高三数学文科联考答案

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九师联盟2024届高三教学质量监测10月联考(全国卷)文科数学试题及参考答案

九师联盟2024届高三教学质量监测10月联考（全国卷）文科数学试题及参考答案一、选择题：本题12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()0sin ,0<∈∃θπθ，：p ，则p ⌝为（）A .()0sin ,0≥∈∃θπθ，B .()0sin ,0<∉∃θπθ，C .()0sin ,0<∉∀θπθ，D .()0sin ,0≥∈∀θπθ，2.设集合(){}3ln -==x y x A ，{}1-≤=x x B ，则()=B A C R （）A .{}31≤≤-x xB .{}31≤<-x xC .{}31<≤-x x D .{}31<<-x x 3.已知()m P ,1是角θ的终边上一点，2tan -=θ，则=θsin （）A .552-B .55-C .55D .5524.已知平面向量b a ，和实数λ，则“b aλ=”是“b a 与共线”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件5.扇子是引风用品，夏令营必备之物.我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分.历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇.如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或凌娟做扇面而制成的.完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中θ=∠AOB ,D C ,分别在OB OA ,上，m BD AC ==，弧AB 的长为l ，则该折扇的扇面ABDC 的面积为（）A .()2θ-l m B .()2m l m θ-C .()22θ-l m D .()22m l m θ-6.已知6.023-⎪⎭⎫⎝⎛=a ，41log 31=b ，9.032⎪⎭⎫⎝⎛=c ，则（）A .ac b >>B .ba c >>C .ca b >>D .bc a >>7.已知316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πα，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+62sin πα（）A .322B .32C .922D .978.已知函数()12++-=ax x x f 在[]2,1上的最大值也是其在[]2,1上的极大值，则a 的取值范围是（）A .[)∞+，2B .[)∞+，4C .[]4,2D .()4,29.已知函数()21sin cos sin 32-+=x x x x f ，若将其图象向左平移()0>ϕϕ个单位长度得到的图象关于原点对称，则ϕ的最小值为（）A .12πB .6πC .3πD .2π10.如图，已知两个单位向量OB OA ,和向量OC ，2=OC .OA 与OC 的夹角为θ，且102cos =θ，OB 与OC 的夹角为4π，若()R y x OB y OA x OC ∈+=,，则=-y x （）A .1-B .21-C .21D .111.在ABC ∆中，D 为BC 上一点，CAD BAD ∠=∠，若221===AB AD AC ，则=BC （）A .22B .32C .23D .5212.已知函数()x f 的定义域为R ，若R x ∈∀，()()04=-++x f x f ，且()1+x f 为偶函数，()11-=f ，则()=2023f （）A .1B .1-C .2D .2-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()()xa x x f 21log ++=（0>a ，且1≠a ）的图象过定点.14.已知向量b a ,满足4,5==b a，b a 与的夹角为120°，若()()b a b a k +⊥-2，则=k .15.已知函数()xe x xf 1-=，则曲线()x f y =在点()()0,0f 处的切线方程为.16.函数xx xx y cos sin 2cos sin --=的值域为.三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知()x x a sin ,cos 22= ，⎪⎭⎫ ⎝⎛=x b cos 3,21 ，()b a x f ⋅=.（1）求函数()x f 的最小正周期和单调递减区间；（2）在ABC ∆中，π127=+B A ，()1=A f ，32=BC ，求边AC 的长.18.（12分）已知函数()()x m x f x-+=1log 3（0>m ，且1≠m ）是偶函数.（1）求m 的值；（2）若关于x 的不等式()()()0333321≤+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⋅-a xx x f 在R 上有解，求实数a 的最大整数值.19.（12分）已知αsin 是方程06752=--x x 的根.（1）求()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅-⋅⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--απαπαπαπαππα2cos 2cos tan 2cos 23cos 23sin 的值；（2）若α是第四象限角，⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛-201356sin πβπβ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+-6sin πβα的值.20.（12分）已知函数()()R a x x a x f ∈-=ln .（1）讨论()x f 的单调性；（2）若()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,1e e上有2个零点，求a 的取值范围.21.（12分）南京玄武湖称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊.在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉.夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台P 在半圆形的中轴线OC 上（图中OC 与直径AB 垂直，P 与C O ,不重合），通过栈道把AB PC PB P A ,,,连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感.已知m AB 200=，θ=∠P AB ，栈道总长度为函数()θf .（1）求()θf ；（2）若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台P 的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值.22.（12分）在锐角ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，S 为ABC ∆的面积，且()222c b S a -+=.（1）求A tan 的值；（2）若8=a ，证明：5816≤+<c b .参考答案一、选择题1.D解析：由含有量词的命题的否定的特点知p ⌝为()0sin ,0≥∈∀θπθ，.2.B 解析：由题意得{}3>=x x A ，{}31>-≤=x x x B A 或，则()=B A C R {}31≤<-x x .3.A解析：由三角函数的定义知2tan -==m θ，∴55252sin -=-=θ.4.A 解析：若b a λ=，由共线向量定理知b a 与共线，知“b aλ=”是“b a 与共线”的充分条件；若b a 与共线，如()()0,02,1==b a ，，则b a λ=不成立，故“b aλ=”不是“b a 与共线”的必要条件.综上，“b aλ=”是“b a 与共线”的充分不必要条件.5.D解析：由弧长公式可知，OA l ⋅=θ，∴θlOA =，则m lOC -=θ，∴该折扇的扇面的面积为：=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-⋅22121m l l l θθθ()22m l m θ-.6.C 解析：9.06.06.00323223231⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛=-，即c a >>1，又14log 41log 331>=，∴c a b >>.7.D解析：976sin 2162cos 262sin 62sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛+παπαππαπα.8.D解析：()x a x f 2-='，令()0='x f ，得2a x =，由题意得()2,12∈a，∴()4,2∈a .9.A解析：∵()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-+=62sin 2cos 212sin 2321sin cos sin 32πx x x x x x x f ，将其图象向左平移()0>ϕϕ个单位长度得到函数⎪⎭⎫⎝⎛-+=622sin πϕx y 的图象，∵⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=622sin πϕx y 的图象关于原点对称，∴()Z k k ∈=-ππϕ62，即()Z k k ∈+=212ππϕ，由于0>ϕ，当0=k 时，ϕ取得最小值12π.10.B 解析：由[]πθθ，，0102cos ∈=，得10271021sin 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θ，∴534cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθ，由题意得14cos21=⨯=⋅πOC OB ，51cos 21=⨯=⋅θOC OA ，53-=⋅OB OA ，在OB y OA x OC +=两边分别点乘OB OA ,，得5153=-=⋅y x OC OA ，153=+-=⋅y x OC OB ，两式联立并解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==4745y x ，∴21-=-y x .11.C 解析：设θ=∠BAC ，由CAD BAD ABC S S S +=∆∆，得2sin 212sin 21sin 21θθθAD AC AD AB AC AB ⋅+⋅=⋅，即2sin 2sin 2sin 2θθθ+=，∴2sin 32cos 2sin 4θθθ=，∵()πθ，0∈，∴02sin ≠θ，∴432cos =θ.∴811cos 2cos 2=-=θθ，∴1881242416cos 2222=⨯⨯⨯-+=⋅-+=θAC AB AC AB BC ，∴23=BC .12.A ∵()1+x f 为偶函数，即()()11+=+-x f x f ，∴()()x f x f -=2，又由()()04=-++x f x f ，∴()()()x f x f x f -=--=+22，∴()()x f x f =+4，故()x f 为周期函数且4是一个周期，∴()()()1132023=-==f f f .二、填空题13.()1,0解析：当0=x 时，a 在()()∞+，11,0 上无论取何值，()x f 的值总为1，故函数()x f 的图象过定点()1,0.14.54解析：由题意可得102145120cos -=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯=︒=⋅b a b a .由()()b a b a k+⊥-2，得()()()()02101622522222=--⨯-=⋅-+-=+⋅-k k b a k b ak b a b a k，解得54=k .15.012=--y x 解析：()()()x x xx exe e x e xf -=--='212，∴()20='f ，又()10-=f ，故所求切线方程为()()021-=--x y ，即012=--y x .16.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-522522，解析：令x x t cos sin -=，则()2221cos sin 2≤≤--=t t x x ，∴232tty +=()22≤≤-t ，当0=t 时，0=y ，当22≤≤-t ，且0≠t 时，tt y 32+=，令tt u 3+=，已知u 的值域为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-，，522522 ，∴tt y 32+=的取值范围为⎦⎤⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-52200522，， .综上所述，所求函数的值域为⎦⎤⎢⎣⎡-522522，.三、解答题17.解：（1）由题意得()2162sin 2sin 232cos 2121cos sin 3cos 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+=πx x x x x x x f ，∴()x f 的最小正周期ππ==22T ,令()Z k k x k ∈+≤+≤+πππππ2236222，解得()Z k k x k ∈+≤≤+ππππ326，∴()x f 的单调递减区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ326，.（2）由（1）知()12162sin =+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πA A f ,∴2162sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA ，又()π，0∈A ，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+613662πππ，A ，∴6562ππ=+A ，∴3π=A .∵π127=+B A ，∴4π=B ，由正弦定理得ABCB AC sin sin =，∴22232232sin sin =⨯==A B BC AC .18.解：（1）∵()x f 为偶函数，∴()()x f x f -=对任意的R x ∈恒成立，即()()x m x m x x-+=++-1log 1log 33对任意的R x ∈恒成立，又()()()m x m m m mm mxx x xx x333333log 1log log 1log 1log 1log -+=-+=+=+-，∴()()x m x m x m xx-+=+-+1log log 1log 333对任意的R x ∈恒成立，即()02log 3=-m x 对任意的R x ∈恒成立，必须02log 3=-m ，即9=m ，故9=m .（2）由（1）知，()()x x f x-+=19log 3，故()()x x x x f x 3133319log 3+==-+.设()()()233≥+=-t t x x ，则23132++=x x t ，即23132-=+t x x ，∴圆原问题等价于关于t 的不等式013212≤-+-a t t 在[)∞+，2上有解，∴max21321⎪⎭⎫⎝⎛--≤t t a ，又()[)+∞∈+--=--=,2,211321132122t t t t y ，∴当3=t 时，211max =y ，∴211≤a ，故实数a 的最大整数值为5.19.解：（1）由αsin 是方程06752=--x x 的根，得53sin -=α或2sin =α（舍），原式()()αααααππαsin sin tan cos 23cos 23sin -⋅-⋅⋅⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=()()αααααααααααcos sin cos sin cos cos sin tan cos sin cos 2-=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=---=.由53sin -=α，∴α是第三象限或第四象限角，若α是第三象限角，则54cos -=α，此时54cos =-α；若α是第四象限角，则54cos =α，此时54cos -=-α.故所求式子的值为54或54-.（2）由（1）知，当α是第四象限角时，53sin -=α，54cos =α，由⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛-201356sin πβπβ，得13126cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-6sin cos 6cos sin 6sin 6sin πβαπβαπβαπβα655613554131253-=⨯-⨯-=.20.解：（1）函数()x f 的的定义域为()+∞,0，且()()01>-=-='x xxa x a x f .当0≤a 时，()0<'x f 在()+∞,0上恒成立，故()x f 在()+∞,0上单调递减；当0>a 时，令()()00>>'x x f ，得a x <<0，令()0<'x f ，得a x >，∴()x f 在()a ,0上单调递增，在()+∞,a 上单调递减.综上所述，当0≤a 时，()x f 在()+∞,0上单调递减；当0>a 时，()x f 在()a ,0上单调递增，在()+∞,a 上单调递减.（2）若0=a ，()x x f -=，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,1e e上无零点，不合题意；若0≠a ，由()0=x f ，得xxa ln 1=，令()x x x g ln =，则直线a y 1=与函数()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,1e e 上的图象有两个交点，()2ln 1x x x g -='，当e x e <<1时，()0>'x g ，当2e x e <<时，()0<'x g ，∴()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上单调递增，在[]2,e e 上单调递减.∴()()ee g x g 1max==，又()2221e eg e e g =-=⎪⎭⎫ ⎝⎛，，∴要使直线a y 1=与函数()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,1e e 上的图象有两个交点，则e a e 1122<≤，∴22e a e ≤<，即实数a 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛22e e ，.21.解：（1）由题意知θ=∠P AB ，40πθ<<，AB OC ⊥,100==OB OA ,则θcos 100==PB P A ，θtan 100=PO ，∴θtan 100100-=PC ，∴()200tan 100100cos 200+-+=+++=θθθAB PC PB P A f ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=403cos sin 2100πθθθ.（2）建造栈道的费用()()⎪⎭⎫⎝⎛+-==3cos sin 25005θθθθf F ，()θθθ2cos 1sin 2500-⨯='F ，令()0='θF ，得21sin =θ，又40πθ<<，∴6πθ=.当60πθ<<时，()0<'θF ，当46πθπ<<时，()0>'θF ，∴()θF 在⎪⎭⎫ ⎝⎛60π，上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛46ππ，上单调递增，∴()()335006min +=⎪⎭⎫⎝⎛=πθF F ，此时331001006tan 100100-=-=πPC ，故观景台位于离岸边半圆弧中点距离⎪⎪⎭⎫⎝⎛-33100100米时，建造费用()33500+万元.22.解：（1）∵ABC ∆的面积为A bc S sin 21=，()222c b a S --=，∴bc c b a A bc 2sin 222+--=，由余弦定理得A bc c b a cos 2222-=--,∴A bc bc A bc cos 22sin --，∵0≠bc ，∴2cos 2sin =+A A ，11又⎪⎭⎫ ⎝⎛∈20π，A ，1cos sin 22=+A A ，∴2sin 12sin 2=-+A A ，化简得0sin 4sin 52=-A A ，解得54sin =A 或0sin =A （不合题意，舍去）.∵⎪⎭⎫⎝⎛∈20π，A ，∴53sin 1cos 2=-=A A ，34cos sin tan ==A A A .（2）证明：由正弦定理，得10548sin sin sin ====A a C c B b ，∴()B A C c B b +===sin 10sin 10sin 10，，∴()()ϕ+=+=++=+B B B B A B c b sin 58cos 8sin 16sin 10sin 10，其中ϕ为锐角，且552cos 55sin ==ϕϕ，.∵⎪⎭⎫⎝⎛∈20π，A ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈20πϕ，，∴22πϕπ<-<-A ，又ϕsin sin >A ，∴ϕ>A ，∴20πϕ<-<A ，∴220πϕπ<+-<A ，又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<<2020ππB C ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<--<2020πππB B A ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-202πππB A B A ，∴22ππ<<-B A .∴ϕπϕϕπ+<+<+-22B A ，∵函数x y sin =在⎪⎭⎫⎝⎛20π，上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛ππ，2上单调递减，且()A A A A sin sin cos cos cos 2sin ϕϕϕϕπ+=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-552545553552=⨯+⨯=552cos 2sin ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕϕπ，∴()58sin 585258≤+<⨯ϕB ，即5816≤+<c b .。

2022-2023学年新高考基地学校高三上学期12月第三次大联考文科数学试题(含答案) 解析版

2023届新高考基地学校高三第三次大联考文科数学试题一、单选题1．已知复数i z =，则1z zz z +=⋅+（） A ．1i 2B．C ．i - D．【答案】B【分析】若i z a b =+，则2z z a +=，222z z z a b ⋅==+.【详解】i z =，则(i)+(i)=z z +=-(i)(i)3z z ⋅==，故1z z z z +==⋅+. 故选：B.2．已知集合{}20A x x =-，集合{}0,1,2,3B =，集合{}11C x x =-<<，则()A B C =（） A ．(]1,1- B ．(]{}1,12-⋃ C ．(]1,2- D ．{}0【答案】B【分析】求出集合A ，然后根据交集、并集的定义求解即可．【详解】{2}A xx =∣，所以{0,1,2}A B ⋂=，所以()(1,1]{2}A B C ⋂⋃=-⋃．故选：B ．3．已知数列{}n a ，{}n b 均为公差不为0的等差数列，且满足32a b =，64a b =，则4132a ab b -=-（） A ．2 B ．1C ．32D ．3【答案】A【分析】根据等差数列性质：()m n a a m n d -=-，运算求解. 【详解】设数列{}n a ，{}n b 的公差分别为12,d d ∵32a b =，64a b =，则6432a b a b =-- ∴1232d d =，则41123222322a a d d b b d d -===- 故选：A.4．函数()()22241x x x x f x -+=-的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】判断函数的奇偶性，再确定0x >时函数值的正负，利用排除法得正确结论．【详解】定义域是{|0}x x ≠，222(2)2(2)()()4114x x x xx x x x f x f x ---+-+-===---，函数为奇函数，排除A ，0x >时，410->x ，20x >，2221722()024x x x x x -+=-+=-+>，所以()0f x >，排除CD ．故选：B ．5．若x ，y 满足约束条件37,321,321,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥-⎩则z ＝y －3x 的最大值为（）A ．4311-B ．32-C ．－1D ．3111-【答案】C【分析】根据约束条件画出可行域，根据目标函数的几何意义即可求解最值.【详解】根据约束条件画出可行域（如图），联立3713212x y x x y y +≥=⎧⎧⇒⎨⎨-≥-=⎩⎩，故(1,2)A ，当直线=3y x z +经过点(1,2)A 时，z 最大，此时1z =- ，故选：C6．记n S 为各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和，378S =，312a =，则5a =（）A ．14B ．18C ．1D ．2【答案】D【分析】根据题意求出数列的首项和公比，即可根据通项公式求得答案.【详解】由{}n a 为各项均为正数的等比数列，且378S =，312a =,设数列公比为0q > ,可得211178a a q a q ++= ，且2112a q =，则1138a a q +=，解得112,8q a == ，故451228a =⨯= ,故选：D.7．在ABC 中，点F 为AB 的中点，2,AE EC BE =与CF 交于点P ，且满足BP BE λ=，则λ的值为（）A ．35B ．47C ．34D ．23【答案】C【分析】把AP 用,AF AC 表示，然后由,,F P C 三点共线定理得出结论．【详解】由题意()(1)AP AB BP AB BE AB AE AB AB AEλλλ=+=+=+-=-+22(1)2(22)33AF AC AF AC λλλλ=-⋅+⋅=-+，因为,,F P C 三点共线，所以22213λλ-+=，解得34λ=．故选：C ．8．《天才引导的过程——数学中的伟大定理》的作者威廉·邓纳姆曾写道：“如果你想要做加法你需要0，如果你想要做乘法你需要1，如果你想要做微积分你需要e ，如果你想要做几何你需要π，如果你想要做复分析你需要i ，这是数学的梦之队，他们都在这个方程里”.这里指的方程就是：()i e e cos isin x y x y y +=+，令0x =，πy =，则i πe 1=-，令0x =，πy n ，则i πe cos πisin πn n n =+，若数列{}n a 满足i πe n n a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的个数是（）①{}n a 是等比数列 ②22n n a a = ③211S = ④2n n a a +=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据题意可知1,1n n a n ⎧=⎨-⎩为偶数，为奇数，进而即可根据所给式子逐一判断.【详解】i π1,e cos πisin π=cos π=1n n n a n n n n ⎧==+⎨-⎩为偶数，为奇数，故{}n a 是公比为1-的等比数列，A 正确，2222=1=1n n n n a a a a ，，∴=，B 正确，2111S a ==-，故C 错误，由{}n a 的定义可知2n n a a +=，故D 正确，故选：C9．已知点O 为ABC 的外心，2340,OA OB OC ABC ++=的外接圆的半径为1，则OA 与OB 的夹角的正弦值为（）A B ．14C ．14-D 【答案】A【分析】由已知可得：234OA OB OC +=-，两边同时平方利用数量积运算和已知条件1OA OB OC ===，即可得出结果；【详解】2340OA OB OC ++=，∴234OA OB OC +=-， ∴222164912OC OA OB OA OB =++⋅，又1OA OB OC ===，164912cos ,OA OB ∴=++，∴1cos ,4OA OB =，而[],0,πOA OB ∈，故sin ,415OA OB =故选：A10．已知函数()32f x x x =-，若过点()2,A a 能作三条直线与()f x 的图像相切，则实数a 的取值范围是（） A ．[]4,4- B ．[)4,+∞ C ．(),4-∞ D ．()4,4-【答案】D【分析】根据已知条件有三条直线相切，得两函数图像有三个交点，利用函数的单调性即可得到a 的取值范围.【详解】由已知：()32f x x x =-，故()232f x x '=-，设切点为()3,2m m m -所以切线斜率为2=32k m -，切线方程为()()()32232y m m m x m --=--,将A 点坐标代入切线方程可得()()()322322a m m m m --=--化简可得 ()()32322322=264a m m m m m m =-----+-即函数()g x a =与函数32264y m m =-+-有三个不同的交点. 故2612y m m '=-+，当(),0m -∞时，0'<y ，函数y 单调递减当()0,2m 时，0'>y ，函数y 单调递增当()2,m +∞时，0'<y ，函数y 单调递减且0m =时，4y =-,，且2m =时，4y = 所以a 的取值范围为()4,4a ∈- 故选：D11．设2021202220231ln ,,e 20222022a b c -===，则（）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．b<c<aD ．a b c <<【答案】D【分析】构造两个函数()ln(1)f x x x =-+，01x <<，与1()e x g x x -=-，01x <<，利用导数确定单调性后可得．【详解】设()ln(1)f x x x =-+，01x <<，则1()1011xf x x x'=-=>++，所以()f x 在(0,1)上单调递增，()(0)0f x f >=，ln(1)x x >+，1012022<<，所以112023ln(1)ln 202220222022>+=，设1()e x g x x -=-，01x <<，则1()e 10x g x -'=-<，()g x 在(0,1)上递减， ()(1)0g x g >=，1ex x ->，1120221e2022->，即202120221e 2022->，所以c b a >>．故选：D ．12．已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，若()1y f x =+的最小正周期为2，则下列说法一定正确的是（）A ．()()11f x f x +=-+B ．1是()f x 的一个周期C ．()()110f f =-=D ．13122f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【分析】由函数(1)y f x =+与()y f x =的关系得其最小正周期，判断B ，利用周期性与奇偶性求得(1)f -和(1)f 判断C ，假若A 成立，结合周期性得出函数为偶函数，从而判断A ，利用周期性与奇偶性得出1()2f 与3()2f 的关系判断D ．【详解】(1)y f x =+的最小正周期是2，则()y f x =的最小正周期是2，B 错； ∴(1)(1)f f -=-又(1)(1)f f -=，∴(1)(1)0f f =-=，C 正确；若()()11f x f x +=-+，又(1)(1)f x f x +=-，则(1)(1)f x f x -=-+，令1x t -=，则有()()f t f t =-，因此()f x 是偶函数，与题意不符，A 错；311()()()222f f f =-=-，∴31()()022f f +=，D 错．故选：C ．二、填空题13．若向量,a b 满足2,21,b a b a =+=与a b +垂直，则a =__________．【分析】由向量垂直得22a b a a ⋅=-=-，然后由已知模等式21a b +=平方后可得．【详解】a 与a b +垂直，则2()0a a b a a b ⋅+=+⋅=，22a b a a ⋅=-=-， 22222(2)441a b a b a a b b +=+=+⋅+=，即2224421a a -+⨯=，5a =，14．若πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度得到cos 2y x =的图象，则ϕ的值可以是______．（写出满足条件的一个值即可）【答案】π6（答案不唯一，满足ππ,N 6k k ϕ=+∈均可）【分析】根据图象平移得平移后的函数，从而可得π22π,Z 3k k ϕ-+=∈，再根据0ϕ>，取合适的一个ϕ的值即可.【详解】解：πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>后得到的函数为()ππcos 2cos 22cos 233y x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=-+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭则π22π,Z 3k k ϕ-+=∈，解得ππ,Z 6k k ϕ=-∈，又0ϕ> 所以ϕ的值可以是当0k =时，π6ϕ=. 故答案为：π6（答案不唯一，满足ππ,N 6k k ϕ=+∈均可）15．已知点P （m ，n ）是函数()11f x x =-图象上的点，当1m >时，2m ＋n 的最小值为______．【答案】2【分析】根据基本不等式即可求解最小值. 【详解】P （m ，n ）是函数()11f x x =-图象上的点，所以1111n mm n，因为1m >，所以0n >，所以122=212222m n nn nn，当且仅当n =故2m n +的最小值为2.故答案为：216．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若113tan tan sin B C bc A +=⋅，且()1sin sin 2C B A -=，则22c b -=__________．【答案】32【分析】已知条件113tan tan sin B C bc A+=⋅，利用切化弦，两角和的正弦公式，正弦定理化简可得23a =，已知条件()1sin sin 2C B A -=，利用和差角的正弦公式和正弦定理，解得43cos ab C =，最后用余弦定理解得22c b -. 【详解】ABC 中，1cos tan sin B B B =，1cos tan sin CC C=，sin cos cos sin sin()sin(π)sin C B C B C B A A +=+=-=，由正弦定理有sin sin A B ba=，sin sin c A a C =，由113tan tan sin B C bc A +=⋅，得cos cos 3sin sin sin B C B C bc A +=⋅，有sin cos cos sin 3sin sin sin C B C B B C bc A +=⋅，即sin 3sin sin sin A B C bc A=⋅，3sin sin a b C ba C=，得23a =，由()1sin sin 2C B A -=，可得2sin cos 2cos sin sin cos cos sin C B C B C B C B -=+，即sin cos 3cos sin C B C B =，代入sin cos cos sin 3sin sin sin C B C B B C bc A+=⋅，得4cos 33sin sin sin C C bc A ab C ==⋅，∴43cos ab C =，由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-22332c b =+-，得2232c b -=，故答案为：32三、解答题17．已知公比的绝对值大于1的等比数列{}n a 中的前三项恰为32,2,3,8--中的三个数，n S 为数列(){}21nn a +的前n 项和．(1)求n a ； (2)求n S ．【答案】(1)()2112nn n a -=-⋅； (2)()2110714122525nn n S n ++=-⋅⋅-.【分析】（1）根据题意确定前三项，结合等比数列通项公式可得结果；（2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）根据题意可知，1232,8,32a a a =-==-，所以公比214a q a ==-，所以()()()112112412n n n n n a a q ---==--=-⋅；（2）由（1）知，()2112nn n a -=-⋅，()()()21212112n n nn b n a n -=+=+-⋅⋅，所以()()135213*********nn n n S -=-⨯+⨯-⨯+-⋅+⋅+，所以()()51213732527214122n n n n S ++=⨯-⨯+⨯+-⋅+⋅+-，所以()()()1135212153222222122112nn n n n S n +-+=-⨯+⨯-⨯++-⋅-+⋅-⋅，()()()12116142112614n n n n -+⎡⎤--⎣⎦=++⋅-⋅-+ ()()()212121412211255n nn n n ++=⋅-⋅++⋅-⋅- ()21107141255nn n ++=-⋅⋅-，所以()2110714122525nn n S n ++=-⋅⋅-. 18．已知()()22662,2cos ,cos sin ,sin ,3,422a b c θθθθ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭． (1)若a 与c 的夹角为钝角,()0,θπ∈,求cos θ的取值范围；(2)若函数()1f a b θ=⋅-在[]0,m θ∈上有10个零点,求m 的取值范围．【答案】(1)1,⎛⎛-⋃ ⎝⎭⎝⎭(2)5921124ππ≤<m【分析】(1)根据a 与c 的夹角为钝角,可得a 与c 数量积小于零,且a 与c 不共线,化简求出cos θ范围即可.(2)根据()1f a b θ=⋅-的解析式及[]0,m θ∈进行换元,转化为2sin 1,=-y t 在,233ππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦t m 上有10个零点的问题,画图像进行分析,求出m的取值范围.【详解】（1）解:由题知,a 与c 的夹角为钝角,所以0a c ⋅<且a 与c 不共线,则有()()2,2cos 3,48cos 0,cos θθθ⋅=⋅-=-<a c 且6cos 0,cos θθ≠≠因为()0,θπ∈,故222232cos 1,,338θ⎛⎫⎛⎫∈--⋃- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, （2）由题知,()2213cos 3sin 2cos sin 12sin(2)13πθθθθθθ=⋅-=-+-=+-f a b ,令2,,2333πππθ⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦t t m , 则()f θ在[]0,m θ∈上有10个零点,即2sin 1,=-y t 在,233ππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦t m 上有10个零点,画出2sin 1=-y t 的图像如下所示故只需61652636πππ≤+<m ,解得5921124ππ≤<m , 故5921124ππ≤<m . 19．已知数列{}n a 满足11,2,n n na n a a n ++⎧=⎨-⎩为奇数时为偶数时，11a =(1)若数列{}n b 为数列{}n a 的奇数项组成的数列，{}n c 为数列{}n a 的偶数项组成的数列，求出123,,c c c ，并证明：数列{}n b 为等差数列； (2)求数列{}n a 的前10项和．【答案】(1)答案见解析； (2)105S =-．【分析】（1）由已知递推关系求出数列{}n a 前几项，易得123,,c c c ，利用已知递推关系得出21n a +与21n a -的关系即得1n b +与n b 的关系，从而证明{}n b 是等差数列；（2）用分组求和法求10S ．【详解】（1）由定义，11a =，22a =，30a =，41a =，51a =-，60a =，72a =-，81a =-，93a =-，102a =-，所以12c =，21c =，30c =，1212212121211n n n n n n b a a a a b ++--==-=+-=-=-，所以11n n b b ，所以{}n b 是等差数列，公差为1-；（2）由（1）1n n c b =+，111b a ==，1255451(1)52b b b ⨯+++=⨯+⨯-=-， 10125125()()S b b b c c c =+++++++1252()52(5)55b b b =++++=⨯-+=-．20．如图，ABC 中，点D 为边BC 上一点，且满足AD CD AB BC =．(1)证明：sin sin BAC DAC ∠∠=；(2)若2,1,7AB AC BC ===ABD △的面积．【答案】(1)证明见解析；3【分析】（1）利用正弦定理，结合已知条件进行证明.（2）结合第（1）问的结论，利用余弦定理、三角形的面积公式求解.【详解】（1）因为AD CD AB BC =，所以BC CD AB AD =，在ABC 中，由正弦定理有：sin sin BAC C BC AB ∠=，在ACD 中，由正弦定理有：sin sin DAC C DC AD ∠=，所以sin sin sin sin BC CD AB A BAC C C CD DA ==∠=∠，所以sin sin ∠=∠BAC DAC ，而BAC DAC ∠≠∠，所以πBAC DAC ∠+∠=，所以sin sin BAC DAC ∠∠=.（2）因为2,1,7AB AC BC ===ABC 中，由余弦定理有：222222171cos 22212AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===-⋅⨯⨯，因为BAC ∠是三角形的内角，所以2π3BAC ∠=，由（1）有：πBAC DAC ∠+∠=，所以π3DAC ∠=，所以AD 是BAC ∠的角平分线，所以21BD AB DC AC ==，所以BD CD ==，又AD CD AB BC =，所以23AD =，所以112sin 2223ABD S AB AD BAD =⋅⋅∠=⨯⨯=. 21．已知函数()()2e 24x f x x a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦有两个极值点()1212,x x x x <．(1)若120x x <<，求a 的取值范围；(2)当4a 时，求()()12f x f x ⋅的最大值．【答案】(1)a >(2)4e -．【分析】（1）求出导函数()f x '，由()0f x '=有两个不等正根（转化为一元二次方程有两个不等正根）可得参数范围；（2）由（1）得出极值点12,x x 满足12x x a +=，122x x =，计算12()()f x f x 化为a 的函数，然后引入新函数，利用导数求得其最大值．【详解】（1）2()e (2)x f x x ax '=-+，由题意220x ax -+=有两个不等的正根，所以21212Δ80020a x x a x x ⎧=->⎪+=>⎨⎪=>⎩，解得a >（2）由（1）知12x x a +=，122x x =，1222121122()()e [(2)4]e [(2)4]x x f x f x x a x x a x =-++⋅-++12e [x x +=22222121212121212(2)16(2)()4()4(2)()]x x a x x a x x x x x x a x x +++-++++-++ 22e [42(2)162(2)4(4)4(2)a a a a a a a =+++-++--+]4e (3)a a =--，设()e (3),4x g x x x =--≥，则()e (2)x g x x '=--，4x ≥时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以4()(4)e g x g ≤=-，从而412()()e f x f x ≤-，所以12()()f x f x 的最大值是4e -．【点睛】思路点睛：本题考查用导数研究函数的极值点问题，求与极值点有关的最值．解题关键是理解极值点的定义，第一小问极值点的存在性转化为一元二次方程有两个不等的正根，由此可得参数范围，第二小问求二元函数的最值，关键是利用极值点与参数a 的关系把二元函数转化为一元函数，从而再利用导数求最值．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1x y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），曲线2C 的参数方程为5cos 2sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数）． (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线2C 的极坐标方程与1C 的普通方程；(2)若A B ，分别为曲线1C ，曲线2C 上的动点，求AB 的最小值．【答案】(1)1C 的普通方程为21,(0)y x x =-≥，曲线2C 的极坐标方程为210cos 4sin 280ρθθ-++=.(2)1.【分析】（1）根据消参法可求得1C 的普通方程，利用直角坐标与极坐标的转化公式可求得曲线2C 的极坐标方程；（2）设1),0A t t -≥，求得其与点(5,2)P -距离的表达式，利用导数求得其最小值，结合几何意义即可求得AB 的最小值．【详解】（1）由题意曲线1C 的参数方程为1x y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数）。

陕西省2025届高三数学第一次模拟联考试卷文含解析

陕西省2025届高三第一次模拟联考文科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，则A∩B=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用集合的交集的定义，干脆运算，即可求解.【详解】由题意，集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，∴A∩B={x|0≤x＜2}．故选：B．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中熟记集合的交集定义和精确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题.2.复数i（1+2i）的模是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式，即可求解．【详解】由题意,依据复数的运算可得，所以复数的模为，故选D.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题。

3.若抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），则准线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），求得的值，即可求解其准线方程．【详解】由题意，抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），∴，解得p=4，则准线方程为：x=-2．故选：A．【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，其中解答中熟记抛物线的标准方程，及其简洁的几何性质，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题.4.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 64B.C. 80D.【答案】B【解析】【分析】依据三视图画出几何体的直观图，推断几何体的形态以及对应数据，代入公式计算即可．【详解】几何体的直观图是：是放倒的三棱柱，底面是等腰三角形，底面长为4，高为4的三角形，棱柱的高为4，所求表面积：．故选：B．【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，以及几何体的体积计算，其中解答中推断几何体的形态与对应数据是解题的关键，着重考查了推理与计算实力，属于基础题。

2023年高三5月大联考(全国乙卷)文科数学试题及参考答案

2023届高三5月大联考（全国乙卷）文理科数学试题及参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，设复数21,z z 对应的点分别为()()1,12021-Z Z ，，，则=21z z （）A .2B .3C .2D .12.已知集合()(){}012<+-=x x x M ，{}30≤≤=x x N ，则=N M （）A .[)20，B .[]30，C .(]31，-D .(]32，3.《“健康中国2030”规划纲要》提出，将康时促进人的全面发展的必然要求，是经济社会发展的基础条件.实现国民健康长寿，是国家富强、民族振兴的重要标志.也是全国各族人民的共同愿望.为普及健康知识，某公益组织为某社区居民组织了一场健康知识公益讲座，讲座后居民要填写健康知识问卷（百分制），为了解讲座效果，随机抽取了10为居民的问卷，并统计得分情况如下表所示：则下列说法错误的是（）A .该10位居民的问卷得分的极差为30B .该10位居民的问卷得分的中位数为94C .该10位居民的问卷得分的中位数小于平均数D .该社区居民的问卷得分不低于90分的概率估计值大于0.24.已知2.0log 1.0=a ，a b lg =，ac 2=，则c b a ,,的大小关系为（）A .c b a <<B .b c a <<C .a c b <<D .ca b <<5.从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为152，“两个球都是白球”的概率为31，则“两个球颜色不同”的概率为（）A .154B .157C .158D .1511答题居民序号12345678910得分728365768890659095766.若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（）A.94B .98C .115D .11107.若函数()()⎩⎨⎧≥++<++=0,1ln 0,122x a x x ax ax x f 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A .()()∞+∞-，，10 B .()1,0C .()1，∞-D .()∞+，08.若平面向量b a ,满足b a 2=，且b a22+与b 垂直，则b a ,的夹角为（）A .43πB .32πC .3πD .4π9.已知椭圆E ：()012222>>=+b a b y a x 的左顶点为A ，上顶点为B ，左、右焦点分别为21,F F ，延长2BF 交椭圆E 于点P .若点A 到直线2BF 的距离为3216，21F PF ∆的周长为16，则椭圆E 的标准方程为（）A .1162522=+y xB .1323622=+y xC .1484922=+y x D .16410022=+y x 10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n n n a S S S -=+++1232，7264=-a a ，344=S ，则2023是数列{}n a 的（）A .第566项B .第574项C .第666项D .第674项11.已知函数()()ϕω+=x x f cos 2()00<<->ϕπω，，()30=f ，且()x f 在[]π,0上有且只有三个极值点，则下列说法错误的个数是（）①存在ω值，使得函数()x f 在[]π,0上有两个极小值点；②ω的取值范围为⎥⎦⎤⎝⎛619613，；③函数()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛50π，上单调递增；④若Z ∈ω，则函数()x f 图象的一个对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛092π.A .4B .3C .2D .112.在正三棱锥ABC P -中，E D ,分别为侧棱PC PB ,的中点，若BE AD ⊥，且7=AD ，则正三棱锥ABC P -外接球的表面积为（）A .π435B .π572C .π7108D .π9152二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线xxy ln =在1=x 处的切线方程为.14.已知公比小于0的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12232+==S a a ，，=1a .15.在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，︒=∠120ADC ，121AA AD =，E 是棱1AA 的中点，O 为底面菱形ABCD 的中心，则异面直线EO 和AD 所成角的余弦值为.16.已知双曲线C ：()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，M 是双曲线C右支上一点，记21F MF ∆的垂心为G ，内心为I .若GI F F 1221=，则双曲线C 的离心率为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（12分）2023年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持.如图是该地120家中小微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图：（1）确定a 的值，并估计这120家中小微企业的专项贷款金额的中位数（结果保留整数）；（2）按专项贷款金额进行分层抽样，从这120家中小微企业中随机抽取20甲.记专项贷款金额在[200,300]内应抽取的中小微企业数为m .①求m 的值.②从这m 家中小微企业中随机抽取3家，这3家中小微企业的专项贷款金额都在[200,250）内的概率.18.（12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且ABC ∆的面积为3，12222=-+c b a .（1)求C ；（2）若33cos cos -=B A ,求c .19.（12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90BAC ，2211===AA AC AB ，141AA AE =，D 为棱1CC 的中点，F 为棱BC 的中点.（1）求证：⊥BE 平面C AB 1；（2）求三棱锥DEF B -的体积.20.（12分）已知函数()()01ln >+=a ax xx f .（1）当21e a =时，求()x f 的单调区间；（2）若函数()axx f y 1+=有两个不同的零点，求a 的取值范围.21.（12分）已知抛物线C ：()022>=p px y ，M 是其准线与x 轴的交点，过点M 的直线l 与抛物线C 交于B A ,两点，当点A 的坐标为()0,4y 时，有BA MB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）设点A 关于x 轴的对称点为点P ，证明：直线BP 过定点，并求出该定点坐标.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+==ααsin 21cos t y t x （t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 22πθρ.（1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点P 的直角坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛210，，若直线l 与曲线C 交于N M ,两点，求PN PM -的最大值.23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知c b a ,,都是正实数..（1）若1=ac ，求证：()()b c b b a 4≥++；（2）若1112121=++++cb a ，求c b a ++的最小值.参考答案一、选择题1.C解析：由题意，知i z 21=，i z -=12，∴i i i z z +-=-=11221，∴221=z z .2.A 解析：∵集合{}21<<-=x x M ，{}30≤≤=x x N ，∴[)20，=N M .3.B解析：将这10为居民的问卷得分按照从小到大的顺序排列为65,65,72,76,76,83,88,90,90,95，∴极差为95-65=30，故A 正确；中位数为5.7928376=+，故B 错误；平均数为()5.798095909088837676726565101>=+++++++++⨯，故C 正确；由题表及样本估计总体，知该社区居民问卷得分不低于90分的概率估计值为2.03.0103>=，故D 正确.4.D解析：∵x y 1.0log =在()∞+，0上单调递减，∴1.0log 2.0log 1log 1.01.01.0<<，即10<<a .∵x y lg =在()∞+，0上单调递增，∴1lg lg <a ，即0<b .∵xy 2=在R 上单调递增，∴022>a，即1>c .综上，得c a b <<.5.C解析：设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，则()()31152==B P A P ，且B A C =.∵C B A ,,两两互斥，∴()()()()()[]158311521111=--=+-=-=-=B P A P B A P C P C P .6.A解析：初始值20==n S ，.第一次执行循环体：43113111212=⨯=⨯=-=n S a ，，，否；第二次执行循环体：6531311531=⨯+⨯=⨯=n S a ，，，否；第三次执行循环体：8751531311751=⨯+⨯+⨯=⨯=n S a ，，，否；第四次执行循环体：10971751531311971=⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=n S a ，，，是，输出S .∵9491717151513131121971751531311=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯+⨯+⨯+⨯=S ，∴输出S 的值为94.7.A 解析：①当0=a 时，()()⎩⎨⎧≥+<=0,1ln 0,1x x x x f ，则()x f 只有一个零点0，不符合题意；②当0<a 时，作出函数()x f 的大致图象，如图1，()x f 在()0，∞-和[)∞+，0上各有一个零点，符合题意；③当0>a 时，作出函数()x f 的大致图象，如图2，()x f 在[)∞+，0上没有零点.若()x f 在()0，∞-上有两个零点，则符合题意，此时必须满足()011<-=-a f ，解得1>a .综上，得0<a 或1>a ，故选A.8.B 解析：∵b a 22+与b 垂直，∴()022=⋅+b b a ，化简得222b b a -=⋅.设b a ,的夹角为θ，则21cos -=⋅⋅=ba b a θ.∵[]πθ，0∈，∴32πθ=.9.B解析：由题意，得()()()0,,00,2c F b B a A ，，-，则直线2BF 的方程为0=-+bc cy bx ，∴点A 到直线2BF 的距离()321622=+=+--=c a a bc b bc abd ①.由21F PF ∆的周长为16，得16222121=+=++c a F F PF PF ，即8=+c a ②联立①②解得a b 322=③∵222c a b -=，∴a c 31=④.联立②④，解得26==c a ，，∴24=b ，故椭圆E 额标准方程为1323622=+y x .10.D 解析：由n n n n a S S S -=+++1232，得()n n n n n a S S S S --=-+++1122，即122++=+n n n a a a ，∴数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，则由7264=-a a 和344=S 得⎩⎨⎧=+=+1732711d a d a ，解得⎩⎨⎧==341d a ，∴()13314+=⨯-+=n n a n .由202313=+n ，得674=n .11.B 解析：∵()30=f ，∴23cos =ϕ.∵0<<-ϕπ，∴6πϕ-=.当[]π,0∈x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈-6,66πωπππωx ，∵()x f 在[]π,0上有且只有三个极值点，∴ππωππ362<-≤得619613<≤ω，∴根据图象可以判断，()x f 在[]π,0上有两个极大值点，一个极小值点，∴①错误，②错误；当⎪⎭⎫⎝⎛∈5,0πx 时，6566ππωπωππ-<-≤-，显然065>-ππω，不符合题意∴③错误；由Z ∈ω得3=ω，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=63cos 2πx x f ，令Z k k x ∈+=-，263πππ，得Z k k x ∈+=，923ππ，当0=k 时，92π=x ，∴④正确.故选B.12.C 解析：如图，∵ABC P -为正三棱锥，P AC PBC P AB ∆≅∆≅∆，7==BE AD .取线段PE 的中点F ，连接AF DF ,，∵D 为PB 的中点，∴BE DF ∥，BE DF 21=.∵BE AD ⊥，∴DF AD ⊥.在ADF Rt ∆中，72==DF AD ，由勾股定理，得235=AF .设x P A APB ==∠，θ.在P AD ∆中，由余弦定理的推论，得222745212741cos x xx x x -=⋅-+=θ①同理，在P AF ∆中，由余弦定理的推论，得222235817412435161cos x xx x x -=⋅-+=θ②.联立①②，解得32=x ，32cos =θ.在P AB ∆中，由余弦定理，得()()832323223232cos 222222=⨯⨯⨯-+=∠⋅⋅-+=APB PB P A PB P A AB ，∴22=AB .取ABC ∆的中心1O ，连接11AO PO ，，则⊥1PO 平面ABC ，三棱锥ABC P -的外接球球心O 在1PO 上，连接OA ，设外接球半径为R .在1P AO Rt ∆中，R OA =，36232231=⨯=AB AO ，∴()321236232222121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=AO P A PO ，∴R R PO OO -=-=321211，∴21212AO OO AO +=，即2223623212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=R R ，解得7213=R ，∴所求外接球的表面积为ππ710842=R .二、填空题13.01=--y x 解析：2ln 1xxy -='，当1=x 时，1='y .又当1=x 时，0=y ，∴曲线xxy ln =在1=x 处的切线方程为1-=x y ，即01=--y x .14.4-解析：设等比数列{}n a 的公比为()0<q q ，将22=a 代入123+=S a ，得1222++=qq ，∴02322=--q q ，解得21-=q 或2=q （舍去），∴41-=a .15.1473解析：如图，连接C D C A AC 11，，，∵O 为AC 的中点，E 是棱1AA 的中点，∴C A OE 1∥.∵11D A AD ∥，∴C A D 11∠或其补角为异面直线EO 与AD 所成的角.不妨设1=AD ，则211111=====DD AA CD AD D A ，.在ADC ∆中，由余弦定理得：32111211120cos 22222=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯-+=︒⋅-+=DC AD DC AD AC .∵1111D C B A ABCD -为直四棱柱，∴⊥1AA 平面ABCD .又⊂DC AC ,平面ABCD ，∴DC AA AC AA ⊥⊥11，.∵11AA DD ∥，∴DC DD ⊥1，∴()732222211=+=+=AC AA C A ，512222211=+=+=DC DD C D 在C D A 11∆中，由余弦定理的推论得：14737125712cos 111212121111=⨯⨯-+=⋅-+=∠C A D A C D C A D A C A D .16.2解析：如图，连接MI GM ，并延长，与21F F 分别交于点D O ,.设双曲线C 的焦距为c 2.由题意得c GI 61=.∵21F F GI ∥，且G 为重心，则32=ODGI ，∴4c OD =.∵I 为21F MF ∆的内心，∴MD 为21MF F ∠的平分线，∴35212121===∆∆DF D F S S MF MF MDF D MF ，∴2135MF MF =.又a MF MF 221=-，∴a MF a MF 3521==，.设21F MF ∆的内切圆半径为r ，则M 到x 轴的距离为r 3，∵r F F S F MF 3212121⋅⋅=∆，()r F F MF MF S F MF ⋅++⋅=∆21212121，∴2121213F F MF MF F F ++=，∴a c 2=，∴双曲线C 的离心率2==ace .三、解答题（一）必考题17.解：（1）由频率分布直方图，得()150001.0006.02003.0002.0=⨯++++a ，解得004.0=a .设中位数为t ，专项贷款金额在[0,150)内的频率为0.45，在[150,200)内的频率为0.3，∴中位数t 在[150,200)内，∴()05.0006.0150=⨯-t ，解得158≈t ，∴估计这120家中小微企业的专项贷款金额的中位数为158万元.（2）①由题意，得抽取比例为6112020=，专项贷款金额在[200,300]内的中小微企业有()30001.0004.050120=+⨯⨯家，∴应抽取56130=⨯家，∴5=m .②在抽取5家中小微企业中，专项贷款金额在[200,250)内的有4545=⨯家，记为D C B A ，，，，专项贷款金额在[250,300]内的有1515=⨯家，记为E .从这5家中小微企业中随机抽取3家的可能情况为CDE BDE BCE BCD ADE ACE ACD ABE ABD ABC ,,,,,,,,,，共10种，其中这3家中小微企业的专项贷款金额都在[200,250)内的情况为BCD ACD ABD ABC ,,,，共4种，∴所求概率52104==P .18.解：（1）∵ABC ∆的面积为3，∴3sin 21=C ab ，即32sin =C ab ①由余弦定理的推论，得abc b a C 2cos 222-+=.∵12222=-+c b a ，∴6cos =C ab ②.易知2π≠C ，①÷②，得33tan =C .∵()π，0∈C ，∴6π=C .（2）∵6π=C ，∴23cos =C ，即()23cos =+-B A ，∴23sin sin cos cos -=-B A B A .又33cos cos -=B A ，∴63sin sin =B A .由正弦定理得c CcB b A a 2sin sin sin ===，∴B c b A c a sin 2sin 2==，.由（1），知32sin =C ab ，∴34=ab ，∴34sin sin 42=B A c ，即23sin sin cB A =，∴6332=c ，解得6=c .19.解：（1）∵11112141BB AA AA AC AB AA AE ====，，，∴12121BB AB AB AE ==，，∴1BB ABAB AE =.∵111C B A ABC -为直三棱柱，∴侧面11A ABB 为矩形，∴︒=∠=∠9011ABB AB A ，∴1~BAB AEB ∆∆，∴AEB BAB ∠=∠1.又︒=∠+∠90AEB EBA ，∴︒=+∠901BAB EBA ，∴1AB BE ⊥.∵⊥1AA 平面ABC ，⊂AC 平面ABC ，∴AC AA ⊥1.又⊂=⊥11AA A AB AA AB AC ，，平面11A ABB ，∴⊥AC 平面11A ABB ，∵⊂BE 平面11A ABB ，∴BE AC ⊥.∵⊂=11AB A AC AB ，平面C AB 1，⊂AC 平面C AB 1，∴⊥BE 平面C AB 1.（2）连接AF ，∵⊄111AA BB AA ，∥平面11B BCC ，⊂1BB 平面11B BCC ，∴∥1AA 平面11B BCC ，∴三棱锥DEF B -的体积CD S V V V V ABF ABF D BDF A BDF E DEF B ⋅====∆----31.∵︒=∠==902BAC AC AB ，，F 为BC 的中点，∴BC AF BC ⊥=，22，∴2==BF AF ，∴1222121=⨯⨯=⋅⋅=∆AF BF S ABF ，∴三棱锥DEF B -的体积32213131=⨯⨯=⋅=∆-CD S V ABF DEF B .20.解：（1）由题意，知()x f 的定义域为()∞+，0，当21e a =时，()()()222222ln 1ln e x x e x e x f e x x e x f +⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-='+=，.令()x e x x g 2ln 1+-=，则()0122<--='xe x x g ，∴()x g 在()∞+，0上单调递减.∵()02=eg ，∴当()2,0e x ∈时，()0>x g ，从而()0>'x f ；当()+∞∈,2e x 时，()0<x g ，从而()0<'xf ，∴()x f 的单调递增区间为()2,0e ，单调递减区间为()+∞,2e.（2）函数()ax x f y 1+=有两个不同的零点等价于()01=+axx f 有两个不同的解，等价于()011ln =++x ax 有两个不同的解.令()()11ln ++=x ax x h ，()+∞∈,0x ，则()()2ln +='x a x h .由()0='x h ，得21ex =.又0>a ，∴当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0e x 时，()0<'x h ；当⎪⎭⎫⎝⎛+∞∈,12e x 时，()0>'x h ，∴()x h 在⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0e 上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,12e 上单调递增，∴()22min 11e a e h x h -=⎪⎭⎫⎝⎛=.①当012≥-ea 即20e a ≤<时，()x h 至多有一个零点，不符合题意；②当012<-e a 即2e a >时，012<⎪⎭⎫ ⎝⎛e h ，()011>+=a h .由单调性和函数零点存在定理，知()x h 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,12e 上有且只有一个零点.∵2e a >，∴22111e a a <<，且a aa a h ln 2112-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛.令()x x x ln 21-+=ϕ，则()xx x 2-='ϕ，∴当()+∞∈,2x 时，()0>'x ϕ，∴()x ϕ在()∞+，2上单调递增.∵22>>e a ，∴()()04ln 32>-=>ϕϕa ，∴012>⎪⎭⎫⎝⎛a h .由单调性和函数零点存在定理，知()x h 在⎪⎭⎫⎝⎛21,0e 上有且只有一个零点.∴当2e a >时，()x h 有两个不同的零点，即()axx f y 1+=有两个不同的零点，符合题意.综上，a 的取值范围是()+∞,2e .21.解：（1）设()B B y x B ,，由BA MB =得B 诶线段MA 的中点.∵⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p M ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=02242y y p x B B ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2420y y p x B B ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,420y p B ，把⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,420y p B 代入px y 22=中，得⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛422220p p y ，把()0,4y A 代入px y 22=中，得p y 820=，∴p p p 2422=⎪⎭⎫⎝⎛-.又0>p ，∴4=p ，∴抛物线C 的方程为x y 82=.（2）由题意，知直线l 的斜率存在且不为0，∵()02，-M ，∴可设直线l 的方程为2-=my x .设()()2211,,y x B y x A ，，则点()11,y x P -.由⎩⎨⎧=-=xy my x 822消去x 得01682=+-my y ，∴0>∆，根据根与系数的关系得1682121==+y y m y y ，.直线BP 的斜率12212212121288y y y y y y x x y y k -=-+=-+=，直线BP 的方程为()21228x x y y y y --=-，∴()()()221222122122128181********y y y y y y y x y y y y y y x ++--=+---=()28112+-=y y y ，即直线BP 的方程可表示为()28112+-=y y y x .∴直线BP 过定点，且定点坐标为()02，.（二）选考题22.解：（1）∵⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 22πθρ，∴θθρcos 2sin 2+=，即θρθρρcos 2sin 22+=.又θρcos =x ，θρsin =y ，222ρ=+y x ，∴曲线C 的直角坐标方程为02222=--+y x y x .（2）依题意，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得：()043cos 2sin 2=-+-t t αα.设点N M ,所对应的参数分别为21,t t ，则43cos 2sin 2121-=+=+t t t t ，αα.∵点P 的直角坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛210，，∴1t PM =，2t PN =.∵021<t t ，∴2121t t t t PN PM +=-=-()ϕααα+=+=sin 5cos 2sin ，其中552sin 55cos ==ϕϕ，.由()03cos 2sin 2>++=∆αα，得R ∈α，∴当()1sin ±=+ϕα时，PN PM -最大，且最大值为5.23.解：（1）∵c b a ,,都是正实数，∴02>≥+ab b a ，02>≥+bc c b ，∴()()bc ab c b b a 22⋅≥++，当且仅当1===c b a 时，等号成立，即()()ac b c b b a 4≥++.又∵1=ac ，∴()()b c b b a 4≥++.（2）∵1112121=++++c b a ，∴12212422=++++cb a .由柯西不等式，得()()[]()22122212142221242++≥⎪⎭⎫⎝⎛++++++++c b a c b a ，即()22215222+≥+++c b a ，即222+≥++c b a ，当且仅当()c b a 21222=+=+，即222222+===c b a ，，时等号成立，∴c b a ++的最小值为222+.。

2022年12月高三全国大联考(全国乙卷)文科数学试卷及答案

(2)建立关于的回归方程，并预测在19℃的温度下，种子发芽的颗数.
参考数据：，，， .
参考公式：相关系数，回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
， .
19．如图，正三棱柱的底面边长为2，高为3，在棱上，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积.
20．已知函数，，为常数，的图象在点处的切线方程为 .
故选：D
8．C
【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，再解不等式，求不等式成立的一个充分不必要条件是求其一个真子集.
【详解】函数定义域为R，
因为，所以是一个奇函数.
因为，所以在R上单调递增.
因为，又是一个奇函数，
所以，
又在R上单调递增，
所以，解得 .
不等式成立的一个充分不必要条件是集合的真子集，所以选项C正确.
【详解】由抛物线：，可知，焦点，
因为过焦点，所以，
设，
联立，消元得，
则，
由抛物线定义知 .
故选：A
7．D
【分析】根据图像变换求得的解析式，再求得的对称中心.
【详解】函数的图像向右平移个单位长度，得到函数，所以，
令，即的对称中心为，
令，求得的一个对称中心为 .
A． B． C． D．3
12．已知各项不等于0的数列满足，， .设函数，为函数的导函数.令，则（）
A． B．36C． D．54
二、填空题
13．已知平面向量，，则平面向量与的夹角为______.
14．已知圆：，且圆外有一点，过点作圆的两条切线，且切点分别为，，则 ______.

2022-2023学年江西省部分学校2023届高三上学期1月联考数学(文)试卷含答案

高三数学考试（文科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2280A x x x =--<，{}4,2,1,1,2,4B =---，则A B = （）A ．{}1,1,2-B ．{}2,1,1,2,4--C ．{}2,1,1--D ．{}4,2,1,1,2---2．已知复数z 满足i 212i z +=+，则z =（）A ．2i--B ．2i-+C ．2i-D ．2i+3．要得到2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．向左平移6π个单位长度B ．向右平移6π个单位长度C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度4．函数()2cos 31xx f x x =+的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．5．若α是第二象限角，且5sin 5α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．3-B ．3C ．13-D ．136．某数学兴趣小组的学生为了了解会议用水的饮用情况，对某单位的某次会议所用矿泉水饮用情况进行调查，会议前每人发一瓶500ml 的矿泉水，会议后了解到所发的矿泉水饮用情况主要有四种：A ．全部喝完；B ．喝剩约13；C ．喝剩约一半；D ．其他情况．该数学兴趣小组的学生将收集到的数据进行整理，并绘制成所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，本次调查中会议所发矿泉水全部喝完的人数是（）A ．40B ．30C ．22D ．147．在四棱雉P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，PA AB =，2PH HC = ，E ，F 分别是棱CD ，PA 的中点，则异面直线BH 与EF 所成角的余弦值是（）A ．13B ．33C ．63D ．2238．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点()2,0A 的直线l 与抛物线C 交于，P ，Q 两点，则4PF QF +的最小值是（）A ．8B ．10C ．13D ．159．当光线入射玻璃时，表现有反射、吸收和透射三种性质．光线透过玻璃的性质，称为“透射”，以透光率表示．已知某玻璃的透光率为90%（即光线强度减弱10%）．若光线强度要减弱到原来的125以下，则至少要通过这样的玻璃的数量是（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.477≈）A ．30块B ．31块C ．32块D ．33块10．已知()f x 是定义在()(),00,-∞+∞ 上的奇函数，()f x '是()f x 的导函数，当0x >时，()()20xf x f x '+>．若()20f =，则不等式()30x f x >的解集是（）A ．()(),20,2-∞-B ．()(),22,-∞-+∞ C ．()()2,02,-+∞ D ．()()2,00,2- 11．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一．该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形．将长方体1111ABCD A B C D -的上底面1111A B C D 绕着其中心旋转45︒得到如图2所示的十面体ABCD EFGH -．已知2AB AD ==，AE =，则十面体ABCD EFGH -外接球的球心到平面ABE 的距离是（）A ．(51248π-B ．364312+C ．(81248π+D ．(81212π+12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()25f x g x --=-，()()23g x f x ++=．若()f x 的图象关于直线1x =对称，且()33f =-，则()221k g k ==∑（）A ．80B ．86C ．90D ．96二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知向量(),2AB m = ，()1,3AC = ，()4,2BD =--，若B ，C ，D 三点共线，则m =________．14．已知实数x ，y 满足约束条件230301x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则z x y =-的最大值为________．15．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，cos 14B =，且ABC △的周长和面积分别是10和215b =________．16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，过1F 作圆222x y a +=的切线交双曲线C 的右支于点P ，切点为M ．若13PM MF = ，则双曲线C 的离心率为________．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足310a =，2a ，4a ，7a 成等比数列．（1）求{}n a 的前n 项和n S ；（2）记26n n b S =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）某商场在周年庆举行了一场抽奖活动，抽奖箱中所有乒乓球都是质地均匀，大小与颜色相同的，且每个小球上标有1，2，3，4，5，6这6个数字中的一个，每个号都有若干个乒乓球．抽奖顾客有放回地从抽奖箱中抽取小球，用x 表示取出的小球上的数字，当5x ≥时，该顾客积分为3分，当35x ≤<时，该顾客积分为2分，当3x <时，该顾客积分为1分．以下是用电脑模拟的抽芕，得到的30组数据如下：131163341241253126316121225345（1）以此样本数据来估计顾客的抽奖情况，分别估计某顾客抽奖1次，积分为3分和2分的概率：（2）某顾客抽奖3次，求该顾客至多有1次的积分大于1的概率．19．（12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，D ，E 分别是棱BC ，1BB 的中点．（1）证明：平面1AC D ⊥平面1A CE ．（2）求点1C 到平面1A CE 的距离．20．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率是22，点()0,2M 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程．（2）已知()0,1P ，直线():0l y kx m k =+≠与椭圆C 交于A ，B 两点，若直线AP ，BP 的斜率之和为0，试问PAB △的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数()xf x e ax =-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若4a ≥，证明：对于任意[)1,x ∈+∞，()2323f x x ax >-+恒成立．（参考数据：ln10 2.3≈）（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 22sin x y αα=-+=+⎧⎨⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是cos 2sin 40ρθρθ-+=．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）已知()4,0P -，设直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为Q ，求PQ 的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()31f x x =-+．（1）求不等式()82f x x ≤-+的解集；（2）若对任意的0x >，关于x 的不等式()f x ax ≥恒成立，求a 的取值范围．高三数学考试参考答案（文科）1．A 【解析】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养．由题意可得{}24A x x =-<<，则{}1,1,2A B =- ．2．D 【解析】本题考查复数，考查数学运算的核心素养．设(),z a bi a b =+∈R ，则()2212a bi i ai b i ++=+-=+，即221a b =⎧⎨-=⎩，解得2a =，1b =，故2z i =+．3．C【解析】本题考查三角函数的图象，考查数学运算的核心素养．因为2sin 22sin 23126y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以要得到2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度．4．B【解析】本题考查函数的图象，考查数学抽象的核心素养．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，则排除A ，D ；当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，则排除C ．故选B ．5．D【解析】本题考查三角恒等变换，考查函数与方程的数学思想．因为α是第二象限角，且sin 5α=，所以cos 5α=-，所以1tan 2α=-，故11tan 112tan $141tan 312πααα-++⎛⎫+=== ⎪-⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭．6．C【解析】本题考查统计图表，考查数据分析的核心素养．由题中统计图可知参加这次会议的总人数为4040%100÷=，则所发矿泉水喝剩约一半的人数为10030%30⨯=，故会议所发矿泉水全部喝完的人数为1004030822---=．7．A 【解析】本题考查异面直线所成角，考查直观想象的核心素养．如图，分别取PB ，PH 的中点M ，N ，连接MF ，CM ，MN ．易证四边形CEFM 是平行四边形，则CM EF ∥，CM EF =．因为M ，N 分别是PB ，PH 的中点，所以MN BH ∥，则CMN ∠是异面直线BH 与EF 所成的角（或补角）．设6AB =，则CM EF ==，12PM PB ==，2CN PN ==，MN ==，故1cos 3CMN ==∠．8．C 【解析】本题考查抛物线的性质，考查数学运算的核心素养．设直线:2l x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立224x my y x=+=⎧⎨⎩，整理得2480y my --=，则128y y =-，故()21212416y y x x ==．因为11PF x =+，21QF x =+，所以122244454513PF QF x x x x +=++=++≥，当且仅当21x =时，等号成立．9．B【解析】本题考查指数、对数的运算，考查数学建模的核心素养．设原来的光线强度为()0a a >，则要想通过n 块这样的玻璃之后的光线强度()190%25na a ⨯<，即0.1925n <，即1lg 0.9lg25n <，即()21lg 22lg522033042lg312lg3..1247.071n ----+⨯>==≈--⨯-，故至少要通过31块这样的玻璃，才能使光线强度减弱到原来的125以下．10．B【解析】本题考查导数的运用，考查化归与转化的数学思想．设()()2g x x f x =，则()()()22g x xf x x f x ''=+．当0x >时，因为()()20xf x f x '+>，所以()0g x '>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增．因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()()22g x x f x x f x g x -=--=-=-，则()g x 是奇函数．()30x f x >，即()0xg x >．因为()20f =，所以()()220g g -=-=，则()0xg x >等价于()00x g x ⎧>>⎪⎨⎪⎩或()00x g x ⎧<<⎪⎨⎪⎩，解得2x <-或2x >．11．B 【解析】本题考查多面体的外接球，考查直观想象的核心素养．由题中数据可知)221114A E =+=-，则11AA ==+．因为十面体ABCD EFGH -是由长方体1111ABCD A B C D -的上底面1111A B C D 绕着其中心旋转45︒得到的，所以长方体1111ABCD A B C D -的外接球就是十面体ABCD EFGH -的外接球．设十面体ABCD EFGH -外接球的半径为R ，则211224R +=．因为AE BE ==，2AB =，所以42sin7BAE =∠=．设ABE △外接圆的半径为r ，则22492sin 24BAE BE r ⎛⎫==⎪∠ ⎝⎭，则该十面体ABCD EFGH -外接球的球心到平面ABE的距离是364312=．12．C【解析】本题考查函数的基本性质，考查逻辑推理的核心素养．因为()y f x =的图象关于直线1x =对称，所以()()2f x f x =-，所以()()2f x f x +=-．因为()()25f x g x --=-．所以()()225f x g x ---=-，所以()()5f x g x ---=-．因为()()23g x f x ++=，所以()()3g x f x +-=，所以()()8g x g x +-=，则()g x 的图象关于点()0,4对称，且()04g =．因为()()25f x g x --=-，所以()()25f x g x --+=-，所以()()28g x g x ++=，所以()()248g x g x +++=，则()()4g x g x =+，即()g x 的周期为4．因为()33f =-，且()()23g x f x ++=，所以()16g =．因为()()28g x g x ++=，所以()32g =．因为()04g =，所以()24g =，则()()()()()()()22151234125161090k g k g g g g g g ==+++++=⨯+=⎡⎤⎣⎦∑．13．1-【解析】本题考查平面向量，考查数学运算的核心素养．由题意可得()1,1BC AC AB m =-=-．因为B ，C ，D 三点共线，所以BC BD ∥，所以()2140m --+=，解得1m =-．14．4【解析】本题考查线性规划，考查数形结合的数学思想．画出可行域（图略），当直线z x y =-经过()1,5A --时，z 取得最大值，最大值为4．15．3【解析】本题考查余弦定理，考查数学运算的核心素养．因为cos 14B =，所以sin 154B =，所以1158sin 2a ac B c ==16ac =．因为10a b c ++=，所以10a c b +=-，所以222210020a c ac b b ++=-+，所以2226820a c b b +-=-．由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即2228b a c =+-，所以2228a c b +-=，则68208b -=，解得3b =．16．53【解析】本题考查双曲线的性质，考查数形结合的数学思想．如图，取1PF 的中点N ，连接ON ．由题意可知1OM NF ⊥，OM a =，1OF c =．则1MF b =，ON c =．因为13PM MF =，所以14PF b =．因为O ，N 分别是线段11F F ，1PF 的中点，所以222PF ON c ==．由双曲线的定义可知12422PF PF b c a -=-=，即2b a c =+，即22242b a ac c =++．因为222b c a =-，所以223250c ac a --=，即23250e e --=，解得53e =．17．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意可得()()()1211121036a d a d a d a d +=+=++⎧⎪⎨⎪⎩，即121210330a d d a d +=-=⎧⎨⎩，2分因为0d ≠，所以16a =，2d =，4分则()21152n n n dS na n n -=+=+．6分（2）由（1）可知22211265623n n b S n n n n ⎛⎫===- ⎪+++++⎝⎭，9分则1211111111234455623n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，10分故11223339n n T n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭．12分评分细则：（1）第一问中，也可以将2a ，4a ，7a 用3a 和d 表示，从而求出d ，再根据前n 项和公式求出n S ；（2）第二问中，求出2233n T n =-+，不扣分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．18．解：（1）由题意可知某顾客抽奖1次，积分为3分的频率是61305=，则估计某顾客抽奖1次，积分为3分的概率为15．2分某顾客抽奖1次，积分为2分的频率是933010=，则估计某顾客抽奖1次，积分为2分的概率为310．4分（2）由（1）可知某顾客抽奖1次，积分为1分的概率是12，则某顾客抽奖1次，所得积分是1分和所得积分大于1分是等可能事件．6分设某顾客抽奖1次，积分为1分，记为A ，积分大于1分，记为a ，则某顾客抽奖2次，每次所得积分的情况为aaa ，aaA ，aAA ，aAa ，AAa ，AAA ，AaA ，Aaa ，共8种，8分其中符合条件的情况有aAA ，AAa ，AAA ，AaA ，共4种，10分故所求概率4182P ==．12分评分细则：（1）第一问中，直接求出概率，不予扣分；（2）第二问中，也可以先求出有2次和3次的积分大于1的概率，再由对立事件的概率计算公式求出该顾客至多有1次的积分大于1的概率；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．19．（1）证明：由正三棱柱的性质，易证1BCE D CC △≌△，则1BCE D CC ∠∠=，因为1190CC C D DC ∠∠+=︒，所以190C BCE C D ∠=∠+︒，即1CE C D ⊥．1分因为AB AC =，D 是棱BC 的中点，所以AD BC ⊥．由正三棱柱的定义可知1CC ⊥平面ABC ，则1CC AD ⊥．2分因为BC ，1CC ⊂平面11BCC B ，且1BC C CC = ，所以AD ⊥平面11BCC B ．3分因为CE ⊂平面11BCC B ，所以AD CE ⊥．4分因为AD ，1C D ⊂平面1AC D ，且1AD D C D = ，所以CE ⊥平面1AC D ．5分因为CE ⊂平面1A CE ，所以平面1AC D ⊥平面1A CE ．6分（2）解：连接1EC ．因为12AA AB ==，所以1E CC △的面积112222S =⨯⨯=．由正三棱柱的性质可知1AA ∥平面11BCC B ，则点1A 到平面11BCC B 的距离为AD ．因为ABC △是边长为2的等边三角形，所以AD =故三棱锥11A CC E -的体积11233V =⨯=．8分因为12AA AB ==，E 是1BB的中点，所以1A E CE ==，1A E =，则1E A C △的面积212S =⨯=设点1C 到平面1A CE 的距离是d ，则三棱锥11C A CE -的体积21633V d ==．10分因为12V V =，所以62333d =，解得d =12分评分细则：（1）第一问中，证出1CE D C ⊥，得1分，证出AD ⊥平面11BCC B ，得2分；（2）第二问中，也可以记1CE F C D = ，连接1A F ，过1C 作1A F 的垂线，垂足为H ，则1C F 是点1C 到平面1A CE 的距离；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．20．解：（1）由题意可得222222c a b c a b ===-⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，解得28a =，24b =．3分故椭圆C 的标准方程为22184x y +=．4分（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22184y kx mx y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩，整理得()222214280k x kmx m +++-=，则122421kmx x k +=-+，21222821m x x k -=+．5分设直线AP ，BP 的斜率分别是1k ，2k ，()()()121212121221212122121111124kx x m x x km m y y kx m kx m k k k x x x x x x m +-+---+-+-+=+=+=--．因为120k k +=，所以()221204km m k m --=-，解得4m =，7分则12AB x =-=，8分因为点P到直线l的距离d=，所以PAB△的面积2112221S AB dk===+．9分设t=，则2223k t=+，从而2626232442St t=≤=+，当且仅当24t=，即2234k-=，即272k=时，等号成立．11分经验证当272k=时，直线l与椭圆C有两个交点，则PAB△的面积存在最大值322．12分评分细则：（1）第一问中，求出b的值得1分，求出a的值得2分；（2）第二问中，没有检验直线l与椭圆C的位置关系，扣1分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．21．（1）解：由题意可得()xf x e a'=-．1分当0a≤时，()0f x'>，则()f x在R上单调递增；2分当0a>时，由()0f x'>，得lnx a>，由()0f x'<，得lnx a<，则()f x在()ln,a-∞上单调递减，在()ln,a+∞上单调递增．4分综上，当0a≤时，()f x在R上单调递增；当0a>时，()f x在()ln,a-∞上单调递减，在()ln,a+∞上单调递增．5分（2）证明:因为4a≥，且1x≥，所以4ax x≥，则要证()2323f x x ax>-+对于任意[)1,x∈+∞恒成立，即证233x e x ax>-+对于任意[)1,x∈+∞恒成立，即证2343x e x x>-+对于任意[)1,x∈+∞恒成立，即证23431xx xe-+<对一切[)1,x∈+∞恒成立．7分设()2343xx xg xe-+=，则()()()23713107x xx xx xg xe e----+-'==．8分当71,3x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x'>，当7,3x⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g x'<，则()g x在71,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减．9分故()213777max33773437101000333g x g e e e ⎛⎫⨯-⨯+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．10分因为ln1023.≈，所以ln100067.9≈<，即71000e <，所以710001e<，则()max 1g x <．11分故23431xx x e-+<对一切[)1,x ∈+∞恒成立，即()2323f x x ax >-+对一切[)1,x ∈+∞恒成立．12分评分细则：（1）第一问中，正确求导得1分，判断出0a ≤的单调性，得1分，判断出0a >的单调性，得2分；（2）第二问中，构造出函数()g x 得1分，直接得出()137max 10001g x e ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，扣1分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．22．解：（1）由12cos 22sin x y αα=-+=+⎧⎨⎩，（α为参数），得()()22124x y ++-=，故曲线C 的普通方程为()()22124x y ++-=．3分由cos 2sin 40ρθρθ-+=，得240x y -+=，故直线l 的直角坐标方程为240x y -+=．5分（2）由题意可知点P 在直线l 上，则直线l 的参数方程为254555x y =-+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，（t 为参数），6分将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，整理得25450t -+=．7分设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t，则125t t +=，8分故128525t t PQ +==．10分评分细则:（1）第一问中，曲线C 的普通方程写成222410x y x y ++-+=，不予扣分；（2）第二问中，也可以由点到直线的距离公式求出圆心C 到直线l 的距离d ，再由两点之间的距离公式求出CP 的值，最后根据勾股定理求出PQ 的值；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．23．解：（1）()82f x x ≤-+，即3182x x -+≤-+，等价于23182x x x <--++≤++⎧⎨⎩或232831x x x --++≤-≤-≤⎧⎨⎩或33182x x x >-+≤--⎧⎨⎩，3分解得34x -≤≤，即不等式()82f x x ≤-+的解集是[]3,4-．5分（2）当03x <<时，()f x ax ≥恒成立等价于()31a x x --+≥恒成立，6分则41a x ≤-在()0,3上恒成立，故13a ≤；7分当3x ≥时，()f x ax ≥恒成立等价于31x ax -+≥恒成立，8分则21a x ≤-在[)3,+∞上恒成立，故13a ≤．9分综上，a 的取值范围是1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．10分评分细则：（1）第一问中，也可以按2x <-，23x -≤≤和3x >这三种情况分别求出x 的取值范围，再求它们的并集，即不等式的解集，只要计算正确，不予扣分：（2）第二问中，最后结果没有写成集合或区间的形式，扣1分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．。

河南名校12月高三联考文科数学参考答案

２０２２－２０２３学年高三年级ＴＯＰ二十名校十二月调研考高三文科数学参考答案１．【答案】　Ｃ【解析】　Ａ＝｛ｘ｜－１＜ｘ＜１｝，瓓ＲＡ＝｛ｘ｜ｘ≤－１或ｘ≥１｝，则Ｂ∩瓓ＲＡ＝｛－１，１，２｝．故选Ｃ．２．【答案】　Ａ【解析】　因为１１－ｚ＝１＋ｉ，所以ｚ＝１－１１＋ｉ＝ｉ１＋ｉ＝ｉ（１－ｉ）（１＋ｉ）（１－ｉ）＝１２＋１２ｉ，所以｜ｚ｜＝()１２２＋()１２槡２＝槡２２．故选Ａ．３．【答案】　Ｃ【解析】　作出可行域，如图中阴影部分所示，结合图形可知，当直线ｙ＝－１２ｘ＋ｚ２过点Ａ（０，２）时，ｚ取最小值，ｚｍｉｎ＝４．４．【答案】　Ｃ【解析】　ｙ＝ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ槡＝２ｓｉｎ２ｘ＋π()４．令ｓｉｎ２ｘ＋π()４＝０，则２ｘ＋π４＝ｋπ（ｋ∈Ｚ），即ｘ＝－π８＋ｋπ２（ｋ∈Ｚ），故对称中心可以是３π８，()０．故选Ｃ．５．【答案】　Ｄ【解析】　ａ＝ｌｏｇ５０．５＜ｌｏｇ５１＝０，１２＝０．５１＜ｂ＝０．５０．２＜０．５０＝１，０＜ｃ＝０．槡２＜０．槡２５＝１２，所以ａ＜ｃ＜ｂ．６．【答案】　Ｃ【解析】　执行该程序框图，ｉ＝１，Ｋ＝０，Ｓ＝１３０，执行第１次循环ｉ＝１，Ｋ＝１，Ｓ＝６５；执行第２次循环ｉ＝２，Ｋ＝３，Ｓ＝１３；执行第３次循环ｉ＝５，Ｋ＝８，Ｓ＝１；当ｉ＝５时不满足ｉ＜５，输出Ｓ＝１．故选Ｃ．７．【答案】　Ｄ【解析】　新样本的平均数为ｘ＝２×５＋２６＝２，方差ｓ２＝２×５＋（２－２）２６＜２；因为加入的２是原样本数据的平均值，故不是最大和最小的数，所以极差不变但中位数有可能发生改变．故选Ｄ．８．【答案】　Ａ【解析】　因为ｆ（１－ｘ）为奇函数，所以ｆ（１＋ｘ）＝－ｆ（１－ｘ），所以ｆ（ｘ）的图象关于点（１，０）对称．因为ｆ（ｘ－１）为偶函数，所以ｆ（－ｘ－１）＝ｆ（ｘ－１），即ｆ（－１－ｘ）＝ｆ（－１＋ｘ），所以ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ＝－１对称．则有ｆ（－２）＝ｆ（０）＝－ｆ（２）＝１，即ｆ（２）＝－１．故选Ａ．９．【答案】　Ｄ【解析】　连接Ａ１Ｄ，由Ａ１Ｄ∥Ｂ１Ｃ，可知Ａ１Ｅ与Ｂ１Ｃ不平行，Ａ选项不正确；连接ＢＣ１交Ｂ１Ｃ于点Ｇ，连接ＦＧ，因为ＦＧ∥Ａ１Ｂ１，ＦＧ＝１２Ａ１Ｂ１，ＢＥ∥Ａ１Ｂ１，ＢＥ＝１２Ａ１Ｂ１，所以ＦＧ∥ＢＥ，ＦＧ＝ＢＥ，则四边形ＢＥＦＧ为平行四边形，则有ＥＦ∥ＢＧ，因为ＢＧ⊥Ｂ１Ｃ，ＥＦ∥ＢＧ，所以ＥＦ⊥Ｂ１Ｃ，因为Ａ１Ｅ＝ＣＥ，Ｆ为Ａ１Ｃ的中点，所以ＥＦ⊥Ａ１Ｃ，所以ＥＦ⊥平面Ａ１Ｂ１Ｃ，故平面Ａ１ＥＣ⊥平面Ａ１Ｂ１Ｃ，Ｂ选项不正确；因为ＥＦ⊥平面Ａ１Ｂ１Ｃ，所以ＥＦ的长度即为点Ｅ到平面Ａ１Ｂ１Ｃ的距离，ＥＦ＝１２ＢＣ１槡＝２，Ｃ选项不正确；由等体积变换可知ＶＡ１－Ｂ１ＣＥ＝ＶＥ－Ａ１Ｂ１Ｃ＝１３×Ｓ△Ａ１Ｂ１Ｃ×ＥＦ＝１３槡槡×２２×２＝４３，Ｄ选项正确．故选Ｄ．１０．【答案】　Ｂ【解析】　由ａｎ·ａｎ＋１·ａｎ＋２＝１类比得ａｎ＋１·ａｎ＋２·ａｎ＋３＝１，两式相除得ａｎ＋３ａｎ＝１，即ａｎ＋３＝ａｎ．由ａ１＝２，ａ２＝－１２，得ａ３＝－１，设ａ{}ｎ的前ｎ项积为Ｔｎ，则有Ｔ１＝２，Ｔ２＝－１，Ｔ３＝１，Ｔ４＝２，…，则数列Ｔ{}ｎ是以３为周期的数列，Ｔｎ的最大值为２．故选Ｂ．１１．【答案】　Ｄ【解析】　由ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ＝１，可得点Ａ的轨迹是以原点为圆心，１为半径的圆，根据向量减法的几何意义，由｜→ ＯＡ－→ ＯＢ｜＝１，可得点Ｂ的轨迹是以Ａ为圆心，１为半径的圆，如图所示．当点Ｂ在坐标原点位置时，→ ＯＢ取最小值０，当点Ｂ在射线ＯＡ与圆Ａ的交点位置时，→ ＯＢ取最大值２，Ａ，Ｂ选项错误．根据向量数量积的几何意义，当点Ｂ在坐标原点位置时，→ ＯＢ在→ＯＡ方向上的投影取最小值０，此时→ ＯＡ·→ ＯＢ取最小值０，当点Ｂ在射线ＯＡ与圆Ａ的交点位置时，→ ＯＢ在→ ＯＡ方向上的投影取最大值２，此时→ ＯＡ·→ ＯＢ取最大值２，Ｃ选项错误，Ｄ选项正确．故选Ｄ．１２．【答案】　Ｂ【解析】　不妨设点Ｐ在第一象限，作ＰＰ′垂直准线于点Ｐ′，则有｜ＰＰ′｜＝｜ＰＦ｜，由角平分线定理得｜ＡＢ｜｜ＢＦ｜＝｜ＰＡ｜｜ＰＦ｜＝｜ＰＡ｜｜ＰＰ′｜＝１ｃｏｓ∠ＡＰＰ′，当直线ＡＰ与抛物线相切时，∠ＡＰＰ′最大，１ｃｏｓ∠ＡＰＰ′最大，设直线ＡＰ的方程为ｘ＝ｍｙ－１（ｍ＞０），由ｙ２＝４ｘ，ｘ＝ｍｙ{－１整理得ｙ２－４ｍｙ＋４＝０，由Δ＝１６ｍ２－１６＝０，得ｍ＝１，则当直线ＡＰ与抛物线相切时∠ＡＰＰ′＝４５°，则｜ＡＢ｜｜ＢＦ｜＝１ｃｏｓ∠ＡＰＰ′≤槡２，设Ｏ为原点，则｜ＡＢ｜－｜ＢＦ｜＝（１＋｜ＯＢ｜）－（１－｜ＯＢ｜）＝２｜ＯＢ｜，由上可知，｜ＡＢ｜｜ＢＦ｜＝１＋｜ＯＢ｜１－｜ＯＢ｜≤槡２，整理得｜ＯＢ｜≤槡３－２２，则｜ＡＢ｜－｜ＢＦ｜≤槡６－４２，当直线ＡＰ与抛物线相切时取最大值．故选Ｂ．１３．【答案】　－１【解析】　设切点的坐标为（ｘ０，ｅ－ｘ０），由题意得ｆ′（ｘ）＝－１ｅｘ，则该切线的斜率ｋ＝－１ｅｘ０＝ｅ－ｘ０ｘ０－１，解得ｘ０＝０，则切线的斜率ｋ＝－１．１４．【答案】　ｙ２－ｘ２３＝１（答案不唯一）【解析】　由题意可知ｃａ＝２，即ｂ２＝３ａ２，所以Ｃ的方程可以为ｙ２－ｘ２３＝１．１５．【答案】　２０π【解析】　依题意，作出球Ｏ的内接正四棱柱ＩＤＪＣ－ＡＨＢＧ，ＡＣ∩ＧＩ＝Ｋ．因为ＧＩ∥ＢＤ，所以∠ＡＫＧ＝６０°或１２０°，又ＡＢ＜ＥＦ，则∠ＡＫＧ＝６０°．因为ＡＢ槡＝２２，则ＡＧ＝２，ＡＩ槡＝２３，在Ｒｔ△ＡＥＯ中，ＥＯ槡＝３，ＡＥ槡＝２，则ＡＯ＝ＡＥ２＋ＥＯ槡２槡＝５，则球Ｏ的表面积Ｓ＝４πＲ２＝２０π．１６．【答案】　槡５－１２【解析】　在△ＡＣＤ中，由正弦定理可得ＡＤｓｉｎＣ＝ＡＣｓｉｎ∠ＡＤＣ．又∠Ｂ＝∠ＣＡＤ，可得ｓｉｎＣ＝ｓｉｎπ２－２()Ｂ＝ｃｏｓ２Ｂ，且ｓｉｎ∠ＡＤＣ＝ｓｉｎ∠ＡＤＢ＝ｃｏｓＢ，则有ＡＤｃｏｓ２Ｂ＝ＡＣｃｏｓＢ①．又ＡＤ＝ＡＣｓｉｎＢ②，①②联立，得ｓｉｎＢｃｏｓＢ＝ｃｏｓ２Ｂ，即ｃｏｓ２Ｂ－ｓｉｎ２ＢｓｉｎＢｃｏｓＢ＝１，则１－ｔａｎ２ＢｔａｎＢ＝１，整理得ｔａｎ２Ｂ＋ｔａｎＢ－１＝０，解得ｔａｎＢ＝槡５－１２或ｔａｎＢ＝槡－５－１２（舍去）．故ｔａｎＢ＝槡５－１２．１７．【答案】　见解析【解析】　（１）由频率分布直方图可知，６５万件产品中，耐热等级达到Ｃ级的产品数为６５×（０．０６×１０＋０．０２×１０）＝５２（万件），故耐热等级达到Ｃ级的产品数约为５２万件．（４分）……………………………………………（２）由频率分布直方图可知，采用甲工艺生产的产品中，达到Ｃ级的件数为（０．２＋０．６）×５０＝４０，未达到Ｃ级的件数为５０－４０＝１０．（６分）…………………………………………………………采用乙工艺生产的产品中，达到Ｃ级的件数为（０．２＋０．４）×５０＝３０，未达到Ｃ级的件数为５０－３０＝２０．（８分）…………………………………………………………完成表格如下：合格不合格Ａ４０１０Ｂ３０２０（１０分）………………………………………………………………………………………………由列联表可得，Ｋ２＝１００×（４０×２０－３０×１０）２５０×５０×７０×３０＝１００２１≈４．７６２＞３．８４１，所以有９５％的把握认为测试结果与不同的生产工艺有关．（１２分）……………………………１８．【答案】　见解析【解析】　（１）由ｂｎ＝ａｎ－２，可知数列ｂ{}ｎ为等差数列，且ａ{}ｎ，ｂ{}ｎ的公差相等，设为ｄ．由ａ２－ｂ３＝４，得ａ２－（ａ３－２）＝４，则ｄ＝ａ３－ａ２＝－２．（２分）…………………………………由ｂ４＝３ａ２，得ｂ１＋３ｄ＝３（ａ１＋ｄ），即ｂ１＝３ａ１．因为ｂｎ＝ａｎ－２，所以ｂ１＝ａ１－２，则有ａ１－２＝３ａ１，则ａ１＝－１，故数列ａ{}ｎ的通项公式为ａｎ＝－２ｎ＋１，则数列ｂ{}ｎ的通项公式ｂｎ＝－２ｎ－１．（５分）…………………………………………………………（２）由（１）可知１ａｎｂｎ＝１（２ｎ－１）（２ｎ＋１），则１ａ１ｂ１＋１ａ２ｂ２＋１ａ３ｂ３＋…＋１ａｎｂｎ＝１１×３＋１３×５＋１５×７＋…＋１（２ｎ－１）（２ｎ＋１）＝１２×１－１３＋１３－１５＋１５－１７＋…＋１２ｎ－１－１２ｎ()＋１（１０分）………………………………＝１２１－１２ｎ()＋１＜１２．（１２分）………………………………………………………………………１９．【答案】　见解析【解析】　（１）取ＡＣ的中点Ｇ，连接ＥＧ，ＦＧ．因为ＥＧ∥ＣＤ，ＣＤ⊥ＡＣ，所以ＥＧ⊥ＡＣ．因为ＦＧ∥ＡＢ，ＡＢ⊥ＡＣ，所以ＦＧ⊥ＡＣ．（２分）……………………………………………………又ＥＧ∩ＦＧ＝Ｇ，所以ＡＣ⊥平面ＥＦＧ．又ＥＦ平面ＥＦＧ，所以ＡＣ⊥ＥＦ．（４分）…………………………………………………………（２）在△ＥＦＧ中，ＥＧ＝ＦＧ＝１，ＥＦ槡＝３．由余弦定理得，ｃｏｓ∠ＥＧＦ＝ＥＧ２＋ＦＧ２－ＥＦ２２ＥＧ·ＦＧ＝－１２，则∠ＥＧＦ＝１２０°．因为ＣＤ∥ＥＧ，ＦＧ∥ＣＭ，所以∠ＤＣＭ＝６０°．（６分）………………………………………………因为ＡＣ⊥ＣＭ，ＡＣ⊥ＣＤ，ＣＭ∩ＣＤ＝Ｃ，所以ＡＣ⊥平面ＣＤＭ．又因为ＡＣ平面ＡＢＣＭ，所以平面ＣＤＭ⊥平面ＡＢＣＭ．（８分）………………………………………………………………作ＤＨ垂直ＣＭ于Ｈ，连接ＢＨ．所以ＤＨ⊥平面ＡＢＣＭ，又ＢＨ平面ＡＢＣＭ，所以ＤＨ⊥ＢＨ．由题意可知ＤＨ槡＝３，ＢＨ槡＝１３，在Ｒｔ△ＢＤＨ中，ＢＤ＝ＤＨ２＋ＢＨ槡２＝４．（１２分）……………………………………………………２０．【答案】　见解析【解析】　（１）当ａ＝０时，ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）ｌｎｘ－ｘ２（ｘ＞０），ｆ′（ｘ）＝ｌｎｘ＋ｘ－１ｘ－２ｘ，设ｇ（ｘ）＝ｆ′（ｘ），ｇ′（ｘ）＝１ｘ＋１ｘ２－２＝－（ｘ－１）（２ｘ＋１）ｘ２，当ｘ＞１时，ｇ′（ｘ）＜０，ｆ′（ｘ）在（１，＋∞）上单调递减；当０＜ｘ＜１时，ｇ′（ｘ）＞０，ｆ′（ｘ）在（０，１）上单调递增．故ｆ′（ｘ）的单调递增区间为（０，１），单调递减区间为（１，＋∞）．（４分）…………………………（２）由ｆ（１）≥０，得ａ≥１．当ａ≥１时，ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）ｌｎｘ＋（ａ－１）ｘ２≥（ｘ－１）ｌｎｘ．（６分）…………………………………令ｈ（ｘ）＝（ｘ－１）ｌｎｘ，ｈ′（ｘ）＝ｌｎｘ＋ｘ－１ｘ，当ｘ＞１时，ｌｎｘ＞０，ｘ－１ｘ＞０，ｈ′（ｘ）＝ｌｎｘ＋ｘ－１ｘ＞０，ｈ（ｘ）在（１，＋∞）上单调递增；当０＜ｘ＜１时，ｌｎｘ＜０，ｘ－１ｘ＜０，ｈ′（ｘ）＝ｌｎｘ＋ｘ－１ｘ＜０，ｈ（ｘ）在（０，１）上单调递减，故ｈ（ｘ）≥ｈ（１）＝０．（１０分）…………………………………………………………………………此时ｆ（ｘ）≥ｈ（ｘ）≥０，满足题意．综上，实数ａ的取值范围为［１，＋∞）．（１２分）……………………………………………………２１．【答案】　见解析【解析】　（１）由长轴比短轴长２，则２（ａ－ｂ）＝２，即ａ－ｂ＝１　①，由焦距为槡２３，则ｃ槡＝３，即ａ２－ｂ２＝３　②，①②联立，得ａ＋ｂ＝３，则ａ＝２，ｂ＝１，所以Ｃ的方程为ｘ２４＋ｙ２＝１．（４分）…………………………………………………………………（２）由题意可知，直线ｌ的斜率不为０．当ｌ的斜率不存在时，直线ｌ的方程为ｘ＝１，由对称性可知，四边形ＡＢＤＥ为矩形，则Ｄ，Ｅ两点到直线ｘ＝５２的距离之积为｜ＰＱ｜２＝９４．（５分）……………………………………当ｌ的斜率存在时，设ｌ的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－１），Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），结合题意可设Ｄ（ｘＤ，ｙ２），Ｅ（ｘＥ，ｙ１）．由ｘ２＋４ｙ２＝４ｙ＝ｋ（ｘ－１{），可得ｘ２＋４ｋ２（ｘ－１）２＝４，整理得（１＋４ｋ２）ｘ２－８ｋ２ｘ＋４ｋ２－４＝０，ｘ１＋ｘ２＝８ｋ２１＋４ｋ２，ｘ１ｘ２＝４ｋ２－４１＋４ｋ２．（６分）………………………………………………………………由Ａ，Ｑ，Ｄ三点共线，可知ｋＡＱ＝ｋＤＱ，即ｙ１ｘ１－５２＝ｙ２ｘＤ－５２　①，由Ｂ，Ｑ，Ｅ三点共线，可知ｋＢＱ＝ｋＥＱ，即ｙ２ｘ２－５２＝ｙ１ｘＥ－５２　②，①×②得：ｙ１ｙ２（ｘ１－５２）（ｘ２－５２）＝ｙ２ｙ１（ｘＤ－５２）（ｘＥ－５２），又ｙ１ｙ１≠０，则（ｘ１－５２）（ｘ２－５２）＝（ｘＤ－５２）（ｘＥ－５２）．（９分）…………………………………（ｘ１－５２）（ｘ２－５２）＝ｘ１ｘ２－５２（ｘ１＋ｘ２）＋２５４＝４ｋ２－４１＋４ｋ２－５２·８ｋ２１＋４ｋ２＋２５４＝－８（１＋４ｋ２）２（１＋４ｋ２）＋２５４＝９４，则（ｘＤ－５２）（ｘＥ－５２）＝９４．（１１分）………………………………………………………………故Ｄ，Ｅ两点到直线ｘ＝５２的距离之积为定值９４．（１２分）…………………………………………２２．【答案】　见解析【解析】　（１）由Ｃ１的参数方程得ｘ２＝ｔ２＋１４ｔ２＋１，ｙ２＝ｔ２＋１４ｔ２－１，两式相减得ｘ２－ｙ２＝２，所以Ｃ１的普通方程为ｘ２－ｙ２＝２．由Ｃ２的参数方程得Ｃ２的普通方程为ｘ２＋ｙ２＝４．（５分）…………………………………………（２）由ｘ２－ｙ２＝２，ｘ２＋ｙ２＝４{，得到ｘ槡＝±３，ｙ＝±１{．所以Ａ的直角坐标为（槡３，１）．（７分）………………………………………………………………以ＯＡ为直径的圆的圆心的极坐标为１，π()６，半径为１，则ＯＡ为直径的圆的极坐标方程为ρ＝２ｃｏｓ（θ－π６），所以所求圆的极坐标方程为ρ槡＝３ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ．（１０分）…………………………………………２３．【答案】　见解析【解析】　（１）由ｍ＝１，则ｆ（ｘ）＝｜ｘ－１｜，当ｘ≥１时，ｆ（ｘ）＝ｘ－１≤２－ｘ，则１≤ｘ≤３２；（２分）………………………………………………当ｘ＜１时，ｆ（ｘ）＝１－ｘ≤２－ｘ成立，则ｘ＜１，综上，不等式ｆ（ｘ）≤２－ｘ的解集为－∞，(]３２．（５分）……………………………………………（２）因为ｆ（ｘ）≥２－ｘ恒成立，所以ｆ（ｘ）＋ｘ≥２恒成立，设ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｘ＝｜ｘ－ｍ｜＋ｘ＝２ｘ－ｍ，ｘ≥ｍ，ｍ，ｘ＜{ｍ．当ｘ≥ｍ时，ｇ（ｘ）＝２ｘ－ｍ在［ｍ，＋∞）上单调递增，当ｘ＜ｍ时，ｇ（ｘ）＝ｍ．（８分）………………………………………………………………………所以函数ｇ（ｘ）的最小值为ｍ，所以ｍ≥２，故ｍ的取值范围为［２，＋∞）．（１０分）……………………………………………………………。

高三三校联考文科数学试题(附答案)

高三三校联考文科数学试题三校联考数学（文）试题本试卷共8页，21小题，满分150分，考试时间为120分钟．注意事项：1、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．2、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

）1．已知全集U=R ，集合}{|A x y ==，集合{|0B x =＜x ＜2}，则()U C A B ⋃=（） A ．[1,)+∞ B ．()1+∞， C ．[0)∞，+ D ．()0∞，+2．设复数121212z i z bi z =+=+⋅，，若z 为实数，则b= （） A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－23．在等比数列{}n a 中，如果12344060a a a a +=+=，，那么78a a += （） A ．135 B ．100 C ．95 D ．804．在边长为1的等边△ABC 中，设,,BC a CA b AB c a b b c c a ===⋅+⋅+⋅=，则（） A ．32-B ．0C ．32D ．35．在△ABC 中，a ,b ,c 分别是A ∠，B ∠，C ∠的对边，且222b c a ++=，则A ∠等于（）A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π6．已知直线l m n ，，及平面α，下列命题中是假命题的是（）A ．若l ∥m ,m ∥n ,则l ∥n ；B ．若l ∥α，n ∥α，则l ∥n .C ．若l m ⊥，m ∥n ，则l n ⊥；D ．若,l n α⊥∥α，则l n ⊥；7．已知函数2()f x x x c =++，若(0)f ＞0，()f p ＜0，则必有（）A ．(1)f p +＞0B ．(1)f p +＜0C ．(1)f p +=0D ．(1)f p +的符号不能确定8．曲线32y x x =-在横坐标为-1的点处的切线为l ，则点(3,2)P 到直线l 的距离为（）A．2 B．2 C．2 D．109．已知{}(,)|6,0,0x y x y x y Ω=+≤≥≥，{}(,)|4,0,20A x y x y x y =≤≥-≥，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落在区域A 的概率为（） A ．13 B ．23 C ．19 D ．2910．对于函数①()|2|f x x =+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =-，判断如下两个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数；能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（） A ．①② B ．①③ C ．② D ．③二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分20分，其中14，15题是选做题，考生只能做一题，两题全答的，只计算14题的得分.）11、已知椭圆C 的焦点与双曲线2213y x -=的焦点相同，且离心率为12，则椭圆C 的标准方程为 . 12、函数2()lg(21)f x x ax a =-++在区间(]1-∞，上单调递减，则实数a 的取值范围是 . 13、如图所示，这是计算111124620++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 .14、（坐标系与参数方程选做题）已知直线的极坐标方程为sin()4πρθ+=，则极点到这条直线的距离是 .13题图15、（平面几何选讲选做题）如图，⊙O 的割线PBA 过圆心O ，弦CD 交PA 于点F ，且△COF ∽△PDF ，2PB OA ==，则PF = .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16、（本题满分12分）已知向量(cos sin ,sin )a x x x =+，(cos sin ,2cos )b x x x =-，设()f x a b =⋅.（1）求函数()f x 的最小正周期.（2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值及最小值.17.(本题满分12分)已知函数2()(0).af x x x a R x=+≠∈，常数（1）当2a =时，解不等式()(1)f x f x --＞21x -；（2）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由.18.（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD，且2PA PD AD ==，若E（1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）求证：平面PDC ⊥平面PAD .19、（本题满分14分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在X 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214y x =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交Y 轴于M 点，若1MA AF λ=，2MB BF λ= ，求证：1210λλ+=-.20、（本题满分14分）设函数2113()424f x x x =+-，对于正数数列{}n a ，其前n 项和为n S ，且()n n S f a =，()n N *∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在等比数列{}n b ，使得111222(21)2n n n a b a b a b n ++++=-+对一切正整数n 都成立？若存在，请求出数列{}n b 的通项公式；若不存在，请说明理由.21.（本题满分14分）设函数()2ln q f x px x x =--，且()2pf e qe e=--，其中e 是自然对数的底数.（1）求p 与q 的关系；（2）若()f x 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围；（3）设2()eg x x=，若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得0()f x ＞0()g x 成立，求实数p 的取值范围.答题卷二、填空题：（本大题共须作4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题横线上）11、 12、 13、★选作题 14、 15、三、解答题（本大题共6小题，共80分）16．解：17．解：18．证明：19．解：20.解：◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆21.解：参考答案一、选择题DDAAD，BAADC二、填空题 11.2211612x y += ；12.[)1,2 ； 13. 20n ≤； 14. 2 ；15.3三、解答题16.解：（1）()(cos sin )(cos sin )2sin cos f x a b x x x x x x =⋅=+-+ ………2分 22cos sin 2sin cos cos 2sin 2x x x x x x =-+=+ ………3分)4x π=+ ………5分所以函数()f x 的最小正周期22T ππ== ………6分（2）当44x ππ-≤≤， ∴32444x πππ-≤+≤，1)4x π-≤+≤∴当2,428x x πππ+==即时，()f x ； ………10分当244x ππ+=-，即4x π=-时，()f x 有最小值1-. ………12分17.解：（1）当2a =时，22()f x x x =+，22(1)(1)1f x x x -=-+-，由 2222(1)1x x x x +----＞21x -， ………3分得221x x --＞0，(1)x x -＜0 ，0＜x ＜1∴原不等式的解为 0＜x ＜1； ………………6分（2）()f x 的定义域为(0)(0-∞⋃∞，，+)， ………………7分当0a =时，2()f x x =，22()()()f x x x f x -=-==，所以()f x 是偶函数.………………9分当0a ≠时，2()()20(0)f x f x x x +-=≠≠， 2()()0af x f x x--=≠ 所以()f x 既不是奇函数，也不是偶函数. ………………12分18.（1）证明：连结AC ，则F 是AC 的中点，在△CPA 中，EF ∥PA ， …………2分且PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，∴EF ∥平面PAD …………5分（2）证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，又CD ⊥AD ，所以，CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PA …………8分又AD ，所以△PAD 是等腰直角三角形，且2PAD π∠=，即PA ⊥PD ……………………10分又CD ∩PD=D ， ∴ PA ⊥平面PDC ，又PA ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面PDC ……………………12分19.（1）解：设椭圆C 的方程为22221x y a b+= （a ＞b ＞0），……1分抛物线方程化为24x y =，其焦点为(0,1)， ………………2分则椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即 1b = ………………3分由c e a ===，∴25a =，所以椭圆C 的标准方程为 2215x y += ………………6分（2）证明：易求出椭圆C 的右焦点(2,0)F ， ………………7分设11220(,),(,),(0,)A x y B x y M y ，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为 (2)y k x =-，代入方程2215x y += 并整理，得 2222(15)202050k x k x k +-+-= ………………9分∴21222015k x x k +=+，212220515k x x k-=+ ………………10分又，110(,)MA x y y =-，220(,)MB x y y =-，11(2,)AF x y =--，22(2,)BF x y =--，而 1MA AF λ=， 2MB BF λ=，即110111(0,)(2,)x y y x y λ--=--，220222(0,)(2,)x y y x y λ--=-- ∴1112x x λ=-，2222x x λ=-， ……………………12分所以 121212121212122()2102242()x x x x x x x x x x x x λλ+-+=+==----++ ………14分 20.解：（1）由2113()424f x x x =+-，()n n S f a = ，()n N *∈ 得2113424n n n S a a =+- ()n N *∈ ① ………2分 2111113424n n n S a a +++=+- ， ② 即 221111111()422n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=-+-， ………4分即 221111()()042n n n n a a a a ++--+= ，即 11()(2)0n n n n a a a a +++--=∵n a ＞0，∴12n n a a +-= ，即数列{}n a 是公差为2的等差数列，……7分由①得，21111113424S a a a ==+-，解得13a =，因此，数列{}n a 的通项公式为21n a n =+. ………9分（2）假设存在等比数列{}n b ，使得对一切正整数n 都有111222(21)2n n n a b a b a b n ++++=-+ ③当2n ≥时，有1122112(23)2n n n a b a b a b n --+++=-+ ④ ③－④，得 2(21)n n n a b n =+，由21n a n =+得，2n n b = ………………13分又11162(211)a b ==⨯+满足条件，因此，存在等比数列{}2n，使得111222(21)2n n n a b a b a b n ++++=-+对一切正整数n 都成立. …………………14分21.解：（1）由题意得()2ln 2q p f e pe e qe e e=--=-- …………1分 1()()0p q e e ⇒-+= 而10e e+≠，所以p 、q 的关系为p q = …………3分（2）由（1）知()2ln 2ln q p f x px x px x x x =--=--， 2'2222()p px x p f x p x x x -+=+-= …………4分令2()2h x px x p =-+，要使()f x 在其定义域(0,)+∞内是单调函数，只需()h x 在(0,)+∞内满足：()0()0h x h x ≥≤或恒成立. …………5分①当0p =时，()2h x x =-，因为x ＞0，所以()h x ＜0，'22()x f x x =-＜0， ∴()f x 在(0,)+∞内是单调递减函数，即0p =适合题意；…………6分②当p ＞0时，2()2h x px x p =-+，其图像为开口向上的抛物线，对称轴为1(0,)x p=∈+∞，∴min 1()h x p p=-，只需10p p-≥，即'1()0,()0p h x f x ≥≥≥时， ∴()f x 在(0,)+∞内为单调递增函数，故1p ≥适合题意. …………7分③当p ＜0时，2()2h x px x p =-+，其图像为开口向下的抛物线，对称轴为1(0,)x p=∉+∞，只要(0)0h ≤，即0p ≤时，()0h x ≤在(0,)+∞恒成立，故p ＜0适合题意. 综上所述，p 的取值范围为10p p ≥≤或. ……………………9分（3）∵2()e g x x=在[]1,e 上是减函数， ∴x e =时，min ()2g x =；1x =时，max ()2g x e =，即[]()2,2g x e ∈，…10分①当0p ≤时，由（2）知()f x 在[]1,e 上递减m a x ()(1)0f x f ⇒==＜2，不合题意； ……………………11分②当0＜p ＜1时，由[]11,0x e x x∈⇒-≥，又由（2）知当1p =时，()f x 在[]1,e 上是增函数，∴1111()()2ln 2ln 2ln 2f x p x x x x e e e x x e e=--≤--≤--=--＜2，不合题意； ……………………12分③当1p ≥时，由（2）知()f x 在[]1,e 上是增函数，(1)0f =＜2，又()g x 在[]1,e 上是减函数，故只需max ()f x ＞min ()g x ，[]1,x e ∈ ，而m a x 1()()()2ln f x f e p e e e ==--，min ()2g x =，即 1()2ln p e e e --＞2，解得p ＞241e e - ，综上，p 的取值范围是24()1e e +∞-，. ……………………14分。

陕西省安康市2023届高三第三次质量联考文科数学答案

文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案DABACBDCCBAA1.D解析：由题意得2y x y x ⎧=⎨=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩，故{(0,0),(1,1)}A B = .2.A 解析：()()()()()i 2i 22i i 2i 2i 2i 2i 5a b a b b a z a b +-++-+===+++-为纯虚数，∴20,20a b b a +=⎧⎨-≠⎩∴2ba =-.3.B 解析：S 6＝6（a 1＋a 6）2＝6（a 3＋a 4）2＝12.4.A解析：由题意可得2a －b ＝(3，2－x )，，∴3x ＝2－x ，解得x ＝12，∴|b |＝1＋14＝52.5.C 解析：由题意，1234535x ++++==，75849398100905y ++++==，将()3,90代入 6.4y x a =+，可得90 6.43a =⨯+，解得70.8a =，线性回归直线方程为 6.470.8y x =+，将58x =代入上式， 6.45870.8442y =⨯+=.6.B 解析：双曲线2221(0)y x k k-=>的渐近线方程为y kx =±，即0kx y ±-=.∵双曲线的渐近线与圆22(2)1x y +-=相切，∴2211k =+，解得3k =.7.D 解析：当π2π,63A B ==时，tan tan A B >，但sin sin A B <，故“tan tan A B >”不是“sin sin A B >”的充分条件，当2ππ,36A B ==时，sin sin A B >，但tan tan A B <，故“tan tan A B >”不是“sin sin A B >”的必要条件；∴“tan tan A B >”是“sin sin A B >”的既不充分也不必要条件．8.C解析：设方程()()2227270x mx x nx -+-+=的四个根由小到大依次为1a ，2a ，3a ，4a .不妨设2270x mx -+=的一根为1，则另一根为27，12728m ∴=+=.由等比数列的性质可知1423a a a a =，411,27a a ∴==，∴等比数列1a ，2a ，3a ，4a 的公比为4313a q a ==，2133a ∴=⨯=，23139a =⨯=，由韦达定理得3912n =+=，∴281216m n -=-=.9.C 解析：将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面的面积为大、小圆锥的侧面积之差，设小圆锥母线长为x ，则大圆锥母线长为x ＋6，由相似得163x x =+，即x ＝3，∴可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为332π12π⋅=.10.B解析：由已知可得(2)(),()f x f x f x +=∴的周期为2，∴2023202312111()()(0)221222f f f f ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭.11.A 解析：如图，由题意得23F M a =，1260F PF ∠=︒，∴13PM a =，223PF a =，由椭圆定义可得212112,PF PF PM MF PF a MF a +=++=∴=，在Rt 12MF F ∆中，由勾股定理得22243a c a ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，可得c e a ==12.A 1e 1.011bc ===-可得21.0112a -=，ln1.01b =，11 1.01c =-，比较a 和b ，构造函数()21ln 2x f x x -=-，当1x >，()10f x x x =->'，()f x 在()1,+∞上单调递增，故()()1.0110f f >=，即a b >.同理比较b 和c ，构造函数()1ln 1g x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当1x >，()210x g x x -'=>，∴()g x 在()1,+∞上单调递增，∴()()1.0110g g >=，即b c >.综上，a b c >>.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.114.3415.1或3或5或7(写出其中一个即可)16.52π13.1解析：作出可行域，易得目标函数z x y =-在点A （4，3）处取得最大值1.14.34解析：f (2log 3)＝f (2log 3－1)＝f (23log 2)＝f (23log 2-1)＝f (23log 4)＝23log 4324=.15.1或3或5或7(写出其中一个即可)解析：由已知可得cos(ω·π2)＝0，∴ω·π2＝π2＋k π，k ∈Z ，∴ω＝1＋2k ，k ∈Z .∵f (x )在区间[0，π8]上单调，∴ωx ∈[0，π8ω]，∴结合y ＝cos u 的图象可得π8ω≤π，∴0<ω≤8，∴ω＝1或3或5或7.16.52π解析：设正六棱柱的底面边长为x ，高为y ，则6x ＋y ＝18，0<x <3，正六棱柱的体积V ＝6×34x 2y ＝36·3x ·3x ·(18－6x )≤36[3x ＋3x ＋（18－6x ）3]3＝，当且仅当3x ＝18－6x ，即x ＝2时，等号成立（或求导求最值），此时y ＝6.=，∴外接球的表面积为4π×13＝52π.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.解析：（1）()0.0050.010.0150.0125201a ++++⨯=，解得0.0075a =.（2分）设中位数为x ，∵学生成绩在[)0,40的频率为()200.0050.010.30.5⨯+=<，在[)0,60的频率为()200.0050.010.0150.60.5⨯++=>，∴中位数满足等式()0.005200.01200.015400.5x ⨯+⨯+⨯-=，解得1603x =，故这100名学生本次历史测试成绩的中位数为1603.（6分）（2）成绩在[)0,20的频数为0.0052010010⨯⨯=，成绩在[]80,100的频数为0.00752010015⨯⨯=，按分层抽样的方法选取5人，则成绩在[)0,20的学生被抽取105225⨯=人，设为a ，b ，在[]80,100的学生被抽取155325⨯=人，设为c ，d ，e ，从这5人中任意选取2人，基本事件有ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共10种，都不选考历史科目的有ab ，1种，故这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率为1911010P =-=.（12分）18.解析：（1）πππππ2sin cos cos cos 3636A A A A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2πcos 21π13cos 624A A ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭=+== ⎪⎝⎭，（或11sin cos cos sin cos sin )36π2π2A A A A A A ⎛⎫⎛⎫-+=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2πcos 21π13cos 624A A ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪⎝⎭）∴π31cos 22A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∵0πA <<，∴ππ7π2333A <+<，∴π2π233A +=或4323ππA +=，解得π6A =或π2A =，∵a c <，∴π2A <，∴π6A =．（6分）（2）由（1）知6A π=，sin sin a A c C B +=，由正弦定理得2212a c +==，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，即221232c c -=+-⋅，整理得22390c c --=，由0c >得3c =，∴111sin 32224ABC S bc A ==⨯=△．（12分）19.解析：(1)连接DE ，∵ABCD 是正方形，E ，F 分别是棱BC ，AD 的中点，∴DF ＝BE ，DF ∥BE ，∴四边形BEDF 是平行四边形，∴DE ∥BF ，∵G 是PA 的中点，∴FG ∥PD ，∵PD ，DE ⊄平面BFG ，FG ，BF ⊂平面BFG ，∴PD ∥平面BFG ，DE ∥平面BFG ，∵PD ∩DE ＝D ，∴平面PDE ∥平面BFG ，∵PE ⊂平面PDE ，∴PE ∥平面BFG .(5分)(2)∵PD ⊥平面ABCD ，FG ∥PD ，∴FG ⊥平面ABCD ，过C 在平面ABCD 内，作CM ⊥BF ，垂足为M ，则FG ⊥CM ，∵FG ∩BF ＝F ，∴CM ⊥平面BFG ，∴CM 长是点C 到平面BFG 的距离，∵BCF ∆中，FB ＝CF ＝5，∴由等面积可得CM ＝2×25＝455，∴点C 到平面BFG 的距离为455.(12分)（或由C BFG G BCF V V --=可得11113232BF FG h BC AB FG ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，∴BC AB h BF ⋅===20.解析：（1）()022,x a f x x x xa'-=-=>，当0a ≤时，()0f x ¢>，此时()f x 在()0,∞+单调递增；当0a >时，令()0f x '<得02a x <<，令()0f x ¢>得2a x >，此时()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增.（4分）（2）当0a =时，()20f x x =>，()2122f x a a -≥显然成立.当0<a 时，()f x 在()0,∞+单调递增，若()2220ea ax -<<，由()2202a a-<可得()2220e1a a-<<，∴()2ln 2ln 2f x x a x a x =-<-<-()()()222222221222222a aa a alnea a a a---=-⨯=-=-，与()2122f x a a -≥矛盾；当0a >时，()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，∴()min ln 22a a f x f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.∵()2122f x a a -≥，∴21ln 222a a a a a --≥，即ln 1022a a--≥，令()ln 122a ah a =--，则()11222-'=-=a h a a a，令()0h a '>得2a >，∴()h a 在()0,2单调递减，()2,+∞单调递增，∴()()min 21ln2ln210h a h ==-+-=，∴ln 1022a a--≥.综上，a 的取值范围是[)0,∞+.（12分）21.解析：（1）由点()1,2M 在抛物线2:2C y px =上得222p =，即2p =,∴抛物线C 的准线方程为12px =-=-.（4分）（2）设直线AB 的方程为1y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ,由直线MA 与MB 的倾斜角互补得0MA MB k k +=，即()()()1212122212121244222222221144y y y y y y y y x x y y ++----+=+=--++--，∴124y y +=-,联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩得2440ky y -+=，∴124y y k +=，124y y k =,∴44k =-，即1k =-，∴124y y =-,∴TA TB ⋅==()()22212121124y y k x x k ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭．（12分）22.解析：（1）由(2x t y t⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得2(x y =-，即20x y -+.故直线l 的普通方程是20x y -+.由()2213sin 4ρθ+=得2223sin 4ρρθ+=，代入公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得22234x y y ++=，∴2214x y +=，故曲线C 的直角坐标方程是2214x y +=.（4分）（2）方法一：由θβ=（其中()0,πβ∈，且1tan 2β=-，0ρ≥），得sin 5β=，cos 5β=-.将射线(0)θβρ=≥代入曲线C的极坐标方程，可得222513sin 12344M ρβ===++⨯⎝⎭，∴2Mρ=.直线l的极坐标方程为cos 2sin 0ρθρθ-+=，将(0)θβρ=≥代入直线l的极坐标方程可得cos 2sin 0ρβρβ-+=，∴N ρ=，∴22N M MN ρρ=-=.（10分）方法二：由题可得射线θβ=（其中()0,πβ∈，且1tan 2β=-，0ρ≥）的直角坐标方程为1(0)2y x x =-≤.联立()2214102x y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-≤⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则点2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.联立()20102x y y x x ⎧-+⎪⎨=-≤⎪⎩解得x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩(N -.∴MN .（10分）23.解析：（1）()223f x x x =++-=31,15,1331,3x x x x x x -+≤-⎧⎪+-<<⎨⎪-≥⎩，①当1x ≤-时，43153x x -+≤⇒≥-，解得413x -≤≤-；②当13x -<<时，550x x +≤⇒≤，解得10-<≤x ；③当3x ≥时，3152x x -≤⇒≤，无解，∴不等式的解集为403x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．（5分）（2）∵22min R,3(),3()x a a f x a a f x ∀∈-≤∴-≤，由（1）知()f x 在(,1)-∞-递减，[1,3)-递增，[3,)+∞递增，min ()(1)4f x f ∴=-=，2234,434a a a a ∴-≤∴-≤-≤，解得14a -≤≤（10分）。

2023年高三4月学科网大联考(全国乙卷)文科数学参考答案

2023年高三4月大联考（全国乙卷）文科数学·全解全析及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】由题意，得2=1i i i 11z ，则||z ，故选B ． 2．C 【解析】由题意，知2{|0e }A x x ，{|31}B x x ，则{|01}A B x x ，故选C ． 3．D 【解析】由题意，知1(,0)2F ，所以3||3||2PF OF .设00(,)P x y ，因为点P 在第一象限，所以00,x00y ，则013||22PF x，所以01x ，所以0y ，故点P 的坐标为.故选D ． 4．C 【解析】由表中数据，得 4.5x ，而样本点的中心(x y ,在回归直线ˆ20.8yx 上，则9.8y ，所以5 6.6910.4159.8658.8m ，解得12.8m ，故选C ．5．C 【解析】设切点为300(,2)x x ，∵32y x ，∴26y'x ，∴切线的斜率320002 =61x k x x ，化简，得200(2x x3)0 ，∴00302xx或，∴可作2条切线，故选C ． 6．B 【解析】如图，设H 为底面正方形ABCD 的中心，G 为BC 的中点，连接,,PH HG PG ，则,PH HG ,PG BC 所以PG 13.16 ，则14422PBC ABCDBCPGS PG SAB BC AB△正方形26.321.3719.2，故选B ．7．A 【解析】23,32m n m n ，3223=3+2733m mn n，当且仅当323=3m n时取等号，故选A ． 8．B 【解析】由11n T ，，得332,12a T ；由112n ，得232212232a T ,；由213n ，得132********a T ,；由314n ，得0321021222264a T ,. 若选A ，D ，则输出T =8，所以A ，D 错误；若选C ，则输出32T ，所以C 错误；对于B ，在4n 时，021a ，输出64T ，故选B.9．A 【解析】∵cos 2sin ①，sin 2cos 1 ②，∴22 ①②，得54cos sin 4sin cos 3 ，∴1sin()2，∴os()c tan() A. 10．C 【解析】由题意，得变换后的函数解析式为cos()y x ，该函数图象与y 轴交于点1(0)2,，即1cos =2.因为22，所以π=3．因为0x 在函数cos()y x 的单调递增区间上，所以0[2ππ2π]k k ,，k Z ，即[2ππ,2π]k k ，k Z ，且ππ22，令=0k ，则π3，所以πcos()3y x .当5π9x 时，0y ，则5ππcos()093 .因为5π9x 是函数cos()y x 在单调递减区间上的一个零点，所以5πππ2π932k ，k Z ，所以318=25k ，k Z ．设函数cos()y x 的最小正周期为T ,则π5π>29T ，所以905 ，所以3=2．故选C ． 11．D 【解析】设()M x y ,，由22||+||10MA MB ，得2222(1)(1)10x y x y ，化简得224x y ，即点M 的轨迹是以0(0)O ,为圆心，2为半径的圆.因为||2CN ，所以N 点的轨迹是以8(6)C ,为圆心，2为半径的圆，所以||MN 的最大值为||414OC .故选D.12．D 【解析】∵3751252=128 ，∴3272(5)(2) ，即6277524 ，∴6ln 57ln 4 ，∴ln 57ln 46 ，∴47log 56，∴z x . 令2(1)()ln 1x f x x x ，则22214(1)()0(1)(1)x f x x x x x ，∴()f x 在(0,+) 上单调递增，∴19()(1)05f f ，即192(1)191975ln ln 01955615，∴y z ， ∴y z x ，故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024届高三10月大联考(全国乙卷)文科数学含答案解析

2024届高三10月大联考（全国乙卷）文科数学一、单选题(共36 分)1已知集合A={x∈Z∣x2+1<5},B={−1,1,3}则A∪B中元素的个数为（）A3B4C5D6【答案】B【分析】化简集合A即可求出A∪B中元素的个数【详解】由题意因为A={x∈Z∣x2+1<5}={x∈Z∣x2<4}={−1,0,1},B={−1,1,3}所以A∪B={−1,0,1,3}有4个元素故选：B2已知命题p:∃x0≥0,√x0>x02则命题p的否定为（）A∃x0<0,√x0≤x02B∀x≥0,√x<x2C∀x<0,√x>x2D∀x≥0,√x≤x2【答案】D【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解【详解】解：因为命题p:∃x0≥0,√x0>x02是特称命题所以其否定为全称命题即“∀x≥0,√x≤x2”故选：D3若不等式x2−5ax+1<0的解集为(1a,a)则a=（）A−12B12C−14D14【答案】A 【分析】根据给定的解集结合一元二次方程根与系数的关系求解即得【详解】由不等式x 2−5ax +1<0的解集为(1a ,a)得1a ,a 是方程x 2−5ax +1=0的两个根且1a <a 于是a +1a =5a 解得a =±12由a >1a 得−1<a <0或a >1因此a =−12且当a =−12时(−5a)2−4>0所以a =−12 故选：A4若函数f (x )={e x −x,x ≤3lnx −2,x >3则f(f (e 2))=（）A −1B −2 C1 D ln2−2【答案】C 【分析】先计算出f (e 2)=0进而求出f(f (e 2))=f (0)=1 【详解】因为e 2>3所以f (e 2)=lne 2−2=0所以f(f (e 2))=f (0)=e 0−0=1 故选：C5已知p:1<a <53,q:log a 43>2(a >0且a ≠1)则p 是q 的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】对于q ：利用对数函数单调性解得1<a <2√33再根据包含关系结合充分、必要条件分析判断【详解】对于q ：因为log a 43>2=log a a 2（a >0且a ≠1）当0<a <1时y =log a x 在定义域内单调递减则a 2>43无解；当a >1时y =log a x 在定义域内单调递增则a 2<43可得1<a <2√33；综上所述：不等式log a 43>2的解集为(1,2√33) 又因为(1,2√33)是(1,53)的真子集所以p 是q 的必要不充分条件故选：B6函数f (x )=x 2log 42+x2−x 的大致图象是（）A B C D【答案】D 【分析】方法一：根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断；方法二：根据函数的奇偶性及某个函数值的符号排除即可判断【详解】方法一：因为2+x2−x >0即(x +2)⋅(x −2)<0所以−2<x <2 所以函数f (x )=x 2log 42+x2−x 的定义域为(−2,2)关于原点对称又f (−x )=(−x)2log 42−x 2+x =−f (x )所以函数f (x )是奇函数其图象关于原点对称故排除B,C ；当x ∈(0,2)时2+x2−x >1即log 42+x2−x >0因此f (x )>0故排除A 故选D方法二：由方法一知函数f (x )是奇函数其图象关于原点对称故排除B,C ；又f (1)=12log 23>0所以排除A 故选：D7白色污染是人们对难降解的塑料垃圾（多指塑料袋）污染环境现象的一种形象称谓经过长期研究一种全生物可降解塑料（简称PBAT ）逐渐被应用于超市购物袋､外卖包装盒等产品研究表明在微生物的作用下PBAT 最终可被完全分解为二氧化碳和水进入大自然当其分解率（分解率=已分解质量总质量×100%）超过60%时就会成为对环境无害的物质为研究总质量为100g 的PBAT 的已分解质量y （单位：g ）与时间x （单位：月）之间的关系某研究所人员每隔1个月测量1次PBAT 的已分解质量对通过实验获取的数据做计算处理研究得出已分解质量y 与时间x 的函数关系式为y =100−e 4.6−0.1x 据此研究结果可以推测总质量为100g 的PBAT 被分解为对环境无害的物质的时间至少为（）（参考数据：ln40≈3.7） A8个月 B9个月 C10个月 D11个月【答案】C 【分析】根据题意令y =100−e 4.6−0.1x >60求解即可【详解】令y =100−e 4.6−0.1x >60得0.1x >4.6−ln40≈0.9解得x >9故至少需要10个月总质量为100g 的PBAT 才会被分解为对环境无害的物质故选：C8已知α,β∈(0,π2),α>β且cosα(cosα−cosβ)+sinα(sinα−sinβ)=15,sinαcosβ=710则sin (α+β)=（） A 45 B 35C 25D 310【答案】A 【分析】利用两角和与差的正弦公式和余弦公式化简即可【详解】因为cosα(cosα−cosβ)+sinα(sinα−sinβ)=15cos 2α−cosαcosβ+sin 2α−sinαsinβ=15即1−cos (α−β)=15所以cos (α−β)=45因为α,β∈(0,π2),α>β所以0<α−β<π2所以sin (α−β)=35即sinαcosβ−cosαsinβ=35又sinαcosβ=710所以cosαsinβ=110所以sin (α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=710+110=45 故选：A9已知O 是△ABC 所在平面内一点若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,x,y 均为正数则xy 的最小值为（） A 12 B 49C1D 43【答案】B 【分析】由题设O 是△ABC 的重心应用向量加法、数乘几何意义可得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =13x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13y AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 根据MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得13x +13y =1最后应用基本不等式求xy 最小值注意等号成立条件【详解】因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 所以点O 是△ABC 的重心所以AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ) 因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1yAN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 综上AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =13x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13y AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 因为MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所以M,O,N 三点共线则13x +13y =1即1x +1y =3 因为x,y 均为正数所以1x +1y ≥2√1xy 则√1xy ≤32所以xy ≥49（当且仅当1x =1y =32即x =y =23时取等号）所以xy 的最小值为49 故选：B10若函数f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示则下列说法正确的个数为（）①ω=2；②φ=−π6；③f (x )在(π2,5π6)上单调递减；④f (−π2)=√3 A1B2C3D4【答案】C 【分析】由图像经过的特殊点(5π12,2)和(π6,0)逐项判断即可【详解】由题图得A =2最小正周期T =4×(5π12−π6)=π 又T =2πω=π所以ω=2故①正确；f (x )=2sin (2x +φ)又f (x )的图象过点(5π12,2) 所以2×5π12+φ=2kπ+π2,k ∈Z 所以φ=2kπ−π3,k ∈Z又|φ|<π2所以φ=−π3故②错误； f (x )=2sin (2x −π3)令t =2x −π3当π2<x <5π6时2π3<t <4π3函数y =sint 在(2π3,4π3)上单调递减故③正确；f (−π2)=2sin (−π−π3)=√3故④正确故选：C11已知函数f (x )是偶函数当x >0时f (x )=|log 2x |−1则不等式x−1f (−x )−2f (x )≥0的解集是（） A (−12,0)∪(0,12) B (−2,−1]∪[1,2)C (−2,−12)∪(0,12) D (−∞,−2)∪(−12,0)∪(0,12)∪[1,2)【答案】D 【分析】根据已知画出y =f (x )的图象并将不等式化为{f(x)(x −1)≤0f(x)≠0数形结合求不等式解集【详解】根据题意作偶函数y =f (x )的图象如下图示由f(−x)=f(x)不等式可化为x−1−f(x)≥0则{f(x)(x−1)≤0f(x)≠0所以{x−1≥0f(x)<0或{x−1≤0f(x)>0由图知：1≤x<2或0<x<12或−12<x<0或x<−2所以不等式解集为(−∞,−2)∪(−12,0)∪(0,12)∪[1,2)故选：D12已知函数f(x)=a x+a−x+cosx+x2(a>1)则f(√2),f(−e1e),f(π1π)的大小关系为（）A f(π1π)<f(−e 1e)<f(√2)B f(√2)<f(π1π)<f(−e1e)C f(π1π)<f(√2)<f(−e1e)D f(−e1e)<f(π1π)<f(√2)【答案】B【分析】根据函数的奇偶性只需要考虑x>0时的情况利用导数求解函数单调性构造函数φ(x)=2x−sinx,g(x)=lnxx即可由导数求解单调性利用函数单调性即可比较大小【详解】易知f(x)=a x+a−x+cosx+x2(a>1)是偶函数f′(x)=(a x−a−x)lna+2x−sinx当x>0时因为a>1所以lna>0,a x−a−x>0令φ(x)=2x−sinx,x>0则φ′(x)=2−cosx>0所以φ(x)单调递增所以φ(x)>φ(0)=0所以f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增构造函数g(x)=lnxx 则g′(x)=1−lnxx2令g′(x)>0得0<x<e令g′(x)<0得x>e所以g(x)在区间(0,e)上单调递增在区间(e,+∞)上单调递减又ln22=ln44所以g(4)<g(π)<g(e)所以ln22=ln44<lnππ<lnee所以212<π1π<e1e所以f(√2)<f(π1π)<f(e 1e)=f(−e1e)即f(√2)<f(π1π)<f(−e1e)故选:B【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤:(1)作差或变形；(2)构造新的函数ℎ(x)；(3)利用导数研究ℎ(x)的单调性或最值；(4)根据单调性及最值得到所证不等式．二、填空题(共12 分)13已知向量a=(1,−2)b⃗=(2,λ)若a⊥b⃗则实数λ的值为___________【答案】1【分析】根据向量垂直的坐标表示由题中条件列出方程即可求出结果【详解】因为向量a=(1,−2)b⃗=(2,λ)若a⊥b⃗则a⋅b⃗=2−2λ=0解得λ=1故答案为：114请写出一个满足对任意的x1,x2∈(0,+∞)；都有f(x1x2)=f(x1)f(x2)的函数__________【答案】f(x)=x−12（答案不唯一）【分析】取幂函数f(x)=x−12验证得到答案【详解】任意定义域为(0,+∞)的幂函数均可例如f(x)=x−12f(x1x2)=(x1x2)−12,f(x1)f(x2)=x1−12⋅x2−12=(x1x2)−12即f(x1x2)=f(x1)f(x2)成立故答案为：f(x)=x−12（答案不唯一）15《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作书中有一道测量山上松树高度的题目受此题启发小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度如图把塔底与塔顶分别看作点CDCD 与地面垂直小李先在地面上选取点AB （点A,B 在建筑物的同一侧且点A,B,C,D 位于同一个平面内）测得AB =20√3m 在点A 处测得点C,D 的仰角分别为30∘,67∘在点B 处测得点D 的仰角为33.5∘则塔高CD 为__________m （参考数据：sin37∘≈35）【答案】24 【分析】在△ACD 中求出AD =20√3∠CAD =37∘,∠ACD =120∘利用正弦定理求解即可【详解】如图延长DC 与BA 的延长线交于点E 则∠DAE =67∘,∠CAE =30∘,∠DBA =33.5∘所以∠ADB =67∘−33.5∘=33.5∘,∠CAE =90∘−30∘=60∘ 所以AD =AB =20√3在△ACD 中∠CAD =67∘−30∘=37∘,∠ACD =180∘−60∘=120∘ 由正弦定理得CD =ADsin37∘sin120∘≈20√3×35√32=24（m ）故答案为：2416已知函数f (x )=(x +a )lnx −2x 在定义域上单调递增则实数a 的取值范围为______ 【答案】[1,+∞) 【分析】把原函数在区间上单调递增问题转化为a ≥x −xlnx 在(0,+∞)上恒成立构造函数g (x )=x −xlnx(x>0)利用导数求解函数的最值即可求解【详解】f(x)=(x+a)lnx−2x的定义域为(0,+∞)由f(x)=(x+a)lnx−2x在定义域上单调递增得f′(x)=lnx+ax−1≥0在(0,+∞)上恒成立即a≥x−xlnx在(0,+∞)上恒成立设g(x)=x−xlnx(x>0)所以只需a≥g(x)max又g′(x)=−lnx当0<x<1时g′(x)>0当x>1时g′(x)<0所以g(x)在(0,1)上单调递增在(1,+∞)上单调递减所以g(x)max=g(1)=1所以a≥1所以实数a的取值范围为[1,+∞)故答案为：[1,+∞)【点睛】方法点睛：已知函数在区间上单调递增（递减）求参数范围解决这类问题的一般方法是：利用导数转化为不等式恒成立问题然后参变分离根据分离后的式子结构构造函数利用导数求解函数最值即可解决三、问答题(共12 分)已知向量a=(sinx+cosx,1),b⃗=(2cosx,−1)函数f(x)=a⋅b⃗将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象17 求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；18 解方程g(x)=0【答案】17 T=π单调递增区间为[kπ−3π8,kπ+π8],k∈Z18 {x|x=kπ2+π24,k∈Z}【分析】（1）利用向量数量积求出f(x)利用正弦函数的周期性与单调性即可求得f(x)的最小正周期和单调递增区间（2）先求出g(x)表达式根据正弦函数零点取值得到g(x)=0的解集【17题详解】由已知得f(x)=a⋅b⃗=2cosx(sinx+cosx)−1=sin2x +cos2x=√2sin (2x +π4)所以函数f (x )的最小正周期T =2πω=2π2=π由2kπ−π2≤2x +π4≤2kπ+π2,k ∈Z 解得kπ−3π8≤x ≤kπ+π8,k ∈Z所以函数f (x )的单调递增区间为[kπ−3π8,kπ+π8],k ∈Z【18题详解】将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )=√2sin [2(x −π6)+π4]=√2sin (2x −π12)的图象令g (x )=√2sin (2x −π12)=0得2x −π12=kπ,k ∈Z 解得x =kπ2+π24,k ∈Z所以方程g (x )=0的解集为{x |x =kπ2+π24,k ∈Z }如图在平行四边形ABCD 中AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 令AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗19用a ,b ⃗ 表示AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； 20若AB =AM =2且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =10求cos⟨a ,b⃗ ⟩ 【答案】19 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(b ⃗ −a )BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ −43a CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−13a −23b⃗ 20√3468【分析】（1）利用平面向量的四则运算法则求解即可；（2）利用平面向量数量积的公式和运算律求解即可【19题详解】因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ 且ABCD 是平行四边形所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(b ⃗ −a ) 所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(b ⃗ −a )−a =13b ⃗ −43a所以CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ −43a −(b ⃗ −a )=−13a −23b ⃗ 【20题详解】方法一：由（1）知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(b ⃗ −a ),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ −43a又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =10,AB =AM =2所以b ⃗ ⋅(13b ⃗ −43a )=10,|13(b ⃗ −a )|=2,|a |=2即b ⃗ 2−4a ⋅b ⃗ =30,b ⃗ 2+a 2−2a ⋅b ⃗ =36 解得a ⋅b⃗ =1,|b ⃗ |=√34 所以cos⟨a ,b ⃗ ⟩=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |=√3468方法二：因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM =2所以AD =BC =6因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =10所以−22+23×6×2×cos∠ABC +13×62=10 解得cos∠ABC =14所以a ⋅b ⃗ =(−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−2×6×14+22=1又|a |=2,|b ⃗ |=√(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=√BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=√34所以cos⟨a ,b ⃗ ⟩=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |=√3468四、应用题(共 6 分)某公园池塘里浮萍的面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）的关系如下表所示：现有以下三种函数模型可供选择：①y =kt +b ②y =p ⋅a t +q ③y =m ⋅log a t +n 其中k,b,p,q,m,n,a 均为常数a >0且a ≠121 直接选出你认为最符合题意的函数模型并求出y 关于t 的函数解析式；22 若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到15m 2,31m 2,211m 2所经过的时间分别为t 1,t 2,t 3写出一种t 1,t 2,t 3满足的等量关系式并说明理由【答案】21 模型②y=2t+122 t1+t2=t3+1理由见解析【分析】（1）根据表格数据选择函数模型然后求解析式；（2）根据指数幂运算公式计算【21题详解】应选择函数模型②y=p⋅a t+q依题意得{p×a1+q=3p×a2+q=5 p×a3+q=9解得{p=1 a=2 q=1所以y关于t的函数解析式为y=2t+1【22题详解】t1+t2=t3+1理由：依题意得2t1+1=152t2+1=312t3+1=211所以2t1=142t2=302t3=210所以2t1⋅2t2=420所以2t1⋅2t2=2t1+t2=420=2×2t3=2t3+1所以t1+t2=t3+1五、问答题(共12 分)在△ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且__________在①√3a =1−cosCsinA；②sinAbc−sinCab=sinA−sinBac两个条件中任选一个填入上面横线处并解决下列问题注：若选择不同的条件分别解答则按第一个解答计分23 求C；24 若△ABC外接圆的半径为2√3,△ABC的面积为√3求△ABC的周长【答案】23 C=π324 4√3+6【分析】(1)选①先利用正弦定理化边为角再利用和差角公式结合角的取值范围即得选②先用正弦定理化边为角再有余弦定理和角的范围即得(2)由正弦定理和外接圆半径求出c再利用余弦定理即可求出答案【23题详解】若选①：由√3a =1−cosCsinA及正弦定理得sinCsinA=√3sinA(1−cosC)∵sinA≠0,∴sinC+√3cosC=√3∴sin(C+π3)=√32又0<C<π,∴π3<C+π3<4π3∴C+π3=2π3,∴C=π3若选②：由sinAbc −sinCab=sinA−sinBac得asinA−csinC=bsinA−bsinB由正弦定理得a2+b2−c2=ab由余弦定理得cosC=a 2+b2−c22ab=ab2ab=12因为C∈(0,π)所以C=π3【24题详解】设△ABC外接圆的半径为R由正弦定理得c=2RsinC=2×2√3×sinπ3=6又S△ABC=12absinC=12ab×√32=√3所以ab=4由c2=a2+b2−2abcosC=(a+b)2−2ab−2ab×12可得36=(a+b)2−12解得a+b=4√3所以△ABC的周长为a+b+c=4√3+6已知函数f(x)=e x−ax2+x−125 当a=1时求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；26 若f(x)=0有两个不等的实根求实数a的取值范围【答案】25 (e−1)x−y=026 (−∞,0)∪{e2+14}【分析】（1）求导得到f(1)=e−1,f′(1)=e−1,进而求出切线方程；（2）f(0)=0故只需当x≠0时f(x)=0有且仅有一个实根参变分离转化为两函数只有1个交点求导得到g(x)=e x+x−1x2(x≠0)的单调性画出其图象数形结合得到参数的取值范围【25题详解】当a=1时f(x)=e x−x2+x−1,f′(x)=e x−2x+1f(1)=e−1,f′(1)=e−1,所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y−(e−1)=(e−1)(x−1)即(e−1)x−y=0【26题详解】显然f(0)=0要使方程f(x)=0有两个不等的实根只需当x≠0时f(x)=0有且仅有一个实根当x≠0时由方程f(x)=0得a=e x+x−1 x2令g(x)=e x+x−1x2(x≠0)则直线y=a与g(x)=e x+x−1x2(x≠0)的图象有且仅有一个交点g′(x)=(e x+1)x2−2x(e x+x−1)x4=(x−2)(e x−1)x3又当x<0时g′(x)<0,g(x)单调递减当0<x<2时g′(x)<0,g(x)单调递减当x>2时g′(x)>0,g(x)单调递增所以当x=2时g(x)取得极小值g(2)=e 2+1 4又当x<0时e x<1所以e x+x−1<0即g(x)<0当x>0时e x>1,e x+x−1>0即g(x)>0所以作出g(x)的大致图象如图所示由图象知要使直线y=a与g(x)=e x+x−1x2(x≠0)的图象有且仅有一个交点只需a<0或a=e 2+1 4综上若f(x)=0有两个不等的实根则a的取值范围为(−∞,0)∪{e 2+1 4}六、其它(共6 分)已知函数f(x)=x−alnx−4,a∈R27 讨论函数f(x)的单调性；28 当a=1时令F(x)=(x−2)e x−f(x)若x=x0为F(x)的极大值点证明：0<F(x0)<1【答案】27 答案见解析；28 证明见解析【分析】（1）对参数a分类讨论根据不同情况下导函数函数值的正负即可判断单调性；（2）利用导数判断F(x)的单调性求得x0的范围满足的条件以及F(x0)根据x0的范围夹逼F(x0)的范围即可【27题详解】函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1−ax =x−ax①当a≤0时f′(x)>0函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；②当a>0时由f′(x)>0得x>a由f′(x)<0得0<x<a所以函数f(x)在(a,+∞)上单调递增在(0,a)上单调递减综上当a≤0时函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a>0时函数f(x)在(a,+∞)上单调递增在(0,a)上单调递减【28题详解】当a=1时F(x)=(x−2)e x−x+lnx+4,F′(x)=(x−1)e x−1+1x =(x−1)(e x−1x)设g(x)=e x−1x 则g′(x)=e x+1x2当x>0时g′(x)>0所以g(x)在(0,+∞)上单调递增又g(12)=√e−2<0,g(1)=e−1>0所以存在x1∈(12,1)使得g(x1)=0且当x∈(0,x1),g(x)<0,x∈(x1,+∞),g(x)>0；又当x∈(0,1),y=x−1<0;x∈(1,+∞),y=x−1>0；故当x∈(0,x1)F′(x)>0；当x∈(x1,1)F′(x)<0；当x∈(1,+∞)F′(x)>0所以F(x)在(0,x1)上单调递增在(x1,1)上单调递减在(1,+∞)上单调递增所以当x=x1时F(x)取得极大值故x0=x1且e x0−1x0=0所以e x0=1x0,lnx0=−x0F(x0)=(x0−2)e x0−x0+lnx0+4=x0−2x0−x0−x0+4=5−2(x0+1x0)又y=x+1x 在(12,1)单调递减所以0<F(x0)<1【点睛】关键点点睛：本题考察含参函数单调性的讨论以及导数中的隐零点问题；处理问题的关键是能够准确分析F(x)的单调性以及求得隐零点的范围以及满足的条件属综合中档题。

高三文科数学试卷答案

一、选择题1. 答案：C解析：本题考查函数的定义。

函数是定义在集合D上的映射，对于D中的任意一个元素x，按照一定的法则f，都有唯一确定的值y与之对应。

因此，正确答案是C。

2. 答案：B解析：本题考查数列的通项公式。

根据数列的定义，第n项是第n-1项加上公差，即an = an-1 + d。

所以，正确答案是B。

3. 答案：A解析：本题考查三角函数的性质。

由题意可知，sin(α + β) = sinαcosβ +cosαsinβ，sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ。

因此，sin(α + β) + sin(α - β) = 2sinαcosβ。

所以，正确答案是A。

4. 答案：D解析：本题考查向量数量积的性质。

由题意可知，向量a与向量b的数量积为0，即a·b = 0。

根据向量数量积的性质，如果两个非零向量的数量积为0，则这两个向量垂直。

所以，正确答案是D。

5. 答案：B解析：本题考查函数的极值。

首先，求出函数的一阶导数f'(x)，令f'(x) = 0，得到x的值。

然后，求出函数的二阶导数f''(x)，判断x处的二阶导数的正负。

如果f''(x) > 0，则x是函数的极小值点；如果f''(x) < 0，则x是函数的极大值点。

根据题意，f''(x) > 0，所以x是函数的极小值点。

因此，正确答案是B。

二、填空题6. 答案：-1解析：本题考查指数函数的值。

由题意可知，2^x = 1/2，两边同时取对数，得到x = log2(1/2) = -1。

7. 答案：3解析：本题考查对数函数的值。

由题意可知，log3(27) = 3，因为27是3的立方。

8. 答案：π解析：本题考查三角函数的值。

由题意可知，sin(π/2) = 1，cos(π/2) = 0。

9. 答案：5解析：本题考查二次方程的解。

2024届高三12月大联考(全国乙卷)文科数学及答案

绝密★启用前2024届高三12月大联考（全国乙卷）文科数学本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}{}0,1,4,0,3,4M N ==，则()U M N ⋂=ð（）A.{}3B.{}0,2,3,4C.{}0,1,2,4D.{}0,1,2,3,42.若复数z 满足216i z z =+-（i 为虚数单位），则z =（）3.已知实数,x y 满足不等式组202406120x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≥⎩，则3z x y =-的最小值是（）A.1B.2C.3D.64.已知α为第二象限角，且终边与单位圆的交点的横坐标为45-，则5cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.C.5.已知P 是抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，它在抛物线C 的准线l 上的射影为点,Q F 是抛物线C 的焦点，若FPQ 是边长为2的等边三角形，则抛物线C 的准线l 的方程为（）A.14x =-B.12x =-C.1x =- D.2x =-6.某班举办趣味数学活动，规则是：某同学从分别写有1至9这9个整数的9张卡片中随机抽取两张，将卡片上较大的数作为十位数字，较小的数作为个位数字组成一个两位数.若这个两位数与将它的个位数字与十位数字调换后得到的两位数的差为45，就视为该同学获奖.若该班同学A 参加这项活动，则他获奖的概率为（）A.172 B.136C.118D.197.已知函数()()cos (0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且63f f ππ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2，则ϕ=（）A.6πB.3πC.4πD.23π8.某校为庆祝建校60周年，有奖征集同学们设计的文创作品.王同学设计的一款文创水杯获奖，其上部分是圆台（多功能盖），下部分是正六棱台（水杯），圆台与棱台的高之比为0.382：0.618，寓意建校60周年，学校发展步入黄金期.这款水杯下部分的三视图如图所示，则这款水杯下部分的容（体）积约为（）A.B.C.D.9.已知函数()()[)2log ,43,4,3x x f x x x ∞⎧∈⎪=⎨∈+⎪-⎩，则满足()13f x ≤≤的x 的取值范围为（）A.][0,24,6⎡⎤⋃⎣⎦B.[]11,4,682⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦C.[]11,2,482⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦D.[]11,2,682⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦10.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()sin cos2A Cb B C a ++=，且ABC的面积为，则22a c b+的最小值为（）A.2C.4D.11.已知双曲线2222:1(0,0)y x E a b a b-=>>，过点(),0M b -的两条直线12,l l 分别与双曲线E 的上支､下支相切于点,A B .若MAB 为锐角三角形，则双曲线E 的离心率的取值范围为（）A.⎛ ⎝B.⎛ ⎝C.∞⎫+⎪⎪⎭ D.∞⎫+⎪⎪⎭12.已知323sin ,,ln 232a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A.b a c >> B.a b c>>C.a c b>> D.b c a>>二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()()1,,2,1a m b ==-.若()2a b + ∥()2a b - ，则实数m 的值为__________.14.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,2,ABC AB AC BC PA ====，则三棱锥P ABC -的内切球的表面积等于__________.15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3220,21n n S na n S -+==-，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________.16.设函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且x ∀∈R ，都有()()20f x f x --=.当(]0,1x ∈时，()ln 21f x x x =+-，则函数()f x 在区间19,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有__________个零点.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）某社区为了解居民生活垃圾分类的投放情况，对本社区10000户居民进行问卷调查（满分：100分），并从这10000份居民的调查问卷中，随机抽取100份进行统计，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）估计该社区10000份调查问卷得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和这10000户居民中调查问卷得分不低于85分的居民户数；（2）该社区从调查问卷得分为满分的居民中随机挑选了6户，其中两户为,A B ，并将这6户居民随机分配到社区两个宣传点，每个宣传点3户，且每户居民只能去一个宣传点，帮助社区工作人员开展宣传活动，求,A B 两户居民分在不同宣传点的概率.18.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，4,2,,PA PD AD AB M N ====分别为,PD AB 的中点.（1）求证：AM ⊥平面PCD ；（2）求证：MN ∥平面PBC ；（3）求三棱锥A CMN -的体积.19.（12分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且1328,327a a ==，213n n nn b a -=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左､右焦点分别为())12,F F ，点P 在椭圆E 上，且满足2PF x ⊥轴，12tan PF F ∠=.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设椭圆E 的右顶点为A ，左顶点为B ，是否存在异于点A 的定点(),0(0)Q m m >，使过定点(),0Q m 的任一条直线l 均与椭圆E 交于()()1122,,,M x y N x y （异于,A B 两点）两点，且使得直线AN 的斜率为直线BM 的斜率的2倍？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.21.（12分）已知函数()eexax f x x +=+，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数.（1）当1a =-时，求函数()f x 的最值；（2）当(]0,e a ∈时，讨论函数()f x 的极值点个数.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l 的参数方程为4334x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为8cos 6sin ρθθ=+.（1）求直线l 的极坐标方程；（2）设直线l 与曲线M 交于,A B 两点，求AOB 的面积.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()|1|||f x x x m =--+.（1）当1m =时，求不等式()1f x ≥的解集；（2）若()3f x ≤恒成立，求实数m 的取值范围.2024届高三12月大联考（全国乙卷）文科数学·全解全析及评分标准一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A 【解析】因为全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}0,1,4M =，所以{}U 2,3M =ð.又{}0,3,4N =，所以(){}U3M N ⋂=ð.故选A.2.A 【解析】设()i ,z a b a b =+∈R ，则()i 2i 16i a b a b +=-+-，所以21,26a a b b =+=--，解得1,2a b =-=-，所以z ==，故选A.3.C 【解析】作出不等式组202406120x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≥⎩所表示的可行域，如图中阴影部分所示.3z x y =-，即3y x z =-.当直线3y x =自左上向右下平移时，z -逐渐减小，z 逐渐增大，所以当直线3y x z =-经过直线20x y -=与直线6120x y --=的交点()3,6C 时，z 取得最小值，最小值为3363⨯-=.故选C .4.D 【解析】由题意，得43cos ,sin 55αα=-=，所以5333cos cos cos cos sin sin 4444ππππαααα⎛⎫⎛⎫-=+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选D.5.B 【解析】不妨设点P 的坐标为()()1111,0,0x y x y >>，依题意，得FQ PQ =，即12p x =+①.又2112y px =②，联立①②，解得113,2p x y ==.22p ==，得1p =，所以抛物线C 的准线l 的方程为122p x =-=-，故选B .6.D 【解析】设同学A 随机抽取得到的两位数的十位数字为x ，个位数字为()y x y >.依题意，若2x =，则1y =，有1种情况；若3x =，则1,2y =，有2种情况⋅ 若9x =，则1,2,,8y = ，有8种情况，共计有12836+++= 种情况，其中满足获奖的情况是()()101045x y y x +-+=，即5x y -=，也即获奖情况只有6,1;7,2;8,3;9,4x y x y x y x y ========，这4种情况，所以该班同学A 参加这项活动获奖的概率为41369=.故选D.7.B 【解析】因为()()cos (0)f x x ωϕω=+>在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且263f f ππ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2,1366T f ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以2,cos 13πωϕ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，所以()23k k πϕπ=+∈Z .又0ϕπ<<，所以3πϕ=，故选B.8.A 【解析】由三视图，知这款水杯的下部分是上底边长为4，下底边长为3，高为6的正六棱台，226364S S ====下底上底，所以这款水杯下部分的容（体）积约为(11633V S S h =++⨯=⨯⨯=下底上底.故选A.9.D 【解析】令()1f x =，则()()2log 10,4xx =∈∣或[)()314,3x x ∞=∈+-，解得12x =或2x =或6x =.令()3f x =，则()()2log 30,4xx =∈∣或[)()334,3x x ∞=∈-，解得18x =或4x =.画出函数()f x 图象的草图（如图），得满足()13f x ≤≤的x 的取值范围为[]11,2,682⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦.故选D.10.B 【解析】由正弦定理和()sin cos 2A Cb B C a ++=，得sin sin sin sin 2B B A A ⋅=⋅.因为sin 0,sin02B A >>，所以1cos 22B =.因为0,22B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以23B π=.又ABC1sin 2ac B =，所以4ac =.由余弦定理，得222222cos 312b a c ac B a c ac ac =+-=++≥=，当且仅当a c =时取等号，所以b ≥，所以22244a cb b b b b+-==-.因为函数4y b b =-在)∞⎡+⎣上单调递增，所以当b =时，22a c b +故选B.11.D 【解析】如图，设过点(),0M b -的直线()1:(0)l y k x b k =+>，联立()22221y k x b y x ab ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩，整理，得()()222232222220b k axb k x b b k a -++-=，依题意，得()2642222Δ440b k bb ka=--=，所以2222a k b=.由双曲线的对称性，得201k <=<，所以()2222a c a <-，整理，得双曲线E的离心率c e a =>故选D.12.B 【解析】方法一：因为sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以32sin sin 233a b π=>=>=.设()1ln g x x x =--，则()111x g x x x -=-='，当[)1,x ∞∈+时，()10x g x x-=≥'，所以()3111ln102g g ⎛⎫>=--= ⎪⎝⎭，所以331ln 22->，即13ln 22>，所以213ln 322b c =>>=.综上，得a b c >>，故选B .方法二：因为sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以32sin sin 233a b π=>=>=.又213ln 322b c =>=>==.综上，得a b c >>，故选B.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.12-【解析】因为()()1,,2,1a m b ==- ，所以()()24,21,23,2a b m a b m +=--=-+ .又()2a b + ∥()2a b - ，所以()()423210m m ++-=，解得12m =-.故填12-.14.1225π【解析】如图，由已知，得ABC 的面积为112⨯=三棱锥P ABC -在底面ABC 上的高为PA =，等腰三角形PBC 底边BC 上的高为2，所以三棱锥P ABC -的表面积1122222S =⨯⨯+⨯⨯=，体积113V ==.又三棱锥P ABC -的体积13V Sr =（其中r 为三棱锥P ABC -内切球的半径），所以r =，所以三棱锥P ABC -的内切球的表面积为212425r ππ=.故填1225π.15.53n -+ 【解析】方法一：当1n =时，11220S a -+=，解得12a =-.又220n n S na n -+=，所以()()1222n n n n a n a a S -+==，所以数列{}n a 为等差数列.又321S =-，所以()313212a a +=-，解得312a =-，所以数列{}n a 的公差3152a a d -==-，所以数列{}n a 的通项公式为53n a n =-+.故填53n -+.方法二：*,220n n n S na n ∀∈-+=N 恒成立，当1n =时，11220S a -+=，解得12a =-.当3n =时，332360S a -+=，且321S =-，解得312a =-.当2n ≥时，()()1121210n n S n a n ----+-=①，又220n n S na n -+=②，①-②，得()()12120n n n a n a -----=③，所以()1120n n n a na +---=④.④-③，得()()11120n n n n a a a +---+=.因为2n ≥，所以1120n n n a a a +--+=，即11n n n n a a a a +--=-.又132,12a a =-=-，所以数列{}n a 是首项为-2，公差为-5的等差数列，所以数列{}n a 的通项公式为53n a n =-+.故填53n -+.16.6 【解析】如图，因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()f x f x -=-，且()00f =.又()()20f x f x --=，即()()2f x f x =-，所以函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且()()()2f x f x f x +=-=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以4是函数()f x 的一个周期，所以()()()0240f f f ===.易知函数()ln 21f x x x =+-在(]0,1上单调递增，且()11ln 11ln20,1ln1211022f f ⎛⎫=+-=-<=+-=>⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间()0,1上仅有1个零点，且零点在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上.由对称性，知函数()f x 在区间()1,2上有且仅有1个零点.因为()f x 是定义域为R 的奇函数且是4是它的一个周期，所以()()40f x f x -+=，所以函数()f x 的图象关于点()2,0中心对称，所以函数()f x 在区间()2,4上有且仅有2个零点.因为函数()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上没有零点，所以函数()f x 在区间94,2⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点.结合()()240f f ==，得函数()f x 在区间19,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有6个零点.故填6.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）【解析】（1）由频率分布直方图，得样本平均数为()550.008650.012750.024850.040950.01610x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯79.4=，所以估计该社区10000份调查问卷得分的平均数为79.4.因为这10000户居民中调查问卷得分不低于85分的频率为()90850.0400.016100.36-⨯+⨯=，所以估计该社区这10000户居民中调查问卷得分不低于85分的居民户数为100000.363600⨯=.（2）将6户居民分别记为,,,,,A B c d e f ，依题意，6户居民被随机分到两个宣传点的所有情况有(),ABc def ，()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,ABd cef ABe cdf ABf cde Acd Bef Ace Bdf Acf Bde Ade Bcf Adf Bce ，()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,Aef Bcd Bcd Aef Bce Adf Bcf Ade Bde Acf Bdf Ace Bef Acd cde ABf ，()()(),,,,,cdf ABe cef ABd def ABc ，共20种，其中,A B 两户居民分在不同宣传点的情况有()()()()(),,,,,,,,,Acd Bef Ace Bdf Acf Bde Ade Bcf Adf Bce ，()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,Aef Bcd Bcd Aef Bce Adf Bcf Ade Bde Acf Bdf Ace Bef Acd ，共12种，所以,A B 两户居民分在不同宣传点的概率123205P ==.另解：若采用排列组合解答酌情给分：6户居民均分到两个宣传点共有36C 种情况，其中,A B 两户居民分在相同宣传点有142C 种情况，所以,A B 两户居民分在不同宣传点的概率14362C 31C 5P =-=.18.（12分）【解析】（1）因为底面ABCD 为矩形，所以AD CD ⊥.又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面,ABCD AD CD =⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD .又AM ⊂平面PAD ，所以CD AM ⊥.因为在PAD 中，,PA PD AD M ==为PD 的中点，所以AM PD ⊥.又,CD PD D CD ⋂=⊂平面,PCD PD ⊂平面PCD ，所以AM ⊥平面PCD .（2）如图，取PC 的中点E ，连接,ME BE .因为M 为PD 的中点，所以ME ∥CD ，且12ME CD =.又N 为AB 的中点，底面ABCD 为矩形，所以BN∥CD ，且12BN CD =，所以BN ∥EM ，且BN EM =，所以四边形NBEM 为平行四边形，所以BE ∥NM .又BE ⊂平面,PBC MN ⊄平面PBC ，所以MN∥平面PBC .（3）如图，因为,4,2A CMN M ACN V V PA PD AD AB --=====，平面PAD ⊥平面ABCD ，所以点P 到平面ABCD 的距离即为等边三角形PAD 的高，所以点P 到平面ABCD 的距离为4=.又M 为PD 的中点，所以点M 到平面ANC 又11422ANC S =⨯⨯= ，所以123M ACN V -=⨯=A CMN -.19.（12分）【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >.由1328,327a a ==，得228327q =，解得249q =.因为{}n a 的各项均为正数，所以23q =，所以数列{}n a 是以23为首项，23为公比的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式为1222333n nn a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.（2）由（1）得21212132233n nn n n n n n n b a ---===⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，所以1221321222n n n n T b b b -=+++=+++ ，231113212222n n n T +-=+++ ，两式相减，得23111111212222222n n n n T +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 1111112142212212n n n -+⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+⨯--1323,22n n ++=-所以2332n nn T +=-.20.（12分）【解析】（1）因为2PF x ⊥12tan PF F ∠，解得21,2PF =所以172PF ==.根据椭圆的定义，得12712422a PF PF =+=+=，解得2a =.又c =，所以2221b a c =-=，所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=.（2）假设存在满足题意的定点(),0Q m .依题意，设直线l 的方程为,0x ty m m =+>，联立2214x ty m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理，得()2224240t y tmy m +++-=，由()()()22222Δ(2)4441640tm t mt m =-+-=-+>，得224m t <+.由根与系数的关系，得212122224,44tm m y y y y t t -+=-=++.由()()2,2,0,2,0ANBM k k A B =-，得2121222y y x x =⋅-+，所以2121222y y ty m ty m =⋅+-++，即()()1212222m y m y ty y --++=，所以()()()212242224t m m y m y t ---++=+，所以()()()21221224222424t m m y m y t tm y y t ⎧-⎪--++=⎪+⎨⎪+=-⎪+⎩，所以()()()()()21212222222224m y m y tm m m y m y t ⎧⎪--++=⎪⎨+⎪+++=-⎪+⎩②，②-①，得()()()12232324t m m m y t -+--=+，当320m -≠时，解得()()12222424t m y t t m y t ⎧-+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩，所以()()22122244t m y y t-=+.又212244m y y t -=+，所以()()2222224444t m mt t --=++.因为上式在t 变化时恒成立，所以240m -=.又0m >，所以2m =.此时点Q 与点A 重合，不合题意，舍去；所以320m -=，即23m =，此时点2,03Q ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 的内部，满足直线l 均与椭圆E 交于,M N 两点，所以存在定点2,03Q ⎛⎫⎪⎝⎭满足题意，23m =.21.（12分）【解析】（1）当1a =-时，()e e x x f x x -+=+，则()e 1e e 11e ex x xx x f x '--+--=+=.令()e e 1xx x ϕ=+--，则()x ϕ在R 上单调递增，且()1e 1e 10ϕ=+--=，所以当(),1x ∞∈-时，()0x ϕ<，即()0f x '<；当()1,x ∞∈+时，()0x ϕ>，即()0f x '>，所以()f x 在(),1∞-上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以函数()f x 在1x =处取得极小值()112ef =-，即()f x 有最小值12e-，没有最大值.（2）因为()e e x ax f x x +=+，其中(]0,e a ∈，所以()()()2e e e e e 1e ex x x x x a ax ax a f x -+⋅'-+-=+=.令()e e xg x ax a =-+-，则()e xg x a '=-.因为0a >，令()e 0xg x a =-='，则ln x a =，所以当(),ln x a ∞∈-时，()0g x '<；当()ln ,x a ∞∈+时，()0g x '>，所以()g x 在(),ln a ∞-上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增，所以()min ()ln 2ln e g x g a a a a ==--.设()2ln e h a a a a =--，其中(]0,e a ∈，则()1ln h a a =-'.令()1ln 0h a a =-='，解得e a =.当(]0,e a ∈时，()0h a '≥，所以()h a 在(]0,e 上单调递增，所以()max ()e 2e elne e 0h a h ==--=.所以当()0,e a ∈时，min ()2ln e 0g x a a a =--<；当e a =时，min ()0g x =.①当e a =时，min ()0g x =，即()0g x ≥，也即()0f x '≥，所以()f x 在R 上单调递增，所以()f x 没有极值点.②当()0,e a ∈时，()ln 1,a g x <在(),ln a ∞-上单调递减.设()e e ln ln t a a a a a ⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，则当()0,e a ∈时，()221e e 0a t a a a a '-=-=<，所以()()e 20t a t >=>，即当()0,e a ∈时，eln a a-<.又()g x 在(),ln a ∞-上单调递减，所以()g x 在e ,a ∞⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递减，且在e ,ln a a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以当e ,x a ∞⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()e ee e e e e 0aa g x g a a a --⎛⎫>-=++-=+> ⎪⎝⎭，所以()g x 在e ,a ∞⎛⎫--⎪⎝⎭上没有零点，且()e ln 0g g a a ⎛⎫-⋅< ⎪⎝⎭.又()g x 在e ,ln a a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以在e ,ln a a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭内存在唯一0x ，使()00g x =，所以当()0,x x ∞∈-时，()0g x >；当()0,ln x x a ∈时，()0g x <，也即当()0,x x ∞∈-时，()0f x '>；当()0,ln x x a ∈时，()0f x '<，所以0x 为()f x 的一个极大值点.又()()10,g g x =在()ln ,a ∞+上单调递增，ln 1a <，所以当()ln ,1x a ∈时，()0g x <；当()1,x ∞∈+时，()0g x >，即当()ln ,1x a ∈时，()0f x '<；当()1,x ∞∈+时，()0f x '>，所以1为()f x 的一个极小值点，所以当()0,e a ∈时，()f x 有2个极值点.综合①②，当()0,e a ∈时，()f x 有2个极值点；当e a =时，()f x 没有极值点.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）【解析】（1）直线l 的参数方程为4334x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去参数t 并整理，得4370x y --=.因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l 的极坐标方程为4cos 3sin 70ρθρθ--=.（2）由（1）知直线l 的普通方程为4370x y --=.曲线M 的极坐标方程为8cos 6sin ρθθ=+，化为直角坐标方程为22(4)(3)25x y -+-=，所以曲线M 是圆心为()4,3，半径为5的圆.又直线l 过圆心()4,3，所以10AB =，所以原点O 到直线l的距离75d ，所以AOB 的面积1710725AOB S =⨯⨯= .23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）【解析】（1）当1m =时，()2,1112,11,2,1x f x x x x x x -≥⎧⎪=--+=--<<⎨⎪≤-⎩所以()1f x ≥可化为211x ≥⎧⎨≤-⎩，或2111x x -≥⎧⎨-<<⎩，或211x -≥⎧⎨≥⎩，解得1,2x ≤-所以不等式()1f x ≥的解集为1,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦.（2）()3f x ≤恒成立，即13x x m --+≤恒成立.因为||1|||||1|x x m m --+≤+恒成立，所以13m +≤，解得42m -≤≤，所以实数m 的取值范围是[]4,2-.。

2024-2025学年高三一轮复习联考(三)_全国卷文数(含答案)

2024届高三一轮复习联考（三）全国卷文科数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回，考试时间为120分钟，满分150分一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}212,1A xx B x x =<<=∣∣，则A B ⋃=（）A.[)1,2-B.(),2∞-C.[)1,3- D.[]1,2-2.命题2:,220p x R x x ∀∈+-<的否定p ⌝为（）A.2000,220x R x x ∃∈+->B.2,220x R x x ∀∈+-C.2,220x R x x ∀∈+->D.2000,220x R x x ∃∈+-3.3.已知复数2(1i)z =+（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（）A.2B.2- C.2iD.2i-4.若函数()222,0,log ,0,x x x f x x x ⎧-=⎨>⎩则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦（）A.2- B.2 C.3- D.35.已知1sin 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.14-B.14C.12-D.126.函数()21x xe ef x x --=+在[]3,3-上的大致图象为（）A.B.C. D.7.函数2sin cos21y x x=-+的最小值是（）A.3-B.1-C.32- D.12-8.已知数列{}n a的前n项和22nS n n m=-++，且对任意*1,0n nn N a a+∈-<，则实数m 的取值范为是（）A.()2,∞-+ B.(),2∞--C.()2,∞+ D.(),2∞-9.已知等比数列()*a满足4221,m nq a a a≠=，（其中,*m n N∈），则91m n+的最小值为（）A.6 B.16 C.32 D.210.已知函数()cos3f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭，若()f x在[]0,a上的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数a的取值范为（）A.40,3π⎛⎤⎥⎝⎦B.24,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.2,3π∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭ D.25,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.设4sin1,3sin2,2sin3a b c===，则（）A.a b c<< B.c b a<<C.c a b<< D.a c b<<12.已矨,,A B C均在球O的球面上运动，且满足3AOBπ∠=，若三棱锥O ABC-体积的最大值为6，则球O的体积为（）A.12πB.48πC.D.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()(1,,a k b==，若a b⊥，则k=__________.14.已知{}n a是各项不全为零的等差数列，前n项和是n S，且2024S S=，若()2626nS S m=≠，则正整数m=__________.15.设,m n为不重合的直线，,,αβγ为不重合的平面，下列是αβ∥成立的充分条件的有（）（只填序号）.①,m a m β⊂∥②,,m n n m αβ⊂⊥⊥③,αγβγ⊥⊥④,m m αβ⊥⊥16.已知函数()14sin ,01,2,1,x x x f x x x π-<⎧=⎨+>⎩若关于x 的方程()()()2[]210f x m f x m --+-=恰有5个不同的实数解，则实数m 的取值集合为__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17.（12分）已知数列{}n a 满足12122,log log 1n n a a a +==+，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求(){}32nn a -的前n 项和nS.18.（12分）已知ABC 中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,,,cos cos 2cos 4a b c C a A c C b B π=+=.（1）求tan A ；（2）若c =，求ABC 的面积.19.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，O 是BC 的中点，PB PC ==，22PD BC AB ===.（1）求证：平而PBC ⊥平面ABCD ；（2）求点A 到平面PCD 的距离.20.（12分）已知数列()n a 满足()21112122222326n n n n n a a a a n -+-++++=-⋅+ .（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2n an n b a =+，求数列n b 的前n 项和T .21.（12分）已知函数()ln x af x ex x -=-+.（1）当1a =时，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程，（2）当0a 时，证明，()2f x x >+.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系，xOy 中，直线l的参数方程为2,21,2x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+.（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若曲线C 经过伸缩变换,2,x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'得到曲线C '，若直线l 与曲线C '有公共点，试求a 的取值范围.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()22(0)f x x x t t =++->，若函数()f x 的最小值为5.（1）求t 的值；（2）若,,a b c 均为正实数，且2a b c t ++=，求1412a b c++的最小值.2024届高三一轮复习联考（三）全国卷文科数学参考答案及评分意见1.A【解析】由21x ，即()()110x x -+，解得11x -，所以{}11B xx =-∣，所以{12}A B xx ⋃=-<∣.故选A .2.D 【解析】2,220x x x ∀∈+-<R 的否定为：2000,220x x x ∃∈+-R ，故选D.3.A 【解析】2(1i)2i z =+=，即复数z 的虚部为2，故选A .4.D【解析】()()()222(2)228,8log 83f f -=--⨯-===，故选D.5.C 【解析】因为1sin 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2211cos 2cos 2cos 22sin 11366622ππππααπαα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.故选C.6.A 【解析】()()2e e 1x xf x f x x ---==-+，所以函数()y f x =是奇函数，排除B 选项，又()22e e 215f --=>，排除C ，D 选项，故选A.7.D 【解析】由题意，函数22sin cos212sin 2sin y x x x x =-+=+，令[]sin 1,1t x =∈-，可得221122222y t t t ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，当12t =-，即1sin 2x =-时，函数取得最小值，最小值为12-.故选D.8.A【解析】因为10n n a a +-<，所以数列{}n a 为递减数列，当2n 时，()2212(1)2123n n n a S S n n m n n m n -⎡⎤=-=-++---+-+=-+⎣⎦，故可知当2n 时，{}n a 单调递减，故{}n a 为递减数列，只需满足21a a <，即112m m-+⇒-.故选A .9.D【解析】由等比数列的性质，可得()911911918,10102888m n m n m n m n m n n m ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当6,2m n ==时，等号成立，因此，91m n +的最小值为2.故选D.10.B 【解析】()cos 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，结合图象，()f x 的值域是11,,0,2333x a x a πππ⎡⎤-++⎢⎣⎦，于是533a πππ+，解得2433aππ，所以实数a 的取值范围为24,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选B.11.B 【解析】设()()2sin cos sin ,x x x xf x f x x x -=='，令()()cos sin ,sing x x x x g x x x =-'=-，当()0,x π∈时，()0g x '<，故()g x 在()0,π上递减，()()()00,0g x g f x <=∴<'，故()sin xf x x=在()0,π上递减，023π<<< .()()sin3sin232,,2sin33sin232f f ∴<<<，故c b <，()()()sin 2012,sin1,sin22sin1,3sin232sin14sin12ππππππ-<<-<<<-<-<-，故b a <，故c b a <<，故选B.12.C 【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时231133632212O ABC C AOB V V R R --==⨯⨯⨯==，故3R =O 的体积为343R V π==，故选C.13.3-【解析】0a b a b ⊥⇔⋅=，所以()(1,10,3k k ⋅=+==-.14.18【解析】设等差数列{}n a 的首项和公差分别为1,a d ，则2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以n S 可看成关于n 的二次函数，由二次函数的对称性及202426,m S S S S ==，可得20242622m++=，解得18m =.15.④【解析】根据线面的位置关系易知，①②③中面α和面β可能相交也可能平行，④：若m α⊥且m β⊥，根据面面平行的判定可知垂直于同一直线的两平面互相平行，故④正确.16.()3,1--【解析】作出函数()f x 的大致图象，如图所示，令()t f x =，则()()()2[]210f x m f x m --+-=可化为()()()221110t m t m t m t --+-=-+-=，则11t =或21t m =-，则关于x 的方程()()()2[]210f x m f x m --+-=恰有5个不同的实数解等价于()t f x =的图象与直线12,t t t t ==的交点个数之和为5个，由图可得函数()t f x =的图象与直线1t t =的交点个数为2，所以()t f x =的图象与直线2t t =的交点个数为3个，即此时214m <-<，解得31m -<<-.17.【解析】（1）在数列{}n a 中，已知12122log log log 1n n n na a a a ++-==，所以12n na a +=，.即{}n a 是首项为12a =，公比为2的等比数列，所以()1*222n n n a n -=⨯=∈N .（2）由()()32322nn n a n -=-⨯，故()()231124272352322n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，所以()()23412124272352322nn n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，则()23123222322n n n S n +⎡⎤-=+⨯+++--⨯⎣⎦，()()()11212433221053212n n n n n ++-=-+⨯--⨯=-+-⋅-，故()110352n n S n +=+-⋅.18.【解析】（1）解法一：由题，cos cos 2cos a A c C b B +=，由正弦定理得，sin2sin cos sin cos B A A C C =+，.3,,sin2sin 2sin 2cos2422C A B C B A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=++==-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1cos2sin cos 2A A A -=+，221sin cos sin cos 2A A A A --=22tan 1tan 1tan 12A A A --=+，化简得2tan 2tan 30A A --=，解得tan 3A =或tan 1A =-（舍去）.解法二：由题，cos cos 2cos a A c C b B +=，由正弦定理得，2sin2sin2sin2B A C =+，即()()()()2sin2sin sin B A C A C A C A C ⎡⎤⎡⎤=++-++--⎣⎦⎣⎦，即()()sin2sin cos B A C A C =+-，又A B C π++=，故()sin sin A C B +=，所以()2sin cos sin cos B B B A C =-，又0B π<<，故sin 0B ≠，所以()2cos cos B A C =-，又A B C π++=，故()cos cos B A C =-+，化简得sin sin 3cos cos A C A C =，因此tan tan 3A C =且tan 1C =，所以tan 3A =.（2）由（1）知tan 3A =，因此()tan tan tan tan 21tan tan A CB AC A C+=-+=-=-，.所以sin 10A =，sin 5B =2sin 2C =，因为,6sin sin a c a A C==，.所以1125sin 612225ABC S ac B ==⨯⨯= .19.【解析】（1）因为,PB PC O =是BC 的中点，所以PO BC ⊥，在直角POC 中，1PC OC ==，所以PO =，在矩形ABCD 中，1,2AB BC ==，所以DO =，又因为2PD =，所以在POD 中，222PD PO OD =+，即PO OD ⊥.而,,BC OD O BC OD ⋂=⊂平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，而PO ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABCD .'（2）由（1）平面PBC ⊥平面ABCD ，且DC BC ⊥，所以DC ⊥平面PBC ，所以DC PC ⊥，即PCD 是直角三角形，因为1PC CD ==，所以13122PDC S =⨯=，又知11212ACD S =⨯⨯= ，PO ⊥平面ABCD ，设点A 到平面PCD 的距离为d ，则A PCD P ACD V V --=，即1133PCD ACD S d S PO ⨯⨯=⨯⨯ ，即1311323d ⨯⨯=⨯⨯所以263d =，所以点A 到平面PCD 的距离为3..20.【解析】（1）由题当1n =时，()111223262a +=-⋅+=，即11a =.()21112122222326n n n n n a a a a n -+-++++=-⋅+ ①当2n 时，()211212222526n n n a a a n --+++=-⋅+ ②.①-②得()()()1223262526212nn n n n a n n n +=-⋅+--⋅-=-⋅，所以21n a n =-..（2）由（1）知，212221n an n n b a n -=+=+-，则()()()()3521212325221n n T n -=++++++++- ()()3521222213521n n -=+++++++++-⋅()()212214121232..1423nn n n n +⨯-+-+-=+=-21.【解析】（1）当1a =时，()()111e ln ,e 1x xf x x x f x x--=-+=-+'，所以()()12,11f f '==，.则切线方程为()211y x -=⨯-，.即10x y -+=曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为10x y -+=.（2）证明：要证()2f x x >+，即证e ln 2x a x -->，设()eln ,0x aF x x x -=->，即证()2F x >，当0a 时，()()1e 1e ln ,ex a x ax ax F x x F x x x----=-=-='在()0,∞+上为增函数，且()e1x ah x x -=-中，()()0100e 110,1e 1e 10a a h h --=⨯-=-=-->.故()0F x '=在()0,∞+上有唯一实数根0x ，且()00,1x ∈..当()00,x x ∈时，()0F x '<，当()0,x x ∞∈+时，()0F x '>，从而当0x x =时，()F x 取得最小值.由()00F x '=，得001ex ax -=，故()()000001eln 2x aF x F x x x a a x -=-=+->.综上，当0a 时，()2F x >即()2f x x >+.22.【解析】（1）由题2,21,2x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数t得直线:20l x a -=，.22413sin ρθ=+，即2224cos 4sin ρθθ=+，即曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=.（2）由,2,x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'得2,,x x y y =⎧⎨=''⎩又2214x y +=，所以()()22214x y +'='，即'2'21x y +=，所以曲线C '的方程是221x y +=，.由1d =得11a -.所以a 的取值范围是[]1,1-.23.【解析】（1）()222f x x x t x x t x t =++-=++-+-，()2222y x x tx x t t t =++-+--=+=+，当2x t -时等号成立，.⋅又知当x t =时，x t -取得最小值，所以当x t =时，()f x 有最小值，此时()min ()25f x f t t ==+=，所以3t =..（2）由（1）知，23a b c ++=，()22141114111162(121)232333a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++=++= ⎪⎝⎭，当且仅当333,,824a b c ===时取等号，所以1412a b c ++的最小值为163.。

2023届高三全国学业质量联合检测2月大联考文科数学试题(含答案解析)

2023届高三全国学业质量联合检测2月大联考文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，B 是偶数集，则A B = （）A ．{}2B ．{}2,2-C ．{}0,2D ．{}2,0,2-2．已知复数z 满足i i 1zz +=-，则z 在复平面内所对应的点是（）A ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．13,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．()1,1--D ．33,55⎛⎫ ⎪⎝⎭3．函数()2exx xf x +=的部分图像大致为（）A ．B ．C ．D ．4．已知点()1,1A ，()2,1B -，向量()2,1a =- ，()1,1b = ，则AB与a b - 的夹角的余弦值为（）A ．5-B ．5-C D 5．已知M 是双曲线C 上的一个动点，且点M 到C 的两个焦点距离的差的绝对值为6，C 的焦点到渐近线的距离为4，则C 的离心率为（）A ．35B ．53C ．45D ．546．某市2021年1月至2022年6月的平均气温折线图如图，则（）A ．平均高温不低于30C 的月份有3个B ．平均高温的中位数是21CC ．平均高温的极差大于平均低温的极差D ．月平均高温与低温之差不超过10C 的月份有5个7．若实数x ，y 满足约束条件10,20,0,x y x y y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22z x y =--的最大值为（）A ．4B．5C ．2D8．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数.执行如图所示的程序框图，则输出的n =（）A ．3B ．4C ．5D ．69．记数列{}n a 的前n 项和为22n S n n =+．若等比数列{}n b 满足11b a =，24b a =，则数列1n b ⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和n T =（）A ．332n-B ．1332n +-C ．1511623n -⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭D ．111223n⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭10．已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，D ，E ，F 分别是1BB ，11B C ，1AA 的中点，M 是线段BF 上的动点，则下列结论中正确的个数是（）①1BF B C ⊥；②1//BF C D ；③11A E B C ⊥；④1//C M 平面1A DE ．A ．1B ．2C ．3D ．411．已知函数()2tan sin tan 1xf x x x =++，则下列结论正确的是（）A ．()f x 在区间ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有极小值C ．设()()2g x f x =-在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的最大值为M ，最小值为m ，则4M m +=D ．()f x 在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内有且只有一个零点12．已知三棱锥P －ABC 的所有顶点均在半径为2的球的O 球面上，底面ABC 是边长为3的等边三角形．若三棱锥P －ABC 的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球的半径为r ，则r =（）A ．1B ．14C ．32D ．)3114二、填空题13．记函数()()n f x x nx n n *=+-∈N 在1x =处的导数为n a ，则()4216log a a =________．14．写出以原点为圆心且与圆C ：22430x y y +-+=相切的一个圆的标准方程为________．15．已知实数a ，b ，m ，n 满足20a b --=，240m n -=，则()()22m a n b -+-的最小值为________．三、双空题16．已知()f x 是定义R 在上的奇函数，当0x >时，()222x xf x -=+，当0x <时，()22x x f x m n -=⋅+⋅，则m n +=________；若方程()()R f x a a =∈有两个不同的实数根，则a 的取值范围是________．四、解答题17．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 是2a 与πsin6C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的等比中项．(1)求A ﹔(2)若ABC 是锐角三角形，且2c =，求sin a B 的取值范围．18．2020年，教育部启动实施强基计划．强基计划聚焦国家重大战略需求，突出基础学科的支撑引领作用．三年来，强基计划共录取新生1.8万余人．为响应国家号召，某校2022年7月成立了“强基培优”拓展培训班，从高一入校时中考数学成绩前100名的学生中选取了50名对数学学科研究有志向、有兴趣、有天赋的学生进行拓展培训．为了解数学“强基培优”拓展培训的效果，在高二时举办了一次数学竞赛，这100名学生的成绩（满分为150分）情况如下表所示．成绩不低于135分成绩低于135分总计参加过培训401050未参加过培训203050总计6040100(1)能否有99%的把握认为学生的数学竞赛成绩与是否参加“强基培优”拓展培训有关？(2)从成绩不低于135分的这60名学生中，按是否参加过“强基培优”拓展培训采用分层抽样﹐随机抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人代表学校参加区里的数学素养大赛，求这2人中至少有一人未参加过培训的概率．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥0.100.050.0250.0100.0010k 2.7063.8415.0246.63510.82819．如图①，在平面四边形ABCD 中，2AB AD ==，BC CD ==60BAD ∠= ．将BCD △沿着BD 折叠，使得点C 到达点C '的位置，且二面角A BD C '--为直二面角，如图②．已知,,P G F 分别是,,AC AD AB '的中点，E 是棱AB 上的点，且C E '与平面ABD所成角的正切值为3．(1)证明：平面//PGF 平面C DB '；(2)求四棱锥P GFED -的体积．20．已知函数()()ln R f x x ax a =+∈，()f x 的导函数为()f x '．(1)讨论()f x 的极值点的个数；(2)当2a =时，方程()()()0f x f x m m '++=∈R 有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．21．已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点关于其准线的对称点为()3,0P -，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，且与E 有一个共同的焦点，线段1PF 的中点是C 的左顶点．过点1F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ．(1)求C 的方程；(2)证明：114F M AB=．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin xy αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()22sin sin 12m m θρθ⎛⎫+-=∈ ⎪⎝⎭R ．(1)写出1C 的普通方程；(2)若曲线1C 与2C 有两个交点,M N ，则当m 为何值时，MN 最大？并求出MN 的最大值．23．已知a ，b ，c 都是正实数，且3a b c ++=．证明：(1)3331113a b c ++≥；(2)()2221119a b c a b c ≥⎛⎫++++ ⎪⎝⎭．参考答案：1．D【分析】利用偶数和交集的定义即可求解.【详解】因为在集合{}2,1,0,1,2A =--中，－2，0，2是偶数，所以{}2,0,2A B =- ．故选：D.2．B【分析】根据复数的运算求出z ，即可得出z 在复平面内所对应的点.【详解】由i i 1zz +=-，得()()()()i 1i 2i 1i 2i 2i 2z +++===--+13i 55--，所以z 在复平面内所对应的点是13,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭．故选：B.3．C【分析】利用特殊值及极限思想即可分析得出.【详解】由1110242f ⎛⎫⎫--< ⎪⎪⎝⎭⎭，故D 错误，当x →+∞时，()0f x →，A ，B 错误．故选：C.4．A【分析】由平面向量的坐标运算求得AB，a b - ，结合平面向量的夹角公式即可求得答案．【详解】由题意，得()1,2AB =- ，()3,0a b -=-，则AB与a b - 的夹角的余弦值为()AB a b ABa b ⋅-==- ．故选：A ．5．B【分析】不妨设双曲线方程为22221x y a b-=()0,0a b >>，表示出双曲线的渐近线方程，根据双曲线的定义得到3a =，再利用点到直线的距离公式求出b ，从而求出c ，即可得解.【详解】解：不妨设双曲线方程为22221x y a b-=()0,0a b >>，则双曲线的渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=，由双曲线的定义知，26a =，所以3a =，由双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为44b ==，所以5c =，所以C 的离心率53ce a==．故选：B 6．C【分析】根据折线图数据，结合中位数、极差的定义依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，平均高温不低于30C 的月份有2021年6,7,8月和2022年6月，共4个，A 错误；对于B ，将各个月份数据按照从小到大顺序排序后，可得中位数为202120.5C 2+= ，B 错误；对于C ，平均高温的极差为36630C -= ，平均低温的极差为()24327C --=，则平均高温的极差大于平均低温的极差，C 正确；对于D ，月平均高温与低温之差不超过10C 的月份有2021年7,8,9,10月和2022年1,2月，共6个，D 错误.故选：C.7．C【分析】目标函数22z x y =--的几何意义是可行域内的点到直线l ：220x y --=的距离l 的距离最大的点，求解即可.【详解】由约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示．由点到直线的距离公可知，目标函数22z x y =--的几何意义是可行域内的点到直线l ：220x y --=数形结合可知，可行域内到直线l 的距离最大的点为()1,0A -，且点A 到直线l 的距离d ==则22z x y =--的最大值为4．故选：C.8．C【分析】列举出每次算法步骤，即可得出输出结果.【详解】执行第一次循环，[]3.141 3.14 5.14b =-+=，[]5.1414a =-=，2n =，5.14 1.14110.2850.0544b a -=-==>；执行第二次循环，[]41 5.148.14b =-+=，[]8.1417a =-=，3n =，8.14 1.14110.1630.0577b a -=-=≈>；执行第三次循环，[]718.1414.14b =-+=，[]14.14113a =-=，4n =，14.14 1.14110.0880.051313b a -=-=≈>；执行第四次循环，[]13114.1426.14b =-+=，[]26.14125a =-=，5n =，26.14 1.14110.04560.052525b a -=-==<，退出循环，输出5n =.故选：C.9．D【分析】由1113b a S ===，24439b a S S ==-=，求出等比数列{}n b 的公比q 及n b ，数列1n b ⎧⎫⎨⎩⎭也是等比数列，利用等比数列求和公式可求出答案.【详解】因为1113b a S ===，24439b a S S ==-=，所以等比数列{}n b 的公比3q =，所以1333n nn b -=⨯=，则113nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由11113n n b b +=⋅，可知数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以13为首项，13为公比的等比数列，所以111111333122313nnn T ⎛⎫-⋅ ⎪⎛⎫⎝⎭==-⋅ ⎪⎝⎭-．故选：D ．10．C【分析】连接1BC ，即可得到111A E B C ⊥，再由正三棱柱的性质得到1A E ⊥平面11BB C C ，即可得到11A E B C ⊥，从而得到1B C ⊥平面1A DE ，再由线面垂直的性质得到11B C A D ⊥，即可说明1BF B C ⊥，即可判断①、②、③，连接1C F ，通过证明平面1//A DE 平面1BFC ，即可说明④.【详解】解：连接1BC ，因为正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，所以111A E B C ⊥，11B C BC ⊥．又D ，E 分别是1BB ，11B C 的中点，所以1//DE BC ，所以1B C DE ⊥．因为11A E CC ⊥，1111B C CC C ⋂=，11B C ，1CC ⊂平面11BB C C ，所以1A E ⊥平面11BB C C ．又1B C ⊂平面11BB C C ，所以11A E B C ⊥．又1DE A E E ⋂=，DE ，1A E ⊂平面1A DE ，所以1B C ⊥平面1A DE ．又1A D ⊂平面1A DE ，所以11B C A D ⊥．由题意知1//A F BD 且1A F BD =，所以四边形1A FBD 是平行四边形，所以1//BF A D ，所以1BF B C ⊥，故①、③正确；BF 与1C D 是异面直线，故②错误；连接1C F ，因为1//BF A D ，BF ⊂平面1BFC ，1A D ⊄平面1BFC ，所以1A D //平面1BFC 又1//DE BC ，同理可证//DE 平面1BFC ，又1A D DE D ⋂=，1,A D DE ⊂平面1A DE ，所以平面1//A DE 平面1BFC ．因为M 是线段BF 上的动点，所以1C M ⊂平面1BFC ，所以1//C M 平面1A DE ，故④正确．故选：C 11．D【分析】由商数关系化简函数，结合导数法可得函数性质及图象，即可逐个判断.【详解】因为()22sin tan cos sin sin tan 1sin 1cos xx x f x x x x x x =+=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭πsin sin cos π,2x x x x k k ⎛⎫=+≠+∈ ⎪⎝⎭Z ，所以()()()22cos cos 12cos 1cos 1f x x x x x '=+-=-⋅+．当ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，令()0f x '=，解得π3x =±，则当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示．所以()f x 在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的图象如图所示．对A ，()f x 在区间ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，A 错；对B ，()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有极大值，无极小值，B 错；对C ，()()2g x f x =-在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的最大值为2M =，最小值为2m =，4M m +=-，C 错；对D ，()f x 在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内有且只有一个零点，D 对.故选：D.12．B【分析】设底面ABC 的中心为Q ，根据题意可知，当三棱锥P －ABC 的体积取得最大值时，PQ ⊥底面ABC ，求出体积的最大值，再利用等体积法求出内切球的半径即可.【详解】设底面ABC 的中心为Q ，连接BQ ，OQ ，则233BQ ==OQ ⊥底面ABC ，如图，延长QO 交球面于点P ，连接OB ，此时三棱锥P －ABC 的体积取得最大值，因为球O 的半径为2，所以2OB =，在Rt OQB 中，1OQ ==，所以三棱锥P －ABC 的体积的最大值为()213213V =⨯+=此时PB =所以2133312P ABCS -=+⨯⨯=，所以11434r =⨯⨯，解得r =故选：B.13．72【分析】求导后可得n a ，结合对数运算法则可求得结果.【详解】()1n f x nx n -'=+ ，()12f n '∴=，即2n a n =，()()274216427log log 432log 22a a ∴=⨯==.故答案为：72.14．221x y +=或229x y +=【分析】根据两圆内切与外切的条件求解即可.【详解】圆C ：22430x y y +-+=的圆心为()0,2，半径为1．因为两圆圆心距为2，故若两圆外切，则所求圆的半径为211-=，其标准方程为221x y +=；若两圆内切，则所求圆的半径为213+=，其标准方程为229x y +=．故答案为：221x y +=或229x y +=15．12##0.5【分析】根据实数满足的表达式，将表达式转化成直线和抛物线形式，求出解抛物线上到直线距离最近的点，即可求得()()22m a n b -+-的最小值.【详解】由题意知，(),a b 是直线l ：20x y --=上的点，(),m n 是抛物线21:4C y x =上的点，()()22m a n b -+-的几何意义是抛物线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方．设0x y c -+=与抛物线相切，切点为0,0()P x y 则12y x '=，即0112x =，所以直线与C 切于点()2,1，所以()()22m a n b -+-的最小值为212=．故答案为：1216．5-()()5,44,5--È【分析】由()()f x f x -=-可求出m n +的值；画出()y f x =的图象，由方程()()f x a a R =∈有两个不同的实数根，即()y f x =的图象与y a =的图象由两个交点，结合图象即可得出答案.【详解】令0x <，则0x ->，所以()222x xf x -+-=+．因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()222422x x x xf x +--=--=-⨯-，所以4m =-，1n =-，则5m n +=-，故()42,020,0,14202x x x x x f x x x ⎧+>⎪⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-⋅+< ⎪⎝⎭⎩，当0x >时，()422xx f x =+，令2xt =，则()41y t t t=+>．因为当()0,1x ∈时，2x t =单调递增，且()1,2t ∈，此时4y t t=+单调递减，所以由复合函数的单调性可知()422xx f x =+在区间()0,1上单调递减；因为当()1,x ∈+∞时，2x t =单调递增，且()2,t ∈+∞，此时4y t t=+单调递增，所以由复合函数的单调性可知()422xxf x =+，在区间()1,+∞上单调递增．由奇函数图象的特点作出()y f x =与y a =的图象如下：由图知，若()f x a =有两个不同的实数根，相当于()y f x =与y a =有两个不同的交点，则54a -<<-或45a <<．故答案为：－5；()()5,44,5--È.17．(1)π3(2)2⎛ ⎝【分析】（1是2a 与πsin 6C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的等比中项可得2π2sin 6a C b c ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可求出A ﹔（2）由正弦定理表示出13sin 2tan a B C ⎛==+ ⎝，结合tan y x =的单调性即可得出答案.【详解】（1）是2a 与πsin 6C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的等比中项，所以2π2sin 6a C b c ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，由正弦定理及两角和的正弦公式，得12sin cos sin sin 22A C C B C ⎛⎫⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭．因为πA B C ++=，()sin sin cos sin sin sin cos cos sin sin A C A C A C C A C A C C +=++=++，()sin cos 1sin A C A C =+．因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，cos 1A A -=，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．又()0,πA ∈，所以ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ66A -=，即π3A =．（2）由正弦定理，得2πsin sin sin 3a b B C ==，所以2π3sin 2sin sin C B a B b CC ⎛⎫- ⎪⎝⎭===3cos 132sin 2tan C C C C+⎛==+⎝．因为ABC 是锐角三角形，所以2ππ032π0,2C C ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩所以ππ62C <<，所以tan C >所以sin a B的取值范围是⎝．18．(1)有99%的把握认为学生的数学竞赛成绩与是否参加“强基培优”拓展培训有关．(2)35【分析】（1）根据表中数据和参考公式代入计算并与6.635比较即可得出结论；（2）由分层抽样可知参加过培训的有4人，未参加过的有2人，列举出6人中随机抽取2人的所有基本事件，再选出符合条件的事件数即可求得结果.【详解】（1））根据列联表代入计算可得：()221004030201050604050503K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯16.667 6.635>，所以有99%的把握认为学生的数学竞赛成绩与是否参加“强基培优”拓展培训有关．（2）由题意可知，所抽取的6名学生中参加过“强基培优”拓展培训的有4人，记为1A ，2A ，3A ，4A ，未参加过“强基培优”拓展培训的有2人，设为甲、乙．从这6人中随机抽取2人的所有基本事件有{}12,A A ，{}13,A A ，{}14,A A ，{}1,A 甲，{}1,A 乙，{}23,A A ，{}24,A A ，{}2,A 甲，{}2,A 乙，{}34,A A ，{}3,A 甲，{}3,A 乙，{}4,A 甲，{}4,A 乙，{},甲乙，共15个，其中至少有一人未参加过培训的基本事件有{}1,A 甲，{}2,A 甲，{}3,A 甲，{}4,A 甲，{},甲乙，{}1,A 乙，{}2,A 乙，{}3,A 乙，{}4,A 乙，共9个．故至少有一人未参加过培训的概率93155P ==．19．(1)证明见解析12【分析】（1）利用三角形中位线性质和线面平行的判定可证得//PG 平面C DB '，//PF 平面C DB '，由面面平行的判定可证得结论；（2）取BD 的中点M ，根据已知的长度关系和面面垂直性质可证得C M '⊥平面ABD ，结合线面角定义可得tan C EM '∠=由此可确定E 点位置，从而求得GFED S 四边形，利用棱锥体积公式可求得结果.【详解】（1）,,P G F 分别为,,AC AD AB '的中点，//PG C D '∴，//PF BC '，,PG PF ⊄ 平面C DB '，,C D BC ''⊂平面C DB '，//PG ∴平面C DB '，//PF 平面C DB '，又PG PF P ⋂=，,PG PF ⊂平面PGF ，∴平面//PGF 平面C DB '.（2）取BD 的中点M ，连接,C M EM '，2AB AD == ，60BAD ∠= ，ABD ∴ 为等边三角形，2BD ∴=，又BC C D ''==222BC C D BD ''∴+=，C DB '∴ 为等腰直角三角形，112C M BD '∴==，C M BD '⊥；二面角A BD C '--是直二面角，即平面C DB '⊥平面ABD ，平面C DB '⋂平面ABD BD =，C M '⊂平面C DB '，C M '∴⊥平面ABD ，C EM '∴∠即为C E '与平面ABD 所成角，1tan 3C M C EM EM EM ''∴∠==，解得：2EM =；在EMB △中，由余弦定理得：2222cos60EM BM BE BM BE =+-⋅ ，即2314BE BE =+-，解得：12BE =，E ∴为线段AB 上靠近点B 的四等分点，111442ABD AGF BDE ABD ABD ABD ABD GFED S S S S S S S S ∴=--=--= 四边形211222=⨯⨯⨯111113232P GFED GFED V S C M -'∴=⨯⨯=⨯⨯四棱锥四边形20．(1)答案见解析(2)(),ln 25-∞-【分析】（1）对()f x 求导，分0a ≥和a<0，讨论()f x 的单调性，即可得出对应的极值点的情况；（2）当2a =时，方程()()()0f x f x m m '++=∈R 有两个不相等的实数根，化简为1ln 22m x x x -=+++，即y m =-与1ln 22y x x x =+++的图象有两个交点，令()1ln 22h x x x x=+++，对()h x 求导，得出()h x 的单调性及最值即可得出答案.【详解】（1）函数()f x 的定义域为{}0x x >，()1f x a x'=+．当0a ≥时，()0f x ¢>，()f x 在区间()0,∞+上单调递增，所以()f x 无极值点；当a<0时，令()0f x '=，解得1x a=-，所以当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示．x 10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭1a-1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()f x '＋0－()f x 单调递增极大值单调递减所以()f x 有一个极大值点，无极小值点．综上，当0a ≥时，()f x 无极值点；当a<0时，()f x 有一个极值点．（2）当2a =时，方程()()0f x f x m '++=，即1ln 220x x m x++++=，则1ln 22m x x x-=+++．令()1ln 22h x x x x =+++，0x >，则()()()22121112x x h x x x x +-'=+-=．令()0h x '=，解得12x =或=1x -（舍去）．当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()()min 15ln 22h x h x h ⎛⎫≥==- ⎪⎝⎭，又x 趋近于0时()h x 趋近正无穷；x 趋近于正无穷时()h x 趋近正无穷，所以5ln 2m ->-，即ln 25m <-，故m 的取值范围是(),ln 25-∞-．21．(1)22143x y +=(2)证明见解析【分析】（1）由题意得332p-=-，从而得出椭圆C 的焦点()11,0F -，()21,0F ，由线段1PF 的中点为()2,0-求得2a =，23b =，可得C 的方程；（2）直线l 的斜率存在，设为k ，分两种情况讨论：当0k =时，直接验证结论；当0k ≠时，设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理求出线段AB 的中点坐标，得到线段AB 的垂直平分线的方程，求得M 坐标及1F M ，利用弦长公式求得AB ，从而证得结论．【详解】（1）抛物线E 的焦点,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭关于其准线2p x =-的对称点为3,02p ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以332p-=-，即12p =．因为椭圆C 与抛物线E 有一个共同的焦点，所以()11,0F -，()21,0F ，所以线段1PF 的中点为()2,0-，所以2a =，222213b =-=．故C 的方程为22143x y +=．（2）由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ．当0k =时，点A ，B 恰为椭圆C 的左、右顶点，y 轴为线段AB 的垂直平分线，()0,0M ，24AB a ==，11F M c ==，则114F M AB=．当0k ≠时，直线l 的方程为()1y k x =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点为()00,x y ，(),0M M x ．联立()221,1,43y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()()2222438430k x k x k +++-=，则2122843k x x k +=-+，()21224343k x x k -=+，所以212024243x x k x k +==-+，则()2002243114343k ky k x k k k ⎛⎫=+=-+= ⎪++⎝⎭．由题意知，线段AB 的垂直平分线的方程为()001y y x x k-=--，令0y =，得200243M kx x ky k =+=-+，则221223314343k k F M k k +=-+=++．又12AB x =-=()2212143k k +=+，所以114F M AB=．综上，114F MAB =．22．(1)()(2221x y -+-=(2)当2m =-时，max 2MN =【分析】（1）消去参数方程中的参数α即可得到普通方程；（2）根据极坐标与直角坐标互化原则可确定1C 为直线，则当直线过圆心时，MN 最大，由此可求得结果.【详解】（1）由2cos sin x y αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩得：()(2221x y -+-=，即1C 的普通方程为：()(2221x y -+-=.（2）由22sin sin 12m θρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭得：()sin cos sin cos m ρθθρθρθ-=-=，2C ∴的直角坐标方程为：0x y m -+=；当0x y m -+=过圆1C 的圆心(时，MN 取得最大值，即MN 为圆1C 的直径，20m ∴=，解得：2m =，则当2m =时，max 2MN=.23．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用三元基本不等式依次证得01abc <≤与3331113a b c ++≥即可，要特别注意等号成立的条件；（2）利用基本不等式依次证得2223a b c ++≥与1113a b c++≥，从而证得()2221119a b c a b c ≥⎛⎫++++ ⎪⎝⎭，要特别注意等号成立的条件.【详解】（1）因为a ，b ，c 都是正实数，且3a b c ++=，所以3a b c =++≥01abc <≤，所以11abc≥，当且仅当a b c ==且3a b c ++=，即1a b c ===时，等号成立，故33311133a b c abc++≥≥，当且仅当333111a b c ==且1a b c ===，即1a b c ===时，等号成立，所以3331113a b c ++≥.（2）因为()()22222222223a b c a b c ab ac bc a b c ++=+++++≤++，3a b c ++=，所以2223a b c ++≥，当且仅当a b c ==且3a b c ++=，即1a b c ===时，等号成立；又()11111113a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭11113a a b b c c b c ac a b ⎛⎫=++++++++ ⎪⎝⎭113a b c a c b b a a c b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦113⎛≥++ ⎝3=，当且仅当,,a b c a c b b a a c b c ===且3a b c ++=时，即1a b c ===时，等号成立，所以1113a b c++≥；故()2221119a b c a b c ≥⎛⎫++++ ⎪⎝⎭，当且仅当1a b c ===时，等号成立.。

高三联考数学文科试卷答案

一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，则f(2)的值为：A. 1B. 3C. 5D. 7答案：C2. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 15，S10 = 50，则该数列的公差d 为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C3. 下列函数中，定义域为全体实数的是：A. f(x) = 1/xB. f(x) = √(x+1)C. f(x) = |x|D. f(x) = x^2答案：D4. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则复数z的实部为：A. 0B. 1C. -1D. 不确定答案：A5. 下列命题中，正确的是：A. 若a > b，则a^2 > b^2B. 若a > b，则|a| > |b|C. 若a > b，则a/b > b/aD. 若a > b，则a + c > b + c答案：D6. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x，则f'(x)的值为：A. 3x^2 - 6x + 4B. 3x^2 - 6x + 2C. 3x^2 - 6xD. 3x^2 - 6x - 4答案：A7. 下列数列中，不是等比数列的是：A. 2, 4, 8, 16, 32B. 1, 2, 4, 8, 16C. 1, -2, 4, -8, 16D. 1, 3, 9, 27, 81答案：C8. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项a10的值为：A. 27B. 29C. 31D. 33答案：D9. 下列函数中，图像关于y轴对称的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = x答案：C10. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1时取得极值，则a、b、c的关系为：A. a+b+c=0B. a+b=0C. a+c=0D. 2a+b=0答案：D二、填空题（每小题5分，共50分）11. 若等差数列{an}的首项为3，公差为2，则第n项an的表达式为______。

2024届高三上学期10月大联考(全国乙卷)文科数学试题及答案

绝密★启用前2024届高三10月大联考（全国乙卷）文科数学本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}215,1,1,3A x x B =∈+<=-Z∣，则A B ⋃中元素的个数为（）A.3B.4C.5D.62.已知命题200:p x x ∃≥>，则命题p 的否定为（）A.200x x ∃<≤ B.2x x ∀≥<C.2x x ∀<> D.2x x ∀≥≤3.若不等式2510x ax -+<的解集为1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭，则a =（）A.12-B.12C.14-D.144.若函数()e ,3ln 2,3x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则()()2ef f =（）A.-1B.-2C.1D.ln22-5.已知54:1,:log 2(033a p a q a <<>>且1)a ≠，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.函数()242log 2xf x x x+=-的大致图象是（）A. B.C. D.7.白色污染是人们对难降解的塑料垃圾（多指塑料袋）污染环境现象的一种形象称谓，经过长期研究，一种全生物可降解塑料（简称PBAT ）逐渐被应用于超市购物袋､外卖包装盒等产品.研究表明，在微生物的作用下，PBAT 最终可被完全分解为二氧化碳和水进入大自然，当其分解率（100%=⨯已分解质量分解率总质量）超过60%时，就会成为对环境无害的物质.为研究总质量为100g 的PBAT 的已分解质量y （单位：g ）与时间x （单位：月）之间的关系，某研究所人员每隔1个月测量1次PBAT 的已分解质量，对通过实验获取的数据做计算处理，研究得出已分解质量y 与时间x 的函数关系式为 4.60.1100e x y -=-.据此研究结果可以推测，总质量为100g 的PBAT 被分解为对环境无害的物质的时间至少为（）（参考数据：ln40 3.7≈）A.8个月B.9个月C.10个月D.11个月8.已知,0,,2παβαβ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭，且()()17cos cos cos sin sin sin ,sin cos 510ααβααβαβ-+-==，则()sin αβ+=（）A.45B.35 C.25D.3109.已知O 是ABC 所在平面内一点，若0,,,,,OA OB OC AM xAB AN y AC MO ON x y λ++====均为正数，则xy 的最小值为（）A.12B.49C.1D.4310.若函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭∣的部分图象如图所示，则下列说法正确的个数为（）①2ω=；②6πϕ=-；③()f x 在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；④32f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.A.1B.2C.3D.411.已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()2log 1f x x =-，则不等式()()102x f x f x -≥--的解集是（）A.11,00,22⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.][()2,11,2--⋃C.112,0,22⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.()[)11,2,00,1,222∞⎛⎫⎛⎫--⋃-⋃⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.已知函数()2cos (1)xxf x a ax x a -=+++>，则11e 2,e ,ff fππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的大小关系为（）A.11e e 2f f f ππ⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.B.11e 2e ff f ππ⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.11e2e f ff ππ⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.11e e 2f f f ππ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()()1,2,2,a b x =-= ，若a b ⊥ ，则实数x =__________.14.请写出一个满足对任意的()12,0,x x ∞∈+；都有()()()1212f x x f x f x =的函数__________.15.《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度.如图，把塔底与塔顶分别看作点C ，D ，CD 与地面垂直，小李先在地面上选取点A ，B （点,A B 在建筑物的同一侧，且点,,,A B C D 位于同一个平面内），测得AB =，在点A 处测得点,C D 的仰角分别为30,67 ，在点B 处测得点D 的仰角为33.5 ，则塔高CD 为__________m .（参考数据：3sin375≈）16.已知函数()()ln 2f x x a x x =+-在定义域上单调递增，则实数a 的取值范围为__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知向量()()sin cos ,1,2cos ,1a x x b x =+=- ，函数()f x a b =⋅，将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）解方程()0g x =.18.（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，13AM AD = ，令,AB a AC b ==.（1）用,a b表示,,AM BM CM ；（2）若2AB AM ==，且10AC BM ⋅= ，求cos ,a b.19.（12分）某公园池塘里浮萍的面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系如下表所示：时间/t 月1234浮萍的面积2/m y 35917现有以下三种函数模型可供选择：①y kt b =+，②t y p a q =⋅+，③log a y m t n =⋅+，其中,,,,,,k b p q m n a 均为常数，0a >且1a ≠.（1）直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出y 关于t 的函数解析式；（2）若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到22215m ,31m ,211m 所经过的时间分别为123,,t t t ，写出一种123,,t t t 满足的等量关系式，并说明理由.20.（12分）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且__________.1cossin C A -=；②sin sin sin sin A C A Bbc ab ac --=两个条件中任选一个，填入上面横线处，并解决下列问题.（1）求C ；（2）若ABC 外接圆的半径为ABC 的面积为ABC 的周长.注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.21.（12分）已知函数()2e 1xf x ax x =-+-.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若()0f x =有两个不等的实根，求实数a 的取值范围.22.（12分）已知函数()ln 4,f x x a x a =--∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，令()()()2e xF x x f x =--，若0x x =为()F x 的极大值点，证明：()001F x <<.2024届高三10月大联考（全国乙卷）文科数学•全解全析及评分标准一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B 【解析】因为{}{}221541,0,1,1,1,3A x x x x B =∈+<=∈<=-=-ZZ ∣∣，所以{}1,0,1,3A B ⋃=-，有4个元素，故选B.2.D 【解析】根据特称命题的否定为全称命题，知命题“200x x ∃≥>”的否定是“2x x ∀≥”，故选D.3.A 【解析】因为不等式2510x ax -+<的解集为1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭，所以15a a a +=，解得12a =±.又1a a >，所以1a >或0a <，所以12a =-（12a =不满足题意，舍去），当12a =-时，2(5)40a -->，故选A.4.C 【解析】因为2e 3>，所以()22e lne20f =-=，所以()()()2e 0e01f f f ==-=，故选C.5.B 【解析】对于q ，若4log 23a>，则24log log 3a a a >.当01a <<时，243a >，无解.当1a >时，243a <，得2313a <<，即不等式4log 23a >的解集为1,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.因为1,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⫋51,3⎛⎫⎪⎝⎭，所以p 是q 的必要不充分条件，故选B.6.D【解析】方法一：由题意，知函数()242log 2xf x x x+=-的定义域为()2,2-，关于原点对称，且()()242()log 2xf x x f x x --=-=-+，所以函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B,C ；当()0,2x ∈时，212x x +>-，即42log 02xx +>-，因此()0f x >，故排除A.故选D.方法二：由方法一，知函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B,C ；又()211log 302f =>，所以排除A.故选D.7.C 【解析】令 4.60.1100e 60x y -=->，得0.1 4.6ln400.9x >-≈，解得9x >，故至少需要10个月，总质量为100g 的PBAT 才会被分解为对环境无害的物质.故选C.8.A【解析】因为()()1cos cos cos sin sin sin 5ααβααβ-+-=，所以()11cos 5αβ--=，所以()4cos 5αβ-=.因为,0,,2παβαβ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭，所以02παβ<-<，所以()3sin 5αβ-=，所以3sin cos cos sin 5αβαβ-=.又7sin cos 10αβ=，所以1cos sin 10αβ=，所以()714sin sin cos cos sin 10105αβαβαβ+=+=+=.故选A.9.B 【解析】因为0OA OB OC ++=，所以点O 是ABC 的重心，所以()()211323AO AB AC AB AC =⨯+=+ .因为,AM xAB AN y AC ==，所以11,AB AM AC AN x y == ，所以1133AO AM AN x y=+ .因为MO ON λ=，所以,,M O N 三点共线，所以11133x y +=，即113x y+=.因为,x y 均为正数，所以11x y +≥32≤，所以49xy ≥1132x y ==，即23x y ==时取等号），所以xy 的最小值为49.故选B.10.C 【解析】由题图，得2A =，最小正周期54126T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭.又2T ππω==，所以2ω=，故①正确；()()2sin 2f x x ϕ=+，又()f x 的图象过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，所以522122k k ππϕπ⨯+=+∈Z ，所以2,3k k πϕπ=-∈Z .又2πϕ<，所以3πϕ=-，故②错误；()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令23t x π=-，当526x ππ<<时，2433t ππ<<，函数sin y t =在24,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故③正确；2sin23f πππ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选C.11.D【解析】根据题意，作出函数()y f x =的图象，如图所示.因为函数()y f x =是偶函数，所以()()f x f x -=.由()()102x f x f x -≥--，得()10x f x -≥-，所以()10x f x -≤，所以()()()100f x x f x ⎧-≤⎪⎨≠⎪⎩，所以()100x f x -≥⎧⎨<⎩或()100x f x -≤⎧⎨>⎩，观察图象，得12x ≤<或102x <<或102x -<<或2x <-，故选D.12.B 【解析】易知()2cos (1)xxf x a ax x a -=+++>是偶函数，()()ln 2sin x x f x a a a x x -=-+-'，当0x >时，因为1a >，所以ln 0,0x x a a a ->->.令()2sin ,0x x x x ϕ=->，则()2cos 0x x ϕ=->'，所以()x ϕ单调递增，所以()()00x ϕϕ>=，所以()()0,f x f x '>在()0,∞+上单调递增.构造函数()ln xg x x=，则()21ln xg x x-='.令()0g x '>，得0e x <<，令()0g x '<，得e x >，所以()g x 在区间()0,e 上单调递增，在区间()e,∞+上单调递减.又ln2ln424=，所以()()()4e g g g π<<，所以ln2ln4ln lne24e ππ=<<，所以111e22e ππ<<，所以111e ee e ff f f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即11ee f f f ππ⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选B .二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.1【解析】因为a b ⊥ ，所以()1220x ⨯+-=，解得1x =.故填1.14.()12f x x-=（答案不唯一）【解析】任意定义域为()0,∞+的幂函数均可，例如()12f x x-=，()()()()()111122221212121212,f x x x x f x f x x x x x ----==⋅=，即()()()1212f x x f x f x =成立.故可填()12f x x-=.15.24【解析】如图，延长DC 与BA 的延长线交于点E ，则67,30,33.5DAE CAE DBA ∠∠∠=== ，所以33.5ADB ∠= ，所以AD AB ==在ACD 中，37,120CAD ACD ∠∠==，由正弦定理，得3sin37524sin120AD CD =≈=.故填24.16.[)1,∞+【解析】()()ln 2f x x a x x =+-的定义域为()0,∞+，由()()ln 2f x x a x x =+-在定义域上单调递增，得()ln 10af x x x=+-≥'在()0,∞+上恒成立，即ln a x x x ≥-在()0,∞+上恒成立.设()ln (0)g x x x x x =->，所以只需()max (),ln a g x g x x -'≥=，当01x <<时，()0g x '>，当1x >时，()0g x '<，所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，所以()max ()11g x g ==，所以1a ≥，所以实数a 的取值范围为[)1,∞+.故填[)1,∞+.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）【解析】（1）由已知，得()f x a b =⋅()2cos sin cos 1x x x =+-sin 2cos 2x x=+24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期222T πππω===.由222242k x k k πππππ-≤+≤+∈Z ，解得3,88k x k k ππππ-≤≤+∈Z ，所以函数()f x 的单调递增区间为3,,88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()226412g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象.令()2012g x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得2,12x k k ππ-=∈Z ，解得,224k x k ππ=+∈Z ，所以方程()0g x =的解集为,224k x x k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣.18.（12分）【解析】（1）因为,AB a AC b ==，所以BC AC AB b a =-=-，所以()11,33AM BC b a ==-所以()114333BM AM AB b a a b a =-=--=- ，所以()14123333CM BM BC b b a a b =-=---=-- .（2）方法一：由（1）知()114,333AM b a BM =-=-.又,10,2AC b AC BM AB AM =⋅===，所以()14110,2,2333b b a b a a ⎛⎫⋅-=-== ⎪⎝⎭，即222430,236b a b b a a b -⋅=+-⋅=，解得1,a b b ⋅==所以34cos ,68a b a b a b⋅〈〉==.方法二：因为1,23AM AD AM ==，所以6AD =，所以6BC =.因为()22121333AC BM BC BA BA BC BA BA BC BC ⎛⎫⋅=-⋅+=-+⋅+ ⎪⎝⎭，且10AC BM ⋅= ，所以2221262cos 61033ABC ∠-+⨯⨯⨯+=，解得1cos 4ABC ∠=，所以()()22126214a b BA BC BA BA BC BA ⋅=-⋅-=-⋅+=-⨯⨯= .又2,a b ===，所以cos ,68a b a b a b⋅〈〉==.19.（12分）【解析】（1）应选择函数模型②t y p a q =⋅+.依题意，得12335,9p a q p a q p a q ⎧⨯+=⎪⨯+=⎨⎪⨯+=⎩解得12,1p a q =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以y 关于t 的函数解析式为21t y =+.（2）1231t t t +=+.理由：依题意，得3122115,2131,21211t t t +=+=+=，所以312214,230,2210t t t ===，所以1222420,t t ⋅=所以3312121222420222t t t t t t ++⋅===⨯=，所以1231t t t +=+.20.（12分）【解析】（11cossin C A -=及正弦定理，得()sin sin 1cos C A A C =-.sin 0,sin A C C ≠∴+= ，sin 32C π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭.又40,333C C ππππ<<∴<+<，2,333C C πππ∴+=∴=.若选②：由sin sin sin sin A C A B bc ab ac --=，得sin sin sin sin a A c C b A b B -=-.由正弦定理，得222a b c ab +-=.由余弦定理，得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===.因为()0,C π∈，所以3C π=.（2）设ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理，得2sin 2sin63c R C π==⨯=.又113sin 222ABC S ab C ab ==⨯= ，所以4ab =.由222212cos ()222c a b ab C a b ab ab =+-=+--⨯，可得236()12a b =+-，解得a b +=，所以ABC 的周长为6a b c ++=.21.（12分）【解析】（1）当1a =时，()()2e 1,e 21x xf x x x f x x =-+-'=-+，()()1e 1,1e 1,f f =-=-'所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()()()e 1e 11y x --=--，即()e 10x y --=.（2）显然()00f =，要使方程()0f x =有两个不等的实根，只需当0x ≠时，()0f x =有且仅有一个实根，当0x ≠时，由方程()0f x =，得2e 1x x a x+-=.令()()2e 10x x g x x x +-=≠，则直线y a =与()()2e 10x x g x x x +-=≠的图象有且仅有一个交点.()()()()()243e 12e 12e1x x x x x x x g x x x +-+---=='.又当0x <时，()()0,g x g x '<单调递减，当02x <<时，()()0,g x g x '<单调递减，当2x >时，()()0,g x g x '>单调递增，所以当2x =时，()g x 取得极小值()2e 124g +=，又当0x <时，e 1x <，所以e 10x x +-<，即()0g x <，当0x >时，e 1,e 10x x x >+->，即()0g x >，所以作出()g x 的大致图象如图所示.由图象，知要使直线y a =与()()2e 10x x g x x x +-=≠的图象有且仅有一个交点，只需0a <或2e 14a +=.综上，若()0f x =有两个不等的实根，则a 的取值范围为()2e 1,04∞⎧⎫+-⋃⎨⎬⎩⎭.22.（12分）【解析】（1）函数()f x 的定义域为()()0,,1a x a f x x x∞-+=-='，①当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；②当0a >时，由()0f x '>，得x a >，由()0f x '<，得0x a <<，所以，函数()f x 在(),a ∞+上单调递增，在()0,a 上单调递减.综上，当0a ≤时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，函数()f x 在(),a ∞+上单调递增，在()0,a 上单调递减.（2）当1a =时，()()()()()112e ln 4,1e 11e x x x F x x x x F x x x x x ⎛⎫=--++=--+=-- ⎪⎝⎭'，设()1e x g x x =-，则()21e x g x x =+'，当0x >时，()0g x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，又()120,1e 102g g ⎛⎫=-<=-> ⎪⎝⎭，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =，所以当00x x <<时，()0F x '>，当01x x <<时，()0F x '<，当1x >时，()0F x '>，所以()F x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以当0x x =时，()F x 取得极大值，且001e 0xx -=，所以00001e ,ln x x x x ==-，()()00000000000212e ln 4452x x F x x x x x x x x x ⎛⎫-=--++=--+=-+ ⎪⎝⎭.因为01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()001F x <<.。