1.立体几何中基本概念、公理、定理、推论

立体几何中基本概念、公理、定理、推论

1. 三个公理和三条推论：

（1）公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内.这是判断直线在平面内的常用方法.

（2）公理2：如果两个平面有一个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上.这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一.

（3）公理3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面.推论1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.公理3和三个推论是确定平面的依据.

2. 直观图的画法（斜二侧画法规则）：在画直观图时，要注意：（1）使045x o y '''∠=(或0135)，x o y '''所确定的平面表示水平平面.（2）已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度和平行性不变，平行于y 轴的线段平行性不变，但在直观图中其长度为原来的一半.

3. 公理4：平行于同一直线的两直线互相平行.(即平行直线的传递性)

等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等. (此定理说明角平移后大小不变) 若无“方向相同”,则这两个角相等或互补.

4. 空间直线的位置关系：（1）相交直线――有且只有一个公共点.（2）平行直线――在同一平面内，没有公共点.（3）异面直线――不在同一平面内，也没有公共点.

5. 异面直线

⑴异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.

⑵异面直线的判定：连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.

⑶异面直线所成的角：已知两条异面直线a 、b ,经过空间任一点O 作直线a '、b ',使//a a '、

//b b ',把a '与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 、b 所成的角(或夹角).

⑷异面直线所成的角的求法：首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为900

；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）—证—算”.注意，异面直线所成角的范围是π0,2⎛⎤

⎥⎝⎦

；求异面直线所成角的方法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角. ⑸两条异面直线的公垂线：①定义：和两条异面直线都垂直且相交的直线，叫做异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线有且只有一条.而和两条异面直线都垂直的直线有无数条，因为空间中，垂直不一定相交.②证明：异面直线公垂线的证明常转化为证明公垂线与两条异面直线分别垂直.

⑹两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度.

6. 直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线与平面相交.其中，如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直.注意：任一条直线并不等同于无数条直线；（3）直线与平面平行.其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外.

平面与平面的位置关系：（1）平行――没有公共点；（2）相交――有一条公共直线.

7.线面平行、面面平行

⑴直线与平面平行的判定定理: 如果不在一个平面(α)内的一条直线(l )和平面(α)内的一条直线(m )平行，那么这条直线(l )和这个平面(α)平行.

,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒ (作用:线线平行⇒线面平行)

⑵直线与平面平行的性质定理:如果一条直线(l )和一个平面(α)平行,经过这条直线(l )的平面(β)和这个平面(α)相交(设交线是m ),那么这条直线(l )和交线(m )平行.

//,,//l l m l m αβαβ⊂⋂=⇒ (作用: 线面平行⇒线线平行)

⑶平面与平面平行的判定定理:如果一个平面(β)内有两条相交直线(,a b )分别平行于另一个平面(α),那么这两个平面(,βα)平行.

,,,//,////a b a b P a b ββααβα⊂⊂⋂=⇒ (作用:线面平行⇒面面平行)

推论:如果一个平面(β)内有两条相交直线(,a b )分别平行于另一个平面(α)内的两条直线

(,a b ''), 那么这两个平面(,βα)平行.

,,,,,//,////a b a b P a b a a b b ββααβα''''⊂⊂⋂=⊂⊂⇒(作用: 线线平行⇒面面平行) ⑷平面与平面平行的性质定理:如果两个平行平面(,αβ)同时与第三个平面(γ)相交(设交线分别是,a b ),那么它们的交线(,a b )平行.

//,,//a b a b αβαγβγ⋂=⋂=⇒ (作用: 面面平行⇒线线平行)

推论:如果两个平面(,αβ)平行,则一个平面(α)内的一条直线(a )平行于另一个平面(β). //,//a a αβαβ⊂⇒ (作用: 面面平行⇒线面平行)

8.线线垂直、线面垂直、面面垂直

⑴直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线(l )和一个平面(α)内的两条相交直线(,m n )都垂直,那么这条直线(l )垂直于这个平面(α).

,,,,l m l n m n m n P l ααα⊥⊥⊂⊂⋂=⇒⊥ (作用: 线线垂直⇒线面垂直)

⑵直线与平面垂直的性质定理:如果一条直线(l )和一个平面(α)垂直,那么这条直线(l )和这个平面(α)内的任意一条直线(m )垂直.

,l m l m αα⊥⊂⇒⊥ .

⑶三垂线定理: 其作用是证两直线异面垂直和作二面角的平面角

①定理: 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.

②逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.

(作用: 线线垂直⇒线线垂直)

⑷平面与平面垂直的判定定理: 如果一个平面(α)经过另一个平面(β)的一条垂线(l )，那么这两个平面(,αβ)互相垂直.

,l l βααβ⊥⊂⇒⊥ (作用: 线面垂直⇒面面垂直)

⑸平面与平面垂直的性质定理:如果两个平面(,αβ)垂直，那么在一个平面(α)内垂直于它们交线(m )的直线(l )垂直于另一个平面(β).

,,,m l l m l αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⇒⊥ (作用: 面面垂直⇒线面垂直)

9. 直线和平面所成的角

⑴最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角,是这条斜线和这个平面内任意一条直线所成的角中最小的角.

满足关系式:12cos cos cos θθθ=⋅

θ是平面的斜线与平面内的一条直线所成的角；1θ是平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角；2θ是斜线在平面内的射影与平面内的直线所成的角.

⑵直线和平面所成的角: 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角. 范围：[0,90]

10.二面角

⑴二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面.棱为l ,两个面分别是α、β的二面角记为l αβ--.二面角的范围：[0,]π

⑵二面角的平面角:在二面角的棱上取一点,在二面角的面内分别作两条垂直于棱的射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.

11.空间距离

⑴点到平面的距离:一点到它在一个平面内的正射影的距离.