经典：斜率乘积为定值问题
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斜率乘积为定值问题
1.回归课本
选修2-1 P39第4题
在 A B C 中 ， B （ 6， 0） ， C （ 6， 0） 直 线 AB， AC 的 斜 率 乘 积 为 9 4， 求 顶 点 A 的 轨 迹 方 程 。
变式1
：9改为-9
4
4
变式2 ： 9 4改为m （m0)
变式3：乘积 改为 差 (教材2-1 P59） 抛物线
4.感受高考
则直线AB过定点（ma2 +b2 ma2 - b2
x0
,-
ma2 ma2
+b2 - b2
y0
)。
例题2
(数学之友P46第8题）
已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a＞ b＞ 0)的 离 心 率 为
2， 2
其 焦 点 在 圆 x2 y2 1上 .
1 求 椭 圆 的 方 程 ；
2 设 A， B， M 是 椭 圆 上 的 三 点 (异 于 椭 圆 顶 点 )，
x2sin )2
2
( y1cos
y2sin )2
1.
整理得( x12 2
y12 )cos2
( x22 2
y22 )sin2
2( x1x2 2
y1y2 )cossin
1.
将①②代入上式，
并注意cossin
0，得
x1x2 2
y1 y2
0.
所以，kOAkOB
Baidu Nhomakorabea
y1 y2 x1x2
1 为定值． 2
(ⅱ) y1y2 2
(
x1x2 )2 2
x12 2
x22 2
(1
y12)(1
y22)
1 (y12 y22) y12y22，故y12 y22 1.
又( x12 2
y12
)
(
x22 2
y22)
2，故x12
x22
2.
所以OA2 OB2 x12 y12 x22 y22 3.
评析：本题第(1)问主要考查椭圆及圆的几何性质的应 用；第(2)问是定值问题，切入的关键在于设三点A， B，M的坐标，通过向量条件及三点在椭圆上，寻求 出三点坐标间的关系，从而使问题获解 。
且 存 在 锐 角 ， 使 OM cos OA sin OB. ⅰ( )求 证 ： 直 线 O A与 O B的 斜 率 之 积 为 定 值 ； (ⅱ)求 O A 2 O B 2 .
解 析 ：1 依 题 意 ， 得 c 1.于 是 ， a 2， b 1.
所 以 所 求 椭 圆 的 方 程 为 x 2 y 2 1. 2
2
ⅰ( )设
A
(
x1，
y1
)，
B
(
x
，
2
y
2
)，
则
x12 2
y
2 1
1， ①
x
2 2
2
y
2 2
1.②
又 设 M ( x， y )， 因 为 O M c o s O A sin O B，
故
x
y
x1co s y1co s
x 2 s in y 2 s in
.
因M 在椭圆上，
故 (x1cos
2.热身练习
(数学之友P40第3题）
推广：
1 3
椭 圆 k1 • k2=
b2 a2
双 曲 线 k1 • k2=
b2 a2
圆 k1 • k2= 1
3.例题讲解
例题1
(数学之友P46第5题）
一般结论：过椭圆 x2 a2
+
y2 b2
= 1一点定p(x0 ,
y0 )
的直线l1, l2分别交椭圆与A，B。若kl1 kl2 = m
1.回归课本
选修2-1 P39第4题
在 A B C 中 ， B （ 6， 0） ， C （ 6， 0） 直 线 AB， AC 的 斜 率 乘 积 为 9 4， 求 顶 点 A 的 轨 迹 方 程 。
变式1
：9改为-9
4
4
变式2 ： 9 4改为m （m0)
变式3：乘积 改为 差 (教材2-1 P59） 抛物线
4.感受高考
则直线AB过定点（ma2 +b2 ma2 - b2
x0
,-
ma2 ma2
+b2 - b2
y0
)。
例题2
(数学之友P46第8题）
已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a＞ b＞ 0)的 离 心 率 为
2， 2
其 焦 点 在 圆 x2 y2 1上 .
1 求 椭 圆 的 方 程 ；
2 设 A， B， M 是 椭 圆 上 的 三 点 (异 于 椭 圆 顶 点 )，
x2sin )2
2
( y1cos
y2sin )2
1.
整理得( x12 2
y12 )cos2
( x22 2
y22 )sin2
2( x1x2 2
y1y2 )cossin
1.
将①②代入上式，
并注意cossin
0，得
x1x2 2
y1 y2
0.
所以，kOAkOB
Baidu Nhomakorabea
y1 y2 x1x2
1 为定值． 2
(ⅱ) y1y2 2
(
x1x2 )2 2
x12 2
x22 2
(1
y12)(1
y22)
1 (y12 y22) y12y22，故y12 y22 1.
又( x12 2
y12
)
(
x22 2
y22)
2，故x12
x22
2.
所以OA2 OB2 x12 y12 x22 y22 3.
评析：本题第(1)问主要考查椭圆及圆的几何性质的应 用；第(2)问是定值问题，切入的关键在于设三点A， B，M的坐标，通过向量条件及三点在椭圆上，寻求 出三点坐标间的关系，从而使问题获解 。
且 存 在 锐 角 ， 使 OM cos OA sin OB. ⅰ( )求 证 ： 直 线 O A与 O B的 斜 率 之 积 为 定 值 ； (ⅱ)求 O A 2 O B 2 .
解 析 ：1 依 题 意 ， 得 c 1.于 是 ， a 2， b 1.
所 以 所 求 椭 圆 的 方 程 为 x 2 y 2 1. 2
2
ⅰ( )设
A
(
x1，
y1
)，
B
(
x
，
2
y
2
)，
则
x12 2
y
2 1
1， ①
x
2 2
2
y
2 2
1.②
又 设 M ( x， y )， 因 为 O M c o s O A sin O B，
故
x
y
x1co s y1co s
x 2 s in y 2 s in
.
因M 在椭圆上，
故 (x1cos
2.热身练习
(数学之友P40第3题）
推广：
1 3
椭 圆 k1 • k2=
b2 a2
双 曲 线 k1 • k2=
b2 a2
圆 k1 • k2= 1
3.例题讲解
例题1
(数学之友P46第5题）
一般结论：过椭圆 x2 a2
+
y2 b2
= 1一点定p(x0 ,
y0 )
的直线l1, l2分别交椭圆与A，B。若kl1 kl2 = m