第一讲习题参考答案

= E(X Y = yj ) 由 y j , zk 的任意性, 可得
E[E( X Y , Z ) Y ] = E(X Y ) = E[E( X Y ) Y , Z ]
得证.
上式中第一个等式的直观意义为: 分的较“粗”的区域上的 平均等于分的其更“细”的局部区域上的加权平均的加权平均.
更准确地说，将 ω ∈{ω : Y (ω) = y j}=Bj 按照 ω ∈{ω : Z (ω) = zk } = Ck 划分为若干个 Ck Bj , 在每个 Ck 上 X (ω ) 有均值, 则在 Bj 上对这些均值再求加权平均, 等于直接在 Bj 上求 X (ω ) 的加权 平均.
第一个等式可以看作是条件概率的全概率公式的推广.
上式中第二个等式的直观意义为: 在 ω ∈{ω : Y (ω) = y j , Z (ω) = zk } = BjCk 上, 其中{ω : Y (ω) = y j }=Bj , {ω : Z (ω) = zk }=Ck , 则 Bj 上 X (ω ) 的均值, 与 Ck 无关.
∫ µ =2,σ =1 +∞ x ⋅ e−( x−2)2 / 2dx =0 2π ⋅ Φ(2)
= 2+
e−2
= 2.0553
2π ⋅ Φ(2)
∆x → 0

∆y
→
0

,
f X (1),X (n) (x, y) = n(n −1)(F ( y) − F (x))n−2 f (x) f ( y) ⋅ I{x< y} 代入
f (x) = λe−λx ⋅ I{x≥0}
∫ F (x) = x λe−λtdt = 1− e−λx 0
得
f (x, y) = n(n −1)λ 2 (e−λx − e−λ y )n−2 e−λ x−λ y ⋅ I{0≤x< y}
zk
) ⋅
P(Y = y j , Z = P(Y = y j )
zk )
∑ ∑ =
xi P( X = xi , Z = zk Y = y j )
ki
∑ = xi P( X = xi Y = y j ) i
= E(X Y = yj )
和
E[E( X Y ) Y = y j , Z = zk ]
= E[E( X Y = y j ) Y = y j , Z = zk ]
=
n! (F (x 0!(n - 2)!1!
+
∆x)
−
F
(x)) ⋅
(F (y) − F (x + ∆x))n-2 ⋅ (F (y + ∆y) − F (y))
所以 得
P(x < X (1) ≤ x + ∆x, y < X (n) ≤ y + ∆y) ∆x∆y
= n(n − 1)(F (y) − F (x))n-2 p(x) p( y)
∫∫ =
f X1,X2 ( x, y)dxdy
x+ y≤z
+∞
∫= −∞ f X1 ( x) f X2 (z − x)dx
∫=
z 0
λ1e−λ1x
λ2
e−
λ2
(
z
−
x
)
dx
=

λ1λ2 λ2 − λ1
(e−λ1z
− e−λ2z ),

λ2e−λz z,
λ1 ≠ λ2 λ1 = λ2 = λ
(2) 求 λi = λ 时, X (i) 的概率密度函数 (1 ≤ i ≤ n) .
同理,
fk
(x)
=
(k
n! − 1)!(n
−
k)! (F (x))k−1 (1 −
F (x))n−k
⋅
f
(x)
得
fk
(x)
=
(k
n! −1)!(n
−
k)! λ(eλx
−1)k −1 e−λnx
⋅
I{ x≥0}
(3) 求 X1 + X 2 的分布函数. 因为 X1和X 2 独立, 所以 X1 + X 2 的 p.d.f.满足如下卷积关系: f (X1 + X2 ≤ z)
e −(λ1 +λ2 )
可见, N1 + N2 是参数为 λ1 + λ2 的 Poisson 分布.
(2) 求 P(N1 = k N1 + N2 = n), 0 ≤ k ≤ n;
P(N1 = k N1 + N2 = n)
=
P(N1 = k, N1 + P(N1 + N2
N2 = = n)
n)
=
P(N1 = k)P(N2 = n − P(N1 + N2 = n)
∞
∞n
∑ ∑ ∑ EN = nP(N = n) =
P(N = n)
n=0
n=1 m=1
∞n
∞
∑∑ ∑ =
P(N = n) = P(N ≥ n)
m=1 n=m
n =1
∞
∞
∑ ∑ = P(N > n +1) = P(N > n)
n =1
n=0
得证.
(2)
∫ E( X n ) = ∞ xn f (x)dx (n ≥ 1) 0
≥0}
所以条件概率密度函数为:
f (x x ≥ 0)
∫ =

f
(x)
+∞ 0
f
(u)du

⋅
I{x
≥
0}
∫=
e−(x−µ )2 / e +∞ −(u−µ )2
2σ 2 / 2σ 2
du
⋅
I{x
≥
0}
0
= e−(x−µ )2 / 2σ 2 ⋅ I{x ≥ 0} 2π ⋅ Φ(µ)
∴ E(X X ≥ 0)
⋅
λ1k
λ2
n−
k
−1
=
(λ1
nλ1 + λ2 )n
⋅ (λ1
+
λ2 )n−1
=
nλ1 λ1 + λ2
∴ E(N1
N1
+
N2
)=
λ1
(N1 + N2 λ1 + λ2
)
E(N1 + N2 N1)
= E(N1 N1) + E(N2 N1) = N1 + E(N2 ) = N1 + λ2
5. 设 X1, X 2 , , X n , 独立同 0−1 分布, 且有 P( X n = 1) = p
(1) 求 λi = λ 时, ( X (1) , X (n) ) 的联合概率密度函数. P(x < X (1) ≤ x + ∆x, y < X (n) ≤ y + ∆y)
x< y
= P( X1, , X n中恰有1个在(x, x + ∆x]中， 恰有n − 2个在(x + ∆x, y]中，
恰有1个在(y, y + ∆y]中)
E[E( X Y , Z ) Y = y j ]
∑ = E( X Y = y j , Z = zk )P(Z = zk Y = y j )
k
∑ ∑ =
xi P( X = xi Y = y j , Z = zk )P(Z = zk Y = y j )
ki
∑ ∑ = k
i
xi
P( X = xi ,Y = y j , Z = P(Y = y j , Z = zk )
= 1− P( X n = 0), 0 < p < 1 . N 是参数为 λ 的 Poisson 分布, 且与
∑ {X n} 独立. ξ =
X N
i=1 i
, 求ξ
的分布,
Eξ
及 Dξ
.
∑ ∑ ∞
∵{ξ = k} = ∪ {N = n, n=0
X N
i =1 i
=
k} =
∞
∪ {N
n=0
=
n,
X n
∑ =
n2 n1 =0

λ n1 1
n1 !
e−λ1
⋅
n2 −n1
λ e 2
− λ2
(n2 − n1)!
⋅
λ n3 3
n3 !
e−λ3

∑ =
λ n3 3
n3 !
e−λ3
⋅
n2 n1 =0

λ n1 1
n1 !
e−λ1
⋅
n2 −n1
λ e 2
− λ2
(n2 − n1)!

∴ F(X1 + X2 ≤ z)
z
∫= 0 f X1+ X2 (u)du
∫ ( ) λ1λ2
=

λ2
−
λ1
z e−λ1u − e−λ2u
0
⋅ du,

∫λ2 z e−λuu ⋅ du, 0
λ1 ≠ λ2 λ1 = λ2 = λ
=

λ1e−
λ2 z
λ2
− λ2e−λ1z − λ1
,
1− e−λz − λ ze−λz ,
λ1 ≠ λ2 λ1 = λ2 = λ
14. 设 X, Y, Z 为三维离散型 r.v. E( X ) < ∞ . 证 E[E( X Y , Z ) Y ] = E(X Y ) = E[E(X Y ) Y , Z ]
并说明其直观意义.
证明:
对 ∀y j ∈ Ω, zk ∈ Ω , 设 Y = y j , Z = zk , 则