1.求下列函数的拉氏变换解读
《拉氏变换详解》课件
积分性质
积分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$， 则 $int_{0}^{infty} f(t) dt$ 的拉普拉 斯变换为 $- frac{1}{s} F(s)$。
应用
积分性质在求解初值问题和极值问题 时非常有用，可以方便地得到原函数 的表达式。
微分性质
微分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $f^{(n)}(t)$ 的拉普拉斯变换为 $s^{n} F(s) - s^{n-1} f(0-) - s^{n-2} f'(0-) - ldots - f^{(n-1)}(0-)$。
卷积定理
总结词
卷积定理是拉普拉斯变换的一个重要特性， 它描述了函数与其导数之间的卷积关系。
详细描述
卷积定理表明，对于任意实数t，如果函数 f(t)与其导数f'(t)的拉普拉斯变换都存在，则 它们之间的卷积结果等于零。这个定理在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的应用， 可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质
，再通过反变换得到 (y(t))。
控制系统的稳定性分析
总结词
通过拉普拉斯变换，可以分析控制系统的稳定性，为系 统设计和优化提供依据。
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换，可以将 其转化为传递函数的形式。根据传递函数的极点和零点 分布，可以判断系统的稳定性。如果所有极点都在复平 面的左半部分，则系统是稳定的。如果极点在右半部分 或等于零，则系统是不稳定的。此外，系统的动态性能 也可以通过传递函数的极点和零点分布进行分析和优化 。
03
动态行为。
2023
PART 02
拉普拉斯变换的应用
REPORTING
在微分方程中的应用
第4章 拉氏变换作业参考答案
第四章 习题解4-1 根据拉氏变换定义，求下列函数的拉普拉斯变换。
（1）ate --1（2）()()t t 5cos 73sin 2+ （3）tet 3-（4）()t et5cos 4-（5）()[]tb e at --cos 1（6）()tett 22531-++（7）5232++t t （8）()te t 732--δ（9）()t Ω2cos （10）t t e e βα--- （11）()t et5cos 22-（12）()ϕω+t cos解：（1）)(111]1[a s s a s s e L at +=+-=-- （2）()()2579657323]5cos 73sin 2[222222+++=+++⨯=+s s s s s s t t L （3）23)3(1][+=-s et L t（4）())](21[)](21[]5cos [)54()54(45544t j t j t t j t j t te e e jL e e e j L t eL --+-----+=+= 25)4(5)541541(212++=+++-+=s j s j s j （5）()[]()]cos []cos 1[at e e L e at L t b t b tb ----=-22)(1ab s a b s ++++=（6）由于1!][+=n ns n t L ,由s 域频移特性得()]53[]531[222222t t t t e t te e L e t t L ----++=++ 3232)2(207)2(10)2(3)2(1+++=+++++=s s s s s s （7）32232526526]523[ss s s s s t t L ++=++=++ （8）()732]32[7+-=--s et L tδ（9）()()22242121]2cos 2121[]cos [Ω+⋅+=Ω+=Ωs ss t L t L （10）))((11][βααββαβα++-=+-+=---s s s s e eL t t（11）在（9）的计算结果基础上由s 域频移特性得()25)2(221)2(21]5cos [222+++⋅++=-s s s t e L t （12）()]sin sin cos cos []cos [ϕωϕωϕωt t L t L -=+222222s i n c o s s i n c o s ωϕωϕωϕωωϕ+-=+-+=s s s s s4-7 求下列函数的拉普拉斯反变换。
自动控制原理例题与习题[1]
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自动控制原理例题与习题第一章自动控制的一般概念【例1】试述开环控制系统的主要优缺点。
【答】开环控制系统的优点有：1. 1.构造简单，维护容易。
2. 2.成本比相应的死循环系统低。
3. 3.不存在稳定性问题。
4. 4.当输出量难以测量，或者要测量输出量在经济上不允许时，采用开环系统比较合适（例如在洗衣机系统中，要提供一个测量洗衣机输出品质，即衣服的清洁程度的装置，必须花费很大）。
开环控制系统的缺点有：1. 1.扰动和标定尺度的变化将引起误差，从而使系统的输出量偏离希望的数值。
2. 2.为了保持必要的输出品质，需要对标定尺度随时修正。
【例2】图1.1为液位自动控制系统示意图。
在任何情况下，希望液面高度c维持不变，试说明系统工作原理，并画出系统原理方框图。
图1.1 液位自动控制系统示意图【解】系统的控制任务是保持液面高度不变。
水箱是被控对象，水箱液位是被控量，电位器设定电压u r(表征液位的希望值c r)是给定量。
当电位器电刷位于中点位置(对应u r)时，电动机不动，控制阀门有一定的开度、使水箱中流入水量与流出水量相等。
从而液面保持在希望高度c r上。
一旦流入水量或流出水量发生变化，例如当液面升高时，浮子位置也相应升高，通过杠杆作用使电位器电刷从中点位置下移，从而给电动机提供一定的控制电压，驱动电动初通过减速器减小阀门开度，使进入水箱的液体流量减少。
这时，水箱液面下降，浮子位置相应下降，直到电位器电刷回到中点位置，系统重新处于平衡状态，液面恢复给定高度。
反之，若水箱液位下降，则系统会自动增大阀门开度，加大流入水量，使液位升到给定高度c r。
系统原理方框图如图1.2所示。
图1.2 系统原理方框图习题1．题图1-1是一晶体管稳压电源。
试将其画成方块图并说明在该电源里哪些起着测量、放大、执行的作用以及系统里的干扰量和给定量是什么？题图1-12．如题图1-2（a）、（b）所示两水位控制系统，要求(1)画出方块图（包括给定输入量和扰动输入量）；(2)分析工作原理，讨论误差和扰动的关系。
拉氏变换详细解读
s+a
（二）、拉氏变换的主要定理 ）、拉氏变换的主要定理 1．线性定理
L[ f1(t ) + f2 (t )] = L[ f1(t )] + L[ f2 (t )] = F1(s) + F2 (s)
L[kf (t )] = kL[ f (t )] = kF(s)
2．微分定理
df (t ) L = sF(s) − f (0+ ) dt
n −at
s 2 2 s +ω n! sn+1 n!
( s + a)
1
n+1
( s + a) ( s + b)
1 s ( s + a) ( s + b)
( s + a) ( s + b)
s
序号
−at
f(t)
F(s)
13
e sinωt e cosωt
− at
( s + a ) + ω2
2
ω
14
s + a ) + ω2 (
） 式中 f (−1) (0+ ) 为 ∫ f (t dt 在t时间坐标轴的右端 趋于零时的f 的值，相当于初始条件。 趋于零时的f(t)的值，相当于初始条件。
f (t )(dt )2 = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) + 1 f (−2) (0+ ) L ∫∫ s2 s2 s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0
控制工程基础习题解答
2-6 ．试求图 2-26 所示机械系统传递函数。
xi f1
m
x0 f2
xi k1
xi f1
f
x1fk1x0k2k2x0
f2
xi k1
x0 k2
a)
b)
c)
d)
k 1 Fi
k2
M
Y0 f
e)
解：
f1
k1
m
f2 xi
k2
M x0
f)
x0
x1
k1
k2
M
Fi
f
g)
.
.
a). 微分方程为： f1 xi x0 f 2 x0 mx0 拉氏变换得： f1 s X i X 0 f2 sX 0 ms2 X 0
1 G1( s)G 2 (s) H (s)
1 G e( s)
1 G1(s)G2 ( s) H (s)
（2） G x0 ( s)
G 2 (s) 1 G1( s)G 2( s) H (s)
G y ( s)
G1( s)G 2 (s)H ( s) 1 G1( s)G2 ( s) H ( s)
Gb ( s)
G 2 (s) H (s)
f x1 x2 m1 x1 k 2 x2 m2 x2
m2 x 2(t)
拉氏变换得：
F1 s
m1s2 m2 s2 fs k2 m2 s2 k 2 k1 m2 s2 fs k2 X 2
fs
fs
传递函数为：
G1 s
X2 F1
m1 m2 s4
m1 m2 fs 3
从作用力 F2(t) 到位移 x1(t) 系统为对称系统所以传递函数为：
传递函数为： G s
拉氏变换习题解答
2b
3b 4b
Sb :
(1) 由图易知八）是周期为 b 的函数且在一个周期内的表达式为
由 公式
(2) 已知 .f(t) 是周期 T= 冗的周期函数在一个周期内
由公式
。
4a
-1
八） = t,
o::; t < b
& [/'(t)] = 1-:-bs
l。>e-st dt = 1_ : -bs [-~te-bf : -(-~)l。~ e-''dt]
(8)& [ /
(Res >0)
(t)] = l厂sin2 t -e-stdt=½ 厂(l -cos 2t~-s'dt
= ½(I。如 e-s'dt-i厂cos2t · e-stdt) = ½( } - s2 :4 )= s(s/+ 4)
2. 求 下列函 数的 拉 氏变换
(Res> 0)
(I)几）＝｛一I,
e
-(s+ 2)t
- (s + 2)
Io
十
=
t s+2
o
( Res > - 2)
s2 。
-st l = — = -— s3 e t= O s2
2
如
2
( Res> 0)
}
+oo
0
sin2te-stdt= - f [ e-(s-2i)t _ e一(s+2i)t] dt 4i 0 - , :2;) = s'~4 (Re, >0)
& [八）] = I = l - ,-, ·1
, _ ;-2芯 I。“心 s'dt = I 一 ；立心 fJin t 产dt
黄家英自动控制原理第二版第二章习题答案
6 s
部分分式展开 5 1 −4 Y(s) = + + s+3 s+2 s
∴ y (t ) = −4e −3 t + 5e −2t + 1 , t ≥ 0
已知控制系统的微分方程(或微分方程组) B2.9 已知控制系统的微分方程(或微分方程组)为
式中r(t)为输入量，y(t)为输出量， (t)、 (t)和 式中r(t)为输入量，y(t)为输出量，z1(t)、z2(t)和z3(t) r(t)为输入量 为输出量 为中间变量， 均为常数。 为中间变量，τ、β、K1和K2均为常数。 试求： a)各系统的传递函数Y(s)/R(s)；(b)各系统含 各系统的传递函数Y(s)/R(s) 试求：(a)各系统的传递函数Y(s)/R(s)；(b)各系统含 有哪些典型环节? 有哪些典型环节?
在图B2.4所示的电路中电压u (t)为输入量 B2.4所示的电路中电压 为输入量， B2.4 在图B2.4所示的电路中电压u1(t)为输入量，试以电 (t)或 (t)作为输出量 分别列写该系统的微分方程。 作为输出量， 压u2(t)或uC2(t)作为输出量，分别列写该系统的微分方程。
B 2.4解： u 2作为输出，应用网络的 复阻抗法： 作为输出， 复阻抗法： Q U 2 (s ) = U 1 (s ) 1 R1 1 C1s + R2 + 1 C 2s R1 + C1s 1 (R 2 + ) C 2s
B2.8 设系统的微分方程为
试用拉氏变换法进行求解。 试用拉氏变换法进行求解。
B 2.8解： 进行拉氏变换 & s 2 Y(s) - (sy(0) + y(0)) + 5sY(s) - 5y(0) + 6Y(s) =
复变函数拉氏变换部分习题解答分析(复拉)(精品)
得z =
+ iy =
1 u+iv
=
u u2 +v 2
−
v i. u2 +v 2
v 又由 y = 1 得 − u2 + = 1, u2 + v 2 + v = 0. v2 π 3
4.求角形域 0 < arg(z ) < 解 arg(w) = arg(¯ z ), 解 将x = 一 判断题
z +¯ z 2 ,y
作业卷（二） 1.若 f ′ (z ) 在区域 D 内处处为零, 则 f (z ) 在 D 内必恒为常数. √ . 在 D 内 f ′ (z ) = ux + ivx ≡ 0, ux = vx = 0. 从而 vy = ux = 0, uy = −vx = 0. 综上结论成立. 2.若 u(x, y ) 和 v (x, y ) 可导,则 f (z ) = u + iv 也可导. 1
= 0, 1, 2, z = −3,
3 2
±
3 2
√
3i.
4.复变函数 w =
z −2 z +1
的实部 u(x, y ) =
, 虚部 v (x, y ) =
x2 −x+y 2 −2 , (x+1)2 +y 2 π 4
. v (x, y ) = .
3y . (x+1)2 +y 2
分析:将 z = x + iy 代入, 分离实部、虚部, 得 u(x, y ) = 5.设 z1 = 2i, z2 = 1 − i, 则 Arg(z1 z2 ) = 分析: arg(z1 ) = π , arg(z2 ) = − π 4 , Arg(z1 z2 ) = √ 2 6.复数 z = − 12 − 2i 的三角表示式为 分析: 4[cos(− 5 6 π) + i sin(− 5 6 π )], 4e
自动控制原理及其应用_课后习题答案_2[1]
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uo
2-6-b 用运算放大器组成的有源电网络如 力所示,试采用复数阻抗法写出它们的传 力所示 试采用复数阻抗法写出它们的传 递函数。 C 递函数。
R2 ui R1 －∞ ＋ ＋ R3
uo R4 R5
UO (R2R3SC+R2+R3)(R4+R5) = － UI R1(R3SC+1)R5 R2R3 (R4+R5)(R2+R3)( SC+1) R2+R3 =－ － R1R5(R3SC+1) R5 UO(R3SC+1) R4+ R5 =－ － R2R3SC+R2+R3 R5 R5 UO UO UI R4+ R5 R4+ R5 =－ － R3 R1 R3 R2 ＋ SC R3 SC＋ 1 ＋ R2 ＋ 1 R3 ＋ SC
IL R2 UL sL ＋ Cs UO
-
I
C
UC=UO+UL
2-6-a 用运算放大器组成的有源电网络如图 所示,试采用复数阻抗法写出它们的传递函数 试采用复数阻抗法写出它们的传递函数。 所示 试采用复数阻抗法写出它们的传递函数。 电路等效为: 解:电路等效为 电路等效为 UO =－ R2 ＋R3 R2 SC＋1 UI UO =－ R1 1 R2· SC ＋ 1 R3 R2＋ SC
s=0
1 s
(2-4-2)
求下列微分方程。 求下列微分方程。
d3y(t) d2y(t) dy(t) 初始条件: 初始条件 3 +4 dt2 +29 dt =29, dt · y(0)=0 , y(0)=17 , · · y(0)=-122 解:
2-5-a 试画题 图所示电路的动态结构图 并 试画题2-1图所示电路的动态结构图 图所示电路的动态结构图,并 求传递函数。 求传递函数。 ＋ uc － 解:ui=R1i1+uo ，i2=ic+i1 duc ic=C dt UI(s)=R1I1(s)+UO(s) I2(s)=IC(s)+I1(s) UI(s)-UO(s) =I1(s) 即: R1
复变函数—课后答案拉氏变换习题解答
( Re s > max{k , −k})
-1-
(6) & ⎡ ⎣ f ( t )⎤ ⎦=
∫
+∞
0
cosh kte− st dt = ∫
+∞
0
ekt + e− kt − st 1 e dt = 2 2
(∫
+∞
0
e− ( s − k )t dt + ∫ e − ( s + k ) t dt
0
+∞
)
⎛ − ( s − k ) t +∞ e − ( s + k )t +∞ ⎞ |0 + |0 ⎟ = 1 ⎛ 1 + 1 ⎞ = s 1⎜e = ⎜ ⎟ 2 ⎜ −( s − k ) − ( s + k ) ⎟ 2 ⎝ s − k s + k ⎠ s 2 − k 2 ⎝ ⎠
∫
+∞
0
f (t )e − st dt = ∫ 3e − st dt + ∫π cos t ⋅ e − st dt
0 2
π 2
+∞
=
+∞ e i t + e − i t 3 − st 2 3 3 − 1 +∞ e | + ∫π e − st dt = − e 2 + ∫π (e −( s −i)t + e −( s +i)t )dt t =0 s s 2 2 −s 2 2
⎧ 1, f (t ) = ⎨ ⎩− 1,
(4)由图易知, f (t ) 是周期为 2b 的周期函数,在一个周期内
0≤t <b b ≤ t < 2b
由公式 & [ f (t )] =
拉氏变换详解
称为拉氏反变换。记为 L1[ F (s)] 。
由F(s)可按下式求出
f
(t)
L1[F (s)]
1
2
j
C j
C j
F (s)est ds(t
0)
式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的 实部。
直接按上式求原函数太复杂，一般都用查 拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必 须是一种能直接查到的原函数的形式。 12
2.常用函数的拉氏变换
数学知识回顾
(1)例1.求阶跃函数f(t)=A·1(t)的拉氏变换。
F (s) Ae st dt
A e st
A
0
s
0
s
1
单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为 s 。
(2)例2.求单位脉冲函数f(t)=δ(t)的拉氏变换。
lim lim
F (s) (t)est dt
3
证：根据拉氏变换的定义有
L[
f
(t)]
0
f
(t)est dt
s
0
f
(t)est dt
f
(t )e st
0
sF(s) f (0)
原函数二阶导数的拉氏变换
L[ f (t)] sL[ f (t)] f (0) s[sF (s) f (0)] f (0)
则象函数及其自变量都增加（或减小）同
样倍数。即：L[ f ( t )] aF (as)
证：
a L[ f ( t )] f ( t )est dt
a 0a
控工课后习题
★1.试求下列函数的拉氏变换：(1)f(t)=(4t+5) δ(t)+(t+2)·1(t); 解：F(s)=L[(4t) δ(t)]+L[5δ(t)]+L[t ·1(t)]+L[2·1(t)] =0+5+1/S 2+2/S=5+2/S+1/S 2(2)f(t )=sin(5t +3π)·1(t); 解：F(s)=L{[sin5t cos3π+cos5t sin3π]·1(t)}=L[21sin5t ·1(t)+23cos5t ·1(t)] =)25(2532++S S(4)f(t)=[4cos(2t-3π)]·1(t-6π)+t e 5-·1(t);解：F(s)=L{[4cos2(t-6π)]·1(t-6π)+t e 5-·1(t)}=22624+-s se s π+51+s =4426+-s se s π+51+s (7)f(t)=te6- (cos8t+0.25sin8t) ·1(t);解：F(s)=L[te6-cos8t ·1(t)+0.25te6-sin8t ·1(t)]=228)6(6+++s s +228)6(2++s =1001282+++s s s(2-(2))F(s)=412+s ; 解：f(t)=L -1{21×2222+s }=21sin2t ·1(t)★2-3.用拉氏变换法解下列微分方程：(1)22)(dt t x d + 6dt t dx )(+8x (t)=1,其中x(0)=1, 0)(|=t dtt dx =0;解：对原方程取拉氏变换，得 S 2X (s)-s x (0)-)0(x+6[s X (s)-x (0)]+8X (s)= s1将初始条件代入，得S 2X (s)-s+6s X (s)-6+8X (s)= s1(S 2+6s+8)X(s)=s1+s+6X(s)= )86(1622++++s s s s s =s 81+247+s +487+s取拉氏变换，得x(t)=81+47t e 2--87te 4-(2)dt t dx )(+10x(t)=2,其中x(0)=0;解：对原方程去拉氏变换，得s X(s)-x(0)+10X(s)= s2将初始条件x(0)=0代入，得s X(s)+10X(s)=s2由此得 X(s)=)10(2+s s =s0.2-100.2+s取拉氏变换，得x(t)=0.2(1-te10-)(3)dt t dx )(+100x(t)=300,其中0)(|=t dtt dx =50. 解：当t=0时，将初始条件)0(x=50代入方程，得 50+100x(0)=300 则x(0)=2.5对原方程去拉氏变换，得sX(s)-x(0)+100X(s)=s300将x(0)=2.5代入，得sX(s)-2.5+100X(s)= s300由此得X(s)= )100(3002.5s ++s s =s 3-1000.5+s取拉氏变换，得x(t)=3-0.5te100-★2-6化简图所示的方块图，并确定其传递函数。
拉氏变换详细解读
φ = arctan
1− 1 1−ζ
2
ζ
e−ζωnt sin ωn 1 − ζ 2 t + φ 1−ζ 2
(
18
φ = arctan
2 ωn 2 s ( s2 + 2ζωn s + ωn )
ζ
根据表格直接写出结果
L [δ (t )] = 1, L e
− at
1 L [1(t )] = , s
ω s L [sin ωt ] = 2 , L [ cos ωt ] = 2 2 2 s +ω s +ω
e sinωt →
−at
1 = s+a,
1 L [t ] = 2 s 1 at L e = s−a
s + a ) + ω2 (
2
ω
e cosωt →
−at
s + a ) + ω2 (
3
2
5s3Y (s) + 6s2Y (s) + sY (s) + 2Y (s) = 4sX(s) + X(s) (5s3 + 6s2 + s + 2)Y (s) = (4s + 1) X(s)
Y (s) 4s + 1 = 3 X (s) 5s + 6s2 + s + 2
3.积分定理 积分定理
f (t )dt = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) L ∫ s s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0
8复变函数课后题答案（中国石油大学）
习题八答案 1． 求下列函数的拉氏变换：(1) 3,,2()cos ,;2t f t t t ππ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 解：由拉氏变换的定义知：22220231[()]3cos 1.1s s st stL f t e dt etdt e e s s ππππ+∞−−−−⎛⎞=+=−−⎜⎟+⎝⎠∫∫(2) ()cos ()sin ().f t t t t u t δ=⋅−⋅解：由拉氏变换的定义以及单位脉动函数的筛选性质知：0202221[()]cos ()sin ()cos |111.11st st st t L f t t t e dt t u t e dt t e s s s s δ+∞+∞−−−==⋅⋅−⋅⋅=⋅−+=−=++∫∫2. 求下列函数的拉氏变换：(1)2()1;f t t =−解：由拉氏变换的线性性质知：2332!121[()][][1].L f t L t L s s s s=−=−=− (2) ()1;tf t te =−解：由拉氏变换的线性性质和位移性质知：211[()][1][].(1)t L f t L L te s s =−=−− (3) ()cos ;f t t t =解：法一：利用位移性质。
()cos .2it ite ef t t t t −+==由拉氏变换的位移性质知：222211111[()][][].222()()(it its L f t L te L te s i s i s −⎡⎤−=+=+=⎢⎥−++⎣⎦211) 法二：利用微分性质。
令 则()cos ,g t t =2221()[()],'().1(s s G s L g t G s s s −===++21) 由拉氏变换的微分性质知：[cos ][()]'().L t t L tg t G s ==−即 2221[()].(1)s L f t s −=+ (4) 2()sin 6;tf t et −=解：因为 26[sin 6],36L t s =+ 故由拉氏变换的位移性知：26[()].(2)36L f t s =++ (5) 2()cos ;f t t = 解：1cos 2().2tf t +=故22211112[()][][cos 2].22224(4)s s L f t L L t s s s s +=+=+⋅=++ (6)()(1);tf t u e −=−解：因为1,10(1),0,10ttte u e e −−−⎧−>⎪−=⎨−<⎪⎩ 即： 1,0(1).0,0t t u e t −>⎧−=⎨<⎩ 故01[()]1.st L f t e dt s+∞−=⋅=∫(7) 2()(1);tf t t e =−解：22()(1)2.ttttf t t e t e te e =−=−+ 法一：利用拉氏变换的位移性质。
《控制工程基础》第3版-课后答案解析
lim e(t)
s0
lim
s0
sE(s)
lim s s0 1
G(s)
Xi (s)
所以，输入为 xi2 sin 6t 1(t), ess2 0.8
（对此题来说，还有一种办法：如果记得对于一阶惯性环节， 当输入为阶跃函数，t=4T时输出为输入的98%，则由放入水 中1min时为输入的98%可直接得出： T=1/4=0.25（min)
uo (30) 1 e 4 1V
arctan 1 2 arccos , cos
arctan 1 2 arccos , cos
3—19单位阶跃输人情况下测得某伺服机构的响应为
试求：(1)系统的闭环传递函数； (2)系统的无阻尼自振角频率及阻尼比。
解：ui (t) i(t)R1 uo (t)
uo (t)
1 c
i(t)dt i(t)R2
对方程式进行拉氏变换得：
U
i
(
s)
I (s)R1
UO (s)
UO (s)
1 Cs
I (s)
I (s)R2
Uo (s) R2Cs 1
消去I(s),得：Ui (s) (R1 R2 )Cs 1
Ds( x2 xo ) k2 xo
x2
Ds k2 Ds
xo
k1 x1
k1Ds k1k2 Ds
xo
k2 xo
(k1Ds k2 Ds k1k2 ) xo k1Dsxi
X o (s)
k1Ds
X i (s) (k1 k2 )Ds k1k2
《复变函数与积分变换》作业
第一篇第1章1.已知12z ==，求||z ，Argz 。
解：||1z ==2arctan 2,0,1,2,12Argz k k π-=+=±±……2.已知1z =2z i ，求12z z 及12zz 。
解：41i z e π==622iz i eπ-==所以64121222i iiz z e e e πππ-==54()146122611222ii i i z e e e z e πππππ+-=== 3.设1z 、2z 是两个复数。
求证：222121212|||||2Re()z z z z =+-|z -z 。
证明：2121212||()()z z =-z -z z -z 22121221||||z z z z z z =+--22121212||||z z z z z z =+--221212||||2Re()z z z z =+-4.证明：函数22(0)()0(0)xyz x y f z z ⎧=⎪+=⎨⎪≠⎩在原点不连续。
证明：22(0)()0(0)xyz x y f z z ⎧=⎪+=⎨⎪≠⎩当点z x yi =+沿y kx =趋于0z =时，()1k f z k→+ 故当k 取不同值时，()f z 趋于不同的数∴()f z 在原点处不连续5.证明：z 平面上的直线方程可以写成az az c +=（a 是非零复常数，c 是常数）证明：设直线方程的一般形式为0az az c ++=（a ，b ，c 均为实常数，a ，b 不全为零） 因为：,22z z z zx y +-==代入化简得： 11()()022a bi z a bi z c -+++= 令1()02a bi α-=≠得z z c αα+=反之，设有方程z z c αα+=（复数0α≠，c 是常数） 用z x iy =+代入上式，且令1()2a bi α=+化简即得第2章1.试判断函数3223()3(3)f z x xy i x y y =-+-的可微性和解析性。
拉氏变换逆变换例题
拉氏变换逆变换例题拉氏变换和逆变换是信号处理中常用的工具，本文将提供几个拉氏变换和逆变换的例题，帮助读者更好地理解这些概念。
例题1：求函数f(t)=sin(2πt)的拉氏变换。
解：根据拉氏变换的定义，我们有：F(s) = ∫0∞ e^(-st) sin(2πt) dt这个积分可以通过分部积分来求解。
设u = sin(2πt)，dv = e^(-st) dt，则du/dt = 2πcos(2πt) 和 v = (-1/s) e^(-st)。
因此，F(s) = (∫0∞ u dv) = [(uv) |0∞ - ∫0∞ v du/dt dt]= [(sin(2πt) (-1/s) e^(-st)) |0∞ - ∫0∞ (-1/s) e^(-st) 2πcos(2πt) dt]= [(0 - 0) - (2π/s) ∫0∞ e^(-st) cos(2πt) dt]= (2π/s) [(1/(s^2 + 4π^2)]因此，f(t)=sin(2πt)的拉氏变换为F(s) = (2π/s) [(1/(s^2 + 4π^2)]例题2：求函数F(s) = (s + 2)/(s^2 + 4s + 5)的拉氏逆变换。
解：我们可以通过部分分式分解来求解逆变换。
设F(s) = A/(s + α) + B/(s + β)，则F(s) = A/(s + α) + B/(s + β) = (As + Aα + Bs + Bβ)/(s^2 + (α + β)s + αβ)比较系数可得：Aα + Bβ = 2，A + B = 1，Aβ + Bα = 0。
解得A = 2/(3-2i)，B = 1/(3-2i)。
因此，F(s) = (s + 2)/(s^2 + 4s + 5) = 2/(3-2i) /(s + (2-i)) + 1/(3-2i) /(s + (2+i))我们可以使用拉氏逆变换的表格或者将其转化为指数函数，最终得到f(t) = (2/5) e^(-2t) sin(t) + (1/5) e^(-2t) cos(t) 以上就是本文的拉氏变换和逆变换例题，希望能对读者在学习信号处理中有所帮助。