7.42简单线性规划
7.3 简单线性规划Microsoft Word 文档
7.3简单线性规划一、明确复习目标1.理解二元一次不等式表示平面区域2.了解线性规划的意义,并会简单的应用二．建构知识网络1. 二元一次不等式表示的平面区域：在平面直角坐标系中，设有直线0=++C By Ax （B 不为0）及点),(00y x P ，则 (1)若B>0，000>++C By Ax ，则点P 在直线的上方，此时不等式0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的上方的区域；(2)若B>0，000<++C By Ax ，则点P 在直线的下方，此时不等式0<++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的下方的区域；(3) 若B<0, 我们都把Ax +By +C ＞0（或＜0）中y 项的系数B 化为正值. 2. 线性规划:(1)满足线性约束条件Ax +By +C ＞0（或＜0）的解（x,y ）叫可行解; 所有可行解组成的集合叫可行域；(2)在数学或实际中,常需要求出满足不等式组的解中,使目标函数z=ax+by 取得最大值或最小值的解(x,y),(叫最优解),这里约束条件和目标函数都是x,y 的一次式,所以我们把这类问题叫线性规划.3.解线性规划问题, 找出约束条件和目标函数是关键,必须认真分析题目,理清头绪,量多时可以列成表格,找出所有约束条件, 列出不等式组,再结合图形求出最优解.4.若实际问题要求最优解必为整数,而我们利用图解法得到的解不是整数解,应作适当的调整,方法是以“与线性目标函数的直线的距离”,在直线附近找出与此直线距离最近的点.三、双基题目练练手1.(2006天津)设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x z +=2的最小值为 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．92. (2006广东) 在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥4200x y s y x y x 下，当53≤≤s 时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是A ]15,6[B ]15,7[C ]8,6[D ]8,7[3. (2006湖北9)已知平面区域D 由以A （1，3）、B （5，2）、C （3，1）为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D 上有无穷多个点（x ，y ）可使目标函数z=x+my 取得最小值，则m= （ ）A. -2B. -1C. 1D. 44. 不等式2|1||1|≤-+-y x 表示的平面区域的面积等于__________；5.某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为11a b 、千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为22a b 、千克 甲、乙产品每千克可获利润分别为12d d 、元. 月初一次性购进本月用原料A 、B 各12c c 、千克. 要计划本月生产甲、乙两种产品各多少千克才能使月利润总额达到最大. 在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为ｘ千克、ｙ千克，月利润总额为ｚ元，那么，用于求使总利润12z d x d y =+最大的数学模型中，约束条件为__________;6.（2006北京）已知点(,)P x y 的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，点O 为坐标原点，那么||PO 的最小值等于_______,最大值等于____________.7．(2005江西)设实数x , y 满足的最大值是则x y y y x y x ,03204202⎪⎩⎪⎨⎧≤->-+≤-- .8.不等式组210210123x y x y x ⎧-+>⎪++≥⎨⎪<-≤⎩表示的平面区域的面积等于________。
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先经过的整点.
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出现模糊点，可操作
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7.4简单的线型规划
②优值调整法:
当直线x+y=z 移至A(3.6,7.8)时, zmin=11.4, 由x,y取整数知: z 必为整数,
先将z调整为12, 即x+y=12, ∴ y=12-x或 x=12-y,
将y=12-x代入约束条件得：
分析:列
标牌类型 文字标牌 绘画标牌
规格类型
甲规格
1
2
乙规格
2
1
标牌需求量
2
3
面积 (m2 ) 3 2
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7.4简单的线型规划
标牌类型 文字标牌 绘画标牌
规格类型
甲规格
1
2
乙规格
2
1
标牌需求量
2
3
面积 (m2 ) 3 2
解: 设用甲种规格原料x张,乙种规格原料y张,所用总 面积为 z m2.则目标函数为z=3x+2y,
四、本课小结
寻找“整点”最优解的方法：
①打网格，平移找解法: ②优值调整法:
其步骤是 (1)寻找非整点最优解； (2)回调优值； (3)将回调优值代入线性约束条件，解x，y 范围，并找到整点(x,y) 注意：(1)回调时注意z的整除性； (2)可能需多次回调。
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7.4简单的线型规划
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3x4.5
x3,或x4,
yx93，
或yx
4 8
若调整z=12仍无整数解，应继续调整，直到找到为止.
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7.4简单的线型规划
第 一 已知 变：
线性规划化问题的简单解法
简单线性规划问题的几种简单解法依不拉音。
司马义（吐鲁番市三堡中学，838009）“简单的线性规划问题”属于高中数学新课程必修5，进入了高考试题，并且保持了较大的考察比例，几乎是每年高考的必考内容，也是高中数学教学的一个难点。
简单的线性规划是指目标函数只含两个自变量的线性规划。
简单线性规划问题的标准型为：1112220(0)0(0),(),0(0)m m m A x B y C A x B y C m N z Ax By A x B y C +++≥≤⎧⎪++≥≤⎪∈=+⎨⎪⎪++≥≤⎩L约束条件 目标函数 ，下面介绍简单线性规划问题的几种简单解法。
1. 图解法第一步、画出约束条件表示的可行区域，这里有两种画可行区域的方法。
⑴代点法：直线Ax+By+C=0（c 不为0）的某侧任取一点，把它的坐标代入不等式，若不等式成立，则不等式表示的区域在该点的那一侧；若不成立，则在另一侧。
⑵B 判别法：若Ｂ＞0（＜０），则不等式Ax+By+C ＞0（＜０）表示的区域在直线Ax+By+C ＝0的上方；若Ｂ＞０（＜０），则不等式Ax+By+C ＜０(＞0)表示的区域在直线Ax+By+C ＝0的下方。
（即若B 与0的大小方向跟不等式的方向相同，则可行区域是边界线的上方；若B 与0的大小方向与不等式的方向相反，则可信分区域是边界线的下方）用上面的两种方法画出可行区域是很简单，所以这里不必举例说明。
第二步、在画出的可行区域内求最优解（使目标函数取最大值或最小值的点），这个可以用下面的两种办法解决。
⑴y 轴上的截距法：若b >0，直线y a b x z b=-+所经过可行域上的点使其y 轴上的截距最大（最小）时，便是z 取得最大值（最小值）的点；若b <0，直线y a b x z b =-+所经过可行域上的点使其y 轴上的截距最大（最小）时，是z 取得最小值（最小值）的点（提醒：截距不是距离，截距可以取正负）。
简单线性规划最终版课件
32
解: 设投资方对甲、乙两个项目各投资x、y万元
依题意线性约束条件为： x y 10 目标函数为：Z x 0.5 y
3 x y 18
x
0
y 0
作出可行域
可知直线Z=x+0.5y通过点A时利润最大
而且还与直线 Z=Ax+By的斜率有关.
19
把问题1的有关数据列表表示如下:
资源
A种配件 B种配件 所需时间 利润(万元)
甲产品 乙产品 资源限额 (1件) (1件)
4
0
16
0
4
12
1
2
8
2
3
设甲,乙两种产品分别生产x,y件,
20
y
4 3
4
0
8x
21
y
4 3
o
22
M
4
8
y
4 3
0
M（4, 2）
由
x y 3x
10 y 18
x y
4 6
A4,6
Zmax 4 6 0.5 7（万元） 答:
33
练习题
1、某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售 收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需 要在A.B两种设备上加工，在每台A.B上加工1件 甲所需工时分别为1h、2h，加工1件乙所需工时 分别为2h,1h.A.B两种设备每月有效使用台时数 分别为400h和500h。如何安排生产可使收入最 大解？: 设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每
规格类型 钢板类型
第一种钢板
A规格
2
B规格
(完整版)简单的线性规划问题(附答案).doc
简单的线性规划问题[ 学习目标 ] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念 .2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．知识点一线性规划中的基本概念名称意义约束条件关于变量 x， y 的一次不等式 (组 )线性约束条件关于 x， y 的一次不等式 (组 )目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x， y 的函数解析式线性目标函数关于变量 x，y 的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x， y)可行域由所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题知识点二线性规划问题1．目标函数的最值线性目标函数 z＝ ax＋ by (b≠ 0)对应的斜截式直线方程是y＝－a z，在 y 轴上的截距是z，bx＋b b当 z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．当 b>0，截距最大时， z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值；当 b<0，截距最大时， z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值．2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界 )便是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．(4)答：写出答案．知识点三简单线性规划问题的实际应用1．线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有：①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的 A、B、C 三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一求线性目标函数的最值例1 已知变量x， y 满足约束条件y≤ 2，x＋ y≥ 1，x－ y≤1，则 z＝ 3x＋ y 的最大值为( )A ． 12B ．11C．3 D．－ 1答案 B解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－ 3x＋z 经y＝2，x＝ 3，过点 A 时， z 取得最大值．由? 此时z＝3x＋ y＝ 11.x－y＝ 1 y＝ 2，x＋y－ 2≤ 0，跟踪训练 1 (1)x，y 满足约束条件x－ 2y－ 2≤ 0，若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，．．．2x－y＋ 2≥ 0，则实数 a 的值为 ()1 1A. 2或－ 1 B ．2 或 2C．2 或 1 D． 2 或－ 1x－y＋ 1≤ 0，(2)若变量 x，y 满足约束条件x＋2y－ 8≤ 0，则 z＝ 3x＋ y 的最小值为 ________ ．x≥0，答案(1)D (2)1解析(1) 如图，由 y＝ax＋ z 知 z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当 a>0 时，要使z＝ y－ ax 取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当 a<0 时，要使 z＝ y－ ax 取得最大值的最优解不唯一，则a＝－ 1.y＝－ 3x＋ z 过点(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z＝ 3x＋ y，即(0,1)时 z 取最小值 1.题型二非线性目标函数的最值问题x－ y－2≤ 0，例2 设实数 x， y 满足约束条件 x＋ 2y－ 4≥ 0，求2y－ 3≤ 0，(1)x2＋y2的最小值；y(2)x的最大值．解如图，画出不等式组表示的平面区域ABC，(1)令 u＝ x2＋ y2，其几何意义是可行域ABC 内任一点 (x， y)与原点的距离的平方．x＋2y－ 4＝ 0，4，8 过原点向直线 x＋ 2y－ 4＝0 作垂线 y＝ 2x，则垂足为y＝2x 的解，即 5 5 ，x＋ 2y－ 4＝ 0， 3又由2y－ 3＝0，得 C 1，2 ，所以垂足在线段 AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC|＝1＋3 2 213＝2，13所以， x2＋y2的最小值为4 .yABC 内任一点 (x， y)与原点相连的直线l 的斜率为 v，即 v (2)令 v＝x，其几何意义是可行域y－ 0＝x－0.由图形可知，当直线l 经过可行域内点 C 时， v 最大，3由(1) 知 C 1，2，所以 v max＝3 y 3，所以的最大值为.2 x 2x≥ 0，跟踪训练 2 已知 x， y 满足约束条件y≥ 0，则(x＋3) 2＋ y2的最小值为 ________．x＋ y≥ 1，答案10解析画出可行域 ( 如图所示 ) ． (x＋ 3)2＋ y2即点 A(－ 3,0)与可行域内点(x， y)之间距离的平方．显然AC 长度最小，∴AC2＝ (0＋ 3)2＋ (1－ 0)2＝ 10，即 (x＋ 3)2＋y2的最小值为 10.题型三线性规划的实际应用例 3某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、 B 原料 2 千克；生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、 B 原料 1 千克．每桶甲产品的利润是300 元，每桶乙产品的利润是400 元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A， B 原料都不超过 12 千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？x＋ 2y≤ 12，解设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品 y 桶，相应的利润为2x＋ y≤ 12，z 元，于是有x≥ 0， y≥ 0，x∈ N ， y∈ N ，z＝ 300x＋ 400y，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x＋400y＝ 0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在 y 轴上的截距达到最大，此时 z＝ 300x＋ 400y 取得最大值，最大值是 z＝ 300× 4＋ 400× 4＝ 2 800，即该公司可获得的最大利润是 2 800 元．反思与感悟线性规划解决实际问题的步骤：① 分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③ 确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数 (直线 )求出最优解；⑥ 实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．跟踪训练 3 预算用 2 000 元购买单价为 50 元的桌子和 20 元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的 1.5 倍，问桌子、椅子各买多少才行？解设桌子、椅子分别买x 张、 y 把，目标函数z＝ x＋ y，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为50x＋20y≤ 2 000，y≥ x，y≤ 1.5x，x≥ 0，x∈ N*，y≥0， y∈ N* .x＝200，50x＋ 20y＝2 000，7由解得200 y＝ x，y＝，7所以 A 点的坐标为 200，200 .7 750x ＋ 20y ＝2 000，x ＝ 25，由解得75y ＝ 1.5x ，y ＝ 2 ，所以 B 点的坐标为 7525， 2 .200 20075所以满足条件的可行域是以 A 7 ，7 ， B 25， 2 ， O(0,0) 为顶点的三角形区域 (如图 )．75由图形可知，目标函数 z ＝x ＋ y 在可行域内的最优解为 B 25， 2 ，但注意到 x ∈ N * ， y ∈ N * ，x ＝ 25， 故取y ＝ 37.故买桌子 25 张，椅子 37 把是最好的选择．x ＋ y － 3≤ 0，1．若直线 y ＝ 2x 上存在点 ( x ， y)满足约束条件 x － 2y － 3≤0， 则实数 m 的最大值为 ()x ≥ m ，3A ．－ 1B ． 1C.2D ． 25x － 11y ≥－ 22，2x ＋ 3y ≥ 9， 2．某公司招收男职员x 名，女职员 y 名， x 和 y 需满足约束条件则 z2x ≤ 11，x ∈ N * ， y ∈ N * ，＝ 10x ＋ 10y 的最大值是 ( )A ． 80B ．85C ．90D ． 95y≤1，3．已知实数x，y 满足x≤1，则z＝x2＋y2的最小值为________．x＋y≥ 1，一、选择题1．若点 (x, y)位于曲线 y＝ |x|与 y＝ 2 所围成的封闭区域，则 2x－ y 的最小值为 ( ) A ．－ 6 B．－ 2 C． 0 D． 2x≥ 1，2．设变量 x， y 满足约束条件x＋ y－ 4≤ 0，则目标函数 z＝ 3x－ y 的最大值为 ()x－ 3y＋4≤ 0，4A ．－ 4 B． 0 C.3 D． 4x≥ 1，则 z＝y－1的取值范围是 (3．实数 x， y 满足 y≥ 0，)x－ y≥ 0，xA ． [ － 1,0]B ．( －∞， 0]C．[ －1，＋∞ ) D． [ － 1,1)x－ y≥ 0，4．若满足条件x＋ y－ 2≤ 0，的整点 (x， y)(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有 9 个，y≥ a则整数 a 的值为 ()A ．－ 3 B．－ 2C．－ 1 D． 0x≥ 1，5．已知 x， y 满足x＋ y≤ 4，目标函数z＝ 2x＋ y 的最大值为7，最小值为1，则 b，c x＋ by＋ c≤ 0，的值分别为( )A ．－ 1,4B ．－ 1，－ 3C．－ 2，－ 1 D．－ 1，－ 26．已知x，y 满足约束条件x＋ y≥ 5，x－ y＋ 5≥0，x≤ 3，使 z＝ x＋ ay(a＞ 0)取得最小值的最优解有无数个，则 a 的值为( )A ．－ 3 B． 3 C．－ 1 D． 1二、填空题x≤ 2，7．若 x， y 满足约束条件y≤2，则 z＝ x＋ 2y 的取值范围是 ________．x＋ y≥2，8．已知－ 1≤ x＋y≤ 4 且 2≤ x－y≤ 3，则 z＝ 2x－ 3y 的取值范围是________(答案用区间表示)．0≤ x≤ 2，9．已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组y≤ 2，给定．若 M(x， y)为 Dx≤ 2y上的动点，点 A 的坐标为 (→ →2， 1)，则 z＝ OM ·OA的最大值为 ________．10．满足 |x|＋ |y|≤ 2 的点 (x，y)中整点 (横纵坐标都是整数)有 ________个．x－ y＋ 2≥ 0，11．设实数 x， y 满足不等式组2x－ y－ 5≤ 0，则 z＝ |x＋ 2y－ 4|的最大值为 ________．x＋ y－ 4≥ 0，三、解答题x－ 4y≤－ 3，12．已知x， y 满足约束条件3x＋ 5y≤ 25，目标函数z＝ 2x－ y，求z 的最大值和最小值．x≥ 1，x＋ y－ 11≥ 0，13．设不等式组3x－ y＋ 3≥0，表示的平面区域为 D.若指数函数y＝ a x的图象上存在区域5x－ 3y＋ 9≤0D 上的点，求 a 的取值范围．14．某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板 2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板 1 m2，出售一张方桌可获利润80 元，出售一个书橱可获利润120 元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？当堂检测答案1． 答案B解析 如图，当 y ＝ 2x 经过且只经过x ＋ y － 3＝0 和 x ＝ m 的交点时， m 取到最大值，此时，即 (m,2m)在直线 x ＋ y － 3＝ 0 上，则 m ＝ 1.2． 答案 C解析 该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于 x ， y ∈ N * ，计算区域内与11 9 最近的点为 (5,4)，故当 x ＝5， y ＝ 4 时， z 取得最大值为90.2 ，213． 答案2解析实数 x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则 z 的最小值为原点到直线 AB 的距离的平方，故 z min ＝ 12＝ 1.2 2课时精练答案一、选择题1．答案 A解析画出可行域，如图所示，解得A(－ 2,2)，设 z＝ 2x－ y，把z＝ 2x－ y 变形为 y＝ 2x－ z，则直线经过点 A 时 z 取得最小值；所以 z min＝2× (－ 2)－ 2＝－ 6，故选 A.2．答案 D解析作出可行域，如图所示．x＋ y－ 4＝0，x＝2，联立解得x－ 3y＋ 4＝ 0，y＝2.当目标函数z＝ 3x－ y 移到 (2,2)时， z＝ 3x－ y 有最大值4.3．答案 D解析作出可行域，如图所示，y－1的几何意义是点 (x， y)与点 (0,1)连线 l 的斜率，当直线l 过 B(1,0) 时 k l最小，最小为－ 1. x又直线 l 不能与直线x－ y＝ 0 平行，∴ k l＜ 1.综上， k∈ [－ 1,1)．解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当 a＝0 时，只有 4 个整点 (1,1)，(0,0) ，(1,0)，(2,0)．当 a＝－ 1 时，正好增加 (－ 1，－ 1)，(0，－ 1)，(1 ，－ 1)，(2，－ 1)，(3，－ 1)5 个整点．故选C.5．答案 D解析由题意知，直线x＋by＋ c＝ 0 经过直线2x＋ y＝ 7 与直线x＋ y＝ 4 的交点，且经过直线2x＋ y＝1 和直线x＝ 1 的交点，即经过点(3,1)和点 (1，－ 1)，3＋ b＋ c＝ 0，b＝－ 1，∴解得1－ b＋ c＝ 0，c＝－ 2.6．答案 D解析如图，作出可行域，作直线l：x＋ ay＝0，要使目标函数z＝ x＋ ay(a＞ 0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x＋ y＝ 5 重合，故a＝ 1，选 D.二、填空题7．答案[2,6]解析如图，作出可行域，作直线 l ：x＋ 2y＝ 0，将 l 向右上方平移，过点 A(2,0)时，有最小值 2，过点 B(2,2)时，有最大值 6，故 z 的取值范围为[2,6] ．解析作出不等式组－1≤ x＋ y≤ 4，表示的可行域，如图中阴影部分所示．2≤ x－ y≤ 3在可行域内平移直线 2x－3y＝ 0，当直线经过 x－ y＝ 2 与 x＋y＝ 4 的交点 A(3,1)时，目标函数有最小值z min＝2× 3－ 3× 1＝ 3；当直线经过 x＋ y＝－ 1 与 x－ y＝ 3 的交点 B(1，－ 2) 时，目标函数有最大值z max＝2× 1＋ 3× 2 ＝ 8.所以 z∈[3,8] ．9．答案 4解析由线性约束条件0≤ x≤ 2，y≤ 2，画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数→ →2x＋ y，将其化为z＝OM ·OA＝x≤ 2yy＝－ 2x＋ z，结合图形可知，目标函数的图象过点( 2， 2)时， z 最大，将点 ( 2， 2)代入 z ＝ 2x＋ y，得 z 的最大值为 4.10．答案13解析|x|＋ |y|≤ 2 可化为x＋ y≤ 2 x－ y≤ 2x≥ 0， y≥0x≥ 0， y＜ 0 ，，－x＋ y≤ 2 x＜0， y≥ 0 ，－x－ y≤ 2 x＜0， y＜ 0 ，作出可行域为如图正方形内部(包括边界 )，容易得到整点个数为13 个．11．答案 21解析作出可行域 (如图 )，即△ABC 所围区域 (包括边界 )，其顶点为A(1,3)， B(7,9)，C(3,1)方法一∵可行域内的点都在直线x＋ 2y－ 4＝0 上方，∴x＋ 2y－ 4＞ 0，则目标函数等价于 z＝ x＋ 2y－4，易得当直线 z＝ x＋2y－ 4 在点 B(7,9)处，目标函数取得最大值z max＝ 21.方法二z＝ |x＋ 2y－4|＝|x＋ 2y－ 4|· 5，5令 P( x，y)为可行域内一动点，定直线x＋2y－ 4＝ 0，则z＝ 5d，其中 d 为 P(x， y)到直线 x＋2y－ 4＝ 0 的距离．由图可知，区域内的点 B 与直线的距离最大，故d的最大值为 |7＋ 2× 9－4|＝ 21.5 5故目标函数z max＝ 21 · 5＝ 21.5三、解答题12．解z＝ 2x－ y 可化为y＝ 2x－ z， z 的几何意义是直线在y 轴上的截距的相反数，故当z 取得最大值和最小值时，应是直线在y 轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l0：2x－ y＝0 平行的直线系l，经上下平移，可得：当l 移动到l1，即经过点A(5,2) 时， z max＝ 2× 5 － 2＝ 8.当l 移动到 l 2，即过点 C(1,4.4) 时，z min＝ 2× 1－4.4＝－ 2.4.13．解先画出可行域，如图所示，y＝ a x必须过图中阴影部分或其边界．∵A(2,9) ，∴ 9＝ a2，∴a＝ 3.∵a＞ 1，∴ 1＜ a≤ 3.14．解由题意可画表格如下：方木料 (m3) 五合板 (m2) 利润 (元 ) 书桌 (张 ) 0.1 2 80书橱 (个 ) 0.2 1 120(1)设只生产书桌x 张，可获得利润z 元，0.1x≤ 90，x≤ 900，2x≤ 600，? x≤300，? 0≤ x≤ 300.则z＝ 80x，x≥0x≥ 0所以当 x＝ 300 时， z max＝ 80× 300＝ 24 000(元 ) ，即如果只安排生产书桌，最多可生产300 张书桌，获得利润24 000 元．(2)设只生产书橱y 个，可获得利润z 元，0.2y≤ 90，y≤ 450，1·y≤ 600，? y≤ 600，? 0≤ y≤ 450.则z＝ 120y，y≥ 0y≥ 0所以当 y＝ 450 时， z max＝ 120× 450＝ 54 000(元 )，即如果只安排生产书橱，最多可生产450 个书橱，获得利润54 000 元．(3)设生产书桌 x 张，书橱 y 个，利润总额为z 元，0.1x＋ 0.2y≤ 90，x＋ 2y≤ 900，2x＋ y≤ 600，2x＋ y≤ 600，则?x≥ 0，x≥ 0，y≥ 0 y≥ 0.z＝ 80x＋120y.在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图 )．作直线 l ：80x＋ 120y＝0，即直线 l： 2x＋ 3y＝0.把直线 l 向右上方平移至 l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时 z＝ 80x＋ 120y 取得最大值．x＋ 2y＝ 900，由2x＋ y＝ 600，解得，点M 的坐标为 (100,400) ．所以当 x＝ 100，y＝ 400 时，z max＝ 80×100＋ 120×400＝ 56 000(元 )．因此，生产书桌100 张、书橱400 个，可使所得利润最大．。
简单线性规划课件
简单线性规划课件高中数学必修5《二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题》教案一、教学内容分析运用线性规划知识解决一些简单的实际问题（如资源利用，人力调配，生产安排等）。
突出体现了优化思想，与数形结合的思想。
本小节是利用数学知识解决实际问题的典例，它体现了数学源于生活而用于生活的特性。
二、学生学习情况分析本小节内容建立在学生学习了一元不等式（组）及其应用、直线与方程的基础之上，学生对于将实际问题转化为数学问题，数形结合思想有所了解。
但从数学知识上看学生对于涉及多个已知数据、多个字母变量，多个不等关系的知识接触尚少，从数学方法上看，学生对于图解法还缺少认识，对数形结合的思想方法的掌握还需时日，而这些都将成为学生学习中的难点。
三、设计思想以问题为载体，以学生为主体，以探究归纳为主要手段，以问题解决为目的，以多媒体为重要工具，激发学生的动手、观察、思考、猜想探究的兴趣。
注重引导学生充分体验“从实际问题到数学问题”的数学建模过程，体会“从具体到一般”的抽象思维过程，从“特殊到一般”的探究新知的过程;提高学生应用“数形结合”的思想方法解题的能力;培养学生的分析问题、解决问题的能力。
四、教学目标1、知识与技能：了解二元一次不等式（组）的概念，掌握用平面区域刻画二元一次不等式（组）的方法;了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念;理解线性规划问题的图解法;会利用图解法求线性目标函数的最值与相应最优解;2、过程与方法：从实际问题中抽象出简单的线性规划问题，提高学生的数学建模能力;在探究的过程中让学生体验到数学活动中充满着探索与创造，培养学生的数据分析能力、化归能力、探索能力、合情推理能力;3、情态与价值：在应用图解法解题的过程中，培养学生的化归能力与运用数形结合思想的能力;体会线性规划的基本思想，培养学生的数学应用意识;体验数学来源于生活而服务于生活的特性。
五、教学重点和难点重点：从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），用平面区域刻画二元一次不等式组的解集及用图解法解简单的二元线性规划问题;难点：二元一次不等式所表示的平面区域的探究，从实际情境中抽象出数学问题的过程探究，简单的二元线性规划问题的图解法的探究。
简单线性规划 课件(48张)
(1)解析：如图所示，
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32
2x－y－2≥0， x＋2y－1≥0，所表示的 3x＋y－8≤0，
平面区域为图中的阴影部分．
x＋2y－1＝0，
由
得 A(3，－1)
3x＋y－8＝0，
当 M 点与 A 重合时，OM 的斜率最小，
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33
kOM＝－13. 答案：C
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46
4．求最优解．通过解方程组求出最优解． 5．求最值．求出线性目标函数的最小值或最大值．
知，当直线 y＝－13x＋3z经过 A 点时 z 取最大值．由
2x＋y＝4，
得 A(1，2)，所以 zmax＝1＋2×3＝7. Nhomakorabeax＝1，
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23
类型 2 求非线性目标函数的最值 x－y－2≤0，
[典例 2] 设实数 x，y 满足约束条件x＋2y－4≥0， 2y－3≤0，
求： (1)x2＋y2 的最小值； (2)xy的最大值．
由
解得 C(2，1)，
3x－y－5＝0，
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36
所以当 x＝3，y＝4 时， dmax＝(3＋1)2＋(4＋1)2＝41， 当 x＝2，y＝1 时， dmin＝(2＋1)2＋(1＋1)2＝13， 即(x＋1)2＋(y＋1)2 的最大值为 41，最小值为 13.
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37
类型 3 已知目标函数的最值求参数问题 y≥x，
当直线 l 经过可行域内点 C 时，v 最大， 由(1)知 C1，32， 所以 vmax＝32，所以xy的最大值为32.
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27
归纳升华 非线性目标函数最值问题的求解方法
简单线性规划-高中数学知识点讲解
简单线性规划1．简单线性规划【概念】线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．【例题解析】푥+2푦≤8例：若目标函数z＝x+y 中变量x，y 满足约束条件{0≤푥≤4．0≤푦≤3（1）试确定可行域的面积；（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），则可行域的面积S =12퐵퐶⋅퐴퐵=12×1×2=1．（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z 得截距最小，此时z 最小为z＝2+3＝5，当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z 得截距最大，此时z 最大为z＝4+3＝7，1/ 5故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．【典型例题分析】题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域典例 1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k 的值是（）7343A．3B．7C．3D．44 4分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平33面区域面积的条件即可．解答：不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y＝kx +44过定点（0，）．因此只有直线过AB 中点时，直线y＝kx +3343能平分平面区域．15因为A（1，1），B（0，4），所以AB 中点D（，）．22当y＝kx +4155过点（，）时，3222=푘2+43，所以k =73．答案：A．点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．题型二：求线性目标函数的最值2/ 5典例 2：设x，y 满足约束条件：，求z＝x+y 的最大值与最小值．分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0 来寻找最优解，求出目标函数的最值．解答：先作可行域，如图所示中△ABC 的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0 平移，当l0 的平行线l1 过点B 时，可使z＝x+y 达到最小值；当l0 的平行线l2 过点A 时，可使z＝x+y达到最大值．故z min＝2，z max＝7．点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．题型三：实际生活中的线性规划问题典例 3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50 亩，投入资金不超过 54 万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜 4 吨 1.2 万元0.55 万元韭菜 6 吨0.9 万元0.3 万元为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（）A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．3/ 5푥+푦≤50解析设种植黄瓜x 亩，韭菜y 亩，则由题意可知{1.2푥+0.9푦≤54푥，푦∈푁+求目标函数z＝x+0.9y 的最大值，根据题意画可行域如图阴影所示．当目标函数线l 向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植 30 亩，韭菜种植 20 亩时，种植总利润最大．故答案为：B点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；（2）平移﹣﹣将l 平行移动，以确定最优解的对应点A 的位置；（3）求值﹣﹣解方程组求出A 点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．题型四：求非线性目标函数的最值푦典例 4：（1）设实数x，y 满足，则푥的最大值为．→（2）已知O 是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|푂퐴+→푂푀|的最小值是．分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．푦3解答：（1）푥表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，）处取到最大值．24/ 5→（2）依题意得，푂퐴+→→푂푀=（x+1，y），|푂퐴+→푂푀| =(푥+1)2+푦2可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向→直线x+y＝2 引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此|푂퐴+→푂푀|的最小值是|―1+0―2|2=322．332故答案为：（1）（2）．22点评：常见代数式的几何意义有（1）푥2+푦2表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；（2）(푥―푎)2+(푦―푏)2表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；푦（3）푥表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；푦―푏（4）푥―푎表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．【解题方法点拨】1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．푧푧2．在通过求直线的截距푏的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b＞0 时，截距푏取最大值时，z 也取最大值；截푧푧푧距푏取最小值时，z 也取最小值；当b＜0 时，截距푏取最小值时，z 取最大值．푏取最大值时，z 取最小值；截距5/ 5。
简单线性规划
简单线性规划线性规划（Linear Programming，LP）是一种运用数学方法，以规定的约束条件为前提，通过建立数学模型，求解线性目标函数最大或最小值的一种优化方法。
线性规划方法可用于解决许多实际问题，如资源分配、生产计划、物流管理等。
线性规划的基本形式是在一组约束条件下，最大化或最小化一个线性的目标函数。
目标函数和约束条件必须是线性的，即目标函数和约束条件中的变量的系数必须为常数。
例如，假设有两种可供选择的产品A和B，它们的产量分别为x和y。
目标是通过调整x和y的值，使得总利润最大化。
同时，需要考虑的约束条件包括资源的使用限制、产品的产能限制等。
如果将总利润表示为目标函数，资源使用和产能限制等表示为约束条件，那么这个问题可以用线性规划的方法来解决。
线性规划的解法有多种，其中最常见的是单纯形法。
单纯形法基于一个重要的性质，即在一个凸多边形的顶点上，目标函数的最优解一定存在。
单纯形法通过迭代计算，逐步接近最优解，直到找到最优解为止。
此外，还有其他的方法来解决线性规划问题，如对偶理论、内点法等。
线性规划的应用十分广泛。
在资源有限的情况下，如何合理地分配资源是一个重要的问题。
例如，在生产计划中，如何安排生产任务，对产品的产量进行合理分配，以最大化利润；在物流管理中，如何合理地安排货物的运输路线，以最小化运输成本等。
线性规划提供了一种直观且有效的工具，可以帮助我们在有限的资源下得到最优的解决方案。
尽管线性规划方法在许多场景下表现良好，但它也有一些局限性。
首先，线性规划要求目标函数和约束条件都是线性的，因此对于非线性的问题，线性规划方法并不适用。
其次，线性规划方法在求解大规模问题时可能面临计算复杂度的问题。
不过，有许多方法可以对线性规划的问题进行转化，从而将非线性问题转化为线性问题，或者通过并行计算等方法来加快计算速度。
总的来说，线性规划是一种强大的优化工具，可用于解决各种实际问题。
它的优势在于简单、直观，能够得到全局最优解。
简单线性规划(最新课件ppt)
y 0.
A
作直线l : 2x 4y 0,即x 2y 0并平移， 2移
当l过点A时，取到Zmin；当l过点B时，取到Zmax .
分别解方程组
3求
x x
y 5=0 y=0
,
x y=0
y=0
.
得A2.5, 2.5,B 0,0,
Zmax 2 0+4 0=0;Zmin 2 2.5 4 2.5 = 15.
x 4y 3 0
x
O
3x 5y 25 0
在不等式组表示的平面区域内
问题1:x 有无最大（小）值？ 问题2:y 有无最大（小）值？ 问题3:z=2x+y 有无最大（小）值？
y
y 2x 12
y 2x 3
A(5.00, 2.00)来自Cy 2x 5
B(1.00, 1.00) C(1.00, 4.40)
•B
O
x 4y 3 0
•A
3x 5y 25 0
x
zmax 25 2 12
解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域,
和直线 ax by 不0(全a,b为 目标0函，数为
z ax by);
（2）移：平行移动直线 ax by，确0 定使 z
ax 取by得最大值和最小值的点；
y前系数为负 2、 当b 0时,0 ax by c向上平移时, Z随之减小,
向下平移时, Z随之增大.
运用新知解决问题
例2.营养学家指出，成人良
好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白 质，0.06 kg的脂肪。1 kg食物A 含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白质，0.14 kg脂肪，花费28 元；而1 kg食物B含有0.105 kg碳 水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花费21元。 假如你是一个主妇你会如何合理 的购买食用食物A和食物B多少 kg呢？
简单线性规划课件
【课标要求】
1．了解线性规划的意义． 2． 3．了解线性规划问题中有关术语的含义．
【核心扫描】 会求一些简单的线性规划问题．
1．求目标函数的最值．(重点、难点) 2．
本节与直线的截距和斜率，与点到直线的距离，以及方程 3．等知识联系密切．
目标函数的最大值和最小值与其对应直线截距的关系．(易
课前探究学习
课堂讲练互动
题型二 非线性目标函数的最值问题
【例2】 已知xx－ ＋yy＋ －24≥ ≥00， ， 求：
2x－y－5≤0， (1)z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值； (2)z＝2xy＋＋11的范围
课前探究学习
课堂讲练互动
解 作出可行域如图，并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、 C(7,9)．
可行解 可行域 最优解
满足线性约束条件的_解__(x_，__y_)_ 所有可行解组成的_集__合__
使目标函数取得最大值或最小值的_可__行__解__
线性规 在线性约束条件下，求线性目标函数的最大 划问题 值或最小值问题
想一想：在线性约束条件下，最优解唯一吗？ 提示 不一定，可能有一个或多个．
课前探究学习
课前探究学习
课堂讲练互动
【示例】 在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为 (0,1)，(4,2)，(2,6)．如果P(x，y)是△ABC围成的区域(含 边界)上的点，那么当w＝xy取到最大值时，点P的坐标是 ________． [思路分析]
课前探究学习
课堂讲练互动
解 点A、B、C围成的区域(含边界)如图所示：因为w＝ xy表示矩形OP1PP2的面积，∴只要点P向右方或者向上方 移动，矩形OP1PP2的面积就变大．由图可看出，只有点P 在线段BC上时才无法向右方或上方移动，所以要使w＝xy 最大，点P一定在线段BC上，∵B(4,2)，C(2,6)，∴线段 BC的方程为
简单的线性规划问题 课件
【典型例题】 例 1 已知 1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求 2x－3y 的取值范围．
解 作出二元一次不等式组1－≤1x≤＋xy－≤y5≤，3 所表示的平面 区域(如图)即为可行域．
设 z＝2x－3y，变形得 y＝23x－13z，则得到斜率为23，且随 z 变化的一组平行直线． －13z 是直线在 y 轴上的截距，当直线截距最大时，z 的值最 小，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目标 函数 z＝2x－3y 取得最小值．
3．求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的 问题，统称为线性规划问题．满足线性约束条件的解(x，
y)叫做可行解 ，由所有可行解组成的集合叫做可行域 .
分别使目标函数 z＝ax＋by 取得最大值或最小值的可行 解叫做这个问题的最优解．
4．线性目标函数 z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是 _y＝ ___－__ab_x＋__b_z，在 y 轴上的截距是bz，当 z 变化时，方程表
如图所示，直线 MB 的斜率最大， 直线 MC 的斜率最小，
又∵B(0,2)，C(1,0)， ∴zmax＝kMB＝3；zmin＝kMC＝12. ∴z 的最大值为 3，最小值为12. (2)z＝x2＋y2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方， 结合图形知，原点到点 A 的距离最大，原点到直线 BC 的距 离最小．
由图可见，当直线 z＝2x－3y 经过可行域上的点 A 时，截距 最大，即 z 最小． 解方程组xx－＋yy＝＝－5 1 得 A 的坐标为(2,3)， ∴zmin＝2x－3y＝2×2－3×3＝－5.
当直线 z＝2x－3y 经过可行域上的点 B 时，截距最小，即 z 最大． 解方程组xx－ ＋yy＝ ＝31 得 B 的坐标为(2，－1)． ∴zmax＝2x－3y＝2×2－3×(－1)＝7. ∴－5≤2x－3y≤7，即 2x－3y 的取值范围是[－5，－7]． 小结 解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域，准确 地理解 z 的几何意义，求最优解时采用“平移直线法”．
简单线性规划
不积蹞步，无以致千里；不积小流，
1
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例1：画出不等式组
y x x y 1 y 1
表示的平面区域
不积蹞步，无以致千里；不积小流，
2
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例2：设z 2x y，且x，y满足下列条件
y x x y 1 y 1 求z的最大值
(2)求z的最小值
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画板3
线性规划
问题：
目标函数 （线性目标函数）
线性约 束条件
设z=2x+y，式中变量x，y满足下列条件：
y x x y 1 y 1
y
x+y-1=0
y=-2x
x-y=0
可行域
x
y=-1
求z的最大值
不目积蹞标步，函无数以致线千里；不积小流，
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4
线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的 最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
可行解 ：满足线性约束条 件的解(x，y)叫可行解；
可行域 ：由所有可行解组
成的集合叫做可行域；
y
x+y-1=0
最优解 ：使目标函数
y=-2x
x-y=0
取得最大或最小值的 可行解叫线性规划
不积蹞步，无以致千里；不积小流，
6
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变式练习1：设x, y满足约束条件
x y 1 y x y 0 求z x 2 y的最大值和最小值
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画板 7
变式练习2：设x, y满足约束条件
高二数学必修教学课件简单线性规划的应用
03
代数法在简单线性规划中应用
目标函数构建与转化
目标函数的定义
在简单线性规划中，目标函数是描述问题优化目标的数学表达式 ，通常表示为z=ax+by的形式。
目标函数的转化
根据问题的不同，目标函数可能需要进行转化。例如，当要求最 大值时，可以将目标函数转化为求最小值的形式，或者通过添加 负号实现转化。
高二数学必修教学课件简单线 性规划的应用
汇报人:XX
20XX-01-14
目
CONTENCT
录
• 简单线性规划概述 • 图形解法在简单线性规划中应用 • 代数法在简单线性规划中应用 • 整数解在简单线性规划中应用 • 简单线性规划在实际问题中应用 • 总结回顾与拓展延伸
01
简单线性规划概述
线性规划定义与特点
案例二
运输问题的优化
问题描述
某公司有若干个仓库和若干个销售点，每个仓库有一定数 量的货物。已知从每个仓库到每个销售点的运输费用和运 输量限制，如何安排运输方案使得总费用最小？
代数法求解
同样地，首先根据题意列出目标函数和约束条件。然后， 通过代数法将目标函数和约束条件转化为标准形式。最后 ，利用线性规划的方法求解得到最优解。
01
02
线性规划定义：线性规划 是一种数学方法，用于在 给定约束条件下最大化或 最小化线性目标函数。它 广泛应用于经济、管理、 工程等领域。
线性规划特点
03
04
05
目标函数和约束条件都是 线性的；
可行域是凸集，即任意两 点的连线上的点都在可行 域内；
最优解如果存在，则一定 在可行域的某个顶点上达 到。
在求解线性规划问题时，必须严格遵守约束条件的限制，否则可能导致无解或得到错误 的最优解。
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x 4 y 3 3x 5 y 25 x 1
求z的最大值与最小值。
二、线性规划的概念：目标函数 （线性目标函数）
问题：设z=2x+y，式中变量满足下列条件：
x 4 y 3 3x 5 y 25 x 1
求z的最大值与最小值。
线性约 束条件
1、解下列线性规划问题： 求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满 足下列条件：
y x x y 1 y 1
2、解下列线性规划问题： 求z=3x+y的最大值，使式中x、y满足下 列条件：
2x 3 y 24 x y 7 y 6 x 0 y 0
可行域 ：由所有可行解组 成的集合叫做可行域；
最优解 ：使目标函数取得 最大或最小值的可行解叫 线性规划问题的最优解。
可行域
5 例1、已知x,y满足条件： 最优 约束条件 x-y+3≥0 4 C 线性约束条件D 解 x+y-5≤0 3 可行域 2x-y-4≤0 x ≥0 B 可行解 2 y ≥0 1 求z=x+2y的最大值。 解：画出满足x,y的条件 2 3 4 5 1 O 所表 示 的 区 域 ， 即 五边 A 目标函数 形OABCD（如图） 线性目标函数 y= x+ z z=x+2y 2 2 表示一组平行直线系，纵截距为b=z/2，
线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． 可行解 ：满足线性约束条 件的解(x，y)叫可行解；
可行域 ：由所有可行解组 成的集合叫做可行域；
可行域
线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． 可行解 ：满足线性约束条 件的解(x，y)叫可行解；
y
线性规划的理论知识
o
x
复习：画出不等式（组）表示的平面区域：
⑴ y y=2x+1
3 2
-1 1 -2 -1 1 2
y≥2x+1
⑵ 4x-3y>9 y
4x-3y=9
x+2y<;2y=4
3
-2 -3
o
说明：划分区域时，找好特殊点，注意不等号。
一、课题引入：
问题：设z=2x+y，式中变量满足下列条件：
当直线经过C时，b有最大值。 x-y+3=0 x=1 x+y-5=0 y=4
∴ C(1,4) 当x=1,y=4时，Zmax=9
解线性规划问题的一般步骤：
第一步：在平面直角坐标系中作出可
行域；
第二步：在可行域内找到最优解所对
应的点；
第三步：解方程的最优解，从而求出 目标函数的最大值或最小值。
课堂练习：
作业：P.64.练习：1题(2)；
P.65.习题：2题(2)、(3).