圆锥曲线中斜率乘积为定值的问题探究

斜率乘积为定值的问题探究

【教学目标】

会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态几何对象和几何量，探究、证明动态图形中 的不变性质，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中作用.

【教学难、重点】解题思路的优化.

【教学过程】

【温故习新】

2 2

1. （2012天津理19改编）设椭圆 笃•爲= l （a b - 0）的左、右顶点分别为 A, B ，点P 在 a b

2 2

2.如图2,在平面直角坐标系 xOy 中，F 1;F 2分别为椭圆 笃-当=1（a b 0）的左、右焦

a b

点，B 、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线

BF 2与椭圆的另一交点为 D.若cos / F 1BF 2 =云,

则直线CD 的斜率为 _______________ . X 2 2

3. （2016如东月考）已知椭圆C: 2 y =1，点M 1N2, ll|M 5为其长轴AB 的6等分点，

分别过这五点作斜率为 k （k 式0）的一组平行线，交椭圆 C 于点PhPjH’P o ,则这10条直线 AR, AP 2,|",AR 0的斜率的乘积为 ____________

iy

椭圆上且异于 A, B 两点，若直线AP 与BP 的斜率之积为

2 2

4. (2011江苏18改编)如图3，已知椭圆方程为—-L =1，过坐标原点的直线交椭圆

4 2

于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C,连接AC，并延长交椭圆

于点B,设直线PA的斜率为k，对任意k 0 ,

求证：PAI PB.

二.释疑拓展

2 2

例1.(南京市、盐城市2017 一模改编)已知椭圆C的方程——1,直线I : y = kx亠m ,

4 2

(m =0 )交椭圆C于P,Q两点，T为弦PQ的中点，M(-1,0),N(1,0)，记直线TM ,TN的斜率分别为k1,k2，当2m2 -2k2=1时，求k1 k2的值.

2 2

例2：（2013苏北四市模考题改编）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E: X y 1 , 4 3

若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异

于A，B的任意一点，直线AP交I于点M •

（1）设直线0M的斜率为k i,直线BP的斜率为k2，求证：k i k2为定值；

（2）设过点M垂直于PB的直线为m .求证：直线m过定点，并求出定点的坐标•

2

例3:已知椭圆方程C的方程为—y^1，A,B为椭圆的左、右顶点，点S为椭圆C上位

4

10

于x轴上方的动点，直线AS,BS与直线x -分别交于M N两点•

3

（1 ）试求线段MN的长度的最小值；

（2）试问：以线段MN为直径的圆是否过定点，并证明你的结论•

X

引申：若直线方程变为 x =t,(t 乏(-oo , _2) U (2, P ) 时，以上问题的结果又如何呢?

【课堂检测】

顶点为A ，过原点0的直线(与坐标轴不重合)与椭圆 C 交于P,Q 两点，直线PA,QA 分 别与y 轴交于M ,N ，若直线PQ 的斜率为 鼻时，PQ =2・..3。

2

(1)

求椭圆C 标准方程； (2)

试问以MN 为直径的圆是否过定点？证明你的结论。

1如图，在平面直角坐标系

xoy 中，离心率为 —的椭圆C ： 2 2 2

jX 2 -y — = 1(a b 0)的左

a b