数字信号处理(第三版)课后答案及学习指导(高西全_丁玉美)第二章

Y (e j ) 1 H (e j ) X (e j ) 2π
这是频域卷积定理或者称复卷积定理。
（6）
xe
(n)
1 2
[x(n)
x
(n)]
xo (n)
1 [x(n) 2
x (n)]
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
式中, xe(n)和xo(n)是序列x(n)的共轭对称序列和共轭反对称序
列， 常用以求序列的xe(n)和xo(n)。
（9） 若x(n)=a|n|, 则
X
(z)
(1
1 a2 az)(1
az 1 )
a z a 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x(n)=a|n|是数字信号处理中很典型的双边序列， 一 些测试题都是用它演变出来的。
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
2.2 FT和ZT
（1） FT的逆变换为
x(n) 1 π X (e j )e jnd 2π －π
用留数定理求其逆变换， 或者将z=ejω代入X(ejω)中， 得到X(z)函数， 再用求逆Z变换的方法求原序列。 注意收 敛域要取能包含单位圆的收敛域， 或者说封闭曲线c可取 单位圆。
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
例如， 已知序列x(n)的傅里叶变换为
X
(e
j
)
1
1 ae
j
a 1
1 求其反变换x(n)。 将z=ejω代入X(ejω)中， 得到 X (z) 1 az 1
N k
N
该式用以求周期序列的傅里叶变换。 如果周期序列 的周期是N， 则其频谱由N条谱线组成， 注意画图时要 用带箭头的线段表示。
（4） 若y(n)=x(n)*h(n), 则
Y (e j ) X (e j )H (e j )
这是时域卷积定理。
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
（5） 若y(n)=x(n)h(n), 则
三种变换互有联系， 但又不同。 表征一个信号和系统 的频域特性是用傅里叶变换。 Z变换是傅里叶变换的一种推 广， 单位圆上的Z变换就是傅里叶变换。
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
在z域进行分析问题会感到既灵活又方便。 离散傅里叶 变换是离散化的傅里叶变换， 因此用计算机分析和处理信 号时， 全用离散傅里叶变换进行。 离散傅里叶变换具有快 速算法FFT， 使离散傅里叶变换在应用中更加方便与广泛。 但是离散傅里叶变换不同于傅里叶变换和Z变换， 它将信号 的时域和频域， 都进行了离散化， 这是它的优点。 但更 有它自己的特点， 只有掌握了这些特点， 才能合理正确地 使用DFT。 本章只学习前两种变换， 离散傅里叶变换及其 FFT将在下一章学习。
（2）
X~ (k )
DFS[~x (n)]
N
1
~x (n)e
j
2π N
k
n
n0
k
~x (n) IDFS[ X~(k)] 1
X~
(k
)e
j
2π N
kn
N k
n
这两式是周期序列的离散傅里叶级数变换对， 可用以 表现周期序列的频谱特性。
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
（3）
X (e j ) FT[~x (n)] 2π X~(k)δ( 2π k)
（7）
X (z) x(n)z n n
x(n) 1 X (z)zn1dz 2πj c
c (Rx , Rx )
这两式分别是序列Z变换的正变换定义和它的逆Z变 换定义。
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
（8）
x(n) 2 1
X (e j ) 2d
n
2π 2
x(n) y(n) 1
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
2.1.2 重要公式
（1）
X (e j ) x(n)e jn n
x(n) 1 π X (ej )ejnd
2 －π
这两式分别是傅里叶变换的正变换和逆变换的公式。 注意正变换存在的条件是序列服从绝对可和的条件， 即
x(n)
n
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
2.1.1
（1） 傅里叶变换的正变换和逆变换定义， 以及存在 条件。
（2）傅里叶变换的性质和定理： 傅里叶变换的周期性、 移位与频移性质、 时域卷积定理、 巴塞伐尔定理、 频域 卷积定理、 频域微分性质、 实序列和一般序列的傅里叶变 换的共轭对称性。
（3）周期序列的离散傅里叶级数及周期序列的傅里叶 变换表示式
n
2π
c
X
(v)Y
(
1 v
)
dv v
max[Rx ,
1 Ry
]
v
min[Rx ,
1 Ry
]
Rx Ry 1 Rx Ry
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
前两式均称为巴塞伐尔定理， 第一式是用序列的傅 里叶变换表示， 第二式是用序列的Z变换表示。 如果令 x(n)=y(n)， 可用第二式推导出第一式。
（4）Z变换的正变换和逆变换定义， 以及收敛域与序 列特性之间的关系。
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
（5） Z变换的定理和性质： 移位、 反转、 z域微分、 共轭序列的Z变换、 时域卷积定理、 初 值定理、 终值定理、 巴塞伐尔定理。
（6） 系统的传输函数和系统函数的求解。 （7） 用极点分布判断系统的因果性和稳定性。 （8） 零状态响应、 零输入响应和稳态响应的求解。 （9） 用零极点分布定性分析并画出系统的幅频特性。
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.1 学习要点与重要公式 2.2 FT和ZT的逆变换 2.3 分析信号和系统的频率特性 2.4 例题 2.5 习题与上机题解答
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
2.1
数字信号处理中有三个重要的数学变换工具， 即傅里 叶变换（FT）、 Z变换（ZT）和离散傅里叶变换（DFT）。 利用它们可以将信号和系统在时域空间和频域空间相互转换， 这大大方便了对信号和系统的分析和处理。
因极点z=a， 取收敛域为|z|>|a|， 由X(z)很容易得到x(n)=anu(n)。
（2） ZT的逆变换为
x(n) 1 X (z)zn1dz 2πj c
c (Rx , Rx )
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
求Z变换可以用部分分式法和围线积分法求解。 用围线积分法求逆Z变换有两个关键。 一个关键是知道 收敛域以及收敛域和序列特性之间的关系， 可以总结成几句 话： ① 收敛域包含∞点， 序列是因果序列； ② 收敛域在某 圆以内， 是左序列； ③ 收敛域在某圆以外， 是右序列； ④ 收敛域在整个z面， 是有限长序列； ⑤ 以上②、 ③、 ④均未 考虑0与∞两点， 这两点可以结合问题具体考虑。另一个关键 是会求极点留数。