第6章 斜率之积为定值一 wps

第6章 斜率之积为

22b a

-

2222222222b b b b b a a a a a ⎧⎪⎪⎪⎧-⎪⎨

⎪

⎩⎪⎪⎧-⎨

⎪⎪

⎪⎪⎪⎪-⎨-⎪⎪

⎪⎪⎪⎪-⎪⎩⎩

中点弦椭圆中斜率之积斜率之积双曲线中斜率之积轨迹问题（一）斜率之积轨迹问题（二）

斜率之积得应用与有关的定值问题（一）

与有关的定值问题（二）

本章主要探究圆锥曲线中两条相交直线的斜串之积为2

2b a -的等价条件,以及

充分或必要条件。6.1节聚焦于中点弦问题；6.2节阐述圆锥曲线斜率之积为2

2

b a

-这一问题；6.3节探索满足这一条件的点的轨迹方程。读完本章，你会意识到其中的结论是多么方便实用，但我们却不希望这些结论仅仅只起到“结论”的作用，我们更希望引导你形成自主探索式的学习思维!

6.1中点弦

直线与圆锥曲线相交时，若出现了直线的斜率与线段的中点等字眼，则这样的题型往往可以避免使用韦达定理来计算。对于这个类型的题，首先设出弦的两端点然后代入圆锥曲线并将两式相减，这样就直接联系了中点与直线的斜率的关系，我们把这个方法叫做点差法。

【例6.1】 (2017全国1文 20改编)设A,B 为曲线2:4C x y =上两点,点A 与点B 的横坐标之和为4,则直线AB 的斜率为____

【分析】由于点A 与点B 的横坐标之和为4,故求解直线AB 的斜率，只需代入点作差。

【解析】设()()1122,,?,A x y B x y ,

因为A,B 是椭圆上两点，所以代入得

22

21121212

22

44()4x y x x y y x y ⎧=⇒-=-⎨=⎩ 整理可得212121()()4y y x x x x -+=-，由题意212121()41()

y y x x x x -+=⇒=-，可得直线AB 的斜率为1.故填1.

【例 6.2】 (2018 全国Ⅲ 文理 20)已知斜率为k 的直线l 与椭圆

22:143x y C +=交于A,B 两点，线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >。证明：1

2

k <-

【解析】设()()1122,,?,A x y B x y , 由题意知12122,2x x y y m

+=+=，因为A,B 是椭圆上两点，所以代入双曲线得

21122122

1122212222

222211()133343

4441

4

3()()()x y y y y y y y x x x x km x x x y ⎧+=⎪-⎪⇒=-⇒-⇒=-⎨-⎪+=⎪⎩-+=-+ 则34m k =-

即3(1,)4M k 。因为点M 在椭圆内，所以2131,416k +<解得1

2

k <-。 在例6.1与例6.2中都是直线与圆锥曲线相交,且都利用点差法解决问题的

情形，那么是否可以认为直线与圆锥曲线相交都可以用点差法呢?这显然不是那么准确。为什幺呢?是因为利用点差法需要知道出段的中点与线段的斜率.如若不具备这两个条件条件,利用点差法往往以失败告终。

既然点差法依赖于线段的中点,那么我们需要总结一下有哪些条件可以翻译出中点的信息。对称就是其中最为重要的一类条件。

【例6.3】 (2018 河南一模文15)已知双曲銭2

2

13

y x -=上存在两点M,N 关于直线:l y x m =+对称,且MN 的中点在抛物銭218y x =上,则实数m 的值为____ 【解析】设()()1122,,?,M x y N x y ,

MN 的中点坐标为00(,)E x y ,

120120

2,2x x x y y y +=+=，因为M,N 是双曲线上两点，所以代入双曲线得

3)(33333121212122

12221222

2222121=++⋅--⇒-=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-x x y y x x y y y y x x y x y x ，由直线l 的斜率为1且

l MN 和垂直，所以11212-=--x x y y 。因此30

0-=x y ，即)3,(0

0x x E -。又因为点E 在直

线l 上，所以m x y +=00，即)4

3,4(m

m E -

。将点E 代入抛物线方程可得 ⎪⎭

⎫

⎝⎛-⋅=4181692m m ，解得80-==m m 或。故填0或-8.

【例6.4】 【2013全国理 11 ）过抛物线C:2 8

y x =与点M （-2,2），过C 焦点且斜率为k 的直线与抛物线交于A,B 两点。若0MA MB =则()k =

1

.2

A

.2B

C .2D

【分析】 如图 6-1所示，根据题意可知点M 在抛物线的准线上，过点A,B 分别作准线的垂线，垂足分别为11,.A B 然后取AB 的中点为E.由于0MA MB =,所以

12 ME AB =

.由抛物线的定义又可得111

()2

ME AA BB =+,所以ME 为角梯形11AA BB 的中位线, ME 平行于x 轴，可得2E y =（中点的纵坐标为定值，考虑点

差法）

【解析】设()()1122,,?,A x y B x y 为抛物线上的两点,代入抛物方程可得

222

111212122121222888()8y x y y y y x x k x x y y y x ⎧=-⇒-=-⇒==⎨-+=⎩

由題意可知1224E y y y +==可得k=2.故迭D.

本题表面.上没有告泝任何堵如“中点”字眼的信息,但是实际上这个信息已经

给出了,只不过非常隐晦,霤要決者迸-一歩去挖掘。常見的做法是将直线与抛物线联立,然后通辻市込定理来求解.这个思路很传统,但以时间为代价是得不偿失