常微分方程解的结构
高等数学常微分方程讲义,试题,答案
高等数学常微分方程讲义,试题,答案常微分方程§4.1 基本概念和一阶微分方程（甲）内容要点一、基本概念1、常微分方程和阶2、解、通解和特解3、初始条件4、齐次线性方程和非齐次线性方程二、变量可分离方程及其推广1、dyp(x)Q(y)dx(Q(y) 0) 2、齐次方程：dy dxy f x三、一阶线性方程及其推广1、dydyP(x)y Q(x) 2、P(x)y Q(x)y dxdx( 0,1)四、全微分方程及其推广（数学一）1、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,满足Q P2、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,五、差分方程（数学三）（乙）典型例题例1、求y x22Q p (RQ) (RP)但存在R(x,y)，使x y x ydydyxy的通解。
dxdx解：y (x xy)22dy0dxydyy2 x d__y x2 y1 x2yduu2令u,则u x udx x(1 u)du 0xdxu 11 udxdu u x C1 ln|xu| u C1例2C1 uce, y cedyy的通解d__ y4uyx求微分方程d__ y4dx1解：此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，所得微分方程即x y3是一阶dyydyy11dy 14 dy 133yydy C y Cy 线性方程P(y) ,Q(y) y x e yey 3例3设y e是xy p(x)y x的一个解，求此微分方程满足yx ln2 0的特解xx解：将y e代入微分方程求出P(x) xe先求出对应齐次方程x,方程化为dy(e x 1)y 1 dxx xdy(e x 1)y 0的通解y cex e根据解的结构立刻可得非齐次方程通解y ex cex e dx再由yx ln2 0得2 2ec 0,c e例4设1212故所求解y e exx e x12满足以下件F(x) f(x)g(x),其中f(x)，g(x)在( , )内f (x) g(x),g (x) f(x),且f(0) 0,f(x) g(x) 2ex（1）求F(x)所满足的一阶微分方程（2）求出F(x)的表达式解：（1）由F (x) f (x)g(x) f(x)g (x) g2(x) f2(x) [f(x) g(x)]2 2f(x)g(x) (2ex)2 2F(x) 可知F(x)所满足的一阶微分方程为F (x) 2F(x) 4e2x （2）F(x) e2dx4e2xe 2dxdx c e 2x 4e4xdx c e2x ce 2x将F(0) f(0)g(0) 0代入，可知c 1 于是例52F(x) e2x e 2xdy2(1 y)的通解求微分方程(y x) xdxsec2udusec3u 解：令y tanu,x tanv, 原方程化为(tanu tanv)secv2secvdv化简为sin(u v)dudzdudz 1 再令z u v,则1,方程化为sinz 1 sinz dvdvdvdv sinz(sinz 1) 1dz dv c, 1 sinz 1 sinzdz v c,1 sinzv c21 sinz1 sinz z v c 2coszz tanz secz v c z最后Z再返回x,y,v也返回x,即可。
三阶常系数齐次线性微分方程通解结构
三阶常系数齐次线性微分方程通解结构三阶常系数齐次线性微分方程是指形如$ay+by+cy+dy=0$的三阶常系数齐次线性微分方程，其中a，b，c，d均为常数。
因此，三阶常系数齐次线性微分方程又称为三阶常系数线性普通微分方程，是初等微积分学中较为重要的一类微分方程。
二、定理假设 y = y(x)为$ay+by+cy+dy=0$的通解，则满足下列条件：（1）若 $b^2-3ac>0$，则存在常数$C_1、C_2、C_3$，使得通解可以表示为$$y=C_1e^{lambda_1x}+C_2e^{lambda_2x}+C_3e^{lambda_3x}$$ 其中$lambda_1、lambda_2、lambda_3$分别为$$lambda_1= frac{-b-sqrt{b^2-3ac}}{3a}，lambda_2=frac{-b+frac{sqrt{3}}{2}isqrt{4ac-b^2}}{3a}，lambda_3=frac{-b-frac{sqrt{3}}{2}isqrt{4ac-b^2}}{3a}$$（2）若$b^2-3ac=0$，则存在常数$C_1、C_2、C_3$，使得通解可以表示为$$y=C_1x^3+C_2x^2+C_3x+C_4$$（3）若$b^2-3ac<0$，则存在常数$C_1、C_2、C_3$，使得通解可以表示为$$y=C_1cos(lambda_1x)+C_2sin(lambda_1x)+C_3cos(lambda_2x)+C_4sin(lambda_2x)$$其中$lambda_1、lambda_2$分别为$$lambda_1=-frac{b}{3a}+frac{sqrt{3}}{3a}sqrt{3ac-b^2}，lambda_2=-frac{b}{3a}-frac{sqrt{3}}{3a}sqrt{3ac-b^2}$$三、公式从上述定理中可以看出，三阶常系数齐次线性微分方程的通解可以分为三类：（1）$b^2-3ac>0$的情况：$$y=C_1e^{lambda_1x}+C_2e^{lambda_2x}+C_3e^{lambda_3x}$$ （2）$b^2-3ac=0$的情况：$$y=C_1x^3+C_2x^2+C_3x+C_4$$（3）$b^2-3ac<0$的情况：$$y=C_1cos(lambda_1x)+C_2sin(lambda_1x)+C_3cos(lambda_2x)+C _4sin(lambda_2x)$$四、推导（1）$b^2-3ac>0$的情况：两边同时乘以$e^{-lambda_1x}，e^{-lambda_2x}，e^{-lambda_3x}$，得到$$e^{-lambda_1x}(alambda_1^3y+blambda_1^2y+clambda_1y+dy)=e ^{-lambda_2x}(alambda_2^3y+blambda_2^2y+clambda_2y+dy)=e^{-lambda_3x}(alambda_3^3y+blambda_3^2y+clambda_3y+dy)=0$$ 即$$(alambda_1^3+blambda_1^2+clambda_1+d)e^{-lambda_1x}y+(bla mbda_1^2+2clambda_1+d)e^{-lambda_1x}y+(clambda_1+d)e^{-lamb da_1x}y+(d)e^{-lambda_1x}y=0$$令$e^{-lambda_1x}y=Y$，$e^{-lambda_1x}y=Y’$，$e^{-lambda_1x}y=Y’’$，$e^{-lambda_1x}y=Y’’’$得到一阶齐次线性微分方程的一般解为$y=e^{lambda_1x}(C_1+C_2x+C_3x^2+C_4x^3)$可知，设$C_1=C_2=C_3=0$，有特解$y_p=C_4e^{lambda_1x}x^3$ 所以，原方程的通解为$$y=C_1e^{lambda_1x}+C_2e^{lambda_2x}+C_3e^{lambda_3x}+C_4e ^{lambda_1x}x^3$$（2）$b^2-3ac=0$的情况：类似上述推导，原方程的通解为$$y=C_1x^3+C_2x^2+C_3x+C_4$$（3）$b^2-3ac<0$的情况：类似上述推导，原方程的通解为$$y=C_1cos(lambda_1x)+C_2sin(lambda_1x)+C_3cos(lambda_2x)+C _4sin(lambda_2x)$$五、例题例 1：求解$y3y+3yy=0$的通解。
常微分方程 第15讲
一阶微分方程组的一般形式
相关定义：即，称一矩阵（包括作为特殊 矩阵的向量）函数的导数（或积分，或极 限）是指这样一个矩阵函数，它的各个元 素是原矩阵的相应元素的导数（或积分， 或极限）；称一矩阵（包括作为特殊矩阵 的向量）函数序列是收敛（或在区间上一 致收敛）的，指的是它的相应元素做成的 函数序列是收敛（或在区间上一致收敛） 的.
解的存在性与唯一性
定理5.1 如果(NH)中的 A(x),F(x)在区 间I上连续，则对于任一 x0 I 以及 Y 任意给定的n维 0 ,向量方程组(NH)的 满足初始条件的解在区间I上存在且唯一. 证明分4步完成：1、把初值问题(NH)， 化成下述等价的积分方程组：
Y ( x) Y0 x ( A(t )Y (t ) F (t ))dt （3） x0
f i ( x, y1 , y 2 ,, y n ), (i 1,2,, n)
关于 y i 是线性的，即(1)可以写成如下形式：
一阶线性微分方程组
dy1 dx a11 ( x) y1 a12 ( x) y 2 a1n ( x) y n f1 ( x) dy2 a ( x) y a ( x) y a ( x) y f ( x) 21 1 22 2 2n n 2 dx (2) dyn a ( x) y a ( x) y a ( x) y f ( x) n1 1 n2 2 nn n n dx 则称(2)为一阶线性微分方程组.总假设(2)的系数
m ( x) m 1 ( x) x A(t )( m 1 (t ) m 2 (t )) dt
x
0
M
m
二阶线性常系数微分方程
二阶线性常系数微分方程是一类重要的数学模型，它可以用来表示一些复杂的结构。
对于非齐次线性常系数微分方程而言，通过求解一个代数方程来得到其解的过程被称为“微分”。
而在线性常系数微分方程中，当且仅当两个解相等时才能确定方程是否为线性常系数微分方程。
1：二阶线性常系数微分方程的定义二阶线性常系数微分方程是因为其解的存在性，即无穷多的不可约表示的根构成的一整颗树。
例如：z= ax+by, t∈(-1,2)则是一个由三个向量加上常数项组成的矩阵“1”与两个边长为n和2/3的三角形共线，所以第一个行向量在原点垂直向下移动到第二个行向量上时满足下面的条件：a0>b12<b≤b101x=wx+yd=alogid, x:gn=intarpq ，且e、f均取值为整数，p也可以看作常数系数。
2：解法推导过程根据解法推导过程，二阶线性常系数微分方程的求解可以归结为以下三步：1.确定特征根2.分析特征根3.寻找通解通常来说，从求出其特征根开始，通过考察该特征根是否存在于满足一定条件的矩阵中即可得到通解。
具体到这个问题上，也就是要知道如何判断一个n×m阶方阵是否是一个m-2 元组或是n×2元组组成的方阵。
在这种情况下，如果所有向量都属于某个特定值所对应的空间或者全部只包含一种类型的子集，那么就意味着它具有该类能量；反之则不具有该类能量。
3：应用实例二阶线性常系数微分方程是一个重要的数学概念，它广泛用于研究函数、力学和其他相关领域。
解法推导过程如下：一、二阶线性常系数微分方程的定义二阶线性常系数微分方程是指具有三个导数项的非齐次方程，并且所有正整数都在无穷远处有唯一实数根，这样的方程被称为“对称三对角线”的形式。
二阶线性常系数微分方程可以用两个变量来描述，第一个变量称为λk,第二个变量称为u(x)，这样的方程被称为“严格三对角线型”的形式。
二阶线性常系数微分方程通常写成：X-Δα=Aφβ+Lαβ2jβ1叫做λk′′′x1×...imθβmjlnψ3θ4-θ2-m2jω+QSC、αy+qqz+pyasihszalskife+fdigitimatesimilarity文并不是按指数衰减的类型规范化了，而是用矩阵来表示的。
《高等数学》第6章常微分方程
y x2 4 4 x2
想一想
一电机开动后,每分钟温度升高10 C,同时将按冷却定律不断发散
热量.设电机安置在15 C恒温的房子里,求电机温度与时间t的函
数关系.
6.3 二阶常系数线性微分方程
了解二阶常系数线性微分方程的 概念及分类；掌握二阶常系数齐 次、非齐次线性微分方程的求解 方法及分类；能够灵活运用公式 解决实际问题.
Cx x 1,两边积分得 : Cx 1 x 12 C.因此原方程通
2 解为 :
y
1 2
x
12
C x
12
1 2
x
14
Cx
12
(C为任意常数).
2. 求微分方程y 2 y x满足条件y2 0的特解.
x
解：先解方程y 2 y 0 dy 2 dx,两边积分得y Cx2.
方程. 这类方程的求解一般分为两步：
1 分离变量：化原方程为 dy f (x)dx的形式；
g( y)
2 两边积分： gd(yy) f (x)dx得到x与y的一个关系式,即通解.
例题
1. 求微分方程 dy 2xy的通解.
dx
解：分离变量为dy
y
2 xdx, 两边积分得
dy y
2xdx ln
同时,C1,C2为任意常数,故y C1ex C2e2x是微分方程的通解.
将条件代入通解中, 得CC11
C2 0 2C2 1
CC12
1 .
1
故所求特解为： y ex e2x.
想一想
建设绿地、防止土地沙漠化的环保意识已成为人 们的共识.现已查明，有一块土地正在沙化，并且 沙化的数量正在增加，其增加的速率与剩下的绿地 数量成正比.有统计得知，每年沙化土地的增长率 是绿地的 1 ，现有土地10万亩，试求沙化土地与
6-4二阶常系数线性微分方程
的通解,则
y Y(x) y*(x)
②
是非齐次方程①的通解 .
定理 4.
是二阶非齐次线性方程的
y p(x) y q(x) y f (x)
两个解, 则 y y2( x) y1( x) 是该它对应的齐次方程
的解.
y p(x) y q(x) y 0
(1) 当 r1 r2 时, 通解为 y C 1 er1 x C 2 er2 x
(2) 当 r1 r2 时, 通解为 y (C 1 C 2 x )er1 x
(3) 当 r1,2 i 时, 通解为
y e x (C 1 cos x C 2 sin x)
三、二阶常系数非齐次线性方程解的结构
k的取值分下面三种情况： (1) 当λ不是特征方程的根时，取k=0;
(2) 当λ是特征方程的根，但不是重根时，取k=1;
(3) 当λ是特征方程的重根时，取k=2.
例1.
的通解.
解:易求 y y 0 的特征方程
的特征根为
1 1, 2 1. 本题取λ=0. λ=0不是特征方程的根，
故取k=0. 设所求特解为
一、f ( x) e x Pn ( x) 型 y p y q y f ( x) (1)
为实数 , Pn( x)为 n 次多项式 .
Pn x a0 xn a1xn-1 an-1x an
可以证明方程(1)的特解具有形式
y* xk e x Qn ( x) ,
其中 Qn ( x) 是一个与 Pn(x)具有相同次数的多项式，
转化
求特征方程(代数方程)之根
对于二阶常系数齐次线性方程 ①
和它的导数只差常数因子,
所以令①的解为 y er x ( r 为待定常数 ), 代入①得
第五节 二阶常系数线性微分方程
(C ) C1 y1 C 2 y 2 ( 1 C1 C 2 ) y 3 ;
(89 考研 )
例3.已知微分方程 y p( x ) y q( x ) y f ( x ) 有三
x 2x y x , y e , y e , 求此方程满足初始条件 个解 1 2 3
第五节 二阶常系数线性 微分方程
二阶线性微分方程解的结构 常系数齐次线性微分方程的解 常系数非齐次线性微分方程的解
一、二阶线性微分方程解的结构 1、二阶线性微分方程
特点：关于未知函数及其各阶导数都是一次的. 1． n 阶线性微分方程的一般形式：
y
( n)
p1 ( x ) y
( n 1 )
y Y
y*
非齐次方程特解
对应齐次方程通解
关键: 求特解y*.
求特解的方法 — 待定系数法： 1. 根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式；
2. 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
1、
f ( x ) e λ x Pm ( x ) 型
其中 为实数 ,
Pm ( x ) 为已知 m 次多项式 .
有特征重根：r1 r2 1 ,
t s ( C C t ) e 因此原方程的通解为 1 2
利用初始条件得
C1 4,
C2 2
于是所求初值问题的解为
例3. 求方程 y 2 y 5 y 0 的通解.
解： 特征方程为 r 2r 5 0 ,
2
2 4 20 1 2i , r1， 2 2 故所求通解为 y e x (C1 cos 2 x C2 sin 2 x ).
常微分方程
解的结构与性质
非非⻬齐次通解结构 特解相加（叠加原理理）
特解相减
⻬齐次的通解（公式）
非非⻬齐次的通解（特解公式）（两种）
n阶⻬齐次（注意根据特征根来判断通解）（4种 情况）
欧拉（形式）（分x大大于0与x小小于0）
翻译成数学表达式
常微分方方程
概念 一一阶微分方方程 高高阶微分方方程 应用用
微分方方程
常微分方方程
偏微分方方程
阶数
解
通解与特解
初始条件
可分离变量量
可f(ax+by+c)
一一阶线性
伯努利利方方程
全微分方方程
二二阶可降阶型
缺x型 缺y型
概念
常系数与变系数 ⻬齐次与非非⻬齐次
⻬齐次的通解结构
齐次线性常微分方程通解结构定理注记
的 个 线 性无关 的解 ， 则方 程 （ １ ）的通 解可 表示 为
Ｃ ｎ ｚ （ ￡ ） （ 口≤ ｔ ≤ ６ ） ， （ ２ ）
Ｊ ＜
… … …… Ｊ
ｚ ” ｌ （ 口 ≤ ， ≤ ｓ ｈ （ Ｊ ． Ｉ ４ ） Ｊ
（ ｔ ｏ ），
其中 Ｃ ， ｃ ： ， …， Ｃ 是任意 常 数． 且 通解 （ ２ ） 包 括 了方 程（ １ ）的所有 解 ． 注 ｌ 关于该定理第一部分 ， 即式 （ ２ ）为 方 程 （ １ ）的通 解 证 明 ， 由叠 加 原理 及 线 性 无 关 定 义 很 容
一 １ １ （ ）４ － ２ ｚ２ （ ）４ － … ＋
是方程（ １ ）的特解 不但 可 以 由初值条 件
ｆ ｚ（ － ￡ 。 ）一 ｚ。 ，
（ ￡ ） （ ｎ≤ ｔ ≤ ６ ） ．
』 ＜ ｚ ， （
Ｊ ‘ ’ ‘
’ ’ ‘ 。
， Ｉ （ 口 ≤ ｓ 、 ｓ ｔ ｏ ≤ 、 ６ ｎ ） Ｊ 【 （ ３ １ ） Ｊ
第１ ６卷 第 ３ 期
２ ０ １ ３年 ５月
高 等 数 学 研 究
Ｓ Ｔ Ｕ ＤＩ ＥＳ Ｉ Ｎ ＣＯＬＬＥＧ Ｅ Ｍ Ａ ＴＨ ＥＭ ＡＴ Ｉ ＣＳ
ＶＯ１ ．１ ６， ＮＯ ．３ Ｍａ ｙ， ２ ０１ ３
齐 次 线 性 常微 分 方 程 通 解 结 构 定 理 注 记
易得到， 不 再 赘 述． 而对 定 理第 二部 分 ， 即通 解 （ ２ ）
ｌ ｚ‘ ’ （ ０ ）一 （ ｚ （ ） ）
则 可得 到关 于 ｆ ， ｃ ， …， Ｃ 的线性 代数 方程 组
ｆ ＇ ｃ １ Ｉ ｚ １ （ ｔ ０ ）４ － … ＋ Ｃ ｎ ｚ （ ｔ ０ ） 一
二阶常系数齐次线性微分方程
因r 是特征方程(2)的二重根 故 1 是特征方程( )的二重根,
r + pr + q = 0, 且 2r + p = 0, 1 1
2 1
′ 于是有 u′ = 0. 故取
即得方程( ) u = x, 即得方程(1)的另一根 rx y2 = xe .
1
从而得到方程( ) 从而得到方程(1)的通解为
y = ( C1 + C2 x) e .
y = (C1 + C 2 x )e 2 x . 故所求通解为
内容小结
y′′ + p y′ + q y = 0 ( p, q 为 数) 常 特征根: 特征根 r1 , r2
(1) 当 r1 ≠ r2 时, 通解为 y = C1 e
r1 x
+ C2 e
r2 x
(2) 当 r1 = r2 时, 通解为 y = (C1 + C 2 x ) e (3) 当 r1,2 = α ± β i 时, 通解为
y = C1 y1 + C2 y2
也是方程( )的解. 也是方程(1)的解
是方程( )的解, 证 因 y1, y2 是方程(1)的解 即有 及 从而
′′ ′ y1 + py1 + qy1 = 0,
′′ ′ y2 + py2 + qy2 = 0,
( C1 y1 + C2 y2 )′′ + p( C1 y1 + C2 y2 )′ + q( C1 y1 + C2 y2 )
为此令 y2 = u( x) er1x , 对 y2 求导得
( u′′ + 2ru′ + r2u) + p( u′ + ru) + qu = 0, e 1 1 1 即 u′′ + ( 2r + p) u′ + ( r2 + pr + q) u = 0. 1 1 1
常微分方程第三章习题解答
例题选讲
例1 证明方程(3.2)的线性无关解的个数不超 过n+1.它存在n+1个线性无关解吗?
证明 如果方程(3.2)有n+2个线性无关解:
Y1( x),K,Yn+2 ( x)
则Y1( x) − Yn+2 ( x),Y2 ( x) − Yn+2 ( x),K,Yn+1( x) − Yn+2 ( x)是方程(3.1) 的n + 1个解.由齐次线性方程组解的 结构知,这n + 1个解必然线性 相关, 于是, 存在不全为零的常数 C1 ,K, Cn+1使得 C1[Y1( x) − Yn+2 ( x)] + C2[Y2 ( x) − Yn+2 ( x)] + K + Cn+1[Yn+1( x) − Yn+2 ( x)] = 0
其中A是n× n实矩阵.
(b). 如果λ是矩阵 A的k重单特征根 , 则(3.3)有形式为
P( x)eλx的解 , 其中, P( x)是次数不超过 k − 1的多项式 向量函数 .
(c). 如果λ是矩阵A的k重特征根,则方程(3.3)存在
k个线性无关解
Y = ( R0 + R1 x + L + Rk−1 x k−1 )eλx 其中, R0 , R1 ,K, Rk−1由下列方程确定
x
+
1
⎜⎛ ⎜
−
1 1
1 −1
2 ⎟⎞2 − 2 ⎟ x2]
⎜⎝ 0 0 1⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0⎟⎠ 2 ⎜⎝ 0 0 0⎟⎠
⎜⎛1 0 0⎟⎞ ⎜⎛ x x 2x ⎟⎞ = e x[⎜ 0 0 1⎟ + ⎜ − x − x − 2x ⎟]
二阶线性常微分方程的解的结构
二阶线性常微分方程的解的结构 二阶线性常系数微分方程的解的求法二阶线性常微分方程：y ’’+p(x)y ’+q(x)y=r(x) p(x)、q(x)、r(x)是区间I 上的已知函数 y ’’+p(x)y ’+q(x)y=0 齐次 y ’’+p(x)y ’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0, 非齐次【一】对齐次方程：y ’’+p(x)y ’+q(x)y=01.若y 1(x)和y 2(x)都是上述齐次方程的解，则C 1y 1(x)+C 2y 2（x ）仍是上述方程的解.2.若y 1(x)和y 2(x)在区间I 上线性无关，即αy 1(x)+βy 2(x)=0仅当α=β=0时成立， 则y=C 1y 1(x)+C 2y 2（x ）即是y ’’+p(x)y ’+q(x)y=0的通解。
【y ’’+p(x)y ’+q(x)y=0的任何一个解可表示成y=C 1y 1(x)+C 2y 2（x ）的形式】由上述1和2，求y ’’+p(x)y ’+q(x)y=0的通解，只需找到两个其两个线性无关的特解.【二】对非齐次方程：y ’’+p(x)y ’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0y*(x)是其一y ’’+p(x)y ’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0的一个特解Y(x)是对应齐次方程y ’’+p(x)y ’+q(x)y=0的某个解则1）y*’’+py*’+qy*=r 2) y ’’+py ’+qy=r两式相减：（y-y*）’’ + p(y-y*) ‘+q(y-y*)=0记Y=y-y*,则Y 是对应齐次方程y ’’+p(x)y ’+q(x)y=0的通解 y=y*+Y即：y ’’+p(x)y ’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0的任何一个解y(x)都可以表示为：y(x)=y*(x)+Y(x) 即：非齐次方程的通解=非齐次方程的一个特解+对应其次方程的通解.如何求二阶线性常系数齐次微分方程y ’’+p(x)y ’+q(x)y=0 的通解？设y(x)是 y ’’+p(x)y ’+q(x)y=0 的解，p 、q 均为常数 则在I 内y ’’(x)+py ’(x)+qy(x)=0,恒成立所以y ’、py ’、qy 必须能够抵消掉，即y 、y ’、y ’’必须是同一类型的函数. 只能是指数函数令kxe =y 是方程y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数）的解 即0k 2≡++kxe q pk ）（，可得02=++q pk k02=++q pk k 是一个一元二次方程，称为y ’’+py ’+qy=0的特征方程解一元二次方程得.24,24k 2221q p p k q p p ---=-+-=则与k 1k 2对应的.,y 2121xk xk e y e ==必是y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数）的解但是.,y 2121xk xk e y e ==是否线性无关？【能否构成通解y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数）】 分类讨论： 1.04p 2>-q即k 1k 2是两个不等实根，且常数≠=-)(2121e x k x k x k x k e e ，即.,y 2121xk x k e y e ==线性无关所以x k xk e C eC 2121y +=2.04p 2<-q.,k 21βαβα-=+=k i 是一对共轭的复根则)s i n (c o s )()s i n (c o s )()(2)(121x i x e eex y x i x e e e x y xxi xk x x i x k -===+===-+ββαβααβα 线性无关复函数用起来不方便，不用其来构造y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数）的通解取其线性组合：x e e e ix yx e e e x yx x k x k x x k xk ββααsin )(21)(ˆcos )(21)(ˆ212121=-==+=)(y ˆ),(yˆ21x x 是y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数）的解，且)(y ˆ),(y ˆ21x x 线性无关. y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数）的通解：)sin cos ()(21x C x C e x y xββα+= 3.042=-q p此时k 1=k 2，即重根，记重根为k ，kxe x =)(y 1必是y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数）的一个解 求通解，只需再找一个与kxe x =)(y 1线性无关的解.将上述这个解表示成为待定函数但非常数)(,)(y x u e x u kx=，代入y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数），得到0])(')2(''[e 2=++++++u q pk k u p k u kx ，)2,0(k 212pk k q pk -===++ 所以u ’’=0.取u(x)=x,则得到y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数）的另一个解kxxe y = 此时y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数）的通解为kx e x C C x )()(y 21+=如何求二阶线性常系数非齐次微分方程y ’’+p(x)y ’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0的通解？由刚开始的分析，只需求出它的一个特解y*(x)设齐次方程通解为)()()(2211x y C x y C x y +=，)()(y 21x y x 、是齐次方程的两个线性无关解 设非齐次方程有一个形如)()()()()(2211*x y x C x y x C x y +=的解.上一行中的21,C C 已变易为待定函数接下来的任务是选择)(),(21x C x C ，使)()()()()(2211*x y x C x y x C x y +=是y ’’+p(x)y ’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0的一个解将)()()()()(2211*x y x C x y x C x y +=代入y ’’+p(x)y ’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0中得到：()()()()()()()()()x y x C x y x C x y x C x y x C x '''''y 22112211*+++=因为只要求出一个特解，即只要确定一组函数)(),(21x C x C ，我们就有比较大的自由度对)(),(21x C x C 加以限制，如选择)(),(21x C x C 使()()()()0''2211=+x y x C x y x C这样，()()()()()()()()()()()()()()x y x C x y x C x y x C x y x C x x y x C x y x C x 22112211*2211*'''''''''y'''y'+++=+=将()()()()()()()()()()()()()()()()()()()x y x C x y x C x y x C x y x C x x y x C x y x C x x y x C x y x C x 22112211*2211*2211*'''''''''y'''y'y +++=+=+=代入y ’’+p(x)y ’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0()()()()()()()()()()()()()()()()()()()x r x y x C x y x C q x y x C x y x C p x y x C x y x C x y x C x y x C =+++++++2211221122112211''''''''''()()x x 21y ,y 都是齐次方程的解，可将上式化简为()()()()()x r x y x C x y x C =+2211''()()()()0''2211=+x y x C x y x C 与()()()()()x r x y x C x y x C =+2211''是关于()()x C x C 21,的线性代数方程组，解之，得()()()()()()()()()()()()()()()()x y x y x y x y x r x y x y x C x y x y x y x y x y x r x y x C 21211122121221'''0','''0'==再积一次分即可求出()()x C x C 21,.这就是参数变易法求二阶线性常系数非齐次微分方程.。
高等数学知识结构框架
高等数学知识结构框架高等数学是大学数学的一门基础课程，它主要包括微积分和数学分析两个部分。
微积分主要研究函数、极限、导数、积分、微分方程等概念和方法；数学分析主要研究实数集、极限、连续性、一致连续性、可导性、不定积分、定积分、级数等概念和问题。
以下是高等数学中比较重要的知识结构框架及相关参考内容：一、函数与极限1. 函数的概念、基本初等函数以及函数的性质：韦达定理、复合函数、反函数等。
2. 极限的概念和性质：数列极限、函数极限、极限存在准则等。
3. 极限的计算方法：夹逼准则、单调有界数列的极限、洛必达法则等。
4. 无穷小量与无穷大量的定义与比较：无穷小量的阶、无穷大量的比较等。
二、导数与微分1. 导数的定义、性质和计算方法：导数的定义、导数的四则运算、高阶导数、隐函数与参数方程的导数等。
2. 函数的几何意义与微分中值定理：函数的单调性与极值点、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。
3. 函数的图形与曲率：函数的图形、曲率、凹凸性与拐点。
三、不定积分与定积分1. 不定积分的定义与性质：原函数与不定积分的概念、基本积分表、换元积分法、分部积分法等。
2. 定积分的概念与性质：黎曼和与定积分的定义、定积分的性质、牛顿-莱布尼茨公式等。
3. 定积分的计算方法：变上限积分法、变量替换法、分段函数积分法等。
四、微分方程1. 常微分方程的基本概念与解法：一阶微分方程的基本概念、可分离变量方程、齐次方程、一阶线性非齐次方程等。
2. 高阶线性常微分方程的解法：二阶常系数齐次线性方程、二阶常系数非齐次线性方程、欧拉方程等。
五、级数1. 数列与级数：数列的极限、数列极限收敛性的准则、常数项级数、幂级数等。
2. 一致收敛性与函数级数：一致收敛性的概念、一致收敛级数的性质、Weierstrass判别法、Abel判别法、幂级数的收敛半径等。
以上是高等数学中较为重要的知识结构框架及相关参考内容，希望能为学习者提供一定的参考和指导。
江苏专转本高等数学 常微分方程 例题加习题
- 142 -第五章 常微分方程（简记ODE ）本章主要知识点● 可分离变量的ODE● 一阶线性非齐次常微分方程及推广● 二阶常系数线性齐次与非齐次常微分方程● 一些特殊类方程一、可分离变量的ODE1．基本型的解法 基本型：()()dy G x H y dx= 基本解法： ()()dy G x dx H y = ()()dy G x dx H y =⎰⎰例5.1．1)0(,==-y e dx dy y x 解：dx e dy e xy =⎰⎰=dx e dy e x y通解为：c e e x y += 将1,0==y x 得： 1-=e c 得 1-+=e e e x y例5.2．(1)ln y y y xdx '+= 解：(1)ln y dy xdx y+= 1(1)ln dy xdx y +=⎰⎰，- 143 -得：ln ||ln y y x x x C +=-+例5.3．dxy x dy y x )1()1(122+=+- 解：dx x x y dy y 2211)1(-=++，2(1)1y dy y +=+⎰ 得：()21arctan ln 12y y C ++= 例5.4．已知()f x 满足0()(1)()1x f t dt x f x +-=⎰，求()f x 。
解：由0()(1)()1xf t dt x f x +-=⎰知(0)1f =-。
方程两边对x 求导得()()(1)()0f x f x x f x '++-=，分离变量求得2()(1)c f x x =-， 将(0)1f =-代入得1c =-，21()(1)f x x =--。
2．可转化的可分离变量的齐次方程 ()x y f y'= 方法：令()y p y p x x y p xp x''=⇒=⇒=+ xdx p p f dp p f dx dp x p =-⇒=+⇒)()(。
例5.5．y x y x dx dy +-= 解：xyx ydx dy +-=11 令p p dx dp x p xp p y px y x y p +-=+⇒+=⇒=⇒=11'', pp p p p p dx dp x +--=-+-=⇒121112- 144 -x dx p p dp p =--+⇒221)1( xdx p dp p =+-+⇒⎰2)1(2)1( C x p p +=---⇒ln 21ln 212， 将x y p =代入即可。
《高等数学》第三节 二阶常系数线性微分方程
二阶常系数线性微分方程
一、二阶线性微分方程解的结构 二、二阶常系数线性齐次微分方程的解法 三、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法
一、二阶线性微分方程解的结构
形如 y'' P( x) y' Q( x) y f ( x)
(1)
的方程，称为二阶线性微分方程.当 f ( x) 0 时，
把它们分别代入所给方程左端，得 e x e x 2e x 0, 4e 2 x 2e 2 x 2e 2 x 0，
故y1 ( x) e x与y2 ( x) e 2 x 都是原方程的解.
y 2 ( x) e x 2 x e 3 x 常数， y1 ( x) e
0，
即
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)满足方程(3)，
所以它是方程(3)的解.
这个定理表明，二阶线性齐次微分方程任何两 个解y1(x)， y2(x)的线性组合 C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) ，仍 是方程的解.那么，y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 是不是方程 (3)的通解呢？
成立，则称函数y1(x) 与y2(x) 在该区间内线性相关，
否则称y1(x) 与y2(x) 线性无关.
定理 如果函数y1(x) 与y2(x)是二阶常系数线性齐次微 分方程(3)的两个线性无关的特解，则
y C1 y1 ( x) C2 y 2 ( x) (C1 , C2为任意常数)
就是方程(3)的通解.
也是它的解.但这个解中只含有一个任意常数C，显 然它不是所给方程的通解.
问题：方程(3)的两个特解y1(x)， y2(x)满足什么条件时，
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) (C1，C2为任意常数)
常微分方程的基本概念
考点：常微分方程的基本概念【☆☆☆☆☆】1•微分方程：含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程.若未知函数是一元函数，则称为常微分方程；若未知函数是多元函数，则称为偏微分方程.考題链接：例:y*=x, y* + x + 3y = 2, xdy + yclx = 02•阶：未知函数的最高阶导数的阶数.考题链接：例：微分方程+)(-心=0的阶数是()A.lB.2C.3D.43.性微分方程：Z)(x)-y + /1(x)-/ + /2(x)-/+... +/…(x)-y w = /(x)考题链接：例：判断下列函数是否为线性方程.(1 ) x +(2) y = A2 + y + sinx(3 ) y r-A-l-siny = 0(4)y n- yy* = x2(5)(y)2 =3x + y4.解：若y =(p(x)代入方程成为恒等式，则称y =(p(x)为方程的一个解.(1)通解：含有相互独立(不能合并，)，=6> +。
2工与y = + )的任意常数, 且任意常数的个数与方程的阶数相同的微分方程的解.(2)特解：不含任意常数的解.例1:某二阶常微分方程的下列解中为通解的是()C. y = sinx + cosxD. y = (C, +C2)cosxA. y = C sin xB.y = C{ sin x + C, cos x例2:函数y = Csinx （其中C为任意常数）是微分方程<+y= 0的（）A.通解B.特解C.解D.不是解例3:已知微分方程y，+ ay = e x的一个特解为y = xe x , Pl1, a = _____ .考点：可分离变量的微分方程【☆☆☆☆☆】< 1）标准形式：/（y）dy = g（x）dx（2）解法：①分离变量，化为标准形式；②两边同时积分.例1:微分方程- + ^ = 0的通解是（）y xA.x2 + y2=25B.3x + 4y = CC.x2 + y2 =CD. y2 -x2 =7例2:方程sec2x tan ydx + sec2 ytan xdy = 0 的通解为__________ ・例3:微分方程dy-2xy2dx = Q满足条件y（l） = -l的特解是（）A・y = r B. y =——C・y-x2D・ y = -x2考点：齐次方程【☆☆☆☆☆】（1）标准形式：y = f[^考题链接：例：= x4-y2不是xy=A-2+/ 是（2）解法：①化为标准形式；②令“=上，代入方程消去〃X③化为X与"的可分离变量的微分方程，求解.例:求xy f-xsin丄- y = 0的通解.x・考点：一阶线性微分方程【☆☆☆☆☆】（1）标准形式：y f + P（x）y = Q（x）（2）解法：①化为标准形式；②套公式尸e卯（胆（沪％ + C）注：在此公式中，解不定积分时，不加绝对值，也不加任意常数C.例：解方程xy f - y = x3・考点：二阶常系数非齐次线性微分方程y^py^qy = .f(x)【☆☆☆☆☆】1.解的结构定理y"+"(x)y'+g⑴y=o (齐次) ............. ①y" + P(X)/ + q(A)>• = /(x)(非齐次) ....... ②若y(x)是①的通解，/(X)是②的特解，则r(x) + /(x)为②的通解.2•写出特解形式‘0兄不是特征根①若y(x) = £,(x)/“，特解形式应设为〉「=兀乜(人片，其中打1几是单根2兄是重根例1.用待定系数法求方程y"-4F + 4y =(2x + l)0的特解时，特解应设为____________ . 例2.微分方程y" + y-2y = x严的特解用特定系数法可设为()A.才=x(ax^b)e~xB.才=x2(ax^b)e^1C.y・=(Q + b)kD・ y* = axe^例3.微分方程y" + y' = xe~x的特解形式应设为〉「=()A. + 厂B. ax + bC・(Q + b)严D・ F (or + b)严例4.对于微分方程_y*-2y = x2利用待定系数法求特解y•时，下列特解设法正确的是()A.才=ax2 +bx + cB. y* =x2((vc2 +hx + c)C・ y* =x(ax + /?) D・ / =x(av2 +Zzx +c)②若 f (^) = (C cos a)x 4- Dsin a)x)e Xx,特解形式应设为y* = x k(Acosty.¥ + Bsin cox)e^x,其= A±coi不是特征根[1 A±coi是特征根考题链接：例1：微分方程y*+ y = sinx + cosx特解形式应设为_/= ______例2:微分方程y* + 3y' + 2y = e~x cos x特解形式应设为y'=(A. Ce x cos xB. e' (C] cos x + C, sin A )C.xe x(C] cos x + C2 sin A )D. x'e'(C, cos x + C2 sin A )3•求通解①求出与其对应的齐次方程＞■* + py* + qy = 0的通解Y；②利用待定系数法求出非齐次的一个特解)「；③写出非齐次的通解y = Y + y.—(X)型解法：作”次不定积分考题链接：例：微分方程＞•* = 24x通解为______ •2./=/(x, y)型解法：令y=P,两边对x求导，＞，“=//,然后代入原方程，转化为一阶微分方程求解.例：微分方程+ y = 的通解为.3-/ = /(y＞ V)型解法：令/=/；,两边对X求导，卄业=也虫=p也,然后代入原方程，转化dx (ly dxdy为一阶微分方程求解.例：求微分方程y/-(/)2= 0的通解.考点：二阶常系数齐次线性微分方程【☆☆☆☆☆】1•解的结构定理：若x(x),)，2(x)都是方程y" +p(x)y' + "(x)y = 0 的解，则线性组合C]^ +C2y2 ( C{, C2 为任意常数)仍为它的解•若y,(A＞儿(勿线性无关(儿工辎("0)),则c』+c*2 为它的通解.2 •求通解：①写出相应的特征方程厂+ /"• + g = 0②求出特征根＜1③写出通解.通解形式：不同实根“牛，y = + G严重根斤=乙=八y = c x e rx + C2xe n共麵复根r l2=a± pi, y = e ax (C, cos fix + C2 sin fix)例1:微分方程/ + 2/ + y = 0的通解为（）B・G+q严C.C{e^ + C2e^ 例2:微分方程/-4y= 0的通解为（）A. y = C{e2x + C严B.y = （C, + C2x）e2tC. y = G + C2e2xD. y = C} cos 2A + C2 sin 2x例3:求微分方程2空+ 4空+ 3y = 0的通解.dx^ （lx3•已知通解，反求微分方程①找出特征根；②写出特征方程；③写出微分方程.考題链接：例1:通解为＞' = C,^+C2^ （为任意常数）的二阶线性常系数齐次微分方程为例2.以y = 为通解的二阶常系数线性齐次微分方程为,考点：空间直角坐标系【☆☆☆☆☆】1•空间直角坐标系三个坐标轴：X轴（横轴），尹轴（纵轴），Z轴（竖轴），它们的正向满足右手法则三个坐标平面八个卦限2.空间內点的坐标（x, >•, z）（1）坐标轴上的点：x 轴（x, 0, 0）, y 轴（0, y, 0）, z 轴（0, 0, z）（2）坐标平面上的点：X0；平面（兀，y, 0）, yOz -面（0, y, z）, xOz平面（x, 0, z）3•两点间的距离MJ® _v,, zj, A/:（X2,儿，阿函』=- x+ （儿一）J + （E - z J考点：向量的概念【☆☆☆☆☆】（1）向量的定义：既有大小又有方向的量.（2）向量的表示方法①坐标表不：“ = （"<‘ “、.，«.）已知人（召，y（, zj, B（X2, y2, z2）,则人〃=（吃一召，y2 - y e z2-z x Y②向量表不：a = a x i + a y j + a; k其中分别为沿坐标轴x, y, z正向的单位向量,即7 = （1,0,0）,J = （O,l,0）,jl =（0,0,1）（3）向量的横：“ =考题链接：例：向量a = 3i + 4j-k的模0= ________ .（4）单位向量：模长为1的向量.（5）单位化：4（6）方向角与方向余弦①方向角：非零向量"与三条坐标轴的夹角8卩、丫称为向量2的方向角. a, 0, /e[Ot 刃②方向余弦：coscr = *,cos0 =丄,cosy =二,cos2a + cos2 0 + cos2y = 1ci a a例1:已知两点A（2,2,>/2）和B（l, 3, 0）计算向量AP的模、方向余弦和左向角.例2：下列各组角中，可以作为向量的一组方向角的是（）A 7t 7T nrv TC JT 7t厂< 71 7C龙TC2JL.—♦— 9 —JO • —9 ~~ 9 ~~ • — f ~- JLx • — f — f —4 4 6 4 3 2 4 3 4 4 3 3考点：向量的线性运算【☆☆☆☆☆】（1 ）“±b = {y a ±b 9 a土〃.}（2 ）Au =（入心加、，入I） 9久“与"平行.定理：厶//"Ob = 2"O* = —=奴乞竹 6考题链接：例：已知向量厶={5,兀-2}和/； = {”6,4}平行，则X和y的值分别为_______ ・考点：向量的数量积（点积、内积）（1）定义：ab= a b cos a,h = a b cos 6（2 ）计算：a b=a x b x +。
微分方程解的结构总结
微分方程解的结构总结一、常微分方程的解的结构常微分方程是指只涉及一个未知函数及其导数的微分方程。
在常微分方程的解的结构方面，我们有以下几个重要结论：1. 叠加原理：如果一个常微分方程有两个解，那么它们的线性组合也是该方程的解。
这意味着我们可以通过已知的解构造出新的解。
2. 初始条件的影响：常微分方程通常需要给定初始条件才能确定特定的解。
不同的初始条件会得到不同的解，这反映了解的结构的多样性。
3. 解的存在唯一性：对于某些常微分方程，解的存在唯一性是成立的，也就是说只有一个解满足给定的初始条件。
这种情况下，解的结构相对简单明确。
二、线性微分方程的解的结构线性微分方程是指未知函数及其导数的线性组合等于已知函数的微分方程。
线性微分方程的解的结构更加复杂，我们有以下重要结论：1. 叠加原理：对于线性微分方程，它的解也满足叠加原理。
如果一个线性微分方程有两个解，那么它们的线性组合也是该方程的解。
2. 齐次线性微分方程的解的线性空间性质：齐次线性微分方程是指其右端项为零的线性微分方程。
对于齐次线性微分方程，它的解构成一个线性空间。
这意味着我们可以通过已知的解构造出线性空间中的其他解。
3. 非齐次线性微分方程的解的结构：非齐次线性微分方程是指其右端项不为零的线性微分方程。
对于非齐次线性微分方程，它的解由齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解之和构成。
这可以通过叠加原理和线性空间性质得出。
三、特殊微分方程的解的结构除了常微分方程和线性微分方程外，还有一些特殊的微分方程，它们的解的结构也有一些特殊性质：1. 可分离变量的微分方程：可分离变量的微分方程可以通过分离变量的方法求解。
解的结构相对简单，可以通过分离变量再积分得到。
2. 齐次微分方程：齐次微分方程的右端项可以通过变量替换转化为常数项，从而得到其解的结构。
3. 一阶线性微分方程：一阶线性微分方程可以通过积分因子法求解。
解的结构可以通过积分因子的选择和积分的方法得到。
一、二阶常系数线性非齐次微分方程解的概念与结构.
比较两端 x 同次幂的系数，有
A 1, 4 A B 0, 2 A 2 B C 0.
解得
A = 1，B = 4，C = 6.
故所求特解为
y* x 2 4 x 6.
例6
求方程 y + y = x3 – x + 1 的一个特解.
解 因为自由项 f (x) = x3 – x + 1 是一个 x 的三 次多项式， 且 y 的系数 q = 0， p = 1 0，取 k = 1.
是两个不相等的实根. 所以方程的通解为
x C1e
( n n 2 w 2 ) t
C 2e
( n n 2 w 2 ) t
.
2 临界阻尼情形，即 n = w.
这时，特征根 r1 = r2 = - n，所以方程的通解为
x (C1 C2 t )e
nt
.
3 小阻尼情形，即 n < w . 这时，特征根为共轭复数 n w 2 n2i , 所以方程的通解为
一二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构一二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构形如的方程称为二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次方程的解的结构二阶常系数线性非齐次方程的解的结构因为方程中pq均为常数且多项式的导数仍为多项式所以可设式的特解为其中qbxax所以设特解为比较两端xcxbxaxcxbxaxbxax所以设方程的特解为比较两端x同次幂的系数
称为振动的微分方程， 是一个二阶常系数线性齐次 方程， 它的特征方程为 r2 + 2nr + w2 = 0， 其根为
r1, 2 n n 2 w 2 .
由题意列出初始条件
x |t 0 x 0 , dx 0 , dt t 0
二阶常系数线性微分方程
可设 Q( x) = x2Qm ( x), y = x2Qm ( x)ex .
综上讨论 设 y = xkexQm ( x) ,
0 不是根 k = 1 是单根,
2 是重根
例5 求方程 y − 3 y + 2 y = xe2x 的通解.
解 特征方程 r 2 − 3r + 2 = 0,
特征根 r1 = 1，r2 = 2，
故所求通解为 y = (C1 + C2 x)e−2x .
例3 求方程 y + 2 y + 5 y = 0 的通解. 解 特征方程为 r 2 + 2r + 5 = 0 ,
解得 r1，2 = −1 2i ,
故所求通解为 y = e−x (C1 cos 2x + C2 sin 2x).
例 4 求微分方程 y − 2y −8y = 0 的通解
m = maxl, n，
特别地
0 k = 1
i不是根 i是单根.
当f ( x) = Aex cosx或Bex sin x时
设y = xkex[D1 cosx + D2 sinx]
例7 求方程 y + y − 2 y = −2sin x 的通解.
解 对应齐次方程通解 Y = C1e x + C2e−2x ,
2) 有两个相等的实根( = 0)
特征根为
p r1 = r2 = − 2 ,
一特解为 y1 = e r1x ,
设另一特解为 y2 = u( x)er1x ,
将 y2 ，y2 ，y2 代入原方程并化简，
u + (2r1 + p)u + (r12 + pr1 + q)u = 0,
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1 x cos 2x 4 sin 2x (4 cos 2x 1 x sin 2x)i,
3
9
9
3
所求非齐方程特解为 y 1 x cos 2x 4 sin 2x,
3
9（取实部）
原方程通解为
y
C1
cos
x
C
2
sin
x
1 3
x
cos
2x4 9sin2x
.
注意 Aex cosx, Aex sinx
定理9.1 设 y1( x), y2( x)是方程 y py qy 0 的两个 线性无关的解，则
y( x) C1 y1( x) C2 y2( x)
是方程的通解，其中 C1, C2 为任意常数.
二阶常系数齐次线性方程解法
y py qy 0
r 2 pr q 0
综上讨论 设 y* xke xQn( x) ,
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
特别地 y py qy Aex
2
A
p
q
e
x
,
不是特征方程的根
y*
A xe x
2 p
是特征方程的单根 ,
A x2ex 2
是特征方程的重根
例1 求方程 y 3 y 2 y xe2x 的通解.
解 特征方程 r 2 3r 2 0,
特征根 r1 1，r2 2，
对应齐次方程通解 Y C1e x C2e2x ,
2 是单根，设 y x( Ax B)e2x ,
代入方程, 得 2Ax B 2A x
2. y py qy Pn( x)ex
设非齐方程特解为 y* Q( x)e x 代入原方程
Q( x) (2 p)Q( x) ( 2 p q)Q( x) Pn( x)
(1) 若不是特征方程的根，2 p q 0,
可设 Q( x) Qn( x), y* Qn( x)e x;
2i 不是特征方程的根, 设 y* ( Ax B)e2ix , 代入辅助方程
4Ai 3B 0 3A 1
A 1，B 4 i,
3
9
y* ( 1 x 4 i)e2ix , 39
( 1 x 4 i)(cos 2x i sin 2x) 39
常见类型 Pn( x), Pn( x)ex ,
e x ( A1 cos x A2 sin x)
难点：如何求特解？ 方法：待定系数法.
1. y py qy Pn( x)
设非齐方程特解为 y* 为多项式 Q( x)， 代入方程
Q( x) pQ( x) qQ( x) Pn( x)
Q( x) pQ( x) qQ( x) Pn( x)
q 0 时， Q( x) a0 xn a1xn1 L an1 x an 其中 a0, a1,L ,an 为待定系数. q 0 , p 0 时， 可设
Q( x) a0 xn1 a1xn L an1x2 an x q 0 , p 0 时， 方程通解可由 y Pn( x) 直接积分得到.
分别是 Ae(i )x 的实部和虚部.
例4 求方程 y y tan x 的通解.
解 对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x, 用常数变易法求非齐方程通解
设 y c1( x)cos x c2 ( x)sin x,
w( x) 1,
c1( x) c2( x)
所求非齐方程特解为 y 2x cos x, （取虚部）
原方程通解为 y C1 cos x C2 sin x 2x cos x.
例3 求方程 y y x cos 2x 的通解.
解 对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x, 作辅助方程 y y xe2ix ,
的待定特解的形式.
思考题解答
设 y 4 y 4 y 6x2 的特解为 y1* 设 y 4 y 4 y 8e2x 的特解为 y2* 则所求特解为 y* y1* y2* r 2 4r 4 0 特征根 r1,2 2 y1* Ax2 Bx C y2* Dx2e2x（重根） y* y1* y2* Ax2 Bx C Dx2e2x .
特征根为
p r1 r2 2 ,
一特解为 y1 e r1x ,
另一特解
y
xe
r 2
x
;
所以齐次方程的通解为
y (C1 C2 x)e r1x ;
(3) 有一对共轭复根 ( p2 4q 0)
特征根为 r1 j , r2 j ,
y1 ex cos x, y2 ex sin x,
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn ( x)sinx],
y
x
k
e
x
[
R(1) m
(
x
)
cos
x
R(2 m
)
(
x
)
sinx];
只含上式一项解法：作辅助方程,求特解, 取 特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解.
思考题
写出微分方程 y 4 y 4 y 6x2 8e2x
y( x) Y ( x) y*( x),
定理 如果 y1( x) 与 y2( x) 分别为方程 y py qy f1( x), 和 y py qy f2( x)
的特解，Y 是方程
y py qy 0, 的通解，则
y( x) Y ( x) y1*( x) y2*( x) 是方程 y py qy f1( x) f2( x) 的通解.
方程的通解为 y ex (C1 cosx C2 sinx).
y py qy 0 r2 pr q 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1e r1 x C2e r2 x y (C1 C2 x)e r2 x
e x [ Pl
e ix
eix 2
Pn
e ix
eix 2i
]
( Pl Pn )e( i ) x ( Pl Pn )e( i ) x
2 2i
2 2i
P( x)e(i )x P ( x)e(i )x ,
设 y py qy P( x)e(i )x , y1 xkQme(i )x ,
y ex (C1 cos x C2 sin x)
二阶常系数非齐次线性方程
y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
对应齐次方程 y py qy 0, 通解结构 如果 y*( x) 是方程 y py qy f ( x) 的一个特解， Y ( x) 是方程对应的齐次方程的通解，则方程的通解 为
常系数线性微分方程解的结构
n阶常系数线性微分方程的标准形式
y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y f ( x)
二阶常系数线性方程的标准形式
y py qy f ( x)
定义：设 y1( x), y2( x) 为定义在 (a,b)内的两个函数， 如果存在非零常数 k,使得 y( x) ky( x),则称y1( x), y2( x) 线性相关，否则称 y1( x), y2( x) 线性无关.
(2) 若是特征方程的单根，
2 p q 0, 2 p 0,
可设 Q( x) xQn( x), y* xQn( x)e x;
(3) 若是特征方程的重根，
2 p q 0, 2 p 0,
可设 Q( x) x2Qn( x), y* x2Qn( x)e x .
设 y py qy P ( x)e(i )x , y2 xkQme(i )x ,
y xkex[Qmeix Qmeix ]
xkex[Rm(1)( x)cosx Rm(2)( x)sinx],
其中 Rm(1)( x), Rm(2)( x)是m次多项式，m maxl, n
特征方程
特征根
r1,2 p
p2 4q ,
2
(1) 有两个不相等的实根 ( p2 4q 0)
特征根为 r1 r2
两个线性无关的特解
y1 e r1x ,
y2 e r2x ,
得齐次方程的通解为
y
C e r1x 1
C2e r2x ;
(2) 有两个相等的实根 ( p2 4q 0)
A
1 2
,
于是 y x(1 x 1)e2x
B 1
2 原方程通解为
y C1e x
C2e2x
x(1 x 1)e2x 2
.
二、f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn( x)sinx] 型
f ( x) ex[Pl cosx Pn sinx] 利用欧拉公式
sin x cos x
ln sec C2
x
tan
x
C1 ,
原方程通解为
y C1 cos x C2 sin x cos x ln sec x tan x .
三、小结 (待定系数法)
(1) f ( x) ex Pm ( x), (可以是复数）