第三讲：两直线的相对位置(垂直)、平面投影、平面内点和直线(一)

2.正平面 平行于V 2.正平面——平行于V面的平面 正平面 平行于
V
Q q’
X O Z
q”
YW
q
YH
是什么位置 的平面？ 的平面？
投影面的平行面
3.侧平面 平行于W 3.侧平面——平行于W面的平面 侧平面 平行于
V
X O Z
r’
r”
YW
的投影特性： 投影面平行面 的投影特性： YH 1.在其所平行的投影面上的投影 在其所平行的投影面上的投影， 1.在其所平行的投影面上的投影，反映 空间平面的实形。 空间平面的实形。 2.在其它两个投影面上的投影 在其它两个投影面上的投影， 2.在其它两个投影面上的投影，分别积 聚成与相应的投影轴平行的直线。 聚成与相应的投影轴平行的直线。
各种位置平面的投影
平面在三投影面体系中的投影特性
平行于某一投影面
投影面平行面 特殊位置平面
水平面 正平面 侧平面 铅垂面 正垂面 侧垂面
只垂直于某一投影面， 只垂直于某一投影面， 倾斜于另两个投影面
投影面垂直面
与三个投影面都倾斜
一般位置平面
投影面的平行面
1.水平面 平行于H 1.水平面——平行于H面的平面 水平面 平行于 积聚性
O
2011-9-19
3
过点A作线段 的垂线AB 作线段EF的垂线 例1: 过点 作线段 的垂线 ，并使 AB平行于 面。 平行于V 平行于
b′
b
2011-9-19
4
过点E作线段AB CD的公垂线EF。 AB、 的公垂线EF 例2: 过点E作线段AB、CD的公垂线EF。 f′ e′
e
f
2011-9-19 5
b’ Z b” c’ a’ e’ X d’ b O e” a” c” YW d”
或
过平面内一点（ ）， 过平面内一点（C）， 且平行于平面内的一条直 ），如直线 线（AB），如直线 ），如直线CD 。 a
e d c YH
例5：已知平面由直线AB、AC所确定， 已知平面由直线AB、AC所确定， AB 所确定 试在平面内任作一条直线。 试在平面内任作一条直线。 解法一： 解法一：
β
PH
P
γ
O
YW
YH Z X
PH
β PH γ
O
YW
铅垂面的迹线表示法 铅垂面的迹线表示法
2011-9-19
YH
20
正垂面的迹线表示法 正垂面的迹线表示法
X
Z PW PV
γ
O YW
α
PH
QV Q
YH Z
QV α
X
γ
O YW
YH
2011-9-19 21
侧垂面的迹线表示法 侧垂面的迹线表示法
V S Sw W
投影面的垂直面
1.在它垂直的投影面上的投影积聚成直线， 1.在它垂直的投影面上的投影积聚成直线，且该直 在它垂直的投影面上的投影积聚成直线 线与投影轴的夹角反映空间平面对其它两投影面的倾角。 线与投影轴的夹角反映空间平面对其它两投影面的倾角。 3.侧垂面 侧垂面——垂直于W面，且倾斜于V 垂直于W 且倾斜于V 3.侧垂面 垂直于 2.其它两个投影面上的投影，为空间平面的类似形。 其它两个投影面上的投影，为空间平面的类似形。 2.面、H面的平面 其它两个投影面上的投影
m′ X a′ m a n b c a 有多少解？ 有多少解？ c b′ n′ c′ O X
解法二： 解法二：
a′
b′ c′
d′
O b d
有无数解。 有无数解。
30
2011-9-19
平面上的点和直线
二、平面内的点：必在平面内的一直线上， 平面内的点：必在平面内的一直线上， 平面内定点 先定线。 定点须 平面内定点须先定线。
m'
X O X
n
O
(m)
铅垂面
2011-9-19
正垂面
26
讨论并作图：过正垂线可作哪些平面？ 讨论并作图：过正垂线可作哪些平面？ 迹线表示法) (迹线表示法)
PV SV
X O X O X
QV
RV
OX
O
（a ）给题
2011-9-19
（ b）作水平面
（c）作侧平面
（d）作正垂面 有无穷多个） （有无穷多个）
β γ
O
β
YW
γ
铅垂面的投影特性： 铅垂面的投影特性： 积聚性 ： 的投影特性 平面对投影面的倾角： 平面对投影面的倾角
YH
1.水平投影积聚为一条倾斜线段,且该直线段与OX、OY轴的 1.水平投影积聚为一条倾斜线段,且该直线段与OX、OY轴的 水平投影积聚为一条倾斜线段 OX 对水平投影面的倾角——α 对水平投影面的倾角 α 夹角反映空间平面对V 面的倾角； 夹角反映空间平面对V面、W面的倾角； 对正立投影面的倾角——β 对正立投影面的倾角 β 2.正面投影和侧面投影为空间平面的 2.正面投影和侧面投影为空间平面的类似形。 对侧立投影面的倾角——γ 对侧立投影面的倾角 γ
e'
d'
X
O
e
2011-9-19
d
不属于
34
例10：已知AC为正平线，补全平行四边形 10：已知AC为正平线， AC为正平线 ABCD的水平投影 的水平投影。 ABCD的水平投影。
解法一
a′ d′ X a d k b k′ b′ c′
解法二
a′ d′ d
b′ c′
O c
X a
O c b
小结----基本要求 小结----基本要求 ----
b’ B c’ b C c a A a’
c’
X
b
O
c
a
AB垂直于 垂直于BC,且AB平行于 面,则有 ⊥ bc(相交垂直 。 平行于H面 则有 则有ab 相交垂直)。 垂直于 且 平行于 相交垂直
AB垂直于 垂直于MN,且AB平行于 面,则有 ⊥ mn。 平行于H面 则有 则有ab 垂直于 且 平行于 (交叉垂直 交叉垂直) 交叉垂直
YW 两条相交直线（ 、 4、两条相交直线（AB、 BC） ； ）
5、平面图形（ΔABC ）。 平面图形（
平面的表示法
二. 用迹线表示平面
z V PV x px P PH H PW W x px PH pY y PY H YH pz PV O z pz PW pY w YW
迹线：平面与投影面的交线。 迹线：平面与投影面的交线。
结论：过一般位置直线总可作投影面的垂直面。 结论：过一般位置直线总可作投影面的垂直面。
2011-9-19 24
作图：过一般位置直线作投影面的垂直面。 作图：过一般位置直线作投影面的垂直面。 迹线表示法) (迹线表示法)
SV Z QW b" a"
O X YW
PH
2011-9-19
YH
25
作图：过一般位置直线作投影面的垂直面。 作图：过一般位置直线作投影面的垂直面。 几何元素表示法) (几何元素表示法) (n')
a’ X
e’
d’ b d
O
a
e c YH
例7：已知点E 在∆ ABC上，试求点E 的正面投影 。
e'
X
O
e
2011-9-19 32
属于∆ 平面， 例8：已知点Ｋ属于∆ABC 平面，试求其水 平投影k 平投影k。
b′ k′● X a′ a k b
●
c′ O
c
2011-9-19
33
例9：已知∆ABC给定一平面，试判断点D是否属于该 已知∆ABC给定一平面，试判断点D 给定一平面 平面。 平面。
求点到直线的距离
b’ e’
（1 ）
k’ c’
（2 ）
g’
O X
投影必 投影必 须完整
h’ f ’
O
a’
X
c a
g k b
实长
实长
e h （f）
得到点到直线距离的投影后再求实长
平面的表示法
一.用几何元素表示平面(五种) 用几何元素表示平面(五种)
b’ Z c’ a’ X b a c YH O a” b” c” 1、不在一直线上的三点决定 一个平面（ 一个平面（点A、B、C）； 直线和直线外一点（ 2、直线和直线外一点（直 线AB、点C） ； 、 ） 两条平行直线； 3、两条平行直线；
V
β
β
α
X
O
Y
α
YH
2011-9-19 18
例4: 根据投影图， 根据投影图，判断下列平面的空间位置
Z a′ b′ c′ a″ c″ O a c b YH a YW X b″ a′ b YH b′ c′ c″ O c Z b″ a″ YW
X
水平面
铅垂面
用迹线表示的投影面 垂直面的投影
X
Z PV PW
例3：作三角形ABC，∠ABC为直角，使BC在MN上， 作三角形ABC， ABC为直角， BC在MN上 ABC 为直角 BC: =2: 且BC:AB =2:3。
a′ b′ c′ AB
O
b′c′=BC a ′b ′
c a
2011-9-19
b
|yA -yB |
6
两直线垂直的应用——求距离 两直线垂直的应用
2011-9-19
36
讨论并作图：取属于投影面垂直面的点和直线。 讨论并作图：取属于投影面垂直面的点和直线。
b′ a′
e′ f′
X
O
X
f e
无数解
O
a b
无数解
2011-9-19
37
b’ Z c’ b” c” d” e” a” YW
例6：已知D点在ABC 已知D点在ABC 平面内，补全其投影。 平面内，补全其投影。