角(第2课时)

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二年级数学上册3角的初步认识第2课时直角锐角和钝角的初步认识教学设计新人教版

第三单元角的初步认识第2课时直角、锐角和钝角的初步认识教学目标：1．结合生活情境和操作活动，初步认识直角，会用三角尺判断直角判断直角、锐角、钝角和画直角。

2．探索用一副三角尺拼出不同的钝角，知道用直角和锐角拼出的一定是钝角。

3．使学生经历观察、操作、分类和比较等数学活动，培养学生初步的观察能力、实践能力和抽象能力，增强学生用数学思想认识事物的意识。

4．通过观察比较、动手操作等活动，培养学生的观察能力、初步的动手操作能力及合作意识。

5．在丰富多彩的活动中，获得积极的情感体验，体会数学与生活的密切联系，感受数学美。

目标解析：本课教学目标的定位是基于学生已初步认识过长方形、正方形、三角形和平行四边形等平面图形，并对角有了初步的认识之上的。

从学生已有的经验入手，让学生从实物中抽象出直角，从生活中感受直角，从动手操作中学会用三角尺判断直角和画直角，认识、判断锐角和钝角，进一步拓展完善对角的认识，培养学生的动手能力，积累学生活动和解决问题的经验，为后续学习作好铺垫。

教学重点：认识直角、锐角和钝角，用一副三角尺拼出不同的钝角，知道用直角和锐角拼出的一定是钝角。

教学难点：理解锐角、钝角和直角的特征，画直角，灵活运用角的知识拼角。

教学准备：课件、三角尺、活动角等。

教学过程：一、自由画角，导入新课（一）学生自由画角1. 选取不同大小的角向全体学生展示。

2. 选择其中一个角说一说角各部分的名称。

（二）揭示课题同学们画的这些角有大的也有小的，但有一类角很特殊，它的大小是不能变的，你猜出是什么角了吗？今天我们就来认识直角。

（板书课题）【设计意图：鉴于学生前一课时已经初步认识了角，本节课导入环节设计让学生自由画角，一方面复习了画角的知识，巩固了角各部分的名称，另一方面也由此引出一类特殊的角——直角，为沟通直角与角的联系及新课教学铺垫。

】二、动手操作，探究新知（一）描一描，初步感知直角。

1．课件出示例3。

2．观察上图，找出角并在图上描画出来。

小学数学教案：角的初步认识共2课时(西师版可用)

角的初步认识第1课时角的初步认识【教学内容】教科书第26～27页例1，例2，第28页的课堂活动1、2及第30页练习八1～3【教学目标】1.经历从现实生活中发现角、认识角的过程，初步建立角、直角的概念，能说出角的各部分名称，会辨认角与直角。

2.培养学生初步的观察能力和动手操作能力，发展空间观念。

3.感受角在现实生活中的存在和应用，体验数学的价值，让学生获得成功的体验。

【教学重点】帮助学生形成角的正确表象，初步建立角的概念。

【教学难点】从实物中抽象出角以及理解角的大小与两边张开的大小有关。

【教学过程】一、观察情境，引入课题1.呈现主题图同学们，喜欢课间活动吗？课间活动丰富多彩，课间活动让我们健康快乐，就让我们一起先去感受课间活动这热闹的场景吧。

课件出示课间活动的主题图2.从实物中找角校园生活可有趣。

大家看，在美丽的校园里还藏着好多角呢，聪明的孩子赶快找找吧！哪些物体上有角呢？大家能用数学的眼光去看待身边的事物，真是一群会观察、会发现的孩子。

今天我们就一起来认识新图形——角。

板书课题：角的初步认识二、经历过程，探究新知1.认识角（1）指角刚才同学们说到剪刀上有角，吸管上有角，水管上也有角。

剪刀上的角在哪儿？谁愿意上来指一指。

都能看清楚了吗？睁大眼睛仔细看，待会我们比一比谁和老师指得一样准。

（老师再指一遍）你能像老师这样指一指、说一说吗？（请学生完整的指出角）吸管上的角在哪儿？（生上台指，在老师的帮助下完整的指出了角）水管上的角在哪儿？（学生独立指出了完整的角）（2）抽象出角小朋友们已经能够准确地指出角了。

这些角是什么样子的呢？想不想看？（课件出示实物剪刀）闭上眼睛，回忆刚才指的过程，想象一下这个角的样子。

睁开眼睛看看吧！（课件演示从实物抽象出角的形状的过程）和你想的一样吗？吸管上的角，会是一个什么样子的角呢。

（课件演示从实物抽象出角的形状的过程）水管上的角，眼前出现角的样子了吗？伸出手和老师一起比划比划。

“异面直线所成的角”（第二课时）教学设计

“异面直线所成的角”（第二课时）教学设计双流中学数学组邱国界教材分析：异面直线及异面直线的夹角这一节设置为两课时，这是第二课时的教学设计．异面直线的夹角是由两条相交直线的夹角扩充而生成的，由平移原理可知，当两条异面直线在空间的位置确定后，它们的夹角的大小也就随之确定了．这对于初学立体几何的学生来说，是较难理解的，对“异面直线还有夹角”这一概念感到陌生和新鲜，是学习的一个难关．教学中应通过现实生活中的例子，说明如何抽象出异面直线的夹角概念．强调异面直线的夹角的存在性和学习的必要性．异面直线的夹角的范围是000~90，不含00．最后，通过教科书中正方体的练习，逐步深入理解异面直线及其夹角，使学生较好地掌握这一内容．要计算异面直线a b 、的夹角的大小，必须通过平移转化为相交直线''a b 、的夹角．如何实现“转化”是学习中的一个难关．根据异面直线夹角的定义，在空间任取一点O 实现转化固然可以，而在实际操作中，可将点O 取在a 或b 上．两条异面直线互相垂直，即它们的夹角是直角，这是两条直线是异面直线时的一种特殊位置情况．应向学生指出：今后如果说两条直线互相垂直，它们可能相交，也可能异面．对于本节的学习，仍然应注意概念的形成过程，让学生去完成意义建构，而决不单纯以记忆结论为目的，要注重空间想象能力的形成过程，并有意识地加以引导、培养.教学目标：1、知识目标：（1）掌握异面直线所成角的概念；（2）能求出一些较特殊的异面直线所成的角；（3）了解异面直线垂直． 2、能力目标：（1）空间能力的进一步形成；（2）平面向空间的推广能力；（3）空间向平面的转化能力．3、情感目标：通过理论与实际的结合，培养学生实事求是的态度；同时在实际生活中不断发现问题，解决问题，培养学生的创新精神，为自己的人生垫定扎实的基础．学情分析：学生已有知识：空间四大公理、等角定理、异面直线的概念与判断；已有能力：立体空间的想象、抽象思维能力（但这种能力欠缺）；情感定位：初步接触立体几何，有较强的兴趣，对一门新的数学分支充满了激情．教学重点：异面直线所成的角概念的形成及应用教学难点：异面直线所成的角的发现与概念形成，将异面直线所成角转化为平面角授课类型：新授课授课方式：探索法、引导法、讨论法教法设计：创设问题的现实情境，通过启发、引导学生发现异面直线所成的角的存在性，通过由特殊到一般、从具体到抽象，培养学生观察、分析、归纳、抽象、概括等逻辑思维能力与空间想象课时安排：1课时教具：FLASH多媒体课件、实物投影仪、实物教具教学过程：一、创设情境：多媒体课件给出嫦娥奔月的轨迹图，通过动画说明空间中异面直线的方向存在差异，也即空间异面直线的“角度”的存在性，即本节课的课题：异面直线所成的角（异面直线的夹角）．（设计意图：建构主义教学模式在高中数学中的力能否吸引到教学内容上的关键所在．嫦娥奔月刚刚成功，中国人所拍摄的第一幅月球照片也刚刚公布，这是中国人的骄傲，也是每个中国人所熟知的事情，也是这段时间人们谈论最多的话题，因此，以此为情境引入，能一下抓住学生的注意力，激发学生的学习热情，引导学生积极主动地参与学习、思考．）二、新知形成过程：1、质疑一：平移会改变这两条异面直线原有的方向吗？2、质疑二：怎样度量异面直线的方向的差异呢？3、质疑三：相交直线中，选取哪个角作为度量结果呢？4、质疑四：两直线交点的位置会影响这个度量值吗？5、提问：你可以怎样定义异面直线夹角呢？（设计意图：这一版块属于建构主义教学模式在高中数学中的应用研究下高中数学概念课中的教性学习是一种以问题为载体、以主动探究为特征的学习活动，是学生在教师的指导下在学习和社会生活中自主地发现问题、探究问题、获得结论的过程．在这个环节中，既让学生独立思考与学习，同时也采用协作学习的方式来解决所提出的问题，最后形成异面直线夹角的概念．问题5的提出就目的是培养学生的归纳总结能力，并体会到学习的乐趣．）三、形成新知：1、形成异面直线所成角的定义．异面直线所成的角：已知两条异面直线a b 、，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，''a b 、所成的角的大小与点O 的选择无关，我们把''a b 、所成的锐角（或直角）叫异面直线a b 、所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在两条异面直线中的一条上．2、异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线a b 、垂直，记作a b ⊥．两直线垂直含异面垂直与共面垂直．3、两条异面直线所成角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦．（设计意图：异面直线概念的得出在前面三步的进行下也就成了顺理成章的事了，只有用严格的数学语言来对一个知识下了定义才能方便我们对该知识的使用，也正是将一个数学概念顺理成章的学生自己构建在了自己的已有的知识体系中，这正是建构主义教学模式在高中数学中的应用研究下高中数学概四、新知应用：正方体ABCD A B C D ''''-中：（1）求直线AB 与B C ''夹角的度数；（2）求直线BA '与CC '夹角的度数；（3）求直线BA '与'AD 夹角的度数．学生活动：讨论、思考、求解；教师活动：参与讨论共同解决；强调解题的思维与书写步骤的完整．解：（1）由//B C BC ''，可知ABC ∠等于异面直线AB 与B C ''的夹角，易知ABC ∠=090，所以异面直线AB 与B C ''的夹角为90；（2）由//BB CC ''，可知B BA ''∠等于异面直线BA '与CC '的夹角，所以异面直线BA '与CC '的夹角为45；（3）连结',''BC A C ，则'//'AD B C ，则''C BA ∠等于异面直线BA '与'AD 的夹角，易知''A BC ∆为正三角形，所以异面直线BA '与'AD 的夹角为60．形成能力：1、点O 通常取为两条异面直线中的一条线段的端点或中点；2、求异面直线所成的角的方法：（1）平移直线相交——作；（2）确定角——证；（3）求解角——求．D'C'B'A'DCBA（了能解题，能用，在解题中体会概念的精妙之处，在用中反思概念的合理性．独立思考与合作学习，既发挥了个人的能力也共享了集体的智慧，让每个学生在学习过程中都学有所长，愉快地学习；在建构主义理论下，以任何一种学习模式组织教学，都有一个学习效果的评价，其中包括是否完成对所学知识的意义建构，即是说学以致用，异面直线的夹角来源于生活，形成了数学概念，同时还要回到生活中去，能解决实际问题．故设计的这组练习题是检查学生对异面直线的夹角的掌握情况的，同时也是对异面直线夹角概念的巩固．）六、巩固提高：1、教材16P 练习题第4题：如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中：（1）哪些棱所在直线与直线'AA 成异面直线且互相垂直？（2）已知'1AB AA ==，求异面直线'BA 与'CC 所成角的度数．2、空间四边形ABCD 中，AD BC ==，,E F 分别是,AB CD 的中点，6EF =，求异面直线AD 与BC 所成的角．注：此题所给的解法是利用余弦定理求解，这是常用也是通用方法，称为解三角形，而此题数据特殊，EGF ∆为等腰三角形，故也可在直角三角形中求解EGF ∠的大小．解：取AC 中点G ，连结,,EG FG EF ，∵,E F 分别是,AB CD 的中点，∴//,//,EG BC FGAD 且1122EG BC FG AD ==== ∴异面直线,AD BC 所成的角即为,EG FG 所成的角，在EGF ∆中，2221cos 22EG FG EF EGF EG FG +-∠==-⋅， ∴120EGF ∠=，异面直线,AD BC 所成的角为60．形成能力：(1)异面直线所成的角是锐角或直角，当EGF ∆内角EGF ∠是钝角时，则异面直线AD BC 、所成的角是它的补角．(2)此题在平移时用到的是“双移”，手段是利用三角形中位线与底边平行，从而达到平移直线的目的．（3）在平移直线时，合理选择平移点→确定平面→找、移或连．（设计意图：对一个概念的真正撑握必然是经过反复再反复的过程，在实践中把握本质，故在此GFED CBAD'C'B'A'DC B A设计了这个环节．概念不变，但题目千变万化，在这个问题上，采用随机进入式教学；由于事物的复杂性和问题的多面性，要做到对事物内在性质和事物之间相互联系的全面了解和掌握、即真正达到对所学知识的全面而深刻的意义建构是很困难的．往往从不同的角度考虑可以得出不同的理解．为克服这方面的弊病，在教学中就要注意对同一教学内容，要在不同的时间、不同的情境下、为不同的教学目的、用不同的方式加以呈现．换句话说，学习者可以随意通过不同途径、不同方式进入同样教学内容的学习，从而获得对同一事物或同一问题的多方面的认识与理解．让学生思考、探索、讨论，获得多种解题思路，再展现出来，教师引导完成解法，并比较各种做法的差异与优缺点，从而提升学生的题解能力．）七、小结升华：本节课你有什么收获？异面直线夹角的概念及用平移的方法求异面直线所成的角，步骤是：作、证、算；异面直线夹角是二维到三维的推广，而求解异面直线夹角是三维向二维的转化．（设计意图：识升华，最终完成知识建构的重要环节，课后延伸可帮助学生建立自己的知识网络，对本节课起到辅助与延伸的作用，在建构主义教学模式在高中数学中的应用研究下高中数学概念课中的教学模式中必不可少．）八、课后巩固：1、教材16P 习题第6、7题．2、（选做）在长方体D C B A ABCD '''-中，4AB =，2BC =，'2AA =，求异面直线B D '与AC 所成的角的余弦值．九、板书设计十、教学反思（见前面网页处）D'C'B'A'DCBA。

人教版七年级上册数学4.3.2第二课时角度的换算(度分秒转化) 课件

试一试：
请你计算时针与分针的夹角：
（1）8:30 （2）1:25
（3）1:40 （4）10:10
35.希望是生命的源泉，失去它生命就会枯萎。 44.成长的过程其实就是世界观不断崩塌重建的过程。 48.顽强的毅力可以征服世界上任何一座高峰！——狄更斯 34.这个世界不是因为你能做什么，而是你该做什么。 91.你热爱生命吗？那幺别浪费时间，由于时间是组成生命的材料。 20.你现在的生活也许不是你想要的，但绝对是你自找的。 70.如果把才华比作剑，那么勤奋就是磨刀石。 9.试着把光芒留给别人，不用太在意那些有的没的，你会更快乐。 31.不论是狮子还是羚羊，都要奔跑；不论是贫穷还是富有，都要去奋斗。 17.梦想是点燃生命之火的催化剂。 26.不经历风雨，怎么见彩虹。 76.对于尚未成熟的人来说，自由就是散漫。 69.成功属于准备好的人。 12.星星使天空绚烂夺目；知识使人增长才干。 10.不要抱怨，不要总是觉得自己怀才不遇，这种状况大部分是自己造成的。 42.小时侯，幸福是很简单的事；长大了，简单是很幸福的事！ 52.给心灵留一方净土，给生活留一个梦想，给未来留一丝微笑，给岁月留一份厚礼，给人生留一季花香！ 65.花开堪折直须折，莫待无花空折枝。 79.成功之花，人们往往惊羡它现时的明艳，然而当初，它的芽儿却浸透了奋斗的泪泉，洒满了牺牲的血雨。 60.奋斗者的幸福是从痛苦起步的，享乐者的痛苦是从“幸福”开始的。 56.人最可悲的是自己不能战胜自己。
角叫1秒的角,1秒记作1″
例1 计算： ⑴ 1.45°等于多少分？等于多少秒？ ⑵ 1800″等于多少分？等于多少度？
角的度量
例题2 （1）把27.38°化成度、分、秒的形式；
（2）46°30′36″转化成用度表示的形式.

角的初步认识第2课时直角的初步认识案例一(课件)

探索新知
我们生活中很多地方有直角，但有的并不是那么规范，我们可以说像直角。
探索新知判断一下，这些是不是直角？
直观判断结论不一定正确。
探索新知
现样请在子同请的学再？们想动一手下画，一直个角直到角底。是什么
探索新知
每个三角尺上都有一个直角，你能找到三角尺上的直角吗？你能用三角尺画一个非常标准的直角吗？
4
2
1
4
课堂练习
3.判断对错。
（1）直角不是角。
（×）
（2）数学书封面上的直角比黑板上的直角小。（×）
（3）每个三角尺上都有一个直角。
（√）
（4）两条边与三角尺上两直角边重合的角，就是直角。
（√ ）
课堂练习 4.以下面的一条线为边，画一个直角。
课堂小结谁能说说今天你都学到了什么知识？
情境导入
同学们，我们已经认识了角，那你能不能用自己的学具做一个角？
情境导入
谁愿意展示一下自己做的角，并说一说你制作的角是由哪几部分组成的？
情境导入
能不能把你们做的瘦角变得胖一些，把胖角变得瘦一些呢？就像下图这样。
情境导入Βιβλιοθήκη 谁来说说这个角和你刚才做的角有什么区别？
探索新知
直角处处存在，现在请同学们找一找，在我们的生活中什么地方能找到直角，和小组的同学互相交流一下。
探索新知画角
先画一个点→从这点起用三角尺画一条笔直的线→把三角尺的一条直角边与该线重合，三角尺的直角顶点与这个点重合，再从这个点出发沿三角尺上直角的另一条边画一条笔直的线→最后画出直角标志。
探索新知
除了可以用三角尺画直角，还可以用三角尺上的直角来判断一个角是不是直角，怎么判断？

任意角(第二课时)象限角及其表示(课件)高一数学同步备课(北师大版2019 必修第二册)

相同的角所组成的集合
3.掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角
数学抽象
数学抽象
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奥运会赛场上，跳水运动员的优美动作引来阵阵喝彩
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声．跳水
– 第二级
• 第三级
(Diving)是一项优美的水上运动，它是从高处通过空中转
– 第四级
» 第五级
体，并以特定动作入水的运动．
角的终边在第三象限角,所以945°角是第三象限角；
(3)因为−950°12’=129°48′+ −3 ×360°，而129°48′角的终边在第
二象限角,所以−950°12’角是第二象限角.
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思考：图3中，30°，390°和-690°三个角有什么关系？
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• 第三级
－360°<α<360°，－360°<β<360°；
– 第四级
(2)写出终边相同的角：边界线为射线时，终边相同的角为α＋k·
360°，β＋
» 第五级
k·360°，k∈Z；边界线为直线时，终边相同的角为α＋k·180°，β＋
k·180°，k∈Z；
(3)写出角的集合：按逆时针旋转规则，从小到大写出角的集合．
» 第五级
+ 360° ∙ < < 270° + 360° ∙ ，k ∈ Z}
或 {|(−180° + 360° ∙ < < −90° + 360° ∙ ，k ∈ Z}
第四象限角：{|270° + 360° ∙ < < 360° + 360° ∙ ，k ∈ Z}

认识角(第二课时)(教案)-2022-2023学年数学二年级下册北师大版

认识角（第二课时）（教案）-2022-2023学年数学二年级下
册北师大版
一、课程目标
1.知道角的定义及符号表示法；
2.掌握角的分类方法。

二、教学重难点
教学重点：角的定义及符号表示法。

教学难点：角的分类方法。

三、教学过程
1. 导入（约5分钟）
1.老师出示一张图片，询问学生图片中的图形；
2.引导学生发现图形中的角，并进一步问及学生对角的概念的认识。

2. 角的定义及符号表示法（约10分钟）
1.老师通过观察实物、图片等展示角的不同形态；
2.老师详细介绍角的定义及符号表示法，通过举例解释，帮助学生理解。

3. 角的分类方法（约15分钟）
1.老师出示不同类型的角的图片，要求学生自主归纳分类；
2.老师帮助学生总结并学习角的分类方法，引导学生理解和记忆各类角的概念。

4. 练习（约20分钟）
1.学生自主完成练习册上分角类的题目；
2.部分学生在黑板上演示所做题目的解答，进行互动、补充和讨论。

5. 总结（约5分钟）
1.老师归纳角的概念和分类方法，及时纠正并解决学生在学习中存在的问题；
2.老师激励学生，让学生在学习中发现乐趣，将所学知识应用到实际中。

四、教学反思
本节课主要是对于角的概念和分类方法进行介绍，体现了教材的知识性和系统性。

教学过程中，老师可以适时让学生独立思考，促进学生积极探究，激发学生学习兴趣。

同时，老师还应针对学生的不同情况，采用不同的方法和手段，使教学更加有效。

苏教版二年级数学下册第七单元角的初步认识第2课时直角的初步认识

第七单元角的初步认识
第2课时直角的初步认识
学习目标
1.使学生经历观察、操作、比较等活动过程，初步认识直角、锐角和钝角，会借助三角尺上的直角辨认直角、锐角和钝角。 2.使学生在认识直角、锐角和钝角的过程中，培养初步的比较、分析和推理能力，发展空间观念，体会与他人合作交流的乐趣。
情境导入你知道图中用线标出来的是什么吗？
课堂小结这节课你有什么收获？还有什么疑问吗？
1．三角尺上最大的一个角是直角，所有的直角都相等。
2．以直角为衡量标准，锐角比直角小，钝角比直角大。
谢谢观看！
练习九Байду номын сангаас6. 说出每个三角形的三个角各是什么角。
锐角直角
锐角
钝角
锐角锐角锐角
锐角
练习九 7.你能在每个图形中找出几个直角？
第1个图形中能找出8个直角，第2个图形中能找出8个直角。
练习九
有6个角，其中有2个直角。
巩固练习 4．谁说的话是正确的？在括号里画“ √”。
√
辨析：不能正确理解所有的直角同样大，角的大小与边的长短是无关的
直角直角
锐角锐角
锐角锐角锐角
锐角
钝角
锐角
练习九 4.下面的角，哪个最大，哪个最小，哪两个相等？它们各是什么角？
第3个角最大，是钝角；第1个角最小，是锐角；第2个角和第4个角相等，是直角。
练习九 5.下面的平行四边形中各有几个锐角和钝角？
第1个平行四边形有2个锐角，2个钝角；第2个平行四边形有2个锐角，2个钝角；第3个平行四边形有2个锐角，2个钝角。
复习导入
之前我们认识了角，判断下面的图形是不是角。
探究新知

【学霸笔记】第3章角的度量第2课时角的认识-

【学霸笔记】四年级上册数学同步重难点讲练第3章角的度量第2课时角的认识1、角的认识：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。

一个角有一个顶点两条边。

2、从角的一条边向另一条边画一条弧线，并标上数字。

角通常用符号“∠”来表示，这个角可以记作“∠1”，读作：角1。

3、角的大小（1）与两边叉开的大小有关系，叉开越大，角就越大，叉开越小，角就越小；（2）与边画的长度没有关系。

例1.一个正方形剪去一个角，还剩下（）个角．A．3 B．4 C．5 D．都有可能【分析】根据角的意义，从一点引出两条射线组成的图形叫做角．由此可知，一个正方形剪去一个角，有3种不同的剪法，沿对角线剪剩3个，沿一个角剪剩4个，沿一个角上方一点剪剩5个．据此解答．【解答】解：一个正方形剪去一个角，沿对角线剪剩3个，沿一个角剪剩4个，沿一个角上方一点剪剩5个．如图：故选：D．【点评】此题考查的目的是理解掌握角的意义及应用．例2.一条射线绕它的端点旋转一周形成的角叫周角；2直角＝ 1 平角．【分析】一条射线绕它的端点旋转一周，形成的角叫做周角，周角＝360°；平角＝180°，直角＝90°，据此解答即可．【解答】解：一条射线绕它的端点旋转一周形成的角叫周角；90°×2＝180°2直角＝1平角．故答案为：周，1．【点评】此题考查了直角、平角和周角的含义．例3.图中没有角．×（判断对错）【分析】由一个点出发的两条射线组成的图形叫角，图中有一个直角，据此解答即可．【解答】解：图中有一个直角．故原题说法错误．故答案为：×．【点评】此题考查了角的概念及辨别方法．例4.如图中被布遮住的是一个长方体，这个长方体表面被布遮住了几个直角？假如被布遮住的物体是正方体，那么这个正方体表面被遮住了几个直角？【分析】根据直角的意义，90度的角叫做直角．长方体和正方体的一个顶点由三条棱互相垂直相交，所以在长方体或正方体的一个顶点有3个直角．这个长方体表面被布遮住了4个顶点，所以被遮住了12个直角．同理：假如被布遮住的物体是正方体，那么这个正方体表面被遮住了12个直角．据此解答．【解答】解：长方体、正方体的一个顶点由三条棱互相垂直相交，所以在长方体或正方体的一个顶点有3个直角，所以这个长方体表面被布遮住了4个顶点，所以被遮住了12个直角．同理：假如被布遮住的物体是正方体，那么这个正方体表面被遮住了12个直角．【点评】此题考查的目的是理解掌握直角的意义，长方体、正方体的特征，关键是明确：长方体和正方体的一个顶点由三条棱互相垂直相交，所以在长方体或正方体的一个顶点有3个直角．一．选择题（共6小题）1．下面图（）遮住的是一个直角．A．B．C．2．方桌上的直角和三角尺上的直角相比，（）A．方桌上的直角大B．三角尺上的直角大C．一样大3．钟面上3：05，时针和分针形成（）A．锐角B．直角C．钝角4．用放大100倍的放大镜看一个30°的角，看到的角的度数是（）°．A．3 B．30 C．300 D．30005．把一张长方形纸剪去一个角（如图），剩下的部分有（）个角．A．1 B．3 C．66．从5时到6时，钟面上的分针旋转了（）A．30°B．150°C．180°D．360°7．如图三角尺拼出的是什么角？∠1是角，∠2是角．8．是直角，比直角大，比直角小．9．钟面上3时整，时针与分针的夹角是度，4时整，时针与分针所夹的钝角是度．10．8时正，时针与分针所构成的最小角是°，是角．11．把一个15°的角放在一个放大10倍的放大镜下看，这个角的度数现在是．12．从一点引出两条所组成的图形叫做角．三．判断题（共5小题）13．分针从12走到3所形成的角是一个直角．（判断对错）14．在9°与10°之间还有其他的角．（判断对错）15．从一点出发，可以画无数条射线，其中每两条射线都能组成一个角．（判断对错）16．一个三角板上最多有两个锐角．（判断对错）17．用放大镜看68°的角仍是68°．（判断对错）．四．操作题（共2小题）18．按要求在方格纸上画直角．用给定的点和边画直角．19．想一想，画一画．如图的月饼切两次分成4块，使每块都有1个直角．20．放风筝比赛时，规定用30米长的线，比哪个风筝放得最高，只要把每根风筝线的一端固定在地面上，分别量出它们与地面所形成的角的度数即可，你知道这是为什么呢？21．数一数．22．下面钟面时针和分针组成的是什么角？先观察，再填一填．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．【分析】根据直角、锐角、钝角的意义，像三角尺上最大的角是直角，比直角小的角是锐角，比直角大的角是钝角．据此解答．【解答】解：A．遮住的是一个锐角．B．遮住的是一个直角．C．遮住的是一个钝角．故选：B．【点评】此题考查的目的是理解掌握直角、锐角、钝角的意义及应用．2．【分析】根据角的意义，从一点引出两条射线组成的图形叫做角．因为角的两边是两条射线，射线可以向一方无限延长，所以角的大小与边的长短无关，与两边叉开的大小有关．因此，方桌上的直角和三角尺上的直角相比一样大．据此解答．【解答】解：因为角的两边是两条射线，射线可以向一方无限延长，所以角的大小与边的长短无关，与两边叉开的大小有关．因此，方桌上的直角和三角尺上的直角相比一样大．故选：C．【点评】此题解答关键是明确：角的大小与边的长短无关，与两边叉开的大小有关．3．【分析】钟面一周为360°，共分12大格，每格为360÷12＝30°，3：05分针与时针相差接近2个大格，2个大格形成的夹角是60°，而实际由于时针处于3和4之间，应当略大于60°，是锐角．据此解答即可．【解答】解：30°×2＝60°，实际3：05，时针和分针形成的角应略大于60°，是锐角．故选：A．【点评】本题要在了解钟面结构的基础上进行解答．4．【分析】角的大小和边长无关，更和放大无关，只和两条边张开的大小有关，据此解答即可．【解答】解：用放大100倍的放大镜看一个30°的角，看到的角的度数仍然是30°．故选：B．【点评】此题主要考查角的定义．5．【分析】由一个点出发的两条射线组成的图形叫角；根据题意，把一张长方形纸剪去一个角，剩下的部分只有一个直角，而直线和曲线构成的不能叫作角，据此解答即可．【解答】解：把一张长方形纸剪去一个角（如图），剩下的部分有1个角；故选：A．【点评】此题考查了角的概念和辨别方法．6．【分析】钟面上，从5时到6时，分针都指向12，分针走过了12个大格子，每个大格所对的角度是30度，则12个大格是30°×12＝360°，据此解答即可．【解答】解：由分析得：从5时到6时，钟面上的分针旋转了：30°×12＝360°，故选：D．【点评】本题关键是理解每个大格所对的角度是30度．二．填空题（共6小题）7．【分析】根据锐角、钝角的含义：用三角尺上的直角比一比，比直角大的角是钝角，比直角小的角是锐角；由此解答即可．【解答】解：∠1是钝角，∠2是锐角；故答案为：钝，锐．【点评】明确锐角、钝角的含义，是解答此题的关键．8．【分析】用三角尺上的直角比一比，就可以知道：②④是直角，③比直角大，①比直角小；由此解答即可．【解答】解：②④是直角，③比直角大，①比直角小．故答案为：②④，③，①．【点评】此题主要考查了角的概念及其分类，要熟练掌握．9．【分析】在钟面上，一共有12个大空格，时针与分针所夹的每一个空格是30°，3时整，时针指向3，分针指向12，相差3个大格，夹角为30°×3＝90°；4时整，分针与时针相差4个大格，所以钟面上时针与分针形成的夹角是：30°×4＝120°，由此解答．【解答】解：钟面上3时整，时针与分针的夹角是90度，4时整，时针与分针所夹的钝角是120度．故答案为：90，120．【点评】解答此题要明确：在钟面上，每个大格子对应的圆心角是360°÷12＝30°．10．【分析】分针1小时转1圈，时针1小时走1大格，钟表面上有12个大格，周角是360度，两大格之间的夹角是360÷12＝30度，8时整，分针指着12，时针指着8，时针与分针之间是4个大格，所以构成的较小夹角是120度，根据角的分类，大于90度小于180度的角叫做钝角，所以这个角是钝角．据此解答．【解答】解：8时正，时针与分针所构成的最小角是：4×30＝120°，是钝角．故答案为：120，钝．【点评】此题考查的目的是理解掌握角分类及应用．11．【分析】因为角的大小和边长的长短无关，更和放大无关，只和两条边张开的大小有关，无论用多大倍的放大镜去看一个角，这个角的度数都不变．【解答】解：由分析可知：把一个15°的角放在一个放大10倍的放大镜下看，这个角的度数现在是15°；故答案为：15°．【点评】记住角的大小和边长无关，更和放大无关，这是解答此题的关键．12．【分析】根据角的含义：由一点引出的两条射线所围成的图形，叫做角；进行解答即可．【解答】解：根据角的含义可知：从一点引出的两条射线所围成的图形，叫做角；故答案为：射线．【点评】此题考查了角的含义，应注意基础知识的积累．三．判断题（共5小题）13．【分析】利用钟表表盘的特征解答．表盘共被分成12个大格，每一大格所对角的度数为30°．【解答】解：分针从12走到3转动了：30×3＝90度，形成的角是直角，故原题说法正确；故答案为：√．【点评】本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形即可解答．14．【分析】度不是最小的单位，1度＝60分，1分＝60秒，所以在9°与10°之间还有很多其他的角，如9°3′，据此解答即可．【解答】解：在9°与10°之间还有其他的角，说法正确；故答案为：√．【点评】此题考查了角的大小和单位，要熟练掌握．15．【分析】根据角的定义，从一点出发，画出两条射线，组成的图形叫做角．【解答】解：从一点出发，可以画无数条射线，其中每两条射线都能组成一个角，说法正确；故答案为：√．【点评】本题主要考查了学生对角的定义的掌握情况．16．【分析】在一副三角板上的角有90度、60度、45度、30度，一个三角板上只有两个锐角．据此解答．【解答】解：根据分析，一个三角板上只有两个锐角，所以原题说法正确．故答案为：√．【点评】本题主要是考查了学生对三角板的认识．17．【分析】角的大小是指两边张开的大小，与两条边的分离程度有关，用放大镜看一个68°的角，也就是把边变长了，而两边张开的大小没变，即角的度数没变．【解答】解：用放大镜看68°的角，也就是把边变长了，而两边张开的大小没变，即角的度数没变，所以还是68°；故答案为：√．【点评】此题主要考查角的大小只与角两边张开的大小，与两条边的分离程度有关，与边的长度无关．四．操作题（共2小题）18．【分析】根据角的意义，从一点引出两条射线组成的图形叫做角．像三角尺上最大的角就是直角．据此解答．【解答】解：作图如下：【点评】此题考查的目的是理解掌握角的意义，以及直角的特征及应用．19．【分析】把它分给淘淘、依依、壮壮和苹苹每人一块，是分给4个人，要求每块蛋糕上都有一个直角，先在蛋糕上面画出一条线段，再从上面找一个点，使三角板的一条边与这条线重合，三角板的顶点与这个点重合，沿着另一条直角边画线即可．【解答】解：画图如下：【点评】本题是考查了画直角的方法，借助三角板或者直尺上的直角进行求解．五．解答题（共3小题）20．【分析】因为线的长度是固定的都是30米，所以谁与地面的夹角接近90度，谁的高度就高，由此判断．【解答】解：根据分析可知，谁与地面的夹角接近90度，谁的高度就高．【点评】此题考查了角有关知识的应用．21．【分析】根据直角的含义：等于90度的角是直角，比直角小的角是锐角，比直角大的角是钝角；由此解答即可．【解答】解：故答案为：1，2，1；1，1，2．【点评】明确直角、锐角、钝角的含义美术解答此题的关键．22．【分析】先看分针，只要分针指着12，时针指几就是几时，进而确定出时间；再根据大于0°小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角；大于90°小于180°的角是钝角；等于180°的角是平角；等于360°的角是周角得解．【解答】解：【点评】此题考查整时的辨识，也考查了角的概念及其分类．。

第2讲角

第2讲角〖学习目标〗1．进一步理解角的概念，掌握角的符号表示．2．会比较角的大小，认识度、分、秒，并能进行简单的换算，会计算角的和与差． 3．了解角的平分线、余角、补角的概念，知道角平分线、补角和余角的性质，并会利用这些性质进行相关的角度计算．4．知道什么是方位角，会利用方位角表示方向． ※考情分析角也是几何的基本概念，其中度分秒换算、互余和互补、角平分线、方位角等都是中考的高频考点，但同一份试卷最多出现一题，而且以填空、选择为主，一般不会出现在解答题中，分值一般不会超过3分．〖基础知识·轻松学〗一、角的两种定义1．静态观点的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．2．动态观点的定义：由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形叫做角，如图2-1，其中开始出发位置的射线（射线OA ）叫做这个角的始边，结束位置的射线（射线OB ）叫做这个角的终边．OAB始边终边角的内部角的外部OBAO A (B )O ABC图2-1 图2-2 图2-3 图2-4 2．用旋转的观点理解平角、周角、直角（1）平角：如果角的终边是由始边绕顶点旋转半周得到的（这时角的始边和终边互为反向延长线），如图2-2，这样的角叫做平角，1平角＝180°．（2）周角：如果角的终边是由始边绕顶点旋转一周得到的（这时角的始边和终边重合成一条射线，但它不是一条射线），如图2-3，这样的角叫做周角，1周角＝360°．（3）直角：平角的一半是直角，1直角＝90°，通常在直角顶点加上“┐”或“┌”的标志．精讲：平角与直线有区别：平角是一个角，它有角的内部，而直线是一条线，这是两个不同的概念，不能说“一条直线就是平角”或“平角是一条直线”．同样不能说“一条射线是周角”．二、角的四种表示方法1．用三个大写字母表示．2．用一个大写字母表示．3．用数字表示．4．用希腊字母表示．三、角的度量1．角的度量单位：常用的角的度量单位是度、分、秒．2．角度的换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．精讲：度分秒转化的方法：60606060⨯⨯÷÷度分秒四、角的两种比较方法精讲：（1）比较角的大小的两种方法中，度量法是从数量上进行比较；叠合法是从“形”上进行比较．从数量上看，度数大的角大；从形上看，开口大的角大．（2）角的大小只与角两边张开程度有关，与角的边画出部分的长度无关，因为角的边是射线，而不是线段；角的大小与角的顶点的位置也没有关系．五、角平分线1．文字语言：OC是∠AOB的平分线或OC平分∠AOB；2．图形语言（如图2-4）：3．符号语言：∠AOC＝∠BOC＝12∠AOB，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．精讲：（1）角的平分线是一条射线，这条射线把角分成两个相等的角，此时三个角有公共的顶点．（2）角平分线的符号语言描述的是“两角相等”，“一个角是另一角的一半”，当需要证明两个角相等或要求证明角度之间的倍分关系的时候，常常考虑证明角平分线．（3）与角的平分线类似，一个角还有三等分线，四等分线．七、互余、互补1．互余――如果两个角的和等于90°，其中一个角是另一个角的余角．互补――如果两个角的和等于180°，其中一个角是另一个角的补角．2．余角和补角的性质（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等．八、方位角1．方位角的基准：上北下南左西右东．2．方位角的基本格式：南（北）偏东（西）××°．图2-5 图2-6如图2-5，射线OA ：北偏东30°；射线OB ：南偏东40°；如图2-6，西北方向或北偏西45°．〖重难疑点·轻松破〗一、角的统计方法角的个数统计的方法与线段个数的统计方法基本类似，可逐个顶点统计，最后把各个顶点的角的个数相加即可．例1：如图2-7，（1）写出能用一个字母表示的角；（2）写出以点B 为顶点的角；（3）图中有多少个小于平角的角？ABCD图2-7分析：要注意角的不同表示法的使用范围，当同一个顶点处有几个角时，不能用一个大写字母表示．解：（1）能用一个大写字母表示的角有：∠A ，∠C ．（2）以B 为顶点的角有3个：∠ABD ，∠ABC ，∠DBC ．（3）图中小于平角的角共有7个．点评：在统计图中角的个数时，应有明确的分类标准，可以按顶点来分类，如以A 为顶点的角有1个，以B 为顶点的角有3个，以C 为顶点的角有1个，以D 为顶点的角有两个．变式练习1：如图2-8，图中共有_________个小于平角的角．OAEDCB图2-8二、时钟问题解题思路在钟表问题中，时针旋转的速度是0.5度/分钟，分针旋转的速度是6度/分钟．解题的时候，可将钟表一圈360°看作环形跑道长，时针和分针可看作甲乙两人在环形跑道上同向跑步．例2：时针由2点30分到2点55分，时针走了_______度，分针走了__________度．思路一：时钟一圈共12格，一共360°，所以每一格30°，2点30分到2点55分共经历了25分钟，时针共转了2560格，分针共转了5格，所以时针走了12.5度，分针走了150度．思路二：时针1小时转30°，分针1小时转360°，因此时针速度0.5度/分钟，分针速度6度/分钟，所以时针走了0.5×25＝12.5度，分针走了6×25＝150度．点评：时钟上每格30°，时针的速度是0.5度/分钟，分针的速度是6度/分钟，这三个结论是解决时钟问题的基本工具．变式练习2：在时刻8：30，时钟上的时针与分针的夹角为_______．三、度、分、秒之间的互化和运算与度、分、秒有关的运算包括度、分、秒的互化和度、分、秒之间的加减乘除，其转化方式与小学时学过的加减乘除基本相同，所不同的是小学时学过的加减乘除是满10进1，而度、分、秒之间的换算是满60进1．例3：计算：（1）把3.38°化为度、分、秒的形式．（2）把28°18′18″化成度的形式．分析：（1）3.38°先取整数，得到3°，还剩下0.38°＝(0.38×60)′＝22.8′，取整数后是22′，还剩0.8′＝(0.8×60)″＝48″；（2）28°18′18″＝28°(18＋1860)′＝(28＋18186060+)°．答案：（1）3.38°＝3°22′48″；（2）28°18′18″＝28.305°．点评：（1）将度化为度、分、秒的形式的方法是取整数后乘以60再取整数，再乘以60后取整数，…；（2）将度、分、秒的形式化成度的形式的方法是：a °b ′c ″＝()603600b ca ++°．变式练习3：36.33º可化为（） A ．36º30´3" B ．36º33´ C ．36º30´30" D ．36º19´48"例4：计算（1）24°36′＋58°38′；（2）51°38′－32°5′32″；（3）13°53′×3；（4）158°42′÷5．分析：角度计算中，满60要进位．角度相加时，先算秒，再算分，最后算度．够60″时化为1′，够60′时化为1°；角度相减时，不够减可借1作60，并与原数相减；进行乘法运算时，度、分、秒分别与乘数相乘，够60″时化为1′，够60′时化为1°；对于除法计算，从度开始除，将余数化为分，和原有的分相加后再除，将余数化为秒，和原来的秒相加后再除，除不尽时四舍五入．解：（1）24°36′＋58°38′＝(24°＋58°)＋(36′＋38′)＝82°＋74′＝83°14′．（2）51°38′－32°5′32″＝51°37′60″－32°5′32″＝19°32′28″．（3）13°53′×3＝(13°×3)＋(53′×3)＝39°＋159′＝41°39′．（4）158°42′÷5＝31°＋222′÷5＝31°＋44′＋120″÷5＝31°44′24″．点评：角度的计算中，要特别注意的是度、分、秒之间是60进制．变式练习4：计算（1）98°45′36″＋71°22′34″；（2）78°32′56″－51°47′42″；（3）11°23′26″×3；（4）176°52′÷3．四、方位角方位角是角在实际生活中的一种重要的应用，在本章以及九年级的锐角三角函数中都有着重要的应用，本处主要是了解方位角，九年级就需要利用方位角解决问题了．例5：轮船航行到C 处观测小岛A 的方向是北偏西46°，那么从A 同时观测轮船在C 处的方向是（）A ．南偏东46°B ．东偏北46°C ．东偏南46°D ．南偏东44°分析：我们可根据题目的意思先画出图形，当从C 处观测小岛A 的方向是北偏西46°时，从A 同时观测轮船在C 处的方向是南偏东46°．北南西东C 北南西东A 46°46°AO20°北南西东北偏东20°图2-9 图2-10模型提炼：通过本题，我们不难总结出这样一条规律，从A 看B 是北偏西46°，那么从B 看A 就是南偏东46°，这里只是将北换成南，西换成东，度数没有变化．变式练习5：平面测量时，通常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角，在测绘、航海中经常用到．如图2-10，OA 表示北偏东20°方向的一条射线．仿照这条射线画出表示下列方向的射线：（1）北偏西50°；（2）南偏东10°；（3）西南方向（即南偏西45°）．五、角平分线定义的应用角平分线是几何里面应用特别多的一个概念，它既可以由角平分线得到两个角相等，也可以由两个角相等来判定一条射线是角平分线．格式1：∵OC 平分∠AOB （已知），∴∠AOC ＝∠BOC （角平分线的定义）作用：可用来证明两个角相等，或者证明一个角是另一个角一半．格式2：∵∠AOC ＝∠BOC （已知），∴OC 平分∠AOB （角平分线的定义）作用：可用来判断一条射线是不是角平分线．例6：如图2-11，∠AOD ＝80°，OB 是∠AOC 的平分线，∠AOB ＝30°，求∠COD 的度数．O CABD图2-11分析：由于∠AOD ＝80°，根据∠COD ＝∠AOD －∠AOC 可知，要求出∠COD ，首先要求出∠AOC ，求∠AOC 可由角平分线的定义求得．解：∵OB 是∠AOC 的平分线，∠AOB ＝30°， ∴∠AOC ＝2∠AOB ＝60°（角平分线的定义） ∵∠AOD ＝80°，∠COD ＝∠AOD －∠AOC ， ∴∠COD ＝20°．点评：如果OC 是∠AOB 的角平分线，那么：①∠BOC ＝∠AOC ；②∠AOB ＝2∠AOC ，∠AOB ＝2∠BOC ；③∠BOC ＝12∠AOB ，∠AOC ＝12∠AOB ．反之，如果上面3个式子中任一等式成立，则均可说明射线OC 是∠AOB 的角平分线．变式练习6：如图2-12，OC 平分∠AOB ，OD 平分∠AOC ，∠AOD ＝35°，求∠AOB 的度数．OADCB图2-12例7：如图2-13，∠AOB ＝90°，OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，求∠MON 的度数．OBMA CN图2-13思路一：虽然∠AOB ＝90°，但∠AOC 的度数却不知道．又因为ON 平分∠AOC ，所以不妨设∠CON ＝x °，则∠AON ＝x °，∠BOC ＝90°＋2x °．又OM 平分∠BOC ，所以∠MOC ＝45°＋x °．因此根据两角的差可以求出∠MON 的度数．解：∵ON 平分∠AOC （已知），∴∠AON ＝∠CON （角平分线的定义）．设∠CON ＝x °，所以∠AON ＝∠CON ＝12∠AOC ＝x °（角平分线的定义）．又∵∠AOB ＝90°，∴∠BOC ＝∠AOB ＋∠AOC ＝90°＋2x °．又∵OM 平分∠BOC ，∴∠MOC ＝12∠BOC ＝45°＋x °（角平分线的定义）． ∵∠MOC ＝∠MON ＋∠NOC ，∴∠MON ＝∠MOC －∠NOC ＝45°＋x °－x °＝45°．思路二：要求出∠MON 的度数，由于∠MON ＝∠MOC －∠NOC ，因此我们可转而求∠MOC 和∠NOC 的度数．根据“OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ”则可求出∠MOC 和∠NOC的度数．OBMA CN解：∵ON 平分∠AOC ，OM 平分∠BOC （已知）， ∴∠MOC ＝12∠BOC ，∠NOC ＝12∠AOC （角平分线的定义） ∵∠AOB ＝90°，∴∠MON ＝∠MOC －∠NOC ＝12∠BOC －12∠AOC ＝12∠AOB ＝45°．点评：和求线段长一样，求一个角的度数时，我们通常将这个角拆成另外几个易求角度的角的和或者差的形式，通过求出另外几个角达到求这个角度数的目的．模型提炼：在本题中，OA ，OB ，OC 三条射线共组成了∠AOB ，∠AOC ，∠BOC 三个角度，OM 、ON 是其中两个角的平分线，则OM 、ON 的夹角（∠MON ）等于第三个角的一半．变式练习7：（1）如图2-14，ON 是∠BOC 的平分线，OM 是∠AOC 的平分线，如果∠AOC ＝28°，∠BOC ＝42°，那么∠MON 是多少度?（2）如果∠AOB 的大小保持与上图相同，而射线OC 在∠AOB 的内部绕点O 转动，那么射线OM ，ON 的位置是否发生变化?（3）∠MON 的大小是否发生变化?如果不变，请说出其度数，如果变化，请说出变化范围．图2-14五、设未知数解决几何问题例8：如图2-15，∠DOE ∶∠BOE ＝1∶2，∠DOC ∶∠COA ＝1∶2，如果∠AOB ＝120°，那么∠COE 是多少度？AOBEDC图15思路一：由于∠DOE ∶∠BOE ＝1∶2，∠DOC ∶∠COA ＝1∶2，所以∠BOD ＝∠BOE ＋∠DOE ＝3∠DOE ，∠AOD ＝∠DOC ＋∠COA ＝3∠DOC ．然后根据∠AOB ＝∠AOD ＋∠BOD ＝3∠DOE ＋3∠DOC ＝3（∠DOE ＋∠DOC ）＝120°，即可求解．解：因为∠DOE ∶∠BOE ＝1∶2，∠DOC ∶∠COA ＝1∶2，所以∠BOE ＝2∠DOE ，∠COA ＝2∠DOC ，所以∠BOD ＝3∠DOE ，∠AOD ＝3∠DOC ．又∠AOB ＝∠AOD ＋∠BOD ＝3∠DOC ＋3∠DOE ＝3（∠DOC ＋∠DOE ）＝3∠EOC ．所以∠EOC ＝13∠AOB ＝40°．思路二：本题也可利用方程思想，可设∠DOE ＝x °，∠COD ＝y °，即求x ＋y ，易推得3(x ＋y )°＝120°，故x ＋y ＝40．解：设∠DOE ＝x °，∠COD ＝y °，则∠BOE ＝2x °，∠COA ＝2y °．因为∠AOB ＝∠DOE ＋∠COD ＋∠BOE ＋∠COA ，所以∠AOB ＝3x °＋3y °．因为∠AOB ＝120°，所以x ＋y ＝40，所以∠EOC ＝40°．点评：第二种方法体现了方程思想，比第一种方法来得更直观，弄清各个角之间的关系，尤其是∠EOC 和∠AOB 的倍分关系很重要．注意体会这种思想在解决角度计算中的便利之处，并能熟练应用．变式练习8：如图2-16，已知：∠1∶∠2∶∠3∶∠4＝1∶2∶3∶4，求∠1，∠2，∠3，∠4的度数．1234图2-16六、互余、互补的列式技巧例9：若一个角的余角比这个角的补角的13还小10°，求这个角的余角及这个角的补角．分析：要求这个角的余角和这个角的补角，可先求出这个角的度数，若设这个角为x °，则这个角的余角为(90－x )°，这个角的补角为(180－x )°，根据这个角的余角比这个角的补角的13还小10°，可列出方程求得x的值．解：设这个角为x°，则这个角的余角为(90－x)°，这个角的补角为(180－x)°．根据题意，得90－x＝13(180－x)－10，解得x＝60．90－x＝30，180－x＝120．答：这个角的余角是30°，补角是120°．点评：此类问题一般有三个未知量，一个角、这个角的余角和这个角的补角，求解的关键是设出合适的未知数，列方程求解，由于余角和补角都可以很容易用这个角表示，因此此类题常常考虑设一个角为x．变式练习9：一个角的补角的一半比这个角的余角的2倍小3°，求这个角的度数．〖课时作业·轻松练〗A．基础题组1．若∠A＝30°28′，∠B＝30°28′30″，∠C＝30.4°，则（）A．∠A＞∠B＞∠C B．∠A＞∠C＞∠BC．∠B＞∠A＞∠C D．∠C＞∠B＞∠A2．关于互补，下列说法中：①∠A＋∠B＋∠C＝180°，则∠A，∠B，∠C互补；②若∠1是∠2的补角，则∠2是∠1的补角；③同一个锐角的补角一定比它的余角大90°；④互补的两个角中，一定是一个钝角与一个锐角. 其中，正确的有_______个．3．计算：（1）48°39′＋67°45′；（2）180°－87°19′42″；（3）32°17′×5；（4）27°56′24″÷3．B．提升题组4．如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°－∠β；②∠α－90°；③1()2αβ∠+∠；④1()2αβ∠-∠．正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．一个角的余角比它的补角的12少20°．求这个角的度数．6．如图2-17，∠AOB＝110°，∠COD＝70°，OA平分∠EOC，OB平分∠DOF，求∠EOF 的大小．FOECDA B 图2-177．在同一平面内，∠AOB ＝100°，∠BOC ＝60°，若OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOC ，求∠MON 的度数．8．（1）已知∠BOC ＝120°，∠AOB ＝70°，求∠AOC 的度数；（2）已知∠AOB ＝80°，过O 作射线OC （不同于OA ，OB ），满足∠AOC ＝53∠BOC ，求∠AOC 的度数〖中考试题初体验〗1．（2013辽宁大连，5，3分）如图2-18，点O 在直线AB 上，射线OC 平分∠DOB ．若∠COB ＝35°，则∠AOD 等于（）．A ．35°B ．70°C ．110°D ．145°图2-182．（2013玉林防城港，2，3分）若∠α＝30°，则∠α的补角是（）． A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°〖我的错题本〗OABCD。

人教版二年级数学上册第3单元角的初步认识第2课时认识直角

（ ×）
3.ห้องสมุดไป่ตู้给出的点和边画直角。
4.剪一剪，分别按要求画出剪刀线。（只能剪一刀哦）
（1）剩下1个直角。（2）剩下2个直角。（3）剩下3个直角。
（画法均不唯一）
课堂小结
通过这节课的学习，你有什么收获?
课后作业
完成本课时的习题。
(教材P40 做一做T1)
2.数一数下面的图形中各有几个直角。(教材P40 做一做T2)
4个
4个
1个
巩固运用 1.判断下面的角是不是直角。
( 不是)
(是)
(不是)
( 是)
2.辨一辨。
（1）数学书封面上的直角比黑板上的直角小。（ × ）
（2）9时整，钟面上的时针和分针所形成的角是直角。
（√ ）
（3）三角形中一定有一个直角。
思考：这些直角都一样大吗？所有的直角都一样大。
折一折
你能用纸折一个直角吗？
优翼
4 你知道怎样画直角吗？
小小直角本领大，生活之中常见它。先画顶点和一边，三角尺来最规范。点边重合是关键，对准再画另一边。还有一步别忘记，千万要把符号添。
做一做
1.课桌面是什么图形？这个图形中有直角吗？
义务教育人教版二年级上册
3 角的初步认识
第2课时认识直角
复习导入 1.角有( 1 )个顶点，( 2 )条边。 2.判断下列图形哪些是角。
（× ）（√）（√）（√）（√ ）
探究新知
3
这些物品中有角吗？
这些角有什么特点？
边直角符号顶点边
直角
每个三角尺上都有一个直角。
用观三察角你尺手比中一的比三、角找尺一，找，身你边有哪什里么藏发着现直？角?

部编人教版二年级数学上册【第三单元3 角的初步认识第2课时直角、锐角和钝角的认识】课件完整版

直角
锐角比直角小钝角比直角大
六、课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
七、教学反思
在教学锐角和钝角的过程中我把重点放在了“比较”上，通过反复的比较得出锐角和钝角的特点。对于一般的锐角和钝角，学生基本能做出正确的判断，但对于一些接近于直角的锐角和钝角，学生都认为是直角，我就让学生借助三角尺上的直角来比一比，但是一部分学生将三角尺转来转去，怎么也放不准。借助三角尺上的直角来比一比，这个环节上还要加强示范，以及个别辅导，这样才能让学生掌握好这一方法。重视运用比较的方法，在比较中建立直观认识，并在比较中使认识逐步清晰。只有在不同情境中的反复比较，学生才能真正建立锐角和钝角的清晰表象。
锐角、钝角的认识
R·二年级上册
学习目标
1.会辨认锐角和钝角，能准备描述锐角和钝角的特征，知道钝角＞直角＞锐角。
2.通过找角、剪角、画角、制作角等一系列活动，让学生经历观察、比较、操作等过程，培养观察、操作、分析问题的能力。
3.积极参与数学活动，感受数学的乐趣，获得成功的体验，建立自信心。
（3）剩下3 个直角。
四、课堂小结直角的画法：
五、课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
六、教学反思
本节课是在学生已经初步认识了角的基础上来认识直角，所以从课的开始，我就先出示一个角，让学生说说这是一个什么图形，角是哪几部分组成的。目的是激发学生的已有认知，让学生在复习角的过程中进一步认识角，知道角的组成。然后进入探究新知的过程，我先出示一张正方形纸，让学生说说有几个角，并自己拿出一张正方形纸摸一摸、看一看、说一说、比划一下，使他们经历观察（认识表象）、操作（内化表象）的过程，认识直角的特征，并知道为了区分直角与其他角的不同，通常在直角上标好直角符号。再给出标准的直角图形，让学生从图形中抽象出直角，形成关于直角图形的表象，接着通过直角的不同摆放位置，发现这些角大小都没有改变，加深对直角的认识，并知道所有的直角大小相等。

第二单元：角的度量 (第2课时)

5、看书，了解1度的角是怎么量出来的，有多大。
6、在量角器上，从右边起，依次找出0 ordm;、20 ordm;、90 ordm;、135 ordm;、180 ordm;的刻度线。再从左边起，依次找出这些度数的刻度线。
三、学习用量角器
1、照样子用Leabharlann 角器量出下面角的度数留意看懂量的方法：中心点对准顶点，一条边对准0刻度线；要看清晰0在内还是在外，然后顺着看下去，看另一条边对准的刻度是多少
昨天的课上我们又相识了角，知道角按大小分，可以分成哪几类？
〔直角、锐角、钝角〕
结合画角，再提示：角的边是射线
〔先画一条边，在把尺放上去的时候，引导学生发觉：假如向不同的方向画，可以分别得到一个锐角和一个钝角。
画另一条边，成一个钝角〕
这个钝角有多大？谁能说一说。
〔估计学生会说到它比直角大，或者说成它是一个直角加一个锐角……〕
五、全课总结
说说你这课的收获，以及要留意的问题课前反思：
角的测量素来是教师觉得很简洁，学生有时困难重重。
本课从复习角的分类起先，让学生估计角有多大，从而激起学生的学习爱好和热忱。相识测量角的量角器是本课的重点之一，教学时要让每个学生都细致视察自己的量角器，知道量角器上的形态是半圆，圆上的内外刻度，分别数一数，内圈和外圈的刻度和数时的依次。半圆的中心点、半圆上的那条水平直线。测量角是本课的难点，由于角的大小，边的长短，角的方向都不尽一样，所以教学时除了讲解一般的角的量法，还要采纳变式，测量不同样子的角。个别学生必需采纳“手把手”的方法教。教后反思：
指出：这种说法只能是也许地说出了这个角的大小，那我要比拟准确地知道它的大小，应当怎么做呢？
二、相识量角器
视察量角器，你发觉了什么？
1、它是一个半圆

冀教版二年级数学上册第四单元角的认识教案第二课时认识直角、锐角和钝角

第二课时认识直角、锐角和钝角教学内容冀教版小学数学二年级上册第33～35页,认识直角、锐角和钝角。

教学提示本课将初步认识直角、锐角和钝角,教材安排了两个活动。

活动一,借助三角板认识直角、锐角和钝角。

活动二,画直角。

了解直角、锐角和钝角是《标准》第一学段的内容要求,在这三类角中,直角是比较特殊的一个角,是角分类的核心知识点。

所以在教学活动中,要借助学生熟悉的、直观的三角板,在学生已有的认识基础上,认识直角,建立直角的表象。

然后用直角做标准比较角的大小,辨认锐角和钝角。

要把实际操作和有效的观察比较结合起来,在操作中培养学生的观察分析能力。

教学目标知识与技能：会辨认直角、锐角和钝角,并了解其各自的特征,会在方格纸上画角；在认识角的过程中初步了解三种角的大小,形成初步角的表象。

过程与方法：结合生活实际,通过观察、操作、小组合作探究,经历认识直角、锐角和钝角的过程。

情感态度与价值观：在认识角的过程中充分感受数学与生活的联系,在具体操作过程中体验数学的趣味性,激发主动参与的热情,培养合作意识。

重点、难点教学重点直观认识直角,了解直角和锐角、钝角之间的关系。

教学难点会用三角板判断直角、锐角和钝角,培养初步的空间观念。

教学准备教具准备：课件、三角板学具准备：三角板教学过程一、创设情境,初步感知1. 谈话激趣师：小朋友们,上节课我们认识了一位新朋友,还记得它是谁吗？生：角……师：今天这位朋友又来到我们班做客了,大家欢迎吗？生：欢迎！师：不过它们呀,有些害羞,躲藏在一些物体上,不肯出来呢,你们能主动把它们找出来,和它们做朋友吗？2. 找一找。

师：（课件出示三角板、圆锥和折扇实物图）哪位小朋友先来找一找？生1：三角板有3个角……生2：圆锥上有一个角……生3：打开的折扇也是一个角……师：小朋友们找的真快,看到大家这么热情,角宝宝们也不在躲躲藏藏的了,你看,它们出来了呢！（课件移走实物图,留下三个大小不同角的图形）师：小朋友们仔细观察这三个角,有什么发现吗？生1：第3个张口最大,这个角也就最大。

角的初步认识第2课时直角的认识教学设计(人教版二年级上册)

角的初步认识第2课时直角的认识教学设计(人教版二年级上册):第2课时直角的认识【教学内容】教材第40页【教材分析】从学生的生活实际出发，设计找直角--判断角--折直角--画直角四个环节，由易到难，通过学生自主学习、讨论，加深了学生对直角的认识。

同时这几步，培养学生的空间观念，是一个纵向逐步加深的认识过程，可以使学生迅速准确地形成空间观念，为发展学生的空间想象力打下坚实的基础，从而切实有效地提高学生的数学思维能力，促进学生数学素养的全面发展。

【学情分析】直角在生活中无处不在，二年级学生虽然没有形成直角的概念，但能够初步辨认现实生活中很多的直角，对直角有一些朦胧的认识。

【教学目标】1．结合生活情境及操作活动，使学生初步认识直角。

2．会用三角尺判断直角和画直角。

3．通过操作活动，帮助学生建立直角的空间观念。

培养学生的实际操作能力和分析判断能力。

【教学重难点】重点：直角的认识及角的小大的比较。

难点：正确画直角。

【教学准备】课件、三角板【教学流程】复习导入→通过复习旧知，引入新知:↓↓探究新知→认识直角，会用直尺画直角:↓↓巩固应用→运用所学知识解决问题:↓↓课堂小结→总结学到的知识和方法【复习导入】1．角有( )个顶点(1个顶点)，( )条边(2条边)。

2．判断下列图形哪些是角。

【探究新知】教学例3。

1．师：请同学们拿出三角尺，观察一下三角板上有没有你认识的角。

学生观察并指出三角板上的直角。

2．小组讨论：三角尺上的直角有什么用途呢？3．交流汇报。

当学生提出用三角尺来检验直角时，教师要在学生说完后用对比的方法加以说明。

让学生用这个方法比一比自己折出的角是不是直角。

4．以小组为单位动手比一比自己周围的一些角是不是直角。

5．用三角尺画直角。

(1)想一想，我们是怎样画角的？(2)尝试用三角尺画直角。

先画一个点→以这点起画一条线→把三角尺的一直角边与线重合，三角尺的顶点与点重合，沿着三角尺另一边画一条线→画成一个直角。

第二课时角的分类

45°+30°=75°
90°+90°=180°
45°—30°=15° 90°—45°—30°=15°
教学反思：
除了几个细节外，画180°和360°的角的内容还需要在课堂中落实。
2.判断正误（ √ ）（√ ）（× ）（√ ）（×）
(1)直角总是90°。 (2)锐角都小于90°。 (3)大于90°的角叫钝角。 (4)钝角都大于90°。（5）周角就是一条射线。
•
周角的度数为 360°
周角、0°角、一条射线有什么区别？
•
周角
• • •
0°角
射线
请为下面这些角分分类
5 2 1
平角
6 7
钝角
4
3
直角
锐角
直角
钝角
周角
估一估：下面各个角的度数，并说说是什么角？
图1 （90°）
图2 （45°）
图3 （65°）
图4 （110°）
图5 （90°）
图6 图7 （135°）（75°）
3.回答
(1)80°角与( )°角能拼成一个直角。 (2)一个平角与一个钝角的差，一定是锐角 ( )角。钝角 (3)一个直角与锐角的和，一定是( )角。
10
你能给下面的几个角分分类吗？。
直角
钝角
锐角
1.看图填空。
∠BOC是（ ∠BOD是（ ∠AOD是（ ∠AOE是（锐）角直）角钝）角平）角
角
边
顶点边
自学课本60页，思考：（1）.角可以分为哪几类？（2）.什么是平角？什么是周角？
180°
两个直角拼在一起形成的角是180°，这个角叫做平角。平角的两条边成一条直线。

人教版四年级上册数学-画角(第2课时角的度量(练习课))课件

四、课堂小结
1.认识线段、射线、直线。（1）线段有两个端点，不能向两端延伸。（2）直线没有端点，可以向两端无限延伸。（3）射线只有一个端点，只能向一端无限延伸。 2.认识角:从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。
四、课堂小结
3.用量角器量角：（1）把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。（2）角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 4.1直角＝90°，1平角＝180°，1周角＝360°。
复习引入
1．让学生比赛画以前学过的线。 2．教师课件出示射线、直线、线段和角。师：这是什么？它们各有什么特点？端点有什么作用？(引导学生明确：端点可限制线段的长度，所以线段是有长度的) 师：这是线段吗？(教师画有两个端点的曲线) 3．学生汇报角的构造、角的分类各类角的关系、角的度量方法与步骤、画角的步骤与方法。师：我们都已经认识了射线、直线、线段和角，那今天这节课我们就通过练习巩固一下。[板书课题：角的度量( 练习课)]
∠1= 45˚
∠2= 145˚
∠3= 60˚
三、巩固练习
你能想办法知道下面两个角的度数吗？
360˚-90˚=270˚
360˚-130˚=230˚
三、巩固练习
（1）你能用一张长方形纸折出下面度数的角吗?
90˚
45˚
135˚
动手试试看！
（2）将一张圆形纸对折三次后展开，可以得到哪些度数的角？
可以得到45˚、90˚、135˚、180˚、225˚、 270˚、315˚、360˚的角。
一、复习引入
二、指导练习
先估计三角尺上各个角的度数，再3= 90˚
∠1= 30˚
∠2= 60˚ ∠3= 90˚

二年级下第2课时认识角

二年级下第2课时认识角《二年级下第 2 课时认识角》小朋友们，在我们的日常生活中，到处都能看到各种各样的角。

今天这节课，咱们就一起来好好认识一下角。

首先，咱们来看看角长什么样。

角呀，它就像是一个尖尖的小刺头。

比如说，咱们教室里的三角板，它上面就有角。

还有时钟的指针，当它们转动的时候，也会形成角。

那角是由什么组成的呢？角是由一个顶点和两条直直的边组成的。

顶点就像是角的小脑袋，两条边呢，就像是它伸出来的两只胳膊。

咱们来举个例子，拿一个三角尺。

三角尺上的这个尖尖的地方就是顶点，从顶点出发的这两条直直的线就是边。

小朋友们可以自己动手，用一张纸折出一个角来。

先把纸对折一下，然后再对折一下，打开之后，就会发现纸上出现了一个角。

那角也是有大小之分的哦！角的大小和什么有关系呢？角的大小和两条边张开的程度有关。

两条边张开得越大，角就越大；两条边张开得越小，角就越小。

比如说，咱们用两根小棒来做一个活动角。

把两根小棒的一端钉在一起，就形成了一个可以活动的角。

当我们把两条边张开得大一些，这个角就变大了；把两条边张开得小一些，这个角就变小了。

但是要注意哦，角的大小和边的长短是没有关系的。

就算两条边变得很长很长，或者很短很短，只要两条边张开的程度不变，角的大小就不会变。

接下来，咱们再看看生活中还有哪些地方能找到角。

窗户上的窗框，形成了直角；五角星上，有好多尖尖的角；咱们的课本，四个角也都是直角。

那怎么判断一个角是不是直角呢？这时候咱们就要用到三角尺上的直角啦。

把三角尺上的直角和要判断的角重合，如果完全重合，那这个角就是直角；如果不重合，那就不是直角。

小朋友们，咱们认识了角，知道了角的组成、角的大小和直角，以后在生活中看到角，就能更清楚地认识它们啦！现在，老师来考考大家。

看看下面这些图形，哪些是角，哪些不是角？为什么？再想想，我们身边还有哪些东西上面有角？和小伙伴们说一说。

好啦，这节课咱们就学到这里，小朋友们，再见！。

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