δ＝16(a ＋2)2－4(a 2＋1)×16≥0，解得0≤a ≤43. [答案] [0，43]三、解答题15．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离.[解析] 以O 为坐标原点，过OB 、OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，因为点B (8,0)、C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y 8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE 为最短距离，此时DE 的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km. 16．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP 是6 m ，在建造时，每隔3 m 需用一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长．(精确到0.01 m)[解析] 如图，以线段AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A 、B 、P 的坐标分别为(－18,0)、(18,0)、(0,6)．设圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为A 、B 、P 在此圆上，故有⎩⎨⎧ 182－18D ＋F ＝0182＋18D ＋F ＝062＋6E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧ D ＝0E ＝48F ＝－324.故圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋48y －324＝0.将点P 2的横坐标x ＝6代入上式，解得y ＝－24＋12 6.答：支柱A 2P 2的长约为126－24 m.17．如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)[解析]如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40,0)，B(0,30)，圆O方程x2＋y2＝252.直线AB方程：x40＋y30＝1，即3x＋4y－120＝0.设O到AB距离为d，则d＝|－120|5＝24<25，所以外籍轮船能被海监船监测到．设监测时间为t，则t＝2252－24228＝12(h)答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5 h.18．已知隧道的截面是半径为4.0 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m、高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？[解析]以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为：x2＋y2＝16(y≥0)．将x＝2.7代入，得y＝16－2.72＝8.71<3，所以，在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度，因此，货车不能驶入这个隧道．将x＝a代入x2＋y2＝16(y≥0)得y＝16－a2.所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为16－a2m.。

人教版九年级上册数学《点和圆的位置关系》教学学案

24.2 点和圆、直线与圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系教学目标(一)教学知识点了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．(二)能力训练要求1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力．2．通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略．(三)情感与价值观要求1．形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．2．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．教学重点1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论．2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法．3．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．教学难点经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆．教学方法教师指导学生自主探索交流法．教具准备投影片三张教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线．那么，经过一点能作几个圆？经过两点、三点……呢？本节课我们将进行有关探索．Ⅱ．新课讲解1．回忆及思考投影片(§3．4A)1．线段垂直平分线的性质及作法．2．作圆的关键是什么？[生]1．线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．作法：如下图，分别以A、B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，在AB的两侧找出两交点C、D，作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线，直线CD上的任一点到A与B的距离相等．[师]我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．定点即为圆心，定长即为半径．根据定义大家觉得作圆的关键是什么？[生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题．因此作圆的关键是确定圆心和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随之确定．2．做一做(投影片§3．4B)(1)作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？(2)作圆，使它经过已知点A、B．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？(3)作圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上)．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？[师]根据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意见并作出解答．[生](1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)．(2)已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A、B的距离相等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上．在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在AB 的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径．圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)．(3)要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．[师]大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢？3．过不在同一条直线上的三点作圆．投影片(§3．4C)作法图示1．连结AB、BC2．分别作AB、BC的垂直平分线DE和FG，DE和FG相交于点O3．以O为圆心，OA为半径作圆⊙O就是所要求作的圆他作的圆符合要求吗？与同伴交流．[生]符合要求．因为连结AB，作AB的垂直平分线ED，则ED上任意一点到A、B的距离相等；连结BC，作BC的垂直平分线FG，则FG上的任一点到B、C的距离相等．ED与FG的满足条件．[师]由上可知，过已知一点可作无数个圆．过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．不在同一直线上的三个点确定一个圆．4．有关定义由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircle of triangle)，这个三角形叫这个圆的内接三角形．外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter)．Ⅲ．课堂练习已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？解：如下图．O为外接圆的圆心，即外心．锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部．Ⅳ．课时小结本节课所学内容如下：1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程．方法．3．了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念．Ⅴ．课后作业习题3．6Ⅵ．活动与探究如下图，CD所在的直线垂直平分线段AB．怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心？解：因为A、B两点在圆上，所以圆心必与A、B两点的距离相等，又因为和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以圆心在CD 所在的直线上．因此使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径．它们的交点就是圆心．。

北师大版选择性必修第一册1.2.1圆的标准方程学案

[教材要点]要点一圆的标准方程1．圆的定义：平面内到________的距离等于________的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．2．确定圆的要素是________和________，如图所示．3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是________________________．当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以________为圆心、半径为r的圆．状元随笔圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2＝r2中有三个参数，要确定圆的标准方程需要确定这三个参数，其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径r是圆的定量条件．要点二点与圆的位置关系圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x[基础自测]1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，(a，b，r∈R)表示一个圆．()(2)弦的垂直平分线必过圆心．()(3)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．()(4)圆心与切点的连线长是半径长．()2．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是()A.(－2，3)，1 B．(2，－3)，3C.(－2，3)，√2D．(2，－3)，√23．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是()A.x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4C.(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝√24．点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是________．题型一求圆的标准方程角度1直接法求圆的标准方程例1求满足下列条件的各圆的标准方程．(1)圆心是(3，4)，半径是√5；(2)过点A(－1，2)，B(5，－4)且以线段AB为直径．方法归纳根据已知条件，写出圆心坐标和圆的半径，代入标准方程即可．跟踪训练1圆心在点C(8，－3)，且经过点P(5，1)的圆的标准方程为()A．(x－8)2＋(y－3)2＝25 B．(x－8)2＋(y＋3)2＝5C．(x－8)2＋(y－3)2＝5 D．(x－8)2＋(y＋3)2＝25角度2待定系数法例2求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点(5，2)和点(3，－2)的圆的方程．方法归纳待定系数法求圆的标准方程，先设出圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组，解方程组，求出a、b、r的值，代入所设方程即可．跟踪训练2△ABC的三个顶点坐标分别是A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)，则它的外接圆的方程为_____________________________．角度3几何法求圆的标准方程例3求经过A(6，5)，B(0，1)两点，并且圆心在直线l：3x＋10y＋9＝0上的圆的标准方程．方法归纳(1)直接法根据已知条件，直接求出圆心坐标和圆的半径，然后写出圆的方程．(2)待定系数法①根据题意，设出标准方程；②根据条件，列关于a，b，r的方程组；③解出a，b，r，代入标准方程．(3)常见的几何条件与可以转化成的方程①圆心在定直线上转化为圆心坐标满足直线方程．②圆过定点转化为定点坐标满足圆的方程，或圆心到定点的距离等于半径．③圆与定直线相切转化为圆心到定直线的距离等于圆的半径，或过切点垂直于切线的直线必过圆心．④弦的垂直平分线经过圆心．跟踪训练3求经过两点A(－1，4)，B(3，2)且圆心在y轴上的圆的标准方程．题型二点与圆的位置关系例4已知圆的圆心M是直线2x＋y－1＝0与x－2y＋2＝0的交点，且圆过点P(－5，6)，求圆的标准方程，并判断点A(2，2)，B(1，8)，C(0，5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？方法归纳1．判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．2．灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．跟踪训练4(1)点P(m，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定(2)已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，则实数a的取值范围为____________________________________．题型三与圆有关的最值问题例5已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝14，求x2＋y2的最值．首先观察x，y满足的条件，其次观察所求式子的几何意义，求出其最值．变式探究1本例条件不变，求yx的取值范围．变式探究2本例条件不变，求x＋y的最值．方法归纳与圆有关的最值问题的常见类型及解法1．形如u＝y−bx−a形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题．2．形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－ab x＋lb截距的最值问题．3．形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．跟踪训练5已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0，1)，设P是圆C上的动点，令d＝|P A|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值．易错辨析利用函数的思想处理问题时忽略了函数的定义域例6已知点A(－2，－2)，B(－2，6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，则|P A|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为________．解析：设P(a，b)，则|P A|2＋|PB|2＋|PC|2＝(a＋2)2＋(b＋2)2＋(a＋2)2＋(b－6)2＋(a－4)2＋(b＋2)2＝3a2＋3b2－4b＋68.∵点P在圆x2＋y2＝4上运动，∴a2＋b2＝4，∴a2＝4－b2≥0，∴－2≤b≤2∴3a2＋3b2－4b＋68＝12－3b2＋3b2－4b＋68＝－4b＋80，因为y＝－4b＋80是[－2，2]上的减函数．所以函数的最大值为88.∴|P A|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88.答案：88[课堂十分钟]1．圆心为(3，4)且过点(0，0)的圆的方程是()A．x2＋y2＝25 B．x2＋y2＝5C．(x－3)2＋(y－4)2＝25 D．(x＋3)2＋(y＋4)2＝52．方程(x－a)2＋(y＋b)2＝0表示的图形是()A．以(a，b)为圆心的圆B．点(a，b)C．以(－a，－b)为圆心的圆D．点(a，－b)3．已知a，b是方程x2－x－√2＝0的两个不等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是()A．点P在圆C内B．点P在圆C外C．点P在圆C上D．无法确定4．一个圆经过A(10，5)，B(－4，7)两点，半径为10，则圆的方程为________．5．过点A(2，－3)，B(－2，－5)两点且面积最小的圆的标准方程为________．新知初探·课前预习要点一1．定点定长2．圆心半径3．(x－a)2＋(y－b)2＝r2原点[基础自测]1．(1)×(2)√(3)√(4)√2．解析：由圆的标准方程可得圆心为(2，－3)，半径为√2.故选D.答案：D3．解析：以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4.故选B.答案：B4．解析：因为点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋12＝m，∴m＝10.即圆的方程为(x＋2)2＋y2＝10.答案：(x＋2)2＋y2＝10.题型探究·课堂解透例1 解析：(1)由题意得，圆的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝5. (2)圆心即为线段AB 的中点，为(2，－1)．又|AB |＝√(−1−5)2+(2+4)2＝6√2， ∴半径r ＝3√2.∴所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝18.跟踪训练1 解析：R ＝|CP |＝√(8−5)2+(−3−1)2＝5. ∴圆的标准方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝25. 答案：D例2 解析：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则{2a −b −3=0，(5−a )2+(2−b )2=r 2，(3−a )2+(−2−b )2=r 2，解得{a =2，b =1，r =√10.∴圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.跟踪训练2 解析：设所求圆的方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，① 因为A (5，1)，B (7，－3)，C (2，－8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①，于是{(5－a)2+(1－b)2=r 2(7－a)2+(−3－b)2=r 2(2－a)2+(−8－b)2=r2 解此方程组，得{a =2，b =−3，r 2=25.∴△ABC 的外接圆的方程是(x －2)2＋(y ＋3)2＝25. 答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝25例3 解析：AB 中点坐标(3，3)，k AB ＝5−16−0＝23，AB 中垂线方程y －3＝－32(x －3)，即3x ＋2y －15＝0. 联立得方程组{3x +2y −15=0，3x +10y +9=0，解得{x =7，y =−3，即圆心C (7，－3)．r ＝|AC |＝√(7−6)2+(−3−5)2＝√65. ∴圆的标准方程为(x －7)2＋(y ＋3)2＝65.跟踪训练3 解析：方法一 ∵圆心在y 轴上，∴可设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2. ∵该圆经过两点A ，B ， ∴{(－1)2+(4－b)2=r 232+(2－b)2=r 2∴{b =1，r 2=10.∴圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝10. 方法二线段AB 的中点为(1，3)， AB 的斜率k ＝2−43−(−1)＝－12，∴弦AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1)，即y ＝2x ＋1.由{y =2x +1，x =0，由圆心坐标为(0，1)．半径r ＝√(0+1)2+(1−4)2＝√10， ∴圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝10.例4 解析：解方程组{2x +y −1=0，x −2y +2=0，得{x =0，y =1.∴圆心M 的坐标为(0，1)．半径r ＝|MP |＝√(0+5)2+(1−6)2＝5√2. ∴圆M 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝50. ∵|AM |＝√(2−0)2+(2−1)2＝√5<r ， ∴点A 在圆内，∵|BM |＝√(1−0)2+(8−1)2＝√50＝r ，∴点B 在圆上．∵|CM |＝√(6−0)2+(5−1)2＝√52>r ， ∴点C 在圆外．综上，圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝50，点A 在圆内，点B 在圆上，点C 在圆外．跟踪训练4 解析：(1)∵m 2＋25＞24，∴点P 在圆外．故选A. (2)由题意，点A 在圆C 上或圆C 的外部， ∴(1－a )2＋(2＋a )2≥2a 2， ∴2a ＋5≥0，∴a ≥－52.∵a ≠0，∴a 的取值范围为[－52，0)∪(0，+∞)．答案：(1)A (2)[－52，0)∪(0，+∞)例5 解析：由题意知x 2＋y 2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．原点O (0，0)到圆心C (－1，0)的距离d ＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12＝32，最小距离为1－12＝12.因此x 2＋y 2的最大值和最小值分别为94和14.变式探究1 解析：设k ＝yx ，变形为k ＝y−0x−0，此式表示圆上一点(x ，y )与点(0，0)连线的斜率，由k ＝yx ，可得y ＝kx ，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d ≤r ，即√k 2+1≤12，解得－√33≤k ≤√33.即yx 的取值范围是[－√33，√33]. 变式探究2 解析：令y ＋x ＝b 并将其变形为y ＝－x ＋b ，问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y 轴上的截距的最值．当直线和圆相切时在y 轴上的截距取得最大值和最小值，此时有√2＝12，解得b ＝±√22－1，即最大值为√22－1，最小值为－√22－1.跟踪训练5 解析：设P (x ，y )，则d ＝|P A |2＋|PB |2＝2(x 2＋y 2)＋2.∵|CO |2＝32＋42＝25，∴(5－1)2≤x 2＋y 2≤(5＋1)2.即16≤x 2＋y 2≤36.∴d 的最小值为2×16＋2＝34. 最大值为2×36＋2＝74.[课堂十分钟]1．解析：圆的半径r ＝√(3−0)2+(4−0)2＝5， ∴方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.故选C. 答案：C2．解析：由(x －a )2＋(y ＋b )2＝0得x －a ＝0，且y ＋b ＝0，即x ＝a ，y ＝－b ，故方程(x －a )2＋(y ＋b )2＝0表示的图形是点(a ，－b )．故选D.答案：D3．解析：由题意得，a ＋b ＝1，ab ＝－√2，所以a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1＋2√2<8，所以点P 在圆C 内，故选A.答案：A4．解析：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝100. 则{(10－a)2+(5－b)2=100(−4－a)2+(7－b)2=100解得{a =2，b =−1或{a =4，b =13.则圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝100或(x －4)2＋(y －13)2＝100. 答案：(x －2)2＋(y ＋1)2＝100或(x －4)2＋(y －13)2＝1005．解析：过A (2，－3)，B (－2，－5)两点且面积最小的圆就是以AB 为直径的圆，∴圆心为(0，－4)，半径r ＝12|AB |＝12√(−2−2)2+(−5+3)2＝√5，∴圆的标准方程为x 2＋(y ＋4)2＝5. 答案：x 2＋(y ＋4)2＝5。

【教学设计】点和圆的位置关系——教案、学案、教学设计、说课稿资料文档

点和圆的位置关系【教学设计】一、教学目标：1. 让学生了解点和圆的位置关系，并能运用到实际问题中。

2. 培养学生观察、思考、解决问题的能力。

3. 培养学生合作交流、归纳总结的能力。

二、教学重点与难点：1. 教学重点：点和圆的位置关系的判定。

2. 教学难点：点和圆的位置关系的应用。

三、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究点和圆的位置关系。

2. 运用多媒体辅助教学，直观展示点和圆的位置关系。

3. 采用小组合作学习，培养学生团队协作能力。

四、教学准备：1. 多媒体教学设备。

2. 点和圆的位置关系相关图片或案例。

3. 学习任务单。

五、教学过程：1. 导入新课：利用多媒体展示点和圆的位置关系图片，引导学生观察并思考：点和圆之间有什么关系？2. 自主学习：学生根据学习任务单，自主探究点和圆的位置关系，总结判定方法。

3. 合作交流：学生分组讨论，分享学习心得，互相提问解答。

教师巡回指导，解答学生疑问。

4. 课堂讲解：教师根据学生自主学习和合作交流的情况，讲解点和圆的位置关系的判定方法及应用。

5. 案例分析：教师展示点和圆的位置关系的相关案例，引导学生运用所学知识解决问题。

6. 课堂练习：学生独立完成练习题，巩固所学知识。

教师批改并及时反馈。

7. 总结提升：学生归纳总结点和圆的位置关系，分享自己的收获。

教师点评并给予鼓励。

8. 课后作业：布置相关作业，巩固所学知识。

9. 教学反思：教师针对本节课的教学效果进行反思，总结优点和不足，为下一节课的教学做好准备。

10. 学生评价：学生对节课的学习效果进行评价，提出意见和建议，促进教学改进。

六、教学评估：1. 课堂练习的完成情况，观察学生对点和圆位置关系的理解和应用能力。

2. 学生合作交流的活跃度，评估团队合作和沟通能力。

3. 课后作业的完成质量，检验学生对课堂所学知识的巩固程度。

七、教学拓展：1. 邀请数学领域的专家或学者进行专题讲座，加深学生对点和圆位置关系在实际应用中的理解。

直线与圆的位置关系(1)学案

抚顺市十五中学数学“五助”学案课题: 24.2.2直线与圆的位置关系课型：新授课时：第一课时审核：九年数学备课组执笔：吴宏备课组长：戴遇旗一学习目标：1、知识与技能: 了解直线和圆的三种位置关系，掌握运用圆心到直线的距离的数量关系或用直线和圆交点个数来确定直线与圆的三种位置关系的方法。

2、过程与方法: 通过生活中的实际事例，探求直线与圆的三种位置关系，并提炼出相关的数学知识，从而渗透数形结合，分类讨论等数学思想。

3、情感态度与价值观: 创设问题情景，激发学生好奇心；体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性和数学结论的正确性，在学习活动中获得成功的体验；通过“转化”数学思想的运用，让学生认识到事物之间是普遍联系、相互转化的辨证唯物主义思想。

二学习重点：理解直线与圆的相交、相离、相切三种位置关系难点：直线与圆的三种位置关系判定方法的运用三学习流程1．课前自助 1、如图1⊙O 的半径为r ， (1)A 点在 ⇔ OA r ；(2)B 点在 ⇔OB r ； (3) C 点在 ⇔OC r 2、如图，O 是直线l 外一点，A 、B 、C 、D 是直线l 上的点，且OD ⊥l 线段的长度是点O 到直线l 的距离. 2、情助激趣我们经常看见太阳从地平线上缓缓升起，结合我们学过的知识，把太阳与地平线的位置关系抽象成几何图形画出来。

3、互助探究：1)当直线和圆有公共点时，这时我们说这条直线和圆，这条直线叫做圆的； 2)当直线和圆有公共点时，这时我们说这条直线和圆，这条直线叫做圆的，这个点叫做；3)当直线和圆公共点时，这时我们说这条直线和圆；4）直线与圆的位置关系只有、和三种 5）设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，请在第1问中作出d 、r ，比较回答：图(1)中d r ；图(2)中d r ；图(3)中d r ； (填＞、＜或＝) 6）直线和圆的位置关系的性质与判定 (1)直线l 和⊙O ⇔ d r(2)直线l 和⊙O ⇔d r (3)直线l 和⊙O ⇔d r例、如图，在 Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3cm , BC=4cm ,以C 为圆心，r 为半径的圆与AB 有怎样的关系？为什么？(1) r = 2 cm ; (2) r = 2.4 cm ; (3) r = 3 cm . 变式训练1、在上题中，⑴当直线AB 与⊙C 相切时，r 的取值范围是： ⑵当直线AB 与⊙C 相离时，r 的取值范围是： ⑶当直线AB 与⊙C 相交时，r 的取值范围是：变式训练2、在上题中， ⑴若⊙C 与边AB 相交，则圆半径r 的取值范围是： ⑵若⊙C 与边AB 无交点，则半径r 的取值范围是： 7、总结：请根据上面内容，完成下面表格.4、补助测学 1、判断1)直线与圆最多有两个公共点 ( ) 2)若C 为⊙O 上的一点，则过点C 的直线与⊙O 相切 ( ) 3)若A 、B 是⊙O 外两点，则直线AB 与⊙O 相离 ( ) 4)若C 为⊙O 内一点，则过点C 的直线与⊙O 相交 ( ) 2、直线l 和⊙O 有公共点，则直线l 与⊙O （）A 、相离B 、相切C 、相交D 、相切或相交 3、已知圆的直径为13cm ，设直线和圆心的距离为d ：1)若d=4.5cm ,则直线与圆 , 直线与圆有个公共点. 2)若d=6.5cm ,则直线与圆 , 直线与圆有个公共点. 3)若d= 8 cm ,则直线与圆 , 直线与圆有个公共点.4、已知:圆的半径为4cm,若直线上一点与圆心距离为6cm,那么直线与圆的位置关系是：（） A. 相离 B.相切 C. 相交 D.无法确定5、续助提升：《导航》相应部分习题，《打好基础》相应部分习题lO DCBA图 1直线和圆的位置关系图形公共点个数圆心到直线距离d 与半径r 的关系公共点名称直线名称。

高中数学新北师大版精品学案《圆的标准方程》

圆的标准方程【课标解读】栏目功能：按课程标准和考试要求，分课标要求和学习目标两方面去写，通过本栏目，使教师的教学更具有针对性，学生的学习更具有目的性。

编写要求：课标要求和学习目标左右栏排版单独成块，课标要求主要围绕三维目标进行展开，学习目标是从学生应该掌握的角度进行写作。

【学习策略】栏目功能：说明学习本节内容时应注意的问题和应采用的策略，以便学生更好的理解和掌握本章内容。

编写要求：注意要用条目式呈现，层次性条理性要强。

1．在本节的学习中，要注意圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，通过两点间的距离公式理解和记忆，且通过圆的标准方程可以直接得到圆心和半径、通过圆心和半径可以直接得到圆的标准方程。

2．在掌握了标准方程之后，要能从“是”、“否”两个方面来判断点与方程的关系， 3．要注意数形结合思想及方程思想的运用。

4．求标准方程常用待定系数法，根据题目的条件列出关于A 、B ．r 的方程或方程组。

【学习过程】一、情景创设栏目功能：激起学生的学习本节知识、探究问题、发现问题的兴趣和斗志，同时也能更好地体现新课标理念。

编写说明：1．在报刊、网络或相关信息上精选或精编一段新颖的、可读性强的、趣味性强的与本节相关的生产、生活、社会、科技等美文、小故事、图片等，作为本节知识的导入，引导学生去探索、发现问题，激发学生的学习兴趣。

2．如果与本节相关的材料确实不好找，也可以从知识回顾的角度或自己精编一个与本节有关的问题去写。

3．注意篇幅不易过长。

同学们，你们做过摩天轮吗？登高而望远，不亦乐乎。

世界上最巨大的摩天轮是座落于泰晤士河畔的英航伦敦眼，距地总高达135公尺。

然而，由于伦敦眼属于观景摩天轮结构，有些人认为其在排行上应该与重力式摩天轮分开来计算。

因此目前世界最大的重力式摩天轮应位于日本福冈的天空之梦福冈，是直径112公尺，离地总高12021的摩天轮。

对于这些摩天轮，我们如何通过建立平面直角坐标系，利用方程的知识来研究呢？二、合作探究栏目功能：通过对本节重要知识点和典型解题方法的探究，进一步强化学生对知识和方法的探索感悟和认知过程，使学生对问题的认识是一个层层递进、不断攀升、不断升华的过程，从而遵循由特殊到一般的认识问题和解决问题的基本思路、基本方法编写要求：1．对于基本概念、公式、定理、方法的讲解。

数学导学案

3.4直线与圆的位置关系复习学案（1）一.点与圆有____种位置关系：（1）当点在圆外时，d＞r；反过来，当--------时，点在圆外（2）当---------时d=r；反过来，当-------时点在圆上（3）当点在圆内时-------；反过来，当d＜r时，-------1、已知圆的直径为12cm，如果直线和圆心的距离为⑴ 5.5cm；⑵6cm；⑶8cm那么直线和圆有几个公共点？为什么？2、已知⊙O的半径为3cm，直线l上有一点P，OP=3cm，则直线l与⊙O的位置关系为（）ＣA ．相交 B ．相离 C ．相切 D ．相交或相切3. 在直角三角形ABC 中,∠C=90°,AC=3,AB=5,以点C 为圆心,2为半径的圆和AB 的位置关系是_________________.4. 直线L 与半径为r 的⊙O 相交,且O 到直线L 的距离为5,则r 取值_______四、圆的切线（一）、切线的性质定理注意：若已知条件中出现切线，则必须“连接圆心和切点（二）、有效训练1. 如图,AB 是⊙O 的直径,CD 切⊙O 于点D,AB 的延长线交CD于点C,若∠CAD=25°,则∠ACD 的度数是__________ＡＣ2．如图7-130，AB 与⊙O 切于C 点，OA=OB ．若⊙O 的直径为8cm ，AB=10cm ，求OA 的长．3已知：如图7－134，AB 为⊙O 的直径，DC 与⊙O 切于E 点，AD ⊥DC ，BC ⊥DC ，AD=8cm ，BC=6 cm ．求⊙O 的半径．（三）.切线的判定定理切线的判定定理说明：一条直线是圆的切线必须具备以下两个条件：（1）（2）所以，切线的证明方法有两种：（1）（2）（四）练习：切线的证明1、已知：O是等腰△ABC的底边BC的中点，AB与⊙O相切于点D。

求证：AC与⊙O相切。

2、已知AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C在⊙O上，CA=CD,∠CDA=300，证明直线CD是⊙O的切线。

2019届高考理科数学一轮复习学案：第48讲圆的方程

考向 3 距离型最值问题
4 (1)[2017·嘉兴一中联考] 已知圆 C:(x-2)2+(y+m-4)2=1,当 m 变化时,圆 C 上的点与原
点 O 的最短距离是
.
(2)若 P 是圆 C:(x+3)2+(y-3)2=1 上任一点,则点 P 到直线 y=kx-1 距离的最大值为 ( )
A.4 B.6
C.3 -1 D.2
[总结反思] 求解形如|PM|+|PN|且与圆 C 有关的折线段的最值问题(其中 M,N 均为动点)的基本思路:(1)“动化定”,把与圆上的点的距离,转化为与圆心的距离;(2)“曲化直”,即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决. 强化演练
1.【考向 1】设实数 x,y 满足(x+2)2+y2=3,那么的取值范围是 ( )
(3)几何法:利用圆与圆的几何性质列方程. (4)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式列方程.
式题 (1)[2017·广东广雅中学、江西南昌二中联考] 自圆 C:(x-3)2+(y+4)2=4 外一点 P(x,y) 引该圆的一条切线,切点为 Q,切线的长度等于点 P 到原点 O 的距离,则点 P 的轨迹方程为
A.x2+y2=1
B.x2+y2=1
C.x2+y2=1
D.y=
(2)点 P(4,-2)与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点的轨迹方程是 ( ) A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4 C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1 [总结反思] 与圆有关的轨迹问题的四种常用求解方法: (1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法:根据圆、直线等的定义列方程.

点(直线、圆)和圆的位置关系复习学案

3.3点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系-----复习课学案教学目标 1.了解点与圆，直线与圆以及圆与圆的位置关系．并能运用有关结论解决有关问题.2.了解切线概念，掌握切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．3.能够运用圆有关知识进行综合应用.一：【课前预习】（一）：【知识梳理】1.点与圆的位置关系:有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内.设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆外⇔d＞r．点在圆上⇔d=r．点在圆内⇔d＜r．2.直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆相交⇔d＜r，直线与圆相切⇔d=r，直线与圆相离⇔d＞r3.圆与圆的位置关系(1)同一平面内两圆的位置关系：①相离:如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离．②若两个圆心重合，半径不同观两圆是同心圆.③相切:如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切．④相交:如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交．(2)圆心距：两圆圆心的距离叫圆心距．(3)设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R和r，则①两圆外离⇔d＞R+r；有4条公切线；②两圆外切⇔d=R＋r；有3条公切线；③两圆相交⇔R－r＜d＜R+r（R＞r）有2条公切线；④两圆内切⇔d=R－r（R＞r）有1条公切线；⑤两圆内含⇔d＜R—r（R＞r）有0条公切线．（注意：两圆内含时，如果d为0，则两圆为同心圆）4.切线的性质和判定(1)切线的定义：直线和圆有唯一公共点门直线和圆相切时，这条直线叫做圆的切线．(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的直径．(3)切线的判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．（二）：【课前练习】1.△ABC中，∠C=90°，AC=3，CB=6，若以C为圆心，以r为半径作圆，那么：⑴当直线AB与⊙C相离时，r的取值范围是____；⑵当直线AB与⊙C相切时，r的取值范围是____；⑶当直线AB与⊙C相交时，r的取值范围是____.2.两个同心圆的半径分别为1cm和2cm，大圆的弦AB与小圆相切，那么AB=（）A．．3 D．43.已知⊙O1和⊙O2相外切，且圆心距为10cm，若⊙O1的半径为3cm，则⊙O2的半径 cm．4.两圆既不相交又不相切，半径分别为3和5，则两圆的圆心距d的取值范围是（）A．d＞8 B．0＜d≤2 C．2＜d＜8 D．0≤d＜2或d＞85.已知半径为3 cm，4cm的两圆外切，那么半径为6 cm且与这两圆都外切的圆共有_____个．二：【经典考题剖析】1.Rt△ABC中，∠C=90°，∠AC=3cm，BC＝4cm，给出下列三个结论：①以点C为圆心1．3 cm长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，2．4cm长为半径的圆与AB相切；③以点C为圆心，2．5cm长为半径的圆与AB相交．上述结论中正确的个数是（）A．0个 B．l个 C．2个 D．3个2.已知半径为3cm，4cm的两圆外切，那么半径为6cm且与这两圆都外切的圆共有__ _个．3.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3crn和5 cm，两圆的圆心距是6 cm，则这两圆的位置关系是（）A．内含 B．外离 C．内切 D．相交4.如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交 ⊙O 于点B ，PA=4，OA=3，则cos ∠APO 的值为（） 3344. . . .4553A B C D5.如图，已知PA ，PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P=40°，则∠BAC 度数是（） A ．70° B ．40° C ．50° D ．20°三：【课后训练】填空、选择1.在△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，CM 是中线，以C 为圆心，以3cm 长为半径画圆，则对A 、B 、C 、M 四点，在圆外的有_________，在圆上的有________，在圆内的有________.2.已知半径为3 cm ，4cm 的两圆外切，那么半径为6 cm 且与这两圆都外切的圆共有_________个．3.已知两圆的半径分别为3 cm 和4 cm ，圆心距为1cm ，那么两圆的位置关系是（）A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切4.如图，A 、B 是⊙上的两点，AC 是⊙O 的切线，∠B ＝65○ ，则∠BAC 等于（） A ．35○ B ．25○ C ．50○ D ．65○5.已知两圆的圆心距是3，两圆的半径分别是方程x 2－3x+2=0的两个根，那么这两个圆的位置关系是（）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切6.⊙O 1和⊙O 2的半径分别为3cm 和4cm ．设① O 1O 2＝8cm ⊙O 1和⊙O 2的位置关系是________。

中考数学圆的基本性质专题复习学案设计

中考数学圆的基本性质专题复习一、知识点讲解1．圆的概念圆是平面上到一个定点的距离等于定长的点的集合．定点就是圆心，定长就是半径的长，通常也称为半径．以定点O 为圆心的圆称为圆O ，记作O Θ． 2．点和圆的位置关系设圆的半径为R ，点P 到圆心的距离为d ，则（1）点P 在圆外⇔R d >；（2）点P 在圆上⇔；（3）点P 在圆内⇔R d <≤0． 3．圆的确定不在同一条直线上的三点确定一个圆．经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心叫三角形的外心，这个三角形叫这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三边垂直平分线的交点．4．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及其推论（“知一推三”，强调特殊情况不成立）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等；推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等． 5．垂径定理及其推论（“知二推二”，强调特殊情况不成立）如果圆的一条直径垂直于圆的一条弦，那么这条直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧．二、知识点相关练习例1.在平面上，经过给定的两点的圆有____个，这些圆的圆心一定在连结这两点的线段的_______上．例2.平面上有一个点到⊙O 的圆周上的最小距离为6cm ，最大距离为8cm ，则⊙O 的半径为_______．例3.在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝6，以点A 为圆心，若B ，C ，D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则圆A 的半径R 的取值范围为 __________．例4.下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④长度相等的两条弧是等弧，其中正确的命题有（）个．A. 1B. 2C. 3D. 4例5.已知，如图，在⊙O 中，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F ，OE=OF ．求证：弧AC=弧BD ．例6.如图，OB ，OC 的⊙O 上一点，且∠B=200，∠C=300，求∠A 的度数．OBCA例7.下列三个命题：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等．其中是真命题的是（）． A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ①②③例8.已知⊙O 的半径是5cm ，点P 满足PO=3cm ，则过P 的最大弦长为_________ 最小弦长为_________例9.已知⊙O 的半径是5㎝，圆心到弦AB 的距离是3㎝，则弦AB= ㎝．例10.等腰ABC ∆内接于半径为10cm 的圆内，其底边BC 的长为16cm ，则ABC S ∆( )A ．322cmB ．1282cmC ．322cm 或802cmD ．322cm 或1282cm例11.⊙O 的半径为13 cm ，弦AB ∥CD ，AB=24cm ，CD=10cm ，求AB 和CD 的距离．专项练习1.下列四边形：①平行四边形，②菱形；③矩形；④正方形．其中四个顶点一定能在同一个圆上的有（）．A ．①②③④B ．②③④C ．②③D ．③④2.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）． A ．第①块 B ．第②块 C ．第③块 D ．第④块3．下列命题中，正确的是( ) A. 平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B. 平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C. 弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D. 在一个圆内平分一条弧和弧所对弦的直线必经过这个圆的圆心4.已知ABC ∆，090C ∠=，AC=3，BC=4，以点C 为圆心作圆C ，半径为r ．（1）当r 取什么值时，点A 、B 在圆C 外；（2）当r 在什么范围时，点A 在圆C 内，点B 在圆C 外．5.有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧，其中正确的命题有（）个．A. 4B. 3C. 2D. 16.下列命题中的假命题是（）A. 在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的优弧也相等B.在等圆中，如果弧相等，那么它所对的弦的弦心距也相等 C ．在等圆中，如果弦心距相等，那么它们所对的弦也相等 D ．相等的圆心角所对的两条弦相等7.如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于CD 两点，若AB ＝12cm, CD ＝8cm, 则AC 的长为( )A. 1cmB. 1.5cmC. 2cmD. 2.5cm8.下列命题中，正确的是（）．A ．平分一条弧的直径垂直平分这条弧所对的弦；B ．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；C ．AB ，CD 是⊙O 的弦，若»»AB CD ，则AB ∥CD ； D ．圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径．9．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝4，CD 是高，CM 是中线，以C 为圆心，以5长为半径画圆，那么A 、B 、C 、D 、M 五个点中，在圆外的点是 __________；在圆上的点是 __________；在圆内的点是 __________．10．如图，一圆拱桥跨度为AB ＝8米，拱高CD ＝2米，则圆拱半径为 __________ 米．11.在ABC ∆中，090C ∠=，AC=4，BC=3，以点B 为圆心，以3.5为半径作圆，那么：（1）点C 在圆B____；（2）点A 在圆B____；（3）当半径=_____时，点A 在圆B 上． 12．AB 是圆O 的直径，2=AB ，弦3=AC ，若D 为圆上一点，且1=AD ，则=∠DAC 度．13. 已知等腰三角形的底边长为6，它内接于半径为5的o e 中，那么这个三角形的腰长为 .14. P 是⊙O 外一点，过点P 的两条直线分别交⊙O 于A 、B 和C 、D ，又E 、F 分别是AB 弧、CD 弧的中点，联结EF ，交AB 、CD 于点M 、N ，请判断△PMN 的形状，并证明你的结论．P15．△ABC 内接于⊙O，AB=AC.已知⊙O的半径为7，且圆心O到BC的距离为3．求腰AB的长．16．⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD的距离．17．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D是垂足，∠A=30°，AC=3cm，以C为圆心，3cm为半径作圆C．（1）指出A、B、D与⊙C的位置关系；（2）如果要使⊙C经过点D，那么这个圆的半径应为多长？（3）设⊙C的半径为R，要使点B在⊙C内，点A在⊙C外，求出⊙C的半径R的取值范围.18.机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图所示，“海宝”从圆心O出发，先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A处，再沿正南方向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处，点B、C都在圆O上.（1）求弦BC的长；（2）求圆O的半径长.（本题参考数据：sin 67.4° = 1213，cos 67.4° =513，tan 67.4° =125）BD。

高中数学圆与点位置教案

高中数学圆与点位置教案
教学目标：
1. 了解圆的基本概念和性质；
2. 掌握圆上点的位置关系；
3. 能够运用所学知识解决相关问题。

教学重点：
1. 圆的定义和性质；
2. 圆上点的位置关系。

教学难点：
1. 圆与点的具体位置关系；
2. 解决实际问题。

教具准备：
1. 黑板、彩色粉笔；
2. 教材课本；
3. 尺规、圆规、直尺。

教学过程：
一、导入（5分钟）
引入圆的定义和性质，引导学生思考圆的特点及其在几何学中的应用。

二、讲解（15分钟）
1. 讲解圆的定义和性质，包括圆心、半径、直径等；
2. 讲解圆内外的点与圆的位置关系，例如圆心、直径上的点等；
3. 通过图例展示圆与点的各种位置关系。

三、练习（20分钟）
1. 让学生独立完成练习册中有关圆与点位置的练习；
2. 带领学生讨论解答过程，引导学生学会分析问题、解题思路。

四、拓展（10分钟）
1. 提出一些拓展问题，激发学生的思维能力；
2. 结合实际生活中的例子，引导学生应用所学知识解决问题。

五、总结（5分钟）
总结本节课的学习内容，强调圆与点的位置关系对于几何学的重要性。

六、作业布置（5分钟）
布置作业，包括整理本节课的学习内容和完成书上相关习题。

教学反思：
通过本节课教学，学生能够掌握圆与点的位置关系，提高对圆的理解和应用能力。

在未来教学中，可以引导学生多进行实际练习和应用，加深对几何学的理解和认识。

圆第一课时教学设计-钱晨曦

2.1圆（第一课时）教学目标：1.理解圆的有关概念2.会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆位置关系教学重点：1.理解圆的描述定义2.学会判断点与圆的位置关系教学难点：1.点与圆的三种位置关系的判断2.对圆的集合定义的理解教学过程：1.情境创设（1）车轮为什么都做成圆的？如果改成三角形或者正方形会怎么样？说说你的想法（2）请前两横排的同学站起来，假设让这些同学站在自己的位置上，用手里的圈圈套讲台正中摆放的粉笔盒，这样游戏公平吗？说说你的想法。

怎么样才公平？2.探索活动（1）在纸上任意画一个圆，结合作图方法得出圆的描述定义，强调“平面内”，确定一个圆的条件是圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，两者缺一不可（2）任意画一个点，观察点与圆的位置关系有哪几种，引导学生用集合的观点将平面内的点分为点在圆内、点在圆上、点在圆外的三类。

（3）连接定点圆心和这些点得到线段OP1、OP2、OP3，得出点与圆位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的数量关系，反之也成立。

进一步引出圆的集合定义。

此处类比垂直平分线与角平分线的集合定义。

（4）通过练习和讲解“尝试与交流”，渗透交集法3.小结（1）点与圆的位置关系有哪几种？点到圆心的距离与圆的半径的大小关系有哪几种？这两者什么关系？（2）重新解答上课第一问“车轮为什么都做成圆的”（3）本节课你学到了哪些知识？思想方法？关于圆，你还想了解哪些知识？板书设计：圆一、圆的描述定义：在平面内把线段OP绕端点O旋转一周，端点P运动所形成的图形叫做圆，其中点O叫做圆心（确定圆的位置），线段OP叫做半径（确定圆的大小）。

记作“⊙O”。

圆的集合定义：平面内到定点距离等于定长的点的集合二、点和圆的位置关系：三、练习：作业布置：完成课本练习和教学案，预习圆的第二课时。

2022-2022学年七年级数学下册第13章平面图形的认识 13.3 圆学案(新版)青岛版

O AO BCA课题： 13.3 圆（1）学习目标：1.经历从现实世界中抽象出圆的过程，发展学生的数学建模意识。

2 .能从圆的生成和集合两个方面去认识圆的概念，经历探索点与圆的位置关系的过程。

3.理解弦、圆弧、半圆、扇形等概念。

学习过程：认真阅读课本“观察与思考”的内容，完成下列问题： 1、除了圆桌面、车轮、轴承等，你还能举出圆的几个实例吗？2、你能说明用圆规画圆的道理吗？除了可以用圆规画圆之外，你还有其他画圆的方法吗？用你知道的方法画圆，体会圆是怎样画出来的.3、如图1，在平面内，线段OA 绕固定端点O 旋转一周，另一个端点所描出的封闭曲线叫做＿＿＿；点O 叫做＿＿＿＿；连接圆心与圆上一点的线段叫做＿＿＿＿；以点O 为圆心的圆记作＿＿＿；读作＿＿＿＿；线段OA 是圆O 的一条＿＿＿＿；一个圆有＿＿＿＿＿条半径；同一个的半径都＿＿＿＿. 认真阅读课本“实验与探究”的内容，完成下列问题：1、画一个半径为5厘米的圆O ，在圆O 上任意取两点A ，，B ，连接OA ，OB. (1) OA 与OB 的长分别是多少？(2) 如果OC ＝5厘米，你能说出点C 的位置吗？(3) 如果M ，N 是平面内的两点，且OM ＝7厘米，ON ＝3厘米，你能分别说出点M ，N 与圆的位置关系吗？(4) 观察图2，平面内的点与圆有几种位置关系？2、在平面内，点与圆的位置关系的三种：点在＿＿＿＿，点在＿＿＿＿，点在＿＿＿＿. 点A 在圆外，点B 在圆上，点C 在圆内.平面内：点在圆外⇔这个点到圆心的距离大于半径；点在圆外⇔这个点到圆心的距离大于半径；点在圆外⇔这个点到圆心的距离大于半径；圆O 中，到圆心O 的距离等于半径的点都在圆O 上；圆O 上的所有点到圆心O 的距离都等于半径；因此：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合.O BCAO ACE 同样：圆的内部是平面内到定点的距离＿＿于定长的点的集合.圆的外部是平面内到定点的距离＿＿于定长的点的集合.3、如图3，在圆O 中任取两点，用线段连接它们，所得到的线段叫做＿＿，点A ，B ，C 都是圆O 上的点，线段AB ，AC ，BC 都是O 的弦，BC 是经过圆心的弦，经过圆心的弦叫做＿＿＿＿＿；直径和半径有什么关系？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿4、如图4，圆上任意两点间的部分叫做＿＿＿＿，简称＿＿＿＿；用“ ”表示，以CD 为端点的弧记作CD ，读作“弧CD ”圆的一条直径把圆分成两条弧，每一条弧叫做＿＿＿＿；大于半圆的弧叫做＿＿＿＿；小于半圆的弧叫做＿＿＿＿.优弧用三个字母表示.如BD 表示上面的劣弧，BAD 表示下面的优弧（图中加粗部分）. 一条弧和经过这条弧的端点的半径所组成的图形叫做＿＿＿＿＿. 例如扇形OBEC 是由劣BC 和半径OB ，OC 所组成的图形；扇形OBAD 是由优BAD 和半径OB ，OD 所组成的图形. 小结：课堂练习：A 组练习1、已知⊙O 的半径为8厘米，A 为平面内一点.当OA 符合下列条件时，分别指出点A 与⊙O 的位置关系；（1）OA ＝7.9厘米；（2）A ＝8厘米；（3）OA ＝8.01厘米.O BA CD2、（1）圆的一条弦的弧有几条？怎样区分它们？（2）如图，图中有几条弧？哪些是优弧？哪些是劣弧？B组：1、在ABC中，AB＝3厘米，BC＝4厘米，CA＝5厘米.（1）以点A为圆心，以3厘米长为半径画圆，确定点B，C与⊙A的位置关系；（2）以点A为圆心，以4厘米长为半径画圆，确定点B，C与⊙A的位置关系；（3）以点B为圆心，以4厘米长为半径画圆，确定点A，C与⊙B的位置关系.2、早在2000多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圆，一中同长也”，这就是说，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点是＿＿＿＿，定长是＿＿＿＿.3、AB两点的距离为4厘米.用图形表示具有下列性质的点的集合，并指出它们是怎样的图形：（1）到点A的距离等于3厘米的点的集合；（2）到点B的距离等于3厘米的点的集合；（3）到点A，B的距离都等于3厘米的点的集合；（4）到点A，B的距离都不大于3厘米的点的集合.C组：1.圆的内部是 _______________集合，圆的外部是 ___ 的集合，圆是 _________ 的集合。

圆的标准方程

知识链接：
1.已知A（5,1）,B（7,-3），C（2，-8），则线段AB的垂直平分线方程是___________,BC的垂直平分线方程___________
2.ΔABC外接圆的圆心是ΔABC的_____心，即ΔABC三边__________线的交点
3.两点间的距离公式：
参照课本P118-120，完成以下学案：
课题：圆的标准方程
批注
学习目标：1、掌握圆的标准方程的推导过程
2、根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地写出圆心坐标和半径；
3、会判断点与圆的位置关系
4、会根据的标准方程的推导及点与圆的位置关系的判定方法
学习难点：圆的标准方程的求法
自主预习学案：
A． B．
C． D．
2.点与圆的的位置关系是（）
A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定
3.点（1，1）在圆（x-a）2+（y+a）2=4的内部，则a的取值范围是（）
A.-1＜a＜1 B.0＜a＜1 C.a＜-1或a＞1
D.a=±1
4.求过A（-1，5），B（5，5），C（6，-2）三点的圆的方程.
1.在平面直角坐标系中，两点确定一直线，一点和倾斜角也能确定一直线，类比此性质，您知道确定一个圆的最基本要素是什么？_________________
2、由画圆的过程您能回忆起已学过的圆的定义是什么？
圆的定义：______________其中定点叫______，定长叫____
3.做一做：坐标法推导圆的方程步骤：
________________ 在圆外
探究二：圆的标准方程的求法
例2、ΔABC的三个顶点的坐标分别是A（5,1）,B（7,-3），C（2，-8），求它的外接圆的方程。

圆的标准方程

2．3.1 圆的标准方程学案一、学习目标：1．认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法；2．能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程； 3．掌握点与圆的位置关系并会简单应用； 4．初步掌握圆的标准方程的灵活应用；二、学习重点难点：会求圆的方程学习目标1：认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法；复习回顾：（1）初中学的圆的定义是什么？（2）平面上两点),(11y x A ，),(22y x B 间的距离d （A ，B ）=___________________ 。

问题1：以(2,1)为圆心，1为半径的圆上任一点的坐标(x ，y )满足什么关系？新知探究：1．圆的定义：________________2. 以(,)a b 为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程:3. 圆心在原点(0,0)，半径为r (r >0)时，圆的方程则为：；4. 单位圆：圆心在原点且半径为１的圆；其方程为：注意：说明一个圆时要同时交代其圆心与半径．学习目标2：能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程．例1：过点A (1，－1)，B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程练习1：求过两点C (－1,1)和D (1,3)，圆心在x 轴上的圆的标准方程．学习目标3：掌握点与圆的位置关系并会简单应用；新知探究：点与圆的位置关系(1)若点M 1(x 1，y 1)在圆外，则(x 1－a )2＋(y 1－b )2 r 2. (2)若点M 2(x 2，y 2)在圆内，则(x 2－a )2＋(y 2－b )2 r 2.(3)若点M 0(x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2 r 2.例2：已知点A (1,2)在圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2的内部，求实数a 的取值范围．练习2：已知圆N 的标准方程为(x －5)2＋(y －6)2＝a 2(a >0)．若点P (3,3)与Q (5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a 的范围．学习目标4：初步掌握圆的标准方程的灵活应用；例3：一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？思考与讨论：1、求圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点P (0,0)对称的圆的方程2、设M 是圆22(5)(3)9x y -+-=上的点，求点M 到直线3420x y +-= 的最短距离课堂小结：课堂检测：已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，求圆的标准方程。

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