第三讲：两直线的相对位置(垂直)、平面投影、平面内点和直线(一)

投影特性：三个投影都是空间平面图形的类似形。 投影特性：三个投影都是空间平面图形的类似形。
23
讨论：过一般位置直线能否作投影面的垂直面？ 讨论：过一般位置直线能否作投影面的垂直面？
b′ a′ B P A SV a′ A b′ B S
a b PH
a
b
过一般位置直线AB作 铅垂面PH
过一般位置直线AB作正 垂面SV
r
用迹线表示的 迹线表示的 投影面平行面的投影
Z PV PW PV X X Z Z PW
X
O
YW
O PH
YW
O PH
YW
YH 水平面
YH 侧平面
YH 正平面
投影面的垂直面
V
1.铅垂面 垂直于H 且倾斜于V 1.铅垂面——垂直于H面，且倾斜于V面、 铅垂面 垂直于 类似性 W面的平面 Z 类似性
X
类似形： 类似形：
• 边数相同 • 平行关系不变 • 凹凸关系不变
2011-9-19
16
投影面的垂直面
2.正垂面 垂直于V 且倾斜于H 2.正垂面——垂直于V面，且倾斜于H面、W面的平面 正垂面 垂直于 是什么位置 的平面？ 的平面？
γ α
V
X
O
YW
YH
正垂面
2011-9-19 17
的投影特性： 投影面垂直面 的投影特性：
V
积聚性
Z
P
X
P’ p
O
P”
YW
实形性
YH
水平面的投影特性：1.水平投影反映空间平面 水平面的投影特性：1.水平投影反映空间平面 的实形； 2.正面和侧面投影都积聚为一条直 的实形； 2.正面和侧面投影都积聚为一条直 且分别平行于OX轴和OY OX轴和OY轴 线，且分别平行于OX轴和OY轴。
投影面的平行面
直线的投影（ §２.2 直线的投影（续） §２.３ 平面的投影
两直线垂直（相交或交叉垂直）。 两直线垂直（相交或交叉垂直）。 平面的表达法。 平面的表达法。 各种位置平面的投影特性及作图方法。 各种位置平面的投影特性及作图方法。
2011-9-19
1
两直线的相对位置
4.两直线垂直（相交或交叉）—直角投影定理 两直线垂直（相交或交叉） 直角投影定理 两直线垂直 互相垂直的两直线（相交或交叉） 互相垂直的两直线（相交或交叉）中，有一 条直线平行于某一投影面时（条件） 条直线平行于某一投影面时（条件） ，则两直线 在该投影面上的投影仍相交成直角（投影特性） 在该投影面上的投影仍相交成直角（投影特性）； b’ 反之，亦成立。 反之，亦成立。 a’
β
PH
P
γ
O
YW
Fra Baidu bibliotek
YH Z X
PH
β PH γ
O
YW
铅垂面的迹线表示法 铅垂面的迹线表示法
2011-9-19
YH
20
正垂面的迹线表示法 正垂面的迹线表示法
X
Z PW PV
γ
O YW
α
PH
QV Q
YH Z
QV α
X
γ
O YW
YH
2011-9-19 21
侧垂面的迹线表示法 侧垂面的迹线表示法
V S Sw W
m′ X a′ m a n b c a 有多少解？ 有多少解？ c b′ n′ c′ O X
解法二： 解法二：
a′
b′ c′
d′
O b d
有无数解。 有无数解。
30
2011-9-19
平面上的点和直线
二、平面内的点：必在平面内的一直线上， 平面内的点：必在平面内的一直线上， 平面内定点 先定线。 定点须 平面内定点须先定线。
投影面的垂直面
1.在它垂直的投影面上的投影积聚成直线， 1.在它垂直的投影面上的投影积聚成直线，且该直 在它垂直的投影面上的投影积聚成直线 线与投影轴的夹角反映空间平面对其它两投影面的倾角。 线与投影轴的夹角反映空间平面对其它两投影面的倾角。 3.侧垂面 侧垂面——垂直于W面，且倾斜于V 垂直于W 且倾斜于V 3.侧垂面 垂直于 2.其它两个投影面上的投影，为空间平面的类似形。 其它两个投影面上的投影，为空间平面的类似形。 2.面、H面的平面 其它两个投影面上的投影
β γ
O
β
YW
γ
铅垂面的投影特性： 铅垂面的投影特性： 积聚性 ： 的投影特性 平面对投影面的倾角： 平面对投影面的倾角
YH
1.水平投影积聚为一条倾斜线段,且该直线段与OX、OY轴的 1.水平投影积聚为一条倾斜线段,且该直线段与OX、OY轴的 水平投影积聚为一条倾斜线段 OX 对水平投影面的倾角——α 对水平投影面的倾角 α 夹角反映空间平面对V 面的倾角； 夹角反映空间平面对V面、W面的倾角； 对正立投影面的倾角——β 对正立投影面的倾角 β 2.正面投影和侧面投影为空间平面的 2.正面投影和侧面投影为空间平面的类似形。 对侧立投影面的倾角——γ 对侧立投影面的倾角 γ
e'
d'
X
O
e
2011-9-19
d
不属于
34
例10：已知AC为正平线，补全平行四边形 10：已知AC为正平线， AC为正平线 ABCD的水平投影 的水平投影。 ABCD的水平投影。
解法一
a′ d′ X a d k b k′ b′ c′
解法二
a′ d′ d
b′ c′
O c
X a
O c b
小结----基本要求 小结----基本要求 ----
O
2011-9-19
3
过点A作线段 的垂线AB 作线段EF的垂线 例1: 过点 作线段 的垂线 ，并使 AB平行于 面。 平行于V 平行于
b′
b
2011-9-19
4
过点E作线段AB CD的公垂线EF。 AB、 的公垂线EF 例2: 过点E作线段AB、CD的公垂线EF。 f′ e′
e
f
2011-9-19 5
a’ X
e’
d’ b d
O
a
e c YH
例7：已知点E 在∆ ABC上，试求点E 的正面投影 。
e'
X
O
e
2011-9-19 32
属于∆ 平面， 例8：已知点Ｋ属于∆ABC 平面，试求其水 平投影k 平投影k。
b′ k′● X a′ a k b
●
c′ O
c
2011-9-19
33
例9：已知∆ABC给定一平面，试判断点D是否属于该 已知∆ABC给定一平面，试判断点D 给定一平面 平面。 平面。
例3：作三角形ABC，∠ABC为直角，使BC在MN上， 作三角形ABC， ABC为直角， BC在MN上 ABC 为直角 BC: =2: 且BC:AB =2:3。
a′ b′ c′ AB
O
b′c′=BC a ′b ′
c a
2011-9-19
b
|yA -yB |
6
两直线垂直的应用——求距离 两直线垂直的应用
2011-9-19
36
讨论并作图：取属于投影面垂直面的点和直线。 讨论并作图：取属于投影面垂直面的点和直线。
b′ a′
e′ f′
X
O
X
f e
无数解
O
a b
无数解
2011-9-19
37
X
Z PV
β PW α
O
YW
PH YH Z
β
O X YH
2011-9-19
Sw α
YW
22
一般位置平面
A
Z 思考：从属于投影面的平面的投影特性是 思考：从属于投影面的平面的投影特性是 c' a" 什么？其投影图如何？ 什么？其投影图如何？ a' D X b' c" b" YW O
C
a
b
c YH
B
2011-9-19
2.正平面 平行于V 2.正平面——平行于V面的平面 正平面 平行于
V
Q q’
X O Z
q”
YW
q
YH
是什么位置 的平面？ 的平面？
投影面的平行面
3.侧平面 平行于W 3.侧平面——平行于W面的平面 侧平面 平行于
V
X O Z
r’
r”
YW
的投影特性： 投影面平行面 的投影特性： YH 1.在其所平行的投影面上的投影 在其所平行的投影面上的投影， 1.在其所平行的投影面上的投影，反映 空间平面的实形。 空间平面的实形。 2.在其它两个投影面上的投影 在其它两个投影面上的投影， 2.在其它两个投影面上的投影，分别积 聚成与相应的投影轴平行的直线。 聚成与相应的投影轴平行的直线。
b’ Z c’ b” c” d” e” a” YW
例6：已知D点在ABC 已知D点在ABC 平面内，补全其投影。 平面内，补全其投影。
作图要点：1、先过点 作图要点： 的已知投影作平面内直 线的投影， 线的投影，并求出直线 的其它投影； 的其它投影； 2、再在直线的其它投 影上求点的其它投影。 影上求点的其它投影。
m'
X O X
n
O
(m)
铅垂面
2011-9-19
正垂面
26
讨论并作图：过正垂线可作哪些平面？ 讨论并作图：过正垂线可作哪些平面？ 迹线表示法) (迹线表示法)
PV SV
X O X O X
QV
RV
OX
O
（a ）给题
2011-9-19
（ b）作水平面
（c）作侧平面
（d）作正垂面 有无穷多个） （有无穷多个）
YW 两条相交直线（ 、 4、两条相交直线（AB、 BC） ； ）
5、平面图形（ΔABC ）。 平面图形（
平面的表示法
二. 用迹线表示平面
z V PV x px P PH H PW W x px PH pY y PY H YH pz PV O z pz PW pY w YW
迹线：平面与投影面的交线。 迹线：平面与投影面的交线。
27
讨论并作图
过正平线可作哪些平面？ 迹线表示法) 过正平线可作哪些平面？(迹线表示法)
SH
g′
X O X O X OX
g
O
PH
（a ） 给题 （ b） 作正平面 （c） 作正垂面 （d） 作一般位置平面 （有无穷多个） 有无穷多个）
2011-9-19 28
平面上的点和直线
一、平面上的直线 必须满足的几何条件： 必须满足的几何条件： 通过平面上两点， BE。 通过平面上两点，如BE。
结论：过一般位置直线总可作投影面的垂直面。 结论：过一般位置直线总可作投影面的垂直面。
2011-9-19 24
作图：过一般位置直线作投影面的垂直面。 作图：过一般位置直线作投影面的垂直面。 迹线表示法) (迹线表示法)
SV Z QW b" a"
O X YW
PH
2011-9-19
YH
25
作图：过一般位置直线作投影面的垂直面。 作图：过一般位置直线作投影面的垂直面。 几何元素表示法) (几何元素表示法) (n')
求点到直线的距离
b’ e’
（1 ）
k’ c’
（2 ）
g’
O X
投影必 投影必 须完整
h’ f ’
O
a’
X
c a
g k b
实长
实长
e h （f）
得到点到直线距离的投影后再求实长
平面的表示法
一.用几何元素表示平面(五种) 用几何元素表示平面(五种)
b’ Z c’ a’ X b a c YH O a” b” c” 1、不在一直线上的三点决定 一个平面（ 一个平面（点A、B、C）； 直线和直线外一点（ 2、直线和直线外一点（直 线AB、点C） ； 、 ） 两条平行直线； 3、两条平行直线；
b’ Z b” c’ a’ e’ X d’ b O e” a” c” YW d”
或
过平面内一点（ ）， 过平面内一点（C）， 且平行于平面内的一条直 ），如直线 线（AB），如直线 ），如直线CD 。 a
e d c YH
例5：已知平面由直线AB、AC所确定， 已知平面由直线AB、AC所确定， AB 所确定 试在平面内任作一条直线。 试在平面内任作一条直线。 解法一： 解法一：
b’ B c’ b C c a A a’
c’
X
b
O
c
a
AB垂直于 垂直于BC,且AB平行于 面,则有 ⊥ bc(相交垂直 。 平行于H面 则有 则有ab 相交垂直)。 垂直于 且 平行于 相交垂直
AB垂直于 垂直于MN,且AB平行于 面,则有 ⊥ mn。 平行于H面 则有 则有ab 垂直于 且 平行于 (交叉垂直 交叉垂直) 交叉垂直
各种位置平面的投影
平面在三投影面体系中的投影特性
平行于某一投影面
投影面平行面 特殊位置平面
水平面 正平面 侧平面 铅垂面 正垂面 侧垂面
只垂直于某一投影面， 只垂直于某一投影面， 倾斜于另两个投影面
投影面垂直面
与三个投影面都倾斜
一般位置平面
投影面的平行面
1.水平面 平行于H 1.水平面——平行于H面的平面 水平面 平行于 积聚性
V
β
β
α
X
O
Y
α
YH
2011-9-19 18
例4: 根据投影图， 根据投影图，判断下列平面的空间位置
Z a′ b′ c′ a″ c″ O a c b YH a YW X b″ a′ b YH b′ c′ c″ O c Z b″ a″ YW
X
水平面
铅垂面
用迹线表示的投影面 垂直面的投影
X
Z PV PW