概率、组合、二项式定理和杨辉三角
研究性学习课题：杨辉三角
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杨辉三角在其他数学领域的应用研究
总结词
杨辉三角在组合数学、概率论、数论等领域 都有广泛的应用，研究这些应用有助于深入 理解相关数学领域的基本原理。
详细描述
杨辉三角是组合数学中的重要工具，它可以 用来计算组合数、排列数等。此外，杨辉三 角在概率论中也有应用，如计算概率的加法 定理等。同时，杨辉三角在数论中也有应用 ，如计算质因数分解等。研究这些应用有助 于深入理解相关数学领域的基本原理和应用
杨辉三角在计算机科学中的应用
总结词
杨辉三角在计算机科学中也有着广泛的应用，它为计算机算法设计和数据结构提供了重 要的启示。
详细描述
杨辉三角的规律性和高效性使得它在计算机科学中有着广泛的应用。例如，利用杨辉三 角可以设计高效的算法来计算组合数、排列数等，同时也可以利用杨辉三角来设计一些 特殊的数据结构，如动态规划等。此外，杨辉三角在计算机图形学、加密算法等领域也
3
杨辉三角的数字排列方式具有对称性、规律性和 高效性等特点，使得它在解决一些数学问题时具 有独特的优势。
杨辉三角的性质和特点
杨辉三角的每一行数字都是上 一行相邻两个数字之和，这种 递推关系使得杨辉三角具有高
度的自相似性。
杨辉三角的数字排列具有规律 性，如每一行的数字个数、对 称性等，这些规律使得杨辉三 角在解决数学问题时具有高效
杨辉三角在数学归纳法中的应用
总结词
数学归纳法是一种证明与自然数有关的命题的数学方法，而 杨辉三角为其提供了一种有效的工具。
详细描述
在数学归纳法的应用过程中，杨辉三角可以提供组合数的一 些性质和关系，从而简化了归纳法的证明过程。例如，利用 杨辉三角可以证明组合数的递推公式，进而证明与自然数有 关的命题。
杨辉三角的编程思路-概述说明以及解释
杨辉三角的编程思路-概述说明以及解释1.引言1.1 概述杨辉三角是一种数学模式，它以二项式系数为基础构成一个三角形状的数字图案。
它的命名源自中国古代数学家杨辉，他在13世纪提出并发展了这一概念。
杨辉三角具有许多有趣的特点和性质，因此在编程领域中备受关注。
它不仅在理论研究中有广泛的应用，还在实际编程中发挥着重要作用。
通过编程生成杨辉三角，我们能够深入了解其生成规律和数值特征。
同时，杨辉三角也为我们提供了一种探索组合数学和数论等领域的途径。
本文将介绍杨辉三角的定义和特点，并讨论其生成方法。
通过分析其规律和结构，我们将揭示编程生成杨辉三角的思路和方法。
最后，我们将总结编程生成杨辉三角的核心思想，并展望它在实际应用中的潜力。
在下一节中，我们将详细讨论杨辉三角的定义和特点，以便更好地理解它的生成过程。
1.2 文章结构文章结构是指文章中各个部分的组织和安排方式，目的是使读者能够清晰地理解文章的主题和内容。
本文以"杨辉三角的编程思路"为主题，下面将介绍一下文章的结构安排。
文章的结构主要由引言、正文和结论三部分组成。
引言部分介绍了文章的背景和目的，包括概述、文章结构和目的。
在概述中，可以简要介绍杨辉三角的概念和应用领域，引起读者的兴趣。
文章结构部分用于明确告诉读者文章的组织方式，让读者对整篇文章的结构有个整体的了解。
目的部分则明确了本文的写作目标，即介绍杨辉三角的编程思路。
正文部分是文章的核心内容，主要包括杨辉三角的定义和特点，以及生成方法。
在2.1部分中，可以首先介绍什么是杨辉三角，它的定义和特点。
然后，可以深入探讨杨辉三角的生成方法，包括使用递推关系、二项式展开式等方法。
可以结合具体的例子和图表，向读者清晰展示杨辉三角的生成过程和特点。
结论部分对文章进行总结，并展望杨辉三角在实际应用中的潜力。
在3.1部分，可以对杨辉三角的编程思路进行一次简洁明了的总结，强调编程过程中需要注意的关键点和思考方式。
杨辉三角融入二项式定理的教学实践及反思
杨辉三角融入二项式定理的教学实践及反思【摘要】本文通过介绍杨辉三角和二项式定理的基本原理，探讨了二者之间的联系，并结合教学实践展示了如何将杨辉三角融入二项式定理的教学中。
具体操作包括利用杨辉三角展示二项式系数的规律，引导学生理解二项式定理的概念，并通过实例演示二者之间的对应关系。
在教学实践中，学生表现出良好的学习效果，对二项式定理和杨辉三角有了更深入的理解。
反思部分分析了教学中遇到的困难和不足，并提出了改进的建议。
将杨辉三角融入二项式定理的教学能够激发学生的学习兴趣，提高他们的数学能力，有助于培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
在未来的教学中，可以进一步探索更多的教学方法，促进学生对数学知识的深入理解和应用。
【关键词】杨辉三角, 二项式定理, 教学实践, 学习效果, 反思, 展望1. 引言1.1 引言杨辉三角和二项式定理是高中数学中重要且常见的概念，它们在代数学习中扮演着重要的角色。
杨辉三角最早起源于中国古代数学家杨辉的工作，它是一种数学图形，数字按照一定的规律排列在三角形中，具有一些特殊的性质和规律。
而二项式定理则是代数学中的一个重要定理，描述了如何展开一个形如(a+b)^n的表达式。
本文将探讨杨辉三角和二项式定理之间的联系，以及如何将杨辉三角融入到二项式定理的教学中。
我们将首先介绍杨辉三角的基本原理，然后简要回顾二项式定理的基本概念，接着深入探讨杨辉三角和二项式定理之间的联系。
在教学实践中，我们将分享一些具体操作和案例，探讨学生学习效果及教学过程中的反思。
通过本文的研究与实践，我们希望能够更好地理解和运用杨辉三角和二项式定理，帮助学生更好地掌握代数知识，提高他们的数学能力和解决问题的能力。
我们也将对教学实践中的一些挑战和改进方向进行探讨，以期能够进一步完善教学方法，提高教学质量和效果。
2. 正文2.1 杨辉三角的基本原理杨辉三角是中国古代数学的杰出成就之一，它由中国数学家杨辉在13世纪提出。
杨辉三角是一个由数字构成的三角形，每一行的数字是通过上一行相邻两个数字相加而得到的。
高中数学第3章排列组合与二项式定理3.3二项式定理与杨辉三角第2课时二项式系数的性质杨辉三角及二项式
数最大的项．
[跟踪训练3] 已知二项式12＋2xn 的展开式中前三项的二项式系数和
解
(2)证明：(C0n)2＋(Cn1)2＋…＋(Cnn)2＝
n！ n！n！ ；
[解] (2)证明：∵ n！nn！！＝Cn2n，
n！ ∴要证(Cn0)2＋(C1n)2＋…＋(Cnn)2＝ n！n！ ，
即证(Cn0)2＋(Cn1)2＋…＋(Cnn)2＝Cn2n.
构造等式(1＋x)n(1＋x)n＝(1＋x)2n，则 C2nn表示二项式(1＋x)2n 展开式中 xn 的系数．
[解] (3)从第二行到第五行，每一行数字组成的数(如第三行为 121)都 是上一行的数与 11 的积．
解
(4)由此你可以写出 115＝________； [解] (4)115＝161051.
解
(5)由第________行可写出 118＝________. [ 解 ] (5) ∵ 118 ＝ (10 ＋ 1)8 ＝ 108 ＋ 8×107×1 ＋ 28×106×12 ＋ 56×105×13 ＋ 70×104×14 ＋ 56×103×15 ＋28×102×16 ＋ 8×10×17 ＋ 18 ＝214358881， ∴由第 9 行可写出 118＝214358881.
又(1＋x)n(1＋x)n＝(C0n＋C1nx＋…＋Cnnxn)(C0n＋Cn1x＋…＋Cnnxn)，
解
得各项系数绝对值之和．
[跟踪训练1] 设(2－ 3x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列
杨辉三角的规律以及推导公式doc资料
杨辉三角的规律以及定理李博洋摘要杨辉三角中的一些规律关键词杨辉三角幂二项式引言杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。
在他所著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是世界的一大重要研究成果。
我们则来对“杨辉三角”的规律进行探讨和研究。
内容1二项式定理与杨辉三角杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。
由上式得出：(a+b)2＝a2+2ab+b2此代数式的系数为： 1 2 1则(a+b)3的展开式是什么呢？答案为：a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现，此代数式的系数为： 1 3 3 1 但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)4的展开式。
展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为：1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1 (110)1 1 (111)1 2 1 (112)1 3 3 1 (113)1 4 6 4 1 (114)1 5 10 10 5 1 (115)1 6 15 20 15 6 1 (116)因此可得出二项式定理的公式为：(a+b)n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+ C(n,n)a^0*b^n因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。
求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。
用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。
2杨辉三角的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：1 ( 1 )1 1 ( 1+1=2 )1 2 1 (1+2+1=4 )1 3 3 1 (1+3+3+1=8 )1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=32 )1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 )……相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系(1)1 (2) n=11 1 (3) n=21 2 1 (4) n=31 3 3 1 (5) n=41 4 6 4 1 (6) n=51 5 10 10 5 1 n=61 6 15 20 15 6 1把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。
杨辉三角形公式
杨辉三角形公式
杨辉三角的规律公式是：
1、第n 行数字和为2(n-1) （2 的(n-1) 次方）。
2、(a+b) n 的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1) 行中的每一项。
3、第n 行的第m个数和第n-m 个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m) 。
杨辉三角形,又称贾宪三角形、帕斯卡三角形,是二项式系数在三角形中的一种几何排列. 杨辉三角形同时对应于二项式定理的系数.
n次的二项式系数对应杨辉三角形的n + 1行.
例如在中,2次的二项式正好对应杨辉三角形第3行系数1 2 1.
杨辉三角以正整数构成,数字左右对称,每行由1开始逐渐变大,然后变小,回到1.
第n行的数字个数为n个.
第n行的第k个数字为组合数.
第n行数字和为2n −1.
除每行最左侧与最右侧的数字以外,每个数字等于它的左上方与右上方两个数字之和（也就是说,第n行第k个数字等于第n - 1行的第k −1个数字与第k个数字的和）.这是因为有组合恒等式：.可用此性质写出整个杨辉三角形.。
“杨辉三角”与二次项系数的性质
杨辉三角的性质与特点
杨辉三角每一行的数字和等于2的n次方减1，其 中n为行数。
杨辉三角中的数字有一定的规律，例如对称性、增减 性等。
杨辉三角每一行的数字个数等于上一行的数字 个数加1。
杨辉三角中的每个数字都是二项式系数，可以表 示为C(n, k)，其中n为行数，k为该数字所在的列 数。
02 二次项系数简介
02
在欧洲，杨辉三角类似成果的 发现者是法国数学家帕斯卡， 大约在1650年前后。
03
杨辉三角的完善和推广对后世 数学的发展产生了深远的影响 ，特别是在组合数学和二项式 系数的研究方面。
杨辉三角的定义与结构
杨辉三角是一个数字三角形，其结构如下 第二行有两个数1和1。
第一行只有一个数1。
第三行开始，每个数等于它正上方的数与左上方的数之 和。
式系数的性质进行证明和推导。
杨辉三角与二次项系数在数学中的共同应用
杨辉三角和二次项系数在数 学中有广泛的应用，特别是 在组合数学、概率论和统计
学等领域。
在解决一些数学问题时，利 用杨辉三角和二次项系数的 性质可以简化计算过程，提
高解题效率。
杨辉三角和二次项系数的性 质在数学中具有普遍性和通 用性，对于理解数学概念和 解决数学问题具有重要意义 。
中 n 是多项式的次数。
二次项系数还具有递推性， 即 a(n+1)=b*n+c*n-1 和
c(n+1)=b*n+a*n-1。
二次项系数还具有组合数性质， 即 C(n,k)=C(n,k-1)+C(n-1,k1)，其中 C(n,k) 表示从 n 个 不同项中选取 k 个的组合数。
二次项系数在数学中的应用
组合数学的基础
杨辉三角与二项式定理
一 五 十 十 五一
一 六 十五 二十 十五 六 一
二、杨辉简介:
杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学 教育家．著作甚多，著有《详解九章算法》十二卷 （1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三 卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二
卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日 本等国均有译本出版，流传世界。
四、总结
1、杨辉三角蕴含的基本性质 2、杨辉三角蕴含的数字排列规律
3、利用杨辉三角进行简单的应用
探究２：研究斜行规律：
第一条斜线上：
1+1+1+1+1+1= 6 C61 第二条斜线上： 1+2+3+4+5= 15 C62 第三条斜线上：1+3+6+10=
20 C63
第四条斜线上：1+4+10= 15 C64
设 (2x 1)5 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5，求 (2) | a0 | | a1 | | a 2| | a3 | | a4 | | a5 |;
解：设 f (x) (2x -1)5 a0 a1x a5x5, 则 f (1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 15 1
f (-1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 (3)5 243
(2) | a0 | | a1 | | a2 | | a5 | a0 a1 a2 a3 a4 a5
f (1) 243
设 (2x 1)5 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5，求 (3) a1 a3 a5;
都为1 的是第一行，第二次全行的数都为1 的是第3
行，……第n次全行的数都为1 的是第 2n－1 行
杨辉三角和概率
杨辉三角和概率一、杨辉三角及其性质 杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。
1·每行端点与结尾的数为1.2·每个数等于它上方两数之和。
3·每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。
4·第n 行的数字有n 项。
5·第n 行数字和为12-n 。
6·第n 行的m 个数可表示为11--m n C ，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。
第n 行的第m 个数和第n-m+1个数相等 ，为组合数性质之一。
7·每个数字等于上一行的左右两个数字之和。
可用此性质写出整个杨辉三角。
即第n+1行的第i 个数等于第n 行的第i-1个数和第i 个数之和，这也是组合数的性质之一。
即 11-++=i n i n i n C C C 。
8·nb a )(+的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。
9·将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n 行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。
10·将各行数字相排列，可得11的n-1（n 为行数）次方：1=011; 11=111; 121=211…当n>5时会不符合这一条性质，此时应把第n 行的最右面的数字"1"放在个位，然后把左面的一个数字的个位对齐到十位... ...，以此类推，把空位用“0”补齐，然后把所有的数加起来，得到的数正好是11的n-1次方。
杨辉三角的规律以及推导公式杨辉三角规律
杨辉三角的规律以及推导公式杨辉三角规律下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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杨辉三角的性质法则
杨辉三角的性质法则杨辉三角，又称帕斯卡三角，是由数学家杨辉于公元三世纪所创造的一种数学图形。
它以一种规律排列的数字构成，具有独特的性质和法则。
本文将详细介绍杨辉三角的性质和法则，以及它们在数学中的应用。
1. 杨辉三角的构造方式杨辉三角的构造方式非常简单，首先将数字1写在第一行，然后将第一行的数字复制到第二行的两边，并在两个相邻的数字之间写下它们的和。
如此继续下去，每一行的数字都是上一行两个相邻数字的和。
以下是杨辉三角的前几行：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 12. 杨辉三角的性质杨辉三角有许多有趣的性质，以下是其中几个重要的性质：2.1 任意一行的数字相加，结果等于2的n次方，其中n为行数。
例如，第四行的数字相加等于2^4=16。
2.2 杨辉三角对称。
三角形的左右两侧是对称的，每行的第一个数字和最后一个数字也是对称的。
这种对称性在数学推导和证明中起到了重要的作用。
2.3 杨辉三角中的每个数字，等于它上方两个数字之和。
例如，第三行的中间数字2，等于上方的1和1之和。
2.4 除了第一行的数字外，每个数字等于它上方一行两个相邻数字之和。
这个性质可以用组合数学的观点来解释，即每个数字表示了在组合中选择指定数量的元素的方法数。
3. 杨辉三角的应用杨辉三角在数学中有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：3.1 组合数学杨辉三角中的每个数字都可以表示为组合数，即从指定数量的元素中选择特定数量的元素的方法数。
这在排列组合问题、概率论和统计学等领域中具有重要意义。
3.2 二项式定理杨辉三角中的每一行都对应二项式展开的系数。
根据二项式定理，可以将任意幂次的多项式展开为二项式的和，其中杨辉三角的每一行都是这个和式中的系数。
3.3 概率分布通过杨辉三角，可以计算得出二项式分布、泊松分布等概率分布的概率值。
这对于研究随机事件的概率分布和概率密度函数等具有重要的参考价值。
4. 总结杨辉三角是一个有趣而且实用的数学工具，它具有丰富的性质和应用。
《杨辉三角与二项式定理》精品PPT课件
6 1 6 15 20 15 6 1
对称性
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
议一议
1）请看系数有没有明显的规律？
2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
二项式系数的性质 ②增减性与最大值
由于：
C
k n
n(n
1)(n 2)(n k (k 1)!
k
1)
Ck 1 n
n
k k
1
所以C
k n
相对于CLeabharlann k n1的增减情况由n
k k
1
决定
二项式系数的性质
②增减性与最大值
由：n k 1 1 k n 1
k
2
可知，当k n 1 时，
2
二项式系数前半部分是逐渐增大的，由
,
C1n
,
Cn2
,,
C
n n
从函数角度看，C
r n
可看
成是以r为自变量的函数f (r) ,
其定义域是：0,1,2,, n
当 n 6 时，其图象是右
图中的7个孤立点．
二项式系数的性质
①对称性
与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式
Cmn Cnnm 得到．
图象的对称轴：r n 2
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
二项式定理与杨辉三角
知识对接测查1 1、在(a＋b)６展开式中，与倒数第三项二 项式系数相等是( B )
A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项
2、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项 式系数与第七项的二项式系数相等， 8 则n=__________
2 6 析: C n Cn n 2 6 8
[( x 1) 1]
4
x
4
研究性课题：
杨辉三角
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
n 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1
(a+b)n展开式的二项式系数
1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15
1 4 10 20
1 5 15
1 6
1
对称性
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
杨 辉 三 角
第 0行 1 第 1行 1 1 第 2行 1 2 1 6=3+3 4=1+3 第 3行 1 3 3 1 10=6+4 10=6+4 第 4行 1 4 1 4 6 20=10+10 15=5+10 第 5行 1 5 10 10 5 1 第 6行 1 6 15 20 15 6 1
…… …… 2 r n 2 r 1 1 … C n 1 C n 1 … C n 1 第n-1行 1 C n 1 C n 1 r n 1 2 1 … … C C 第 n行 1 C n C n n n …… … …
n 0 n n k n 1 n 1 n n k k
b C b (n N )
n n n *
杨辉三角的规律以及推导公式
杨辉三角的规律以及推导公式文件编码（GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968）杨辉三角的规律以及定理1二项式定理与杨辉三角与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即。
杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。
由上式得出：(a+b)2＝a2+2ab+b2此代数式的系数为：121则(a+b)3的展开式是什么呢？答案为：a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现，此代数式的系数为：1331但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)4的展开式。
展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为：14641似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1(110)11(111)121(112)1331(113)14641(114)15101051(115)1615201561(116)杨辉三角形的系数分别为：1,（1,1）,（1,2,1）,（1,3,3,1）,（1,4,6,4,1）（1,5,10,10,5,1）,（1,6,15,20,15,6,1）,（1,7,21,35,35,21,7,1）所以：(a+b)7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7。
由上式可以看出，(a+b)n等于a的次数依次下降n、n-1、n-2…n-n，b的次数依次上升，0、1、2…n次方。
系数是杨辉三角里的系数。
2杨辉三角的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：1(1)11(1+1=2)121(1+2+1=4)1331(1+3+3+1=8)14641(1+4+6+4+1=16)15101051(1+5+10+10+5+1=32)1615201561(1+6+15+20+15+6+1=64)……相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…n 次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂3杨辉三角中斜行和水平行之间的关系(1)1(2)n=111(3)n=2121(4)n=31331(5)n=414641(6)n=515101051n=61615201561把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。
2021_2022学年新教材高中数学第3章排列组合与二项式定理3.3第2课时二项式系数的性质杨辉三角
是( )
A．第 8 项
B．第 7 项
C．第 9 项
D．第 10 项
C [由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数
相等．]
3．(对接教材 P32 尝试与发现)观察图中的数所成的规律， 则 a 所表示的数是________．
1 121 1331 14a41 1 5 10 10 5 1
6 [由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以 4＋a＝10， 得 a＝6．]
[跟进训练] 3．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行 中从左至右的第 14 个数与第 15 个数的比为 2∶3．
34 [由题意设第 n 行的第 14 个数与第 15 个数的比为 2∶3，它 等于二项展开式的第 14 项和第 15 项的二项式系数的比，所以 C1n3∶Cn14 ＝2∶3，即n－1413＝23，解得 n＝34，所以在第 34 行中，从左至右第 14 个数与第 15 个数的比是 2∶3．]
＋…＋C66×0.0026．
第 三 项 T3 ＝ 15×0.0022 ＝ 0.000 06<0.001 ， 以 后 各 项 更 小 ， 所 以
0.9986≈1－0.012＝0.988．
2．你能用二项式定理证明1＋1nn＞2，(n∈N＋，且n≥2)吗？
[提示] ∵1＋1nn＝1＋C1n1n＋C2n1n2＋…＋Cnn1nn＝2＋Cn22n＋…＋n1n， 又 n≥2 且 n∈N＋，∴Cn22n＋Cn33n＋…＋n1n＞0． ∴1＋1nn＞2(n∈N＋，且 n≥2)．
3 n 3 x 的展开式中，各项系数的和与各二项式
系数的和的比值为 64，则 n 等于( )
A．4
B．5
C．6
D．7
杨辉三角和概率
杨辉三角和概率杨辉三角和概率一、杨辉三角及其性质杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。
1·每行端点与结尾的数为1.2·每个数等于它上方两数之和。
3·每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。
4·第n 行的数字有n 项。
5·第n 行数字和为12-n 。
6·第n 行的m 个数可表示为11--m n C ，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。
第n 行的第m 个数和第n-m+1个数相等，为组合数性质之一。
7·每个数字等于上一行的左右两个数字之和。
可用此性质写出整个杨辉三角。
即第n+1行的第i 个数等于第n 行的第i-1个数和第i 个数之和，这也是组合数的性质之一。
即 11-++=i n i n i n C C C 。
8·n b a )(+的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。
9·将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n 行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。
10·将各行数字相排列，可得11的n-1（n 为行数）次方：1=011; 11=111; 121=211…当n>5时会不符合这一条性质，此时应把第n 行的最右面的数字"1"放在个位，然后把左面的一个数字的个位对齐到十位... ...，以此类推，把空位用“0”补齐，然后把所有的数加起来，得到的数正好是11的n-1次方。
杨辉三角和概率
杨辉三角和概率一、杨辉三角及其性质 杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。
1·每行端点与结尾的数为1.2·每个数等于它上方两数之和。
3·每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。
4·第n 行的数字有n 项。
5·第n 行数字和为12-n 。
6·第n 行的m 个数可表示为11--m n C ，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。
第n 行的第m 个数和第n-m+1个数相等 ，为组合数性质之一。
7·每个数字等于上一行的左右两个数字之和。
可用此性质写出整个杨辉三角。
即第n+1行的第i 个数等于第n 行的第i-1个数和第i 个数之和，这也是组合数的性质之一。
即 11-++=i n i n i n C C C 。
8·nb a )(+的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。
9·将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n 行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。
10·将各行数字相排列，可得11的n-1（n 为行数）次方：1=011; 11=111; 121=211…当n>5时会不符合这一条性质，此时应把第n 行的最右面的数字"1"放在个位，然后把左面的一个数字的个位对齐到十位... ...，以此类推，把空位用“0”补齐，然后把所有的数加起来，得到的数正好是11的n-1次方。
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概率
2.1离散型随机变量及其分布列
一、离散型随机变量 在射击比赛中，选手击中靶上的圆形或环形区域内得分，得分值由靶心往外依次可记为：10环，9环，8环，…，1环，0环。
那么射击选手射击一次，可以出现的结果为：10环，9环，8环，…，1环，0环。
例如抛一枚硬币，所有可能的结果是：“正面向上”，“反面向上”。
1、 随机变量：在这些试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是
随着试验的结果的不同而变化的，我们把变量X 叫做一个随机变量。
随机变量常用大写字母X,Y …表示。
例如：设某射击选手每次射击所得的环数是X ，那么X 是一个随机变量。
X 的取值范围是{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}。
例：100件产品中，含有5件次品，从中取出4件，那么可能出现的“次品件数”。
设X 是一个随机变量，X={ }。
练习1：写出下列各离散型随机变量可能取的值：
（1）从10张已编号的卡片（1—10号）中任取一张，被取出的卡片的号数； （2）抛掷一个骰子得到的点数；
（3）一个袋子里装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；
练习2：把一枚硬币先后抛掷两次，如果出现两个正面得5分，出现两个反面得-3分，其他结果得0分，列表写出可能出现的结果与对应的分值。
2、离散型随机变量：如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量。
二、离散型随机变量的分布列
1、 离散型随机变量X 的概率分布（或离散型随机变量X 的分布列）
概率分布表需要列出： （1） X 所有可能的值；
（2） X 取每一个值的概率。
如下表：
X x1 x2 … xi … xn P
p1
p2
…
pi
…
pn
2、 离散型随机变量的分布列有下面两条性质：
（1） p i ≥0，i=1,2,3…. ，n ； （2） p 1+p 2+…+p n =1.
3、 两点分布：如果随机变量X 的分布列为 其中0<p<1,p+q=1，则称离散型随机变量X 服从参数
为p 的两点分布。
X 1 0 P
p
q
例1 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次的得分的分布列。
三、超几何分布
某校组织一次认识大自然夏令营活动，有10名同学参加，其中有6名男生、4名女生，为了活动的需要，要从这10名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本，那么其中恰有1名女生的概率有多大？采集标本的同学都是女生的概率有多大呢？
超几何分布：设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为
()(0,n )m n m M N M
n
N
C C P X m m l l M C --==≤≤为和中较小的一个
例1 在一个口袋中装30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同。
游戏者一次从中摸出5个球，摸到且只能摸到4个红球就中一等奖。
那么获一等奖的概率有多大？
例2 盒中有16个白球和4个黑球，从中任意取出3个，设X 表示其中黑球的个数，求出X 的分布列。
练习：一批产品共100件，次品率为4%，从中任意抽取10件检查，求抽得的次品数的分布列。
2.2条件概率与事件的独立性
一、条件概率
1、条件概率的定义：事件B 在“事件A 已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的。
对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率。
用符号“()
P B A ”来表示。
2、条件概率的公式
()=
,0
P B P B A P P ⋂>（A ）
（A ）（A ）
例1 甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问： （1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？ （2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？
例2 设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是多少？
例3 一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是多少？
二、事件的独立性
问题：在大小均匀的5个鸡蛋中有3个红皮蛋，2个白皮蛋，每次取一个，有放回地取两次，求在已知第一次取到红皮蛋的条件下，第二次取到红皮蛋的概率。
1、 相互独立事件：事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，即
()=()
P B A P B ，这
时，我们称两个事件A 、B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件。
2、 相互独立事件的性质：两个相互独立事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
即()=P(A)()P A B P B ⋂
同理，如果事件A1，A2，…，An 相互独立，那么这n 个事件都发生的概率，等于每个
事件发生的概率的积， 即
1212()=P(A )()()n n P A A A P A P A ⋂⋂⋂⨯⨯⨯
例1 甲乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是0.6，计算 （1） 两人都投中的概率
（2） 其中恰有一人投中的概率 （3） 至少有一人投中的概率。