线性代数向量的定义及运算
自考本线性代数知识点总结
自考本线性代数知识点总结一、向量和矩阵1. 向量的定义向量是有向线段的数学表示，通常用加粗的小写字母来表示，如a、b等。
向量有大小和方向，可以表示为一组有序的数值，例如a=(a1, a2, ..., an)。
2. 向量的运算向量可以进行加法、数乘和内积运算。
加法是指对应位置上的数值相加，数乘是指一个标量与向量的每个分量相乘，内积是指两个向量对应位置上的数值相乘后再相加得到一个标量。
3. 矩阵的定义矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。
矩阵通常用大写字母来表示，如A、B 等，可以表示为一个矩形数表格。
4. 矩阵的运算矩阵可以进行加法、数乘和乘法等运算。
矩阵的加法是指对应位置上的元素相加，数乘是指一个标量与矩阵的每个元素相乘，矩阵的乘法则是一种复杂的运算，需要满足一定的规则。
5. 矩阵的转置和逆矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵，用A^T表示。
矩阵的逆是指对于一个n阶方阵A，存在一个n阶方阵B，使得A与B的乘积为单位矩阵。
二、行列式和特征值1. 行列式行列式是矩阵的一个重要性质，它可以用来描述矩阵线性变换前后的面积或体积的缩放比例。
行列式的计算是一个重要的线性代数知识点，非常重要。
2. 特征值和特征向量特征值是矩阵的一个重要性质，它是矩阵A的一个标量λ，使得矩阵A减去λ乘以单位矩阵的行列式为0。
特征向量是对应于特征值的非零向量，它可以用来描述矩阵线性变换的方向。
三、线性方程组和矩阵的应用1. 线性方程组线性方程组是由线性方程组成的方程组，它可以用矩阵的形式表示为AX=B，其中A为系数矩阵，X为未知数向量，B为常数向量。
2. 矩阵的应用矩阵在各个领域都有着广泛的应用，如在工程学中可以用来描述结构的受力分布，计算机科学中用来表示图像和二维图形的变换，物理学中用来描述物质的状态等。
四、线性变换和空间1. 线性变换线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，它满足两个性质：对于所有的向量u和v以及标量c，有T(u+v) = T(u) + T(v)，T(cu) = cT(u)。
向量加法运算知识点总结
向量加法运算知识点总结一、向量的基本概念1. 向量的定义向量是指具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
在数学中，向量可以用一组有序数来表示，例如(3, 4)，(2, -1, 5)等。
数学中的向量还可以表示为向量的分量形式、向量的模及方向角。
2. 向量的性质向量的性质包括零向量、相等向量、相反向量、单位向量和标准单位向量等。
3. 向量的表示向量可以用不同的表示方式来表示，包括坐标表示、分量表示、矩阵表示和参数方程表示。
二、向量加法的定义1. 向量加法的定义向量加法是指两个或多个向量进行相加的操作。
假设有两个向量a和b，它们的加法操作可以表示为：a + b = c，其中c为向量加法的结果。
2. 向量加法的几何意义向量加法的几何意义是通过平行四边形法则来理解。
假设两个向量a和b的起点相同，那么它们的和向量c的起点就是a和b的起点，终点是a和b的终点构成的平行四边形的对角线的终点。
这就是平行四边形法则的几何意义。
三、向量加法的运算规律1. 交换律向量加法满足交换律，即a + b = b + a。
2. 结合律向量加法满足结合律，即(a + b) + c = a + (b + c)。
3. 分配律向量加法满足分配律，即a * (b + c) = a * b + a * c，其中a为实数，b和c为向量。
四、向量加法的性质向量加法可以形成一个加法群，满足加法封闭性、结合律、交换律和存在可逆元的性质。
2. 向量加法的零向量零向量是指模为0的向量，任何向量与零向量相加都等于原来的向量本身。
3. 向量加法的相反向量任何向量a与其相反向量a的和等于零向量。
五、向量加法的运算方法1. 平行四边形法则通过平行四边形法则可以直观地理解向量加法的过程，通过向量的起点和终点进行对应和连接，从而得到和向量。
2. 分量法通过分量法来进行向量加法的运算，将向量投影到坐标轴上，然后分别对应相加，最终得到和向量。
3. 使用三角函数通过使用三角函数来进行向量加法的运算，可以将向量的模和方向进行合并，然后通过三角函数的性质来进行相加操作。
向量知识点与公式总结
向量知识点与公式总结向量是线性代数中的一种基本概念，它在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用。
向量具有模和方向，而且可以进行加法和乘法运算，可以用来表示力、速度、位移等物理量。
下面是向量的一些基本知识点和常用公式的总结：1.向量的定义：向量是有大小和方向的量，用有向线段表示。
记作⃗a。
2.向量的模：向量的模表示向量的大小，记作，⃗a，或者a。
向量的模可以用勾股定理求得：⃗a，=√(a₁²+a₂²+a₃²+...+a_n²3.向量的方向角：向量的方向角是指与其中一坐标轴或平面之间的夹角。
在二维平面内，向量的方向角可以用余弦和正弦函数表示：cosθ = a₁ / ，⃗a，sinθ = a₂ / ，⃗a4.向量的方向余弦：向量的方向余弦是指与坐标轴之间的夹角的余弦值。
在三维空间中，向量的方向余弦可以用三角函数表示：cosα = a₁ / ，⃗a，cosβ = a₂ / ，⃗a，cosγ = a₃ / ，⃗a5.向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即两个向量相加的结果是以两个向量为边的平行四边形的对角线。
两个向量的加法可以用分量表示：⃗a+⃗b=(a₁+b₁,a₂+b₂,a₃+b₃,...,a_n+b_n)6.向量的减法：向量的减法可以通过将减向量取负后与被减向量相加得到。
⃗a-⃗b=⃗a+(-⃗b)7.向量的数量积：向量的数量积（点积）是两个向量的模之积与它们夹角的余弦值的乘积。
向量的数量积可以用分量表示：⃗a·⃗b=a₁*b₁+a₂*b₂+a₃*b₃+...+a_n*b_n8.向量的数量积性质：（1）交换律：⃗a·⃗b=⃗b·⃗a（2）结合律：(⃗a+⃗b)·⃗c=⃗a·⃗c+⃗b·⃗c（3）数量积与向量的乘法：(k⃗a)·⃗b=k(⃗a·⃗b)，其中k为实数（4）数量积与零向量：⃗a·⃗0=09.向量的夹角余弦：向量的夹角余弦是两个向量的数量积与它们模的乘积的商。
线性代数向量组
【结论 4】若向量组1 , 2 , 线性相关， 则 能由1 , 2 ,
, m 线性无关，而1 , 2 ,
,m ,
, m 线性表示，且表示式唯一。
【结论 5】线性无关的向量组中每个向量分别添加分量后的 新向量组一定线性无关。 （无关组增加分量仍无关）
【注 3】矩阵 A经初等行变换变成矩阵 B ，则 A的行向量组与 B 的 行向量组等价。但是列向量组未必等价。
证明思路：存在可逆矩阵 P ，使得 PA B, A P 1 B 。
【注 4】矩阵 A经初等列变换变成矩阵 B ，则 A的列向量组与 B 的 列向量组等价。但是行向量组未必等价。
证明思路：存在可逆矩阵 Q ，使得 AQ B, A BQ 1 。
k 0, 0 一定是 k 0
3、 向量组：若干个同维数的行（列）向量所组成 的集合称为向量组。
1 2 3 2 3 4 1 , 2 , 3 是3个四维的列向量组. 3 4 5 4 5 6
k12 k22 ks 2 k1 s k2 s k ss 0
k1 s k2 s ， k ss
【例3】讨论向量组的线性相关性。
a1n xn b1 a2 n xn b2 amn xn bm
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 a x am 2 x2 等价于线性方程组 m1 1
有解
三. 向量组的等价
设Hale Waihona Puke 两个向量组 A : 1 , 2 ,
m 和 B : 1 , 2 , l ，
若 B 组中的每个向量都能由 A组中的向量线性表示， 则称向量组 B 能由向量组 A线性表示。
线性代数中的行向量与列向量
线性代数中的行向量与列向量在线性代数中，行向量和列向量是两种常见的向量表示方式。
它们在矩阵运算、方程组求解、线性变换等方面都有着重要的应用。
本文将对行向量和列向量进行详细介绍，并探讨它们的性质和关系。
一、行向量的定义与性质行向量是一个横向的一维向量，通常用括号或方括号表示。
假设有一个行向量a，可以表示为：a = [a₁, a₂, ..., aₙ]其中a₁, a₂, ..., aₙ为向量的元素，n为向量的维数。
行向量的元素可以是实数或复数。
行向量可以进行加法和数乘运算。
设有两个行向量a和b，它们的加法定义为：a +b = [a₁ + b₁, a₂ + b₂, ..., aₙ + bₙ]行向量的数乘定义为：k * a = [k * a₁, k * a₂, ..., k * aₙ]其中k为实数或复数。
行向量可以与列向量进行内积运算。
设有一个行向量a和一个列向量b，它们的内积定义为：a ·b = a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + ... + aₙ * bₙ行向量的长度可以通过求平方和后开根号得到：||a|| = √(a₁² + a₂² + ... + aₙ²)二、列向量的定义与性质列向量是一个纵向的一维向量，通常用括号或方括号表示。
假设有一个列向量b，可以表示为：b = [b₁b₂...bₙ]其中b₁, b₂, ..., bₙ为向量的元素，n为向量的维数。
列向量的元素可以是实数或复数。
列向量也可以进行加法和数乘运算。
设有两个列向量b和c，它们的加法定义为：b +c = [b₁ + c₁b₂ + c₂...bₙ + cₙ]列向量的数乘定义为：k * b = [k * b₁k * b₂...k * bₙ]其中k为实数或复数。
列向量与行向量的内积运算同样适用于列向量。
设有一个列向量b和一个行向量a，它们的内积定义为：b · a = [b₁ * a₁ + b₂ * a₂ + ... + bₙ * aₙ]列向量的长度可以通过求平方和后开根号得到：||b|| = √(b₁² + b₂² + ... + bₙ²)三、行向量与列向量的关系行向量和列向量是线性代数中非常重要的概念，它们之间存在着一一对应的关系。
向量计算法则
向量计算法则向量计算法则是线性代数中的重要内容，它是描述向量之间关系的一套数学规则。
在实际应用中，向量计算法则被广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、计算机科学等。
本文将介绍向量计算法则的基本概念和常见应用。
一、向量的定义和表示向量是有方向和大小的量，可以用箭头来表示。
向量通常用加粗的小写字母表示，如a、b等。
向量的大小可以用模长来表示，记作|a|。
向量的方向可以用单位向量来表示，记作â̂。
向量可以表示为一个有序的数列，如a=(a1, a2, a3)。
二、向量的加法和减法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
向量的加法和减法满足交换律和结合律。
三、向量的数量积和向量积向量的数量积又称为点积，表示为a·b。
向量的数量积等于两个向量的模长相乘再乘以它们的夹角的余弦值。
数量积具有交换律和分配律。
向量的向量积又称为叉积，表示为a×b。
向量的向量积等于两个向量的模长相乘再乘以它们的夹角的正弦值，并且垂直于这两个向量所在的平面。
四、向量的线性运算向量的线性运算包括标量乘法和线性组合。
标量乘法是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量。
线性组合是指将若干个向量乘以对应的系数后相加得到一个新的向量。
五、向量的投影和单位向量向量的投影是指将一个向量投影到另一个向量上得到一个新的向量。
投影的长度等于原向量与投影方向的夹角的余弦值乘以原向量的模长。
单位向量是模长为1的向量，可以表示为原向量除以它的模长。
单位向量的方向与原向量相同。
六、向量的线性相关和线性无关向量的线性相关是指存在不全为0的系数，使得向量的线性组合等于零向量。
向量的线性无关是指不存在不全为0的系数，使得向量的线性组合等于零向量。
七、向量的基和向量的维数向量的基是指一组线性无关的向量，通过线性组合可以得到其他所有向量。
向量的维数是指基向量的个数。
八、向量的范数和距离向量的范数是指向量的大小，可以表示为向量与原点的距离。
线性代数第三章(一二节向量与线性相关性)
证明
必要性 设向量组 A: a1 , a2 , ... , am 线
性相关, 则有 m 个不全为零的实数 k1 , k2 , ... , km 使 k1a1 + k2a2 + ... + kmam = 0 . 因 k1 , k2 , ... , km 不全为 0 , 不妨设 k1 0 , 于是便 有
（9） 若a1 , a2 , ... , an是n维向量组，则 a1 , a2 , ... , an线性相关的充要条件是其 构造的行列式值为0. 若a1 , a2 , ... , an是n维向量组，则
a1 , a2 , ... , an线性无关的充要条件是其
构造的行列式值非0. （10） 若a1 , a2 , ... , am是n维向量组，且 m>n,则 a1 , a2 , ... , am线性相关。 特别地，n+1个n维向量必线性相关。
第 三 章 向量组的线性相关性与n 维向量空间
第一节
1. 向量的定义 定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , ... , an 所组成的
数组称为 n 维向量,其中第 i 个数 ai 称为第i 个分量，n称为向量的维数.
n维向量
n 维向量可写成一行, 也可写成一列. 分别
称为行向量和列向量, 也就是行矩阵和列矩阵。
引例1：非齐次线性方程组（Ⅰ）有解<=>
存在一组数x1, x2, ... , xn, 满足
x1a1 + x2a2 + ... + xnan = b。 引例2：齐次线性方程组（Ⅱ）有非零解<=> 存在一组不全为零的数x1, x2, ... , xn, 满足 x1a1 + x2a2 + ... + xnan = 0。 从这两个引例中我们可以提炼出向量组两个
向量的线性运算
1.4 在共线共面问题上的应用
于是 C 和A, B 共线 AC // AB 存在实数s, 使得AC = s AB
即 OC OA = s (OB OA) 存在实数s, 使得OC = (1s) OA + s OB OC 对OA, OB 可分解, 且分解系数之和为1. 充分性. 设OC = r OA + s OB, 其中r + s = 1, 于是 OC = (1s) OA + s OB, 即 AC = s AB. 因此 AC // AB, 从而 C 和A, B共线.
设又有 ＝ , 则( ) = = 0.
又 0 , 故 = 0 , 即 = .
充分性由平行定义易知.
注: 为方便, 将这里的数 记为
1.3 向量的分解
(2) 存在性. 从同一起点 O 作
OA = , OB = , OC = .
过 C 作 CD // OB, 且与直线 OA 交于 D.
1.4 在共线共面问题上的应用
由于上述结论, 使得向量的线性运算可以用 来解决有关点的共线、共面问题以及线段的 定比分割问题等.
命题1.2 假设O, A, B不共线, 则点C 和A, B共线 的充分必要条件是: 向量OC 对OA, OB 可分解, 并且分解系数之和等于1. 证明: 必要性. 由于O, A, B不共线, 所以OA, OB不平行, 且AB 0.
注: 向量组共线就是其中任何两个向量平行, 向量组共面就是其中任何三个向量共面. 于是判别“两向量是否平行”, “三向量是否共面” 成为基本问题.
1.3 向量的分解
定理1.1 (向量分解定理)
(1) 设 为非零向量, 则 // (与共线) 当且 仅当存在唯一实数, 使得 = . (2) 若向量 , , 共面, 并且 与 不平行, 则 存在唯一的一对实数, 使得 = + .
线性代数-第二章-向量和向量空间
n维单 位坐标 向量组
所以，称 是 1, 2 , 3 ,4 的线性组合， 或 可以由 1, 2 , 3 ,4线性表示。
命题2 设向量可由向量组(I) :1,2,,m
线性表出，而(I)中每个向量都可以由向量组
(II) : 1, 2,, s线性表出, 那么也可由向量组
(II)线性表出 给出证明
二 线性相关
当 r( A) r n 时，求得基础解系是1 ,2 , ,nr , 则 x k11 k22 knr nr 是AX 0 的解，
称为通解。
4. 解的结构
AX 0 的通解是 x k11 k22 knr nr
例3 : 求下列齐次方程组的通解。
(1)
x1 2 x1
2 x2 4 x2
分量全为复数的向量称为复向量.
以后我们用小写希腊字母 , , 来代表向量。
例如：
(1,2,3,, n)
(1 2i,2 3i,,n (n 1)i)
第2个分量 第1个分量
第n个分量
n维实向量 n维复向量
向量通常写成一行： a1,a2 , ,an 称为行向量。
有时也写成一列：
a1
xr1 1 0
,nr
是令
xr2
为
0
,
1
,
xn
0
0
0
,
0
所得。
1
Ax 0 的通解是 x k11 k22 knr nr
注：
(1) 证明过程提供了一种求解空间基（基础 解系）的方法。
(2) 基（基础解系）不是唯一的。
(3) 当 r( A) n 时，解空间是{0}.
(2) s t
则向量组 1,2 , , s 必线性相关。
理解向量运算
理解向量运算向量运算是线性代数的重要内容，是研究向量及其运算法则的一门数学理论。
向量运算包括向量的加法、减法、数量乘法、点乘和叉乘等，这些运算法则使得向量能够进行综合运算和相互转化。
本文将详细介绍向量运算的概念、运算法则、性质以及其在实际问题解决中的应用。
首先，我们来了解一下向量的基本概念。
向量是有方向和大小的量，在几何上用尖括号括起来表示。
例如，向量a可以表示为a=（a1，a2，a3），其中a1、a2和a3表示向量a在坐标系中的三个分量。
向量可以进行加法和减法运算，使得我们可以对向量进行综合的计算和分析。
向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
假设有两个向量a=(a1，a2，a3)和b=(b1，b2，b3)，则它们的和可以表示为：a+b=(a1+b1，a2+b2，a3+b3)。
向量的减法类似，只是将被减向量的分量取相反数后再相加。
例如，a-b=(a1-b1，a2-b2，a3-b3)。
数量乘法是指将一个向量乘以一个标量得到一个新的向量。
标量是一个实数，可以是正数、负数或零。
当标量为正数时，乘积的向量方向与原向量相同；当标量为负数时，乘积的向量方向与原向量相反；当标量为零时，乘积的向量为零向量。
例如，若有向量a=(a1，a2，a3)和标量k，则ka=(ka1，ka2，ka3)。
点乘也叫数量积或内积，是两个向量的乘积再相加，得到一个标量。
点乘的计算公式为：a·b=a1*b1+a2*b2+a3*b3。
点乘具有交换律，即a·b=b·a，而且还有分配律，即a·(b+c)=a·b+a·c。
点乘的几何意义是，若两个向量的夹角为θ，则其点乘的结果为|a||b|*cosθ，其中|a|和|b|分别代表向量a和向量b的模长。
叉乘也叫向量积或外积，是两个向量的乘积得到一个新的向量。
叉乘的计算公式为：a×b=(a2*b3-a3*b2，a3*b1-a1*b3，a1*b2-a2*b1)。
3.1 3.2向量及向量组的线性相关性
, 2
a22
,, s
a2s
ar1
ar2
ars
则 k11 k22 kss k11 k22 kss
k11
k2 2
ks s
a11
k1
a21
a12
k2
a22
a1s
ks
a2s
k1a11 k1a21
k2a12 ksa1s
k2a22 ksa2s
ars
k1ar1
k2ar 2
ksa1s 0
ksa2s
0
ksars
0
ksa2s 0
ksa1s
0
ksars
0
a11
a12
a1s
1
a21
,
2
a22
, s
a2s
,
ar1
ar2
ars
ka11
ka12
ka1s
1
a21
通常用希腊字母α, β, γ等表示.
说明
①行向量也是1×n的行矩阵，列向量也是n×1的列矩阵； ②行向量可看作是列向量的转置； ③为统一起见，以后所讨论的向量均指列向量.
分量全为零的向量称为零向量, 记作θ ---读作“西塔”
二、向量的运算
如: (a1, a2 , , an )T , (b1, b2 , , bn )T 定义2. 若向量 和 对应的分量分别相等，即ai=bi ，i=1,2,…,n
a22
,
a1s
s
a2
s
,
a11
a21
a12
a22
a1s
a2s
ar1
ar
线性代数中的向量与矩阵运算
线性代数中的向量与矩阵运算线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量、向量空间和线性变换等概念及其性质。
在线性代数中，向量和矩阵是最基本的概念之一，其运算规则和性质对于解决实际问题和理论研究都具有重要意义。
一、向量的定义与运算向量是线性代数中最基本的概念之一。
向量可以用有序数组表示，也可以用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
向量的运算包括加法和数乘两种运算。
向量的加法满足交换律和结合律，即对于任意两个向量a和b，有a+b=b+a和(a+b)+c=a+(b+c)。
向量的数乘是指将向量的每个分量与一个实数相乘，得到一个新的向量。
数乘满足结合律和分配律，即对于任意向量a和实数k，有k(a+b)=ka+kb 和(k+l)a=ka+la。
二、矩阵的定义与运算矩阵是由m行n列的数排成的一个矩形数表，用大写字母表示。
矩阵的运算包括加法、数乘和乘法三种运算。
矩阵的加法是指将两个相同大小的矩阵对应位置的元素相加，得到一个新的矩阵。
矩阵的数乘是指将矩阵的每个元素与一个实数相乘，得到一个新的矩阵。
矩阵的乘法是指将一个m行n列的矩阵与一个n行p列的矩阵相乘，得到一个m行p 列的矩阵。
矩阵的乘法不满足交换律，即AB≠BA，但满足结合律，即(AB)C=A(BC)。
矩阵的乘法还满足分配律，即A(B+C)=AB+AC和(A+B)C=AC+BC。
三、向量与矩阵的关系向量可以看作是只有一列的矩阵，矩阵可以看作是多个向量的组合。
向量与矩阵之间的运算也是线性代数中的重要内容。
对于一个m行n列的矩阵A和一个n维的列向量x，矩阵A与向量x的乘积Ax是一个m维的列向量，其中的每个元素是矩阵A的每一行与向量x的对应位置元素的乘积之和。
这种运算可以看作是将矩阵的每一行与向量的每一列进行对应位置的乘积，并将结果相加得到一个新的向量。
矩阵的转置是指将矩阵的行与列对调得到的新矩阵。
对于一个m行n列的矩阵A，其转置矩阵记作A^T，其中的元素a_ij变为a_ji。
向量的四则运算
向量的四则运算在线性代数中，向量是一种常见的数学对象，它们经常出现在不同的数学和科学领域。
向量的四则运算是指向量之间的加法、减法和数乘运算，这些运算可以帮助我们进行向量的组合、计算和分析。
本文将介绍向量的四则运算的定义、性质和应用。
一、向量的定义与表示向量是一种有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。
一个向量可以在坐标系中用一组有序的实数表示，这组实数称为向量的分量。
一般情况下，我们用字母加箭头的形式来表示向量，比如$\vec{a}$表示一个向量。
二、向量的加法向量的加法是指将两个向量按照一定的规则相加得到一个新的向量。
设$\vec{a}=(a_1,a_2,\ldots,a_n)$和$\vec{b}=(b_1,b_2,\ldots,b_n)$是两个$n$维向量，它们的和记为$\vec{a}+\vec{b}$，其中$\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,\ldots,a_n+b_n)$。
向量的加法满足交换律、结合律和零向量的存在性。
三、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设$\vec{a}$和$\vec{b}$是两个$n$维向量，它们的差记为$\vec{a}-\vec{b}$，其中$\vec{a}-\vec{b}=(a_1-b_1,a_2-b_2,\ldots,a_n-b_n)$。
向量的减法可以看作是加法的逆运算。
四、向量的数乘向量的数乘是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量。
设$k$是一个实数，$\vec{a}$是一个$n$维向量，它们的数乘记为$k\vec{a}$，其中$k\vec{a}=(ka_1,ka_2,\ldots,ka_n)$。
向量的数乘满足结合律和分配律。
五、向量的乘法运算向量的乘法运算有两种常见的形式：点乘和叉乘。
点乘又称为数量积或内积，可以将两个向量的分量相乘再相加得到一个实数。
设$\vec{a}$和$\vec{b}$是两个$n$维向量，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n$。
向量的运算法则
向量的运算法则向量运算是线性代数中的重要概念之一，它在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用。
本文将介绍向量的基本定义与性质，并重点阐述向量的加法和数乘运算法则。
一、向量的基本定义和性质在线性代数中，向量通常被表示为一个有序的数列，如(a1, a2, ..., an)，其中a1,a2,...,an为实数。
向量用箭头表示，在几何上可理解为从坐标原点出发指向某个点的有向线段。
向量的长度称为模，记作||a||。
两个向量的模相等，则它们相等。
1. 零向量：长度为0的向量，记作0，任何向量a与零向量的加法运算结果为向量a本身。
2. 向量的相等与相反：两个向量相等，当且仅当它们对应的各个分量相等；一个向量的相反向量，记作−a，其每个分量都与原向量相反。
3. 单位向量：长度为1的向量。
4. 平行向量：具有相同或相反方向的向量。
5. 垂直向量：夹角为90度的向量。
二、向量的加法和数乘运算法则1. 向量的加法：对于两个向量a=(a1, a2, ..., aa)和a=(a1, a2, ..., aa)，定义它们的加法为a+a=(a1+a1, a2+a2, ..., aa+aa)。
向量的加法满足交换律、结合律和存在单位元素。
2. 向量的数乘：对于一个向量a=(a1, a2, ..., aa)和一个实数a，定义数乘为aa=(aa1, aa2, ..., aaa)。
数乘满足结合律。
3. 向量加法与数乘的分配律：对于两个向量a和a，以及一个实数a，有a(a+a)=aa+aa；(a+a)a=aa+aa。
四、向量运算的应用向量运算在各个领域都有广泛的应用，以下列举几个例子：1. 物理学中的向量分析：动量、力、速度等物理量都是向量，通过向量运算可以更准确地描述物理现象。
2. 几何学中的向量运算：通过向量的加法、数乘运算可以确定线段之间的关系、判断线段的位置关系等。
3. 工程中的向量运算：在工程计算中，向量运算广泛应用于建筑结构、电路分析、力学分析等领域。
线性代数课件-3.2 n维向量
定义36 对于给定的向量组 β , α 1 , α 2 , , α n 定义 若存在一组数
k 1 , k 2 , , k n ,使得
β = k1α 1 + k 2α 2 + + k nα n
线性表示. 则称向量 β 可由向量组α 1 ,α 2 ,,α n 线性表示. 或向量 β 是向量组 α 1 ,α 2 ,,α n 的线性组合. 的线性组合.
线性表示. 线性表示.
证明: 证明:
1 0 0 0 a1 a1 0 0 a 0 a 0 1 0 2 2 = + + ∵要证:存在一组数 +, k = …,k +,使 + + a n α = 要证:存在一组数k12, a1 n a 2 使 0 0 1 a a 0 0 ε n n α = k + k ε + + k ε
α + β = β +α α + ( β + γ ) = (α + β ) + γ α +0 =α α + ( α ) = 0
( k + t )α = k α + t α k (α + β ) = k α + k β ( kt )α = k ( t α ) 1α = α
改书P 改书 100
【例2】 已知四维向量 α 1 , α 2 , β 满足关系 】
=β
线性方程组的向量表达式: 线性方程组的向量表达式: x 1α 1 + x 2 α 2 + + x n α n = β 或
α 1 x1 + α 2 x 2 + + α n x n = β
三,向量间的线性关系
线性代数-向量及其线性运算
0
0 0
0
30线性表示b， 21且 3为 20 ： 3
1
(因为
1 0 0 2
B[A,b]1,2,3,b0 1 0 3
0 0 1 0
即 r(A)r(B).)
二、线性相关性的概念
定义３ 给定向 A:量 1,2组 , ,m,如果存在
全为零 k1,k的 2, 数 ,km使
k11k22 kmm0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
T m
向量组 A :1 T ,2 T , ,m T 为矩阵Ａ的行向量组．
四、线性方程组AX=b的向量表示
a11x1a12x2a1nxn b1,
a21x1a22x2a2nxn b2, am1x1am2x2amnxn bm.
xx x b
11 22
nn
方程组的解x1=c1, x2=c2,…., xn=cn,可以用n维列向量：
记作α,β,γ.
如：
a1
a
2
a
n
（Column Vector）
注意 １、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；
２、当没有明确说明时，都当作实的列向量.
几何上的向量可以认为是它的特殊情形，即 n = 2, 3 且 F 为实数域的情形. 在 n > 3 时，n 维向 量就没有直观的几何意义了. 我们所以仍称它为向 量，一方面固然是由于它包括通常的向量作为特殊 情形， 另一方面也由于它与通常的向量一样可以定 义运算，并且有许多运算性质是共同的，因而采取 这样一个几何的名词有好处.
进一步：P94 定理2.6
定理 向量组线性相关至少有一个向量可由其 余向量线性表示．
定理 向量组线性无关任何一个向量都不能由 其向量线性表示．
向量的定义与加减运算
向量的定义与加减运算向量是线性代数中的重要概念，它可以用于描述物理力、方向和位移等概念。
本文将详细介绍向量的定义以及向量的加减运算。
一、向量的定义向量是由大小和方向组成的量，通常用箭头表示。
在数学上，向量可以表示为一个有序数列，在二维平面中通常以两个数表示，即(x, y)，在三维空间中则以三个数表示，即(x, y, z)。
二、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
假设有向量A和向量B，它们的加法运算可以表示为A + B。
具体计算方法如下：1. 如果A和B在同一方向上，则将它们的大小相加，并保持相同的方向。
例子：A = (3, 4)B = (2, 1)A +B = (3 + 2, 4 + 1) = (5, 5)2. 如果A和B在相反的方向上，则将它们的大小相减，并保持第一个向量的方向。
例子：A = (3, 4)B = (-2, -1)A +B = (3 - 2, 4 - 1) = (1, 3)3. 如果A和B不在同一方向上，则不能简单地将它们的大小相加，而是需要使用平行四边形法则来计算。
例子：A = (1, 2)B = (3, 4)A +B = (1 + 3, 2 + 4) = (4, 6)三、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
假设有向量A和向量B，它们的减法运算可以表示为A - B。
具体计算方法如下：1. 将B取负值，即将B中的每个分量变为相反数，然后进行向量的加法运算。
例子：A = (3, 4)B = (2, 1)A -B = A + (-B) = (3, 4) + (-2, -1) = (3 - 2, 4 - 1) = (1, 3)四、向量的运算性质向量的加减运算满足以下性质：1. 交换律：A + B = B + A，A - B ≠ B - A2. 结合律：(A + B) + C = A + (B + C)，(A - B) - C ≠ A - (B - C)3. 零向量：对于任何向量A，有A + 0 = A，A - 0 = A，其中0是大小为0的向量。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例： (1,2,3,, n)
(1 2i ,2 3i ,, n ( n 1)i )
n维实向量 n维复向量
第2个分量 第1个分量 n维向量的实际意义： 例：n-1次代数多项式
第n个分量
f (t ) a1 a2t ant n1 (a1 , a2 ,, an ) 系数向量
所有可能的线性组合构成的集合称为由 1 , 2 ,, p 张成（生成）的 R n 的子集，记为 span 1 , 2 , , p , 即
span 1 , 2 , , p k11 k2 k p p | k1 , k2 ,..., k p R.
α1
例4.1.2 向量 1 和 2 的几个线性组合：
1 1 31 2 , 1 1 0 2 , 0 01 02 . 2 2
例4.1.4 证明：任意n维向量 k1, k2 ,, kn 是向量组 e1 1,0,,0 , e2 0,1,,0 ,, en 0,0,,1 的线性组合. 证明：由向量的线性运算，得
第四章 向量空间
§4.1 向量的定义及运算
平面上的向量的全体：
R x, y | x, y R.
2
2 2
任意
x1, y1 R , x2 , y2 R , k R,
规定加法和数乘为：
x1 , y1 x2 , y2 x1 x2 , y1 y2 R 2 , k k x1 , y1 kx1 , ky1 R 2 .
将2、3维向量推广到n维向量.
定义4.1.1 由n个数构成的有序数组，记作 (a1 , a2 ,..., an ) a1 称为n维行向量；若记作
a 2 an
则称 为n维列向量. 称数 ai 为 的第i个分量. i 1,2,..., n n维行向量和n维列向量都称为n维向量 (vector)，n维向量常用小写黑体字母表示.
定义4.1.3 全体n维实行向量构成的集合 对于上面定义的向量加法、实数与向量的数乘 运算，构成n维（实）行向量空间；
n1 R 类似地，定义n维（实）列向量空间 n 1n n1 R R R 用符号 表示 或
R1n ，
；
，称为n维（实）向
量空间.
例4.1.1 设 1 1, 1, 2 , 2 1,2,0 , 3 1,0, 3 , 求 1 22 123.
k1, k2 ,, kn k1 1,0,,0 k2 0,1,,0 kn 0,0,,1 ,
即
ki ei .
i 1
n
例4.1.5 令
1 2 7 1 2 , 2 5 , 4 5 6 3
则 span1,2
3 R 是 中过原点平面. 判断 是否位于此平面中.
解：考虑向量方程 x11 x22 , 其增广矩阵 为 1 2 .
5 3 1 5 3 1 1 5 3 2 13 8 0 3 2 0 3 2 , 0 0 2 3 3 1 0 18 10
易见向量的加法和数乘满足矩阵的8条运算规律. 于是 R 2 就是平面上全体向量的集合，具有两个封闭的 运算（加法和数乘），这两个运算适合8条规律.
同样，（欧式）空间中的向量视为
R3 x, y, z | x, y, z R,
即实数域上所有三维向量的全体. 类似地规定 向量加法和数乘，加法和数乘运算也适合8条 规律.
解是 x1 3, x2 2.
因此 可以写成 1 和 2 的线性组合：
31 22 .
一般地，判断 能否由向量组1 , 2 ,, n 线性 表出，即判断向量方程
x11 x22 xnn
有无解.
线性方程组的 向量表示形式
n R 当 是列向量空间时，其增广矩阵为
a1 b1, a2 b2 ,, an bn .
（3）数量乘法：k为实数，称向量 ka1, ka2 ,, kan 为 k与α的数乘，记作 k ka1, ka2 ,, kan .
（4）分量全为0的向量 0,0,,0 称为零 向量，记作0（注意区别数零和零向量）. （5）称 a1, a2 ,, an 为α的负向量，记作 -α. 因而可以定义向量的减法运算：
最后一个方程是 0x2 2, 方程组无解，即 不 在 span1,2 中.
.
向量的加法以及数与向量的数乘统称为向量的 线性运算，这些运算可归结为数（分量）的加法 与乘法. 显然，向量的线性运算是矩阵的线性运 算的特殊情形. 对任意的n维向量α,β,γ及任意的数k,l，向量的线 性运算满足下面八条基本的运算规律：
(i)
k11 k2 2 k p p kii
p
得到的向量 称为向量组 1 ,2 ,..., p 的线性 组合，或称 可由 1 ,2 ,..., p 线性表出.
α2
i 1
α x1α1 x2α2
两个向量的线性组合 的几何示意图
x2α2
x1α1
， 能否
写成 1 和 2 的线性组合？ 解：根据定义，问题即判断向量方程
x11 x22
是否有解. 即
x1 2 x2 5 x 1 2 x2 5 x2 6 x2 7 4 3
利用初等行变换将增广矩阵化成行最简形：
1 2 7 1 2 7 1 2 7 1 0 3 2 5 4 0 9 18 0 1 2 0 1 2 0 0 0 5 6 3 0 16 32 0 16 32
定义4.1.2 设两个向量 (a1, a2 ,..., an ),
ai bi , i 1, 2,, n,
(b1, b2 ,..., bn ).
（1）如果它们对应的分量分别相等，即
则称向量α与β相等，记作α=β.
（2）加法：称向量 a1 b1, a2 b2 ,, an bn 为α与β的和，记作
从几何上看，若 是非零向量，则 span 表示 由向量 确定的直线. 若 和 是非零向量，且不共线，则 span , 表 示由向量 和 确定的平面.
例4.1.6
1 5 3 2 , 13 , 令 1 2 8 , 3 3 1
(v) 1
(ii) ( ) ( ) (vi) k (l ) (kl ) (iii) 0 (vii) k ( ) k k (iv) ( ) 0 (viii) (k l ) k l
例：确定飞机的状态，需要 以下6个参数：
机身的仰角
机翼的转角 机身的水平转角
(
2
2
)
( ) (0 2 )
飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z) 所以，确定飞机的状态，需用6维向量 a ( x , y , z , , , )
n 维向量没有直观的几何形象． n 3时，
1,2 ,,n , .
n R 当 是行向量空间时，上式两端转置，得
T T T x11 x22 xnn T
T T T T , , , , 其增广矩阵为 n 1 2 .
n , , , R , 由 1 , 2 ,, p 的 定义4.1.5 设 1 2 p
解： 1, 1,2 2 1,2,0 12 1,0, 3
1 2 12, 1 4 0,2 0 36 11, 5, 34.
定义4.1.4 给定 R n 中的向量 1,2 ,..., p , 实数 k1 , k2 ,..., k p , 经线性运算