循环码(9,3)码
(完整版)循环码
2、循环码2.1循环码的基本原理 1.定义循环码是满足循环特性的线性分组码，是线性分组码的子类，之所以这样说是因为线性分组码要求所选择的码是线性的，循环码则是在线性分组码的基础之上进一步要求所选择的码具有循环性。
假设C 是一个(n,k)线性码，如果C 中任意一个码字经任意循环移位之后仍然是C 中的码字，那么此码是一个循环码。
循环码具有规则的代数结构，且是自封闭的，因此用多项式来描述更方便。
长度为n 的循环码可用一个n-1次多项式来描述，此多项式称为码多项式，表示如下：(1)左移i 位后的码多项式为(2)码多项式与循环移位后的多项式之间的关系为)1()(c xC(x)1)1(021121-n -+=++⋅⋅⋅++=---nn n n n x c x C x c x c x c x (3)也即是)1m od()()()1(-≡n x x xC x C (4)以此类推，可以得到)1m od()()()(-≡n i i x x C x x C (5)2.循环码的性质(1)GF(q)上的(n,k)循环码中，存在唯一的一个n-k 次首一多项式0111)(g x g x g x x g k n k n k n ++⋅⋅⋅++=-----，每一个码多项式)(x C 都是)(x g 的倍式，即循环码的码多项式)(x C 中次数最低且其常数项为1的码多项式有且仅有一个，为码的生成多项式，记做)(x g 。
循环码C 中的每个码多项式)(x C 都可唯一表示成)()()(x g x m x C =。
(2))(,),(),(),(12x g x x g x x xg x g k -⋅⋅⋅都是生成多项式，他们的线性组合也是生成多项式。
(3)GF(q)上(n,k)循环码的生成多项式)(x g 一定是)1(-nx 的因子。
(4)循环码的生成矩阵H 和校验矩阵H 的正交性可以用多项式表示为1)()(-=n x x h x g 。
循环码
b
c
u3u2u1u0
u3u2u1u0 c2 c1c0
a
b
c
除法过程： 除法过程：
u3u2u1u0
[ x { x ( x[ u3 x3 ]mod g(x) + u2x3 )mod g(x) + u1x3 }mod g(x) + u0x3 ]mod g(x)
1 0 u 0 1 0 1 1 ×3' c ' 0d 0 0
例如：( 7, 4 )循环码的生成多项式为：g(x)=( x3 + x + 1 )，求其系统码的生成矩阵 )循环码的生成多项式为 循环码的生成多项式为： )， 例如： 1）n = 7，k = 4，因此生成矩阵阶数：4×7。其中单位阵Ik为4×4，Q矩阵4×3 7， 4，因此生成矩阵阶数： 其中单位阵I 矩阵4
BCH码 BCH码
是一类能纠正多个随机错误的循环码 其生成多项式为： 其生成多项式为：
g ( x) = LCM [ m1 ( x), m3 ( x),L , m2t −1 ( x) ]
其中m 为素多项式， 为纠错个数，LCM表示取最小公倍数 其中mi(x)为素多项式，t为纠错个数，LCM表示取最小公倍数，最 表示取最小公倍数， 小码距d 2t 小码距d ≥ 2t+1 BCH码分为两种： BCH码分为两种： 码分为两种 1）本原BCH码：码长n = 2m - 1 本原BCH码 码长n 2）非本原BCH码：码长n为2m - 1的因子 非本原BCH码 码长n 其中m 其中m表示素多项式的次数
有y = c + e，即y(x) = c(x) + e(x) ，则： e， e(
CRC码 CRC码
即循环冗余校验码，广泛用于数据通信和移动通信中，进行数据的校验，具有 即循环冗余校验码，广泛用于数据通信和移动通信中，进行数据的校验， 实现简单，检错能力强。其原理为： 实现简单，检错能力强。其原理为： 然后除以生成多项式g 1）任意长的信息位向左移动r位，即xru(x)，然后除以生成多项式g(x)得到的 任意长的信息位向左移动r 余数附加在信息码之后形成码组c 然后进行发送； 余数附加在信息码之后形成码组c(x)，然后进行发送； 2）接收端接收到码组y(x)，然后除以g(x)，如果能整除则表示无错发生，否 接收端接收到码组y 然后除以g 如果能整除则表示无错发生， 则表示有错 详细过程： 详细过程： 1）信息位为u(x)，先向左移动r位，即xru(x)。求余式[xru(x)]mod g(x)= r(x) 信息位为u 先向左移动r 求余式[ 2）则将c(x) = xru(x) + r(x)发送出去 则将c 3）若用e(x)表示可能的错误，则接收到 y(x) = c(x) + e(x) = xru(x) + r(x)+e(x)， 若用e 表示可能的错误， )+e 那么校验方法： 那么校验方法： [y(x)]mod g(x)=[xru(x) + r(x) + e(x) ]mod g(x) = r(x) + r(x) + [ e(x) ]mod g(x) =[x
循环码的名词解释
循环码的名词解释循环码是一种特殊的编码方式，用来提高数据传输的可靠性和容错能力。
它在数据通信领域广泛应用，并且在计算机网络、无线通信和数据存储等方面发挥着重要作用。
1. 循环码的基本原理与应用循环码是通过在数据中插入冗余信息来实现错误检测和纠正的。
它利用数学运算的方法，在编码和解码过程中实现了循环移位和异或运算，从而能够有效地检测和纠正数据中的错误。
循环码的编码过程主要分为两步：首先，将原始数据序列转化为多项式形式；然后，通过对多项式进行除法运算，得到一个多项式商和余数。
接着，将余数添加到原始数据序列末尾，得到编码后的循环码。
在数据传输过程中，接收端会对接收到的循环码进行解码。
解码的过程类似于编码过程，通过对接收到的循环码进行除法运算，得到一个多项式商和余数。
如果余数为零，表示数据没有发生错误；如果余数不为零，则表示发生了错误，并且可以通过运算来纠正错误。
循环码在许多数据传输领域中都有广泛的应用。
在计算机网络中，循环码常被用于帧同步和错误检测；在无线通信中，循环码则用于数据压缩和信道编码；在数据存储中，循环码则被用来提高磁盘驱动器的可靠性。
2. 循环码的类型与特性循环码根据其生成多项式的次数和码字长度可以分为不同类型，常见的有循环冗余校验码（CRC码）和哈米尔顿循环码。
CRC码是一种广泛应用的循环码类型，它的生成多项式的次数固定，一般在16位、32位或64位。
CRC码的特点是简单、高效和易于实现，适用于需要高效的错误检测的场景。
哈米尔顿循环码是另一种常见的循环码类型，它的生成多项式是哈米尔顿矩阵的一部分。
哈米尔顿循环码的特点是可以纠正多个错误，但生成与解码的复杂度较高，适用于对数据可靠性要求较高的场景。
除了CRC码和哈米尔顿循环码外，还有其他类型的循环码，如重量为素数的循环码、重量为2的循环码等。
它们各有特点和应用范围，可以根据实际需求选择适合的循环码类型。
3. 循环码的发展与应用前景随着通信技术的不断发展和应用场景的不断扩展，对于循环码的需求也变得越来越高。
循环码
7
循 环 码
三、循环码的生成多项式和生成矩阵
⒈ 定理一
(n, k)循环码C(x)中存在一个非零的、首一的、次数最低 且次数为r(r<n)的码式g(x)，满足
1) g(x)是唯一的
2) g(x)的零次项g0 ≠ 0 3) c(x)是码式当且仅当c(x)是g(x)的倍式 4) r = n-k 记：g(x) = xr + gr-1xr-1 + … + g1x + g0
循环码的生成矩阵
码式g(x),g(x)∙x,…, g(x)∙xk-1是线性无关的，所以(n , k)循环 码的生成矩阵在g(x)确定后可以表示为G，
15
循 环 码
四、循环码的校验多项式和校验矩阵
由于g(x)是xn-1的因式，因此定义(n , k)循环码的一致检验多 项式为h(x)，
h(x) = (xn-1)/g(x)
也必是码式，所以g(x)的倍式a(x)∙g(x)若次数小于n则必是 码式。
充分性：如果f(x)是码式，则必有 f(x) = a(x)∙g(x)+r(x)，0 ≤ r(x)的次数 < g(x)的次数， 若r(x) ≠ 0，则r(x)一定是码式，且次数小于r，这与假设矛 盾。因此必有r(x) = 0，所以码式f(x)一定是g(x)的倍式。
C(x)=(Cn－1xn－1+Cn－2xn－2+…+C0)
对于二进制码，码多项式的每个系数不是0就是1。
x仅是码元位置的标记。我们并不关心x的取值。 码多项式 i 次循环移位的表示方法，码矢C1左移一位 得码矢C2，各自用多项式形式表示如下：
4
循 环 码
C1(x) Cn1xn1 Cn2 xn2 C1x C0
信息论与编码题库
信息论与编码题库信息论与编码模拟题⼀、填空题1、已知 8 个码组为（000000）、（001110）、（010101）、（011011）、（100011）、（101101）、（110110）、（111000）。
则该码组的最⼩码距是 3 ，若只⽤于检错可检测 2 位错码，若只⽤于纠错可纠正 1 位错码。
2、同时掷两个正常的骰⼦，也就是各⾯呈现的概率都是 1/6，则“两个 1 同时出现”这⼀事件的⾃信息量为 5.17 ⽐特。
3、已知信源的各个符号分别为字母A ，B ，C ，D ，现⽤四进制码元表⽰，每个码元的宽度为10ms ，如果每个符号出现的概率分别为1/5，1/4，1/4，3/10，则信源熵H （x ）为 1.985 ⽐特/符号，在⽆扰离散信道上的平均信息传输速率为 198 bit/s 。
4．1948 年，美国数学家⾹农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论⽂，从⽽创⽴了信息论。
5．对离散⽆记忆信源来说，当信源呈____________分布情况下，信源熵取最⼤值。
6、对于某离散信道，具有3 x 5的转移矩阵，矩阵每⾏有且仅有⼀⾮零元素，则该信道噪声熵为；最⼤信息传输率为。
7、⼆元删除信道BEC(0.01)的信道转移矩阵为，信道容量为；信道矩阵为100001010001010??的DMC 的信道容量为。
8．数据处理定理：当消息经过多级处理后，随着处理器数⽬的增多，输⼊消息与输出消息之间的平均互信息量趋于变⼩。
9.(7,3)码监督矩阵有 4 ⾏,⽣成矩阵有 3 ⾏。
10.对线性分组码,若要求它能纠正3个随机差错,则它的最⼩码重为 7 ,若要求它能在纠错2位的同时检错3位,则它的最⼩码重为 8。
11．汉明码是⼀种线性分组码，其最⼩码距为 3 。
12.信道编码的⽬的是提⾼数字信息传输的可靠性 ,其代价是降低了信息传输的有效性。
13.在通信系统中,纠检错的⼯作⽅式有反馈重发纠错、前向纠错、混合纠错等。
14.离散对称信道输⼊等概率时，输出为( 等概)分布。
循环码原理
循环码原理
循环码是一种在数字通信和数据存储中广泛应用的编码技术，它通过在原始数
据中添加冗余信息，以实现数据的纠错和检错。
在循环码的编解码过程中，涉及到很多重要的原理和算法，下面将对循环码的原理进行详细介绍。
首先，循环码的生成原理是基于多项式的除法运算。
在编码过程中，原始数据
被看作是一个多项式的系数，而生成多项式则是用来产生冗余信息的多项式。
通过对原始数据多项式进行除法运算，得到的余数就是添加了冗余信息的编码数据。
而在解码过程中，利用同样的生成多项式进行除法运算，可以得到余数，通过余数的位置和数值来进行错误的定位和纠正。
其次，循环码的检错和纠错原理是基于循环冗余校验（CRC）的思想。
CRC是一种通过对数据进行多项式除法运算来生成校验码的技术，循环码正是利用了
CRC的原理来实现数据的检错和纠错。
通过对接收到的数据进行除法运算，可以
得到余数，如果余数不为零，则说明数据中存在错误，通过对余数的位置和数值进行分析，可以确定错误的位置和数量，并进行纠正。
此外，循环码还涉及到很多重要的算法，如生成多项式的选择、循环移位寄存
器的设计、巴特勒特码的生成等。
这些算法都是循环码能够高效工作的关键，它们通过精确的数学推导和优化，使得循环码在实际应用中能够达到较高的纠错性能和编解码效率。
总的来说，循环码是一种非常重要的编码技术，它在数字通信和数据存储中有
着广泛的应用。
通过对循环码的原理进行深入的理解和研究，可以更好地应用和优化循环码的编解码过程，提高数据传输的可靠性和效率。
希望通过本文的介绍，读者能够对循环码有一个更清晰的认识，从而更好地应用和推广这一重要的编码技术。
循环码
实验、循环码编译码系统一、 实验目的：1、熟悉循环码的编译码原理；2、掌握Quartus Ⅱ开发软件的运用，在该软件下熟练的运用多种输入方式完成各种电路设计的要求；3、初步掌握VHDL 语言，能够运用该语言编写简单的程序，完成设计要求；4、熟悉对PLD 的下载和仿真，学会观察测试结果的正确性；5、学会运用各方面知识，设计并实现一个系统。
二、 实验要求：使用Quartus Ⅱ软件，用m 序列发生器作为信号源设计循环码编译码，速率可自定,并在实验箱上调试出编码和译码波形，比较信号源和译码后的信号波形。
三、实验设备：Quartus II 软件、Modelsim 软件、FPGA 实验箱、微机1台、示波器1台四、实验原理：1、 循环码的编码循环码最大的特点就是码字的循环特性，所谓循环特性是指：循环码中任一许用码组经过循环移位后，所得到的码组仍然是许用码组。
若（1n a - 2n a -…… 1a 0a ）为一循环码组，则(2n a - 3n a -……0a 1n a -)、（3n a - 4n a -……1n a - 2n a -）、……还是许用码组。
也就是说，不论是左移还是右移，也不论移多少位，仍然是许用的循环码组。
表1-2给出了一种（7，3）循环码的全部码字。
可以将循环码码组用代数多项是来表示，这个多项式被称为码多项式，对于表1-2中的任一码组可以表示为：654326543210()A x a x a x a x a x a x a x a =++++++ （1-4）表1-2一种（7，3）循环码的全部码字在码多项式运算中采用按模运算法则。
若一任意多项式F (x )被一个n 次多项式N (x )除，得到商式Q (x )和一个次数小于n 的余式R (x )，也就是：()()()()()F x R x Q x N x N x =+ （1-5） 则可以写为：F (x )≡R (x )（模N (x )）。
这时，码多项式系数仍按模2运算，即只取值0和1，假设：计算x 4+x 2+1除以x 3+1的值可得：422331111x x x x x x x ++++=+++ （1-6）循环码的生成多项式和生成矩阵：（全0码字除外）称为生成多项式，用g (x )表示。
通信原理循环码
通信原理循环码通信原理循环码循环码是一种特殊的线性码，它具有循环移位不变性和线性可加性。
在通信原理中，循环码被广泛应用于纠错编码和加密传输等领域。
循环移位不变性是指循环码的编码和解码过程中，对于输入数据的循环移位操作不会影响编码结果和解码正确性。
这种特性使得循环码在传输过程中具有较强的容错能力，可以有效地纠正传输中出现的错误。
线性可加性是指循环码的编码和解码过程中，对于输入数据的线性组合操作也不会影响编码结果和解码正确性。
这种特性使得循环码可以通过多个编码器进行编码，通过多个解码器进行解码，从而实现分布式传输和解码。
循环码的编码过程可以通过生成矩阵来描述。
生成矩阵是一个k×n 的矩阵，其中 k 表示输入数据的长度，n 表示编码后数据的长度。
生成矩阵的每一行表示一个编码器，每一列表示一个输入数据位。
通过将输入数据乘以生成矩阵，即可得到编码后的数据。
循环码的解码过程可以通过校验矩阵来描述。
校验矩阵是一个 (n-k)×n 的矩阵，其中 n 表示编码后数据的长度，k 表示输入数据的长度。
校验矩阵的每一行表示一个校验器，每一列表示一个编码后数据位。
通过将编码后数据乘以校验矩阵的转置，即可得到校验结果。
如果校验结果为零向量，则说明解码正确；否则，说明存在错误，需要进行纠错操作。
循环码的纠错能力可以通过最小距离来衡量。
最小距离是指循环码中任意两个编码后数据之间的汉明距离的最小值。
汉明距离是指两个数据之间不同位数的个数。
循环码的纠错能力与最小距离成正比，即最小距离越大，纠错能力越强。
循环码的加密传输可以通过置换矩阵来实现。
置换矩阵是一个n×n 的矩阵，其中 n 表示编码后数据的长度。
置换矩阵的每一行和每一列都是一个置换向量，表示对应位置的数据位在加密传输中的置换关系。
通过将编码后数据乘以置换矩阵，即可得到加密后的数据。
总之，循环码作为一种特殊的线性码，在通信原理中具有广泛的应用。
它具有循环移位不变性和线性可加性，可以实现分布式传输和解码。
第11章_循环码
《信息论与编码》课件 信息论与编码》
11.1 循环码的描述
循环码在性能上，具有明确的纠、检错能力， 循环码在性能上，具有明确的纠、检错能力，对于给定 的码长n和信息位数 和信息位数k， 的码长 和信息位数 ，已提出的各类循环码都有确定的 纠、检错能力的理论计算值； 检错能力的理论计算值； 实现上， 在实现上，编码和译码都可以通过简单的反馈移位寄存 器来完成； 器来完成； 结构上，它的循环性使得更容易用数学语言来描述。 在结构上，它的循环性使得更容易用数学语言来描述。 本章将首先研究如何对循环码进行描述 首先研究如何对循环码进行描述。 本章将首先研究如何对循环码进行描述。 然后讨论其编码和译码方法 讨论其编码和译码方法。 然后讨论其编码和译码方法。 接着以二元BCH码为例对其性能进行详细分析。 接着以二元 码为例对其性能进行详细分析。 最后对多元BCH码、RS码和其他循环码进行简要的讨论。 最后对多元 码 码和其他循环码进行简要的讨论。
v (i ) ( x) = vn −i −1x n −1 + vn − i − 2 x n − 2 + L + v1x i +1 + v0 xi + vn −1xi −1 + L + vn −i +1x + vn −i
v (i ) ( x) 为码序列循环移位i次后的码多项式。 称 循环移位 次后的码多项式。
东南大学移动通信国家重点实验室
5
《信息论与编码》课件 信息论与编码》
11.1 循环码的描述
11.1.1 循环码的定义
可以建立码序列和码多项式的一一对应关系。 可以建立码序列和码多项式的一一对应关系。 建立码序列和码多项式的一一对应关系 设码序列为 v = (vn −1 , vn − 2 , ⋅ ⋅ ⋅, v1 , v0 ) 则它可用多项式表示为 则它可 v ( x ) = vn −1 x n −1 + vn − 2 x n − 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + v1 x + v0 (11.1) 将它进行i次循环左移，得 ，
循环码
(模( x7 1))
信息位 a6 a5 a4 监督位 a3 a2 a1 a0
1
2 3 4
000
001 010 011
0000
0111 1110 1001
5
6 7 8
100
101 110 111
1011
1100 0101 0010
x4 x2 x 1
5 4 3 T ( x ) x x x 1 ； 码组（0111001）的码多项式为
码组（1110010）的码多项式为 T ( x ) x x x x ；
6 5 4
反之，若已知码多项式也可以求得对应的码组。 码多项式T(x)=x7+ x3+ x+1，则8位该组为 C=（10001011）。 码多项式T(x)=x5+ x3+ x2 + x1 ，则7位码组为 C=（0101110） 。
（2） 已知信息码，由生成多项式g(x)得到循环码 对长为k位的任意消息组 M=(mk-1,…, m1,m0)，其对
应的消息多项式为m(x)=mk-1xk-1+…+ m1x+m0
可乘以g(x)而构成n-1次的码多项式：
2016/6/24
T ( x) (mk 1 xk 1 m1 x m0 ) g( x) m( x) g( x)
即生成多项式：g(x) = x4 + x2 + x + 1。将此g(x)代入 （0010111）
x k 1 g ( x) k 2 x g ( x) G ( x) xg ( x) g ( x)
循环码的基本概念
循环码的基本概念
循环码是一种特殊的线性块码，具有循环移位不变性的特点。
循环码的基本概念包括以下几个方面：
1. 线性块码：循环码是一种线性块码，即码字是由编码器对信息位进行线性变换得到的。
线性块码的特点是可以通过线性运算进行编码和解码操作。
2. 循环移位不变性：循环码的一个重要特点是具有循环移位不变性，即对于循环码的任意码字，将其循环右移若干位后得到的码字仍然属于该循环码。
这个特性使得循环码在传输过程中具有较好的容错性能。
3. 生成多项式：循环码的编码过程可以通过一个生成多项式来实现。
生成多项式是一个二进制多项式，通过将信息位与生成多项式进行模2除法运算，得到编码后的码字。
4. 校验多项式：循环码的解码过程可以通过一个校验多项式来实现。
校验多项式是一个二进制多项式，通过将接收到的码字与校验多项式进行模2除法运算，得到校验结果。
如果校验结果为0，则认为接收到的码字没有错误；如果校验结果不为0，则认为接收到的码字存在错误。
5. 循环码的编码和解码：循环码的编码过程是将信息位与生成多项式进行模2除法运算，得到编码后的码字。
循环码的解码过程是将接收到的码字与校验多项式进行模2除法运算，得到校验结果。
如果校验结果为0，则认为接收到的码字没有错误；如果校验结果不为0，则认为接收到的码字存在错误，并进行纠错操作。
总之，循环码是一种具有循环移位不变性的线性块码，通过生成多项式和校验多项式实现编码和解码操作，具有较好的容错性能。
《循环码教学》课件
在检测过程中，接收端将接收到的码字左移r位，然后除以生成多项式。如果余数为零，则认为传输过程中没有 发生错误；如果余数不为零，则认为传输过程中发生了错误。通过这种方式，循环码可以检测到单个或多个比特 错误。
03
循环码的编码与解码
编码过程
01
02
03
04
05
定义
选择生成多项式
生成多项式与信 息比特序…
编码与解码的实例演示
确定错误的位置为第4位（从右 往左数）。
纠正错误，将第4位由0改为1 ，得到纠正后的码字比特序列 1010101101。
将纠正后的码字比特序列与生 成多项式进行模2除法运算，得 到恢复的信息比特序列 1011001。
04
循环码的性能分析
误码率分析
误码率定义
影响因素
误码率是指接收端接收到的错误码元 与总码元数的比值，是衡量循环码性 能的重要指标。
影响循环码误码率的因素包括信噪比 、码长、编码方式和传输通道特性等 。
误码率计算
通过理论分析和仿真实验，可以计算 出不同条件下循环码的误码率，从而 评估其性能。
抗干扰性能分析
抗干扰能力评估
循环码具有良好的抗干扰性能， 能够有效地抵抗信道中的噪声和
干扰。
干扰抑制机制
循环码通过引入冗余和校验位，利 用编码规则对干扰进行检测和纠正 ，从而降低误码率。
添加校验位
得到码字比特序 列
循环码是一种线性码，其 编码过程是将信息比特序 列与一个生成多项式序列 进行模2除法运算，得到码 字比特序列。
根据给定的码长和纠错能 力，选择合适的生成多项 式。
将生成多项式与信息比特 序列逐位相乘，得到中间 比特序列。
根据中间比特序列和生成 多项式的系数，计算校验 位，并将其添加到中间比 特序列的末尾。
循环码
8.5 循环码循环码是线性分组码中最重要的一个子类码，它的基本特点是编码电路及伴随式解码电路简单易行；循环码代数结构具有很多有用的特性，便于找到有效解码方法。
因此在实际差错控制系统中所使用的线性分组码，几乎都是循环码。
下面将介绍循环码的多项式表示及其性质，同时简介几种重要的循环码，CRC、BCH和R-S 码等。
8.5.1 循环码的描述1. 码多项式及其运算通式表示为：（8-69）于是称与为“同余”式，即[模]（8-70）如：则[模] 即能被整除利用这一运算原理，我们可对一个码字进行移位表示：如：的多项式表示为：使码组向左移2位（循环）则有对应多项式然后以去除得：这一结果表明，以作除法运算（称模）后，即与为同余因此，（模）应注意，利用这种同余式表示，必须加注（模），否则就不明确在什么条件下得到的这一同余关系式。
2.循环码的构成循环码的构成突出特点是只要是该码中的一个许用码组——码字，通过循环位其结果则可包括全部个非全0码字，如上面介绍的（7，3）分组码，从信码位0 0 1构成的码字（0011101）开始逐一向左（或者向右）移一位，可得其余6个码字：（0111010）、（1110100）、（1101001）、（1010011）、（0100111）、（1001110）。
若把这些码字写成码多项式，都具有同一个移位运算模式，并设（0011101）对应的码多项式，于是，有：（模)（8-71）这样，就构成了（7，3）循环码，如表8-4。
从表8-4看出，循环得到的（7，3）码，仍为系统码，信息码组均在表中码字的高位（左方）。
表8-4 （7，3）循环码移位（7，3）码码多项式（模）0 0 0 1 1 1 0 11 0 1 1 1 0 1 02 1 1 1 0 1 0 03 1 1 0 1 0 0 14 1 0 1 0 0 1 15 0 1 0 0 1 1 16 1 0 0 1 1 1 08.5.2 循环码生成多项式与生成矩阵1. 生成多项式由表8-4构成个非全0码字多项式的过程与结果看，我们从开始进行逐一循环，并以模运算，该码字正是信码组中最低位为1，对应码字多项式，在全部非全0码字中，它的最高位阶次也最低，并等于，即最高次项为，随后一系列码字都源于它的移位而形成，因此称其为生成多项式，即（8-72）然后再从的因式分解来进一步分析（8-73）我们可以将三个既约多项式因式任意组合成两个因式，可有（8-74）如：（8-75）（8-76）其中可以组合为二因式中包含最高次为4次的情况有两种，即展开式的第4及第5两组，都可以作为阶次最高为4的即（8-77）（8-78）在展开式中选用了其中一个（组合）因式为后，余下一个因式，则称其为循环码的监督多项式，如式（8-74）生成多项式与相应监督多项式乘积等于多项式。
循环码
2、循环码2.1循环码的基本原理 1.定义循环码是满足循环特性的线性分组码，是线性分组码的子类，之所以这样说是因为线性分组码要求所选择的码是线性的，循环码则是在线性分组码的基础之上进一步要求所选择的码具有循环性。
假设C 是一个(n,k)线性码，如果C 中任意一个码字经任意循环移位之后仍然是C 中的码字，那么此码是一个循环码。
循环码具有规则的代数结构，且是自封闭的，因此用多项式来描述更方便。
长度为n 的循环码可用一个n-1次多项式来描述，此多项式称为码多项式，表示如下：(1)左移i 位后的码多项式为(2)码多项式与循环移位后的多项式之间的关系为)1()(c xC(x)1)1(021121-n -+=++⋅⋅⋅++=---nn n n n x c x C x c x c x c x (3)也即是)1m od()()()1(-≡n x x xC x C (4)以此类推，可以得到)1m od()()()(-≡n i i x x C x x C (5)2.循环码的性质(1)GF(q)上的(n,k)循环码中，存在唯一的一个n-k 次首一多项式0111)(g x g x g x x g k n k n k n ++⋅⋅⋅++=-----，每一个码多项式)(x C 都是)(x g 的倍式，即循环码的码多项式)(x C 中次数最低且其常数项为1的码多项式有且仅有一个，为码的生成多项式，记做)(x g 。
循环码C 中的每个码多项式)(x C 都可唯一表示成)()()(x g x m x C =。
(2))(,),(),(),(12x g x x g x x xg x g k -⋅⋅⋅都是生成多项式，他们的线性组合也是生成多项式。
(3)GF(q)上(n,k)循环码的生成多项式)(x g 一定是)1(-nx 的因子。
(4)循环码的生成矩阵H 和校验矩阵H 的正交性可以用多项式表示为1)()(-=n x x h x g 。
精简版第九章循环码PPT课件
2020/9/26
通信原理II讲义
5
什么是循环码？
请注意“线性”和“循环”本身是不相干的事 情，我们对循环码的定义已经包括了线性特性。 在下页表所列的4种(3,2)码中，只有第一种符 合我们对循环码的定义。
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信息 00 01 10 11
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什么是循环码？
c8=1011100
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什么是循环码？
例如c3=(0101110)循环移一位是c8=(1011100)， 再循环移一位是c7=(0111001)。
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4
什么是循环码？
c3 c2
c4
c8 c7
c6 c5
c1
(a ) (7 ,3 )循 环 码 的 码 字 循 环 关 系
n 1
cx c n 1 xn 1 c n 2 xn 2 ... c 1 x c 0c ixi
i 0
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循环性
码字 Ccn1cn2...c1c0 的循环左移1位为
C1cn2...c1c0cn1
其码多项式
c 1 x c n 2 x n 1 ...c 1 x 2 c 0 x c n 1
但g’(x)的次数小于g1(x),g2(x)，与假设矛盾。
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循环码的性质
设 gx g r 1 x r 1 g r 2 x r 2 ... g 1 x g 0
则根据循环性和线性性
fx f0 f1 x ... fn r x n rg x
循环码
第四章循环码我们所获取的真理不仅仅来自于理论，还要靠灵感4.1循环码简介在第三章中，当处理线性分组码时，在分组码的结构上加进去一些线性限制条件。
这些结构上的性质可以帮助我们寻找能够快速、简单地编码和译码的线性分组码。
在本章中，我们将研究一个线性分组码的子类，该码在结构上有另外的条件的限制条件。
这种限制条件就是一个码字任意循环移位的结果都是另一个有效码字。
这种条件使得循环码可用移位寄存器非常简单的实现。
高效的电路实现是任何错误控制码的卖点。
我们也将看到伽罗瓦域理论可以有效地用于研究、分析和发现新的循环码。
循环码的伽罗瓦域表示导致低复杂度编码和译码算法。
本章内容如下：在前三节中，我们研究多项式。
我们将回顾一些概念并学习几个新概念。
然后利用这些数学工具构造和分析循环码。
接下来将介绍循环码的矩阵描述，并简要介绍准循环码和截短循环码。
然后将讨论一些流行的循环码。
本章最后讨论循环码的电路实现。
定义4.1 我们称码C是循环码，如果（1）C是一个线性码；（2）一个码字的任意循环移位的结果还是一个码字，即若为C 中的一个码字，则也是C中的一个码字。
例4.1二元码1C={0000,0101,1010,11 11}循环码，然而C2={0000,0110,1001,1111}却不是循环码，但与前面的码等价。
将C2的第三位和第四位交换就得到C1. 4.2多项式定义4.2一个多项式就是如下的数学表达式f(x)=f0+f1x+……+fmxm (4-1)其中符号x成为未知元，系数f0,f1,…..,fm是GF（q）中的元素。
系数fm称为最高项系数。
若fm 0，则m称为该多项式的次数，并记为degf(x). 定义4.3 若一个多项式的最高项系数为单位元，则该多项式称为首一的。
多项式在研究循环码方面起到重要作用。
令F（x）为系数在GF（q）上的关于x 的所有多项式的集合。
F(x)中的不同多项式可以按通常方式进行加法、减法和乘法运算。
循环码的概念及性质
循环码的概念及性质：循环码是线性分组码中最重要的一种子类，是目前研究得比较成熟的一类码。
循环码具有许多特殊的代数性质，这些性质有助于按照要求的纠错能力系统地构造这类码，并且简化译码算法，并且目前发现的大部分线性码与循环码有密切关系。
循环码还有易于实现的特点，很容易用带反馈的移位寄存器实现其硬件。
正是由于循环码具有码的代数结构清晰、性能较好、编译码简单和易于实现的特点，因此在目前的计算机纠错系统中所使用的线性分组码几乎都是循环码。
它不仅可以用于纠正独立的随机错误，而且也可以用于纠正突发错误。
在描述循环码之前，先看以下例子。
设（7，4）汉明码C的生成矩阵和校验矩阵为：于是可以得到相应的16个码组：（1000101）（0001011）（0010110）（0101100）（1011000）（0110001）（1100010）（0100111）（1001110）（0011101）（0111010）（1110100）（1101001）（1010011）（1111111）（0000000）由上述这些码组可以看到，如果是C的码组，则它的左右移位都是C的码组，具有这种特性的线性分组码称为循环码。
循环码具有以下一些性质：1、封闭性（线性性）。
任何许用码组的线性和还是许用码组。
由此性质可以知：线性码都包含全零码。
且最小码重就是最小码距。
2、循环性。
任何许用的码组循环移位后的码组还是许用码组。
循环码可以用多项式来表示。
为了用代数理论的方法研究循环码的特性，我们经常将循环码表示成码多项式的形式：通常将码的码多项式定义如下：其中，D、。
这里，GF（2）表示2元域，在GF（2）内只有两种元素0，1，且0、1满足如下的加法和乘法运算规则：1+1=0、1+0=1、0+1=1、0+0=0；1×1=1、1×0=0、0×0=0、0×1=0。
例如（1011000）码的多项式表示为循环码的生成多项式：(返回)循环码完全由其码长n和生成多项式构成。
循环码的系统编码方法
r ( x ) a ( x) 。
以题为例：已知 g ( x ) 1 x x 3 是二元域 F2 上 [7,4] 循环码 C 的生成多项式，
ห้องสมุดไป่ตู้
b (0101) V (4,2) ，将 b 以 g ( x ) 1 x x 3 为生成阵，试求：
1、 其校验多项式 h( x) ； 2、 其生成矩阵和校验矩阵； 3、用系统编码方法编码。 解 答：1、其校验多项式 h( x)
2 3 n r 1
x x3 ；
得到 C ( x) x 3 a ( x) x 4 x 6
( x 3 1)( x 3 x 1) ( x 1)
（其中 q( x) x 3 1 ， r ( x) x 1 ） 则 C ( x ) x r ( x) a ( x )
a0 , a1 , a 2 , ..., a k 1 不全为 0 ；
2、令 C ( x) x
n k
a ( x) a 0 x n k a1 x n k 1 ... a n r 1 x n1
q ( x ) g ( x ) r ( x) ；
3、则 C ( x) x
x7 1 x4 x2 x 1； g ( x)
2 3
2、由于 dim C 4 ，所以 g ( x ) , xg ( x) , x g ( x ) , x g ( x ) 是 C 的基，
1 0 故 C 的生成矩阵为 G 0 0
1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1
循环码的系统编码方法
方法分析：鉴于前两种给出的方法都是将信息位放置于后 k 位，而前 n k 位为校验位，用 此方法是将原始信息当成高阶系数来保留存放， 并低阶的系数作为校验码进行编 译。因此我给出的方法恰好相反，设给定原始信息： a0 , a1 , a 2 , ..., a k 1 ，这里讨 论如何确定唯一的 c0 , c1 , ..., c n k 1 ，使 c ( a0 , a1 , ..., a k 1 , c 0 , c1 ,.., c n k 1 ) 。 具体方法：1、设给出的 deg( g ( x )) r , k n r ，则对于信息 a0 , a1 , a 2 , ..., a k 1 给出信 息多项式为： a ( x) a0 a1 x a 2 x 2 a3 x 3 ... a n r 1 x n r 1 ，显然对于
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循环码（9，3）码课程设计一、摘要：本报告详细给出了循环码的定义以及由生成多项式求解生成矩阵和系统生成矩阵的过程，并在Matlab 环境下写出了循环码的编码器和解码器代码，实现了编码和译码功能。
分析和讨论了此码发现错误、纠正错误的能力，并讨论了其与线性分组码、Hamming 码等信道编码的区别与联系。
二、关键字：循环码 编码 译码 检错 纠错 Matlab三、基本概念：更好的设计和实现线性分组码的方法是引入特定的数学结构来界定某一类线性分组码。
循环码即是采用循环移位特性界定的一类线性分组码。
循环码定义：设C 使某(n,k)线性分组码的码字集合，如果对任何C c c c C n n ∈=--),,,(021 ，它的循环移位),,,(1032)1(---=n n n c c c c C 也属于C ，则称该（n,k ）码为循环码。
该码在结构上有另外的限制，即一个码字任意循环移位的结果仍是一个有效码字。
其特点是：（1）可以用反馈移位寄存器很容易实现编码和伴随式的计算；（2）由于循环码有很多固有的代数结构，从而可以找到各种简单使用的译码办法。
如果一个（n,k ）线性码具有以下的属性，则称为循环码：如果n 元组},,,{110-=n c c c c 是子空间S 的一个码字，则经过循环移位得到的},,,{201)1(--=n n c c c c 也同样是S 中的一个码字；或者，一般来说，经过j次循环移位后得到的},,,,,,,{11011)(---+--=j n n j n j n j c c c c c c c 也是S 中的一个码字。
循环码的多项式描述：码字的多项式描述，一个n 元码字可以用一个次数不超过n-1的多项式唯一表示)(0121c c c c c n n --=0112211)(c x c x c x c x c n n n n ++++=----其中，我们不关心x 的具体位置，其次数只表示相应码元的位置。
称这样的c(x)为c 的码字多项式。
生成多项式g(x)及生成矩阵G ：如果一种码的所有码多项式都是多项式g(x)的倍式，则称g(x)为该码的生成多项式。
在循环码中，次数最低的多项式（0除外）就是生成多项式g(x)，其他码多项式都是其倍数。
且该g(x)的阶数为r=n-k ，常数项为1，是n x +1的一个因式。
为了寻求生成多项式，必须对nx +1进行因式分解。
循环码的生成矩阵多项式为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--)()()()()(21X g X Xg X g X X g X X G k k然后将系数提出就得到生成矩阵G 。
系统循环码：循环码也可以构成为系统循环码。
为方便系统码的构造，将消息多项式和码式都记为高位在前，即),,,,(0121m m m m m k k ⋅⋅⋅=--的消息多项式为m(x)，1110)(--+++=k k x m x m m x m又设码式的高幂次部分等于m(x)，即)()()(111110x p x m x x c x c x c x c c x c k n n n k n k n k n k n +⋅=++++++=---+-+--- k n r x p -=<∂)(其中p(x)称为校验位多项式，由于码式是生成式的倍式，所以))((mod 0)()()()(x g x g x a x m x x p k n ==+-))()(mod ()(x g x m x x p r ⋅-=因此循环码的系统码码式为))]((mod )([)()(x g x m x x m x x c rr-=将循环码的系统码构造步骤总结为多项式乘))(()(x m x x m x r r =多项式求模（余式）)())())(m od ((x p x g x m x r =多项式减)()())((x c x p x m x r =-如果令)(x m 为单项式1+r x ，1,,1,0-=k irx p x p x g x a x i i r <∂+=+)(),()()(1ir i i x x p x c ++=)()(那么容易看到，)(x c i 对应的向量ic ，1,,1,0-=k i 是线性无关的，从而得到循环码系统码的生成矩阵sG 为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=------1000100011,11,10,11,111101,00100r k k k r r s p p p p p p p p p G循环码的编码：利用生成多项式g(x)实现编码：如上所述，但循环码的生成多项式g(x)确定时，码就完全确定了。
现在讨论生成多项式g(x)给定以后，如何实现循环码的编码问题。
若已知 g(x)=gn-kxn-k+gn-k-1xn-k-1+...g1x+g0 并设信息元多项式 m(x)=mk-1xk-1+mk-2xk-2+...m1x+m0要编码成系统循环码形式，即码字的最左边k 位是信息元，其余n-k 位是校验元，则要用xn-k 乘以m(x)，再加上校验元多项式r(x),这样得到的码字多项式c(x)为c(x)=xn-km(x)+r(x)=mk-1xn-1+mk-2xn-2+...m0xn-k+rn-k-1xn-k-1+...r1x+r0其中 r(x)=rn-k-1xn-k-1+...r1x+r0 c(x)一定是g(x)的倍式，即有c(x)=xn-km(x)+r(x)=q(x)g(x) c(x)=xn-km(x)+r(x)=0. mod g(x)注意到g(x)为n-k 次多项式，而r(x)最多为n-k-1次多项式，必有 r(x)=xm(x), mod g(x) （1） 即r(x)必是xn-km(x)除以g(x)的余式。
式(1)指出了系统循环码的编码方法：首先将信息元多项式m(x)乘以xn-k 成为xn-km(x)，然后将xn-km(x)除以生成多项式)(x g 得到余式r(x)，该余式就是校验元多项式，从而得到码字多项式)()()(x r x km xn x c +-=。
综上所述，系统循环码的编码问题，可以归结为两个多项式的除法运算，即将xn-km(x)除以生成多项式g(x)得到余式r(x)的运算，因此研究多项式除法的电路实现是必要的。
检错纠错能力：若纠错码的最小距离为min d ，那么如下三个结论的任何一个结论独立成立。
（1）可以检测出任意小于等于1dim -=d l 个差错； （2）可以纠正任意小于等于)]1(2/1[min -=d t 个差错；（3）可以检测出任意小于等于l 同时纠正小于等于t 个差错，其中l 和t 满足：11min -≤+d t 和1<t编码器·译码器 原理图： 编码器原理图：译码器原理图：输入R已知生成矩阵G 如下，列出S 与E 的对照表。
当收到码组[]001011001=B 时，解出对应的信息码组D⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100100100010010010001001001G⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100000100010000010001000001000100100000010010000001001H ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100000010000001000000100000010000001100100010010001001T HS 有62种形式，相应的码重最小的E 矢量有62种。
S 与E 的对照表如下：[][]000010100000010000001000000100000010000001100000010010001001001011001=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==T BH S查表可知，E 矢量为：[]000010000=E所以正确的码组A 为：[]001001001=⊕=-=E B E B A 所以信息码组为：[]001001=S由生成多项式求解生成矩阵的过程：已知：（9，3）循环码的生成多项式为1)(36++=x x x G ,求生成矩阵及系统码生成矩阵。
解：由生成多项式可得生成矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100100100010010010001001001G 则系统码生成矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100100100010010010001001001s G发现错误能力及纠正错误能力。
由生成矩阵得纠错码的最小距离3min =d ，则： （1）可以检测出任意小于等于l=2个差错； （2）可以纠正任意小于等于t=1个差错；（3）可以检测出任意小于等于2同时纠正小于等于1个差错。
循环码和线性分组码、Hamming 码的区别、联系：线性分组码：是同时具有分组特性（码子和消息长度恒定）和线性特性（消息相加后的编码等于各自编码后相加）的纠错码。
每个监督码元都是码组中某些信息码元的线性相加得到的。
将q 元符号按每k 个分为一组．然后通过编码得到n-k 个q 元符号作为冗余校验符号，最后由校验符号和信息符号组成有n 个q 元符号的码字符号。
得到的码字可以纠正t 个错误，编码码率为为k/n 。
两个属于该码的码字的和仍是一个属于该码的码字，全零字总是一个码字，一个线性码的两个码字之间的最小距离等于任何非零码字的最小汉明重量。
循环码：是采用循环移位特性界定的一类线性分组码。
是线性分组码的一个重要子类；BCH 码是其主要的一大类；汉明码、R-M 码、Golay 码、RS 码等可变换；纳入循环码内，Goppa 码的一个子类也属于循环码；用反馈线性移位寄存器可以容易的实现其编码和得到伴随式；由于数学上的特性，译码方法简单。
设C 使某(n,k)线性分组码的码字集合，如果对任何C c c c C n n ∈=--),,,(021 ，它的循环移位),,,,(1032)1(---=n n n c c c c C 也属于C 。
该码在结构上有另外的限制，即一个码字任意循环移位的结果仍是一个有效码字。
Hamming 码：汉明码是一种能纠正一位错码的线性分组码且是一类高效率的纠错码。
当m=3时，n=7，k=4。
线性分组码中的(7,4)码就是汉明码。
汉明码的译码电路利用最小码重错误图样进行译码的电路实现；利用校正子与错码位置的对应关系，也可以使用地址译码器来帮助实现译码。
循环码的MATLAB 仿真编码器和译码器的MATLAB 编写1、编码器Matlab编写m=input('输入m矩阵')G=[1 0 0 1 0 0 1 0 0;0 1 0 0 1 0 0 1 0;0 0 1 0 0 1 0 0 1] c=m*Gmod(c,2)c1=[0 0 0]*Ga1=mod(c1,2)c2=[0 0 1]*Ga2=mod(c2,2)c3=[0 1 0]*Ga3=mod(c3,2)c4=[0 1 1]*Ga4=mod(c4,2)c5=[1 0 0]*Ga5=mod(c5,2)c6=[1 0 1]*Ga6=mod(c6,2)c7=[1 1 0]*Ga7=mod(c7,2)c8=[1 1 1]*Ga8=mod(c8,2)M=[a1;a2;a3;a4;a5;a6;a7;a8]2、译码器的Matlab编写R=input('请输入R矩阵')b1=mod(R+a1,2)k1=find(b1==1)y1=length(k1)b2=mod(R+a2,2)k2=find(b2==1)y2=length(k2)b3=mod(R+a3,2)k3=find(b3==1)y3=length(k3)b4=mod(R+a4,2)k4=find(b4==1)y4=length(k4)b5=mod(R+a5,2)k5=find(b5==1)y5=length(k5)b6=mod(R+a6,2)k6=find(b6==1)y6=length(k6)b7=mod(R+a7,2)k7=find(b7==1)y7=length(k7)b8=mod(R+a8,2)k8=find(b8==1)y8=length(k8)L=[y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8][g,n]=min(L)X=M(n,:)m1=X(:,1:3)运行结果：输入m矩阵[ 1 0 1 ]m =1 0 1ans =Columns 1 through 71 0 1 1 0 1 1Columns 8 through 90 1M =Columns 1 through 70 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 1 00 1 0 0 1 0 00 1 1 0 1 1 01 0 0 1 0 0 11 0 1 1 0 1 11 1 0 1 1 0 11 1 1 1 1 1 1Columns 8 through 90 00 11 01 10 00 11 01 1请输入R矩阵[ 0 0 1 0 0 1 0 0 1 ]R =Columns 1 through 70 0 1 0 0 1 0Columns 8 through 90 1L =Columns 1 through 73 0 6 3 6 3 9Column 86g =n =2X =Columns 1 through 70 0 1 0 0 1 0Columns 8 through 90 1m1 =0 0 1参考文献：陈运主编《信息论与编码》（第2版）——电子工业出版社参与人员：吕远李东廖东杨剑李泉源。