数列解答题练习答案

13-14学年度上学期高三理数综合练习

高三理科数学寒假作业

数列答案

1.在等差数列{a n}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.

(1)求数列{a n}的通项公式；

(2)对任意m∈N*，将数列{a n}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为b m，求

数列{b m}的前m项和S m.

解(1)因为{a n}是一个等差数列，

所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，即a4＝28.

设数列{a n}的公差为d，则5d＝a9－a4＝73－28＝45，故d＝9.

由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9，即a1＝1.

所以a n＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)．

(2)对m∈N*，若9m＜a n＜92m，

则9m＋8＜9n＜92m＋8，因此9m－1＋1≤n≤92m－1，

故得b m＝92m－1－9m－1.

于是S m＝b1＋b2＋b3＋…＋b m

＝(9＋93＋…＋92m－1)－(1＋9＋…＋9m－1)

＝9×(1－81m)

1－81

－

1－9m

1－9

＝92m＋1－10×9m＋1

80.

2．已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.

(1)若a＝1，求数列{a n}的通项公式；

(2)若数列{a n}唯一，求a的值．

解(1)设数列{a n}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)．

即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋2，q2＝2－ 2.

所以数列{a n}的通项公式为a n＝(2＋2)n－1或a n＝(2－2)n－1.

(2)设数列{a n}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a

－1＝0(*)，

由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，故方程(*)有两个不同的实根．

由数列{a n}唯一，知方程(*)必有一根为0，

代入(*)得a＝1 3.

3.在等比数列{a n}中，a2＝6，a3＝18，

(1)求数列{a n}的通项公式；

(2)若数列{b n}满足：b n＝a n＋(－1)n ln a n，求数列{b n}的前n项和S n.

解 (1)由 a 2＝6，a 3＝18，得公比q ＝3， 因此a 1＝2， 故a n ＝2·3n －1.

(2)因为b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1) ＝2·3n －1＋(－1)n [ln 2＋(n －1)ln 3] ＝2·3n －1＋(－1)n (ln 2－ln 3)＋(－1)n n ln 3，

所以S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n ]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)n n ]ln 3. 所以当n 为偶数时，

S n ＝2×1－3n 1－3

＋n 2ln 3＝3n ＋n

2ln 3－1；

当n 为奇数时，

S n ＝2×1－3n 1－3－(ln 2－ln 3)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫

n －12－n ·

ln 3 ＝3n －n －1

2ln 3－ln 2－1.

综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧

3n

＋

n 2ln 3－1，n 为偶数，

3n －n －12ln 3－ln 2－1，n 为奇数.

4.已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋1

2，n ∈N *.

(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式． (1)证明 b 1＝a 2－a 1＝1.

当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n 2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－1

2b n －1，∴{b n }

是以1为首项，－1

2为公比的等比数列．

(2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－12n －1，

当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－12＋…

＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12n －2

＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1

1－⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤

1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1 ＝53－23⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12n －1.

当n ＝1时，53－23⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－121－1＝1＝a 1，

∴a n ＝53－23⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12n －1

(n ∈N *)．

5.设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *. (1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围． 解 (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ，

即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )，

又S 1－31＝a －3(a ≠3)，故数列{S n －3n }是首项为a －3，公比为2的等比数列，

因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *. (2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *，

于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －

2＝2×3n

－1

＋(a －3)2n －2，

当n ＝1时，a 1＝a 不适合上式，

故a n ＝⎩⎨⎧

a ，n ＝1，

2×3n －1＋(a －3)2n －

2，n ≥2.

a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2

＝2n －2⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3， 当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇔12·⎝ ⎛⎭

⎪⎫32n －2

＋a －3≥0⇔a ≥－9. 又a 2＝a 1＋3>a 1.

综上，所求的a 的取值范围是[－9，＋∞)．

(二)数列综合问题 （数列与函数、不等式等知识的综合问题）

6.在数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝

1

a n －1

(n ∈N *)．

(1)求证：数列{b n }是等差数列；

(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．