2018届高三数学文一轮复习课件：5-2 等差数列及其前n项和 精品

解析：(1)方法一：设等差数列{an}的公差为 d，则aa11＋ ＋a31d＋＝47d，＝10， 即 2aa1＋1＋34d＝d＝71，0，
解得 d＝2。 方法二：由等差中项的性质知，a3＝a1＋2 a5＝5， 又∵a4＝7，∴公差 d＝a4－a3＝7－5＝2。
解析：(2)由等差数列前 n 项和公式知 S8＝8a12＋a8＝4(a1＋a8)＝4(a7＋a2)， 又 S8＝4a3， ∴4(a7＋a2)＝4a3。 ∴－2＋a2＝a3。 ∴公差 d＝－2。 ∴a9＝a7＋2d＝－6。
(3)关于等差数列奇数项与偶数项的性质：
①若项数为 2n，则 S 偶－S 奇＝
nd ，S奇＝ an 。 S偶 an＋1
n
②若项数为 2n－1，则 S 偶＝(n－1)an，S 奇＝n
an，S 奇－S 偶＝an
，S奇＝ S偶
n－1
。
S2n－1
(4)两个等差数列{an}，{bn}的前 n 项和 Sn，Tn 之间的关系为abnn＝ T2n－1 。
微考点
等差数列的判定与证明
【典例 2】已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1 ＝12。
(1)求证：{S1n}是等差数列； 解析：(1)证明：∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)， 又 an＝－2Sn·Sn－1， ∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0， ∴S1n－Sn1－1＝2(n≥2)。 由等差数列的定义知{S1n}是以S11＝a11＝2 为首项，以 2 为公差的等差数列。
(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由。 解析：(2)由(1)知，bn＝n－72， 则 an＝1＋b1n＝1＋2n2－7， 设函数 f(x)＝1＋2x2－7，
易知 f(x)在区间－∞，72和72，＋∞内为减函数。 ∴当 n＝3 时，an 取得最小项－1； 当 n＝4 时，an 取得最大项 3。
∴an＝20＋(n－1)×－53＝－53n＋635。 ∴a13＝0，即当 n≤12 时，an>0，n≥14 时，an<0， ∴当 n＝12 或 13 时，Sn 取得最大值，且最大值为 S13＝S12＝12×20＋12×2 11
(5)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数。(×)
解析：错误。根据等差数列的前 n 项和公式 Sn＝na1＋nn2－1d＝d2n2 ＋a1－d2n，显然只有公差 d≠0 时才是关于 n 的常数项为 0 的二次函数， 否则不是(甚至也不是 n 的一次函数，即 a1＝d＝0 时)。
2．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足S33－S22＝1，则数列{an}的公
[规律方法] (1)化基本量求公差 d 或项数 n。通项公式和前 n 项和公式是解决此类问题 的基础和核心，在求解时，一般要运用方程思想。 (2)化基本量求通项。a1 和 d 是等差数列的两个基本元素，只要把它们求出 来，其余的元素便可以求出。 (3)化基本量求特定项。利用通项公式或等差数列的性质求解。 (4)化基本量求前 n 项和，直接将基本量代入前 n 项和公式求解，或利用等 差数列的性质求解。
微考点
等差数列前 n 项和的最值
【典例 3】(1)在等差数列{an}中，已知 a1＝20，前 n 项和为 Sn，且 S10＝S15， 求当 n 取何值时，Sn 取得最大值，并求出它的最大值；
解析：(1)方法一：∵a1＝20，S10＝S15， ∴10×20＋102×9d＝15×20＋15×2 14d， ∴d＝－53。
方法二：∵数列{an}为等差数列，且前 n 项和为 Sn， ∴数列{Snn}也为等差数列。 ∴mSm－－11＋mSm＋＋11＝2mSm， 即m－－21＋m＋3 1＝0，解得 m＝5。 经检验为原方程的解。
解析：(4)由 a3＝a22－4，得到 1＋2d＝(1＋d)2－4，即 d2＝4，因为{an}是递 增的等差数列，所以 d＝2，故 an＝2n－1。
二、小题查验 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个 数列是等差数列。(×) 解析：错误。若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数 不全相等，这个数列就不是等差数列。 (2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*，都有 2an＋1＝an＋ an＋2。( √) 解析：正确。如果数列{an}为等差数列，根据定义 an＋2－an＋1＝an＋1－ an，即 2an＋1＝an＋an＋2；反之，若对任意 n∈N*，都有 2an＋1＝an＋an＋2，则 an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝…＝a2－a1，根据定义数列{an}为等差数 列。
微知识❽ 等差数列与等差数列各项的和有关的性质
(1)若{an}是等差1数列，则{Snn}也成等差数列，其首项与{an}首项相同， 公差是{an}公差的 2 。
(2)Sm，S2m，S3m 分别为{an}的前 m 项，前 2m 项，前 3m 项的和，Sm， S2m－Sm，S3m－S2m 成 等差 数列。
(2)求 an 的表达式。
解析：(2)由(1)知S1n＝S11＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n， ∴Sn＝21n。 当 n≥2 时，有 an＝－2Sn×Sn－1＝－2nn1－1， 又∵a1＝12，不适合上式，
12，n＝1， ∴an＝－2nn1－1，n≥2。
[规律方法] 等差数列的判定方法 (1)定义法：对于 n≥2 的任意自然数，验证 an－an－1 为同一常数； (2)等差中项法：验证 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立； (3)通项公式法：验证 an＝pn＋q； (4)前 n 项和公式法：验证 Sn＝An2＋Bn。 [提醒]在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前 n 项和公
an＝a1＋(n－1)d 。 微知识❸ 等差中项 如果 A＝a＋2 b ，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。
微知识❹ 等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋ (n－m)d ，(n，m∈N*)。 (2)若{an}为等差数列，且 k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N*)，则 ak＋al＝am＋an 。
【微练 1】(1)已知数列{an}为等差数列且 a1＋a7＋a13＝4π，则 tan(a2＋a12)
的值为( D )
A. 3
B．± 3
C．－
3 3
D．－ 3
(2)等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列前 13 项的和
是( C )
A．156
B．52
C．26
D．13
(3)等差数列{an}的单调性是由公差 d 决定的。( √)
解析：正确。当 d＞0 时为递增数列；d＝0 时为常数列；d＜0 时为递减 数列。
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数。(×) 解析：错误。根据等差数列的通项公式，an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)， 只有当 d≠0 时，等差数列的通项公式才是 n 的一次函数，否则不是。
na1＋an 2 ，或 Sn＝
微知识❻ 等差数列的前 n 项和公式与函数的关系
Sn＝d2n2＋a1－d2n。 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn，(A2＋B2≠0)。 微知识❼ 等差数列的最值
在等差数列{an}中，若 a1＞0，d＜0，则 Sn 存在最 大 值；若 a1＜0，d ＞0，则 Sn 存在最 小 值。
式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断。
【微练 2】已知数列{an}中，a1＝35，an＝2－an1－1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}
满足 bn＝an－1 1(n∈N*)。
(1)求证：数列{bn}是等差数列； 解析：(1)证明：∵an＝2－an1－1(n≥2，n∈N*)， bn＝an－1 1。 ∴n≥2 时，bn－bn－1＝an－1 1－an－11－1＝2－an11－1－1－an－11－1＝ana－n1－－1 1－ an－11－1＝1。 又 b1＝a1－1 1＝－52。 ∴数列{bn}是以－52为首项，1 为公差的等差数列。
(3)设等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若对任意正整数 n 都有 TSnn＝24nn－－33，则b5＋a9 b7＋b8＋a3b4的值为__14_91_______。
解析：(1)由等差数列的性质，得 a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，∴a7＝43π。 tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan83π＝tan23π＝－ 3。
解析：(2)∵a3＋a5＝2a4，a7＋a10＋a13＝3a10， ∴6(a4＋a10)＝24，故 a4＋a10＝4。 ∴S13＝13a12＋a13＝13a42＋a10＝26。 解析：(3)∵{an}，{bn}为等差数列， ∴b5＋a9 b7＋b8＋a3 b4＝2ab96＋2ab36＝a92＋b6a3＝ab66。 ∵ST1111＝ab11＋ ＋ab1111＝22ab66＝24× ×1111－ －33＝1491， ∴ab66＝1491。
解析：由 an＋1＝an＋2 知{an}为等差数列其公差为 2。 故 an＝1＋(n－1)×2＝2n－1。 答案：2n－1
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考点例析 对点微练
微考点
等差数列的基本运算
【典例 1】(1)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
4．在等差数列{an}中，已知 a4＋a8＝16，则该数列前 11 项和 S11＝( ) A．58 B．88 C．143 D．176
解析：S11＝11a12＋a11＝11a42＋a8＝88。 答案：B
5．在数列{an}中，若 a1＝1，an＋1＝an＋2(n≥1)，则该数列的通项 an＝ ________。
(3)若{an}是等差数列，公差为 d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d 。 (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}是 等差数列 。 (5)若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*) 是公差为 md 的等差数列。