幂函数

α
3
α
∴27 = 3 ,即 = 3 3 ∴ α = 3 3 ∴ f (x) = x 3 3 Q f (x)的 义 为 ， f (−x) = (−x) = −x 定 域 R
∴ f (−x) = − f (x)
α
∴ f (x)是 函 奇 数
二、五个常用幂函数的图像和性质
y = x (2) y = x 2 (3) y = x 3 (1)
练习(4) 练习
1） ）
1.3
0.5
＜ 1.5
0.5
5.1 ＜ 5.09−2 2） ）
3） ） 4） ） 0.5
1 4
−2
＞ 0.4 ＞
1 4
0.7
2 − 3
0.8
2 − 3
理论
归纳： 归纳：幂函数 y=xa 在第一象限的图象特征 y a>1 a=1 0<a<1 1 a<0 0 x
指数大于1,在第一象限为 指数大于1,在第一象限为 1, 抛物线型（ 抛物线型（凹）； 指数等于1, 1,在第一象限为 指数等于1,在第一象限为 上升的射线； 上升的射线； 指数大于0小于1, 1,在第一象 指数大于0小于1,在第一象 限为抛物线型（ 限为抛物线型（凸）； 指数等于0, 0,在第一象限为 指数等于0,在第一象限为 水平的射线； 水平的射线； 指数小于0, 0,在第一象限为 指数小于0,在第一象限为 双曲线型； 双曲线型；
2
4
y=x
3
3
(2,4)
y=x
2
y=x
(1,1)
2 4 6
1 2
(-1,1)
1
y=x
-4
−1
-2
(-1,-1)
-1
-2
-3
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2
y=x-1
4 6
-1
(-1,-1)
-2
幂函数的图象都通过点(1,1) 幂函数的图象都通过点(1,1) 为奇数时,幂函数为奇函数, α为奇数时,幂函数为奇函数, 为偶数时,幂函数为偶函数. α为偶数时,幂函数为偶函数.
3
1 2
x y=x3 y=x1/2
… … …
-2 -8 /
-1 -1 /
y 8 6 4 2
0 0 0
1 1 1 y=x3
2 8
2
3 27
4 … 64 …
3
2 …
y=x
1 2 3 4 x
1 2
-3
-2
-1
0 -2 -4 -6 -8
函数 y = x 的图像
3
定义域： 定义域： 值 域：
R R
奇偶性： 奇偶性： 在R上是奇函数 单调性： 单调性：在R上是增函数
指数函数） （指数函数）
x
y=x
1 2
（幂函数） 幂函数）
y=x
−1
y =5
5
x
幂函数） （幂函数）
（指数函数） 指数函数）
y =3
−x
y= x
（幂函数） 幂函数）
指数函数） （指数函数）
例1 :已知f ( x) = m + m − 1 x
2
(
)
2 m +3
是幂函数，
求m的值。
解 : 因为f ( x)是幂函数
α
∴所 的 函 为 = x . 求 幂 数 y
1 2
1 ∴ α = 2
练习3：已知幂函数 的图像经过点（ ， ）， 练习 ：已知幂函数f(x)的图像经过点（3，27）， 的图像经过点 求证： 是奇函数 是奇函数。 求证：f(x)是奇函数。
证 设 求 幂 数 y=x 明: 所 的 函 为 Q函 的 像 点 3 27) 数 图 过 (，
问题引入：函数的生活实例
问题1：如果张红购买了每千克1元的苹果 千克， 元的苹果w千克 问题 ： 如果张红购买了每千克 元的苹果 千克 ， 那么她需要付的钱数p 那么她需要付的钱数 = w元，这里 是w的函数 。 = x 这里p是 的函数 y 问题2：如果正方形的边长为a， 问题 ：如果正方形的边长为 ，那么正方形的面积 2 是S = a² ， 这里 是a的函数。 y=x 这里S是 的函数 问题3：如果立方体的边长为a， 问题 ：如果立方体的边长为 ，那么立方体的体积 3 是V = a³， 这里 是a的函数 。 y=x 这里V是 的函数 问题4:如果正方形场地的面积为 如果正方形场地的面积为S， 问题 如果正方形场地的面积为 ， 那么正方形的 1 1 2 边长a= 边长 S ， 这里 是S的函数 。 这里a是 的函数 y = x2 问题5：如果某人t 内骑车行进了 内骑车行进了1km，那么他骑车 问题 ：如果某人 s内骑车行进了 ， t−1 km/s ， 这里 是t的函数 。 y = x−1 的平均速度v 的平均速度 = 这里v是 的函数 若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来表 来表示, 则它们的函数关系式将是: 示,则它们的函数关系式将是:
1 0 1
归纳：幂函数图象在第一象限的分布情况
α >1 α <0
0<α<1
在上 (1,+∞) 任取一点 作 x 轴的 垂线， 垂线，与 幂函数的 图象交点 越高， 越高， α 的值就越 大。
0 <α <1
α >1
α <0
小结
1、幂函数的定义 、 的函数叫幂函数。 形如 y=xα的函数叫幂函数。 以自变量x为底数 为底数； 以自变量 为底数； 指数为常数； 指数为常数； 自变量x前的系数为1； 自变量 前的系数为 ； 只有一项。 只有一项。 2、与指数函数的区别： 、与指数函数的区别： 看未知数x是指数还是 还是底数 看未知数x是指数还是底数 若x是指数，则它是指数函数，如y= 2x 是指数，则它是指数函数， 指数函数 幂函数， 若x是底数，则它是幂函数，如y=x2 是底数，则它是幂函数 3、幂函数定义的应用 ①判断哪些函数是幂函数 判断哪些函数是幂函数 ②根据幂函数的定义求参数的值 ③用待定系数法求幂函数的解析式
在 ,0]上 减 数 (−∞ 是 函
函数 y = x 的图像
−1
定义域： 定义域：{x x ≠ 0} 值 域：{y y ≠ 0 }
在 奇偶性： 奇偶性： {x x ≠ 0}上是奇函数
单调性： 单调性： (0,+∞)上是减函数 在
在 ,0)上 减 数 (−∞ 是 函
如何画y = x 和y = x 的图像呢 ?
4.幂函数的性质: 4.幂函数的性质: 幂函数的性质
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性， 幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随 常数α取值的不同而不同. 常数α取值的不同而不同.
(1).所有幂函数的图象都通过点(1,1); 所有幂函数的图象都通过点(1,1 所有幂函数的图象都通过点(1,1 (2).当 为奇数时,幂函数为奇函数, (2).当α为奇数时,幂函数为奇函数, 为偶数时,幂函数为偶函数. 当α为偶数时,幂函数为偶函数. (3).如果α>0,则幂函数 (3).如果α>0,则幂函数 如果 (0,+∞)上为增函数 上为增函数; 在(0,+∞)上为增函数; 如果α<0,则幂函数 如果α<0,则幂函数 (0,+∞)上为减函数 上为减函数。 在(0,+∞)上为减函数。
在第一象Βιβλιοθήκη Baidu内， 在第一象限内，
-3
-4
>0,在(0,+∞)上为增函数 上为增函数; a >0,在(0,+∞)上为增函数; <0,在(0,+∞)上为减函数 上为减函数. a <0,在(0,+∞)上为减函数.
练习：利用单调性判断下列各值的大小。 练习：利用单调性判断下列各值的大小。 （1）5.20.8 与 5.30.8 ） （2）0.20.3-2 0.30.3 ） 与 -2
名称 式子 指数函数: 指数函数 y=a
（a>0且a≠1) 且
x
常数 a为底数 底数 α为指数 指数
x 指数 底数
y 幂值 幂值
幂函数: 幂函数 y= xα
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 看未知数x是指数还是底数 看未知数 是指数还是底数 还是
指数函数 指数函数
幂函数
快速反应
y = 0.2
幂 函 数
说出下列函数的名称 正比例函数 y = kx (k ≠ 0) k y = (k ≠ 0, x ≠ 0) 反比例函数 x y = kx + b (k ≠ 0) 一次函数 2 y = ax + bx + c (a ≠ 0) 二次函数 y = c (c为常数) 常数函数 x y = a (a > 0且a ≠ 1) 指数函数 y = log a x (a > 0且a ≠ 1) 对数函数 a y = x (a为常数) 我们见过这样形式的函数吗？
α>1
a=1
0<α<1
α<0
∴ m + m −1 = 1
2
解之得 : m = −2或m = 1
∴ m = −2或m = 1
练习1：
已知函数 f ( x) = (m − 3m + 3)x 是幂函数, 并且是偶函数，求m的值。
2 m2 −2
解 : 因为f ( x) = m − 3m + 3 x
2
(
)
m2 −2
是幂函数
∴ m − 3m + 3 = 1 解之得 : m = 2或m = 1
y=x
定义域 值域 R R
y = x2
R [0，+∞） ， ） 偶函数
y=
x3
y=x
[0，+∞） ， ） [0，+∞） ， ）
1 2
R R 奇函数
y=x 0) （0，+ ( −∞， U ∞） 0) （0，+ ( −∞， U ∞）
奇函数
−1
奇偶性 奇函数
非奇非偶 函数
在（－∞,0] （－ 在R上 上是减函 单调性 是增函 数，在(0, 数 +∞）上是 ） 增函数 公共点
y = x 中 x 前面的系数是1，后面没有其它项。 前面的系数是1
α 幂函数， 为自变量， 为常数。 幂函数，其中 x为自变量， 为常数。 α α
x −2 2 2
幂函数的定义： 一、幂函数的定义： α 一般地， 一般地，我们把形如 y = x 的函数叫做
练习1：判断下列函数哪几个是幂函数？ 练习 ：判断下列函数哪几个是幂函数？
（） = 3 ; y = x ; y = 2x ; y = x +1 1 y (2) (3) (4) ; 1 (5) y = 思考：指数函数y= 思考：指数函数 =ax与幂 x α
函数y= 有什么区别？ 函数 =x 有什么区别？ 答案（ ）（ ）（5） 答案（2）（ ）
幂函数与指数函数比较
， 在R上 在(0，+∞) 在( －∞,0)， 上 ， ） 是增函 上是增函数 (0, +∞）上是 减函数 数 （1，1） ， ）
下面将5个函数的图像画在同一坐标系中
y = x (2) y = x 2 (3) y = x 3 (1)
(4) y = x
1 2
(5) y = x
−1
y=x
(-2,4)
函数 y = x 的图像
1 2
定义域： 定义域： [0,+∞) 值 域： [0,+∞) 奇偶性： 奇偶性： 非奇非偶函数 单调性： 单调性： [0,+∞)上 增 数 在 是 函
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性， 幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常 取值的不同而不同. 数α取值的不同而不同.
2
又因为f (x)是偶函数
∴ m = 1不符合题意， 舍去 ∴m = 2
练习 :已知幂函数y = f (x)的图像过点 2, 2), 2 ( 试求出这个函数的解析式 .
解: 设所求的幂函数为y = x Q函数的图像过点 2, 2) (
这种方法 叫待定 系数法
α
∴ 2 = 2 , 即 = 2α 2
1 2
思考：以上问题中的关系式有什么共同特征？ 思考：以上问题中的关系式有什么共同特征？ (1) y = x y = x2 为底数； (2) （1）都是以自变量 为底数； ）都是以自变量x为底数 （2）指数为常数； ）指数为常数； 3 (3) y = x 前的系数为1; （3）自变量 前的系数为 ）自变量x前的系数为 1 4）只有一项。 （4）只有一项。 (4) y = x 2 y = x −1 (5)
(4) y = x
1 2
(5) y = x
−1
函数
y = x的图像
定义域： 定义域： 值 域：
R R
奇偶性： 奇偶性： 在R上是奇函数 单调性： 单调性：在R上是增函数
函数 y = x 的图像
2
定义域： 定义域：
R
值 域： [0,+∞) 奇偶性： 奇偶性： 上是偶函数 在R
在 单调性： 单调性： [0,+∞)上是增函数
(3)
2.5 5 与 2.7 5
解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数, 内是增函数 ∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数 内是增函数 ∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3 ∴ (3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数 内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5 ∴