几道数列解答题

几道数列解答题
1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =3
1(a n -1)(n ∈N *). (Ⅰ) 求a 1,a 2;
(Ⅱ)求证数列{a n }是等比数列.
[对症下药] (Ⅰ)由S 1=3
1(a 1-1), 得a 1=3
1(a 1-1),∴a 1=-2
1.又S 2=3
1(a 2-1),即a 1+a 2=3
1(a 2-1),得a 2=4
1.
(Ⅱ)当 n ＞1时,a n =S n S n-1=31(a n -1)-3
1(a n-1-1),得1
-n n a a =-21,所以{a n }是首项为-2
1,
公比为-21的等比数列.
2. 已知数列{a n }的首项为a 1=2,前n 项和为S n ,且对任意的正整数n,a n 都是3S n -4与2-25S n-1的等差中项(n ≥2).(1)求证:数列{a n }是等比数列,并求通项a n ;
答案：当n ≥2时，2a n =3S n -4+2,22
12
5243)(2,2
51111+=-+-=------n n n n n n n S S S S S S S 得到即 又{}.212111211
,21,21,21,1,2--++===--===n n n n n n n n n a
a a a a S S S S a a a a 得的等比数列是公比为所以数列而
则有
(2)证明2
1(log 2S n +log 2S n+2)＜log 2S n+1; 答案：由,214,2
12
2
---==
n n n n S a 得 .
222
22
21.
2222221)21(
416)2
1
4()()
21()2
1
(516)2
14)(2
1
4(---+---++
-=-
=+-=--=n n n n n n n
n n n S S S
.log )log (log 2
1
)(122222
12++++<+<∴n n n n n n S S S S S S ] (3)若b n =
n
a 4-1,c n =log 2(
n
a 4)2,T n 、R n 分别为{
b n }和{
c n }的前n 项和.问:是否存在正整
数n,使得T n ＞R n ,若存在，请求出所有n 的值，若不存在请说明理由.
答案：,,22,2,1221n n R n T n c b n n n n n n +=--=∴=-=+ 当n=1、2、3时，T n <R n .当n=4、5时T N >R n .
.
2243)(1)11(2,62
2211111112111111++>++=++>++++++=+=≥++++-++++++n n n n C C C C C C C C n n n D n n n n n n n D n n n 时当
即.2221n n n n +>--+N ∈≥∴>n n R T n n ,4.
3.(典型例题)已知数列{a n }是首项为a 且公比q 不等于1的等比数列，S n 是其前n 项和，a 1,2a 7,3a 4成等差数列.
(Ⅰ) 证明12S 3,S 6,S 12-S 6成等比数列; (Ⅱ)求和T n =a 1+2a 4+3a 7+…+na 3n-2.
[对症下药](Ⅰ)证明:由a 1,2a 7,3a 4成等差数列.得4a 7=a 1+3a 4,即4aq 6=a+3aq 3.变形得(4q 3+1)(q 3-1)=0,所以q 3=-4
1或q 3=1(舍去)由
3612S S =
,1611211)1(121)1(33161=+=----q q
q a q
q a 6612S S S -=
=-----=-11)
1(1)1(161121612q
q a q
q a S S 1+q 6-1=q 6
=161,得
3
612S S =
6
612S S S -.所以12S 3,S 6,S 12-S 6成等比数列.
(Ⅱ)解法:T n =a 1+2a 4+3a 7+…+na3a-2=a+2aq 3+3aq 6+…+naq 3(n-2),即T n =a+2·(-4
1)a+3·(-4
1)2a+…+n·(-4
1)n-1a. ①
①×(-4
1
)3a 得:-4
1T n =-4
1a+2·(-4
1)2a +3·(-4
1)3a+…+n·(-4
1)n a ② ①-②有：
45T n =a+(-41)a+(-41)2a+(-41)3a+…(-41)n-1a-n·(-41
)n a=⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--411411n a -n·(-41)n a=5
4a-(
54+n)·(-41)n a.所以T n =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-n a 5425162516·(-41)n a. 4 已知等差数列{a n }的首项为a,公差为b;等比数列{b n }的首项为b,公比为a,其中a,b ∈N +,且a 1＜b 1＜a 2＜b 2＜a 3.
(Ⅰ)求a 的值; 答案：
.
2).3(32.41.
122,1111
2,1.
2,,,,2====∴⎩⎨⎧<>∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
++<++>∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-<->∴⎩⎨
⎧+<<+∴N ∈+<<+<+a a a a a a b a b a b b a b b
a b a ab ab b a b a b a ab b a a 故时不合题意舍去或
(Ⅱ)若对于任意n ∈N +,总存在m ∈N +，使a m +3=b n ,求b 的值； 答案：,2)1(5,3,2,)1(21.1--=-+=+∙=-+=n n m n n m b b m b a b b b m a 可得由
即b(2n-1-m+1)=5,∴b=5.
(Ⅲ)在(Ⅱ)中，记{c n }是所有{a n }中满足a m +3=b,m ∈N +
的项从小到大依次组成的数列，又记S n 为{c n }的前n 项和，S n ≥T n (n ∈N +).
答案：由(2)知a n =5n-3,b n =5.2n-1,
).(,..
0]12
1
212)1(1[5]
12
121)1[5]
12
1
21)11[(5]121
212[5,3.9,2).15(2
1
,3)12(5,325,3253223
212222111.1+--N ∈≥>∴=----++>---++++=---+=---
=-≥====-=
--=∴-=∴-∙=-=∴n T S T S n n n n n n n C C C n n n n T S n T S T S n n T n S C b a n n n n n n n n n n n n n n n n n n m 便得综合以上时当。