线性代数行列式经典例题22998
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线性代数行列式经典例题
例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式.
解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =-L L ，故
011102120
n n n
D n n --=
--L L M
O
L
1,1,,2
i i r r i n n --=-=
L 0111111
1
1
n ----L L M O L
1,,1
j n c c j n +=-=
L 121
1
021
(1)2(1)020
1
n n n n n n ------=----L L L L M O O L M L
其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．
方法2 011102120
n n n D n n --=
--L L M O
L
11,2,,1
111111120
i i r r i n n n +-=----=
--L L L M
O
L
1
2,,1
0012
01231
j c c j n
n n n +=---=
---L L L M
O
L
=1
2(1)
2(1)
n n n ----
例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明:
的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察德蒙行列式:
=
行列式 即为y 2前的系数. 于是 =
所以 的充要条件是a + b + c = 0.
例3计算D n =
121
100010n n n x x a a a x a ----+K K M M M M K
解： 方法1 递推法 按第1列展开，有
D n = x D 1-n +（－1）
1
+n a n 1
11
11n x x
x
-----O O
= x D 1-n + a n
由于
D 1= x + a 1，2
21
1x D a x a -=
+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2
D 2-n + a 1-n x + a n =L = x 1-n D 1+ a 2x 2-n +K + a 1-n x + a n =1
11n n n n x a x a x a --++++L
方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2倍，K ，第n 列的x
1
-n 倍分别加到第1列上
12
c xc n D += 2112
1010010000n n n n x x x
a xa a a x a -----++K K K M M M M K
213
c x c +=
3212
1231
010*********n n n n n n x x x a xa x a a a a x a --------+++K K K
M
M
M
M M
K
=L L =
11
1x f
x
---O
O O
n r =
按展开
1(1)n f
+-1
11
1n x x
x
----O
O =
111n n n n x a x a x a --++++L
方法3 利用性质，将行列式化为上三角行列式．
D n
21
32
1
111n n c c x c c x c c x
-+++=
L
1122
000000000n n n
n
n n n
x x x a a a a a a k x x x ---+
++K
K K
M M M M K
n =
按c 展开
x 1-n k n = x 1-n (
1
-n n x
a + 21--n n x a +K +x a 2+a 1+x) =111n n
n n a a x a x x --++++L
方法4 n r n
D =
按展开
1(1)n n
a +-1000100
00
1
x x ---K K M M M M K
+
21(1)n n a +--
000010
1
x x --K K M M M M K
+K +21
2
(1)
n a --100000
01
x x --K K M M M M K
+21(1)()
n
a x -+1000000
0x x x
-K K M M M M L
=（－1）
1
+n （－1）
1
-n a n +（－1）
2
+n （－1）
2
-n a 1-n x
+K +（－1）
1
2-n （－1）a 2x
2
-n +（－1）
n
2( a 1+x) x
1
-n
= 111n n
n n a a x a x x --++++L
例4． 计算n 阶行列式：
1121221
2
n n n n n
a b a a a a b a D a a a b ++=
+L L M M M L
(120n b b b ≠L )
解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a L ，可在保持