定积分的背景PPT课件
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《高数》定积分课件
《高数》定积分ppt 课件
目录
• 定积分的概念 • 定积分的计算 • 微积分的应用 • 定积分的物理应用 • 定积分的进一步理解
01
CATALOGUE
定积分的概念
定积分的定义
01
定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极 限。
02
定积分常用于计算平面图形的面积、体积等。
03
定积分的定义基于极限思想，通过分割、近似、求 和、取极限等步骤来定义。
物体在重力作用下的功与能
总结词
通过定积分计算重力做功和能量变化
详细描述
在重力作用下，物体运动过程中重力所做的功和能量变化可以用定积分表示。 通过定积分计算，可以得出重力做功和能量变化的具体数值。
05
CATALOGUE
定积分的进一步理解
定积分的极限思想
定积分是通过对曲线下的面积进行极限分割，再求和得到的结果，这个过 程体现了极限的思想。
可加性
对于任意分割的两个区间上的定积分，其和等于两区间上定积分的和 。
区间区间上定积分的值 之和。
比较性质
如果函数在不同区间上单调增加或减少，则其定积分的值也相应增加 或减少。
02
CATALOGUE
定积分的计算
微积分基本定理
总结词
微积分基本定理是定积分计算的基础， 它建立了积分与微分的联系，为解决定 积分问题提供了重要的思路和方法。
另一个函数的定积分进行计算。这些方法在实际应用中具有广泛的应用价值。
积分中值定理
总结词
积分中值定理揭示了定积分与被积函数之间 的关系，它是解决定积分问题的一个重要工 具。
详细描述
积分中值定理指出，对于连续函数f(x)在闭 区间[a,b]上的定积分∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a) ，其中ξ∈[a,b]。这个定理说明了定积分的 结果等于被积函数在一个子区间上的取值与 该区间长度的乘积。这个定理在解决定积分 问题时非常有用，特别是当我们需要找到被
目录
• 定积分的概念 • 定积分的计算 • 微积分的应用 • 定积分的物理应用 • 定积分的进一步理解
01
CATALOGUE
定积分的概念
定积分的定义
01
定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极 限。
02
定积分常用于计算平面图形的面积、体积等。
03
定积分的定义基于极限思想，通过分割、近似、求 和、取极限等步骤来定义。
物体在重力作用下的功与能
总结词
通过定积分计算重力做功和能量变化
详细描述
在重力作用下，物体运动过程中重力所做的功和能量变化可以用定积分表示。 通过定积分计算，可以得出重力做功和能量变化的具体数值。
05
CATALOGUE
定积分的进一步理解
定积分的极限思想
定积分是通过对曲线下的面积进行极限分割，再求和得到的结果，这个过 程体现了极限的思想。
可加性
对于任意分割的两个区间上的定积分，其和等于两区间上定积分的和 。
区间区间上定积分的值 之和。
比较性质
如果函数在不同区间上单调增加或减少，则其定积分的值也相应增加 或减少。
02
CATALOGUE
定积分的计算
微积分基本定理
总结词
微积分基本定理是定积分计算的基础， 它建立了积分与微分的联系，为解决定 积分问题提供了重要的思路和方法。
另一个函数的定积分进行计算。这些方法在实际应用中具有广泛的应用价值。
积分中值定理
总结词
积分中值定理揭示了定积分与被积函数之间 的关系，它是解决定积分问题的一个重要工 具。
详细描述
积分中值定理指出，对于连续函数f(x)在闭 区间[a,b]上的定积分∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a) ，其中ξ∈[a,b]。这个定理说明了定积分的 结果等于被积函数在一个子区间上的取值与 该区间长度的乘积。这个定理在解决定积分 问题时非常有用，特别是当我们需要找到被
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牛 顿（I.Newton 1642.12.25—1727.3.3）
英国数学家和物理学家出生在一个农民家庭，出生前父亲就去世了， 三岁母亲改嫁，由外祖母抚养。1661年入剑桥大学，1665年获学士学位， 1668年获硕士学位。由于他出色的成就，1669年巴鲁（Barrow）把数学 教授的职位让给年仅26岁的牛顿。1703 年被选为英国皇家学会会长。牛 顿一生成就辉煌，堪称科学巨匠。最突出的有四项重大贡献：创立微积 分，为近代数学奠定了基础，推动了整个科学技术的发展。他发现了力 学三大定律，为经典力学奠定了基础；他发现了万有引力为近代天文学 奠定了基础；他对光谱分析的实验，为近代光学奠定了基础 。他的巨著 《自然哲学的数学原理》影响深远，他被公认为历史上伟大的科学家。可 惜他晚年研究神学，走了弯路。
n
n
1
i
2
n
1 n
它的面积
ΔSi
(1
i2 n2
)
1 n
所求的总面积
Sn
n (1 i1
i2 n2
)
1 n
1
1 n3
n
i
2
i 1
1
2n
2 3n 6n 2
1
2 3
我 们 分 别 取 n=10, 50, 100 用 计 算 机 把 它 的 图 象 画 出 来 ， 并 计
算出面积的近似值：
clf, n=10; x=0:1/n:1;
四．小结： 学习定积分，不仅要理解、记住定积分的定义，还要学习建立定积分概念
的基本思想，我们以后的学习中还会遇到其它类型的积分，比如勒贝格积分、
斯蒂疌斯积分等，只要理解了定积分的思想，其他类型的积分就很容易理解了。
现在我们再来总结一下定积分建立的的思想和方法：从定积分的实例和概念中
《定积分的概念》ppt课件
f
()(ba)
(ab).
性质7的几何意义：
在[a,b]上至少有 ，一使得 [a,以 b]为底边，以曲
y f (x)为曲边的曲A边a梯 B的 b形 面积等于同一
而高f为 ()的矩形的. 面积
假如函数f〔x〕在闭区间[a,b]上连续，我们
称b1aabf (x)dx
如已知某为地函某数时f自〔0x至〕2在4时[a,天b]上气的温平度均曲值线.为f(t),
曲线 f(x)f((x)0 )、x轴及两条直线x=a,x=b所围 成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积 分，即
Aabf(x)dx.
质点在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置a 移动到b，变力对质点所做之功等于函数F(s)在[a,b] 上的定积分，即
WabF(s)ds
假如函数f〔x〕在区间[a,b]上的定积分存在， 那么称函数f〔x〕在区间[a,b]上可积.
如果在[a,b]上 f(x)0，此时由曲线y=f(x)，直线 x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，则
定积分ab f (x)dx在几何上表示上述曲边梯形的面积A的
相反数.
假如在[a,b]上f〔x〕既可取正值又可取负值，那
么定积ab分f (x)dx 在几何上表示介于曲线y=f〔x〕，
直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.
[x0,x1],[x1,x2],,[xi1,xi],,[xn1,xn]
各个小区间的长度为
xi xi xi1
在每一个小[x区 i1,x间 i]上任取一i(点 xi 1ixi),
n
作和 (简式 称积 ) 分 f和 (i)x式 i
i1
记max{xi,x2,...,xn}，如果对[a区 ,b]间 任一分法 和小区[x间 i1,xi]上点 i任意取法，只 要0时 当，上
§1.1定积分的背景-面积和路程 (1)
问题1：我们是怎样计 算圆的面积的？圆周率 是如何确定的？
问题2：“割圆术”是 怎样操作的？对我们有 何启示？
Archimedes，约公元前 287年—约公元前212年
建构主义要求在课堂上体现思想方法的自主 建构过程，让学生去尝试，经历挫折，讨论、 调整、选择更合理的解题思路．
合作探究：
①线段OB近似曲边OB；
求曲边梯形面积的“四步曲”：
1°分割 2°近似代替 3°求和 4°取极限
化整为零 以直代曲 积零为整 刨光磨平
作业：求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成 的曲边梯形的面积．
课后探究：以区间内任意点ξi的函数值 f(ξi)作高，求此时曲边梯形的面积．
§4定积分
定积分的背景——面积和 路程问题
曲边梯形的概念：如图所示，我 们把由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线 y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形．
y
f(b)
y=f(x)
如何求曲边
f(a)
梯形的面积？
Oa
bx
例题（阿基米德问题）：求由抛物 线y=x2与直线x=1,y=0所围成的平面图形 的面积．
②分割，矩形近似；
③分割越多，小矩形的 面积之和越接近曲边梯 形的面积；
解题思想 “细分割、近似和、渐逼近”
图象放大
S1 C
F S2
S>S1+S2
DE
例题：求由抛物线y=x2与直线x=1,y=0所 围成的平面图形的面积．
解： 1°分割：将区间[0,1]分成n等份：
2代0°,替1n近小,似曲1n代,边n2替梯,：形用, 小nn矩1形,1
1 3
例题：求由抛物线y=x2与直线x=1,y=0所 围成的平面图形的面积．
问题2：“割圆术”是 怎样操作的？对我们有 何启示？
Archimedes，约公元前 287年—约公元前212年
建构主义要求在课堂上体现思想方法的自主 建构过程，让学生去尝试，经历挫折，讨论、 调整、选择更合理的解题思路．
合作探究：
①线段OB近似曲边OB；
求曲边梯形面积的“四步曲”：
1°分割 2°近似代替 3°求和 4°取极限
化整为零 以直代曲 积零为整 刨光磨平
作业：求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成 的曲边梯形的面积．
课后探究：以区间内任意点ξi的函数值 f(ξi)作高，求此时曲边梯形的面积．
§4定积分
定积分的背景——面积和 路程问题
曲边梯形的概念：如图所示，我 们把由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线 y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形．
y
f(b)
y=f(x)
如何求曲边
f(a)
梯形的面积？
Oa
bx
例题（阿基米德问题）：求由抛物 线y=x2与直线x=1,y=0所围成的平面图形 的面积．
②分割，矩形近似；
③分割越多，小矩形的 面积之和越接近曲边梯 形的面积；
解题思想 “细分割、近似和、渐逼近”
图象放大
S1 C
F S2
S>S1+S2
DE
例题：求由抛物线y=x2与直线x=1,y=0所 围成的平面图形的面积．
解： 1°分割：将区间[0,1]分成n等份：
2代0°,替1n近小,似曲1n代,边n2替梯,：形用, 小nn矩1形,1
1 3
例题：求由抛物线y=x2与直线x=1,y=0所 围成的平面图形的面积．
《定积分课件》课件
03 定积分的应用
CHAPTER
面积与体积的计算
总结词
定积分在计算平面图形的面积和三维物体的体积方面具有广 泛应用。
详细描述
利用定积分，可以计算出由曲线围成的平面图形的面积，例 如由y=sinx和y=cosx围成的图形面积。此外，定积分还可以 用于计算三维物体的体积，例如球体、圆柱体和旋转体的体 积。
详细描述
在静水压力问题中，压力分布是深度的函数。通过定积分，我们可以计算任意 深度的压力分布，从而了解水下物体的受力情况。
引力场的强度
总结词
通过定积分计算引力场的强度，理解引 力场的分布规律。
VS
详细描述
在引力场中，场强是位置的函数。通过定 积分，我们可以计算任意位置的场强，从 而了解物体在引力场中的运动规律。
符号表示
02
定积分的符号为∫，读作“拉姆达”。
计算方法
03
定积分的计算方法是通过微积分基本定理，将定积分转化为求
原函数在某点的值。
定积分的几何意义
平面区域面积
定积分可以用来计算平面图形的面积，特别是 当面积元素与坐标轴平行时。
体积
定积分还可以用来计算三维物体的体积，例如 旋转体的体积。
曲线下面积
定积分可以用来计算曲线下在某一区间内的面积。
定积分的计算方法
要点一
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法和分部积分法等。
要点二
详细描述
定积分的计算可以通过多种方法进行。直接法是根据微积 分基本定理，通过求原函数并计算其差值来得到定积分的 结果。换元法是在积分变量进行换元，使得积分简化。分 部积分法则是通过将两个函数的乘积进行积分，将一个积 分转化为另一个积分，从而简化计算。这些方法在计算定 积分时常常需要结合使用。
第六章定积分182页PPT
可积的充分条件：
定理2. 函数 f (x) 在 [a,b]上连续 f (x)在 [a,b]上可积 .
定理3. 函数 f (x) 在[a,b]上有界 , 且只有有限个间断点
f (x) 在 [a,b]上可积 .
例1. 利用定义计算定积分 1 x2 dx .
0
解:
将
[0,1]
n
等分,
分点为
xi
i n
(2) 定积分与积分变量的记号无关：
b
f (x)d x
b
f (y)d y
b f (t) d t .
a
a
a
b
a
(3) a f (x) d x b f (x) d x
可积的必要条件:
定理1. 函数f (x)在区间[a,b]上可积 f (x)在[a,b]上有界.
31
b
n
a
f (x) d x lim ||x||0 i1
f (i )xi
( || x || m1iaxn {xi}) .
定积分符号：
b
n
a
f (x)d x
lim ||x||0
i1
f (i )xi .
b —定积分号； a —积分下限； b —积分上限； a
n
i [xi1, xi ], 作和Sn f (i )xi
n
i 1
若 lim ||x|| 0 i1
f (i )xi
存在,
且该极限值与对区间 [a,b] 的
分法 T 及点i 的选择无关, 则称函数 f (x) 在[a,b] 上可积,
记为 b f (x) d x , 极限值称为 f (x) 在 [a, b] 上的定积分： a
《高数定积分》课件
五、定积分的综合应用
微积分基础
我们将回顾一些微积分的基本概念和公式，为 之后的应用题做好准备。
微积分的发展
我们将探索微积分在数学及其他领域中的发展 历程，并了解它对现代科学的重要影响。
微积分与实际问题
我们将讨论微积分在实际问题中的应用，包括 物理、工程、经济等领域。
综合应用题
通过解决一些具体应用题，我们将展示定积分 在解决实际问题中的威力和价值。
《高数定积分》PPT课件
欢迎来到《高数定积分》PPT课件！在本课程中，我们将深入探讨定积分的概 念、计算方法、应用及扩展。准备好跟我们一起进入数学的奇妙世界吧！
一、定积分的概念和性质
定积分的定义
通过讨论函数的变化率， 我们引入了定积分的概念， 它能够帮助我们计算函数 曲线下的面积。
定积分的性质
定积分具有线性性、可加 性、保号性等特点，这些 性质为积分计算提供了便 利。
的问题的一种方法，我们将展示如何
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
有理函数的积分
4
运用它解决实际问题。
通过学习有理函数的积分，我们能够 解决一类常见的函数积分问题。
三、定积分应用
几何应用
我们将介绍如何使用定积分 计算曲线长度、旋转体体积 等与几何相关的应用。
物理应用
通过物理应用的例子，我们 将展示定积分在速度、加速 度、质量等物理概念中的用 途。
经济应用
我们将探讨定积分在经济学 中的应用，如利润、成本、 消费者剩余等问题。
四、定积分的扩展
1 不定积分
不定积分是定积分的逆运算，通过学习不定积分，我们可以还原出原函数。
2 反常积分
反常积分用于计算无界函数、无法普通方法计算的函数等特殊情况下的积分问题。
《定积分计算》课件
02
微积分基本定理
微积分基本定理的表述
微积分基本定理
定积分等于被积函数的一个原函数在 积分上限与积分下限之差的代数和。
公式表示
∫baf(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x) 的一个原函数，a和b分别为定积分的 下限和上限。
微积分基本定理的应用
解决定积分计算问题
通过微积分基本定理，可以直接计算定积分的值，只需找到被积函 数的一个原函数，并计算其在上下限的函数值之差。
详细描述
分部积分法是将复合函数进行分解，将原定 积分转化为两个或多个更简单的定积分的和 或差。这种方法的关键是选择合适的函数进 行分解，以便简化计算过程。
04
定积分的几何应用
平面图形的面积
总结词
定积分在计算平面图形面积方面具有广泛应用。
详细描述
通过定积分，我们可以计算各种平面图形的面积，如矩形、圆形、三角形等。定积分的基本思想是将图形分割成若干 个小部分，然后求和这些小部分的面积，最后取极限得到整个图形的面积。
公式示例
对于矩形，其面积为 (A = l times w)，其中 (l) 为长度，(w) 为宽度；对于圆形，其面积为 (A = pi r^2) ，其中 (r) 为半径。
体积的计算
01
总结词
定积分在计算三维空间中物体的体积方面具有重要作用。
02 03
详细描述
通过定积分，我们可以计算各种三维物体的体积，如长方 体、圆柱体、球体等。同样地，定积分的基本思想是将物 体分割成若干个小部分，然后求和这些小部分的体积，最 后取极限得到整个物体的体积。
05
定积分的物理应用
变速直线运动的路程
总结词
通过定积分计算变速直线运动的路程
《定积分及其应用》课件
在经济学中，供需关系决定了市场的价格。供需曲线的面积表示市场上供应和需求的关系。通过计算这个面积， 我们可以了解市场的均衡点，也就是市场上的价格。同时，通过观察供需曲线面积的变化，我们可以了解市场的 价格变动趋势。
感谢您的观看
THANKS
在曲线上的积分。
曲线的转动惯量
总结词
通过定积分计算曲线的转动惯量
详细描述
转动惯量是描述物体转动难易程度的物理量。对于一个 均匀细长的物体，其转动惯量可以通过定积分来计算。 转动惯量等于质量分布相对于某一轴的转动惯量，等于 质量密度函数在物体质量分布上的积分。
05
定积分的经济应用
收益流的现值
总结词
收益流的现值是定积分在经济中的一个重要应用，它 可以帮助我们计算未来的现金流在当前的价值。
详细描述
在金融和经济学中，我们经常需要考虑未来的收益流 ，也就是未来的现金流。由于货币的时间价值，我们 需要将未来的现金流折现到现在的价值。定积分可以 用来计算这种折现的值。
投资决策问题
总结词
投资决策问题涉及到如何分配有限的资源以获得最大 的回报。定积分可以用来解决这类问题。
定积分的几何意义
总结词
定积分的值等于函数图像与x轴所夹的面积。
详细描述
定积分的值可以通过几何意义来解释，即定积分的值等于函数图像与x轴所夹的 面积。这个面积可以是正的、负的或零，取决于函数图像在给定区间上的上下 位置。
定积分的性质
总结词
定积分具有线性性质、可加性、可减性和区间可加性等性质。
详细描述
体积的计算
总结词
定积分在计算三维空间中物体体积的问 题中起到关键作用，特别是对于旋转体 和薄片绕旋转轴旋转形成的体积。
VS
感谢您的观看
THANKS
在曲线上的积分。
曲线的转动惯量
总结词
通过定积分计算曲线的转动惯量
详细描述
转动惯量是描述物体转动难易程度的物理量。对于一个 均匀细长的物体，其转动惯量可以通过定积分来计算。 转动惯量等于质量分布相对于某一轴的转动惯量，等于 质量密度函数在物体质量分布上的积分。
05
定积分的经济应用
收益流的现值
总结词
收益流的现值是定积分在经济中的一个重要应用，它 可以帮助我们计算未来的现金流在当前的价值。
详细描述
在金融和经济学中，我们经常需要考虑未来的收益流 ，也就是未来的现金流。由于货币的时间价值，我们 需要将未来的现金流折现到现在的价值。定积分可以 用来计算这种折现的值。
投资决策问题
总结词
投资决策问题涉及到如何分配有限的资源以获得最大 的回报。定积分可以用来解决这类问题。
定积分的几何意义
总结词
定积分的值等于函数图像与x轴所夹的面积。
详细描述
定积分的值可以通过几何意义来解释，即定积分的值等于函数图像与x轴所夹的 面积。这个面积可以是正的、负的或零，取决于函数图像在给定区间上的上下 位置。
定积分的性质
总结词
定积分具有线性性质、可加性、可减性和区间可加性等性质。
详细描述
体积的计算
总结词
定积分在计算三维空间中物体体积的问 题中起到关键作用，特别是对于旋转体 和薄片绕旋转轴旋转形成的体积。
VS
定积分及其应用高数(共68张PPT)
例2 计算广义积分
例1 计算广义积分
例(2)4参数计方算程以所下(表定2示积)的分函. 数(t)在 [, ]或 ([,]上 )具有连续导数,
〔2〕无界函数的广义积分
R[a,b], 且其值域 奇、偶函数在对称区间上的定积分性质
变上限的定积分函数的性质
〔1〕无穷限的广义积分
那么有 〔2〕定积分的分部积分法
0
0
1
1(xx3)dx2(x3x)dx5
0
1
2
例3 计算 si3n xsi5n xd.x 0 3
解 f(x)si3x n si5x ncoxssinx2
si3nxsi5n xdx
coxssin x2 3dx
0
0
3
2coxssinx2dx
0
coxssinx23dx
3
2 sinx2dsinx
A1 A2
A3 A4
a bf(x )d x A 1 A 2A 3 A 4
2.定积分的性质
b
b
b
性质1 a [f(x ) g (x )d ] x af(x ) d x a g (x ) dx
性质2
b
b
a kf ( x)dx ka f ( x)dx
( k 为常数)
性质3 〔区间可加性〕
b
c
b
af(x)d x af(x)d x cf(x)dx
0
这个公式就是说： 周期函数在任何长为一周期的
区间上的定积分都相等.
例1 设
f(x)52x
0x1, 求 1x2
2
0 f (x)d.x
解2
1
2
0f(x )d x 0f(x )d x 1f(x )dx
例1 计算广义积分
例(2)4参数计方算程以所下(表定2示积)的分函. 数(t)在 [, ]或 ([,]上 )具有连续导数,
〔2〕无界函数的广义积分
R[a,b], 且其值域 奇、偶函数在对称区间上的定积分性质
变上限的定积分函数的性质
〔1〕无穷限的广义积分
那么有 〔2〕定积分的分部积分法
0
0
1
1(xx3)dx2(x3x)dx5
0
1
2
例3 计算 si3n xsi5n xd.x 0 3
解 f(x)si3x n si5x ncoxssinx2
si3nxsi5n xdx
coxssin x2 3dx
0
0
3
2coxssinx2dx
0
coxssinx23dx
3
2 sinx2dsinx
A1 A2
A3 A4
a bf(x )d x A 1 A 2A 3 A 4
2.定积分的性质
b
b
b
性质1 a [f(x ) g (x )d ] x af(x ) d x a g (x ) dx
性质2
b
b
a kf ( x)dx ka f ( x)dx
( k 为常数)
性质3 〔区间可加性〕
b
c
b
af(x)d x af(x)d x cf(x)dx
0
这个公式就是说： 周期函数在任何长为一周期的
区间上的定积分都相等.
例1 设
f(x)52x
0x1, 求 1x2
2
0 f (x)d.x
解2
1
2
0f(x )d x 0f(x )d x 1f(x )dx
4.1.1《定积分的背景--面积和路程问题》课件(北师大版选修2-2)
2
所以S-s=0.3.
答案：0.3
5.变速运动的物体的速度和时间之间的函数关系式为 v(t)=t+2，估计该物体在区间［0,2］内运动的路程.若将区 间10等分，则其不足估计值为_____. 【解析】把区间［0,2］10等分，取小区间的左端点的函数值 作为小区间的平均速度，可得不足估计值为： s=(2+2.2+2.4+2.6+2.8+3.0+3.2+3.4+3.6+3.8)×0.2=5.8. 答案：5.8
估计值，分割的越细，估计值就越接近精确值.
典型例题精析
知能巩固提高
一、选择题（每题5分，共15分） 1.（2010·安庆高二检测）在“近似替代”中，函数f(x)在区
间［xi,xi+1］上的近似值等于（
）
（A）只能是区间的左端点的函数值f(xi) （B）只能是区间的右端点的函数值f(xi+1) （C）可以是区间内的任意一点的函数值f(ξ i)（ξ i∈ ［xi,xi+1］） （D）以上答案均正确 【解析】选C.以直代曲，可以把区间［xi,xi+1］上的任意一点 的函数值f(ξi)（ξi∈［xi,xi+1］）作为小矩形的高.
【解题提示】首先根据题设信息，求出过剩估计值与不足 估计值，然后确定答案. 【解析】选D.由例2的练一练1可知，其过剩估计值与不足估计 值分别为19.8g、16.2g，则估计值应在［16.2g,19.8g］之间.
二、填空题（每题5分，共10分） 4.求曲线y= 1 x2与直线x=1，x=2，y=0所围成的平面图形的面 积时，把区间5等分，其估计误差不超过_____. 【解析】分别以左、右端点的函数值为小矩形的高，得此平面 图形面积的不足估计值s和过剩估计值S如下：
所以S-s=0.3.
答案：0.3
5.变速运动的物体的速度和时间之间的函数关系式为 v(t)=t+2，估计该物体在区间［0,2］内运动的路程.若将区 间10等分，则其不足估计值为_____. 【解析】把区间［0,2］10等分，取小区间的左端点的函数值 作为小区间的平均速度，可得不足估计值为： s=(2+2.2+2.4+2.6+2.8+3.0+3.2+3.4+3.6+3.8)×0.2=5.8. 答案：5.8
估计值，分割的越细，估计值就越接近精确值.
典型例题精析
知能巩固提高
一、选择题（每题5分，共15分） 1.（2010·安庆高二检测）在“近似替代”中，函数f(x)在区
间［xi,xi+1］上的近似值等于（
）
（A）只能是区间的左端点的函数值f(xi) （B）只能是区间的右端点的函数值f(xi+1) （C）可以是区间内的任意一点的函数值f(ξ i)（ξ i∈ ［xi,xi+1］） （D）以上答案均正确 【解析】选C.以直代曲，可以把区间［xi,xi+1］上的任意一点 的函数值f(ξi)（ξi∈［xi,xi+1］）作为小矩形的高.
【解题提示】首先根据题设信息，求出过剩估计值与不足 估计值，然后确定答案. 【解析】选D.由例2的练一练1可知，其过剩估计值与不足估计 值分别为19.8g、16.2g，则估计值应在［16.2g,19.8g］之间.
二、填空题（每题5分，共10分） 4.求曲线y= 1 x2与直线x=1，x=2，y=0所围成的平面图形的面 积时，把区间5等分，其估计误差不超过_____. 【解析】分别以左、右端点的函数值为小矩形的高，得此平面 图形面积的不足估计值s和过剩估计值S如下：
大学课件 定积分概念-PPT精品文档
图 4-1 PPT课件 大学各学科
迎收藏
x
持续更新 欢 3
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
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求解曲边梯形面积的步骤：
（1）分割：将曲边梯形分割成 n 个小曲边梯形。任取分 点 a x0 x1 xn1 xn b ，把底边 [a, b] 分成 n 个 小区间
f ( x ) dx
a
b
积分下限
被 积 函 数
被 积 [a,b] 积分区间 积 分 表 变 达 量 式 大学各学科PPT课件 持续更新 欢迎收
藏 12
有了这个定义，前面两个实际问题都可用定积分表示 为： 曲边梯形面积 A a f ( x)dx 变速直线运动的路程 S T V (t )dt
23
例4
解
2 1
1 1 x 1 2 x 1 设 f ( x) ，求 1 f ( x)dx 1 x 2 x2
因为 f ( x) 在[1,2]上分段连续 1 所以 f ( x)dx = ( x 1)dx dx x x x 1 3 = 2 2 x
1 2 1 1 2
2 1 2 1 1
练习 习 题4-2 （1）-（4）
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24
二、定积分的计算
1．定积分的换元积分法
例5 计算 sin 2 xdx
1 0
解 解法一 求 sin 2 x 的原函数。 1 1 1 sin 2 xdx= sin 2 xd 2 x u 2 x sin udu = cos u C 2 2 2
迎收藏
x
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用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
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求解曲边梯形面积的步骤：
（1）分割：将曲边梯形分割成 n 个小曲边梯形。任取分 点 a x0 x1 xn1 xn b ，把底边 [a, b] 分成 n 个 小区间
f ( x ) dx
a
b
积分下限
被 积 函 数
被 积 [a,b] 积分区间 积 分 表 变 达 量 式 大学各学科PPT课件 持续更新 欢迎收
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有了这个定义，前面两个实际问题都可用定积分表示 为： 曲边梯形面积 A a f ( x)dx 变速直线运动的路程 S T V (t )dt
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例4
解
2 1
1 1 x 1 2 x 1 设 f ( x) ，求 1 f ( x)dx 1 x 2 x2
因为 f ( x) 在[1,2]上分段连续 1 所以 f ( x)dx = ( x 1)dx dx x x x 1 3 = 2 2 x
1 2 1 1 2
2 1 2 1 1
练习 习 题4-2 （1）-（4）
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二、定积分的计算
1．定积分的换元积分法
例5 计算 sin 2 xdx
1 0
解 解法一 求 sin 2 x 的原函数。 1 1 1 sin 2 xdx= sin 2 xd 2 x u 2 x sin udu = cos u C 2 2 2
《高数》定积分课件
《高数》定积分PPT课件
一场深入浅出、生动有趣的《高数》定积分知识演讲，解构常见问题，让你 真正掌握定积分的要点和方法。
定积分的概念
什么是定积分？
定积分是用来计算曲线下面的 面积或体积的方法。
定积分的意义
它可以帮助我们解决各种实际 问题，如曲线下面的面积、体 积等。
定积分的计算方法
定积分的基本计算方法包括换 元法、分部积分法、换限积分 法。
定积分的性质
基本性质
定积分满足线性性、可加性、伸缩性、位移性等基本性质。
运算法则
定积分的运算法则包括换元法、ຫໍສະໝຸດ 部积分法、换限积分法。应用领域
定积分在物理、经济、工程等领域有广泛应用。
定积分的计算
1
几何意义
定积分的计算可以用几何形象的方法
基本计算方法
2
来理解，几何意义明显。
常见的计算方法包括基本公式、分部
定积分在货币供应量计算、经 济模型构建等方面有广泛应用。
定积分的拓展
除了用于计算面积和体积外，定积分还可以用于求解各类几何和物理现象的 积分，以及概率论、统计分布、微积分方程等领域。
致谢
感谢各位聆听，希望新掌握的知识可以为您的学习和工作带来帮助。
积分法、换元法、反常积分。
3
常见例题解析
例题分析，掌握方法和技巧，熟练掌 握定积分的计算方式
定积分的应用
在几何学中的应用
在物理学中的应用
在经济学中的应用
通过定积分可以计算平面图形 的面积、曲线图形的弧长，从 而在建筑设计中得到广泛应用。
在牛顿定律、万有引力等天文、 力学问题中，定积分可以发挥 关键作用。
一场深入浅出、生动有趣的《高数》定积分知识演讲，解构常见问题，让你 真正掌握定积分的要点和方法。
定积分的概念
什么是定积分？
定积分是用来计算曲线下面的 面积或体积的方法。
定积分的意义
它可以帮助我们解决各种实际 问题，如曲线下面的面积、体 积等。
定积分的计算方法
定积分的基本计算方法包括换 元法、分部积分法、换限积分 法。
定积分的性质
基本性质
定积分满足线性性、可加性、伸缩性、位移性等基本性质。
运算法则
定积分的运算法则包括换元法、ຫໍສະໝຸດ 部积分法、换限积分法。应用领域
定积分在物理、经济、工程等领域有广泛应用。
定积分的计算
1
几何意义
定积分的计算可以用几何形象的方法
基本计算方法
2
来理解，几何意义明显。
常见的计算方法包括基本公式、分部
定积分在货币供应量计算、经 济模型构建等方面有广泛应用。
定积分的拓展
除了用于计算面积和体积外，定积分还可以用于求解各类几何和物理现象的 积分，以及概率论、统计分布、微积分方程等领域。
致谢
感谢各位聆听，希望新掌握的知识可以为您的学习和工作带来帮助。
积分法、换元法、反常积分。
3
常见例题解析
例题分析，掌握方法和技巧，熟练掌 握定积分的计算方式
定积分的应用
在几何学中的应用
在物理学中的应用
在经济学中的应用
通过定积分可以计算平面图形 的面积、曲线图形的弧长，从 而在建筑设计中得到广泛应用。
在牛顿定律、万有引力等天文、 力学问题中，定积分可以发挥 关键作用。
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/bjdxb
/ / /
?
用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 近似. 在第i 个曲边梯形上任取一点 i[xi1,xi]
作以[xi1, xi]为底 , f (i )
y
为高的小矩形, 并以此小
梯形面积近似代替相应
x i bx i
A i f(i) x i ( x i x i x i 1, i1,2,..n.),
/bjdxb
x轴 与 两 条 直 线 xa、
A?
xb所 围 成 .
oa
bx
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
解决步骤 :
1) 分割. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
a x 0 x 1 x 2 . .x .n 1 x n b
第四章 定积分
1.1定积分的背景
背景来源——面积的计算
矩形的面积定义 为两直角边长度的乘积
一般图形的面积怎么 计算？
3) 求和.
n
n
A Ai f (i)xi
i1
i1
4) 取极限. 令 ma{xxi},则曲边梯形面积 1in
n
y
A l im0i1Ai
n
limf 0i1
(i)xi
o a x1 xi1 x i bx i
我们可以用大大小小的 矩形将图形不断填充，但 闪烁部分永远不可能恰好 为矩形，这些“边角余料” 无外乎是右图所示的“典 型图形”（必要时可旋转）
“典型图形”面积的计算问题就产生了定积分
一、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积）
y
曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线
yf(x)
yf(x)(f(x)0)、