弹簧振子周期公式的研究

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备课笔记附后：

实验二 弹簧振子周期公式的研究

【实验目的】

1. 学习建立实验公式的实验方法，找出弹簧振子的周期公式。

2. 通过公式简化、曲线直化和数据处理，练习作图和图解。

【实验原理】

已知弹簧振子的振动周期T 与倔强系数K 、振子质量m 相关，为了找出T 、K 、m 三者之间的关系，从量纲分析，可以假设满足下式

β

α

m AK T = （1） 式中α、β和A 均为待定常数。如果能通过实验测量和数据处理找到α、β和A 的具体数值，那么（1）式就被具体地确定了。如果找不出α、β和A 的数值，则说明（1）式的假设是错误的，还需要对T 、K 、m 三者的函数关系做新的假设。

为了简化，先使倔强系数K 或振子质量m 保持不变进行实验。例如先使振子质量m 保持不变，则（1）式可写成

常数===βαAm C K C T 11 （2） 这样，对应于不同的倔强系数K 的弹簧，就有不同的振动周期T ，可以测定一组T ～K 的对应值。

再使倔强系数K 保持不变（用同一个弹簧），则（1）式又可写成

22常数===αβAK C m C T （3） 这样，对于不同的振子质量m ，又有不同的振动周期T ，可以测定一组T ～m 的对应值。 从（2）式和（3）式可见，只要α、β不等于1，则T ～K 和T ～m 间的关系就不是直线关系。为了便于图解，可将（2）式和（3）式取对数，将曲线直化、得到

K C T lg lg lg 1α+= （4） m C T lg lg lg 2β+= （5）

式中常数α、β可以从图线的斜率求出，1C 、2C 可从图线的截距求得。然后将得到的1C 、

2C 值和α、β值，分别代入（2）式或（3）式而确定A 值。当α、β和A 值确定之后，

则所求的周期公式就被具体地确定了。

为了完成以上实验，需要先对各弹簧的倔强系数K 进行测定。

【实验内容】

1. 因六个砝码的误差较大，实验前应先作出校测，记录数据。

2. 弹簧倔强系数K 的测定 用一次增荷法（取31050-⨯=∆ m 公斤）测定K 值。计算公式为

x

F

K ∆∆=

五个弹簧各测一次，记录数据。

3. 振子质量m 一定（统一用3号砝码），测定一组T ～K 的对应值。

4. 倔强系数K 一定（统一用3号弹簧），测定一组T ～m 的对应值

5. 将K T lg ~lg 和m T lg ~lg 两组数据作图，从图求出α、β和A 值（从（2）式和（3）式可以得到两个A 值，求其平均值）。

【主要实验数据】

表0 实验仪器型号及主要技术参数记录

表1：对六个砝码质量的校测

表2：弹簧增荷kg 10 49.61 3

-⨯=∆m

3-

作出T lg ～K lg 图。

-1作出T lg ～m lg 图。

从T lg ～K lg 图求出 1lg C = 0.1419

1C = 1.386 α= - 0.4203

从T lg ～m lg 图求出 2lg C = 0.425 2C = 2.661 β=0.4762

由公式及相应数据解出两个A 值，

292.52619

.0386

.1)06.0(386.14762.011====

βm C A 368.54957

.0661

.2311.5661.24203.022====

-αK C A 平均值=A 5.33

因此得到弹簧振子的周期公式为

=T （5.33）K -0.42

m 0.48

和公式 K

m T π

2= 相比较，A 、α和β的相对误差分别为

% 4 % 16 % 15 ===βαE E E A

误差分析:

主要误差来自弹簧振子没有真正竖直振动，导致读数有偏差。

注意事项:

1. 测定弹簧倔强系数K时，先要在弹簧下端加20克砝码的荷重，使弹簧“拉开”，把这时弹簧的长度作为初长。这样处理，可以减小实验误差。

2. 在测量弹簧的振动周期T时，先倒着数5、4、3、2、1、0，当数到“0”时开始计时，然后再正着数到50为止。

3. 测量弹簧的振动周期时，振动的振幅不宜过大，避免弹簧横向摆动，便于测准振动周期。

4. 因实验用的弹簧很“软”，其最大负荷量约100克，实验时加到70克砝码已接近最大负荷量，决不能在这些弹簧下挂更重的东西，以免损坏。

5. 为防止砝码和弹簧丢失，实验结束后将砝码和弹簧整理在盒子里。