圆锥曲线中斜率乘积为定值的问题探究

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圆锥曲线中两条直线斜率之积为定值的探究

圆锥曲线中两条直线斜率之积为定值的探究圆锥曲线是由直线与圆锥曲面的交线构成的曲线。

在圆锥曲线中，如果两条直线斜率之积为定值，这意味着这两条直线在圆锥曲面上是平行的。

这种性质可以用数学方法证明。

证明圆锥曲线中两条直线斜率之积为定值的性质，我们需要使用到几何和代数的知识。

首先，设圆锥曲面的方程为：z=kx/a+ky/b(a,b>0)其中，k是定值。

在圆锥曲面上的一条直线的斜率为kx/a。

另一条直线的斜率为ky/b。

所以斜率之积为(kx/a)*(ky/b)=k^2*xy/ab由此可以看出，斜率之积为一个定值，即k^2/ab。

这证明了在圆锥曲线中，两条直线斜率之积为定值的性质。

上述证明仅是其中一种证明方式，在实际应用中还可以用其他方式证明。

除了上面提到的证明方法之外，还有其他几种证明圆锥曲线中两条直线斜率之积为定值的方法。

一种常用的方法是使用向量的思想。

具体来说，我们可以将圆锥曲面的一个点表示成向量，并将圆锥曲面上的直线表示成向量方程。

这样我们就可以通过向量积来证明两条直线斜率之积为定值。

另一种方法是使用极坐标系。

圆锥曲面可以在极坐标系中表示为极面函数。

在极坐标系中，两条直线斜率之积可以通过导数的比值来证明是定值。

还可以使用拉格朗日参数方法证明两条直线斜率之积为定值。

证明的方法不止这些，还有其他的证明方法。

这取决于问题的具体情况以及证明者对数学知识的掌握程度。

在上面的证明中，我们已经证明了在圆锥曲线中，两条直线斜率之积为定值。

这种性质可以用来解决各种几何问题，比如求解两条直线的位置关系等。

具体来说，假如我们知道圆锥曲面的一条直线的斜率以及斜率之积的定值，我们就可以求出另一条直线的斜率。

这样就可以确定这两条直线在圆锥曲面上的位置关系了。

此外，我们还可以利用这种性质来求解其他几何问题，比如求解直线与圆锥曲面的交点，求解圆锥曲线的轨迹等。

其中一个典型的应用是求解两条直线的位置关系，如求出两条直线是否平行或垂直。

圆锥曲线中与斜率有关的定值问题研究

斜率有关的定值问题．斜率之和为定值
一
、
【例１】椭圆ｃ：＋一１（口＞６＞０）经过点Ｐ（１，
椭圆的顶点，设ＢＰ的方程为一志一２），是 ≠ ｏ，志 ≠ ± 吉．将之代入椭圆方程，解得Ｐ（襞，一４ｋ）．
５１．ｇ￣ＡＤ的方程为一１ｚ十１
，
昔），离心率８一寺，直线ｚ的方程为一４．
（工）求椭圆Ｃ的方程；（ Ⅱ）ＡＢ是经过右焦点Ｆ的任意一弦（不经过点Ｐ），设直线ＡＢ与直线ｚ相交于点Ｍ，记ＰＡ、ＰＢ、ＰＭ的斜率分别为ｋ、ｋ、ｋ。．问：是否存在常数，使得ｋ十一愚。？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
与ＢＰ的方程联
立，解得Ｍ．Ｌ．丽４ｋ－ｋ２
，
）．
由Ｄ（ｏ，１），Ｐ８ｋｚ－２
，一
笃），Ｎ（ｚ，ｏ）三点共
，
线可求得Ｎ￣．Ｌ４ｋ－２０）．
，
解析：：（工）易求出椭圆Ｃ的方程为＋告一１．
．
［关键词］圆锥曲线
［中图分类号］Ｇ６３３．６
动和静是物体的两个方面，动是绝对的，静是相对的，动静是辩证地存在的．圆锥曲线是动静结合的典范．以椭圆为例，椭圆的定义为定点Ｆ１、Ｆ２，定值２ａ（２ｎ＞Ｆ。Ｆ２），动点Ｐ满足ＰＦ＋ＰＦ２＝＝＝２ａ，则Ｐ的轨迹是椭

圆锥曲线中与斜率有关的一类定值问题探究

圆锥曲线中与斜率有关的一类定值问题探究有关圆锥曲线中与斜率有关的一类定值问题的研究一直受到数学家们的广泛关注。

圆锥曲线是一个经典的曲线，在几何学、拓扑学、微分几何学、物理学及其他诸多学科中都有着重要的地位。

特别是它与斜率有关的一类定值问题，更是引起了数学家们的极大关注。

圆锥曲线由一个原本的圆锥，被沿着一个旋转轴不断旋转而形成。

因此，当旋转轴的斜率发生变化时，圆锥曲线的形态也会发生变化。

有关斜率的定值问题就是“求解发生变化的圆锥曲线的曲率参数”。

曲率参数不仅关系到曲线的形状，还可以用来描述曲线的两点有多远的距离、曲线的弧度有多大，以及它是否能与其他曲线顺利拼接。

因此，求解曲率参数对理解圆锥曲线的形状变化具有重要意义。

解决这个问题，有不同的数学方法可供参考，比如，可以利用微积分的知识，通过对二次微分后的方程进行积分，求出曲率参数；也可以利用相关的几何学知识，通过比较近似的直线段到曲线的正切值，求出曲率参数。

此外，还可以采用数值计算的方法，利用拉格朗日插值法来求得曲率参数；或者采用图像处理的方法，通过解决图像中有关曲率参数的问题来寻找曲率参数。

从数学角度来讲，圆锥曲线中的曲率参数问题一直是数学家们的关注焦点，这个问题也在数学史上被反复探讨，涉及到多项重要的数学知识。

比如，曲率参数会引入九点平行四边形的概念；它也与椭圆及抛物线有关；借助它，我们可以推导出曲线的多种几何特性。

尽管这些知识都不容易，但圆锥曲线中与斜率有关的一类定值问题已被成功地解决。

这一成果不仅仅使我们有机会了解圆锥曲线的特性，同时，它也为其他类似问题提供了参考。

它可以为其他类似问题提供思路，并为之后的研究提供一种有效的框架。

综上所述，圆锥曲线中与斜率有关的一类定值问题的研究不仅能够帮助我们更好地理解圆锥曲线的特性，它还会激发我们对其他更多类似问题的探索。

因此，有必要继续深入研究这一问题，以期能够给数学家以更多的洞见。

圆锥曲线斜率比值为定值

圆锥曲线斜率比值为定值
圆锥曲线是平面直角坐标系中的一类重要的几何图形，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。

在研究这些图形时，往往需要考虑它们的斜率。

本文将探讨圆锥曲线的斜率比值为定值这一性质，并分别对四类圆锥曲线进行讨论。

一、圆的斜率比值为0
在圆上取任意两点，其斜率相等的条件为两点到圆心的连线垂直且不相交。

于是，圆的斜率比值为0。

二、椭圆的斜率比值与离心率有关
椭圆的标准方程为
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
其中，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴长度。

离心率e的定义为
可以证明，椭圆上任意点的切线斜率k满足下列性质：
$\frac{k_1}{k_2}=\frac{\frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}}}{-\frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}}}=-1 $
即，任意两条椭圆上的切线斜率相反，且绝对值相等。

由此，可得双曲线的斜率比值为
$\frac{k_1}{k_2}=-1$
$y=ax^2+bx+c$
综上所述，四类圆锥曲线在不同程度上都满足斜率比值为定值的性质。

掌握这一性质有助于深入理解圆锥曲线的几何特征，也可以用于解决一些相关的问题。

圆锥曲线斜率乘积为定值

斜率乘积为定值的问题探究知识梳理结论1：设A 、B 是椭圆12222=+by a x )0(>>b a 关于原点对称的两点，点P 是该椭圆上不同于A 、B 的任一点，直线PA 、PB 的斜率分别为21,k k ，则2221ab k k -=⋅。

结论2：设A 、B 是双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 上关于原点对称的两点，点P 是该双曲线上不同于A 、B 的任一点，直线PA 、PB 的斜率分别为21,k k ，则2221ab k k =⋅。

基础训练1、设椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的左右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A 、B 两点，若直线AP 与BP 的斜率之积为21-，则椭圆的离心率为。

2、在平面直角坐标系中，21,F F 分别为椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的左右焦点，B 、C 分别为椭圆的上下顶点，直线2BF 与椭圆的另一交点为D ，若21cos BF F ∠257=，则直线CD 的斜率为。

3、已知椭圆C ：1222=+y x ，点54321,,,,M M M M M 为其长轴AB 的六等分点，分别过这五点作斜率为)0(≠k k 的一组平行线，交椭圆C 于1021,,,P P P ，则这10条直线1011,,AP AP AP 的斜率的乘积为。

4、如图所示，已知椭圆方程为12422=+y x ，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k ，对任意0>k 。

求证：PB PA ⊥。

方法梳理：一、解决直线和圆锥曲线问题的一般方法：Step1设（点的坐标、直线方程、曲线方程） Step2代（点的坐标带入方程，方程联立方程组带入消元） Step3 化（化简方程，解方程）二、常用的化简策略“设而不求”，整体代换典型例题1、已知椭圆C 的方程12422=+y x ，直线m kx y l +=:)0(≠m 交椭圆C 于Q P ,两点，T 为弦PQ 的中点，)0,1(),0,1(N M -，记直线TM ，TN 的斜率分别为21,k k ，当12222=-k m 时，求21k k ⋅的值。

圆锥曲线中与斜率相关的定点、定值问题探讨

圆锥曲线中与斜率相关的定点、定值问题探讨作者：莫成立来源：《数理化学习·高一二版》2012年第11期圆锥曲线中的定点、定值问题是高考的热点.笔者最近遇到一些与斜率相关的定点、定值问题，并对一般情形进行研究，可以得到一般性结论，与各位共赏.定理1：已知点A（x0，y0）是抛物线y2=2px上的定点，直线l（不过A点）与抛物线交于M、N两点.（1）若k AM+k AN=c（常数），则直线l斜率为定值；（2）若k AM·k AN=c（常数），直线l恒过定点.证明：（1）直线l斜率显然不为0，故设为x=ty+m，M（x1，y1），N（x2，y2）.由y2=2pxt=ty+my2-2pty-2pm=0y1+y2=2pt，y1y2=-2pm，k AM+k AN=y1-y0x1-x0+y2-y0x2-x0y1y2+y0（y1+y2）+y20=2p（2pt+2y0）-2pm+2pty0+y20=c，即：4p2t+4py0=-2pmc+2pty0c+y20c，要斜率为定值，即要t=-2pmc+y20c-4py04p2-2py0c为定值，所以c=0，t=-y0p.（i）若A为原点，y0=0，此时直线l斜率不存在；（ii）若A为原点，y0≠0，此时直线l斜率k=-py0.（2）k AM·k AN=y1-y0x1-x0·y2-y0x2-x0=4p 2=c.即-2pmc+2pty0c+cy20-4p2=0可解得：m=2pty0c+cy20-4p22mc，直线l方程为：x=ty+2pty0c+cy20-4p22pc，即2pt（cy+y0c）+cy20-4p2-2pcx=0，恒过定点（cy20-4p22pc，-y0）.定理2：已知A（x0，y0）是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的定点，直线l（不过A点）与椭圆交于M、N两点.（1）若k AM·k AN=c常数，直线l恒过定点；（2）若k AM+k AN=c常数，直线l斜率为定值.证明：（1）若直线l斜率不存在，设M（t，b1-t2a2），N（t，-b1-t2a2）[HT5，5”]k AM·k AN =（b1-t2a 2-y0）（-b1-t2a2-y0）（t-x0） 2=[HT]y20-b2（1-t2a2）（t-x0） 2=b2（1-x20a2）-b2（1-t2a2）（t-x0） 2=b2a2·t+x0t-x0=c，则b2a 2·t+x0t-x0=c x0=0，c=b2a 2才满足.若直线MN斜率存在，设为y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2）b2x2+a2y2-a2b2=0y=kx+m（a2k2+b2）x2+2a2mkx+a2m2-a2b2=0x1+x2=-2a2mka2k2+b 2，x1x2=a2m2-a2b 2a2k2+b 2.k AM·k AN=y1-y0x1-x0·y2-y0x2-x0=（kx1+m-y0）（kx2+m-y0）x1x2-x0（x1+x2）+x20=-a2b2k2+m2b2+a2k2y20+b2y20-2my0b 2 a2m2-a2b2+2a2mkx0+b2x20+a2k2x20=-a2b2k2+m2b2+k2（a2b2-b2x20）+b2y20-2my0b 2a2m2-a2b2+2a2mkx0+（a2b2-a2y20）+a2k2x20= m2b2-b2x20k2+b2y20-2my0b 2a2m2+2a2mkx0-a2y20+a2k2x20=b2a 2·m2+y20-2my0-x20k 2m2+2mkx0+k2x20-y20=b2a2·（m-y0+kx0）（m-y0-kx0）（m-y0+kx0）（m+y0+kx0）=b2a 2·m-y0-kx0m+y0+kx0.所以m=（a2cx0+b2x0）k+a2cy0+b2y0b2-a2c直线MN方程为：y=kx+（a2cx0+b2x0）k+a2cy0+b2y0b2-a2c=k（x+a2cx0+b2x0b2-a2c ）+a2cy0+b2y0b2-a2c.恒过定点（-a2c+b 2b2-a2cx0，a2c+b2b2-a2cy0）.当定点A（x0，y0）在坐标轴上有：①若x0=0，y0=b直线恒过定点（0，b（b2+a2c）b2-a2c）；②x0=a，y0=0，直线恒过定点（a（a2c+b2）a2c-b2），0）；③若x0=0，y0=-b，直线恒过定点（0，b（b2+a2c）a2c-b2）；④若x0=-a，y0=0直线恒过定点（a（a2c+b2）b2-a2c，0）.（2）若直线MN斜率不存在，k AM+k AN=b1-t2a2-y0t-x0+-b1-t2a2-y0t-x0=-2y0t-x0=c，则y0=0，c=0才满足.若直线MN斜率存在，k AM+k AN=y1-y0x1-x0+y2-y0x2-x0=kx1+m-y0x1-x0+kx2+m-y0x2-x0=[HT5，6]2kx1x2+（m-y0-kx0）（x1+x2）-2mx0+2x0y0 x1x2-x0（x1+x2）+x20=-2a2b2k2-2a2mky0-2b2mx0+2x0y0b2+2x0y0a2k 2a2m2-a2b2+2a2mkx0+b2x20+a2k2x20= c.若直线MN斜率k为定值，则可化为a2cm2+（2a2ky0-2b2x0-2a2kx0c）m-2a2b2k+2x0y0b2+2x0y0a2k 2+a2b2c-b2x0c-a2k2x20c=0c=02a2ky0-2b2x0-2a2kx0c=0-2a2b2k+2x0y0b2+2x0y0a2k2=0①②③c=0k=b2x0a2y01，2代入3也成立当常数c=0时，直线斜率为定值b2x0a2y0.定理3：已知A（x0，y0）是双曲线x2a 2-y2b 2=1 （a>0，b>0）上的定点，直线l（不过A点）与椭圆交于M、N两点.（1）若k AM·k AN=c常数，直线l恒过定点（a2c-b 2b2+acx0，b2-a2cb2+acy0）；（2）若k AM+k AN=c（=0）常数，直线l斜率为定值 -b2x0a2y0.证明方法同上.。

圆锥曲线中斜率之积(和)为定值问题 ppt课件

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8
主要方法：设而不求整体代入
设而不求-----多个变量
整体代入-----减少变量
关键是消元
含x与y的式子统一消元为只含x或y的式子
含x与y的式子“点差法”消元
对未知数进行化简或整体代换（特别对于含 x1 x2, x1x2型的可用韦达定理来代入
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9
题型二斜率之和为定值
消y
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7
定值问题常用方法：一般是在一些动态的事物（如动点、动直线、动弦、动角、动圆、动三角型等）中寻求不变量.
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关
（2）直接推理，计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值
设而不求思想：
在解决数学问题时，先设定一些未知数，然后把它们当成已知数，根据题目本身的特点，将未知数消去或代换，使问题的解决变得简捷。
消y
x1 x2 , x1x2型
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10
探究实践、拓展提升
消y
x1 x2 , x1x2型
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11
探究实践、拓展提升
求出坐标
隐含条件
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12
探究实践、拓展提升
隐含条件消y
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13
1.斜率之积（和）为定值问题的解决策略是什么？ 2.这类题的主要思想方法是什么？
3.做好这类题还需要什么？
容
月
容
月
容
月
容
填空21 离心率选15 离心率选14 离心率选14 离心率
解答24
直线与填19 椭圆位置关系
（面积）
抛物线填20 性质
椭圆性填20 质

圆锥曲线中向量乘积过定点问题

圆锥曲线中向量乘积过定点问题《圆锥曲线中向量乘积过定点问题》简介：圆锥曲线是数学中非常重要和广泛应用的一类曲线。

其中的一个有趣问题是在圆锥曲线上通过两个给定点的向量乘积是否会经过一个固定点。

本文将介绍圆锥曲线、向量乘积以及相关定点问题的解答。

一、圆锥曲线的定义和特点圆锥曲线是平面上的一条曲线，其形状可以是椭圆、双曲线或抛物线。

圆锥曲线的定义可以由焦点和准线（或直角）进行描述。

其中，焦点是曲线上的一个点，准线是与曲线相切且通过焦点的直线。

椭圆和双曲线有两个焦点，而抛物线只有一个焦点。

圆锥曲线具有许多有趣的性质和特点，比如在椭圆中任意两点的向量乘积永远过椭圆的焦点，而在双曲线中通过焦点的向量乘积则不会在曲线上，而是在双曲线的准线上。

这些性质使得圆锥曲线在数学中有广泛的应用。

二、向量乘积的概念在二维空间中，向量可以表示为具有两个分量（x，y）的有序对。

向量乘积是指两个向量按照一定规则进行乘法运算后得到的结果。

在圆锥曲线中，我们可以通过向量乘积来研究向量在曲线上的变化情况。

具体而言，对于给定的曲线上的两个点P和Q，其向量分别为→P和→Q。

那么向量乘积的结果为→P × →Q，其结果是一个新的向量。

根据向量乘积的定义，向量乘积的长度表示P和Q之间的距离，而向量乘积的方向则表示了P和Q之间的夹角。

三、乘积过定点的问题在圆锥曲线中，一个有趣的问题是，如果在曲线上选择两个点P和Q，那么它们的向量乘积是否会通过一个固定的点O（定点）？答案是：对于椭圆，通过焦点O的向量乘积一定会经过点O；对于双曲线，通过焦点O的向量乘积则不会经过点O，而是将焦点O延伸到曲线的准线。

这个结论可以通过几何和向量运算来证明。

通过几何推导，我们可以发现在椭圆中，任意两点的向量乘积都会经过焦点O。

而在双曲线中，由于焦点在准线上，所以通过焦点的向量乘积将延伸到双曲线的准线。

结论：通过两个给定点的向量乘积是否经过一个固定点是圆锥曲线中一个有趣的问题。

圆锥曲线中的一类斜率定值问题的探讨

1 2p p =− 2 2 px | x = x y0 0
设 AB ： y − y0 = k ( x − x0 ) ，则 AC： y − y0 = − k ( x − x0 ) ，设 B ( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ) ，代入抛物线 y 2 = 2 px ，整理得：
k 2 x 2 + (2ky0 − 2k 2 x0 − 2 p ) x + ( y0 2 − 2ky0 x0 + k 2 x0 2 ) = 0
− k(x2 + x1 − 2x0 ) x2 − x1
− 2kny0 − 2k 2nx0 2kny0 − 2k 2nx0 m + nk2 − k(− − − 4x0 ) 2 2 2 + + + m nk m nk m nk = − 2kny0 − 2k 2nx0 2kny0 − 2k 2nx0 − − − − − x0 ) x ( 0 m + nk2 m + nk2 4kmx 0 2 = m + nk 4kny0 m + nk2 mx = 0 ny0
∵ x0 , x1 是上述方程的两根 ∴ x1 = −
2kny0 − 2k 2 nx0 − x0 m + nk 2 −2kny0 − 2k 2 nx0 − x0 m + nk 2
以–k 代换 x1 中的 k，可得 x2 = −
kBC = =
y2 − y1 y0 − k(x2 − x0 ) −[ y0 + k(x1 − x0 )] = x2 − x1 x2 − x1
∵ x0 , x1 是上述方程的两根
2ky0 − 2k 2 x0 − 2 p − x0 ∴ x1 = − k2 −2ky0 − 2k 2 x0 − 2 p − x0 以–k 代换 x1 中的 k，可得 x2 = − k2 4k 2 x0 + 4 p 4p − 2 x0 = 2 x0 + 2 2 k k

2019届高三斜率乘积为定值的问题探究

ON // PB,PA PB ．
法三：设 P(s,t) ，则 C(s,0)
A(s, t) ， kAP

t s
， kAB
kAC

0t ss

t 2s
，即 kAP
2kAB ,
k1.k2=
.
问题 2．（类比迁移 1）点 P 是椭圆上 x2 y2 1上异于长轴端点以外的任一点，A、B 是该椭圆长轴的两个端点， 43
直线 PA,PB 的斜率分别为 k1，k2，则 k1k2=
.
问题
3.（引申拓展 1）求证：椭圆
x2 a2

y2 b2
1(a
b 0)
长轴的两个端点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连
KABKPB=
b2 a2
=
1 2
．
图3
第1页共5页
法一：由题意设 P(x0, y0 ), A(x0, y0 ), B(x1, y1), 则C(x0, 0) ，
A、C、B 三点共线， y1 y0 y1 y0 , x1 x0 2x0 x1 x0
又因为点
P、B
在椭圆上， x02 y02 1, x12 y12 1 42 42
．
3.（2016
如东月考）已知椭圆 C
:
x2 2

y2
1
，点
M1, M 2 ,
, M5 为其长轴 AB 的 6
等分点，分别过这五点作斜率为 k(k 0) 的一组平行线，交椭圆 C 于点 P1, P2 , , P10 ,则
这 10 条直线 AP1 , AP2 , , AP10 的斜率的乘积为
1 32
求证：PA⊥PB．

微难点13 圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)

微难点13 圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)
析典例 ·举题破难
第3页
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高考总复习一轮复习导学案 ·数学
微难点13 圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)
若 AB 是圆 O：x2＋y2＝r2 的直径，P 是圆 O 上一点，且 PA，PB 都存在非
零斜率 kPA，kPB，则 kPA·kPB＝－1；若 M 是 AB 的中点，且 AB，OM 都存在非零斜率 kAB，kOM，则 kAB·kOM＝－1.
通过类比得到如下结论：AB 是过椭圆xa22＋by22＝1(a>0，b>0)中心的弦，P 是椭圆上任意一点，且 PA，PB 都存在非零斜率 kPA，kPB，则 kPA·kPB＝__－__ba_22___；若 M 是 AB 的中点，且 AB，OM 都存在非零斜率 kAB，kOM，则 kAB·kOM＝__－__ba_22___.(填空并证明此
所以 P23，43，A－23，－43，所以 C23，0，则直线 AC 的斜率为 1，故直线 AB 的方
程为
x－y－23＝0，所以点
P
到直线
AB
的距离为
d＝23－143＋－123＝2
3
2 .
第10页
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微难点13 圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)
y1
＋
y2
＝
0
，
y1y2
＝
－
36 7
，
x1
＋
x2
＝
0
，
x1x2
＝
－
4×
36 7
.
由
kPA·kPB
＝
y0－y1 x0－x1

圆锥曲线中与斜率有关的定值问题研究

圆锥曲线中与斜率有关的定值问题研究作者：范贤丽来源：《中学教学参考·理科版》2015年第08期[摘要]主要研究圆锥曲线中因直线运动而产生与斜率有关的定值问题，涉及斜率之和、斜率之差、斜率之积三类定值问题.[关键词]圆锥曲线斜率定值[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）230038动和静是物体的两个方面，动是绝对的，静是相对的，动静是辩证地存在的.圆锥曲线是动静结合的典范.以椭圆为例，椭圆的定义为定点F1、F2，定值2a（2a>F1F2），动点P满足PF1+PF2=2a，则P的轨迹是椭圆.“动”是P的运动，“静”是动点P满足PF1+PF2=2a，点P到两个定点的距离和是定值.在运动的过程中，不变的就是静.本文以圆锥曲线为背景，研究与直线的斜率有关的定值问题.一、斜率之和为定值【例1】椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）经过点P（1，32），离心率e=12，直线l的方程为x=4.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）AB是经过右焦点F的任意一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA、PB、PM的斜率分别为k1、k2、k3.问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.解析：：（Ⅰ）易求出椭圆C的方程为x24+y23=1.（Ⅱ）设B（x0，y0）（x0≠±1），则直线FB的方程为y（x0-1）=y0（x-1）.令x=4，求得M（4，3y0x0-1），从而直线PM的斜率为k3=2y0-x0+12（x0-1）.直线FB的方程与椭圆方程联立方程组，解得A（5x0-82x0-5，3y02x0-5），则直线PA的斜率为k1=2y0-2x0+52（x0-1），直线PB的斜率为k2=2y0-32（x0-1）.所以k1+k2=2y0-2x0+52（x0-1）+2y0-32（x0-1）=2×2y0-x0+12（x0-1）=2k3.故存在常数λ=2符合题意.点评：过定点F的动直线引出三个动点：与定椭圆的两个交点A、B，与定直线l的交点M，经过定点P（满足PF⊥x轴）的调动，得到kPA+kPB=2kPM，动中有静，静由动生，动静和谐，形式优美.二、斜率之差为定值【例2】已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率e=32，a+b=3，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）A、B分别是椭圆C的左、右顶点，D是椭圆C的下顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M.设BP的斜率为k，MN的斜率为m，求证：2m-k为定值.解析：（Ⅰ）易得椭圆C的方程为x24+y2=1.（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0），D（0，1），P不为椭圆的顶点，设BP的方程为y=k（x-2），k≠0，k≠±12.将之代入椭圆方程，解得P（8k2-24k2+1，-4k4k2+1）.又直线AD的方程为y=12x+1，与BP的方程联立，解得M（4k+22k-1，4k2k-1）.由D（0，1），P（8k2-24k2+1，-4k4k2+1），N（x，0）三点共线可求得N（4k-22k+1，0）.所以MN的斜率为m=2k+14，故2m-k=12（定值）.点评：定椭圆上的三个定点A、B、D，由椭圆上的动点P引出两个动点M、N，这些点恰好都在定角∠DAB内，两个动直线MB、MN的斜率受定直线MA的斜率制约.三、斜率之积为定值【例3】椭圆C：x24+y23=1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是[-2，-1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）.A.[12，34]B.[38，34]C.[12，1]D.[34，1]解析：由题意知，A1（-2，0），A2（2，0）.设点P（x0，y0），则kPA1=y0x0+2，kPA2=y0x0-2（x0≠±2），且x204+y203=1.∴kPA1·kPA2=y20x20-4=-34，从而kPA1=-34kPA2，由kPA2∈[-2，-1]得k∈[38，34].故选B.点评：椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上不与长轴端点重合的任意一点与两个长轴端点连线的斜率之积是常数-b2a2，反映椭圆上的动点具有不变的特性.（责任编辑钟伟芳）。

2020年青岛二模题目例谈解析几何中斜率之积为定值问题

2020年青岛二模题目例谈解析几何中斜率之积为定值问题定值问题的本质是动中生静，是在一个运动变化过程中，由某个变量的变化引起另一个量不变的问题.本文从2020年青岛二模的题目出发，总结在解析几何中四种斜率乘积为定值的情况，然后通过一个题目展示条件隐藏的斜率乘积为定值的题目，将数学运算的学科素养能力进一步提升。

关键词：斜率之积定值数学运算一、斜率之积问题的课本溯源：普通高中课程标准试验教科书《数学》(选修 2-1) 人教 A版的探究题：点的坐标分别是直线相交于点 , 且它们的斜率之积是 , 试求点的轨迹方程, 并由点的轨迹方程判断轨迹的形状。

思考1 平面内一个点到两定点的斜率乘积为定值（），则该点的轨迹是什么？思考2 平面内一个点到两定点的斜率乘积为定值（除之外的负值），则该点的轨迹是什么？思考3 平面内一个点到两定点的斜率乘积为定值（正数），则该点的轨迹是什么？通过对课本溯源以及三个问题的思考，我们可以得出一般性结论：斜率定值为，则轨迹为以为直径的圆；斜率定值为除了的负值，则轨迹为椭圆；斜率定值为正数，则轨迹为双曲线。

斜率之积为定值，可以得到唯一确定的圆锥曲线，因此该定值应该是于圆锥曲线的离心率是有联系的。

下面我们从2020年青岛二模中的题目出发，已知圆锥曲线方程去探究斜率乘积的定值问题。

二、模拟题中的问题呈现及变式探究（2020年青岛二模节选）已知为坐标原点，椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆的交点到原点的距离均为 .1.求椭圆的标准方程；2.若点为椭圆上的动点，三点共线，直线的斜率分别为证明： .解析：（1）椭圆方程为，过程略。

（2）设 ,则．设由点在椭圆上，得:① ，②两式相减并整理，得即模拟题的解题溯源：椭圆 (a＞b＞0)上任一动点 P( x，y)到椭圆任意一条直径(过椭圆中心的弦)的两个端点的斜率乘积等于多少?解：设椭圆 (a＞b＞0)的任意一条直径为 ,∵是直径∴点关于原点称．设 ,则．由点在椭圆上，得:① ②两式相减并整理，得即点拨：对于本类证明，采用两式相减消参，借助直线的斜率公式得出结果。

斜率乘积为定值的问题探究

斜率乘积为定值的问题探究
【教学目标】会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态几何对象和几何量，探究、证明动态图形中的不变性质，体会“设而不求” 、 “整体代换”在简化运算中作用．【教学难、重点】解题思路的优化．【教学过程】
一．基础知识、基本方法梳理
问题 1．已知 AB 是圆 O 的直径，点 P 是圆 O 上异于 A，B 的两点，直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，则 k1.k2= .
y
长轴的两个端点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线斜率之积为
y
A
P
b2 ． a2
o
Bx
x2 y 2 1(a b 0) 上关于原点对称的两点，点 P a 2 b2 是该椭圆上不同于 A，B 的任一点，直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，则 k1k2 是否为定值？并给予证明．
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kCD
b c 4 3 12 ． a a 5 5 25
x2 y2 1 ，点 2
3.（ 2016 如东月考）已知椭圆 C :
分别过这五点作斜率为 M 1 , M 2 , , M 5 为其长轴 AB 的 6 等分点，
k (k 0) 的一组平行线，交椭圆 C 于点 P 1, P 2 , , P 10 ,则这 10 条
x2 y2 1， 4 2
过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点，其中 P 在第一象限，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 C，连接 AC，并延长交椭圆于点 B，设直线 PA 的斜率为 k，对任意 k 0 ，求证：PA⊥PB．分析：可以转化为证明 KPAKPB=-1，注意到 KABKPB=
x2 y 2 1 联立 4 ，消去 y ，得 (1 2k 2 ) x 2 4kmx 2m 2 4 0 ， 2 y kx m 因为 2m 2 2k 2 1 ， m 0 ，所以 (4km) 2 4(1 2k 2 )(2m 2 4) 0 恒成立，

高中数学解析几何圆锥曲线的第三定义与斜率乘积是定值模型问题探究

高中数学解析几何圆锥曲线的第三定义与斜率乘积是定值模型问题探究问题与知识提出：圆锥曲线的第三定义：平面内的动点到两定点1,0A a 2,0A a 的斜率乘积等于常数21e 点的轨迹叫做椭圆或双曲线,其中两个定点为椭圆和双曲线的两个顶点.其中如果常数211e时，轨迹为双曲线，如果211,0e 时，轨迹为椭圆。

圆锥曲线的第三定义的有关结论：1.椭圆方程中有关22b a-的经典结论(1).AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM ABb k k a⋅=-.(2).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），,A A 为椭圆的长轴顶点，P 点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有1222PA PA b K K a=-(3). 椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），,B B 为椭圆的短轴顶点，P 点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有1222PB PB b K K a=-(4). 椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PBb K K a=-2.双曲线方程中有关22b a的经典结论(1)AB 是双曲线22221x y a b -=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM ABb k k a⋅=，即2020ABb x K a y =。

(2)双曲线的方程为22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0），,A A 为双曲线的实轴顶点，P 点是双曲线上异于实轴顶点的任一点，则有1222PA PA b K K a= (3)双曲线的方程为22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0），,B B 为双曲线的虚轴端点，P 点是双曲线上异于虚轴端点的任一点，则有1222PB PB b K K a= (4) 双曲线的方程为22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0），过原点的直线交双曲线于,A B 两点，P点是双曲线上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PB b K K a= 典型例题：例1．（2019全国卷2理科数学第21题）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形；（ii ）求PQG △面积的最大值.例2.已知平行四边形ABCD 内接于椭圆()2222:10x y a b a bΩ+=>>，且AB ， AD 斜率之积的范围为32,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则椭圆Ω离心率的取值范围是（）A. 12⎛ ⎝⎭B. ⎝⎭C. 14⎛ ⎝⎭D. 11,43⎛⎫⎪⎝⎭例3.设椭圆()012222>>=+b a by a x C ：的左右顶点为A,B.P 是椭圆上不同于A,B 的一点，设直线AP,BP 的斜率分别为m,n ，则当()||ln ||ln 32323n m mnmn b a +++⎪⎭⎫ ⎝⎛-取得最小值时，椭圆C 的离心率为（）A.51B.22C.54D.23例4.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左,右焦点分别为1F ，2F ，12F F =，经过点1F 的直线（不与x 轴重合）与椭圆C 相交于A ，B 两点，△2ABF 的周长为8. （1）求椭圆C 的方程；（2）经过椭圆C 上的一点Q 作斜率为1k ，2k （10k ≠，20k ≠）的两条直线分别与椭圆C 相交于异于点Q 的M ，N 两点.若M ，N 关于坐标原点对称，求12k k 的值巩固提升：1．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4， A ， B 是其长轴顶点， M 是椭圆上异于A ， B 的动点，且34MA MB k k ⋅=-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，若动点R 在直线6x =上，直线AR ， BR 分别交椭圆C 于P ， Q 两点.请问：直线PQ 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.2.如图,设点,A B 的坐标分别为()),,直线,AP BP 相交于点P ,且它们的斜率之积为23-．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为C ,点M N 、是轨迹为C 上不同于,A B 的两点,且满足//,//AP OM BP ON ,求证：MON ∆的面积为定值．3．已知椭圆C：22 221(0)x ya ba b+=>>的短轴长为25，离心率为32，圆E的圆心在椭圆C上，半径为2，直线1y k x=与直线2y k x=为圆E的两条切线．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试问：12*k k是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1x yCa b+=(0)a b>>的离心率为12，右准线的方程为4,x=1,F2F分别为椭圆C的左、右焦点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过(,0)T t()t a>作斜率为k(0)k<的直线l交椭圆C于M，N两点（点M在点N的左侧），且12//F M F N，设直线AM，BN的斜率分别为1,k2k，求12k k⋅的值．5．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>()2,1M 在椭圆上，O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知A ､B 为椭圆上不同的两点．①设线段AB 的中点为点T ，证明：直线AB ､OT 的斜率之积为定值；②若A ､B 两点满足()0OA OB OM λλ+=≠，当OAB ∆的面积最大时，求λ的值．6．已知椭圆E ：，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．若，点K 在椭圆E 上，、分别为椭圆的两个焦点，求的范围；证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；若l 过点，射线OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由．2229(0)x y m m +=>()13m =1F 2F 12KF KF ⋅()2()3,3mm ⎛⎫ ⎪⎝⎭高中数学解析几何圆锥曲线的第三定义与斜率乘积是定值模型问题探究问题与知识提出：圆锥曲线的第三定义：平面内的动点到两定点1,0A a 2,0A a 的斜率乘积等于常数21e 点的轨迹叫做椭圆或双曲线,其中两个定点为椭圆和双曲线的两个顶点.其中如果常数211e时，轨迹为双曲线，如果211,0e 时，轨迹为椭圆。

微专题5 圆锥曲线中斜率定值问题(原卷版)

微专题5 圆锥曲线中斜率定值问题一、背景研究：圆锥曲线是高考的必考知识之一，也是很多学生突破高分中的拦路虎，计算量大，综合性强是圆锥曲线的特点，因此很多学生视其为“眼中钉、肉中刺”。

不过圆锥曲线题目是有规律也寻的，特别是经常会遇到这样一类问题，它不仅仅是“定值”问题，更重要的是证明或者探究直线的斜率为定值问题，只有真正做好练习和巩固，这类问题便可手到擒来。

二、知识回顾：1、斜率反应了直线的倾斜程度，是高考中必考的知识点；2、已知点()11,y x A 和点()22,y x B ，且21x x ≠，则直线AB 的斜率为2121x x y y k AB --=； 3、在出现斜率为定值的问题当中，经常会证明一条直线或者两条直线斜率和，差或者积与商为定值，我们需要先将斜率表示出来。

三、经典例题：【例1】已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N 。

（1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ=u u u u r u u u r ，QN QO μ=u u u r u u u r ，求证：11λμ+为定值。

【例2】如图，椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>经过点()0,1A -，且离心率为22。

（1）求椭圆E 的方程；（2）经过点()1,1，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点P ，Q （均异于点A ），证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值。

【例3】已知点和动点，以线段为直径的圆内切于圆。

（1）求动点的轨迹方程；（2）已知点，，经过点的直线与动点的轨迹交于，两点，求证：直线与直线的斜率之和为定值。

四、课堂练习：1、如图，直线:210l x y ++=与y 轴交于点A ，与抛物线2:2(0)C x py p =>交于,P Q 点B 与点A 关于x 轴对称，连接,QB BP 并延长分别与x 轴交于点,M N 。

圆锥曲线背景下斜率之积为定值探究与发散

圆锥曲线背景下斜率之积为定值探究与发散引例1:设点B ,A 的坐标为()()0505,,-，，直线BM ,AM 相交于点M ，且它们的斜率之积为94-，求点M 的轨迹方程。

（人教A 版选修，12-第40页例3）拓展研究：动点M 与两定点()()00,a B ,,a A -连线斜率之积为()022>>-b a ab ，则动点M 的轨迹方程为_____________.引例2:设ABC ∆的两顶点B ,A 的坐标为()()0505,,-，，且直线BC ,AC 的斜率之积为()0m m ≠，试探究顶点C 的轨迹方程。

（人教A 版选修，12-第80页复习参考题第10题）变式探究：对m k k BC AC =∙()0≠m 进行了探究，那么()，0≠=m m k k BCAC ()，0≠=+m m k k BC AC ()0≠=-m m k k BC AC 应用举例：设点B ,A 的坐标为()()0101,,-，，直线BM ,AM 相交于点M ，求满足下列条件点M 的轨迹方程。

⑴2=BM AM k k ⑵2=+BM AM k k ⑶2=-BM AM k k 反馈练习：1、已知椭圆C :1222=+y x ，点521,,,M M M 为其长轴AB 的6等分点，分别过这五点作斜率为)0(≠k k 的一组平行线，交椭圆C 于1021,,,P P P ，则直线1021,,,AP AP AP 这10条直线的斜率乘积为（）.A 161-.B 321-.C 641.D 10241-2、设双曲线116922=-x y :C 与函数3x y =的图象相交于12,A A 两点，若点P 在双曲线C 上，且直线2PA 的斜率的取值范围是[]23--,，那么直线1PA 斜率的取值范围是.3、在平面直角坐标系Oy x 中，已知圆:O 422=+y x ，椭圆1422=+y x C ：，A 为椭圆C 的右顶点,过原点且异于x 轴的直线与椭圆C 交于N ,M 两点,M 在x 轴的上方,直线AM 与圆O 的另一交点为P ,直线AN 与圆O 的另一交点为Q ,⑴若AM AP 3=,求直线AM 的斜率;⑵设AMN ∆与APQ ∆的面积分别为21S S ，,求21S S 的最大值.变式：在平面直角坐标系Oy x 中，已知圆:O 422=+y x ，椭圆1422=+y x C ：，A 为椭圆C 的右顶点,过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于C ,B 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中⎪⎭⎫ ⎝⎛-056，D ．设直线AC ,AB 的斜率分别为21k ,k ．（1）求21k k ∙的值；（2）记直线BC ,PQ 的斜率分别为BC PQ k ,k ，是否存在常数λ，使得BC PQ k k λ=？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线AC 必过点Q ．引例3：已知椭圆191222=+y x ，点()12，P 为椭圆内一点，是否存在以点P 为中点的所在直线方程___________.结论：1、在椭圆()012222>>=+b a by a x 中,以00(,)P x y 为中点的弦AB 所在直线斜率2020b x k a y =-；且22ab k k OP AB -=∙2、在双曲线()0012222>>=-b a by a x ，中,以00(,)P x y 为中点AB 的弦所在直线斜率2020b x k a y =；且22ab k k OP AB =∙3、在抛物线22(0)y px p =>中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0py k =.1、已知椭圆C :()012222>>=+b a b y a x 的离心率为22，点()22，在C 上，⑴求椭圆C 的方程；⑵直线l 不经过原点O ，且不平行与坐标轴，l 与C 有两个交点B ,A ,线段AB 的中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值。

圆锥曲线中斜率乘积为定值的问题探究

斜率乘积为定值的问题探究【教学目标】会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态几何对象和几何量，探究、证明动态图形中的不变性质，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中作用.【教学难、重点】解题思路的优化.【教学过程】【温故习新】2 21. （2012天津理19改编）设椭圆笃•爲= l （a b - 0）的左、右顶点分别为 A, B ，点P 在 a b2 22.如图2,在平面直角坐标系 xOy 中，F 1;F 2分别为椭圆笃-当=1（a b 0）的左、右焦a b点，B 、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为 D.若cos / F 1BF 2 =云,则直线CD 的斜率为 _______________ . X 2 23. （2016如东月考）已知椭圆C: 2 y =1，点M 1N2, ll|M 5为其长轴AB 的6等分点，分别过这五点作斜率为 k （k 式0）的一组平行线，交椭圆 C 于点PhPjH’P o ,则这10条直线 AR, AP 2,|",AR 0的斜率的乘积为 ____________iy椭圆上且异于 A, B 两点，若直线AP 与BP 的斜率之积为2 24. (2011江苏18改编)如图3，已知椭圆方程为—-L =1，过坐标原点的直线交椭圆4 2于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C,连接AC，并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k，对任意k 0 ,求证：PAI PB.二.释疑拓展2 2例1.(南京市、盐城市2017 一模改编)已知椭圆C的方程——1,直线I : y = kx亠m ,4 2(m =0 )交椭圆C于P,Q两点，T为弦PQ的中点，M(-1,0),N(1,0)，记直线TM ,TN的斜率分别为k1,k2，当2m2 -2k2=1时，求k1 k2的值.2 2例2：（2013苏北四市模考题改编）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E: X y 1 , 4 3若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交I于点M •（1）设直线0M的斜率为k i,直线BP的斜率为k2，求证：k i k2为定值；（2）设过点M垂直于PB的直线为m .求证：直线m过定点，并求出定点的坐标•2例3:已知椭圆方程C的方程为—y^1，A,B为椭圆的左、右顶点，点S为椭圆C上位410于x轴上方的动点，直线AS,BS与直线x -分别交于M N两点•3（1 ）试求线段MN的长度的最小值；（2）试问：以线段MN为直径的圆是否过定点，并证明你的结论•X引申：若直线方程变为 x =t,(t 乏(-oo , _2) U (2, P ) 时，以上问题的结果又如何呢?【课堂检测】顶点为A ，过原点0的直线(与坐标轴不重合)与椭圆 C 交于P,Q 两点，直线PA,QA 分别与y 轴交于M ,N ，若直线PQ 的斜率为鼻时，PQ =2・..3。