“弹簧振子”模型

“弹簧振子”模型 太原市第十二中学 姚维明

模型建构：

【模型】常见弹簧振子及其类型问题

在简谐运动中，我们对弹簧振子（如图1，简称模型甲）比较熟悉。在学习过程中，我们经常会遇到与此相类似的一个模型（如图2，简称模型乙）。认真比较两种模型的区别和联系，对于培养我们的思维品质，提高我们的解题能力有一定的意义。

【特点】①弹簧振子做简谐运动时，回复力F=-kx ，“回复力”为振子运动方向上的合力。加速度为m

kx a -= ②简谐运动具有对称性，即以平衡位置（a=0）为圆心，两侧对称点回复力、加速度、位移都是对称的。这是解题的关键。

模型典案：

【典案1】把一个小球挂在一个竖直的弹簧上，如图2。当它平衡后再用力向下拉伸一小段距离后轻轻放手，使小球上下振动。试证明小球的振动是简谐振动。

〖证明〗设弹簧劲度系数为k ，不受拉力时的长度为l 0，小球质量为m ，当挂上小球平衡时，弹簧的伸长量为x 0。由题意得mg=kx 0

容易判断，由重力和弹力的合力作为振动的回复力

假设在振动过程中的某一瞬间，小球在平衡位置下方，离开平衡位置O 的距离为x,取向下的方向为正方向

则回复力F=mg+[-k(x 0+x)]=mg-kx 0-kx= -kx

根据简谐运动定义，得证

比较：

（1）两种模型中，弹簧振子都是作简谐运动。这是它们的相同之处。

(2）模型甲中，由弹簧的弹力提供回复力。因此，位移(x)，回复力(F)，速度(v)，加速度(a)，各量大小是关于平衡位置O 点对称的。

(3)模型乙中，由弹簧的弹力和重力两者的合力提供回复力。弹簧的弹力大小关于平衡位置是不对称．．．的，这点要特别注意。但是，回复力（加速度）大小关于平衡位置是对称．．的。在解题时我们经常用到这点。

【典案2】如图3所示，质量为m 的物块放在弹簧上，

弹簧在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A 时，物体对弹

簧的最大压力是物重的1.8倍，则物体对弹簧的最小压力是

物重的多少倍？欲使物体在弹簧振动中不离开弹簧，其振幅

最大为多少？

〖解析〗1)选物体为研究对象，画出其振动过程的几个

特殊点，如图4所示，

O 为平衡位置，P 为最高点，Q 为最低点。

图2 m 图3

F min a P mg P 点 图1

m

经判断,可知物体对弹簧的最大压力在Q 处,F max =1.8mg.

a Q =(F max -mg)/m=(1.8mg-mg)/m=0.8g

物体对弹簧的最小压力时，在P 处,根据对称性知a P =a Q ·

a Q =(mg- F min )/m

F min /mg=0.2

(2)欲使物体在振动过程不离开弹簧，

只需在最高点（P 点）满足N≠0即可。

其离开弹簧的临界条件为N=0。

此时，a p ′=g 。

设振幅最大值为A′，劲度系数为k ，

则有kA=ma p kA′=ma p ′

联列两式得 A′=1.25A

模型体验：

【体验1】如图5所示，一升降机在箱底装有若干个弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在下端接触地后直到最低点的一段运动过程（ ）

A.升降机的速度不断减小

B.升降机的加速度不断变大

C.先是弹力做的负功小于重力做的正功,然

后是弹力做的负功大于重力做的正功

D.到最低点时,升降机加速度的值

一定大于重力加速度的值.

〖解析〗本题实质上是模型乙的变形。升降

机吊索断裂后先做自由落体运动，当弹簧与地面

接触后,容易判断,v 先增大后减小,a 先减小后增大，则AB 错。根据动能定理容易判断C 正确。难度较大的是D 选项。我们可以把升降机简化为如图6所示的弹簧振子,弹簧刚触地时升降机位置在A 处，升降机向下运动到最低点位置为B 处,速度最大位置为O 处（即简谐运动的平衡位置），则B 为位移等于振幅位置。由振子的对称关系,不难判断点A 并非位移等于振幅位置, 与A 点关于O 点对称的点应在B 点上方。在A 点a=g 方向向下，所以在B 处a 一定大于g ，方向向上。

【体验2】如图7所示，两木块质量分别为m ﹑M ，用劲度系数为k 的轻弹簧连在一起，放在水平地面上，将木块m 压下一段距离后释放，它就上下作简谐运动。在运动过程中木块M 刚好始终不离开地面（即它对地面最小压力为零）。

（1）则木块m 的最大加速度大小是多少？

（2）木块M 对地面最大压力是多少？

〖解析〗（1）在m 运动过程中，弹簧对m ﹑M 施加的弹

力的方向可以向上也可以向下。 选M 为研究对象，刚好始终不离开地面

即F Nmin =0

由平衡条件F +F N =Mg,可知F max =Mg

此时，弹簧处于伸长状态，m 具有向下的加速度（失重）

要使木块m 的加速度最大，应该使弹力F 最大

a m =(F max +mg)/m=(M+m)g/m

（2）要使木块M 对地面的压力最大，此时弹簧对M 的弹力方向应向下。(此时，弹簧处于压缩状态) A A

B O 图5 图6 a A =g a B ﹥g a O =0

选M为研究对象，对其受力分析

F N′= F′+ Mg

要使F N′最大，则F′最大

这里要注意，'

m ax

F≠F Nmax = Mg

根据木块m做简谐运动的特点，

（1）（2）两种情况，加速度大小

相等。

对m, 有'

m ax

F－mg = ma m

'

m ax

F=mg+ma m（3）

a m= (M+m)g/m

联列三式，得F/Nmax=Mg+F′=2(M+m)g

根据牛顿第三定律F N﹡=-F/Nmax = 2(M+m)g

【体验3】如图9所示，质量为3m的框架，放在一水平台秤

上，一轻质弹簧上端固定在框架上，下端拴一质量为m的金属小

球，小球上下振动，当小球振动到最低点时，台秤的示数为5mg，

求小球运动到最高点时，台秤的示数为_____________，小球的瞬

时加速度的大小为_____________。

〖解析〗当小球运动到最低点时，台秤示数为5mg，即框架

和小球这一整体对台秤压力的大小为5mg

由牛顿第三定律知，台秤对这一整体的支持力也为5mg

由牛顿第二定律可知小球在该时刻有向上的加速度，设该时刻小球加速度大小为a，此时框架的加速度大小为0

则对框架与小球这一整体应用牛顿第二定律得

()0

3

4⨯

+

⨯

=

-

=

+

-m

a

m

mg

F

g

m

M

F

N

N

解得：a g

=

由弹簧振子的典型特征1知识，小球运动到最高点，即最低点的对称点时，小球加速度的大小也为g，方向竖直向下，所以该时弹簧处于原长，台秤的示数为框架的质量3mg。

*【体验4】如图10所示，在光滑的水平面上，有滑块A和B，A和B的质量均为10g，现有一轻质弹簧固定在两滑块右方的墙壁上，弹簧的劲度系数为k N m

=2/。开始时两滑块均静止，现给A滑块一冲量，使其以10m/s的速度向右滑行，并与B相碰后，与B粘在一起，碰撞时间很短。求弹簧与墙有作用力的时间。

【解析】滑块A向右与滑块B相碰粘合一起，由动量

守恒知，两者以5m/s的速度向右运动，A、B两滑块整体做

简谐运动

弹簧作用时间即弹簧与墙存在作用力的时间

两滑块整体与弹簧相互作用时，两者组成了一个弹簧振子，两滑块整体与弹簧的作用时

间t为弹簧振子周期T的一半，即t

T

=

2

图9

图10