云南师范大学附属中学2020-2021学年高三高考适应性月考卷(七)文科数学试题及答案

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云南师大附中2020-2021学年高三下学期高考适应性月考卷(七)文科数学试题

云南师大附中2020-2021学年高三下学期高考适应性月考卷（七）文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．体育节到来，多数同学都会参加至少一个运动项目.设集合U={甲班全体同学}，集合A ={参加跳高的甲班同学}，集合B ={参加跳远的甲班同学}，则()U C A B 表示的是（）A ．既参加跳高又参加跳远的甲班同学B ．既不参加跳高也不参加跳远的甲班同学C ．参加跳高或跳远的甲班同学D ．不同时参加跳高和跳远的甲班同学2．已知复数1z =-+，则28z =（）A ．1-+B ．1--C ．1+D ．13．已知平面向量a →，b →，命题“2a b →→=”是“22a b a b →→→→+=-”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，则选出来的第5个零件编号是（）0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 A ．36B ．16C ．11D ．145．一场考试之后，甲、乙、丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲说：有一个科目我们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多.则可以完全确定的是（） A ．甲同学三个科目都达到优秀 B ．乙同学只有一个科目达到优秀 C ．丙同学只有一个科目达到优秀D ．三位同学都达到优秀的科目是数学6．朱世杰是元代著名的数学家，有“中世纪世界最伟大的数学家”之称.其著作《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，受到数学史研究者的高度评价.《四元玉鉴》下卷“杂范类会”中第一问为：“今有沈香立圆球一只，径十寸，今从顶截周八寸四分，问厚几何？”大意为现有一个直径为10的球，从上面截一小部分，截面圆周长为8.4，问被截取部分几何体的高为多少.已知朱世杰是以圆周率为3来计算，则《四元玉鉴》中此题答案为（）（注：24.823.04=） A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.87．函数()25x xx f x e e-=+的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．8．已知抛物线()220y px p =>的准线与椭圆22194x y +=相交的弦长为p =（） A ．1B ．2C ．3D ．49．在正四面体A BCD -中，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，则下列命题不正确的是（） A ．EF AB ⊥ B ．EF CD ⊥C ．EF 与AC 所成角为4πD ．EF 与BD 所成角为3π 10．如图，已知在算法中“\”和“mod ”分别表示取商和取余数.为了验证三位数卡普雷卡尔“数字黑洞”（即输入一个无重复数字的三位数，经过如图的有限次的重排求差计算，结果都为495）.小明输入325x =，则输出的i =（）A ．3B ．4C ．5D ．611．已知函数()2cos f x x x =-，若15log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31log 5b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，315c f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭=⎪，则（） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >>D ．c a b >>12．双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船（待定点）接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况；如图所示，已知三个发射台分别为A ，B ，C 且刚好三点共线，已知34AB =海里，20AC =海里，现以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建系.现根据船P 接收到C 点与A 点发出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船P 在双曲线()222713664x y --=的左支上，根据船P 接收到A 台和B 台电磁波的时间差，计算出船P 到B 发射台的距离比到A 发射台的距离远30海里，则点P 的坐标（单位：海里）为（）A．90,77⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭B．135,77⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭C ．3217,3⎛⎫± ⎪⎝⎭D．(45,±二、填空题13．曲线()21ln y x x =+在()1,0处的切线方程为______.14．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足13a =，且1a ，4a ，13a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =______.15．已知x ，y 满足315212x y x y x N y N+≤⎧⎪+≤⎪⎨∈⎪⎪∈⎩，则32z x y =+的最大值为______.16．已知14ω>，函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(),2ππ上单调.①1,14ω⎛⎤∈⎥⎝⎦；②()f x 在区间(),2ππ上单调递减； ③()f x 在区间()0,π上有零点；④()f x 在区间()0,π上的最大值一定为1. 以上四个结论，其中正确结论的编号是______.三、解答题17．华为手机作为全球手机销量第二位，一直深受消费者喜欢.据调查数据显示，2021年度华为手机（含荣耀）在中国市场占有率接近40%！小明为了考查购买新手机时选择华为是否与年龄有一定关系，于是随机调查100个2021年购买新手机的人，得到如下不完整的列表.定义30岁以下为“年轻用户”，30岁以上为“非年轻用户”.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.（1）将列表填充完整，并判断是否有90%的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关？（2）若采用分层抽样的方法从购买华为手机用户中抽出6个人，再随机抽2人，求恰好抽到的两人都是非年轻用户的概率. 18．在ABC ∆中，23BAC π∠=，D 是BC 上一点，AD AC ⊥且1AD =.（1）若AB =BC ；（2）求21AB AC+. 19．如图，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，1AD =，3BC =，AC BD ==P 在底面的投影O 恰好为AC 与BD 的交点，PO =.（1）证明：AC PB ⊥；（2）求点A 到平面PDC 的距离.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，且经过点P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 的斜率为12，且与椭圆交于A ，B 两点（异于点)P ，过点P 作APB ∠的角平分线交椭圆于另一点Q ．证明：直线PQ 与坐标轴平行．21．已知函数3211()132f x x x ax =-++-. （1）讨论函数的单调性；（2）若1a ≤，证明：当[0,)x ∈+∞时，()sin cos f x x x ≤-.22．已知直线l 的参数方程为1x ty t=+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点()0,1P -，直线l 与曲线C 相交于点A ，B ，求PA PB +. 23．已知正实数a ，b ，c 满足3331a b c ++=. 证明：（1）()2222a b c a b c ++≥++；（2）2221a b b c c a ++≤.参考答案1．D 【分析】利用集合的交、补运算的概念即可求解. 【详解】易知A B 表示的是同时参加跳高和跳远的同学，则()U C A B 表示的是甲班不同时参加跳高和跳远的同学，故选：D . 【点睛】本题考查了集合的交、补运算，利用集合的交、并、补运算的概念是解题的关键，属于基础题. 2．A 【分析】利用复数的四则运算即可求解. 【详解】()2221132z i =-+=-+=--，故2828z-+==()161116-+==-+，故选：A . 【点睛】本题考查了复数的四则运算、复数的运算满足多项式相乘，属于基础题. 3．D 【分析】首先根据向量的数量积可得a b →→⊥，从而可判断出与2a b →→=的关系，利用充分条件、必要条件的定义即可得出答案. 【详解】222222a b a b a b a b →→→→→→→→⎛⎫⎛⎫+=-⇔+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭80a b a b →→→→⇔⋅=⇔⊥，而a b →→⊥与2a b →→=之间没有必然的联系，所以“2a b →→=”是“22a b a b →→→→+=-”的既不充分也不必要条件，故选：D . 【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的定义，向量的模以及向量数量积的运算，属于基础题. 4．C 【分析】利用随机数表的读取方法即可求解. 【详解】从题中给的随机数表第一行第3列开始从左往右开始读取，重复的数字只读一次，读到的小于40的编号分别为36，33，26，16，11，故选：C . 【点睛】本题考查了随机数表的读法，注意对于重复数字只读一次，属于基础题. 5．C 【分析】根据题意推断出乙有两科达到优秀，丙有一科达到优秀，甲至少有一科优秀，从而得出答案. 【详解】甲说有一个科目每个人都达到优秀，说明甲乙丙三个人每个人优秀的科目至少是一科，乙说英语没有达到优秀，说明他至多有两科达到优秀，而丙优秀的科目不如乙多，说明只能是乙有两科达到优秀，丙有一科达到优秀，故B 错误，C 正确；至于甲有几个科目优秀，以及三人都优秀的科目到底是语文还是数学，都无法确定故选：C 【点睛】本题主要考查了学生的推理能力，属于中档题. 6．A 【分析】利用圆的周长公式算出截面的半径，再根据勾股定理可得()22255r h +-=，解方程即可. 【详解】设截面圆半径为r ，截下来的几何体高为h ，若以3作为圆周率，则8.41.423r ==⨯，又()22255r h +-=，故555 4.80.2h ===-=，故选：A . 【点睛】本题考查了球截面，考查了空间想象能力，属于基础题. 7．A 【分析】根据函数的奇偶性定义可得函数为偶函数，偶函数的图像关于y 对称，再根据指数函数与幂函数的增长速度的快慢即可得出选项. 【详解】易知()25x xx f x e e-=+为偶函数，故排除B ，D ，又当x 趋向正无穷时，指数函数增长速度大于幂函数，故知函数值应趋向于0，故选：A . 【点睛】本题考查了函数的奇偶性、指数函数、幂函数的增长形式，属于基础题. 8．C 【分析】根据椭圆的对称性可得A y =32A x =-，再利用抛物线的性质可知3p =. 【详解】抛物线的准线方程为2p x =-，设其与椭圆相交于A ，B 两点，AB =不妨设0A y >，根据对称知A y = 代入椭圆方程解得32A x =-或32A x =（舍去），3p =，故选：C . 【点睛】本题主要考查了抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、椭圆的对称性，属于基础题. 9．D 【分析】将正四面体A BCD -放入正方体中，正四面体的每一条棱都是正方体的面对角线，E ，F 则分别是上下底面的中心，结合图像即可得出答案. 【详解】如图所示，将正四面体A BCD -放入正方体中，则正四面体的每一条棱都是正方体的面对角线，E ，F 则分别是上下底面的中心. 由图中容易看出，EF AB ⊥和EF CD ⊥显然成立，且EF 与AC ，BD 所成角都应该为4π，故不正确的选项为D ，故选：D . 【点睛】本题考查了空间中直线与直线的位置关系、异面直线所成的角，属于基础题. 10．B 【分析】首先读懂程序，输入任意一个无重复数字的三位数，将其个位，十位，百位重新排列，组成一个最大数和一个最小数，写出每次循环的结果，使差是495结束循环，即可得出答案. 【详解】先读懂程序：输入任意一个无重复数字的三位数，将其个位，十位，百位重新排列，组成一个最大数和一个最小数，然后作差，若差不为495，则继续此过程，经过有限次步骤之后，最后结果一定是495.对于输入的325，第一次循环：重新排列后，最大数为532，最小数为235，相减得297，然后1i =；第二次循环：重新排列后，最大数为972，最小数为279，相减得693，然后2i =；第三次循环：重新排列后，最大数为963，最小数为369，相减得594，然后3i =；第四次循环：重新排列后，最大数为954，最小数为459，相减得495，然后4i =，结束循环，故选：B . 【点睛】本题主要考查了程序框图、读懂程序框图是关键，属于基础题. 11．B 【分析】判断()f x 为偶函数，利用导数得出()f x 在()0,π上单调递增，由对数函数的性质，结合函数()f x 的单调性和奇偶性，即可得出答案. 【详解】()()()()22cos cos f x x x x x f x -=---=-=，故()f x 为偶函数故只需考虑()0,x ∈+∞的单调性即可.()'2sin f x x x =+，当()0,x π∈时，易得()'0f x >故()f x 在()0,π上单调递增，()155log 3log 3a f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()331log log 55b f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，由函数单调性可知()()3531log 3log 55f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即c a b <<故选：B 【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性以及单调性比较大小，属于中档题. 12．B 【分析】设由船P 到B 台和到A 台的距离差确定的双曲线方程为()22221x y x a a b-=≥，根据双曲线的定义得出15a =，再得出由船P 到B 台和到A 台的距离差所确定的双曲线为()2211522564x y x -=>，与双曲线()222713664x y --=联立，即可得出点P 坐标. 【详解】设由船P 到B 台和到A 台的距离差确定的双曲线方程为()22221x y x a a b-=≥由于船P 到B 台和到A 台的距离差为30海里，故15a =，又=17c ，故8b =故由船P 到B 台和到A 台的距离差所确定的双曲线为()2211522564x y x -=>联立()()()222227121366411522564x y x x y x ⎧--=<⎪⎪⎨⎪-=>⎪⎩，解得135,77P ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭ 故选：B 【点睛】本题主要考查了双曲线的应用，属于中档题. 13．220x y --= 【分析】根据导数的运算法则求出导函数，从而求出在()1,0处的导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，从而求出切线方程. 【详解】2n '12l x x x xy +=+，当1x =时，切线斜率'2k y ==，故切线方程为()21y x =-，即220x y --=. 故答案为：220x y --= 【点睛】本题考查了导数的几何意义、导数的运算法则，属于基础题. 14．22n n + 【分析】设公差为d ，根据等比数列的性质得出21134a a a ⋅=，进而得出()()2111123a a d a d +=+，求解得出2d =，再由等差数列的通项公式以及求和公式得出n S . 【详解】设公差为d ，由题意知21134a a a ⋅=，即()()2111123a a d a d +=+即()()2331233d d ⨯+=+，解得2d =或0d =（舍去） ∴21n a n =+，故()()12321222n n n a a n n S n n +++===+. 故答案为：22n n + 【点睛】本题主要考查了求等差数列的前n 项和，属于中档题. 15．19 【分析】先将x ，y 当作正实数来处理，利用简单的线性规划可得在2118,55M ⎛⎫⎪⎝⎭处取得最大值，再由,x y N ∈，在可行域内检验实数对()5,2满足要求，代入即可求出最值. 【详解】先将x ，y 当作正实数来处理，则如图所示，画出可行域后，32z x y =+的最大值在2118,55M ⎛⎫⎪⎝⎭处取得，代入算得最大值为995，现,x y N ∈，∴32x y N +∈，∴3219z x y =+≤，经检验，实数对()5,2满足题目要求，且代入得19z =，故最大值为19.故答案为：19 【点睛】本题考查了简单的线性规划，解题的关键是作出约束条件的可行域，注意此题取整数点，属于基础题. 16．②④ 【分析】根据题意可得2T π≥，从而可得21Tπω=≤，且()22442k k k Z πππππωπωππ-+≤+<+≤+∈，然后利用三角函数的性质逐一排除即可求解. 【详解】首先，因为函数()f x 在区间(),2ππ上单调，显然2T π≥，故21Tπω=≤，其次，还应满足()22442k k k Z πππππωπωππ-+≤+<+≤+∈，解得()31482k k k Z ω-+≤≤+∈，因为114ω<≤，故唯有1k =，故1548ω<≤，故①错；且因为1k =，所以()f x 在区间(),2ππ上单调递减，故②对；当()0,x π∈时，,444x πππωωπ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭. ∵1548ω<≤，∴7248πππωπ<+≤，所以()0,x π∈时，()f x 在区间()0,π上没有零点，故③错；由③可知()f x 在区间()0,π上的最大值一定为1，故④对.综上，正确的是②④. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查了三角函数的性质，需熟记三角函数的周期公式、单调区间，属于中档题. 17．（1）表格见解析，没有把握；（2）25【分析】（1）补全列联表，计算2K ，即可得出结论；（2）利用分层抽样抽取6个购买华为手机的用户，易知其中有2个年轻用户，4个非年轻用户，不妨用A ，B 表示两个年轻用户，用c ，d ，e ，f 表示非年轻用户，利用列举法，结合古典概型的概率公式，即可得出答案. 【详解】解：（1）易得由列表可得()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()210036122824 1.04 2.70640603664⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯故没有90%的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关系.（2）利用分层抽样抽取6个购买华为手机的用户，易知其中有2个年轻用户，4个非年轻用户，不妨用A ，B 表示两个年轻用户，用c ，d ，e ，f 表示非年轻用户，现从中任选两人，则共有(),A B ，(),A c ，(),A d ，(),A e ，(),A f ，(),B c ，(),B d ，(),B e ，(),B f ，(),c d ，(),c e ，(),c f ，(),d e ，(),d f ，(),e f ，15种可能，其中满足要求的有6种，由古典概型可知62155P ==. 【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用以及计算古典概型的概率，属于中档题.18．（1）3；（2【分析】（1）6BAD BAC DAC π∠=∠-∠=，在ABD ∆中，利用余弦定理即可求解.（2）方法一：设C α∠=，在ACD △中，可得1tan AD AC ACα==，在ABD △中，利用正弦定理可得sin sin B ADBAD AB∠=，将角代入整理即可求解；方法二：由ACD ABD ABC S S S +=△△△，利用三角形的面积公式并化简整理可得sin sin sin CAD BAD BAC AB AC AD∠∠∠+=，代入角即可求解.【详解】（1）2326BAD BAC DAC πππ∠=∠-∠=-=，在ABD ∆中，由余弦定理可知，2222cos 312112BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠=+-⨯=，所以ABD ∆为等腰三角形，∴6B BAD π∠=∠=，∴36C B ππ∠=-∠=，∴12sin6DC π==，∴3BC BD CD =+=.（2）法一：设C α∠=，在ACD △中，1tan AD AC ACα==，又3B πα∠=-，2ADB πα∠=+，在ABD △中，由正弦定理知sin sin B ADBAD AB∠=，即sin cos 31AB παα⎛⎫- ⎪⎝⎭=，∴2sin 23cos AB παα⎛⎫- ⎪⎝⎭=，2sin 21sin 3cos cos AB AC παααα⎛⎫- ⎪⎝⎭+=+==法二：由ACD ABD ABC S S S +=△△△，得11sin sin 22AC AD CAD AB AD BAD ⋅∠+⋅∠1sin 2AB AC BAC =⋅∠，两边同时除以12AB AC AD ⋅⋅，得sin sin sin CAD BAD BACAB AC AD∠∠∠+=（张角定理），即11221AB AC +=，21AB AC +=【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，属于中档题.19．（1）证明见解析；（2）11【分析】（1）根据相似三角形的性质得出2AO DO ==，利用勾股定理得出AC BD ⊥，由PO ⊥平面ABCD 得出PO AC ⊥，利用线面垂直的判定定理以及性质证明即可；（2）利用等体积法求解即可. 【详解】（1）证明：如图，∵//AD BC 由相似可知，13OA OD AD OC OB BC ===又AC BD ==AO DO == 故222OA OD AD +=，∴AC BD ⊥.又点P 在底面的投影为O ，∴PO ⊥平面ABCD ，∴PO AC ⊥ 又BDPO O =，,BD PO ⊂平面PBD∴AC ⊥平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，∴AC PB ⊥.（2）解：由（1）知2OD =，32OC OA ==CD ==PD 3PC ==在等腰DPC ∆中，PC 边上的高0h ===011322DPC S PC h ∆=⋅⋅=⨯=而11122ADC S AC DO ∆=⋅⋅=⨯= 又P ADC A PDC V V --=，设点A 到平面PDC 的距离为h即1133ADC DPC S PO S h ∆∆⋅=⋅，故111ADC DPC S PO h S ∆∆⨯⋅===. 【点睛】本题主要考查了证明线线垂直以及利用等体积法求点到平面的距离，属于中档题.20．（1）2214x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）由条件得：222224(21a a b =⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得a ，b ，即可得到椭圆方程．（2）证明：欲证PQ 与坐标轴平行，即证直线PQ的方程为x =；或2y =，又因为PQ 平分APB ∠，故只需证明PA ，PB 的斜率都存在时满足0PA PB k k +=即可．当PA ，PB 的斜率不存在时，说明不满足题意．然后证明0PA PB k k +=．设直线1:2l y x m =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，利用韦达定理结合PA PB k k +的表达式，推出结果即可．【详解】（1）解：由条件得：22222421a ab =⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2a =，1b =，椭圆22:14x C y +=．（2）证明：欲证PQ 与坐标轴平行，即证直线PQ的方程为x =；或2y =，又因为PQ 平分APB ∠，故只需证明PA ，PB 的斜率都存在时满足0PA PB k k +=即可．当PA ，PB 的斜率不存在时，即点A 或B的坐标为)2-，而经检验此时直线l 与椭圆C 相切，不满足题意．故PA ，PB 的斜率都存在，下证0PA PB k k +=．设直线1:2l y x m =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，可得222220x mx m ++-=此时2480m ∆=-+>，122x x m +=-，21222x x m =-，0PA PB k k +=．121221((y y y x y x +=，（※）式的分子121212212))2x x y y x y x y =-+-+++1212122111112)2()()()2222x x x m x m x x m x x m =+-+++++++212122()2(2)220m x x x x m m m =-+++=-+-+-=，直线PQ 与坐标轴平行．得证．【点睛】本题主要考查了求椭圆方程以及韦达定理的应用，属于中档题. 21．（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出导函数2()f x x x a '=-++，由14a ∆=+，讨论a 的取值范围，确定()'f x 的正负，进而可得出函数的单调性. （2）由题意可得32321111()113232f x x x ax x x x =-++-≤-++-，只需证32111sin cos 032x x x x x -++--+≤，令3211()1sin cos 32g x x x x x x =-++--+，由(0)0g =，利用导数证出函数()g x 单调递减即可证出.【详解】（1）解：2()f x x x a '=-++，所以14a ∆=+.①当14a -，即0∆≤时，此时()0f x '≤，()f x 在R 上单调递减；②当14a >-，即>0∆时，令()0f x '=，解得1x =2x =易知1,2x ⎛∈-∞ ⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；1122x ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；12x ⎛⎫+∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减. 综上，当14a -时，()f x 在R 上单调递减；当14a >-时，()f x 在1,2⎛-∞ ⎝⎭，1,2⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减；在⎝⎭上单调递增. （2）证明：∵1a ≤，[0,)x ∈+∞ ∴32321111()113232f x x x ax x x x =-++-≤-++-，欲证()sin cos f x x x ≤-，先证32111sin cos 32x x x x x -++-≤-即证32111sin cos 032x x x x x -++--+≤ 令3211()1sin cos 32g x x x x x x =-++--+，则(0)0g = 2()1cos sin g x x x x x '=-++--，则(0)0g '=()21sin cos g x x x x ''=-++-，则(0)0g ''=()2cos sin 204g x x x x π⎛⎫'''=-++=-++< ⎪⎝⎭ 故()g x ''在[0,)+∞上单调递减，故()(0)0g x g ''''≤=故()'g x 在[0,)+∞上单调递减，故()(0)0g x g ''≤=故()g x 在[0,)+∞上单调递减，故()(0)0g x g ≤= 即32111sin cos 32x x x x x -++-≤-，故()sin cos f x x x ≤-. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数证明不等式，考查了分类与整合的解题思想，属于中档题.22．（1）10x y --=，()2224x y -+=；（2）【分析】（1）消去参数t 即可将直线l 化为普通方程；将4cos ρθ=变为24cos ρρθ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入即可求出曲线C 的直角坐标方程. （2）将直线的参数方程代入代入曲线C 的方程，化成关于t 的一元二次方程，利用参数t 的几何意义以及韦达定理即可求解.【详解】（1）直线l 的普通方程为10x y --=，曲线方程：4cos ρθ=，∴2224cos 4x y x ρρθ=⇒+=，则()2224x y -+=. （2）将直线化为标准型的参数方程212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，将其代入曲线C的方程2221422t t ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得210t -+=，∵120t t >，故1212t t t PA P t B =+=+=+【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，参数的几何意义，属于基础题. 23．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据题意可得()()333a b c a b c a b c ++=++++，方法一：利用柯西不等式即可证出；方法二：利用基本不等式即可证出.（2）欲证2221a b b c c a ++≤，即证222333a b b c c a a b c ++≤++，法一：利用排序不等式法即可证出；方法二：利用基本不等式法，()()3322a b a b a ab b +=+-+()()222a b ab ab a b ab ≥+-=+，同理，3322b c b c bc +≥+，3322c a c a ca +≥+，不等式相加即可证出.【详解】证明：（1）法一（柯西不等式法）：∵3331a b c ++=，()()333a b c a b c a b c ++=++++()2222222222a b c ⎡⎤⎡⎤=++++≥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，得证.法二（基本不等式法）：∵3331a b c ++=，()()333a b c a b c a b c ++=++++()()()444333333a b c ab ba ac ca bc cb =++++++++444a b c ≥+++()2444222222222222a b c a b a c b c a b c =+++++=++. （2）欲证2221a b b c c a ++≤，即证222333a b b c c a a b c ++≤++，法一：排序不等式法：不妨设a b c ≥≥，则222a b c ≥≥，由于乱序和≤顺序和可知222222a b b c c a a a b b c c ++≤++，即2223331a b b c c a a b c ++≤+=+，即得证.法二（基本不等式法）：()()3322a b a b a ab b +=+-+()()222a b ab ab a b ab ≥+-=+，同理，3322b c b c bc +≥+，3322c a c a ca +≥+，全部加起来得()3332222222a b c a b b c c a ab bc ca ++≥+++++，①又222a b ab +≥，∴3222a ab a b +≥，∴3222a a b ab ≥-，同理可得3222b b c bc -≥，3222c c a ca -≥，全部加起来有()3332222222a b c a b b c c a ab bc ca ++++---≥，②①+②得()()33322233a b c a b b c c a ++≥++，即2223331a b b c c a a b c ++≤+=+，即得证.【点睛】本题考查了不等式的证明方法：分析法，考查了基本不等式、柯西不等式、排序不等式，属于中档题.。

云南师大附中2020届高三下学期高考适应性月考卷文科数学(七)附答案+详解

云南师大附中2020届高三下学期高考适应性月考卷文科数学（七）注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 体育节到来，多数同学都会参加至少一个运动项目.设集合{}U =甲班全体同学，集合{}A =参加跳高的甲班同学，集合{}B =参加跳远的甲班同学，则()U C A B I 表示的是（）A. 既参加跳高又参加跳远的甲班同学B. 既不参加跳高也不参加跳远的甲班同学C. 参加跳高或跳远的甲班同学D. 不同时参加跳高和跳远的甲班同学2. 已知复数1z =-，则28z =（）A. 1-B. 1--C. 1D. 1-3. 已知平面向量a r ，b r ，命题“2a b =r r ”是“22a b a b +=-r r r r ”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，则选出来的第5个零件编号是（） 0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 14109577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179A. 36B. 16C. 11D. 145. 一场考试之后，甲、乙、丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲说：有一个科目我们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多.则可以完全确定的是（）A. 甲同学三个科目都达到优秀B. 乙同学只有一个科目达到优秀C. 丙同学只有一个科目达到优秀D. 三位同学都达到优秀的科目是数学6. 朱世杰是元代著名的数学家，有“中世纪世界最伟大的数学家”之称.其著作《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，受到数学史研究者的高度评价.《四元玉鉴》下卷“杂范类会”中第一问为：“今有沈香立圆球一只，径十寸，今从顶截周八寸四分，问厚几何？”大意为现有一个直径为10的球，从上面截一小部分，截面圆周长为8.4，问被截取部分几何体的高为多少.已知朱世杰是以圆周率为3来计算，则《四元玉鉴》中此题答案为（）（注：24.823.04=）A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.87. 函数()25x x x f x e e-=+的图象大致为（） A. B. C . D.8. 已知抛物线()220y px p =>的准线与椭圆22194x y +=相交的弦长为p =（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 49. 在正四面体A BCD -中，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，则下列命题不正确的是（）A. EF AB ⊥B. EF CD ⊥C. EF 与AC 所成角为4πD. EF 与BD 所成角为3π 10. 如图，已知在算法中“\”和“mod ”分别表示取商和取余数.为了验证三位数卡普雷卡尔“数字黑洞”（即输入一个无重复数字的三位数，经过如图的有限次的重排求差计算，结果都为495）.小明输入325x =，则输出的i =（）A. 3B. 4C. 5D. 611. 已知函数()2cos f x x x =-，若15log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31log 5b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，315c f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭=⎪，则（） A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D. c a b >>12. 双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船（待定点）接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况；如图所示，已知三个发射台分别为A ，B ，C 且刚好三点共线，已知34AB =海里，20AC =海里，现以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建系.现根据船P 接收到C 点与A 点发出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船P 在双曲线()222713664x y --=的左支上，根据船P 接收到A 台和B 台电磁波的时间差，计算出船P 到B 发射台的距离比到A 发射台的距离远30海里，则点P 的坐标（单位：海里）为（）A. 90,77⎛± ⎝⎭B. 135,77⎛± ⎝⎭。

云南师范大学附属中学2023-2024学年高三下学期月考(七)数学答案

昆明一中2024届高三第7次联考数学参考答案命题、审题组教师杨昆华彭力李文清李春宣丁茵王在方张远雄李露陈泳序杨耕耘一、选择题题号12345678答案ACBCDCDB1．解析：因为{}13A x x =-<<，{}0,1,2,3B =，所以{}0,1,2A B = ，选A ．2．解析：根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“x ∀∈R ，2340x x -+<”的否定为：“x ∃∈R ，24．解析：连接1QF ，由△12PF F 为等腰三角形且Q 为2PF 的中点，得1QF 垂直于2PF ，由2PF a =知22QF =，由双曲线的定义知152a QF =，在直角三角形12QF F 中，2225(2)22a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以离心率4e =，选C ．5．解析：对于A ，122OM e e =+，设()1,2M 关于点O 的对称点为(),M x y '，则12122OM OM e e xe ye '=-=--=+ ，因为1e ，2e 不共线，所以12x y =-⎧⎨=-⎩，A 错误；对于B ，因为()()12211222211112x AB OB x x e y e x e y e e y A e O y --=+-+--==，所以AB = ，当向量1e ，2e是相互垂直的单位向量时，A ，B 两点间的距离为，否则距离不为B 错误；对于C ，当OA 与OB 中至少一个是0 时，结论成立；当OA 与OB 都不为0 时，设OA OB λ=（0λ≠），有11122122x e y e x e y e λλ+=+ ，即1221y x y x λλ⎧⎨==⎩，所以1221x y x y =，C 错误；对于D ，()()11212211212212221122x e y e x e y OC OA OB e e x y y e x +++=++++==，所以线段AB 中点C 的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，D 正确选D ．6．解析：因为25(2)x x y +-为5个22x x y +-之积，其中有两个取y -，两个取2x ，一个取x 即可，所以52x y 的系数为2221531(1)260C C C ⋅-⋅⋅⋅=，选C ．7．解析：取AB 中点为M ，连接PM ，OM ，因为AB 是圆22:3C x y +=的一条动弦，且AB =以1OM =，又2PA PB PM += ，PM OM OP +≥，即1PM OP ≥-，因此PA PB +取最小值，即是PM取最小值，所以只需OP 取最小，又点P 为直线280x y +-=上的任意一点，所以原点O 到直线280x y +-=的距离即是OP 的最小值，即min 5OP =，即minmin min22(1)2PA PBPMOP+==-=，选D ．8．解析：由()ln 20240f x x x =-=得2024ln x x =，由()e 20240xg x x =-=得2024e x x=，设点A 的坐标为112024,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点B 的坐标为222024,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又ln y x =与e xy =的图象关于直线y x =对称，且2024y x =的图象也关于直线y x =对称，则点A ，B 关于直线y x =对称，即2121122024202420241ABx x k x x x x -==-=--，得122024x x ⋅=，选B ．二、多选题题号9101112答案BCDCDABBD9．解析：若()f x 为R 上的单调函数，则2()32f x x ax a '=+-，24120a a ∆=+≤，则30a -≤≤，A 错；当2a =时，32()221f x x x x =+-+，令2()3420f x x x '=+-=，得1213x --=<-，2213x -+=<，则()f x 在()21,x -上单调递减，在()2,1x 上单调递增，()f x 在2x x =处取最小值，无最大值，B 对；由于32()1f x x ax ax -=+-，则()1f x -为奇函数时，0a =，C 对；当0a =时，3()1f x x =+，2()3f x x '=，则(1)3f '=，切点为()1,2，切线方程为310x y --=，D 对，选BCD ．10．解析：对于A ，若11i z =+，21i z =-，()22122i 2i 0z z +=+-=，但1z ，20z ≠，A 错误；对于B ，设i z a b =+（a ，b ∈R ）当a ，b 均不为0时，()2222i 2i z a b a b ab =+=-+为虚数，而222z a b =+为实数，所以22z z =不成立，B 错误；对于C ，复数z 在复平面内对应的点P 的轨迹是以()0,0O 为圆心，1为半径的圆，而()i i z z +=--的几何意义为复数z 对应的点P 与()0,1M -两点间的距离PM ，所以当点P 运动到()0,1时，PM 最大，i z +取最大值，最大值为2，C 正确；对于D ，设i z a b =+（a ，b ∈R ），1i z x y =+（x ，y ∈R ），由12z z =，则21i y z z x ==-，所以()()()()1i i i a b x y ax by bx ay zz =++=-++==()()()()2i i i a b x y ax by bx ay zz =+-=++-==所以12z z z z ⋅=⋅，D 正确；选CD ．11．解析：当截面平行于正方体的一个侧面时可得A ；当截面过不平行于侧面可得B ；但无论如何都不能截得C 和D ，选AB ．12．解析：2211()2cos 2cos 2(cos 22f x x x x '=-=--，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≤，()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≥，()f x 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，；()f x 在π2x =上取极小值为ππ()222f =-，(0)0f =，(π)πf =，()f x 在[]0,π上有两个零点10x =，2π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以A C 错B D 对，选BD ．三、填空题13．解析：由题意，32()()f x g x x ax a -+-=-++，则32()()f x g x x ax a -=--，联立得，3()f x x =，则(3)27f =．14．解析：因为直线:4320l x y p --=过点F ，所以A ，B ，F 三点共线，联立直线与抛物线方程，224320y px x y p ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，得2281720x px p -+=，解得：2A x p =，8B P x =，所以522A p pAF x =+=，28B p pBF x =+=，因为AOF BOFS S λ= ，所以11sin sin 22OF AF AFO OF BF BFO λ⋅⋅∠=⋅⋅⋅∠，又因为sin sin AFO BFO ∠=∠，所以4AF BFλ==．15．解析：公共部分是两个正四棱锥且底面重叠的空间几何体，底面是(2=8S =，其中一个正四棱锥的高为，则1823V =⨯=16．解析：设事件{}B =飞机被击落，事件{}i A i =飞机被个人击中，1i =，2，3，由题意可得，1(|)0.2P B A =，2(|)0.8P B A =，3(|)1P B A =1()0.3(10.5)(10.6)(10.3)0.5(10.6)(10.3)(10.5)0.60.41P A =⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=2()0.30.5(10.6)(10.3)0.50.60.3(10.5)0.6P A =⨯⨯-+-⨯⨯+⨯-⨯=0.363()0.30.50.60.09P A =⨯⨯=，由全概率公式得112233()()(|)()(|)()(|)0.46P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=，所以飞机被击落的概率为0.46．四、解答题17．解：（1）因为+=1n n S a （n *∈N ），所以11+=1n n S a --（2n ≥），两式相减得12n n a a -=（2n ≥），又因为111S a +=，所以112a =，所以数列{}n a 是以12为首项，公比为12的等比数列，所以1()2n n a =．………5分（2）由（1）1()2n n a =，所以2n n n na =，令()2n nf n =，则1111(1)()222n n n n n n f n f n +++-++-=-=，所以，当2n ≥时，(1)()0f n f n +-<，故()y f n =（n *∈N ，2n ≥）为减函数，而1(1)(2)2f f ==，又因为()n na t n *∈≤N 恒成立，所以12t ≥，所以实数t 的取值范围为1[ )2+∞，．………10分18．解：（1）由余弦定理得，224a b ab +-=，又因为ABC △1sin 2ab C =，得4ab =．联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，解得4a b +=，所以ABC △的周长为6．………6分（2）因为sin 2sin B A =，由正弦定理得：2b a =，联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，解得3a =，3b =，所以sin 132sin 22a C A c ⋅===，又因为a c <，所以A C <，所以π6A =,故π2B =,1cos()2B A -=………12分19．解：（1）设A 同学答对的题数为X ，则随机变量X 的所有可能取值为2，3.则()213134324C C P X C ===，()3334134C P X C ===；设B 同学答对的题数为Y ，则随机变量Y 的所有可能取值为0，1，2，3.()3110464P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()21331914464P Y C ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()223312724464P Y C ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()33273464P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.所以A ，B 两名同学恰好共答对2个问题的概率为()()31320464256P X P Y ===⋅=.………6分（2）由（1）知，()31923444E X =⨯+⨯=，()19272790123646464644E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=；而()229391323444416D X ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222291999279279012346446446446416D Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为()()E X E Y =，()D X <()D Y ．所以应该选择学生A ．………12分20．解：（1）证明：取AD 的中点O ，连接OP ，OC ，AC ，因为2PA PD AD CD ====，60ADC ∠= ，所以△APD 和△ACD 都是等边三角形，所以AD OP ⊥，AD OC ⊥，OP OC O = 所以AD ⊥平面POC ，所以AD PC ⊥，因为90DAB ABC ∠=∠= ，所以AD BC ∥，所以PC BC ⊥.………6分（2）由（1）知AD OP ⊥，AD OC ⊥，则二面角P AD B --的平面角为120POC ∠=OP OC ==且AD ⊥平面POC ，AD ⊂平面ABCD ，所以平面POC ⊥平面ABCD ，平面POC 平面ABCD OC =，在平面POC 内作OM OC ⊥，所以OM ⊥平面ABCD ，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()1,0,0D -，()B，()C，30,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以31,22PB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，30,22PC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()DC =，设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00n PC n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得(n = ，设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，则sin 70n PBn PBθ⋅==⋅，所以直线PB 与平面PCD所成角的正弦值为………12分21．解：（1）设动圆E 圆心坐标(),x y ，半径为R ，由题意可知，()2224x y ++=，()22236x y -+=，当E 与1O 相外切时，有12O E R =+；①当E 与2O 相内切时，有26O E R =-．②将①②两式的两边分别相加，得1284O E O E +=>，所以(),E x y 的轨迹为椭圆，所以28,c 2a ==，所以216412b =-=，所以动圆圆心E 的轨迹方程为2211612x y +=．………6分（2）由（1）可知，圆心E 的轨迹方程2211612x y +=，设点11(,)B x y ,22(,y )C x ,00(,)N x y 联立22612811x y x my =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(43)481440m y my +-+=，则22(48)4(43)1440m m ∆=-⨯+⨯>，即24m >,1224843m y y m +=+，12214443y y m =+.因为12MBy MC y =，所以12BN y NC y =，所以12y BN NC y = ，即1010120202(,y )(,)y x x y x x y y y --=--，所以1201226y y y y y m==+，0082x my =-=-，所以点N 在直线2x =-上，所以NM NA =，即AMC MAN ∠=∠，因为ANC ∠为△MAN 的一个外角，所以2ANC AMN MAN AMC ∠=∠+∠=∠.………12分22．解：（1）()f x 的定义域为()1,-+∞，则21()1011x f x x x x '=-+=≥++，所以()f x 在区间()1,-+∞内单调递增；………2分令()()cos sin 1h x g x x x x '==+--，π1,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()π1sin cos 14h x x x x ⎛⎫'=--=-+ ⎪⎝⎭，当()1,0x ∈-时，πsin 42x ⎛⎫+<⎪⎝⎭，则()0h x '>，故()h x 在区间()1,0-内单调递增，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πsin 42x ⎛⎫+>⎪⎝⎭，则()0h x '<，故()h x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，注意到()00cos0sin 010h =+--=，故()()()00g x h x h '=≤=，所以()g x 在区间π1,2⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递减；………6分（2）构造函数()()()()ln 11sin cos F x f x g x x x x =-=++--，()1,x ∈-+∞，当π,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()π1ln 1ln 1ln 222x ⎛⎫+≥+>> ⎪⎝⎭，则()3πln 11)sin cos 24x x x x ++>>+=+，故此时()0F x >恒成立，当π1,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，由（1）可知()F x 在区间π1,2⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增，注意到()0ln11sin 0cos00F =+--=，故当()1,0x ∈-时，()0F x <，而当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0F x >，构造函数()()G x xF x =，则由上可知()0G x ≥对任意()1,x ∈-+∞恒成立，而原不等式等价于()xG x a ≥对任意()1,0x ∈-∪()0,+∞恒成立.故满足条件的实数a 的取值范围为(],0-∞．………12分。

【文数】云南师大附中2020届高考适应性月考试卷及答案(3月)

（舍去），
p
=
3
，故选
C．
9．如图 1 所示，将正四面体 A − BCD 放入正方体中，则正四面体的每一
条棱都是正方体的面对角线， E，F 则分别是上下底面的中心．由图
中容易看出，EF ⊥ AB 和 EF ⊥ CD 显然成立，且 EF 与 AC，BD 所成
角都应该为 π ，故不正确的选项为 D，故选 D．
单调性即可． f ′(x) = 2x + sin x ，当 x ∈ (0，π) 时，易得 f ′(x) > 0 ，故 f (x) 在 x ∈ (0，π) 上
单调递增，
a=
f (log1 3) =
5
f (log5 3)，b =
f (log3 15) =
f (log3 5)
，
1 5
3
=
0.008
<
log5
5
< log5 3 < 1 < log3 5 <
π ，由函数单调性可知
f
1 5
3
<
f (log5 3) <
f
(log3 5) ，即 c <
a<b，
故选 B．
12．设由船 P
到
B
台和到
A 台的距离差确定的双曲线方程为
x2 a2
−
y2 b2
= 1(x ≥ a) ，由于船 P 到
B
台和到 A 台的距离差为 30 海里，故 a = 15 ，又 c = 17 ，故 b = 8 ，故由船 P 到 B 台和到 A 台
4
图1
10．先读懂程序：输入任意一个无重复数字的三位数，将其个位，十位，百位重新排列，组

云南2020届高三下学期高考适应性月考卷(七)文科数学(含答案)z

2020届云南高三下学期高考适应性月考卷(文科)数学（七）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.体育节到来，多数同学都会参加至少一个运动项目.设集合U={甲班全体同学},集合A= {参加跳高的甲班同学},集合B= {参加跳远的甲班同学},则()U A B ⋂ð)表示的是A.既参加跳高又参加跳远的甲班同学B.既不参加跳高也不参加跳远的甲班同学C.参加跳高或跳远的甲班同学D.不同时参加跳高和跳远的甲班同学2.已知复数13,z i =-+则28z= .13A i -+.13B i -- .13C i +.13D i - 3.已知平面向量,,a b rr 命题“||2||a b =r r ”是“|2||2|a b a b +=-r r r ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某工厂为了对40个零件进行抽样调查,将其编号为00, 01, 38, 39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表,从第一行第3列开始，由左至右依次读取,则选出来的第5个零件编号是A.36B.16C.11D.145. 一场考试之后，甲、乙、丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲说：有一个科目我们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多则可以完全确定的是A.甲同学三个科目都达到优秀B.乙同学只有一个科目达到优秀C.丙同学只有一个科目达到优秀D.三位同学都达到优秀的科目是数学6.朱世杰是元代著名的数学家,有“中世纪世界最伟大的数学家”之称.其著作《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著,受到数学史研究者的高度评价.《四元玉鉴》下卷“杂范类会”中第一问为: "今有沈香立圆球一只，径十寸,今从顶截周八寸四分,问厚几何?"大意为现有一个直径为10的球,从上面截一小部分,截面圆周长为8.4,问被截取部分几何体的高为多少.已知朱世杰是以圆周率为3来计算，则《四元玉鉴》中此题答案为(注:24.823.04=)A.0.2B.0.4C.0.6D.0.87.函数25()x xx f x e e -=+的图象大致为8.已知抛物线22(0)y px p =>的准线与椭圆22194x y +=相交的弦长为3,则p= A.1 B.2 C.3 D.49.在正四面体A-BCD 中, E. F 分别为AB, CD 的中点,则下列命题不正确的是 A. EF ⊥ABB. EF ⊥CDC.EF 与AC 所成角为4πD.EF 与BD 所成角为3π 10. 如图1,已知在算法中“\”和“mod”分别表示取商和取余数.为了验证三位数卡普雷卡尔“数字黑洞”( 即输入一个无重复数字的三位数，经过如图的有限次的重排求差计算，结果都为495).小明输入x=325，则输出的i=A.3B.4C.5D.611.已知函数2()cos ,f x x x =-1351(log 3),(log ),5a f b f ==C=31(()),5fA. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD. c>a>b12.双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位通过船(待定点)接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差,两个距离差即可形成两条位置双曲线,两者相交便可确定船位我们来看一种简单的“特殊”状况:如图2所示,已知三个发射台分别为A, B. C 且刚好三点共线，已知AB=34海里，AC=20海里.现以AB 的中点为原点, AB 所在直线为x 轴建系.现根据船P 接收到C 点与A 点发出的电磁波的时间差计算出距离差,得知船P 在双曲线22(27)13664x y --=的左支上，若船P 上接到A 台发射的电磁波比B 台电磁波早185.2μs(已知电磁波在空气中的传播速度约为0.3km/μs.1海里=1.852km),则点P 的坐标(单位:海里)为A.903211(,)7B.135322(,7 32.(17,)3C ±D. (45,162)±二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分) 13. 曲线2(1)ln y x x =+在(1, 0)处的切线方程为_____14.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足13,a =且1413,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =____15. 已知x, y 满足315,212,,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨∈⎪⎪∈⎩N N,则z=3x+2y 的最大值为____16.已知ω>14，函数()sin()4f x x ωπ=+在区间(π, 2π)上单调. 1(,1].4ω∈①②f(x)在区间(π, 2π)上单调递减;③f(x)在区间(0, π)上有零点;④f(x) 在区间(0, π)上的最大值一定为1. 以上四个结论，其中正确结论的编号是____三、解答题(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. （本小题满分12分）华为手机作为全球手机销量第二位，一直深受消费者喜欢。

云南师范大学附属中学2020-2021学年高三高考适应性月考卷(七)文科综合试题含答案

9．该省经济发达，电力需求大，消费量大，占全国9.2%，居前列，C正确；该省因电力需求大，经济发达，沿海，有核电发展条件，并非因当地核燃料丰富，A错；该省电力生产以火电为主，清洁能源生产及消费占比较少，排除B；该省地势低平，水能开发条件差，排除D。

10．江苏大部分地区处于我国秦淮线以南，不在国家集中供暖区，冬季广大居民只能用电取暖；今年初遭遇寒潮天气，大幅降温，用电量大增；江苏工业发达，电力生产量大，需求大也大，排除A、B、C；江苏省以火电为主，不存在因电力生产量大，无法储存，所以要大量消耗。

D符合要求。

11．盐城濒临黄海，受夏季风影响明显，夏季风能资源更丰富，A错；连云港并非晋煤外运的主要港口，B错；上海是长三角城市体系中的第一级城市，C错；徐州地处淮北，为冬季集中供暖区，煤炭资源丰富，有条件供暖，D正确。

12．A→C表示商品价格先涨后落，在绿色食品供给不变的情况下，人们对绿色食品的需求增加，会导致供不应求，价格上涨，①图文不符；B→D表示商品价格下跌，在航班供给不变的情况下，广州到香港航班的客运量减少，会导致供过于求，价格下跌，②图文相符；C→E表示商品价格先落后涨，在鲜花需求不变的情况下，鲜花供给量增加，会导致供过于求，价格下跌，③图文不符；D→E表示商品价格上涨，在钢铁需求不变的情况下，钢铁产量减少，会导致供不应求，价格上涨，④图文相符。

故本题选A。

13．企业联村带社助农增收发展格局的实现，是因为规模化、标准化、专业化农产品基地分工更细，强化合作，发挥了规模经营的优势，降低了农业生产成本，提高了农业生产效率，①③正确；增加农民收入，并未形成市场垄断，②错误；该模式是从生产、流通环节进行分工与协作，拓宽农产品的流通渠道，扩大了农产品的供给，但不会扩大需求，④排除。

故本题选D。

14．先进制造业发展并非对民生发展的影响，A项不符合题意；居民收入差距缩小与消费价格指数上升没有必然联系，C项排除；国家财政支出增加与居民劳动报酬增加没有直接关系，D项排除。

云南师大附中2022届高考适应性月考卷(七)文数答案

文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CDACBADADBCC【解析】1．因为直线2y =与圆224x y +=相切，所以AB 的元素的个数是1，故选C.2．原命题的条件是“若24x <”，结论为“22x −<<”，则其逆否命题是：若2x ≥或2x −≤，则24x ≥，故选D.3．根据茎叶图可知，甲运动员的平均成绩低于乙运动员的平均成绩，甲的成绩比乙的成绩更集中，因此甲比乙稳定，故选A ．4．A 选项，()f x 的定义域为R ，()e ()e x x f x x f x x −−=−−=−，，故()f x 为非奇非偶函数；B 选项，()f x 的定义域为[0)+∞，，不关于原点对称，故()f x 为非奇非偶函数；C 选项，()f x 的定义域为R ，22()sin ()sin f x x x f x x x −=−−=−，，故()f x 为奇函数；D 选项，()f x 的定义域为(0)(0)−∞+∞，，，()ln ||()ln ||f x x f x x −==，，故()f x 为偶函数，故选C ．5．由题可知，落入枫叶轮廓中的概率为6031005S P S ===枫叶正方形，所以枫叶的面积近似为223==15135cm 5S P S ⨯=正方形枫叶，故选B ．6．由题得1110242a a ==，解得112a =，故112n n a −=，所以21108910226S S a a −=+=+=，故选A.7．由题可知1cos isin z θθ=+，2sin()i cos()sin i cos z θθθθ=−+−=−+，所以21z z = 2222sin icos (sin icos )(cos isin )(sin cos )ii cos isin (cos isin )(cos isin )cos sin θθθθθθθθθθθθθθθθ−+−+−+===++−+，故选D.8．由题得直线1l 与直线2l 之间的距离为22534d =+，所以圆心C 在两直线之间．圆心C 到直线1l 的距离为2214(23)2d =−=，则圆心C 到直线2l 的距离为2523d =−=，故22||4327CD =−=A ．9．由ππ4x k −=得ππ4x k k =+∈N ，，故()f x 在[08π]，上的零点从小到大排成首项为π4、公差为π的等差数列．由ππ8π4x k =+≤得07k ≤≤，即该数列共有8项，所以所有零点之和为π878π30π42⨯⨯+⨯=，故选D ． 10．设6AD =，则13AA =，2AB BC CA ===．如图1，通过补体将直线AP 平移至1A R ，则异面直线AP 与1A Q 所成角等于1A R 与1A Q 所成角．由图得2211125A Q A R ==+，222222QR =+=，则2221(5)(5)(22)1cos 5255QA R ∠==⨯⨯，故选B ． 11．根据椭圆的标准方程222116x y b +=知()(4)004A B −，，，，设00()P x y ，，则00()Q x y −，，且22002116x y b +=，0104y k x =+，0204y k x −=−，所以2201220316164y b k k x −===−，解得3b =即椭圆的短轴长为23b =，故选C ． 12．由余弦定理可得222(10)(32)2cos 210325BAC +−∠⨯⨯，sin 5BAC ∠=．设ABC △的外接圆半径为r ，由正弦定理可得2sin BC r BAC =∠，故52sin BCr BAC==∠，所以球O 的半径为2232h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，球O 的表面积为24π36πS R ==，故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 13 14 15 16 答案 21331+①③④【解析】13．设应抽取理科学生人数为x ，则30900270900x =−，解得21x =．故答案为：21． 14．由题得a 在b 方向上的投影为1||cos 2a ab 〈〉=−，，所以1cos 2a b 〈〉=−，，所以222|2|4414cos 43a b a a b b a b +=++=+〈〉+=，，即|2|3a b +=．故答案为：3．15．不妨设A B ，分别在第一、第三象限，则260AOF ∠=︒.由12||||2AB F F c ==得2||||OA OF =，且四边形12AF BF 为矩形. 故2AOF △是正三角形，2||AF c =，1||3AF c =. 由双曲线的32c c a −=，从而31ce a==，31．图116．()f x 的定义域为R ，由于22cos(π)cos π()()()11x xf x f x x x −−===−++，所以()f x 的图象关于y 轴对称，故①正确；当102x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，cos πy x =单调递减且函数值为正数，21y x =+单调递增且函数值为正数，故2cos π()1x f x x =+在102⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，故③正确；由于2cos π111x x +≤，≥，所以()1f x ≤，当且仅当0x =时取等号，故④正确；由④知，当且仅当0x =时，()f x 的函数值为1，故()f x 不可能是周期函数，从而()f x 的图象不可能是中心对称图形，故②错误．故答案为：①③④．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（1）根据表中数据可得22100(40203010)1004.762 6.6357030505021K ⨯⨯−⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有99%的把握认为新药治疗该疾病有明显的效果． ………………………（4分）（2）记小明、小亮和其余3人分别为12a b c ，，，，，Ω为“从5人中随机邀请3人”，A 为“小明和其中一位同伴小亮同时被邀请”，则{(12)(12)(12)(1)a b c a b Ω=，，，，，，，，，，，，(1)(1)(2)(2)(2)()}a c b c a b a c b c a b c ，，，，，，，，，，，，，，，，，， {(12)(12)(12)}A a b c =，，，，，，，，，故3()10P A =． ………………………………（12分）18．（本小题满分12分）（1）证明：如图2，取CD 的中点N ，连接MN EN ，． M N ∵，分别是1C D CD ，的中点，1MN CC ∴∥且112MN CC =．又E ∵是1AA 的中点， 11A E CC ∴∥且1112A E CC =．图21A E MN ∴∥且1A E MN =．∴四边形1A ENM 是平行四边形．1A M EN ∴∥．又1A M ⊄∵平面CDE ，EN ⊂平面CDE ，1A M ∴∥平面CDE ． …………………………………………………………（6分）（2）解：由题可得11111(24)8432513222CDF BCF B DF BCDB S S S S =−−=⨯+⨯−⨯⨯−⨯⨯=△△△梯形，点E 到平面CDF 的距离3d AC ==，所以111331333C DEF CDF V S d −==⨯⨯=△． …………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）由正弦定理得2sin cos sin cos cos sin B A A C A C =+，所以2sin cos sin cos cos sin sin()sin(π)sin B A A C A C A C B B =+=+=−=．又(0π)B ∈，，所以sin 0B ≠，所以1cos 2A =．又(0π)A ∈，，所以π3A =． …………………………………………………………（6分）（2）若选择①，将3a =43b B =代入sin sin a b A B =43233πsin sin 3BB =，即3tan B =，因为0πB <<，所以π6B =，2b =，ππ2C A B =−−=．所以11322322ABC S ab ==⨯=△．若选择②，将23a =，12b c =代入2222cos b c a bc A +−=得216c =，解得4c =（4c =−舍去），所以2b =．所以113sin 242322ABC S bc A ==⨯⨯=△． …………………………………（12分）20．（本小题满分12分）（1）解：由24x y =得214y x =，12y x '=，则切线斜率为1k =，故切线方程为12y x −=−，即1y x =−． …………………………（2分）令1y =−得0x =，即(01)Q −，．所以π2PFQ ∠=，PQF △的外接圆圆心为PQ 的中点(10)，，半径22||2+2==222PQ r =故PQF △的外接圆方程为22(1)2x y −+=． ………………………………（6分）（2）证明：设2004x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0(0)x >，由（1）得切线斜率为012k x =，所以01tan 2PQR x ∠=，且切线为200011()42y x x x x −=−，即200240x x y x −−=．令1y =−得0022x x x =−，即00212x Q x ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，． ①当02x =时，tan 1PQR ∠=，π4PQR ∠=； (01)Q −，，π2FQR ∠=，满足2FQR PQR ∠=∠． ②当02x ≠时，0200041(1)tan 4202FQ x FQR k x x x −−∠===−⎛⎫−− ⎪⎝⎭，0222001242tan 2tan 21tan 412x x PQR PQR PQR x x ⨯∠∠===−∠−⎛⎫− ⎪⎝⎭，所以tan tan 2FQR PQR ∠=∠．因为P 在第一象限，所以2(0π)FQR PQR ∠∠∈，，，故2FQR PQR ∠=∠．综上，2FQR PQR ∠=∠． …………………………………………………（12分）（注：其他证法酌情给分，如证明PF QF ⊥．） 21．（本小题满分12分）解：（1）当0a =时，()(1)e x f x x =−，()e x f x x '=．当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．所以()f x 在0x =处取极小值(0)1f =−，无极大值． ……………………………（4分）（2）由题得()e x f x x a '=−，[0+)x ∈∞，．①当0a ≤时，e 0x x >，0a −≥，故()0f x '≥，()f x 在[0+)∞，上单调递增．所以min 3()(0)12f x f a ==−=−，解得23a =（舍去）．②当0a >时，(0)0f a '=−<，()(e 1)0a f a a '=−>，且()f x '在[0+)∞，上单调递增，故()f x '在[0+)∞，上有唯一零点0(0)x a ∈，，且00e x a x =．当0[0)x x ∈，，()0f x '<，()f x 单调递减；当0()x x ∈+∞，，()0f x '>，()f x 单调递增．所以0min 0000000013()()(1)e (1)12x a f x f x x ax x ax a x a x x ⎛⎫==−−=−−=−−=− ⎪⎝⎭，即001312x x −−=−，解得012x =，e a =02x =，22e a =．综上，a e或22e ． …………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）由e e e e t tt tx y −−⎧=+⎪⎨=−⎪⎩，，得222222e e 2e e 2t t t t x y −−⎧=++⎪⎨=+−⎪⎩，，消去参数t 得224x y −=，又e e 2t t x −=+≥，所以曲线C 的普通方程为224(2)x y x −=≥．由(3sin 5cos )26ρθθ−=得5cos 3sin 260ρθρθ−+=，所以直线l 的直角坐标方程为53260x y −+=． ……………………………（5分）（2）设点P 的坐标为(e e e e )t t t t −−+−，，则点P 到直线l 的距离为 2222e 8e 2634343453t t t t t t t t d −−−−+===+，当2e 8e t t −=，即e 2t =，ln 2t =，可以取到上述“=”，此时点P 为5322⎛⎫⎪⎝⎭，．所以曲线C 上的点到直线l 34． …………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（1）解：由绝对值不等式1212||||||x x x x −−≤得121212||||||||x x x x x x −−−−≤≤，故111()||()222f x x x a x x a a ⎛⎫=+−−−+−−=−+ ⎪⎝⎭≥，当且仅当11022x a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤时取“=”．所以不等式()10f x +≤有解的充要条件是1102a −+≤，解得3122a a −≤或≥．故实数a 的取值范围为3122⎛⎤⎡⎫−∞−+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，，． …………………………（5分）（2）证明：由题得1111()12222f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+−−+−−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤，当且仅当12x ≥时取“=”，故max ()1f x =．所以1M =，1m n +=．因为2222()()2m p n q mp nq m p n q mn pq mp nq +−+=++−2(1)(1)22(0m m p n n q mn pq mnp mnq mn pq mn p q =−+−+−−+=−−≤，所以22≤，++m p n q mp nq()()故m p n q mp nq++…………………………（10分）其他解法：由柯西不等式得22=++=+≤，m p q m mp n nq m n mp nq mp nq((()()故m p n q mp nq++。

云南师大附中2020届高考适应性月考卷(七)文科综合-答案

文科综合参考答案·第1页（共11页）云南师大附中2020届高考适应性月考卷（七）文科综合参考答案一、选择题（本大题共35小题，每小题4分，共140分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D B C C D C B D A D D 题号 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 答案 B A C B B A C B B D B B 题号 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 答案 A A C B B D A A C B C【解析】1．欧美等发达国家实施纺织品保护措施，中国纺织品出口配额大幅减少，到墨西哥（北美自由贸易区成员）建厂，是为了避开发达国家设置的贸易壁垒，增加纺织品出口量。

故选A 。

2．据图可知，上海纺织集团与发达国家合作，中国主要从事加工制造环节，同时利用发达国家研发、营销（品牌）优势。

故选D 。

3．企业生产投资的根本目的在于通过优势互补，提高产业利润。

故选B 。

4．该地位于我国东北平原，纬度较高，冻土分布广；地势低洼，河流众多且部分河段自南向北流，凌汛发生频率高，利于沼泽形成；根据等值线分布状况，该地年降水量远小于蒸发量。

故选C 。

5．该地地势低洼，湖沼遍地，便于周边的径流汇集，地下水位较高，地下水溶解周边和该地基岩中的盐分，导致湖沼中盐碱度较高。

故选C 。

6．该地位于季风区与非季风区的过渡地带，将湿地改为水田，发展水稻种植业，由天然湿地变成人工湿地，农业生产活动（化肥、农药的使用）将导致水质下降。

故选D 。

7．早晨和傍晚太阳高度小、气温低，水汽易凝结，太阳光穿过云层时，被散射，呈现不同色彩。

大气逆辐射与散射无关。

故选C 。

8．早晨大气中的水汽较多，随着气温上升，午后对流运动显著，易形成降水。

故选B 。

文科综合参考答案·第2页（共11页）9．雅丹地貌发育的物质基础是流水堆积作用形成的河湖相沉积物；地表裂隙发育，有利于风化剥蚀作用，使侵蚀速度加快，裂隙处不断加深和扩大；风化和侵蚀作用形成的碎屑物质经风力搬运，使地表起伏不平，所以风力强劲是动力条件；岩层弯曲变形是内力作用的结果，图中沉积物为水平堆积状，无弯曲变形状，与雅丹地貌成因关系不大，故选D 。

2020年云师大七-文数

在区间 (0，π)
上没有零点，故③错；而，π) 上的最大值一定为 1，故④对．综上，正确的是②④．
三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12 分）
解：（1）易得
购买华为
购买其他
总计
年轻用户
12
非年轻用户
24
总计
36
28
40
36
60
64
(B，f )，(c，d )，(c，e)，(c，f )，(d，e)，(d，f )，(e，f )， 15 种可能，
其中满足要求的有
6
种，由古典概型可知
P
=
6 15
=
2 5
．
……………………（12 分）
18．（本小题满分 12 分）
解：（1）
∠BAD
=
∠BAC
−
∠DAC
=
2π 3
−
π 2
=
π 6
，
在 △ABD 中，由余弦定理可知，
BD2 = AB2 + AD2 − 2AB AD cos ∠BAD = 3 + 1 − 2 ×
3 ×1×
3 2
= 1，
所以
△ABD
为等腰三角形，∴ ∠B
=
∠BAD
=
π， 6
∴∠C
=
π 3
− ∠B
=
π 6
，
∴
DC
=
1
sin
π 6
= 2，∴ BC
=
BD + CD
=3．
……………………………………………………………………（6 分）
32
2 11

2020-2021学年云南师大附中高三(上)适应性数学试卷(文科)(一) (含解析)

2020-2021学年云南师大附中高三(上)适应性数学试卷(文科)(一)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合M ={0,1，2}，N ={x ∈N|x −1≥0}，则M ∩N =( )A. {1}B. {2}C. {0,1}D. {1,2}2. 已知i 为虚数单位，设z =1+2+i i，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 函数f(x)=e x +x −2的零点所在的区间是( )A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)4. 若tanα=3，则sin2α=( )A. −35B. 35C. −45D. 455. 在区域{0≤x ≤10≤y ≤1内任意取一点P(x,y)，则x 2+y 2>1的概率是( )A.2π−44B.π−24C. π4D.4−π46. 双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F (3,0)，且点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为1，则双曲线C 的离心率为( )A. √2B. 3√24C. 2√33D. 2√37. 已知点D 是△ABC 的BC 边的中点，点E 是AD 的三等分点，且满足AE =2ED ，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 8. 在正项等比数列{a n }中，已知a 3⋅a 5=12，则a 1+a 7的最小值为( )A. 4√2B. 2√3C. 2√2D. 4√39. 某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积是( )A. 323 B. 643 C. 16 D. 1310. 直线x =a (a >0)分别与曲线y =2x +1，y =x +lnx 相交于A ，B 两点，则|AB|的最小值为( )A. 1B. 2C. √2D. √311. 过抛物线x 2=4y 的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，2|AF|=|BF|+|BA|，则|AB|=( )A. 3B. 72C. 4D. 9212. 已知函数f(x)的定义域为R.当x <0时，f(x)=x 3−1；当−1≤x ≤1时，f(−x)=−f(x)；当x >12时，f(x +12)=f(x −12).则f(6)=( )A. −2B. −1C. 0D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足条件{|x|≤1,|y|≤1,则z =2x +y 的最小值是________．14. 过原点与曲线y =lnx 相切的切线方程为________．15. 已知P 是直线3x +4y +8=0上的动点，PA ，PB 是圆x 2+y 2−2x −2y +1=0的切线，A ，B是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________。

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为 AC，BD 为直径，所以 ABC BAD 90 ，当点 P 在点 C 或点 D 处时， △ABP 为直角三
角形，当点 P 在点 C 与点 D 之间的劣弧上时， △ABP 为锐角三角形，故使 △ABP 为锐角三角
形的概率为
1 6
．
12 ．设
M (x1，y1)
，
N (x2，y2 )
，由
y kx Βιβλιοθήκη x22y2
m， 2
(1
2k 2 )x2
4kmx
2(1
m2 )
0
，则
1 2k 2 0，
0
1
m2
2k 2
0
①，且
x1
x2
4mk 1 2k2
， x1 x2
2(m2 1) 1 2k2
，设
MN
的中点为 G(x0，y0 )
，
3．若抽取的管理人员有 6 人，且抽取的管理人员与业务人员的比为 1∶4，所以抽取的业务人员有
24
人，又抽取的后勤人员比业务人员少
20
人，抽取的后勤人员有
4
人，所以
6
m 24
4
120 24
，
∴ m 170 ，故选 A．
4．因为 0 a 1 ， b 1 ， c 0 ，∴ c a b ，故选 B．
，π 2
【解析】
13．画出可行域，得平面区域的面积为
1 2
4
2
4
．
14 ．设
A
y12 3
，y1
，
B
y22 3
，y2
，∵
y1 y2
p2
9 4
，∴
uuur OA
uuur gOB
y12 3
，y1
g
y22 3
，y2
1 9
y12 y22
y1 y2
27 16
．
15．设圆心为 O，连接 AO 并延长交圆于点 C，连接 BO 并延长交圆于点 D，连接 BC，AD，CD．因
即 2021 年是辛丑年，故选 B．
10．因为 AB 平面 BCD，所以 AB BC ，AB BD ，∴ BC BD 42 (2 3)2 2 ，在 △BCD 中，
CD 2 2 ， ∴ CD2 BC2 BD2 ， ∴ BC BD ．设球 O 的半径为 R ，则 2R
5．因为 f (x) g(x) 22x ， f (x) ， g(x) 是定义在 R 上的偶函数和奇函数，所以 f (x) g(x) 22+x ，
∴
g(x)
1 2
(22 x
22x )
，∴
g (1)
3 ，故选
D．
6．对于命题 p，取 a π ，对任意实数 x，cos(x π) cos x 成立，因此 p 真；对于命题 q，函数 f (x)
文科数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 C D A B D C C B B A D A
【解析】
1．
z
2 1 2i
2(1 2i) (1 2i)(1 2i)
2 5
4 5
i
，∴
z
2 5
4 5
i
，故选
C．
2．因为 B {0，1} ，所以 A I B {0，1} ，故选 D．
则 x0
1
2km 2k
2
， y0
1
m 2k
2
，∵
AG
MN
，∴ 1 m 2k 2 2km
gk
1 ，∴ 2k 2
3m 1 ②，由①②
得
1 3
m
0
或
m
3
，故选
A．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
题号
13
14
15
16
答案
4
27 16
1 6
π 2
，
π 3
U
π 3
的定义域是
(b，b)
，且
f
(x)
f
(x)
ln
b b
x x
ln
b b
x x
0
，∴
f
(x)
ln
b b
x x
为奇函数，因此
q
真，所以 p q 为真命题，故选 C．
7．设 4 个根组成的等差数列为 x1 ， x2 ， x3 ， x4 ，则 x1 x4 x2 x3 2 ，∴ 2x1 3d 2 ．
又∵
d
1，∴
x1
1 2
，∴
x2
1 2
，
x3
3 2
，
x4
5 2
，∴
mn
15 16
，故选
C．
8．由题意 f (0) 2sin
3
，又 |
|
π 2
，∴
π 3
．易知
f
(x)
的最大值为
2，最小值为
2
，则
相邻两个最值点间的距离为
T 2
2
42
5T 6
，
∴
π 3
．∴
f
(x)
2 sin
π 3
x
π 3
2
sin
π 3
(x
1)
，故要得到函数
y
f
(x)
的图象，只需将函数
y
2 sin
π 3
x
的图象向右平移
1
个
单位，故选 B．
9．天干的周期为 10，地支的周期为 12，因为 1894 年是“干支纪年法”中的甲午年，所以 2014 年为甲午年，从 2014 年到 2021 年，经过了 7 年，所以“天干”中的甲变为辛，地支中的午变为丑，
BA2 BC2 BD2 (2 3)2 22 22 2 5 ，∴ R 5 ，所以球 O 的表面积为 20π ，故选 A． 11．设 g(x) e ，h(x) sin x x gcos x ，求方程 f (x) 0 的根的个数，即求函数 y g(x) 与 y h(x) 的
x 图象的交点个数．因为 f (x) 与 g(x) 均为奇函数，故只需求函数 y g(x) 与 y h(x) 的图象在 (0，4π] 上的交点个数. 因为 h(x) x sin x ，所以 h(x) 在 (0，π) ，(2π，3π) 上单调递增，在 (π，2π) ， (3π，4π) 上单调递减. 画出函数 y g(x) 与 y h(x) 在 (0，4π] 上的图象，得两图象在 (0，4π] 上有 4 个交点，故在[4π，0) 上也有 4 个交点，故方程 f (x) 0 在[4π，4π] 上有 8 个根，故选 D．