解析几何中斜率之积为定值的问题探究
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微专题：解析几何中斜率之积为定值（2
2
21a b k k -=•）的问题探究
【教学重点】掌握椭圆中2
2
21a
b k k -=•的形成的路径探寻及成果运用理性判断
【教学难点】运算的设计和化简
活动一：2
2
21a
b k k -=•形成的路径探寻
1. 若AB 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上的不过原点的弦，点P 是弦AB 的中点，且直线OP,AB
的斜率都存在，求PO AB
K K •．
【解析】 ：设点()0
,y x P
，()1
1
,y x A ，()2
2
,y x B ，
则有；；)2(1)1(122
222
222
122
1=+=+b
y
a x
b y a x （代点作差）
将①式减②式得，
，
，
所以所以，
即2
2
a
b K K PO
AB
-=•．
【结论形成总结】
【结论1】 若AB 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上的非直径的弦，点P 是弦AB 的中点，且
直线OP,AB 的斜率都存在，则1222
-=-=•e a
b K K PO
AB ．
2.已知AB 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上过原点的弦，点P 是椭圆异于A,B 的任意一点，
若直线PA,PB的斜率都存在，记直线PA,PB的斜率分别为
2
1
k
k，．求
2
1
k
k•的值。
【解法1】：设()0
,y
x
P，()1
1
,y
x
A又因为A,B是关于原点对称，
所以点B的坐标为()1
1
-,
-y
x
B，所以
2
1
2
2
1
2
1
1
1
1
2
1x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
k
k
-
-
=
+
+
•
-
-
=
•．
又因为点()0
,y
x
P，()1
1
,y
x
A在椭圆上，所以有；
；)2(1
)1(1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
0=
+
=
+
b
y
a
x
b
y
a
x
两式相减得，
2
2
2
1
2
2
1
2
0-
a
b
x
x
y
y
=
-
-
，所以
2
2
2
1a
b
k
k-
=
•．
【方法小结】本解法从设点入手，利用“点在曲线上”代点作差使用“点差法”。
------------------------------------------------------------------------------- 【解法2】椭圆圆化；由圆的结论类比到椭圆中。
过圆2
2
2r
y
x=
+上异于直径两端点的任意一点与一条直
径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值
1-
=
•
PB
PA
K
K
类比上述圆的结论通过伸缩变换椭圆圆化
令
'
;'y
b
y
x
a
x
=
=
则有
()1
'
)'(
)0
(12
2
2
2
2
2
=
+
⇒
>
>
=
+y
x
b
a
b
y
a
x
()⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
⇒
b
y
a
x
P
y
x
P0
,
'
,；点P,A,B为椭圆上点
()⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
⇒
b
y
a
x
A
y
x
A1
1
1
1
,
'
,点p’,A’,B’为新圆上点
()⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
-
⇒
-
-
b
y
a
x
B
y
x
B1
1
1
1
,
'
,由圆上的1-
'
'
'
'
=
•
B
P
A
P
k
k的关系过渡到PA,PB上