分离常数法与分离变量法在数学解题中的应用

分离常数法与分离变量法在数学解题中的应用

1.分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax b y cx d

+=+，22ax bx c y mx nx p

++=++，x x m a n y p a q ⋅+=⋅+，sin sin m x n y p x q ⋅+=⋅+等。解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数。 2.分离常数法的常考题型：

（1）判断分式函数的单调性；（2）求分式函数的值域；

3.分离变量法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离变量，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围，这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决。分离变量法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到。解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题。

4.分离变量法的常考题型：

（1）函数零点问题；（2）函数单调性问题；

（3）不等式恒成立问题；（4）不等式有解问题；

（5）求定点、定直线问题； 5.函数的“存在性”问题和“任意性”问题（共十类）：

（1）相同函数，不同变量（分别考虑）：

(I)对任意2211D x D x ∈∈，，M x f x f ≤-)()(21成立M x f x f ≤-⇔min max )()(；

（2）不同函数，相同变量（构造函数）：

(I)对任意D x ∈，)()(x g x f ≤成立0)]()([0)()(max ≤-⇔≤-⇔x g x f x g x f ； (II)存在D x ∈，使)()(x g x f ≤成立⇔存在D x ∈，0)]()([0)()(in ≤-⇔≤-m x g x f x g x f ；

（3）不同函数，相等关系（函数值域之间的关系）：

(I)存在D x ∈，使)()(x g x f =成立⇔存在D x ∈，)()(0)()(x g x f x g x f -⇔=-有零点； (II)对任意11D x ∈，存在22D x ∈，使)()(21x g x f =成立)(x f ⇔值域)(x g ⊆值域； (III)存在11D x ∈，22D x ∈，使)()(21x g x f =成立)(x f ⇔值域)(x g 值域φ≠；

（4）不同函数，不同变量（函数最值大小的比较）：

(I)对任意2211D x D x ∈∈，，)()(21x g x f ≤成立min max )()(x g x f ≤⇔；

(II)存在11D x ∈，使得任意22D x ∈时，)()(21x g x f ≤成立min in )()(x g x f m ≤⇔； (III)存在11D x ∈，22D x ∈，使)()(21x g x f ≤成立max in )()(x g x f m ≤⇔；

(IV)对任意11D x ∈，存在22D x ∈，使)()(21x g x f ≤成立max a )()(x g x f x m ≤⇔； 总结：（1）把不等关系转化为函数最值大小的比较；

（2）把等量关系转化为函数值域之间的关系；

例1.若函数a

x b x x f --=)(在区间（﹣∞，4）上是增函数，则有（ ） A.a ＞b≥4 B .a≥4＞b C .4≤a ＜b D .a≤4＜b

例2.求函数2

1273)(22+---=x x x x x f 的值域。

例3.已知函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，则实数a 的取值范围为_____________

例4.已知x

a ax x x f 222)(2-+=在[1,)+∞上是单调递增函数，则实数a 的取值范围为__________

例5.设函数52)(2+-=x x x f ，x

mx x 2)(g -=，若对任意的1x ∈[0，4]，总存在2x ∈[1，4]，使)(g )(21x x f =成立，则实数m 的取值范围是_____________

例6.若关于x 的不等式34210x x a -+--+<的解集不是空集，则实数a 的取值范围为______

例7.已知圆C ：4)4(22=-+y x ，直线l ：04)1()13(=--++y m x m

求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长。

变式训练：

1._____________

2.已知⎪⎩

⎪⎨⎧≥+≤+>>42330,0y x y x y x

_____________

3.已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立，则x 的取值范围为__________

4.

[－1，4 ]，则b a 2的值是______________

5.已知10<

______________

6.已知函数()21,(0,1]f x x ax x =++∈，且()||3f x ≤恒成立，则a 的取值范围为___________

7.已知a ＞0，b ＞0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b

≤0恒成立，则m 的取值范围为___________

8.若不等式x 2－ax ＋1≥0对于一切a ∈[－2，2]恒成立，则x 的取值范围是________

9.已知直线l ：(21)(1)740m x m y m +++--=，

m R ∈，则直线l 恒过定点的坐标为________ 10.（2017江苏）已知α∈R ，函数4()||f x x a a x =+

-+在区间[1，4]上的最大值是5， 则α的取值范围是___________

11.函数a x x x f -=)(，若1)(

3,21[上恒成立，则实数a 的取值范围为_________