算术编码
ccdm算术编码
ccdm算术编码CCDM（Context-based Conditional Arithmetic Coding）算术编码是一种无损数据压缩算法，它通过运用上下文信息和条件概率来进行数据压缩。
本文将介绍CCDM算术编码的原理和应用。
一、原理介绍CCDM算术编码的核心思想是通过建立上下文模型，利用上下文中的历史信息来预测当前要编码的符号，并根据其条件概率进行编码。
具体步骤如下：1. 上下文建模：根据当前符号的上下文信息，建立相应的上下文模型。
上下文模型可以是一组相关的历史符号序列，也可以是一些特定的特征。
通过分析上下文信息，可以找到对当前符号进行有效预测的模型。
2. 符号预测：根据建立的上下文模型，预测当前要编码的符号。
预测可以采用各种统计方法，如马尔可夫模型、神经网络等。
预测的准确性将直接影响到编码的效果。
3. 条件概率计算：根据预测的符号，计算其条件概率。
条件概率表示在给定上下文信息下，当前符号出现的概率。
条件概率可以通过历史数据统计得到，也可以通过其他方法进行估计。
4. 累积概率分配：将条件概率进行累积，得到每个符号的累积概率分布。
累积概率分布可以用来表示每个符号编码区间的起始和终止位置。
5. 编码更新：根据累积概率分布，更新编码区间。
编码区间表示了当前符号可能出现的范围。
通过将编码区间进行逐步缩小，可以实现对符号的精确编码。
二、应用领域CCDM算术编码在数据压缩领域有广泛的应用。
由于其高效的压缩性能和适应性的特点，被广泛应用于图像、音频和视频压缩等领域。
以下是一些具体的应用案例：1. 图像压缩：CCDM算术编码可以对图像进行高效的压缩，减小图像文件的存储空间，并在传输过程中减少带宽资源的消耗。
2. 音频压缩：CCDM算术编码可以对音频信号进行高精度的压缩，实现音频文件的无损压缩和传输。
3. 视频压缩：CCDM算术编码可以对视频帧进行压缩，减小视频文件的大小，使其更易于存储和传输。
4. 数据传输：CCDM算术编码可以在数据传输过程中进行压缩，减小传输的数据量，提高传输效率。
算术编码平均码长的计算公式
算术编码平均码长的计算公式算术编码是一种无损压缩算法，通过根据输入数据的统计特性进行编码，以实现高效的数据压缩。
算术编码的平均码长可以通过使用输入数据的概率分布进行计算。
算术编码的基本概念是将输入数据映射到一个小数范围内的一个数值，这个数值可以视为输入数据的编码。
当编码完成后，输入数据可以通过解码过程进行还原。
由于算术编码会产生小数，为了方便表示，通常会将小数转换为二进制形式。
假设输入数据集合为S={s1, s2, ..., sn}，对应的概率分布为{p1, p2, ..., pn}，其中pi表示si出现的概率。
我们可以使用以下公式计算算术编码的平均码长：平均码长= Σ(pi * li)其中，li表示输入数据si的码长。
码长可以使用不同的单位进行表示，如比特、字节等。
计算平均码长需要知道每个输入数据对应的码长。
在算术编码中，通常将输入数据分成若干个区间，每个区间对应一个输入数据。
区间的长度由输入数据的概率分布决定。
对于每个输入数据si，其码长由区间的宽度决定。
最常用的方法是将区间宽度取对数后向上取整，作为输入数据si的码长。
例如，对于二进制输入数据，如果输入数据分布如下：s1出现的概率是0.4，s2出现的概率是0.3，s3出现的概率是0.2，s4出现的概率是0.1我们可以首先计算每个输入数据的区间长度。
假设整个区间的宽度是1，那么s1对应的区间宽度是0.4，s2对应的区间宽度是0.3，s3对应的区间宽度是0.2，s4对应的区间宽度是0.1接下来，我们将区间宽度取对数并向上取整，得到每个输入数据的码长。
在这个例子中，s1的码长是1，s2的码长是1，s3的码长是1，s4的码长是1最后，我们使用上述公式计算平均码长：平均码长=0.4*1+0.3*1+0.2*1+0.1*1=1这说明使用算术编码进行压缩时，每个输入数据平均需要1个比特进行表示。
需要注意的是，上述计算只是一个例子，实际中可能涉及更多输入数据和更复杂的概率分布。
算术编码
range＝high一low＝0.7一0.6＝0.1 S将区间［0，1） ［0.6，0.7） 注意：字符“”表示“分割为”字符。
1 编码过程
•
（3）对第2个字符t编码，使用的新生成范围 为［0.6，0.7)，因为t的range low＝0.70， range high＝1.00，因此下一个low，high分别 为：
1 编码过程
•
将编码后的区间范围综合如图3-9 所示：
我们用0.6753031606代表字符串“state tree”，从而达到高 效编码的目的，这就是算术编码的基本思想。
1 编码过程
• 上述算术编码区间分割过程可用图3-10 表示。
2 解码过程
• 通过编码，最后一个子区间的的下界值 0.6753031606就是字符串“state tree”的惟一 编码。然后在解码时，通过判断哪一个字符能 拥有我们已编码的消息落在的空间来找出消息 中的第一个字符。由于0.6753031606落在[0.6， 0.7]之问，因此马上就可解得第1个符号是S。
•
按对‘state stree”’的算术编码过程为： （1）初始化时，被分割的范围 range＝high －low＝[0，1) ＝ 1 － 0 ＝ 1，下一个范围 的低、高端分别由下式计算： low＝low＋range×range low high＝low＋range×range high 其中等号右边的low为上一个被编码字符的 范围低值；range low和range high分别为本次 被编符号已给定出现的概率范围的low和high。
算术编码
• 用算术编码方法是将被编码的一个消息或一个 符号串（序列）表示成0和1之间的一个间隔， 即对一串符号直接编码成[0，1)区间上的一个 浮点小数，在传输任何符号串（消息）之前， 设符号串的完整范围为[0，1)。当一个符号被 处理时，这一范围就依据分配给这一符号的那 一范围变窄，间隔变小，当符号串序列越长， 则编码表示它的间隔越小，同时表示这一间隔 所需的位数就越多，直到完成对所有符号串的 编码。算术编码的过程，实际上就是依据信息 源符号串的发生概率对码区间分割的过程。
算术编码的特点
算术编码的特点
算术编码是一种可以在信息编码中使用的编码方法，它将数字信息编码为树状结构，以提高搜索速度和准确率。
（1）算术编码有利于信息索引，可使搜索更快速更准确；
（2）算术编码比较稳定，一般在某一时间段内不会有太大变化；
（3）算术编码不占用太多存储空间，且可在有限的空间内存储较多信息；
（4）算术编码可以针对不同的信息类型采用不同的编码标准；
（5）算术编码的编码过程准确可靠，且可用新的编码标准替代旧的编码标准；
（6）算术编码具有良好的定位能力，且可用于大规模的信息搜索。
算术编码是信息处理技术的重要组成部分，它不仅可以提高搜索效率，还可以存储较多信息，这样就有利于提高数据处理效率；此外，算术编码还可以提供良好的定位能力，可用于大规模的信息搜索，从而更好地满足实际应用的要求。
算数编码的原理
算数编码的原理
算术编码是一种无损数据压缩算法，它通过将整个数据序列映射到一个连续的数值区间来实现压缩。
算术编码的原理可以概括为以下几个步骤：
确定符号集：确定待编码的符号集，这可以是字符、像素值或其他离散符号的集合。
计算符号概率：对于每个符号，计算其在待编码数据中出现的概率。
通常使用统计方法或概率模型进行估计。
构建累积概率表：根据符号概率计算符号的累积概率。
累积概率表示为每个符号之前的概率总和。
映射到区间：将待编码数据序列中的每个符号映射到一个区间，该区间是 [0, 1) 上的一个子区间。
初始区间为整个区间 [0, 1)。
缩小区间：根据每个符号的累积概率表和当前区间，将当前区间缩小为表示下一个符号的子区间。
缩小区间的过程可以通过二分搜索或线性插值来实现。
重复步骤 5：对于待编码数据序列中的每个符号，重复步骤 5，不断缩小当前区间。
输出编码结果：最终，将最后一个符号所对应的子区间输出为编码结果。
这个子区间可以用一个二进制码或其他形式的码字来表示。
解码过程与编码过程相反，它将编码结果映射回原始数据序列。
解码过程需要使用与编码过程相同的符号概率和累积概率表。
算术编码的优势在于它可以实现较高的压缩比，因为它能够有效地利用符号的概率信息。
然而，算术编码的实现相对复杂，需要对概率进行准确的估计，并且在解码过程中需要高精度的计算。
算术编码
二、算术编码的编码过程:
1、从信源符号全序列出发，将各信源序列依累 积概率分布函数的大小映射到［０,１］区间,将 ［０,１］区间分成许多互不重叠的小区间。
2、此时每个符号序列均有一个小区间与之对 应，因而可在小区间内取点来代表该符号序列。
二、算术编码的编码过程:
1、累积分布函数递推公式与信源符号序列所对应的区间宽 度的递推公式的求得：
② 将F(S)的十进制小数形式换算成二进制小数C，取小数点 后 L 位，就可以得到序列的码字。
注：如果第L+1有尾数，就进位。
三、算术编码的特点
① 因为C≥F(S)
2L
由码字长度的计算公式可知，p(a)≥ 。 令S+1为按顺序正好在S后面的一个序列，则：
2 F(S 1) F(S) p(a) F(S) L C
① 累积分布函数的定义
设信源符号集A={a1 ,a2 ,,aq
P(ai ), P(ai ) 0(i 1,2,,q)
k 1
F(ak ) P(ai ) i 1
},其相应的概率分布为 ,累积分布函数：
a(i ,ak A )
② 以二元无记忆信源为例，将结果推广到一般情况。
无失真信源编码-------
算术编码
参考资料：《信息论与编码》傅祖芸 《信息论与编码》曹雪虹
一、算术编码简介
1、非分组码，它是从全序列出发，考虑符号之间的 依赖关系。
2、经香农-费诺-埃利斯编码推广而来的，直接对信 源符号序列进行编码输出。
3、即时码，信源符号序列对应的累积概率区间是不 重叠的。肯定也可以唯一译码。
如下图所示其累积分布函数F(S ) 的对应区间及一般多元
序列的累积函数的推导公式的得出：
算数编码介绍
算术编码，是图像压缩的主要算法之一。
是一种无损数据压缩方法，也是一种熵编码的方法。
和其它熵编码方法不同的地方在于，其他的熵编码方法通常是把输入的消息分割为符号，然后对每个符号进行编码，而算术编码是直接把整个输入的消息编码为一个数，一个满足(0.0 ≤ n < 1.0)的小数n。
二、算数编码历史早在1948年，香农就提出将信源符号依其出现的概率降序排序，用符号序列累计概率的二进值作为对芯源的编码，并从理论上论证了它的优越性。
1960年， Peter Elias发现无需排序，只要编、解码端使用相同的符号顺序即可，提出了算术编码的概念。
Elias没有公布他的发现，因为他知道算术编码在数学上虽然成立，但不可能在实际中实现。
1976年，R. Pasco和J. Rissanen分别用定长的寄存器实现了有限精度的算术编码。
1979年Rissanen和G. G. Langdon 一起将算术编码系统化，并于1981年实现了二进制编码。
1987年Witten等人发表了一个实用的算术编码程序，即CACM87（后用于ITU-T的H.263视频压缩标准）。
同期，IBM公司发表了著名的Q-编码器（后用于JPEG和JBIG图像压缩标准）。
从此，算术编码迅速得到了广泛的注意。
算术编码的基本原理是将编码的消息表示成实数0和1之间的一个间隔（Interval），消息越长，编码表示它的间隔就越小，表示这一间隔所需的二进制位就越多。
算术编码用到两个基本的参数：符号的概率和它的编码间隔。
信源符号的概率决定压缩编码的效率，也决定编码过程中信源符号的间隔，而这些间隔包含在0到1之间。
编码过程中的间隔决定了符号压缩后的输出。
给定事件序列的算术编码步骤如下：（1）编码器在开始时将“当前间隔” [ L， H) 设置为[0，1)。
（2）对每一事件，编码器按步骤（a）和（b）进行处理（a）编码器将“当前间隔”分为子间隔，每一个事件一个。
（b）一个子间隔的大小与下一个将出现的事件的概率成比例，编码器选择子间隔对应于下一个确切发生的事件相对应，并使它成为新的“当前间隔”。
python算术编码
python算术编码算术编码是一种常用的数据压缩算法，其主要原理是将数据转化为一个数值范围内的小数，然后将其储存下来。
在数据解压时，根据压缩时使用的转化方法，就能将原始数据准确地还原出来。
算术编码在实际应用中已经被广泛地运用在文件压缩、图像压缩和语音压缩等方面。
本文将从算术编码的原理、实现方式以及应用场景三个层面进行详细介绍。
一、算术编码的原理算术编码的原理是将一个字符串转化为一个小数，该小数对应的是一个数值范围内的一段连续区间。
这个小数的值越接近1，表示原始字符串中的内容就越靠近该区间的顶端，而值越接近0，表示原始字符串的内容越靠近该区间的底端。
在解码时，将该小数从第一位开始与不同的区间进行匹配，就能够还原出原始的字符串。
二、算术编码的实现方式算术编码是一种非常灵活的编码方式，因此在实现方式上也存在多种不同的方法。
其中一种常见的实现方法是基于概率模型的顺序算术编码。
它的具体流程如下：1. 对于每一个字符，统计其在原始字符串中出现的概率。
2. 将每一个字符的概率映射到数值范围内的一个小数区间。
3. 依次将每个字符的小数区间叠加起来，形成一个新的数值范围。
4. 当一个字符对应的小数区间完全包含在新的数值范围内时，就将新的数值范围作为编码结果储存。
5. 重复步骤4，直到所有字符都被编码。
6. 解码时，根据编码结果以及字符串中每个字符对应的概率，重新定位原始字符串中的每个字符。
三、算术编码的应用场景算术编码在实际的应用场景中已经被广泛地使用，其主要优点是可以实现更高的压缩比，以及更加精确的拟合，从而能够表现出更好的压缩效果。
在文件压缩方面，算术编码可以实现更好的压缩效果，并且不需要占用太多的存储空间。
在图像压缩方面，算术编码能够准确地描述图像的数据内容，从而实现更好的压缩效果。
在语音压缩方面，算术编码的灵活性和高效性使其成为了一种不可替代的压缩方式。
总之，算术编码作为一种常用的数据压缩算法，其原理清晰、实现方式多样，并且拥有广泛的应用场景。
算术编码的原理
算术编码的原理算术编码是一种数据压缩算法，它可以将一个长字符串压缩成一个更短的数值。
它与其他数据压缩算法不同，它不是将整个字符串划分成固定长度的块，而是将每个字符映射为一个数字，再将这些数字压缩成一个数值。
算术编码的原理可以简单地概括为以下几点：1. 确定字符集在压缩之前，必须先确定字符集。
字符集包括所有可能出现的字符。
例如，在英语中，字符集包括所有字母、数字以及其他符号。
2. 计算每个字符的概率通过预处理或对大量数据的统计，可以计算每个字符在字符串中出现的概率。
3. 对每个字符进行编码编码的过程是将每个字符映射为一个数字。
这个数字必须能唯一地表示每个字符，并且尽可能不会出现冲突。
编码的方式可以根据具体情况进行选择，例如 ASCII 码就是一种常见的字符编码方式。
4. 计算每个字符的编码区间每个字符根据其在字符串中出现的概率，可以确定一个编码区间。
例如，一个字符在字符串中出现的概率为 0.25，则其编码区间为 0-0.25。
5. 压缩数据将每个字符的编码区间连续地组成一个区间，最终压缩成一个数值。
如果字符集很大，压缩后得到的数值可能非常大，因此需要使用高精度运算来处理。
6. 解压数据解压数据的过程就是将压缩后的数值还原为原始字符串的过程。
解压的过程需要根据先前编码的字符集和编码区间进行计算，从而还原字符串。
总之，算术编码的原理可以简单概括为确定字符集、计算每个字符的概率、为每个字符编码、计算每个字符的编码区间、压缩数据和解压数据。
虽然算术编码的实现比较复杂，但它可以很好地压缩数据，并且是一种通用的数据压缩算法。
算术编码原理
算术编码原理算术编码是一种将字符序列压缩成一个浮点数的方法，它的压缩效率比传统的哈夫曼编码更高，因为它可以使用原本不是整数的浮点数表示更多的信息。
本文将介绍算术编码的原理，分为以下几个部分：一、概念解释1.1 算术编码的基本概念算术编码是在一个有限长度的区间内对字符序列进行编码的方式，其中每个字符对应的编码值是一个实数。
编码值在编码区间内是唯一的，且编码值可以通过解码得到压缩前的字符序列。
1.2 字符频率在进行算术编码时，需要知道每个字符在字符序列中出现的频率，频率可以是小数或整数，且每个字符的频率之和必须为1。
二、算法过程2.1 编码过程算术编码主要分为以下几个步骤：（1）定义初始编码区间根据字符频率，可以计算出每个字符的编码区间，例如字符A的编码区间是[0,0.3)，字符B的编码区间是[0.3,0.5)，字符C的编码区间是[0.5,0.6)，字符D的编码区间是[0.6,1]。
（2）收缩编码区间根据每个字符的频率，计算每次的编码区间长度。
例如，如果字符序列是ABCD，且字符频率分别为0.3、0.2、0.1和0.4，那么初始编码区间的长度为1，第一次收缩后，区间缩小到0.3，表示字符A出现的概率为0.3。
第二次收缩后，区间缩小到0.06，表示字符AB出现的概率为0.06。
一直推进到最后，得到压缩后的编码值。
2.2 解码过程解码过程需要使用压缩后的编码值和字符频率进行计算。
例如，解码一个值为0.2的字符时，需要找到0.2所在的字符区间，然后计算该区间对应的字符。
三、算法特点3.1 压缩率高由于算术编码可以对每个字符对应的区间进行无限分割，因此可以表示更多的信息。
相比于传统的哈夫曼编码，算术编码可以达到更高的压缩率。
3.2 复杂度高虽然算术编码的压缩效果好，但是编码和解码的计算复杂度非常高，因此需要配合分治法、搜索算法等其它算法来减少计算量。
3.3 广泛应用算术编码在数据压缩、无损图像压缩、音频压缩、视频压缩等多个领域都有广泛应用。
算术编码
为[0.0624,0.0688)
输入第五个符号a4后,对序列a1a2a3a3 a4进行编码,编码区
间为[0.06752,0.0688)
在区间[0.06752,0.0688)内的任何数字都可以表示消息
a1a2a3a3a4,例0.06752
7
无失真编码
算术编码—编码过程
步骤 1 2 3 4 5 6 输入 a1 a2 a3 a3 a4 编码间隔 [0,0.2) [0.04,0.08) [0.056,0.072) [0.0624,0.0688) [0.06752,0.0688)
输入第二个符号a2后，编码区间由[0,0.2)变为[0.04,0.08)，当前区间 长度length=0.08-0.04=0.04
6
无失真编码
算术编码—编码过程
输入第三个符号a3后，对序列a1a2 a3进行编码,编码区间
为[0.056,0.072)
输入第四个符号a3后,对序列a1a2a3a3进行编码,编码区间
4
无失真编码
5
无失真编码
算术编码—编码过程
根据每个符号出现的概率将半开区间[0,1)分成四个区域
[0,0.2) [0.2,0.4) [0.4,0.8) [0.8,1)
对输入的第一个符号a1编码
symbol_high(a1)=0.2
symbol_low(a1)=0
high=0+1.0×0.2=0.2
无失真编码
算术编码
算术编码并不是将单个信源符号映射成一个码字，
而是把整个信源表示为实数线上0到1之间的一个 区间,其长度等于该序列的概率。 制作为实际的编码输出
在该区间内选择一个代表性的小数，转换为二进 消息序列中的每个元素都要用来压缩这个区间 消息序列中元素越多，所得到的区间就越小，当
第四章：算术编码
FX i
i PX k
k 1
i P
k 1
ai
产生标识
❖ 将[0, 1)分为m个区间：
FX i 1, FX i,i 1..m, FX 0 0
定义一一映射：
ak [FX(k-1), FX(k)], k = 1..m, FX(0) = 0
[FX(k-1), FX(k)]区间内的任何数字表示 ak
l
x
log
1 P(x)
1
注意：P(x)为最后区间的宽度，也是该符号串的概率
符合概率匹配原则：出现概率较大的符号取较短的码字，而对出 现概率较小的符号取较长的码字
➢ Initialize l(0) = 0, u(0) = 1.
1. Compute t*=(tag-l(k-1))/(u(k-1)-l(k-1)).
2. Find the xk: FX(xk-1) t* FX(xk). 3. Update u(k), l(k) 4. If done--exit, otherwise goto 1.
1321
算术编码的唯一性和效率
上述产生的标识可以唯一表示一个序列，这意味着该标识 的二进制表示为序列的唯一二进制编码
但二进制表示的精度可以是无限长：保证唯一性但不够有 效
为了保证有效性，可以截断二进制表示，但如何保证唯一 性？
答案：为了保证唯一性和有效性，需取小数点后l位数字 作为信源序列的码字，其中
31
FX
(2)
FX
(3)
FX
(2)FX
(1)
l(2) l(1) u(1) l(1) FX (1)
u(3)
F (3) X
322
,
l ( 3)
算术编码
算术编码原理在给定符号集和符号概率的情况下，算术编码可以给出接近最优的编码结果。
使用算术编码的压缩算法通常先要对输入符号的概率进行估计，然后再编码。
这个估计越准，编码结果就越接近最优的结果。
例: 对一个简单的信号源进行观察，得到的统计模型如下：▪60% 的机会出现符号中性▪20% 的机会出现符号阳性▪10% 的机会出现符号阴性▪10% 的机会出现符号数据结束符. (出现这个符号的意思是该信号源'内部中止'，在进行数据压缩时这样的情况是很常见的。
当第一次也是唯一的一次看到这个符号时，解码器就知道整个信号流都被解码完成了。
)算术编码可以处理的例子不止是这种只有四种符号的情况，更复杂的情况也可以处理，包括高阶的情况。
所谓高阶的情况是指当前符号出现的概率受之前出现符号的影响，这时候之前出现的符号，也被称为上下文。
比如在英文文档编码的时候，例如，在字母Q或者q出现之后，字母u出现的概率就大大提高了。
这种模型还可以进行自适应的变化，即在某种上下文下出现的概率分布的估计随着每次这种上下文出现时的符号而自适应更新，从而更加符合实际的概率分布。
不管编码器使用怎样的模型，解码器也必须使用同样的模型。
一个简单的例子以下用一个符号串行怎样被编码来作一个例子：假如有一个以A、B、C三个出现机会均等的符号组成的串行。
若以简单的分组编码会十分浪费地用2 bits来表示一个符号：其中一个符号是可以不用传的(下面可以见到符号B正是如此)。
为此，这个串行可以三进制的0和2之间的有理数表示，而且每位数表示一个符号。
例如，―ABBCAB‖ 这个串行可以变成0.011201(base3)(即0为A, 1为B, 2为C)。
用一个定点二进制数字去对这个数编码使之在恢复符号表示时有足够的精度，譬如0.001011001(base2) –只用了9个bit，比起简单的分组编码少(1 –9/12)x100% = 25%。
这对于长串行是可行的因为有高效的、适当的算法去精确地转换任意进制的数字。
python算术编码
python算术编码## 简介这篇原创文档将会介绍算术编码的基本原理和实现。
算术编码是一种无损数据压缩算法，在信息论领域得到广泛应用。
通过使用算术编码，可以将数据压缩成更短的编码序列，从而减少存储空间的需求。
## 基本原理算术编码的基本原理是将输入序列映射到一个实数区间中，并将该区间的特定部分表示为输出序列。
其实质是将较常见的序列映射为较短的编码，而较不常见的序列映射为较长的编码。
通过这种方式，可以实现数据的高度压缩。
具体而言，算术编码的过程如下：1. 将输入序列划分为不同的符号，并为每个符号分配一个概率。
2. 计算每个符号出现的概率区间（其实也可以是累积概率）。
3. 将整个区间根据各个符号的概率进行划分，并将输入序列映射到对应的子区间中。
4. 重复步骤3，直到得到一个唯一的编码序列。
## 实现步骤下面将介绍算术编码的实现步骤。
1. 初始化区间：将整个区间初始设置为[0, 1)。
2. 计算符号概率区间：针对每个输入符号，根据其出现的概率计算对应的区间。
可以通过累积概率或离散概率来计算。
3. 映射到区间：根据符号概率区间，将输入序列映射到对应的子区间中。
例如，如果输入序列为"ABBC"，对应的符号概率区间为[0.2, 0.4)，则将当前区间更新为子区间[0.2, 0.3)。
4. 缩小区间：重复步骤3，不断缩小区间，直到得到一个唯一的编码序列。
5. 输出编码序列：将最终的区间映射到一个编码序列中，并输出。
## 优缺点算术编码的优点在于其高度压缩的能力，能够将数据压缩到接近信息熵的程度。
另外，算术编码对于任意概率分布的符号集都能进行有效的编码。
然而，算术编码也存在一定的缺点。
首先，算术编码的实现相对复杂，需要进行精确的浮点数计算。
其次，算术编码对输入数据的顺序敏感，即输入序列的顺序不同，得到的编码序列也会不同。
## 总结算术编码是一种强大的数据压缩算法，其利用符号出现的概率将输入序列映射到一个实数区间中，并通过缩小区间来得到一个唯一的编码序列。
算术编码的压缩率
算术编码的压缩率
算术编码是一种通过将整个数据序列映射到一个浮点数区间来进行压缩的方法。
其基本原理是根据数据序列的频率分布来调整区间范围。
频率较高的数据能够被编码为较短的二进制位数，而频率较低的数据则需要较长的二进制位数。
算术编码的压缩率理论上可以达到数据的熵值，从而获得理论上的最高压缩率。
然而，在实际应用中，由于编码和解码过程需要使用无限小数，因此通常采用近似的方法来计算压缩率。
一般来说，算术编码的压缩率取决于数据序列的频率分布。
如果数据序列中不同符号的频率差异很大，那么压缩率就较高；反之，如果频率差异较小，压缩率就较低。
此外，算术编码通常需要与可变长度编码结合使用，以便更好地利用有限的符号集表示更长的数据序列。
因此，可变长度编码的长度映射也会影响压缩率。
总之，算术编码的压缩率取决于数据序列的频率分布和长度映射方式。
在实际应用中，需要根据具体的数据和要求来评估压缩率的大小。
python算术编码
python算术编码算术编码是一种常用的无损压缩算法，可以对数据进行高效的编码和解码，以达到数据压缩的目的。
本文将介绍算术编码的原理和实现，以及其在实际应用中的一些注意事项。
1. 算术编码原理算术编码将数据编码为一个区间，该区间表示数据的概率分布。
编码过程中，每个符号根据其出现的概率被分配一个子区间。
编码最后输出的是包含所有符号的区间的编码值。
解码过程则是根据编码值将其映射回原始数据。
2. 算术编码步骤算术编码主要包含以下几个步骤：- 确定每个符号的概率分布。
- 计算每个符号所对应的区间。
- 编码：根据符号和区间，将数据编码为一个编码值。
- 解码：根据编码值和符号的概率分布，将编码值解码为原始数据。
3. 算术编码的实现算术编码的实现需要对概率进行建模，并进行区间的计算。
下面是一个简单的算术编码的实现示例：```pythondef arithmetic_encode(data, symbol_list, probability_list):low = 0high = 1result = 0for symbol in data:symbol_index = symbol_list.index(symbol)symbol_low = low + (high - low) *sum(probability_list[:symbol_index])symbol_high = low + (high - low) *sum(probability_list[:symbol_index + 1])low = symbol_lowhigh = symbol_highresult = (low + high) / 2return resultdef arithmetic_decode(encoded_data, symbol_list, probability_list, length):low = 0high = 1result = []for _ in range(length):for i in range(len(symbol_list)):symbol_low = low + (high - low) * sum(probability_list[:i]) symbol_high = low + (high - low) * sum(probability_list[:i + 1])if symbol_low <= encoded_data < symbol_high:result.append(symbol_list[i])low = symbol_lowhigh = symbol_highbreakreturn result```以上代码中，`arithmetic_encode`函数用于将数据编码为编码值，`arithmetic_decode`函数用于将编码值解码为原始数据。
算术编码
算术编码与译码原理：1、编码过程算术编码方法是将被编码的一则消息或符号串（序列）表示成0和1之间的一个间隔（Interval），即对一串符号直接编码成[0,1]区间上的一个浮点小数。
符号序列越长，编码表示它的间隔越小，表示这一间隔所需的位数就越多。
信源中的符号序列仍然要根据某种模式生成概率的大小来减少间隔。
可能出现的符号概率要比不太可能出现的符号减少范围小，因此，只正加较少的比特位。
在传输任何符号串之前，0符号串的完整范围设为[0,1]。
当一个符号被处理时，这一范围就依据分配给这一符号的那一范围变窄。
算术编码的过程，实际上就是依据信源符号的发生概率对码区间分割的过程。
举例说明如下：假设一则消息“static_tree”具有如下的概率分布：字符概率--------------------------------------------------------------- ＿（space） 0.1a 0.1e 0.3r 0.1s 0.1t 0.3下面用算术编码方法给该消息编码。
一旦字符的概率已知，就沿着“概率线”为每一个单独的符号设定一个范围，哪一个被设定到哪一段范围并不重要，只要编码和解码都以同样方式进行就可以，这里所用的6个字符被分配的范围（range）如下：字符概率范围＿(space) 0.1 0≤r<0.1a 0.1 0.1≤r<0.2e 0.3 0.2≤r<0.5r 0.1 0.5≤r<0.6s 0.1 0.6≤r<0.7t 0.3 0.7≤r<1.0---------------------------------------------------------------- 对“state_tree”的算术编码过程为：（1）初始化时，被分割的范围range=high-low=[0,1）,下一个范围的低、高端分别由下式计算：Low=low+range×range lowHigh=low+range×range high其中等号右边的low为上一个被编码字符的范围低；range low和range high 分别为被编码符号已给定的字符出现概率范围的low和high。
算术编码的基本原理
算术编码的基本原理算术编码是一种数据压缩和信息理论技术，用于将一个消息序列转换为一个紧凑的二进制编码。
它广泛应用于无损压缩算法中。
算术编码的基本原理是将每个符号映射到一个小数区间，然后根据这些区间的重叠来表示整个消息序列。
这个区间由两个数字表示，称为低值和高值。
初始时，低值为0，高值为1。
然后，将消息中的第一个符号映射到一个子区间，该子区间与原始区间重叠。
这样的重叠会产生精度损失，因此需要反复迭代此过程以提高编码效率。
算术编码的具体步骤如下：1. 确定符号集合：需要将消息编码为一系列符号。
符号可以是单个字符，也可以是由多个字符组成的字符串。
符号集合需要包括所有可能出现的符号。
2. 确定符号频率：对于每个符号，需要确定其在消息中出现的频率。
频率可以通过统计消息序列中每个符号的出现次数来获得。
3. 计算累积概率：对于每个符号，计算其累积概率。
累积概率是指该符号及其之前的所有符号出现的概率之和。
4. 划定区间：对于每个符号，根据其累积概率将区间划分为子区间。
每个符号对应的子区间的长度与其概率成比例。
5. 重新调整区间：由于划定的子区间与原始区间可能有重叠，需要对区间进行调整。
一种常见的方法是将区间乘以概率，使其适应于新的子区间。
6. 缩小区间：对于每个新的符号，重复以上过程，缩小当前区间范围。
7. 输出编码：对于最后一个符号，输出编码位于区间内的任意一点，这个点表示整个消息序列的二进制编码。
算术编码是一种非常灵活的压缩技术，因为它可以根据不同的符号频率分配不同长度的编码。
频率越高的符号将被分配较短的编码，从而实现更高的压缩率。
然而，算术编码也存在一些限制，比如需要大量的计算和存储资源，并且在传输过程中对于传输错误非常敏感。
尽管如此，算术编码在很多应用中得到了广泛的应用，比如无损图像和音频压缩中的JPEG和MP3算法。
它可以实现更高的压缩率，同时保持数据的完整性，是一种理论上更为高效的数据压缩方法。
算术编码平均码长的计算公式
算术编码平均码长的计算公式算术编码是一种无损压缩算法，可以将一串符号序列编码成一个单独的数值。
平均码长是衡量一个编码算法效率的重要指标之一，可以通过计算编码所需的比特数来评估。
算术编码的平均码长计算公式如下：L_avg = Σ (P(i) * L(i))其中，L_avg 表示平均码长，P(i) 表示第 i 个符号的概率（也称为频率），L(i) 表示该符号的码长。
为了更好地理解和计算平均码长，我们可以用一个例子来说明。
假设有一个文本序列，其中包含三个符号A、B和C，分别对应的频率为P(A)=0.4、P(B)=0.3、P(C)=0.3、我们已经通过算术编码对该序列进行了压缩，并得到了相应的码字长度L(A)=2、L(B)=3、L(C)=3、现在我们可以使用上述公式计算平均码长。
L_avg = P(A) * L(A) + P(B) * L(B) + P(C) * L(C)=0.4*2+0.3*3+0.3*3=0.8+0.9+0.9=2.6因此，该算术编码方法的平均码长为2.6比特。
需要注意的是，计算平均码长时，概率P(i)必须满足以下两个条件：1.所有符号的概率之和必须等于1，即ΣP(i)=12.每个符号的概率必须是非负数，即P(i)≥0。
如果以上条件不满足，将无法准确计算平均码长。
算术编码通过使用较短的码字来表示高频率的符号，以及使用较长的码字来表示低频率的符号，从而实现高效的压缩。
平均码长越小，表示编码效率越高，压缩效果越好。
需要注意的是，算术编码的实现较为复杂，涉及到浮点数计算和累积操作。
因此，在实际应用中，通常会使用近似的方法来估算平均码长。
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实现
如果考虑正规化操作，那么算术编码的编码过程 可以粗略地概括为：
1、初始化编码参数 2、对每一个符号进行如下操作 （1）计算当前区间；
（2）更新区间；
3、编码结束。 解码过程与之对应，只是解码的时候不存在额外考 虑解码怎么结束的问题。
分析
编码正确性的判定： 1、是否能无损还原信源； 2、压缩比是否不小于信源的熵。 实现过程中遇到的几个问题：
（1）计算当前区间大小：
range = high - low
（2）计算新的子区间：
high = low + range ? cumFreq( x 1) low = low + range cumFreq( x)
（3）输出编码结果。
解码
算术编码进行解码时仅输入一个小数。解 码前首先需要对初始区间[0,1)，按照初始时的 符号概率进行划分；观察输入的小数位于哪个 子区间，输出对应符号， 选择对应的子区间； 然后继续对选择的子区间进行划分，重复这个 过程，直到所有符号都解码完毕。整个解码过 程相当于编码过程的逆运算。
• 更新符号概率，继续划分区间、选择子区间，直到 最后输入符号B编码完毕； • 最终得到的子区间是[0.6390,0.6501)，从中选择任意 一个小数，如0.6400，作为编码结果。
编码过程
已知编码符号序列及其各符号概率，输入符号序 列（它是编码符号序列的一个子集）和初始区间[low, high) = [0,1)。
解码过程
需要说明的是，计算机是根据输入的数值、 当前区间的下限和累计频率之和，计算出一个 估计出来的累计概率从而确定当前解码符号的。 累计概率通过下面的公式计算：
range = high - low (value - low) total estFreq = range
改进
前面讲的是最基本的算术编码，通过它只 是让大家明白算术编码的基本思想。实际上， 前面描述的编解码过程，在计算机上是很难实 现的。因为区间可以无限制地划分下去，而且 总能找到落在这一区间的一个小数，但是计算 机做不到；所以在实现的时候，需要做一些改 进，使得它可以在计算机上实现。
low : 10101101 high : 11001011 low : 01011010 high : 10010111
正规化举例
区间的上下限除了会出现上面两种情况外，还会 出现其他情况，如果区间上下限的最高位不同，而次 高位只相差1。极端情况如下所示：
low : 00000001 high : 11111111
正规化举例
因此可以将最高位移出区间并输出。可以通过 将区间的下限左移1位，将区间的上限左移1位并加1 实现。这样在输出一个二进制位的同时，对区间进 行了扩展，具体操作过程如下所示：
low : 00101101 high : 01001011 low : 01011010 high : 10010111
编码举例
假设编码符号由A、B、C 三种符号组成， 输入符号是“BCCB”，编码过程如下。
编码举例
• 首先，初始区间是[0,1)；
• ABC三个符号的初始概率都是1/3，按照这个概率将 当前区间[0,1)划分为三个子区间；
• 第一个输入的符号是 B，所以选择与 B 对应的子区 间[0.3333,0.6667)，并且作为编码C时的当前区间；
编码
• 算术编码将整个要编码的数据映射到一个位于 区间[0,1)中的一个小数。 • 算术编码在编码时，从初始区间[0,1)开始；按 照编码符号的概率将当前区间划分成多个子区 间；根据当前输入符号选择对应的子区间，并 将该子区间作为下次编码的当前区间；重复这 一过程，直到所有符号都编码完毕，最后从最 终的子区间中选择任意小数作为编码结果。
此时区间范围只有1，已经不能再进行编码。因此 为了避免这种情况的出现，当区间上下限的最高位不 同时，还需要检查它们的次高位。
正规化举例
如果上限的次高位为0而下限的次高位为1，那么 需要暂时忽略次高位，同时对区间进行一次扩展（采 用与请两种情况相同的扩展方法）；另外，这个次高 位只是暂时被忽略，而不是被抛弃，因此需要记录一 下忽略了一个次高位。对应的操作如下所示： 情况3：
如果是情况 3 ，仍然无法确定次高位的趋向，继 续忽略次高位，并扩展区间。
正规化
如果把整个区间分为四段，那么上面三种情况 对应的区间位置如下图所示：
正规化
除了上面三种情况，编码过程中区间的变化还有 另外三种情况：
正规化
只是这三种情况不进行正规化操作，仍然 可以继续编码；因此对于这三种情况，可以直 接从当前区间开始，进入下一轮编码。 另外，由于在编码阶段进行了正规化操作， 解码的时候同样需要正规化操作，而且要与编 码的时候的操作相一致。
正规化举例
因为实现算法的时候用的是二进制整数，所以下 面也以二进制整数为例进行说明。编码过程中区间变 化的可能情况： 情况1:
low : 00101101 high : 01001011
情况2:
low : 10101101 high : 11001011
在这两种情况中，区间上下限的最高位都是相同 的。在划分区间的时候，当区间上下限的最高位相同 时，在后续的计算中最高位将不会再发生变化。
仍以前面的例子为例，使用区间[3333,6667) 表示区间[0.3333,0.6667)，输出6400表示0.6400。 整数运算的区间变化如下：
整数运算举例
解码的时候也进行整数运算。解码过程 如下表所示：
正规化
上面的整数运算实际上也是无法实现的。由 前面整数运算编码区间的变化可以看出，随着编 码的进行区间范围会越来越小，最后区间范围会 趋向于 0；如果输入符号序列很长，那么区间范 围为 0 时就无法继续编码。因此需要使用正规化 操作来解决这一问题。 正规化就是当区间上下限满足一定条件时， 将一定位数从区间中移出，同时对区间进行放大。 其作用是在有限区间上模拟无限运算。
算术编码
提纲
• • • • • • 背景 编码 解码 改进 实现 分析
背景
早在1948年香农提出信息论的时候，就提 出了算术编码的思想。但是经过多年研究，许 多学者认为算术编码是无法实现的，因为算术 编码要求进行无限精度的实数运算，而计算机 只能进行有限精度的运算。随着研究的深入， 终于在1987年Ian H. Witten、Radford M. Neal 和John G. Cleary发表了一篇论文，提出了一种 基于二进制整数运算的算术编码实现算法。
解码举例
• 在上面的例子中，编码得到的小数是0.6400，因此 解码输入的小数就是0.6400。
• 首先，初始区间是[0,1)；
• 初始符号概率都是1/3，按照这个概率划分区间；
• 小数0.6400位于区间[0.3333,0.6667)，与之对应的符 号是B，即第一个解码符号，选择[0.3333,0.6667) 作 为下一次解码的当前区间； • 更新符号概率，划分区间、选择子区间，直至最后 一个符号 B 解码出来。
1、计算区间时，区间上限减1的原因。
2、更新区间时，区间上下限高位相同时，移位操作 略有不同的原因。 3、涉及到的数据定义为无符号类型的必要性。
分析
4、次高位是如何被忽略的。 5、怎样从最后的编码区间中取出任意一个数作为编 码结果。
谢谢！
low : 01011010 high : 10010111
low : 00110100 high : 10101111
neglectedSecondHigh++
正规化
此外，如果当前有未输出的次高位，又遇到了上 述三种情况，那么需要区别对待。 如果是情况 1 ，那么可以确定被忽略的次高位趋 向0，此时可以输出0，并按忽略次数 n输出 n个1，然 后扩展区间。 如果是情况 2 ，可以确定被忽略的次高位趋向 1 此时可以输出 1，并按忽略次数输出 n个0，然后扩展 区间。
整数运算
在前面描述的编解码过程中，区间的上下 限都是小于1的小数。如果省略0和小数点，仅 使用小数的尾数表示小数，那么实际上原来的 区间上下限就变成了一个无限大的整数。更进 一步地，如果仅使用无限整数的部分高位表示 这个无限整数，并在用这些进行整数运算，那 么就可以用整数来模拟原来的实数运算。
整数运算举例