2017年河南省新乡市中考数学一模试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列各数中，最小的数是（）A．−23B．﹣1C．﹣|−√3|D．3﹣2【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得﹣|−√3|＜﹣1＜−23＜3﹣2，∴各数中，最小的数是﹣|−√3|．故选：C．2．（3分）大量事实证明，环境污染治理刻不容缓．据统计，全球每秒钟约有14.2万吨污水排入江河湖海．把14.2万用科学记数法表示为（）A．1.42×105B．1.42×104C．142×103D．0.142×106【解答】解：14.2万＝142000＝1.42×105．故选：A．3．（3分）如图所示是8个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（）A．B．C．D．【解答】解：该几何体的左视图是：故选：B．4．（3分）某同学做了四道题：①3m+4n＝7mn；②（﹣2a2）3＝﹣8a6；③6x6÷2x2＝3x3；④y3•xy2＝xy5，其中正确的题号是（）A．②④B．①③C．①②D．③④【解答】解：①原式不能合并，不符合题意；②原式＝﹣8a6，符合题意；③原式＝3x4，不符合题意；④原式＝xy5，符合题意，故选：A．5．（3分）有15位同学参加一个知识竞赛活动，若他们比赛得分互不相同，且该竞赛共设8分获奖名额，甲同学知道自己的分数后，若要判断自己能否获奖，那么在15位同学成绩统计数据中，只要知道这组数据的（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差【解答】解：因为8位获奖者的分数肯定是15名参赛选手中最高的，而且15个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有8个数，故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了．故选：B．6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直弦AC于点E，且交⊙O于点D，过点D作⊙O 的切线与BA的延长线相交于点F，下列结论不一定正确的是（）A．∠CDB＝∠BFD B．△BAC∽△OFD C．DF∥AC D．OD＝BC【解答】解：∵AD是切线，∴OD⊥DF，∵AC⊥OD，∴DF∥AC，故C正确，∴∠F＝∠CAB，∵∠CDB＝∠CBA，∴∠CDB＝∠BFD，故A正确，∵AB是直径，∴∠AEO＝∠ACB＝90°，∴OE∥BC，∴△BAC∽△OAE，∵△OAE∽△OFD，∴△BAC∽△OFD，故B正确，无法证明OD＝BC，故选：D．7．（3分）如图，双曲线y=6x（x＞0）经过线段AB的中点M，则△AOB的面积为（）A．18B．24C．6D．12【解答】解：设点M的坐标为（m，n），则点A（2m，0），点B（0，2n），∵点M在双曲线y=6x（x＞0）上，∴mn＝6，∴S△AOB=12OA•OB＝2mn＝12．故选：D．8．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（）A ．﹣1＜x ＜5B ．x ＞5C ．x ＜﹣1D ．x ＜﹣1或x ＞5【解答】解：由图可知，对称轴为直线x ＝2，∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为（5，0），∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），又∵抛物线开口向下，∴不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是﹣1＜x ＜5．故选：A ．9．（3分）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝2，按照如下步骤作图：①分别以点A ，B 为圆心，大于线段AB 长度的一半为半径画弧，两弧分别相交于点M ，N ；②作直线MN 分别交AB ，AC 于点D ，E ，连结BE ，则BE 的长是（ ）A ．4√33B ．3C ．√5D ．2√33【解答】解：∵△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝2，∴AB ＝2BC ＝4．∵DE 是线段AB 的垂直平分线，∴BD ＝AD =12AB ＝2，BE ＝AE ，∴∠ABE ＝∠A ＝30°，∴BE =BD cos30°=2√32=4√33． 故选：A ．10．（3分）如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，点P 是BC 边上的一个动点（点P 不与点B、C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点C′处；作∠BPC′的角平分线交AB于点E．设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，连接DE，∵△PC′D是△PCD沿PD折叠得到，∴∠CPD＝∠C′PD，∵PE平分∠BPC′，∴∠BPE＝∠C′PE，∴∠EPC′+∠DPC′=12×180°＝90°，∴△DPE是直角三角形，∵BP＝x，BE＝y，AB＝3，BC＝5，∴AE＝AB﹣BE＝3﹣y，CP＝BC﹣BP＝5﹣x，在Rt△BEP中，PE2＝BP2+BE2＝x2+y2，在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2＝（3﹣y）2+52，在Rt△PCD中，PD2＝PC2+CD2＝（5﹣x）2+32，在Rt△PDE中，DE2＝PE2+PD2，则（3﹣y）2+52＝x2+y2+（5﹣x）2+32，整理得，﹣6y＝2x2﹣10x，所以y=−13x2+53x（0＜x＜5），纵观各选项，只有D选项符合．故选：D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）|﹣3|0+√−83= ﹣1 ． 【解答】解：|﹣3|0+√−83＝1+（﹣2）＝﹣1，故答案为：﹣1．12．（3分）写一个你喜欢的整数m 的值，使关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +2m ＝0有两个不相等的实数根，m ＝ 1 ．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +2m ＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×1×2m ＝9﹣8m ＞0，解得：m ＜98，取m ＝1，故答案为：1．13．（3分）用m 、n 、p 、q 四把钥匙去开A 、B 两把锁，其中仅有钥匙m 能打开锁A ，仅有钥匙n 能打开锁B ，则“取一把钥匙恰能打开一把锁”的概率是14 ．【解答】解：画树状图为：共有8种等可能的结果数，其中取一把钥匙恰能打开一把锁”的结果数为2，所以取一把钥匙恰能打开一把锁”的概率=28=14， 故答案为：14． 14．（3分）如图，菱形ABCD ，∠A ＝60°，AB ＝4，以点B 为圆心的扇形与边CD 相切于点E ，扇形的圆心角为60°，点E 是CD 的中点，图中两块阴影部分的面积分别为S 1，S 2，则S 2﹣S 1＝ 2√3−π ．【解答】解：连接BE，∵以点B为圆心的扇形与边CD相切于点E，∵在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，∴BE⊥CD，∵点E是CD的中点，∴CE=12CD＝2，BE＝2√3，∠EBC＝30°，∵扇形的圆心角为60°，∴S2﹣S1=12×CE•BE−30⋅π×(2√3)2360=12×2×2√3−π＝2√3−π．故答案为：2√3−π．15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，将矩形ABCD折叠，使得点B落在边AD上，记为点G，BC的对应边GI与边CD交于点H，折痕为EF，则AE＝4√2−2时，△EGH为等腰三角形．【解答】解：∵在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝∠B＝∠EGH＝90°，∴∠AGE+∠AEG＝∠AGE+∠DGH＝90°，∴∠AEG＝∠DGH，∵△EGH为等腰三角形，∴EG＝GH，在△AEG与△DGH中，{∠A=∠D∠AEG=∠DGH EG=GH，∴△AEG≌△DGH，∴DG＝AE，∵AB＝8，AD＝6，将矩形ABCD折叠，使得点B落在边AD上，∴BE＝GE，∴BE＝8﹣AE，∴AG＝AE+2，∵AG2+AE2＝GE2，∴（6﹣AE）2+AE2＝（8﹣AE）2，∴AE＝4√2−2，∴AE＝4√2−2时，△EGH为等腰三角形．故答案为：4√2−2．三、解答题（本题共8小题，满分75分）16．（8分）先化简（2xx+2−xx−2）÷xx2−4然后代入合适的x值求值，整数x满足−√5＜x＜√7．【解答】解：（2xx+2−xx−2）÷xx2−4=2x(x−2)−x(x+2)(x+2)(x−2)⋅(x+2)(x−2)x＝2（x﹣2）﹣（x+2）＝2x﹣4﹣x﹣2＝x﹣6，∵x满足−√5＜x＜√7，∴当x＝1时，原式＝1﹣6＝﹣5．17．（9分）截止2016年第一季度末，微信每月活跃用户已达到5.49亿，用户覆盖200多个国家，超过20种语言，个品牌的微信公众号总数已经超过800万个，微信已成为中国电子革命的代表，并成为人们生活中不可或缺的日常使用工具，某评测中心进行了抽样调查，统计出如下两个统计图表：（1）在条形统计图中，“转发内容”的人数占到样本容量的15%，则样本容量是200；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中“学生”所占比例是15%，所对应的圆心角是54度；（4）某市约有20万微信用户，请你估计其中喜欢“给别人点赞”的学生有多少人？【解答】解：（1）由题意可得：30÷15%＝200．故答案为：200；（2）200﹣70﹣40﹣10＝50（人），补全条形统计图，如图所示．（3）1﹣40%﹣32%﹣13%＝15%，15%×360°＝54°．故答案为：15%；54．（4）200000×15%×70200=10500（人）．答：其中喜欢“给别人点赞”的学生大约有10500人．18．（9分）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O与斜边AC交于点D，E为BC边的中点，连接DE，OE．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）填空：①当∠CAB ＝ 45° 时，四边形AOED 是平行四边形；②连接OD ，在①的条件下探索四边形OBED 的形状为 正方形 ．【解答】解：（1）连接OD ，∵E 是BC 的中点，O 是AB 的中点，∴OE 是△ABC 的中位线，∴OE ∥AC ，∠BOE ＝∠BAC ，∠DOE ＝∠ADO ，∵OD ＝OA ，∴∠BAC ＝∠ADO ，∴∠BOE ＝∠DOE ，在△DOE 与△BOE 中，{OD =OB ∠DOE =∠BOE OE =OE，∴△DOE ≌△BOE ，∴∠OBE ＝∠ODE ＝90°，∴DE 是⊙O 的切线；（2）①当∠CAB ＝45°时，∴∠ADO ＝45°，∴∠AOD ＝90°，又∵∠EDO ＝90°，∴DE ∥AB ，∵OE∥AC，∴四边形AOED是平行四边形；②由①可知：∠EDO＝∠DOB＝∠ABC＝90°，∴四边形OBED是矩形，∵OD＝OB，∴矩形OBED是正方形．故答案为：①45°；②正方形．19．（9分）数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度（图中GH的长），经测量知CD＝2m，在B处测得点D的仰角为60°，在A处测得点C的仰角为30°，AB＝10m，且A、B、H三点共线，请根据以上数据计算GH的长（√3≈1.73，要求结果精确得到0.1m）【解答】解：如图，过点D作DE⊥AH于点E，设DE＝xm，则CE＝（x+2）m．在Rt△AEC和Rt△BED中，有tan30°=CE AE，tan60°=DE BE，∴AE=√3（x+2），BE=√33x，∵AE﹣BE＝AB＝10，∴√3（x+2）−√33x＝10，∴x＝5√3−3，∴GH＝CD+DE＝2+5√3−3＝5√3−1≈7.7（m）．答：GH的长约为7.7m．20．（9分）在平面直角坐标系内，双曲线：y=kx（x＞0）分别与直线OA：y＝x和直线AB：y＝﹣x+10，交于C，D两点，并且OC＝3BD．（1）求出双曲线的解析式；（2）连结CD，求四边形OCDB的面积．【解答】解：（1）过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，∴∠AMO＝∠CEO＝∠DFB＝90°，∵直线OA：y＝x和直线AB：y＝﹣x+10，∴∠AOB＝∠ABO＝45°，∴△CEO∽△DEB∴CEDF =OCBD=3，设D（10﹣m，m），其中m＞0，∴C（3m，3m），∵点C、D在双曲线上，∴9m2＝m（10﹣m），解得：m＝1或m＝0（舍去）∴C（3，3），∴k＝9，∴双曲线y=9x（x＞0）（2）由（1）可知D （9，1），C （3，3），B （10，0），∴OE ＝3，EF ＝6，DF ＝1，BF ＝1，∴S 四边形OCDB ＝S △OCE +S 梯形CDFE +S △DFB=12×3×3+12×（1+3）×6+12×1×1＝17， ∴四边形OCDB 的面积是1721．（10分）2016年11月13日巴基斯坦瓜达尔港正式开港，此港成为我国“一带一路”必展战略上的一颗璀璨的明星，某大型远洋运输集团有三种型号的远洋货轮，每种型号的货轮载重量和盈利情况如下表所示：甲 乙 丙 平均货轮载重的吨数（万吨）10 5 7.5 平均每吨货物可获利润（百元）5 3.6 4（1）若用乙、丙两种型号的货轮共8艘，将55万吨的货物运送到瓜达尔港，问乙、丙两种型号的货轮各多少艘？（2）集团计划未来用三种型号的货轮共20艘装运180万吨的货物到国内，并且乙、丙两种型号的货轮数量之和不超过甲型货轮的数量，如果设丙型货轮有m 艘，则甲型货轮有 16﹣0.5m 艘，乙型货轮有 4﹣0.5m 艘（用含有m 的式子表示），那么如何安排装运，可使集团获得最大利润？最大利润的多少？【解答】解：（1）设用乙、丙两种型号的货轮分别为x 艘，y 艘，则{x +y =85x +7.5y =55，解得：{x =2y =6， 答：用2艘乙种型号的货轮，6艘丙种型号的货轮；（2）甲型货轮有（16﹣0.5m ）艘，乙型货轮有（4﹣0.5m ）艘，则4﹣0.5m +m ≤16﹣0.5m ，解得：m ≤12，∵m 为正整数，（16﹣0.5m ）与94﹣0.5m ）均为正整数，∴m ＝2，4，6，设集团的总利润为w ，则w ＝10×5（16﹣0.5m ）+5×3.6（4﹣0.5m ）+7.5×4m ＝﹣4m +872，当m ＝2时，集团获得最大利润，最大利润为8.64亿元．故答案为：16﹣0.5m ，4﹣0.5m ．22．（10分）如图1，过等边三角形ABC 边AB 上一点D 作DE ∥BC 交边AC 于点E ，分别取BC ，DE 的中点M ，N ，连接MN ．（1）发现：在图1中，MN BD = √32； （2）应用：如图2，将△ADE 绕点A 旋转，请求出MN BD 的值；（3）拓展：如图3，△ABC 和△ADE 是等腰三角形，且∠BAC ＝∠DAE ，M ，N 分别是底边BC ，DE 的中点，若BD ⊥CE ，请直接写出MN BD 的值．【解答】解：（1）如图1中，作DH ⊥BC 于H ，连接AM ．∵AB ＝AC ，BM ＝CM ，∴AM ⊥BC ，∵△ADE 是等边三角形，∴∠ADE ＝60°＝∠B ，∴DE ∥BC ，∵AM ⊥BC ，∴AM ⊥DE ，∴AM 平分线段DE ，∵DN ＝NE ，∴A 、N 、M 共线，∴∠NMH ＝∠MND ＝∠DHM ＝90°，∴四边形MNDH 是矩形，∴MN ＝DH ，∴MN BD =DH BD =sin60°=√32，故答案为√32． （2）如图2中，连接AM 、AN ．∵△ABC ，△ADE 都是等边三角形，BM ＝MC ，DN ＝NE ，∴AM ⊥BC ，AN ⊥DE ，∴AM AB =sin60°，AN AD =sin60°， ∴AM AB =AN AD ，∵∠MAB ＝∠DAN ＝30°，∴∠BAD ＝∠MAN ，∴△BAD ∽△MAN ，∴MN BD =AM AB =sin60°=√32．（3）如图3中，连接AM 、AN ，延长BD 交CE 于H ，交AC 于O ．∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，BM ＝CM ，DN ＝NE ，∴AM ⊥BC ，AN ⊥DE ，∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠ABC ＝∠ADE ，∴sin ∠ABM ＝sin ∠ADN ，∴AM AB =AN AD ，∵∠BAM =12BAC ，∠DAN =12∠DAE ，∴∠BAM ＝∠DAN ，∴∠BAD ＝∠MAN ．∴△BAD ∽△MAN ，∴MN BD =AM AB =sin ∠ABC ，∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴∠ABD ＝∠ACE ，∵BD ⊥CE ，∴∠BHC ＝90°，∴∠ACE +∠COH ＝90°，∵∠AOB ＝∠COH ，∴∠ABD +∠AOB ＝90°，∴∠BAO ＝90°，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝45°，∴MN AB =sin45°=√22．23．（11分）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点坐标为Q （2，﹣1），且与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上的一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；（3）在题（2）的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为Q （2，﹣1），∴设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣2）2﹣1，将C （0，3）代入上式，得：3＝a （0﹣2）2﹣1，a ＝1；∴y ＝（x ﹣2）2﹣1，即y ＝x 2﹣4x +3；（2）分两种情况：①当点P 1为直角顶点时，点P 1与点B 重合； 令y ＝0，得x 2﹣4x +3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3； ∵点A 在点B 的右边，∴B （1，0），A （3，0）；∴P 1（1，0）；②当点A 为△AP 2D 2的直角顶点时；∵OA ＝OC ，∠AOC ＝90°，∴∠OAD 2＝45°；当∠D 2AP 2＝90°时，∠OAP 2＝45°， ∴AO 平分∠D 2AP 2；又∵P 2D 2∥y 轴，∴P 2D 2⊥AO ，∴P 2、D 2关于x 轴对称；设直线AC 的函数关系式为y ＝kx +b （k ≠0）． 将A （3，0），C （0，3）代入上式得： {3k +b =0b =3， 解得{k =−1b =3； ∴y ＝﹣x +3；设D 2（x ，﹣x +3），P 2（x ，x 2﹣4x +3）， 则有：（﹣x +3）+（x 2﹣4x +3）＝0，即x 2﹣5x +6＝0；解得x 1＝2，x 2＝3（舍去）；∴当x ＝2时，y ＝x 2﹣4x +3＝22﹣4×2+3＝﹣1； ∴P 2的坐标为P 2（2，﹣1）（即为抛物线顶点）． ∴P 点坐标为P 1（1，0），P 2（2，﹣1）；（3）由（2）知，当P点的坐标为P1（1，0）时，不能构成平行四边形；当点P的坐标为P2（2，﹣1）（即顶点Q）时，平移直线AP交x轴于点E，交抛物线于F；∵P（2，﹣1），∴可设F（x，1）；∴x2﹣4x+3＝1，解得x1＝2−√2，x2＝2+√2；∴符合条件的F点有两个，即F1（2−√2，1），F2（2+√2，1）．。