第6章 斜率之积为定值一 wps
微专题：椭圆中斜率之积为定值的问题探究
微专题：解析几何中斜率之积为定值（2221ab k k -=•）的问题探究【教学重点】掌握椭圆中2221ab k k -=•的形成的路径探寻及成果运用理性判断【教学难点】运算的设计和化简活动一：2221ab k k -=•形成的路径探寻1. 若AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的不过原点的弦，点P 是弦AB 的中点，且直线OP,AB的斜率都存在，求PO ABK K •．【解析】 ：设点()0,y x P，()11,y x A ，()22,y x B ，则有；；)2(1)1(1222222221221=+=+bya xb y a x （代点作差）将①式减②式得，，，所以所以，即22ab K K POAB-=•．【结论形成总结】【结论1】 若AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的非直径的弦，点P 是弦AB 的中点，且直线OP,AB 的斜率都存在，则1222-=-=•e ab K K POAB ．2.已知AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上过原点的弦，点P 是椭圆异于A,B 的任意一点，若直线PA,PB 的斜率都存在，记直线PA,PB 的斜率分别为21k k ，．求21k k •的值。
【解法1】：设()0,y x P，()11,y x A 又因为A,B 是关于原点对称，所以点B 的坐标为()11-,-y x B ，所以212021201010101021x x y y x x y y x x y y k k --=++•--=•．又因为点()00,y x P ，()11,y x A 在椭圆上，所以有；；)2(1)1(1221221220220=+=+b y a x b y a x两式相减得，2221202120-ab x x y y =--，所以2221ab k k -=•．【方法小结】本解法从设点入手，利用“点在曲线上”代点作差使用“点差法”。
圆锥曲线中两条直线斜率之积为定值的探究
圆锥曲线中两条直线斜率之积为定值的探究圆锥曲线是由直线与圆锥曲面的交线构成的曲线。
在圆锥曲线中，如果两条直线斜率之积为定值，这意味着这两条直线在圆锥曲面上是平行的。
这种性质可以用数学方法证明。
证明圆锥曲线中两条直线斜率之积为定值的性质，我们需要使用到几何和代数的知识。
首先，设圆锥曲面的方程为：z=kx/a+ky/b(a,b>0)其中，k是定值。
在圆锥曲面上的一条直线的斜率为kx/a。
另一条直线的斜率为ky/b。
所以斜率之积为(kx/a)*(ky/b)=k^2*xy/ab由此可以看出，斜率之积为一个定值，即k^2/ab。
这证明了在圆锥曲线中，两条直线斜率之积为定值的性质。
上述证明仅是其中一种证明方式，在实际应用中还可以用其他方式证明。
除了上面提到的证明方法之外，还有其他几种证明圆锥曲线中两条直线斜率之积为定值的方法。
一种常用的方法是使用向量的思想。
具体来说，我们可以将圆锥曲面的一个点表示成向量，并将圆锥曲面上的直线表示成向量方程。
这样我们就可以通过向量积来证明两条直线斜率之积为定值。
另一种方法是使用极坐标系。
圆锥曲面可以在极坐标系中表示为极面函数。
在极坐标系中，两条直线斜率之积可以通过导数的比值来证明是定值。
还可以使用拉格朗日参数方法证明两条直线斜率之积为定值。
证明的方法不止这些，还有其他的证明方法。
这取决于问题的具体情况以及证明者对数学知识的掌握程度。
在上面的证明中，我们已经证明了在圆锥曲线中，两条直线斜率之积为定值。
这种性质可以用来解决各种几何问题，比如求解两条直线的位置关系等。
具体来说，假如我们知道圆锥曲面的一条直线的斜率以及斜率之积的定值，我们就可以求出另一条直线的斜率。
这样就可以确定这两条直线在圆锥曲面上的位置关系了。
此外，我们还可以利用这种性质来求解其他几何问题，比如求解直线与圆锥曲面的交点，求解圆锥曲线的轨迹等。
其中一个典型的应用是求解两条直线的位置关系，如求出两条直线是否平行或垂直。
2020年二轮微专题椭圆中两直线斜率之积为定值的问题
微专题34 椭圆中两直线斜率之积为定值的问题定点定值问题是圆锥曲线中十分重要的研究课题，蕴含着动、静依存的辩证关系，深刻体现了数学的魅力，在高考中常常涉及此类问题且位于中档题的位置．本专题以椭圆中两直线斜率之积为条件，从具体问题入手，通过对解决方法进行总结辨析，使学生能够根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律.过椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上顶点A 作互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．本题考查的是定点问题，由题意可知，题中的两已知直线存在斜率，且斜率之积为－1，利用此结论，结合韦达定理及代数恒等变形，导出动直线可化为点斜式方程，其中所过的点是一个定点，从而证明动直线过定点.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左顶点为A ，P ，Q 是椭圆C 上的两个动点．(1)如图34-1，当P ，O ，Q 三点共线时，直线P A ，QA 分别与y轴交于M ，N 两点，求证：AM →·AN →为定值；(2)设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1·k 2＝－1时，求证：直线PQ 经过定点R.图34-1在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆T的方程为x 22＋y 2＝1.设A ，B ，M 是椭圆T 上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使OM→＝cos θOA →＋sin θOB →.(1)求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值；(2)求OA 2＋OB 2的值．(江苏卷)如图34-2，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左、右顶点为A ，B ，设过点T (9，m )的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中m ＞0，y 1＞0，y 2＜0.图34-2求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长为4，两准线间距离为4 2.设A为椭圆C的左顶点，直线l过点D(1,0)，且与椭圆C 相交于E，F两点．图34－3(1)求椭圆C的方程；(2)若△AEF的面积为10，求直线l的方程；(3)已知直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为Q，设直线l和QD的斜率分别为k(k≠0)，k′，求证：k·k′为定值．(本小题满分16分)(2019·南京一模) 已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线l：y＝k(x－m)(m∈R)与椭圆C相交于P，Q两点．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆的左顶点为A，记直线AP、AQ的斜率分别为k1、k2.①若m＝0，求k1k2的值；②若k 1k 2＝－14，求实数m 的值． (1)x 24＋y 23＝1；(2)①－34；②m ＝1.因为椭圆C 的两个焦点间距离为2，两准线间的距离为2×a 2c ＝8，所以a ＝2，c ＝1，所以b 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. …………………………3分(求出椭圆方程)①设P (x 0，y 0)，由于m ＝0，则Q (－x 0，－y 0)，由x 204＋y 203＝1，得y 20＝3－3x 204…………………………5分(设出点P (x 0，y 0)求出关系式y 20＝3－34x 20)所以k 1k 2＝y 0x 0＋2·－y 0－x 0＋2＝y 20x 20－4＝3－3x 204x 20－4＝－34.…………………………8分(利用上面关系式，推证k 1k 2＝定值．) ②由(1)得A (－2,0)．设P (x 1，y 1)，设直线AP 的方程为AP ：y ＝k 1(x ＋2)，联立⎩⎨⎧ x 24＋y 23＝1y ＝k 1(x ＋2)，消去y ，得(3＋4k 21)x 2＋16k 21x ＋16k 21－12＝0，所以x A ·x 1＝16k 21－123＋4k 21，…………………………10分(联立方程组，写出韦达定理)所以x 1＝6－8k 213＋4k 21， 代入y ＝k 1(x ＋2)得y 1＝12k 13＋4k 21， 所以P (6－8k 213＋4k 21，12k 13＋4k 21).…………………………12分(求出点P 的坐标) 由k 1k 2＝－14，得k 2＝－14k 1，所以Q (24k 21－21＋12k 21，－12k 11＋12k 21).…………………………13分(由点P 坐标求得Q 坐标) 设M (m ,0)，由P ，Q ，M 三点共线，得PM →＝λQM →，即12k 13＋4k 21×(24k 21－21＋12k 21－m )＝－12k 11＋12k 21×(6－8k 213＋4k 21－m )， 化简得(m －1)(16k 21＋4)＝0，所以m ＝1. …………………………16分(由三点共线构建方程，并求出m 的值)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧ x 24＋y 23＝1y ＝k (x －m )，消去y ，得(3＋4k 2)x 2－8mk 2x ＋4m 2k 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝8mk 23＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2k 2－123＋4k 2…………………………10分 而k 1k 2＝y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝k (x 1－m )x 1＋2·k (x 2－m )x 2＋2＝k 2[x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2]x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝－14，13分 化简得k 2(3m 2－12)4m 2k 2＋16mk 2＋16k2＝－14，即m 2k 2＋mk 2－2k 2＝0. 因为k 2≠0，所以m 2＋m －2＝0，解得m ＝1或m ＝－2(舍去)． 当m ＝1时，Δ＞0，所以，m ＝1. …………………………16分答题模板 第一步：求出椭圆方程；第二步：设点P 坐标，推出点P 坐标满足的等式，y 20＝3－34x 20；第三步：利用第二步中的等式推出k 1k 2＝－34；第四步：联立方程组，写出韦达定理；第五步：写出点P 的坐标；第六步：由条件求出Q 点坐标；第七步：由P ，M ，Q 共线，列出关于m 的方程，并求得解.作业评价已知椭圆x 216＋y 24＝1的左顶点为A ，过A 作两条弦AM ，AN 分别交椭圆于M ，N 两点，直线AM ，AN 的斜率记为k 1，k 2，满足k 1·k 2＝－2，则直线MN 经过的定点为________．已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .则直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为____________．如图34-4所示，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上、下顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上，且异于点A ，B ，直线AP ，BP 与直线l ：y ＝－2分别交于点M ，N .当点P 运动时，以MN 为直径的圆经过的定点是______．图34-4已知椭圆C ：x 24＋y 22＝1的上顶点为A ，直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于P ，Q 两点，设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2.若k 1·k 2＝－1，则直线l ：y ＝kx ＋m 过定点________．(1)求椭圆E 的方程；(2)若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点M .(i )设直线OM 的斜率为k 1，直线BP 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值；(ii )设过点M 垂直于PB 的直线为m .求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1()a >b >0的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线7x －5y ＋12＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A ()－4，0，过点R ()3，0作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线x ＝163于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为k 1，k 2，试问：k 1k 2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，且过点P(22，12)，记椭圆的左顶点为A.(1)求椭圆的方程；(2)设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求△ABC面积的最大值；(3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆于D，E两点，且k1k2＝2，求证：直线DE恒过定点．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A、B，焦距为2，直线l与椭圆交于C，D两点(均异于椭圆的左、右顶点)．当直线l过椭圆的右焦点F且垂直于x轴时，四边形ACBD的面积为6.⑴求椭圆的标准方程；(2)设直线AC，BD的斜率分别为k1，k2.①若k2＝3k1，求证：直线l过定点；②若直线l过椭圆的右焦点F，试判断k1k2是否为定值，并说明理由．。
微专题：椭圆中斜率之积为定值的问题探究
微专题：椭圆中斜率之积为定值的问题探究微专题：解析几何中斜率之积为定值的问题探究教学重点】掌握椭圆中斜率之积为定值的运算设计和化简。
教学难点】如何理性判断问题的路径探寻及成果运用。
活动一：斜率之积为定值的路径探寻假设AB是椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)$上的一条不过原点的弦，点P是弦AB的中点，且直线OP和AB的斜率都存在，求$K_{AB} \cdot K_{PO}$。
解析】设点$P(x,y)$，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则有$\frac{1}{2}\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=\sqrt{a^2-b^2}$（代点作差）。
将$AB$的斜率$k_{AB}$表示为$\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$，$OP$的斜率$k_{OP}$表示为$\frac{y}{x}$，则有：begin{aligned} K_{AB}&=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{(y_1-y)+(y-y_2)}{(x_1-x)+(x-x_2)} \\ &=\frac{y_1-y}{x_1-x} \cdot \frac{y-y_2}{x-x_2}=-\frac{b^2}{a^2} \cdot\frac{x-x_2}{y-y_2} \\ K_{PO}&=\frac{y}{x}=-\frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{x_1-x_2}{y_1-y} \end{aligned}$$因此，$K_{AB} \cdot K_{PO}=\frac{b^4}{a^4} \cdot\frac{(x-x_2)(x_1-x_2)}{(y-y_2)(y_1-y)}=-\frac{b^2}{a^2}=e^2-1$。
结论形成总结】结论1】若$AB$是椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)$上的非直径的弦，点$P$是弦$AB$的中点，且直线$OP$和$AB$的斜率都存在，则$K_{AB} \cdot K_{PO}=-\frac{b^2}{a^2}=e^2-1$。
微专题：椭圆中斜率之积为定值的问题探究
微专题：解析几何中斜率之积为定值（2221ab k k -=•）的问题探究【教学重点】掌握椭圆中2221ab k k -=•的形成的路径探寻及成果运用理性判断【教学难点】运算的设计和化简活动一：2221ab k k -=•形成的路径探寻1. 若AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的不过原点的弦，点P 是弦AB 的中点，且直线OP,AB的斜率都存在，求PO ABK K •．【解析】 ：设点()0,y x P，()11,y x A ，()22,y x B ，则有；；)2(1)1(1222222221221=+=+bya xb y a x （代点作差）将①式减②式得，，，所以所以，即22ab K K POAB-=•．【结论形成总结】【结论1】 若AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的非直径的弦，点P 是弦AB 的中点，且直线OP,AB 的斜率都存在，则1222-=-=•e ab K K POAB ．2.已知AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上过原点的弦，点P 是椭圆异于A,B 的任意一点，若直线PA,PB 的斜率都存在，记直线PA,PB 的斜率分别为21k k ，．求21k k •的值。
【解法1】：设()0,y x P，()11,y x A 又因为A,B 是关于原点对称，所以点B 的坐标为()11-,-y x B ，所以212021201010101021x x y y x x y y x x y y k k --=++•--=•．又因为点()00,y x P ，()11,y x A 在椭圆上，所以有；；)2(1)1(1221221220220=+=+b y a x b y a x两式相减得，2221202120-ab x x y y =--，所以2221ab k k -=•．【方法小结】本解法从设点入手，利用“点在曲线上”代点作差使用“点差法”。
2020年二轮微专题椭圆中两直线斜率之积为定值的问题
微专题34 椭圆中两直线斜率之积为定值的问题定点定值问题是圆锥曲线中十分重要的研究课题，蕴含着动、静依存的辩证关系，深刻体现了数学的魅力，在高考中常常涉及此类问题且位于中档题的位置．本专题以椭圆中两直线斜率之积为条件，从具体问题入手，通过对解决方法进行总结辨析，使学生能够根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律.过椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上顶点A 作互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．本题考查的是定点问题，由题意可知，题中的两已知直线存在斜率，且斜率之积为－1，利用此结论，结合韦达定理及代数恒等变形，导出动直线可化为点斜式方程，其中所过的点是一个定点，从而证明动直线过定点.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左顶点为A ，P ，Q 是椭圆C 上的两个动点．(1)如图34-1，当P ，O ，Q 三点共线时，直线P A ，QA 分别与y轴交于M ，N 两点，求证：AM →·AN →为定值；(2)设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1·k 2＝－1时，求证：直线PQ 经过定点R.图34-1在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆T的方程为x 22＋y 2＝1.设A ，B ，M 是椭圆T 上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使OM→＝cos θOA →＋sin θOB →.(1)求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值；(2)求OA 2＋OB 2的值．(江苏卷)如图34-2，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左、右顶点为A ，B ，设过点T (9，m )的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中m ＞0，y 1＞0，y 2＜0.图34-2求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长为4，两准线间距离为4 2.设A为椭圆C的左顶点，直线l过点D(1,0)，且与椭圆C 相交于E，F两点．图34－3(1)求椭圆C的方程；(2)若△AEF的面积为10，求直线l的方程；(3)已知直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为Q，设直线l和QD的斜率分别为k(k≠0)，k′，求证：k·k′为定值．(本小题满分16分)(2019·南京一模) 已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线l：y＝k(x－m)(m∈R)与椭圆C相交于P，Q两点．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆的左顶点为A，记直线AP、AQ的斜率分别为k1、k2.①若m＝0，求k1k2的值；②若k 1k 2＝－14，求实数m 的值． (1)x 24＋y 23＝1；(2)①－34；②m ＝1.因为椭圆C 的两个焦点间距离为2，两准线间的距离为2×a 2c ＝8，所以a ＝2，c ＝1，所以b 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. …………………………3分(求出椭圆方程)①设P (x 0，y 0)，由于m ＝0，则Q (－x 0，－y 0)，由x 204＋y 203＝1，得y 20＝3－3x 204…………………………5分(设出点P (x 0，y 0)求出关系式y 20＝3－34x 20)所以k 1k 2＝y 0x 0＋2·－y 0－x 0＋2＝y 20x 20－4＝3－3x 204x 20－4＝－34.…………………………8分(利用上面关系式，推证k 1k 2＝定值．) ②由(1)得A (－2,0)．设P (x 1，y 1)，设直线AP 的方程为AP ：y ＝k 1(x ＋2)，联立⎩⎨⎧ x 24＋y 23＝1y ＝k 1(x ＋2)，消去y ，得(3＋4k 21)x 2＋16k 21x ＋16k 21－12＝0，所以x A ·x 1＝16k 21－123＋4k 21，…………………………10分(联立方程组，写出韦达定理)所以x 1＝6－8k 213＋4k 21， 代入y ＝k 1(x ＋2)得y 1＝12k 13＋4k 21， 所以P (6－8k 213＋4k 21，12k 13＋4k 21).…………………………12分(求出点P 的坐标) 由k 1k 2＝－14，得k 2＝－14k 1，所以Q (24k 21－21＋12k 21，－12k 11＋12k 21).…………………………13分(由点P 坐标求得Q 坐标) 设M (m ,0)，由P ，Q ，M 三点共线，得PM →＝λQM →，即12k 13＋4k 21×(24k 21－21＋12k 21－m )＝－12k 11＋12k 21×(6－8k 213＋4k 21－m )， 化简得(m －1)(16k 21＋4)＝0，所以m ＝1. …………………………16分(由三点共线构建方程，并求出m 的值)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧ x 24＋y 23＝1y ＝k (x －m )，消去y ，得(3＋4k 2)x 2－8mk 2x ＋4m 2k 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝8mk 23＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2k 2－123＋4k 2…………………………10分 而k 1k 2＝y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝k (x 1－m )x 1＋2·k (x 2－m )x 2＋2＝k 2[x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2]x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝－14，13分 化简得k 2(3m 2－12)4m 2k 2＋16mk 2＋16k2＝－14，即m 2k 2＋mk 2－2k 2＝0. 因为k 2≠0，所以m 2＋m －2＝0，解得m ＝1或m ＝－2(舍去)． 当m ＝1时，Δ＞0，所以，m ＝1. …………………………16分答题模板 第一步：求出椭圆方程；第二步：设点P 坐标，推出点P 坐标满足的等式，y 20＝3－34x 20；第三步：利用第二步中的等式推出k 1k 2＝－34；第四步：联立方程组，写出韦达定理；第五步：写出点P 的坐标；第六步：由条件求出Q 点坐标；第七步：由P ，M ，Q 共线，列出关于m 的方程，并求得解.作业评价已知椭圆x 216＋y 24＝1的左顶点为A ，过A 作两条弦AM ，AN 分别交椭圆于M ，N 两点，直线AM ，AN 的斜率记为k 1，k 2，满足k 1·k 2＝－2，则直线MN 经过的定点为________．已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .则直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为____________．如图34-4所示，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上、下顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上，且异于点A ，B ，直线AP ，BP 与直线l ：y ＝－2分别交于点M ，N .当点P 运动时，以MN 为直径的圆经过的定点是______．图34-4已知椭圆C ：x 24＋y 22＝1的上顶点为A ，直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于P ，Q 两点，设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2.若k 1·k 2＝－1，则直线l ：y ＝kx ＋m 过定点________．(1)求椭圆E 的方程；(2)若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点M .(i )设直线OM 的斜率为k 1，直线BP 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值；(ii )设过点M 垂直于PB 的直线为m .求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1()a >b >0的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线7x －5y ＋12＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A ()－4，0，过点R ()3，0作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线x ＝163于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为k 1，k 2，试问：k 1k 2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，且过点P(22，12)，记椭圆的左顶点为A.(1)求椭圆的方程；(2)设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求△ABC面积的最大值；(3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆于D，E两点，且k1k2＝2，求证：直线DE恒过定点．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A、B，焦距为2，直线l与椭圆交于C，D两点(均异于椭圆的左、右顶点)．当直线l过椭圆的右焦点F且垂直于x轴时，四边形ACBD的面积为6.⑴求椭圆的标准方程；(2)设直线AC，BD的斜率分别为k1，k2.①若k2＝3k1，求证：直线l过定点；②若直线l过椭圆的右焦点F，试判断k1k2是否为定值，并说明理由．。
2020届高考数学二轮复习专题《椭圆中两直线斜率之积为定值的问题》
专题34 椭圆中两直线斜率之积为定值的问题定点定值问题是圆锥曲线中十分重要的研究课题，蕴含着动、静依存的辩证关系，深刻体现了数学的魅力，在高考中常常涉及此类问题且位于中档题的位置．本专题以椭圆中两直线斜率之积为条件，从具体问题入手，通过对解决方法进行总结辨析，使学生能够根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律.过椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上顶点A 作互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标． 本题考查的是定点问题，由题意可知，题中的两已知直线存在斜率，且斜率之积为－1，利用此结论，结合韦达定理及代数恒等变形，导出动直线可化为点斜式方程，其中所过的点是一个定点，从而证明动直线过定点.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左顶点为A ，P ，Q 是椭圆C 上的两个动点．(1)如图34-1，当P ，O ，Q 三点共线时，直线P A ，QA 分别与y轴交于M ，N 两点，求证：AM →·AN →为定值；(2)设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1·k 2＝－1时，求证：直线PQ 经过定点R .图34-1在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆T的方程为x22＋y2＝1.设A，B，M是椭圆T上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使OM→＝cosθOA→＋sinθOB→.(1)求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；(2)求OA2＋OB2的值．(江苏卷)如图34-2，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x29＋y25＝1的左、右顶点为A，B，设过点T(9，m)的直线TA，TB与此椭圆分别交于点M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中m＞0，y1＞0，y2＜0.图34-2求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为4，两准线间距离为4 2.设A 为椭圆C 的左顶点，直线l 过点D (1,0)，且与椭圆C 相交于E ，F 两点．图34－3(1)求椭圆C 的方程；(2)若△AEF 的面积为10，求直线l 的方程；(3)已知直线AE ，AF 分别交直线x ＝3于点M ，N ，线段MN 的中点为Q ，设直线l 和QD 的斜率分别为k (k ≠0)，k ′，求证：k ·k ′为定值．(本小题满分16分)(2019·南京一模) 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线l ：y ＝k (x －m )(m ∈R )与椭圆C 相交于P ，Q 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆的左顶点为A ，记直线AP 、AQ 的斜率分别为k 1、k 2. ①若m ＝0，求k 1k 2的值；②若k 1k 2＝－14，求实数m 的值．(1)x 24＋y 23＝1；(2)①－34；②m ＝1.因为椭圆C 的两个焦点间距离为2，两准线间的距离为2×a 2c ＝8，所以a ＝2，c ＝1，所以b 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. …………………………3分(求出椭圆方程)①设P (x 0，y 0)，由于m ＝0，则Q (－x 0，－y 0)，由x 204＋y 203＝1，得y 20＝3－3x 204…………………………5分(设出点P (x 0，y 0)求出关系式y 20＝3－34x 20)所以k 1k 2＝y 0x 0＋2·－y 0－x 0＋2＝y 20x 20－4＝3－3x 204x 20－4＝－34.…………………………8分(利用上面关系式，推证k 1k 2＝定值．) ②由(1)得A (－2,0)．设P (x 1，y 1)，设直线AP 的方程为AP ：y ＝k 1(x ＋2)，联立⎩⎨⎧ x 24＋y 23＝1y ＝k 1(x ＋2)，消去y ，得(3＋4k 21)x 2＋16k 21x ＋16k 21－12＝0，所以x A ·x 1＝16k 21－123＋4k 21，…………………………10分(联立方程组，写出韦达定理)所以x 1＝6－8k 213＋4k 21， 代入y ＝k 1(x ＋2)得y 1＝12k 13＋4k 21，所以P (6－8k 213＋4k 21，12k 13＋4k 21).…………………………12分(求出点P 的坐标) 由k 1k 2＝－14，得k 2＝－14k 1，所以Q (24k 21－21＋12k 21，－12k 11＋12k 21).…………………………13分(由点P 坐标求得Q 坐标) 设M (m ,0)，由P ，Q ，M 三点共线，得PM →＝λQM →，即12k 13＋4k 21×(24k 21－21＋12k 21－m )＝－12k 11＋12k 21×(6－8k 213＋4k 21－m )， 化简得(m －1)(16k 21＋4)＝0，所以m ＝1. …………………………16分(由三点共线构建方程，并求出m 的值)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧ x 24＋y 23＝1y ＝k (x －m )，消去y ，得(3＋4k 2)x 2－8mk 2x ＋4m 2k 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝8mk 23＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2k 2－123＋4k 2…………………………10分 而k 1k 2＝y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝k (x 1－m )x 1＋2·k (x 2－m )x 2＋2＝k 2[x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2]x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝－14，13分 化简得k 2(3m 2－12)4m 2k 2＋16mk 2＋16k 2＝－14，即m 2k 2＋mk 2－2k 2＝0. 因为k 2≠0，所以m 2＋m －2＝0，解得m ＝1或m ＝－2(舍去)． 当m ＝1时，Δ＞0，所以，m ＝1. …………………………16分答题模板 第一步：求出椭圆方程；第二步：设点P 坐标，推出点P 坐标满足的等式，y 20＝3－34x 20；第三步：利用第二步中的等式推出k 1k 2＝－34；第四步：联立方程组，写出韦达定理；第五步：写出点P 的坐标；第六步：由条件求出Q 点坐标；第七步：由P ，M ，Q 共线，列出关于m 的方程，并求得解.作业评价已知椭圆x 216＋y 24＝1的左顶点为A ，过A 作两条弦AM ，AN 分别交椭圆于M ，N 两点，直线AM ，AN 的斜率记为k 1，k 2，满足k 1·k 2＝－2，则直线MN 经过的定点为________．已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .则直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为____________．如图34-4所示，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上、下顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上，且异于点A ，B ，直线AP ，BP 与直线l ：y ＝－2分别交于点M ，N .当点P 运动时，以MN 为直径的圆经过的定点是______．图34-4已知椭圆C ：x 24＋y 22＝1的上顶点为A ，直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于P ，Q 两点，设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2.若k 1·k 2＝－1，则直线l ：y ＝kx ＋m 过定点________．(1)求椭圆E 的方程；(2)若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点M .(i )设直线OM 的斜率为k 1，直线BP 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值；(ii )设过点M 垂直于PB 的直线为m .求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1()a >b >0的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线7x －5y ＋12＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A ()－4，0，过点R ()3，0作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线x ＝163于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为k 1，k 2，试问：k 1k 2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，且过点P(22，12)，记椭圆的左顶点为A.(1)求椭圆的方程；(2)设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求△ABC面积的最大值；(3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆于D，E两点，且k1k2＝2，求证：直线DE恒过定点．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A、B，焦距为2，直线l与椭圆交于C，D两点(均异于椭圆的左、右顶点)．当直线l过椭圆的右焦点F且垂直于x轴时，四边形ACBD的面积为6.⑴求椭圆的标准方程；(2)设直线AC，BD的斜率分别为k1，k2.①若k2＝3k1，求证：直线l过定点；②若直线l过椭圆的右焦点F，试判断k1k2是否为定值，并说明理由．。
椭圆中一类斜率之积为定值 高考数学
主讲人：某某某老师
某某学校
一、教材习题变式构建模型
二、高考解题析游刃有余
试卷讲评课件
椭圆是高考考查的难点之一，椭圆中一类斜率之积问题早有出现.
本文从教材出发，通过一系列的变式，转化和化归达到高考考查要求，
体现出试题源于教材且高于教材的理念，同时，找到在椭圆中一类斜
−′
=
′
=
，则
=
−
= ，则′ = −
−
−
−′
′
−
故，直线与直线的斜率之积为定值− 。
=
........②
′
− ，
........③
试卷讲评课件
x2
[变式3]：已知椭圆Γ： 2
率之积问题的通性.
一、教材习题变式构建模型
试卷讲评课件
典型习题：(人教A版选修2-1)设点A，B的
坐标分别为 −5,0 、 5,0 ，直线AM，BM相交
4
于点M，且他们的斜率之积为− ，求点M的轨
9
迹方程。
试卷讲评课件
解：如图1，设点 , ，由已知得， =
⋅ =
⋅ =
−
故，直线与直线的斜率之积为定值− 。
试卷讲评课件
【评析】此题也属于斜率之积为定值，但此解法与变式1、2、3有所不
同，直线与椭圆有一个交点，联立两直线方程得出点的坐标，继
而得出 ∗ 式，再联立直线方程与椭圆方程，消去其中一个变量，得出
关于另一变量的一元二次方程，再利用一元二次方程有一个实数解
圆锥曲线中斜率之积(和)为定值问题 ppt课件
ppt课件
8
主要方法：设而不求 整体代入
设而不求-----多个变量
整体代入-----减少变量
关键是消元
含x与y的式子统一消元 为只含x或y的式子
含x与y的式子“点差法”消元
对未知数进行化简或整体代换（特别对于 含 x1 x2, x1x2型的可用韦达定理来代入
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题型二 斜率之和为定值
消y
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定值问题常用方法： 一般是在一些动态的事物（如动点、动直 线、动弦、动角、动圆、动三角型等）中 寻求不变量.
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个 值与变量无关
（2）直接推理，计算，并在计算推理过程 中消去变量，从而得到定值
设而不求思想：
在解决数学问题时，先设定一些未知数， 然后把它们当成已知数，根据题目本身 的特点，将未知数消去或代换，使问题 的解决变得简捷。
消y
x1 x2 , x1x2型
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探究实践、拓展提升
消y
x1 x2 , x1x2型
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探究实践、拓展提升
求出坐标
隐含条件
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探究实践、拓展提升
隐含条件 消y
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1.斜率之积（和）为定值问题的解决策略是什么？ 2.这类题的主要思想方法是什么？
3.做好这类题还需要什么？
容
月
容
月
容
月
容
填空21 离心率 选15 离心率 选14 离心率 选14 离心率
解答24
直线与 填19 椭圆位 置关系
（面积）
抛物线 填20 性质
椭圆性 填20 质
椭圆斜率之积是定值专题
OxyPAB椭圆斜率之积为定值专题性质 如图1，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点P 与过中心的弦AB 的两端点A 、B 连线PA 、PB 与坐标轴不平行，则直线PA 、PB 的斜率之积PA PB k k ⋅为定值22b a-．证明 设(,)P x y ，11(,)A x y ，则11(,)B x y --．所以12222=+by a x ①1221221=+b y a x ② 由①－②得22122212by y a x x --=-， 所以22212212a b x x y y -=--， 所以222111222111PA PBy y y y y y b k k x x x x x x a-+-⋅=⋅==--+-为定值． 这条性质是圆的性质：圆上一点对直径所张成的角为直角在椭圆中的推广，它充分揭示了椭圆的本质属性，因而能简洁解决问题，下举例说明．一、证明直线垂直例1 如图2，已知椭圆22142x y +=，,A B 是其左、右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，连结AM 交椭圆于点P ．求证：MO PB ⊥．证明 设(2,)M y ，由性质知12PA PBk k ⋅=-，即12MA PB k k ⋅=- ③图1图2直线MA ，MO 的斜率分别为24MA y y k a == ，2MO y y k a ==， 所以12MA MO k k =④ 将④代入③得1MO PB k k ⋅=-，所以MO PB ⊥．例2 如图3，PQ 是椭圆不过中心的弦，A 1、A 2为长轴的两端点，A 1P 与Q A 2相交于M ，P A 2与A 1Q 相交于点N ，则MN ⊥A 1A 2．证明 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．由性质知1222PA PA b k k a ⋅=-，即1222MA NA b k k a ⋅=-，所以222211ab a x y a x y -=-⋅+ ⑤1222QA QA b k k a ⋅=， 即2122MA NA b k k a ⋅=-，所以221122ab a x y a x y -=-⋅+ ⑥ 比较⑤与⑥得1221()()()()x a x a x a x a +-=+-，所以2112()()a x x a x x -=-， 所以12x x =．所以MN ⊥x 轴，即MN ⊥A 1A 2．二、证明直线定向例3 如图4，已知A (2，1)，B (－2，－1)是椭圆E ：x 26＋y 23＝1上的两点，C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 的两点，且直线AC ，BD 相交于点M ，直线AD ，BC 相交于点N ．CA ，CB ，DA ，DB 的斜率都存在．求证：直线MN 的斜率为定值．证明 设(,)M M M x y ，(,)N N N x y ，由性质知12CA CB k k ⋅=-，即12MA NB k k ⋅=-， 12DA DBk k ⋅=-，即12NA MB k k ⋅=-．所以111222N M M N y y x x +-⋅=--+，11(224)2M N M N M N M N y y y y x x x x +--=-+-- ⑦xy AOB CDMN 图4图3111222N M M N y y x x -+⋅=-+-，11(224)2M N M N M N M N y y y y x x x x -+-=--+- ⑧由⑦－⑧得()M N M N y y x x -=--所以1MN k =-，即直线MN 的斜率为定值1-．三、证明点的纵坐标之积为定值例4 如图5，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，过椭圆C 的右焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线P A ，PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M ，N 两点． 记M ，N 两点的纵坐标分别为y M ，y N ，求证：y M ·y N 为定值．证明 当直线AB 的斜率k 不存在时，易得y M ·y N ＝－9.当直线AB 的斜率k 存在时，由性质知k P A k ＝－34，所以k P A ＝－34k .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P (－x 2，－y 2)， 所以直线P A 的方程为y ＋y 2＝－34k (x ＋x 2)，因为右准线l 的方程为4x =， 所以y M ＝－34k(x 2＋4)－y 2，因为,,A F B 三点共线，所以直线AB 的斜率k ＝y 2(x 2－1).所以y M ＝－3(x 2＋4)(x 2－1)4y 2－y 2.因为直线PB 的方程为y ＝y 2x 2x ，所以y N ＝4y 2x 2.所以y M y N ＝－3×(x 2＋4)(x 2－1)x 2－4y 22x 2.又因为x 224＋y 223＝1，所以4y 22＝12－3x 22， 所以y M y N ＝－3×(x 2＋4)(x 2－1)＋4－x 22x 2＝－9，所以y M y N 为定值－9.图5由以上几个例题，同学们会看到，这个性质解决问题中起到了化繁为简作用，希望同学们领悟其中的道理，并进一步运用这个性质解决更多的问题．。
小专题---解析中的斜率之积为定值
椭圆中的一类问题（1）平面上一动点(,)P x y 与两点(2,0),(2,0)A B -的连线的斜率之积是34-，求点P 的轨迹方程．221(2)43x y x +=≠± （2）椭圆22143x y +=上任一点P 与两点(2,0),(2,0)A B -的连线的斜率之积是 1234k k =-你发现了什么？ 222122221x y b k k a b a+=⇔=-大胆猜想、类比圆与双曲线探究：（1）椭圆22221x y a b+=上任一点P 与两点(,0),(,0)A a B a -的连线的斜率之积是 22b a-（2）椭圆22221x y a b+=上任一点P 与椭圆上两定点0000(,),(,)A x y B x y --的连线的斜率之积是 22b a-（3）P 是椭圆22221x y a b+=上一点，直线2y x =与椭圆相交于两点,A B ,则直线,PA PB 的连线的斜率之积是 22b a -（4）椭圆222210)x y a b a b+=>>（上任一点P 与两点(,0),(,0)A a B a -的连线的斜率之积是34-，则椭圆的离心率（5）一椭圆上任一点P 与椭圆上两定点0000(,),(,)A x y B x y --的连线的斜率之积是43-，则椭圆的离心率展示1：已知直线y ＝12x 与椭圆C ：22182x y +=交于D ，E 两点，过D 点作斜率为k 的直线l 1．直线l 1与椭圆C 的另一个交点为P ，与直线x ＝4的交点为Q ，过Q 点作直线EP 的垂线l 2．求证：直线l 2恒过一定点．展示2：已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1上一点P (1，32)，过点P 的直线12,l l 与椭圆C 分别交于点A ，B （不同于P ）， 且它们的斜率k 1，k 2，满足k 1k 2＝－34．（1）求证：直线AB 过定点； （2）求△PAB 面积的最大值．（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。
圆锥曲线中斜率乘积问题为定值的问题
经典题突破方法---圆锥曲线中斜率乘积为定值的问题温县第一高级中学数学组任利民问题1：平面上一动点(,)P x y与两点(2,0),(2,0)A B-的连线的斜率之积是34-，求点P的轨迹方程221(2)43x yx+=≠±.问题2：椭圆22143x y+=上任一点P与两点(2,0),(2,0)A B-的连线的斜率之积是123 4k k=-.探究：（1）已知椭圆22221x ya b+=上两点(,0),(,0)A aB a-,椭圆上任意异于A、B的点P与A、B连线的斜率之积是22 ba -.（2）已知椭圆22221x ya b+=上两点(0,),(0,)A bB b-,椭圆上任意异于A、B的点P与A、B连线的斜率之积是22 ba -.（3）已知椭圆22221x ya b+=上两定点0000(,),(,)A x yB x y--，椭圆上任意异于A、B的点P与A、B连线的斜率之积是22 ba -.结论1.设A、B是椭圆22221(0)x ya ba b+=>>上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B的任一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则2122bk ka=-．探究：（3）设A、B是双曲线22221(0)x ya ba b-=>>上关于原点对称的两点，点P是该双曲线上不同于A，B的任一点，直线PA,PB的斜率是k1,k2，猜想k1k2是否为定值？并给予证明．结论2.设 A 、B 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上关于原点对称的两点，点P 是该双曲线上不同于A ，B 的任一点，直线PA ，PB 的斜率分别为k1，k2，则2122b k k a =． 应用拓展：1.设椭圆的左、右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，若直线AP 与BP 的斜率之积为12-，则椭圆的离心率为.解析：利用k AP ·k BP ＝22b a -，可以得到2121122c b e a a ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭.2.椭圆C:22143x y +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[2,1]-- ，那么直线1PA 斜率的取值范围是A. 13[,]24 B. 33[,]84 C. 1[,1]2 D. 3[,1]4解析：因为122234PA PA b k k a ⋅=-=-，所以1234PA PA k k -=,∵2[2,1]PA k ∈--∴133[,]84PA k ∈,故选B.3.如图2，在平面直角坐标系xOy 中，F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点，B 、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D .若cos ∠F 1BF 2＝725，则直线CD 的斜率为 ．解析：由已知可得21227cos cos 2cos 125F BF OBF ∠=∠-=，所以24cos 5b OBF a ∠==，所以35c a =，又因为BD bk c =-，且BD CD k k ⋅=22b a-，所以22CD b b k c a -⋅=-，即43125525CD b c k a a =⋅=⋅=．22221(0)x y a b a b+=>>22221(0)x y a b a b+=>>y xB APO3.已知椭圆22:12x C y +=，点125,,,M M M 为其长轴AB 的6等分点，分别过这五点作斜率为(0)k k ≠的一组平行线，交椭圆C 于点1210,,,P P P ,则这10条直线1AP ,210,,AP AP 的斜率的乘积为132-.。
2020年青岛二模题目例谈解析几何中斜率之积为定值问题
2020年青岛二模题目例谈解析几何中斜率之积为定值问题定值问题的本质是动中生静，是在一个运动变化过程中，由某个变量的变化引起另一个量不变的问题.本文从2020年青岛二模的题目出发，总结在解析几何中四种斜率乘积为定值的情况，然后通过一个题目展示条件隐藏的斜率乘积为定值的题目，将数学运算的学科素养能力进一步提升。
关键词：斜率之积定值数学运算一、斜率之积问题的课本溯源：普通高中课程标准试验教科书《数学》(选修 2-1) 人教 A版的探究题：点的坐标分别是直线相交于点 , 且它们的斜率之积是 , 试求点的轨迹方程, 并由点的轨迹方程判断轨迹的形状。
思考1 平面内一个点到两定点的斜率乘积为定值（），则该点的轨迹是什么？思考2 平面内一个点到两定点的斜率乘积为定值（除之外的负值），则该点的轨迹是什么？思考3 平面内一个点到两定点的斜率乘积为定值（正数），则该点的轨迹是什么？通过对课本溯源以及三个问题的思考，我们可以得出一般性结论：斜率定值为，则轨迹为以为直径的圆；斜率定值为除了的负值，则轨迹为椭圆；斜率定值为正数，则轨迹为双曲线。
斜率之积为定值，可以得到唯一确定的圆锥曲线，因此该定值应该是于圆锥曲线的离心率是有联系的。
下面我们从2020年青岛二模中的题目出发，已知圆锥曲线方程去探究斜率乘积的定值问题。
二、模拟题中的问题呈现及变式探究（2020年青岛二模节选）已知为坐标原点，椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆的交点到原点的距离均为 .1.求椭圆的标准方程；2.若点为椭圆上的动点，三点共线，直线的斜率分别为证明： .解析：（1）椭圆方程为，过程略。
（2）设 ,则．设由点在椭圆上，得:① ，②两式相减并整理，得即模拟题的解题溯源：椭圆 (a＞b＞0)上任一动点 P( x，y)到椭圆任意一条直径(过椭圆中心的弦)的两个端点的斜率乘积等于多少?解：设椭圆 (a＞b＞0)的任意一条直径为 ,∵是直径∴点关于原点称．设 ,则．由点在椭圆上，得:① ②两式相减并整理，得即点拨：对于本类证明，采用两式相减消参，借助直线的斜率公式得出结果。
斜率乘积为定值的问题探究
【教学目标】 会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态几何对象和几何量，探究、证明动态图形中的不 变性质，体会“设而不求” 、 “整体代换”在简化运算中作用． 【教学难、重点】解题思路的优化． 【教学过程】
一．基础知识、基本方法梳理
问题 1．已知 AB 是圆 O 的直径，点 P 是圆 O 上异于 A，B 的两点，直线 PA，PB 的斜率分 别为 k1，k2，则 k1.k2= .
y
长轴的两个端点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连 线斜率之积为
y
A
P
b2 ． a2
o
Bx
x2 y 2 1(a b 0) 上关于原点对称的两点，点 P a 2 b2 是该椭圆上不同于 A，B 的任一点，直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，则 k1k2 是否为定值？并 给予证明．
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kCD
b c 4 3 12 ． a a 5 5 25
x2 y2 1 ， 点 2
3.（ 2016 如 东 月 考 ） 已 知 椭 圆 C :
分别过这五点作斜率为 M 1 , M 2 , , M 5 为其长轴 AB 的 6 等分点，
k (k 0) 的一组平行线，交椭圆 C 于点 P 1, P 2 , , P 10 ,则这 10 条
x2 y2 1， 4 2
过坐标原点的直线交椭圆 于 P、A 两点，其中 P 在第一象限，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 C，连接 AC，并延长交椭圆于点 B，设直线 PA 的斜 率为 k，对任意 k 0 ， 求证：PA⊥PB． 分析：可以转化为证明 KPAKPB=-1，注意到 KABKPB=
x2 y 2 1 联立 4 ，消去 y ，得 (1 2k 2 ) x 2 4kmx 2m 2 4 0 ， 2 y kx m 因为 2m 2 2k 2 1 ， m 0 ， 所 以 (4km) 2 4(1 2k 2 )(2m 2 4) 0 恒 成 立 ，
与椭圆有关的斜率之积为定值的问题
则 4m2n2 (m2k 2 n2 t2 ) .
从而,当 kOA kOB
a2b2k 2 b2t2 a2b2 a2t2
n2 m2
时,可得 t2
m2k 2
n2 ,即 0 .
当 0 时,可得 t2
m2k 2 n2 ,即 kOA kOB
a2b2k 2 b2t2 a2b2 a2t2
kOB
n2 m2
kHale Waihona Puke AkQBm2b4 n2a4
直线 AB 与曲线 C1 相切 点 Q 在曲线 C2 上.
y
b T
n B
O
m
a
x
P Q
A
证明:设点 A(x1, y1) , B(x2, y2 ) , Q(x0, y0 ) ,则:
(1) kOA
kOB
n2 m2
kQA
kQB
m2b4 n2a4
.
由于椭圆 C
1.当 m2
a2b2 a2 b2
,
n2
a2b2 a2 b2
时,可得：
结论 1. kOA kOB
1
kQA kQB
b4 a4
OP AB
直线
AB 与圆 C1 :
x2 a2b2 a2 b2
y2 a2b2 a2 b2
1 相切 点 Q 在椭圆 C2 :
x2 a2(a2 b2)
b2
y2 b2(a2 b2)
将上下而求索.
n2 y02 b4
1得 b4 x02 a2b4 a4 y02 a4b2
n2 m2
,即 kOA kOB
n2 m2
.
所以,结论“ kOA kOB
n2 m2
点 Q 在曲线 C2 上”是成立的.
直线斜率为定值证明过程
直线斜率为定值证明过程1. 引言1.1 引言简介直线斜率为定值是数学中一个重要的概念，它在几何学和代数学中都有广泛的应用。
斜率是直线上的两点之间的斜率的比值，表示直线的倾斜程度。
当直线的斜率为定值时，它意味着直线上所有点的斜率都是相同的，这在几何学中对直线的性质和特点有重要的意义。
在代数学中，直线斜率为定值也常常出现在各类方程中，通过对斜率进行分析可以更好地理解数学问题的本质。
本文将详细探讨直线斜率为定值的定义和特点，分析证明过程中的关键步骤，介绍常见的直线斜率为定值的例子，并探讨相关数学定理在实际问题中的应用。
通过实例分析，我们可以更好地理解直线斜率为定值的性质和应用，为今后的数学研究提供指导和启发。
在我们将总结本文的主要内容，并展望未来关于直线斜率为定值的研究方向，希望通过这篇文章的讨论能够加深我们对直线斜率为定值的认识和理解。
1.2 研究背景研究背景是指对于直线斜率为定值的证明过程，需要对直线斜率的概念有充分的了解。
直线斜率指的是直线在平面上倾斜的程度，是用来描述直线斜率的一个重要概念。
在数学上，直线斜率为定值的性质和特点十分重要，对于几何学和代数学的研究有着重要的指导作用。
研究背景主要包括对于直线斜率的定义和性质的深入探讨，以及相关数学定理的理解和运用。
在研究直线斜率为定值的过程中，需要借助数学知识和逻辑推理，通过证明过程中的关键步骤来推断结论，从而得出直线斜率为定值的结论。
通过对直线斜率为定值的研究和分析，可以帮助我们更好地理解直线的性质和特点，进而应用到实际问题的解决中。
深入研究直线斜率为定值的证明过程具有重要的理论意义和实际应用价值。
在这样的研究背景下，我们可以更深入地理解直线斜率的性质和特点，为未来研究提供更多的启发和指导。
2. 正文2.1 直线斜率为定值的定义和特点直线斜率为定值是指直线上任意两点连线的斜率始终保持不变的现象。
直线斜率为定值具有以下几个特点：1. 斜率不随直线上点的位置变化而改变。
对一类斜率之积与定点关系的探究
对一类斜率之积与定点关系的探究
斜率指的是函数图像中线段的倾斜程度，它在很多不同科目中具有重要意义。
将两条线段的斜率分别记为m1和m2，则两条线段的斜率之积可表示为m1×m2.其次，从几何图形的角度来看，求得四点式线段的斜率方程，其中定点关系是m1×m2=-1.再次，由于斜率是表示两点之间斜率的变化量，所以可以推出两点式斜率的定点关系，只要斜率m1和m2均为一定数值，定点关系即为m1×m2=-1，如果斜率m1或m2均是正负值，则定点关系也同样守恒。
可以从物理方面来看，如果将斜率m1和m2分别解读为力的强度，则由力的平衡关系可计算得出定点关系，即m1×m2=-1.
综上所述，可以得出结论，两条线段的斜率之积与定点关系存在着密不可分的关联，无论是从几何图形的角度，还是从物理方面，均可计算得出定点关系，即m1×m2=-1.。
wps斜率公式
wps斜率公式
在WPS表格中，要计算斜率，需要先确定一个函数形式，一般可用x-y方程来表达：y=ax+b。
其中，a即为该斜线的斜率。
要找出a和b的值，需要先获取斜线对应的两个点的坐标。
假设这两个点分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则斜率a的值可以表达为：a=(y2-y1)/(x2-x1)。
接下来，要求b的值，可以再任意选取一个点，如(x1, y1)，将该点带回刚求得的a表达式中，代入x1，y1的相应值，即可得到b的值。
如：b=y1-(y2-y1)/(x2-x1)*x1。
将a和b值代入x-y方程式，就可以得到拟合原表格斜线的近似方程式：y=ax+b。
其中斜率a和常数项b的值分别可以由前面求得的公式得出。
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第6章 斜率之积为22b a-2222222222b b b b b a a a a a ⎧⎪⎪⎪⎧-⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎧-⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎨-⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎪⎩⎩中点弦椭圆中斜率之积斜率之积双曲线中斜率之积轨迹问题（一）斜率之积轨迹问题（二）斜率之积得应用与有关的定值问题（一）与有关的定值问题（二）本章主要探究圆锥曲线中两条相交直线的斜串之积为22b a -的等价条件,以及充分或必要条件。
6.1节聚焦于中点弦问题；6.2节阐述圆锥曲线斜率之积为22b a-这一问题；6.3节探索满足这一条件的点的轨迹方程。
读完本章，你会意识到其中的结论是多么方便实用，但我们却不希望这些结论仅仅只起到“结论”的作用，我们更希望引导你形成自主探索式的学习思维!6.1中点弦直线与圆锥曲线相交时，若出现了直线的斜率与线段的中点等字眼，则这样的题型往往可以避免使用韦达定理来计算。
对于这个类型的题，首先设出弦的两端点然后代入圆锥曲线并将两式相减，这样就直接联系了中点与直线的斜率的关系，我们把这个方法叫做点差法。
【例6.1】 (2017全国1文 20改编)设A,B 为曲线2:4C x y =上两点,点A 与点B 的横坐标之和为4,则直线AB 的斜率为____【分析】由于点A 与点B 的横坐标之和为4,故求解直线AB 的斜率，只需代入点作差。
【解析】设()()1122,,?,A x y B x y ,因为A,B 是椭圆上两点，所以代入得22211212122244()4x y x x y y x y ⎧=⇒-=-⎨=⎩ 整理可得212121()()4y y x x x x -+=-，由题意212121()41()y y x x x x -+=⇒=-，可得直线AB 的斜率为1.故填1.【例 6.2】 (2018 全国Ⅲ 文理 20)已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于A,B 两点，线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >。
证明：12k <-【解析】设()()1122,,?,A x y B x y , 由题意知12122,2x x y y m+=+=，因为A,B 是椭圆上两点，所以代入双曲线得211221221122212222222211()133343444143()()()x y y y y y y y x x x x km x x x y ⎧+=⎪-⎪⇒=-⇒-⇒=-⎨-⎪+=⎪⎩-+=-+ 则34m k =-即3(1,)4M k 。
因为点M 在椭圆内，所以2131,416k +<解得12k <-。
在例6.1与例6.2中都是直线与圆锥曲线相交,且都利用点差法解决问题的情形，那么是否可以认为直线与圆锥曲线相交都可以用点差法呢?这显然不是那么准确。
为什幺呢?是因为利用点差法需要知道出段的中点与线段的斜率.如若不具备这两个条件条件,利用点差法往往以失败告终。
既然点差法依赖于线段的中点,那么我们需要总结一下有哪些条件可以翻译出中点的信息。
对称就是其中最为重要的一类条件。
【例6.3】 (2018 河南一模文15)已知双曲銭2213y x -=上存在两点M,N 关于直线:l y x m =+对称,且MN 的中点在抛物銭218y x =上,则实数m 的值为____ 【解析】设()()1122,,?,M x y N x y ,MN 的中点坐标为00(,)E x y ,1201202,2x x x y y y +=+=，因为M,N 是双曲线上两点，所以代入双曲线得3)(33333121212122122212222222121=++⋅--⇒-=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-x x y y x x y y y y x x y x y x ，由直线l 的斜率为1且l MN 和垂直，所以11212-=--x x y y 。
因此300-=x y ，即)3,(00x x E -。
又因为点E 在直线l 上，所以m x y +=00，即)43,4(mm E -。
将点E 代入抛物线方程可得 ⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=4181692m m ，解得80-==m m 或。
故填0或-8.【例6.4】 【2013全国理 11 ）过抛物线C:2 8y x =与点M （-2,2），过C 焦点且斜率为k 的直线与抛物线交于A,B 两点。
若0MA MB =则()k =1.2A.2BC .2D【分析】 如图 6-1所示，根据题意可知点M 在抛物线的准线上，过点A,B 分别作准线的垂线，垂足分别为11,.A B 然后取AB 的中点为E.由于0MA MB =,所以12 ME AB =.由抛物线的定义又可得111()2ME AA BB =+,所以ME 为角梯形11AA BB 的中位线, ME 平行于x 轴，可得2E y =（中点的纵坐标为定值，考虑点差法）【解析】设()()1122,,?,A x y B x y 为抛物线上的两点,代入抛物方程可得222111212122121222888()8y x y y y y x x k x x y y y x ⎧=-⇒-=-⇒==⎨-+=⎩由題意可知1224E y y y +==可得k=2.故迭D.本题表面.上没有告泝任何堵如“中点”字眼的信息,但是实际上这个信息已经给出了,只不过非常隐晦,霤要決者迸-一歩去挖掘。
常見的做法是将直线与抛物线联立,然后通辻市込定理来求解.这个思路很传统,但以时间为代价是得不偿失的,尤其是作カ选填题.从近些年命題老师对最后几个选填题的设计来看,其对圆锥曲线小题情有独钟.而对于读者们,我希望你们明白,如果圆锥曲线小题出现在圧釉小題的位置上,那么命題者的初衷绝不是仅仅考察是考察纯计算。
【例 6.5】 (2017 山东文15)在平面直角坐标系xoy 中，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右支与焦点为F 的抛物线2 2(0)x py p =>交于A,B 两点。
若 4AF BF OF +=,则该双曲线的渐近线方程为_______.【解析】如图 6-2所示，设()()1122,,?,A x y B x y ,由 4AF BF OF +=和抛物线的定义可得12222p py y p +++=,整理可得12y y p +=(纵坐标之和为定值，考虑点差法)。
因为点A,B 在抛物线上，所以代入抛物线方程可得 22211121212122122222()22x py y y x x x x p y y x x p x py ⎧=-+⇒-=-⇒=⎨-=⎩ （6.1.1）又点A, B 为双曲线上两点，代入双曲线可得2211222222121212222222121212222211x y y y y y x x b b a b x x a x x a y y x y a b ⎧-=⎪--+⎪⇒=⇒=⎨--+⎪-=⎪⎩ （6.1.2） 把式(6.1.2)化入式(.1.1)可得21222x x b p a+=.再由12y y p +=可得222a b =,即双曲线的渐近线方程为x =.【变式6.5.1】 （2018安徽一模文15)若精圆的中心在原点，一个焦点为 (1,0),直线2230x y --=与椭圆相交，所得弦的中点的横坐标为1,则这个椭圆的方程为________.【变式6.5.2】 (2017 深圳二模理15)过抛物线22(0)y px p =>的焦点F,且倾斜角为4π的直线与抛物线交于A,B 两点。
若弦AB 的垂直平分线经过(0,2), 则____p =.6.2 斜率之积为22b a-6.1节重点介绍了点差法在直线与圆锥曲线上的应用，本节则在此基础上重点阐述斜率之积为定值的情形。
主要包含两个方面的内容:椭圆中的斜率之积为定值与双曲线中的斜率之积为定值。
6.2.1椭圆中的斜率之积【框架6.1】已知M,N 是椭圆C:22221x y A B+=上的两点,则这个结论的推导相当地简单,就是利用上一节的点差法即可。
肯定有同学好奇我们为什么不用字母a,b, 而是改用大写的字母A,B.那是因为若椭圆的方程为22221x y a b +=(a>b> 0),则结论为，22MN OP b K K a =-若椭圆的方程为C ：22221y x a b+=(a>b> 0) (焦点在y 轴上),则相应的结果可以表示为22MN OPa K K b=-.这样- -来给这个结论的记忆带来了困难。
因此，我们不需要去考虑焦点的位置，只需记住2A 是2x 的分母，2B 是2y 的分母即可。
这个做法贯穿全章，后面就不一-复述。
上面的结论之所以重要，是因为它对应于圆里面的垂径定理:在圆O 中，若P 是MN 的中点，则 MN OP ⊥,即1MN OP K K =-. 由于框架6.1非常对称、非常简单、非常重要。
因此你需要记住它。
【例6.6】（2015全国Ⅱ文20）已知椭圆148:22=+y x C ，直线l 不过原点O 且不平行与坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M 。
证明：直线OM 的斜率与直线l的斜率的乘积为定值。
【解析】 设),(),,(),,(002211y x M y x B y x A ，点M 为线段AB 的中点，则0210212,2y y y x x x =+=+。
直线l 的斜率为2121x x y y k l --=，直线OM 的斜率为2121x y x x y y k OM =++=，由点A ，B 在椭圆上，代入椭圆方程得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++⋅--⇒-=--⇒=+=+2121148148121212122122212221212222x x y y x x y y x x y y y x y x 可得21-=⋅l OM k k 。
因此直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值21-。
从上例我们知道，对于椭圆中的中点弦问题，如果想在选填题上既要节省时间又保证正确率，那么就需要对一些结论和模型了如指掌。
因此平时解题积累一些结论王湾在关键时刻能够起到意想不到的效果。
具体见下例：【例6.7】（2013全国Ⅱ理10）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的右焦点为)0,3(F ，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点。
若AB 的中点坐标为)1,1(-，则E 的方程为（ ）。
13645.22=+y x A 12736.22=+y x B 11827.22=+y x C 1918.22=+y x D 【解析】 设AB 的中点为点N ，可得1-=ON k 。
直线AB 的斜率21==FN AB k k ，可得21-=⋅AB ON k k ，由于922=-b a ，则9,1822==b a ，故选D 。