第一章计数原理(复习教案)(学生)
高中教案：计数原理学案
高中教案：计数原理学案一、教学目标1. 理解分类计数原理和分步计数原理的概念。
2. 学会运用分类计数原理和分步计数原理解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 分类计数原理：定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有可能排列的个数称为分类计数原理。
公式：$A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$2. 分步计数原理：定义：从n个不同元素中，按一定的顺序逐个取出m（m≤n）个元素的所有可能排列的个数称为分步计数原理。
公式：$P_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$三、教学重点与难点1. 教学重点：分类计数原理和分步计数原理的概念及公式的运用。
2. 教学难点：如何将实际问题转化为分类计数原理和分步计数原理问题。
四、教学方法1. 采用案例教学法，通过具体案例让学生理解分类计数原理和分步计数原理。
2. 运用互动教学法，引导学生积极参与讨论，提高解决问题的能力。
3. 利用多媒体教学，生动展示分类计数原理和分步计数原理的应用。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例引入分类计数原理和分步计数原理。
2. 讲解分类计数原理：解释概念，演示公式，举例说明。
3. 讲解分步计数原理：解释概念，演示公式，举例说明。
4. 案例分析：让学生尝试解决实际问题，运用分类计数原理和分步计数原理。
5. 课堂练习：布置练习题，巩固所学内容。
6. 总结：回顾本节课所学内容，强调重点和难点。
7. 布置作业：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学活动1. 小组讨论：学生分组讨论分类计数原理和分步计数原理在实际问题中的应用，分享解题思路和方法。
2. 课堂展示：每组选取一个讨论题目，进行课堂展示，阐述解题过程和答案。
3. 教师点评：针对学生的展示，进行点评，指出优点和需要改进的地方。
七、拓展与应用1. 生活中的计数原理：让学生举例说明分类计数原理和分步计数原理在生活中的应用。
计数原理,排列、组合,二项式定理复习教案
国规教材
教育学生数据真实性与诚信、社会责任与公共利益、团队协作
教学流程图
4知识点检测：
（1）从甲、乙、丙3名同学中选出两名同学，一名担任班长，一名担任副班长，有多少种不同的选法？
（2）从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别参加上午和下午的活动，有多少种不同的方法？
1.组织学生在了解的基础上理解排列的概念，掌握排列数公
1.组合的概念
从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素组成一组，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
排列与组合的区别：排列是从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，与m个元素的排列顺序有关；组合是从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素组成一组，与m个元素的排列顺序无关.
2.组合数
从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素的所有组合的个数，称为从n个不同元素中取出m个元素的组合数，
用符号表示.
5、知识点检测：
某天上午共4节课，排语文、数学、体育、计算机课，其中体育课不排在第一节课，那么这天上午课表的不同排法种数是（）
1.引导并组织学生根据信息进行讨论.区别排列与组合。
国主义情怀.
1.二项式定理的内容
设 a.,b是任意实数，n是任意给定的正整数，则
2.二项展开式的通项公式
3.二项式系数与二项展开式中某项的系数
3.知识点检测：
组织学生运用二项式定理的相关内容解决实际问题.。
第一章计数原理复习教案学生1
第一章计数原理复习导学案一．学习目标1．掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简单的应用问题．2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．二．知识网络第一课两个原理一．知识梳理1．分类计数原理（也称加法原理）：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．2．分步计数原理（也称乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．3．解题方法：枚举法、插空法、隔板法．二．基础自测1.有一项活动需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加，（1）若只需一人参加，有多少种不同的选法？（2）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？（3）若只需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同的选法？2.（09重庆卷）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．3.如图所示，用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有种.4.（09全国卷）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。
若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有5.（09浙江卷）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）．三．典例剖析例1在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？练习：1.从1到20这20个整数中,任取两个相加,使其和大于20,共有几种取法?例2已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点(a,b∈M),问:(1)P可表示平面上多少个不同的点?(2)P可表示平面上多少个第二象限的点?(3)P可表示多少个不在直线y=x上的点?练习：2.某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想先选定吉利号18，然后从01至17中选3个连续的号，从19至29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注.若这个人要把这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？例3（16分）现有高一四个班学生34人,其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（3）推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？练习：3.某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动.（1）任选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？（2）三个年级各选一个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？（3）选2个班的学生参加社会实践，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？四．自主检测一．选择题1．（09北京卷理）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324 B．328 C．360 D．6482.（08·全国Ⅰ文）将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有（）A．6种B．12种C．24种D．48种3.（2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A. 60B. 48C. 42D. 36二、填空题4.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有种.答案325.某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10 000个号码，公司规定：凡卡号的后四位中带有数字“4”或“7”的一律作为优惠卡，则这组号码中“优惠卡”共有个.答案 5 9046.若一个m,n均为非负整数的有序数对（m,n)，在做m+n的加法时各位均不会进位，则称（m,n)为“简单的”有序数对，m+n称为有序数对（m,n)的值，那么值为1 942的“简单的”有序数对的个数是 .答案300三、解答题7.（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？8.用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？9.在平面直角坐标系内，点P（a，b）的坐标满足a≠b,且a,b都是集合{1,2,3,4,5,6}的元素,又点P到原点的距离|OP|≥5.求这样的点P的个数.10.将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？第二课排列与组合一．知识梳理排列组合1．概念2．公式3．性质二．基础自测1.（09北京卷文）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为；2.（09湖北卷文）从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有3.停车场每排恰有10个停车位.当有7辆不同型号的车已停放在同一排后，恰有3个空车位连在一起的排法有种.（用式子表示）4.在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法种数是（用式子表示）.5.如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）.三．典例剖析例1六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端.练习：1.用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：(1)奇数；(2)偶数；(3)大于3 125的数.例2男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.练习：2.某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中（1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？（2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？（3）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？（4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？练习：3.有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？ （1）分成1本、2本、3本三组；（2）分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本； （3）分成每组都是2本的三组；（4）分给甲、乙、丙三人，每人2本.四．自主检测 一．选择题1.（08上海）组合数C r n（n ＞r ≥1，n 、r ∈Z ）恒等于（ ）A ．r +1n +1C r -1n -1 B ．(n +1)(r +1)C r -1n -1 C ．nr C r -1n -1 D ．n r C r -1n -12. （09全国卷Ⅱ）甲、乙两人从4门课程中各选修2门。
高中数学第一章第十五课时《计数原理》小结与复习(一)教案北师大版选修2-3
江西省九江市实验中学高中数学第一章第十五课时《计数原理》小结与复习(一)教案北师大版选修2-3一、教学目标：1、使学生掌握两个原理以及排列组合的概念、计算等内容，并能比较熟练地运用；2、通过问题形成过程和解决方法的分析，提高学生的分析问题和解决问题的能力；3、引导养成学生分析过程、深刻思考、灵活运用的习惯和态度。
二、教学重难点：掌握两个原理以及排列组合的概念、计算等内容，并能比较熟练地运用。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程(一)、知识点：1、分类加法原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法•那么完成这件事共有N =叶m2 | m n种不同的方法。
2、分步乘法原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m,种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N二m, m2 HI m n种不同的方法。
3、排列的概念：从n个不同元素中，任取m ( m乞n )个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
4、排列数的定义：从n个不同元素中，任取m ( m _n )个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号A m表示。
5、排列数公式: 兀=n(n - 1)(n-2)||](n- m 1) ( m,n N ,m - n)6、阶乘：n!表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘.规定0!=1。
7、排列数的另一个计算公式：A f m= J(n -m)!8、组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m m岂n个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
9、组合数的概念：从n个不同元素中取出m m玄n个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.•用符号C n m表示。
人教版数学选修2-3第一章《计数原理》教案
XX中学课时教学设计模板XX中学课时教学设计模板XX中学课时教学设计模板一、复习知识点：1、分类计数原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有k种途径，由第1种途径有n1种方法可以完成，由第2种途径有n2种方法可以完成，……由第k种途径有n k种方法可以完成。
那么，完成这件工作共有n1+n2+……+n k种不同的方法。
2，乘法原理：如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有n1种不同的方法，完成第2步有n2种不同的方法，……，完成第K步有n K种不同的方法。
那么，完成这件工作共有n1×n2×……×n k种不同方法二、典型例题1、.用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色, 规定一个区域只涂一种颜色, 相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有种。
2、将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，若只有5种颜色可用，则不同的染色方法共有多少种？3、用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为_______.4、用0,1,2,3,4五个数字（1）可以排出多少个三位数字的电话号码？（2）可以排成多少个三位数？（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？5、用0,1,2,3,4,5可以组成无重复数字的比2000大的四位奇数______个。
XX中学课时教学设计模板求以按依次填个空位来考虑，排列数公式：=（）说明：（1）公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个 少1，最后一个因数是，共有个因数；（2）全排列：当时即个不同元素全部取出的一个排列全排列数：（叫做n 的阶乘）4.例子：例1．计算：（1）； （2）； （3）． 解：（1） ＝＝3360 ； （2） ＝＝720 ； （3）＝＝360例2．（1）若，则 ， ．（2）若则用排列数符号表示 ． 解：（1） 17 ， 14 ． （2）若则＝ ．例3．（1）从这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？（2）5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？（3）某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？解：（1）； （2）； （3）课堂练习：P20 练习 第1题mn A m (1)(2)(1)m n A n n n n m =---+(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+!()!n n m -,,m n N m n *∈≤n 1n m -+m n m =n (1)(2)21!nn A n n n n =--⋅=316A 66A 46A 316A 161514⨯⨯66A 6!46A 6543⨯⨯⨯17161554m n A =⨯⨯⨯⨯⨯n =m =,n N ∈(55)(56)(68)(69)n n n n ----n =m =,n N ∈(55)(56)(68)(69)n n n n ----1569n A -2,3,5,7,11255420A =⨯=5554321120A =⨯⨯⨯⨯=2141413182A =⨯=XX 中学课时教学设计模板解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；问题可以用“捆绑法”；“分离”2)(n m -+(1)(2)21!n n n n =-⋅=等．解排列问题和组合问题，一定要防止“重复”与“遗漏”．互斥分类——分类法先后有序——位置法反面明了——排除法相邻排列——捆绑法分离排列——插空法例1求不同的排法种数：（1）6男2女排成一排，2女相邻；（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；（3）4男4女排成一排，同性者相邻；（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．例2在3000与8000之间，数字不重复的奇数有多少个？分析符合条件的奇数有两类．一类是以1、9为尾数的，共有P21种选法，首数可从3、4、5、6、7中任取一个，有P51种选法，中间两位数从其余的8个数字中选取2个有P82种选法，根据乘法原理知共有P21P51P82个；一类是以3、5、7为尾数的共有P31P41P82个．解符合条件的奇数共有P21P51P82+P31P41P82=1232个．答在3000与8000之间，数字不重复的奇数有1232个．例3 某小组6个人排队照相留念．(1)若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法？(3)若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？(4)若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？(5)若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？(6)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？分析：(1)分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第3～6个位子看成是第二排而已，所以实际上是6个元素的全排列问题．(2)先确定甲的排法，有P21种；再确定乙的排法，有P41种；最后确定其他人的排法，有P44种．因为这是分步问题，所以用乘法原理，有P21·P41·P44种不同排法．(3)采用“捆绑法”，即先把甲、乙两人看成一个人，这样有P55种不同排法．然后甲、乙两人之间再排队，有P22种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以有P55·P22种排法．(4)甲在乙的右边与甲在乙的左边的排法各占一半，有P66种排法．(5)采用“插空法”，把3个女生的位子拉开，在两端和她们之间放进4张椅子，如____女____女____女____，再把3个男生放到这4个位子上，就保证任何两个男生都不会相邻了．这样男生有P43种排法，女生有P33种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以共有P43·P33种排法．(6)符合条件的排法可分两类：一类是乙站排头，其余5人任意排有P55种排法；一类是乙不站排头；由于甲不能站排头，所以排头只有从除甲、乙以外的4人中任选1人有P41种排法，排尾从除乙以外的4人中选一人有P41种排法，中间4个位置无限制有P44种排法，因为是分步问题，应用乘法原理，所以共有P41P41P44种排法．XX 中学课时教学设计模板一、复习引入：1．排列数公式及其推导：（）2、解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等．二、典型例题1.满足不等式>12的n 的最小值为 ( ) A .7 B . 8C .9D .10【解析】选D .由排列数公式得:>12，即(n -5)(n -6)>12， 整理得n 2-11n +18>0， 所以n <2(舍去)或n >9. 又因为n ∈N *，所以n min =10. 2.若=89，则n =______.【解析】原方程左边==(n -5)(n -6)-1.(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+,,m n N m n *∈≤所以原方程可化为(n-5)(n-6)-1=89，即n2-11n-60=0，解得n=15或n=-4(舍去).15>7满足题意.3.解关于x的不等式:>6.【解析】原不等式可变形为>，即(11-x)(10-x)>6，(x-8)(x-13)>0，所以x>13或x<8，又所以2<x≤9且x∈N*，所以2<x<8且x∈N*，所以原不等式的解集为.4.求证:+m+m(m-1)=(n，m∈N*，n≥m>2).【证明】因为左边=+m+m(m-1)======右边，所以等式成立.习题1.2 B组第2、3题XX 中学课时教学设计模板组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个不同元素中取出个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同2)(n m -+(1)(2)21!n n n n =-⋅=n m（2）；2)(1)!n m m -+710C2)(1)!n m m -+,m N ∈*且XX 中学课时教学设计模板．2)(1)!n m m -+mn n C -=XX 中学课时教学设计模板．＝+2)(1)!n m m -+mn n C -=m C．2)(1)!n m m -+,N m ∈*且mn n C -=XX 中学课时教学设计模板a+b ）相乘，每个（a+b ）在相乘时，有两种选择，(r n r rn nn n C a b C b n N -++++∈叫二项式系数表示，即通项0,1,)n 1+1)1n r rn n n C C x x =+++++23344111)()()C x x x++(r n r rn nn n C a b C b n N -++++∈XX 中学课时教学设计模板9)的展开式常数项； (r n r r n nn n C a b C b n N -++++∈(r n r r n nn n C a b C b n N -++++∈XX 中学课时教学设计模板．二项展开式的通项公式：二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表）增减性与最大值．的增减情况由二项式系数逐渐增大．的，且在中间取得最大值；(r n r r n n n n C a b C b n N -++++∈1r n r rr n T C a b -+=n 1,2,32)(1)!n k k -+n，的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项，，，的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系说明：由性质（3）及例1知.，求：；）； （.时，，展开式右边为，，∴ ，r r n n C x x ++++12rnn n n n C C C C ++++++(nr n r r n nn n a b C a b C b n N -++++∈23(1)n nn n n C C C +-++-13)()n n C C +-++13n n C C +=++021312n n n n n C C C C -++=++=7277(12)x a a x a x a x -=++++7a ++1357a a a a +++7||a ++1x =7(122)1-=-127a a a ++++27a a +++1=-1=127a a a +++=-0127a a a ++++1=-234567a a a a a a +-+-+-77)13a +=--(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)+3x+2)5的展开式中，求本节课学习了二项式系数的性质 7||a ++=61)(a a +-。
高中数学第一章：计数原理(教案)新课标人教A版选修2-3
1．1分类加法计数原理和分步乘法计数原理教学目标：知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；过程与方法：培养学生的归纳概括能力；情感、态度与价值观：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式教学重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)教学难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解授课类型：新授课课时安排：2课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：引入课题先看下面的问题：①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理.1 分类加法计数原理（1）提出问题问题1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？探究：你能说说以上两个问题的特征吗？（2）发现新知m种不同的方分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有n种不同的方法. 那么完成这件事共有法，在第2类方案中有=N+nm种不同的方法.（3）知识应用例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学 B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学 法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有5+4=9（种）.变式：若还有C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，在第3类方案中有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有n 类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21种不同的方法.理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.2 分步乘法计数原理（1）提出问题问题2.1：用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以1A ,2A ,…，1B ,2B ,…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？用列举法可以列出所有可能的号码：我们还可以这样来思考：由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有 6×9 = 54 个不同的号码．探究：你能说说这个问题的特征吗？（2）发现新知分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有 n m N ⨯=种不同的方法.（3）知识应用例2.设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤．第 l 步选男生．第2步选女生． 解：第 1 步，从 30 名男生中选出1人，有30种不同选择；第 2 步，从24 名女生中选出1人，有 24 种不同选择．根据分步乘法计数原理，共有30×24 =720种不同的选法．探究：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，做第3步有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情需要n 个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法.理解分步乘法计数原理：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.3．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.3 综合应用例3. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？【分析】①要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理.②要完成的事是“从书架的第1、2、3层中各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有第1、2、3层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理.③要完成的事是“取2本不同学科的书”，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各1本，再要考虑取1本计算机书或取1本文艺书都只完成了这件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理.解： (1) 从书架上任取1本书，有3类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4 种方法；第2 类方法是从第2 层取1本文艺书，有3 种方法；第3类方法是从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数是123N m m m =++=4+3+2=9;( 2 ）从书架的第 1 , 2 , 3 层各取 1 本书，可以分成3个步骤完成：第 1 步从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；第 2 步从第 2 层取1本文艺书，有 3 种方法；第 3 步从第3层取1 本体育书，有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是123N m m m =⨯⨯=4×3×2=24 .（3）26232434=⨯+⨯+⨯=N 。
高中教案：计数原理学案
高中教案：计数原理学案第一章：排列与组合1.1 排列的概念与计算方法学习排列的定义及排列数的计算方法理解排列的性质及其应用掌握排列数的公式及其推导1.2 组合的概念与计算方法学习组合的定义及组合数的计算方法理解组合的性质及其应用掌握组合数的公式及其推导1.3 排列与组合的综合应用学习排列与组合在实际问题中的应用培养学生解决实际问题的能力巩固排列与组合的知识点第二章：计数原理2.1 分类计数原理学习分类计数原理的定义及应用理解分类计数原理的原理及其特点掌握分类计数原理的计算方法2.2 分步计数原理学习分步计数原理的定义及应用理解分步计数原理的原理及其特点2.3 计数原理的综合应用学习计数原理在实际问题中的应用培养学生解决实际问题的能力巩固计数原理的知识点第三章：概率与组合3.1 概率的基本概念学习概率的定义及其表示方法理解必然事件、不可能事件和随机事件的概念掌握概率的计算方法3.2 组合与概率的关系学习组合数与概率的关系理解排列数与概率的关系掌握利用组合数和排列数计算概率的方法3.3 概率的应用学习概率在实际问题中的应用培养学生解决实际问题的能力巩固概率、组合和排列的知识点第四章：二项式定理与概率4.1 二项式定理的概念与计算方法学习二项式定理的定义及其展开式理解二项式定理的性质及其应用4.2 二项式定理与概率的关系学习利用二项式定理计算概率的方法理解二项分布的概念及其应用掌握二项分布的概率计算公式4.3 二项式定理的概率应用学习利用二项式定理解决概率问题培养学生解决实际问题的能力巩固二项式定理和概率的知识点第五章：排列组合与概率的综合应用5.1 排列组合与概率的综合问题学习排列组合与概率的综合应用问题培养学生解决实际问题的能力巩固排列组合和概率的知识点5.2 随机事件的独立性学习随机事件独立性的概念及其判断方法理解独立事件的概率计算方法掌握利用独立性解决实际问题的方法5.3 概率分布列与数学期望学习概率分布列的概念及其计算方法理解数学期望的定义及其计算方法掌握利用概率分布列和数学期望解决实际问题的方法第六章：离散型随机变量6.1 离散型随机变量的概念学习离散型随机变量的定义及其性质理解离散型随机变量的分布律及其应用掌握离散型随机变量的数学期望和方差的计算方法6.2 常见离散型随机变量的分布学习伯努利随机变量、二项分布、几何分布、均匀分布等常见离散型随机变量的分布律理解这些分布律的性质及其应用掌握这些分布律的计算方法6.3 离散型随机变量的应用学习离散型随机变量在实际问题中的应用培养学生解决实际问题的能力巩固离散型随机变量的知识点第七章：数学期望与方差7.1 数学期望的概念与计算学习数学期望的定义及其计算方法理解数学期望的性质及其应用掌握利用数学期望解决实际问题的方法7.2 方差的概念与计算学习方差的定义及其计算方法理解方差的性质及其应用掌握利用方差解决实际问题的方法7.3 离散型随机变量期望与方差的计算学习离散型随机变量期望与方差的计算方法理解离散型随机变量期望与方差的性质及其应用掌握利用期望与方差解决实际问题的方法第八章：大数定律与中心极限定理8.1 大数定律的概念与理解学习大数定律的定义及其意义理解大数定律的原理及其应用掌握利用大数定律解决实际问题的方法8.2 中心极限定理的概念与理解学习中心极限定理的定义及其意义理解中心极限定理的原理及其应用掌握利用中心极限定理解决实际问题的方法8.3 大数定律与中心极限定的应用学习大数定律与中心极限定理在实际问题中的应用培养学生解决实际问题的能力巩固大数定律与中心极限定的知识点第九章：概率论在实际问题中的应用9.1 概率论在科学研究中的应用学习概率论在物理学、生物学、化学等科学研究中的应用培养学生利用概率论解决科学问题的能力巩固概率论的知识点9.2 概率论在经济管理中的应用学习概率论在经济管理中的应用，如风险管理、决策分析等培养学生利用概率论解决经济管理问题的能力巩固概率论的知识点9.3 概率论在其他领域中的应用学习概率论在心理学、社会学、工程等领域中的应用培养学生利用概率论解决其他领域问题的能力巩固概率论的知识点复习本课程的主要知识点，如排列、组合、概率、二项式定理等培养学生对计数原理、概率与组合知识点的综合运用能力巩固整个课程的知识点10.2 提高解题技巧与方法学习解题技巧与方法，如分类讨论、数形结合等培养学生解决复杂问题的能力巩固整个课程的知识点10.3 拓展阅读与研究推荐学生阅读相关书籍、论文，进行深入学习鼓励学生进行研究性学习，探索计数原理、概率与组合的更多应用激发学生的学术兴趣，培养学生的研究能力重点和难点解析重点环节一：排列与组合的综合应用此环节需要重点关注，因为排列与组合是计数原理的基础，它们在实际问题中的应用广泛，是学生解决实际问题的关键。
高中教案：计数原理学案
高中教案：计数原理学案第一章：排列与组合1.1 排列的概念与性质学习排列的定义及排列数的计算方法。
理解排列的性质，如排列的交换律、结合律等。
1.2 组合的概念与性质学习组合的定义及组合数的计算方法。
理解组合的性质，如组合的交换律、结合律等。
1.3 排列与组合的应用学习排列与组合在实际问题中的应用，如排列组合问题、抽屉原理等。
第二章：计数原理2.1 分类计数原理学习分类计数原理的定义及应用。
理解分类计数原理的原理，并能运用到实际问题中。
2.2 分步计数原理学习分步计数原理的定义及应用。
理解分步计数原理的原理，并能运用到实际问题中。
第三章：概率初步3.1 概率的概念学习概率的定义及计算方法。
理解概率的性质，如概率的取值范围、概率的加法规则等。
3.2 事件的相互独立性学习事件的相互独立性的概念及判断方法。
理解事件的相互独立性在实际问题中的应用。
3.3 概率的计算学习概率的计算方法，包括条件概率、联合概率等。
能够运用概率的计算方法解决实际问题。
第四章：二项式定理4.1 二项式定理的概念学习二项式定理的定义及展开式。
理解二项式定理的性质，如系数的对称性、系数的和等。
4.2 二项式定理的应用学习二项式定理在实际问题中的应用，如组合数的计算、概率的计算等。
第五章：排列组合的综合应用5.1 排列组合的综合问题学习排列组合的综合问题的解决方法。
能够运用排列组合的知识解决综合问题。
5.2 排列组合与概率的综合问题学习排列组合与概率的综合问题的解决方法。
能够运用排列组合与概率的知识解决综合问题。
高中教案：计数原理学案第六章：鸽巢原理6.1 鸽巢原理的基本概念学习鸽巢原理的定义及应用。
理解鸽巢原理的原理，并能运用到实际问题中。
6.2 鸽巢原理的推广学习鸽巢原理的推广形式，如鸽巢原理在排列组合中的应用。
第七章：数论初步7.1 整数的基本性质学习整数的基本性质，如整数的加法、减法、乘法、除法等。
理解整数的性质，如整数的相反数、整数的倒数等。
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 排列(第3课时)教案 新人教A版选修2-
1.2.1 排列第三课时教学目标知识与技能利用捆绑法、插空法解决排列问题．过程与方法经历把简单的计数问题化为排列问题解决的过程，从中体会“化归〞的数学思想．情感、态度与价值观能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归〞思想的魅力．重点难点教学重点：利用捆绑法、插空法解决排列问题．教学难点：利用捆绑法、插空法解决排列问题．教学过程复习回顾提出问题：7位同学排队，根据上一节课所学的方法，解决以下排列问题．(1)7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？(2)7位同学站成两排(前3后4)，共有多少种不同的排法？(3)7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(4)7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(5)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？活动设计：学生自己做，找学生到黑板上板演．活动成果：解：(1)问题可以看作：7个元素的全排列A77＝5 040.(2)根据分步乘法计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5 040.(3)问题可以看作：余下的6个元素的全排列A66＝720.(4)根据分步乘法计数原理：第一步甲、乙站在两端有A22种；第二步余下的5名同学进行全排列有A55种，所以，共有A22·A55＝240种排列方法．(5)第一步从(除去甲、乙)其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有A25种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列(全排列)有A55种方法，所以一共有A25A55＝2 400种排列方法．典型例题类型一：捆绑法例17位同学站成一排，(1)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？(2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？(3)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？(4)甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起的排法有多少种？解：(1)先将甲、乙两位同学“捆绑〞在一起看成一个元素，与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有A66种方法；再将甲、乙两个同学“松绑〞进行排列有A22种方法．所以这样的排法一共有A66A22＝1 440种．(2)方法同上，一共有A55A33＝720种．(3)解法一：将甲、乙两同学“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A25种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A44种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑〞进行排列有A22种方法．所以这样的排法一共有A25A44A22＝960种．解法二：将甲、乙两同学“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，假设丙站在排头或排尾有2A55种方法，所以，丙不能站在排头和排尾的排法有(A66－2A55)·A22＝960种．解法三：将甲、乙两同学“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A14种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有A55种方法，最后将甲、乙两同学“松绑〞，所以，这样的排法一共有A14A55A22＝960种．(4)将甲、乙、丙三个同学“捆绑〞在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有2个元素，∴一共有排法种数：A33A44A22＝288种．点评：对于相邻问题，常用“捆绑法〞(先捆后松)．[巩固练习]某商场中有10个展架排成一排，展示10台不同的电视机，其中甲厂5台，乙厂3台，丙厂2台，假设要求同厂的产品分别集中，且甲厂产品不放两端，那么不同的陈列方式有多少种？解：将甲厂5台不同的电视机“捆绑〞在一起看成一个元素，乙厂3台不同的电视机“捆绑〞在一起看成一个元素，丙厂2台不同的电视机“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有3个元素，甲不放两端，甲有1种排法，乙、丙排在两端有A22种排法，共有A55A33A22A22＝2 880种不同的排法．[变练演编]7位同学站成一排，(1)甲、乙两同学之间恰好有一个人的排法共有多少种？(2)甲、乙两同学之间恰好有两个人的排法共有多少种？解：(1)先在甲、乙两同学之间排一个人，有A15种不同的排法，把甲、乙和中间的一人“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有5个元素，共有A15A55A22＝1 200种不同的排法．(2)先在甲、乙两同学之间排两个人，有A25种不同的排法，把甲、乙和中间的两人“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有4个元素，共有A25A44A22＝960种不同的排法．类型二：插空法例27位同学站成一排，(1)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(2)甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：(1)方法一：(排除法)A77－A66·A22＝3 600；方法二：(插空法)先将其余五个同学排好有A55种方法，此时他们留下六个位置(称为“空〞)，再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有A26种方法，所以一共有A55A26＝3 600种方法．(2)先将其余四个同学排好有A44种方法，此时他们留下五个“空〞，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空〞有A 35种方法，所以一共有A 44A 35＝1 440种方法．点评：对于不相邻问题，常用“插空法〞(特殊元素后考虑)．[巩固练习]5男5女排成一排，按以下要求各有多少种排法：(1)男女相间；(2)女生按指定顺序排列．解：(1)先将男生排好，有A 55种排法；再将5名女生插在男生之间的6个“空〞(包括两端，但不能同时排在两端)中，有2A 55种排法，故此题的排法有N ＝2A 55·A 55＝28 800种．(2)方法1：N ＝A 1010A 55＝A 510＝30 240； 方法2：设想有10个位置，先将男生排在其中的任意5个位置上，有A 510种排法；余下的5个位置排女生，因为女生的位置已经指定，所以她们只有一种排法．故此题的排法为N ＝A 510×1＝30 240种．[变练演编]5男6女排成一列，问(1)5男排在一起有多少种不同排法？(2)5男不都排在一起有多少种排法？(3)5男每两个不排在一起有多少种排法？(4)男女相互间隔有多少种不同的排法？解：(1)先把5男看成一个整体，得A 77，5男之间排列有顺序问题，得A 55，共A 77A 55种．(2)全排列除去5男排在一起即为所求，得A 1111－A 77A 55.(3)因为男生人数少于女生人数，利用男生插女生空的方法解决问题，得A 66A 57.(4)利用男生插女生空的方法，但要保证两女生不能挨在一起，得A 66A 55.[达标检测]1．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( )A ．1 440种B ．960种C．720种 D．480种2．把4个不同的黑球，4个不同的红球排成一排，要求黑球、红球分别在一起，不同的排法种数是( )A．A88 B．A44A44C．A44A44A22D．以上都不对3．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )A．42 B．96C．48 D．124答案：课堂小结1．知识收获：进一步复习排列的概念和排列数公式．2．方法收获：捆绑法、插空法．3．思维收获：化归思想、分类讨论思想．补充练习[基础练习]1．6人站成一排照相，其中甲、乙、丙三人要站在一起，且要求乙、丙分别站在甲的两边，那么不同的排法种数为( )A．12 B．24C．48 D．1442．由数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中是25的倍数的数共有______个( )A．9 B．12C．24 D．213．用数字0,1,2,3,4能组成没有重复数字的且比20 000大的五位奇数的个数为( ) A．3 B．30C．72 D．184．将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为( )A．540 B．300C．180 D．150答案：[拓展练习]5．有4名男生、5名女生，全体排成一行，问以下情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男、女生分别排在一起；(4)男女相间；(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定．答案：(1)241 920 (2)10 080 (3)5 760 (4)2 880 (5)60 480设计说明本节课是排列的第三课时，本节课的主要目标是介绍排列中常用的捆绑法和插空法．本节课的特点是教师引导给学生以提示，在从例题中学会了方法后，马上让学生练习巩固方法，在变练演编中，举一反三，反复强化，使学生更好地掌握方法和技巧．备课资料一、相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列．例A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有________．解析：把A，B视为一人，且B固定在A的右边，那么此题相当于4人的全排列，有A44＝24种排法．二、相离问题插空法：元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端．例1书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有______种不同的插法(具体数字作答)．解析：A17A33＋A27A23＋A37＝504种．例2高三(1)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，那么不同排法的种数是________．解析：不同排法的种数为A55A26＝3 600.例3某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后才能进行．那么安排这6项工程的不同排法种数是________．解析：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个“空〞中，可得有A25＝20种不同排法．例4某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾〞有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，那么该晚会的节目单的编排总数为________种．解析：A19A33＋A29A23＋A39＝990种．例53个人坐在一排8个椅子上，假设每个人左右两边都有空位，那么坐法的种数有多少种？解析：解法1：先将3个人(各带一把椅子)进行全排列有A33，○*○*○*○，在四个“空〞中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A14种，所以每个人左右两边都有空位的排法有A14A33＝24种．解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个“空〞，*○*○*○*○*，再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A34＝24种．注：题中*表示元素，○表示空．例6停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放．要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？解析：先排好8辆车有A88种方法，要求空位置连在一起，那么在每2辆之间及其两端的9个空档中任选一个，将空位置插入有A19种方法，所以共有A19A88种方法．。
高中数学第一章计数原理章末复习学案新人教A版选修2_32017072811
第一章计数原理1．两个计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理是排列组合中解决问题的重要手段，也是基础方法，尤其是分类加法计数原理与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较复杂的问题时，用分类的方法可以有效的将之分解，达到求解的目的．正确地分类与分步是用好两个原理的关键，即完成一件事到底是“分步”进行还是“分类”进行，这是选用计数原理的关键．2．排列与组合排列数与组合数计算公式主要应用于求值和证明恒等式，其中求值问题应用连乘的形式，证明恒等式应用阶乘的形式，在证明恒等式时，要注意观察恒等式左右两边的形式，基本遵循由繁到简的原则，有时也会从两边向中间靠拢．对于应用题，则首先要分清是否有序，即是排列问题还是组合问题．3．二项式定理(1)与二项式定理有关：包括定理的正向应用、逆向应用，题型如证明整除性、证明一些简单的组合恒等式等，此时主要是要构造二项式，合理应用展开式；(2)与通项公式有关：主要是求特定项，比如常数项、有理项、x的某次幂等，此时要特别注意二项式展开式中第k＋1项的通项公式是T k＋1＝C k n a n－k b k(k＝0，1，…n)，其二项式系数是C k n，而不是C k＋1n，这是一个极易错点．题型一两个计数原理的应用基本计数原理提供了“完成某件事情”是“分类”进行，还是“分步”进行．在分类或分步中，针对具体问题考虑是与“顺序”有关，还是无关，来确定排列与组合．例1 在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共m＋n＋1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( )A．C1m＋1C2n＋C1n＋1C2m B．C1m C2n＋C1n C2mC．C1m C2n＋C1n C2m＋C1m C1n D．C1m C2n＋1＋C2m＋1C1n答案 C解析法一第一类：从OA边上(不包括O)任取一点与从OB边上(不包括O)任取两点，可构造一个三角形，有C1m C2n个；第二类：从OA边上(不包括O)任取两点与OB边上(不包括O)任取一点，可构造一个三角形，有C2m C1n个；第三类：从OA边上(不包括O)任取一点与OB边上(不包括O)任取一点，与O点可构造一个三角形，有C1m C1n个．由分类加法计数原理共有N＝(C1m C2n＋C2m C1n＋C1m C1n)个三角形．法二从m＋n＋1中任取三点共有C3m＋n＋1种情况，其中三点均在射线OA上(包括O点)，有C3m＋1个，三点均在射线OB上(包括O点)，有C3n＋1个．所以，三角形的个数为N＝C3m＋n＋1－C3m＋1－C3n＋1.跟踪演练1 现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )A．144种 B．72种 C．64种 D．84种答案 D解析根据所用颜色的种数分类第一类：用4种颜色涂，有A44＝4×3×2×1＝24(种)．第二类：用3种颜色，必须有一条对角区域涂同色：有C12C14A23＝48(种)．第三类：用2种颜色，对角区域各涂一色有A24＝4×3＝12(种)．共有24＋48＋12＝84(种)．题型二排列与组合应用题在解决一个实际问题的过程中，常常遇到排列、组合的综合性问题，而解决问题的第一步是审题，只有认真审题，才能把握问题的实质，分清是排列问题、组合问题，还是综合问题，分清分类与分步的标准和方式，并且要遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．解决排列组合应用题的常用方法：(1)合理分类，准确分步；(2)特殊优先，一般在后；(3)先取后排，间接排除；(4)相邻捆绑，间隔插空；(5)抽象问题，构造模型；(6)均分除序，定序除序．例2 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则其中数字2，3相邻的偶数有________个(用数字作答)．答案18解析数字2和3相邻的偶数有两种情况．第一种情况，当数字2在个位上时，则3必定在十位上，此时这样的五位数共有A33＝6(个)；第二种情况，当数字4在个位上时，且2，3必须相邻，此时满足要求的五位数有A22A33＝12(个)，则一共有6＋12＝18(个)．跟踪演练2 停车场一排有12个空位，如今要停放7辆不同的车，要求恰好有4个空位连在一起，求共有多少种停法？解将4个连在一起的空位看成一个整体，由于另一个空位不能与这个整体相连，则可把这两个元素插在7辆车之间，共有A28种方法；而7辆车共有A77种排法，因此共有A28·A77＝282 240(种)不同停法．题型三二项式定理的应用对于二项式定理的考查常有两类问题：第一类，直接运用通项公式求特定项或解决与系数有关的问题；第二类，需运用转化思想化归为二项式定理来处理的问题．例3 (1)已知(x2－ix)n的展开式中第3项与第5项的系数之比为－314，其中i2＝－1，则展开式中系数为实数且最大的项为( )A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第5项或第6项答案 C解析 T 3＝－C 2n x 2n －5，T 5＝C 4n x 2n －10.由－C 2n ∶C 4n ＝－314，得n 2－5n －50＝0， ∴n ＝10，又T r ＋1＝C r 10(－i)r x 20－52r ， 据此可知当r ＝0，2，4，6，8，10时其系数为实数，且当r ＝4时，C 410＝210最大．(2)已知x 2＋x 10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10，则a 9的值为________． 答案 －10解析 法一 所给等式即[1－(x ＋1)]2＋[1－(x ＋1)]10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋…＋ a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10，而“(x ＋1)9”只能从[1－(x ＋1)]10中产生，根据二项式定理，a 9＝－C 910＝－C 110＝－10.法二 因为a 9与x 9项的系数有关，等式左边x 9项的系数为0，所以等式右边x 9项的系数也为0.因为x 10的系数为a 10＝C 010＝1，x 9的系数为a 9·C 09＋a 10·C 110＝a 9＋10＝0，所以a 9＝－10. 跟踪演练3 (1)(x －1)9按x 降幂排列的展开式中，系数最大的项是( )A ．第4项和第5项B ．第5项C ．第5项和第6项D ．第6项答案 B解析 根据二项式系数的性质，(x －1)9的展开式中的中间两项即第5项和第6项的二项式系数最大，但第6项的系数是负数，所以只有第5项的系数最大．(2)已知(x ＋2)9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|的值为________．答案 511解析 法一 因为(x ＋2)9＝[1＋(x ＋1)]9＝C 09＋C 19(x ＋1)＋C 29(x ＋1)2＋…＋C 99(x ＋1)9，所以a 0＝C 09＝1，a 1＝C 19，a 2＝C 29，…，a 9＝C 99.因此|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝C 19＋C 29＋C 39＋…＋C 99＝29－1＝511.法二 由(x ＋2)9＝[1＋(x ＋1)]9＝C 09＋C 19(x ＋1)＋C 29(x ＋1)2＋…＋C 99(x ＋1)9知，a1，a2，a3，…，a9均为正，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a1＋a2＋…＋a9.因此，在已知等式中令x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝29.又a0＝1，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝29－1＝511.排列、组合应用题从形式上看有以下几种最为常见的问题：数字问题、人或物的排列问题、几何问题、选代表或选样品的问题、集合的子集个数问题．二项式定理题型为以下几种：求展开式中的某一项或某一项系数的问题；求所有项系数的和或者奇数项、偶数项系数和的问题；二项式某一项为字母，求这个字母的值的问题；求近似值的问题，试题难度不大．。
计数的基本原理教案
计数的基本原理教案第一章：数的概念与数轴1.1 学习目标：了解数的概念，掌握数轴的绘制与使用。
1.2 教学内容：1.2.1 数的概念：整数、分数、小数、实数等。
1.2.2 数轴的绘制：数轴的定义、数轴的绘制方法。
1.2.3 数轴的使用：数轴上的点与数的关系、数轴在解方程中的应用。
1.3 教学活动：1.3.1 讲解数的概念，让学生理解整数、分数、小数、实数等基本概念。
1.3.2 演示数轴的绘制方法，让学生动手绘制简单的数轴。
1.3.3 利用数轴讲解数轴上的点与数的关系，让学生掌握数轴的使用方法。
第二章：自然数的认识2.1 学习目标：理解自然数的含义，掌握自然数的计数方法。
2.2 教学内容：2.2.1 自然数的含义：正整数、0、负整数。
2.2.2 自然数的计数方法：数的顺序、数的相邻关系、数的增量。
2.3 教学活动：2.3.1 讲解自然数的含义，让学生理解正整数、0、负整数的概念。
2.3.2 演示自然数的计数方法，让学生动手操作，掌握数的顺序、相邻关系和增量。
第三章：数的顺序与数的大小比较3.1 学习目标：掌握数的顺序，学会数的大小比较方法。
3.2.1 数的顺序：自然数的顺序、负整数的顺序。
3.2.2 数的大小比较：大于、小于、等于。
3.3 教学活动：3.3.1 讲解数的顺序，让学生掌握自然数和负整数的顺序。
3.3.2 演示数的大小比较方法，让学生学会比较大小。
第四章：加减法的原理4.1 学习目标：理解加减法的原理，掌握加减法的运算方法。
4.2 教学内容：4.2.1 加法的原理：加法的定义、加法的性质。
4.2.2 减法的原理：减法的定义、减法的性质。
4.2.3 加减法的运算方法：竖式计算、口算。
4.3 教学活动：4.3.1 讲解加法的原理，让学生理解加法的定义和性质。
4.3.2 讲解减法的原理，让学生理解减法的定义和性质。
4.3.3 演示加减法的运算方法，让学生动手练习，掌握竖式计算和口算。
第五章：乘除法的原理5.1 学习目标：理解乘除法的原理，掌握乘除法的运算方法。
高中数学第一章计数原理章末复习课学案新人教A版选修2-3(2021年整理)
2018-2019学年高中数学第一章计数原理章末复习课学案新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第一章计数原理章末复习课学案新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年高中数学第一章计数原理章末复习课学案新人教A版选修2-3的全部内容。
第一章计数原理章末复习课[整合·网络构建］[警示·易错提醒］1．正确区分“分类"与“分步”,恰当地进行分类，使分类后不重、不漏．2．正确区分是组合问题还是排列问题，要把“定序”和“有序"区分开来．3．正确区分分堆问题和分配问题．4．二项式定理的通项公式T k＋1＝C错误!a n－k b k是第(k＋1)项，而不是第k项，注意其指数规律．5．求二项式展开式中的特定项（如：系数最大的项、二项式系数最大的项、常数项、含某未知数的次数最高的项、有理项……）时,要注意n与k的取值范围．6．注意区分“某项的系数”与“某项的二项式系数”，展开式中“二项式系数的和”与“各项系数的和"，“奇（偶)数项系数的和”与“奇(偶）次项系数的和”．专题一两个计数原理的应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章知识的基础，应用两个计数原理解决应用问题时主要考虑三方面的问题:（1)要做什么事；（2）如何去做这件事；(3）怎样才算把这件事完成了．并注意计数原则：分类用加法，分步用乘法．[例1］现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( ）高中数学A。
高中数学第一章计数原理章末复习课学案苏教版选修23word格式
第一章计数原理学目 1. 整理本章的知重点.2. 能合详尽的特色，合理两个数原理来解析和解决一些的.3. 理解摆列、合的看法，能利用数原理推排列数和合数公式，掌握合数的两个性，并能用它解决.4. 掌握二式定理和二张开式的性，并能用它解决与二张开式有关的算和明．1．分数原理完成一件事有n不一样样的方案，在第1 方案中有m1种不一样样的方法，在第2 方案中有m2种不一样样的方法，⋯，在第n方案中有m n种不一样样的方法，那么完成件事共有N＝____________________ 种不一样样的方法．2．分步数原理完成一件事需要n 个步，做第1步有 m1种不一样样的方法，做第2步有 m2种不一样样的方法，⋯，做第n 步有n 种不一样样的方法，那么完成件事有＝ ____________________________ m N种不一样样的方法．3．摆列数与合数公式及性摆列与摆列数合与合数摆列数公式 Amn＝n( n－ 1)( n－合数公式 Cmn＝ ________公式2) ⋯ ____________＝ ________________________＝ ____________＝ ________________当 m＝ n ，Amn全摆列；An＝ n！；0！＝C0n＝ Cn＝ 1；性Cmn＝ ________；______Cmn＋ Cmn－ 1＝ ________注n， m∈N*，且 m≤ n4.二式定理(1)二式定理的内容：( a＋b) n＝ ______________________________________________________________.(2)通公式： T k＋1＝Ckn a n－k b k， k∈{0,1,2，⋯， n}．(3)二式系数的性：①与首末两端等距离的两个二式系数相等；②若 n偶数，中一nn 奇数，中两第＋ 1 的二式系数最大；若2第n＋1和第n＋1＋ 1的二式系数相等且最大．22③ C0n＋ C1n＋ C2n＋⋯＋ Cn＝2n；C0n＋ C2n＋⋯＝ C1n＋C3n＋⋯＝ 2n－1.型一数学思想方法在求解数中的用命角度 1分思想例 1 有 11 名工人，此中 5 名男工是工， 4 名女工是工，其余两名老傅既能当工又能当工，在要在 11 名工人里派 4 名工， 4 名工维修一台机床，有多少种派方法？反思与感悟解含有束条件的摆列、合，按元素的性行分，分需要足两个条件： (1) 与之要互斥( 保不重复 ) ． (2) 数要完 ( 保不漏 ) ．追踪 1从 1,2,3,4,5,6 6 个数字中，任取 3 个数字成无重复数字的三位数，其中如有 1 和 3 ，3 必排在 1 的前方；若只有 1 和 3 中的一个，它排在其余数字的前方，不一样样的三位数共有________个． ( 用数字作答 )命题角度2“正难则反”思想例 2设会集S＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，会集A＝{a1，a2，a3}是S的子集，且满足 a1<a2<a3， a3－ a2≤6，那么满足条件的会集 A 的个数为________．反思与感悟关于正面办理较复杂或不易求解的问题，常常从问题的对峙面去思虑．追踪训练2由甲、乙、丙、丁 4 名学生参加数学、写作、英语三科比赛，每科最少( 且每人仅报一科) ，若学生甲、乙不可以同时参加同一比赛，则不一样样的参赛方案共有a1， a2， a31 人________种．种类二摆列与组合的综合应用例 3在高三一班元旦晚会上，有 6 个演唱节目， 4 个舞蹈节目．(1)当 4 个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不一样样的节目安排序次？(2)当要求每 2 个舞蹈节目之间最少安排 1 个演唱节目时，有多少种不一样样的节目安排序次？(3) 若已定好节目单，今后状况有变，需加上诗朗诵和快板 2 个节目，但不可以改变本来节目的相对序次，有多少种不一样样的节目演出序次？反思与感悟摆列与合的合，第一要分清何摆列，何合．含有特别元素的摆列、合，一般先行合，再行摆列．特别元素的地点有要求，在合取，就要行分，分的原是不重、不漏．在用接法数，要注意考全面，除掉干．追踪 3会集 A＝{( x ， x ，x ，x ，x )| x∈ { － 1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5}，那么会集12345iA中足条件“ 1≤ |x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤ 3” 的元素个数___________________________ ．型三二式定理及其用命角度 1二张开式的特定x－2例 4已知在n的张开式中，第 5 的系数与第 3 的系数之比是 56∶ 3.3x(1)求张开式中的所有有理；(2)求张开式中系数最大的；(3)求 n＋9C2n＋81C3n＋⋯＋9n－1Cn的．反思与感悟(1) 确立二式中的有关元素：一般是依据已知条件，列出等式，从而可解得所要求的二式中的有关元素．(2)确立二张开式中的常数：先写出其通公式，令未知数的指数零，从而确立数，此后代入通公式，即可确立常数．(3)求二张开式中条件的系数：先写出其通公式，再由条件确立数，此后代入通公式求出此的系数．(4)求二张开式中各系数的和差：代入．(5)确立二张开式中的系数最大或最小：利用二式系数的性．追踪 4 已知二式 5x－1n 张开式中各系数之和是各二式系数之和的16 x倍．(1)求 n；(2)求张开式中二式系数最大的；(3)求张开式中所有 x 的有理．命角度 2二张开式的“ ”例 5 若 ( x2－ 3x＋ 2) 5＝a0＋a1x＋a2x2＋⋯＋a10x10.(1)求 a2；(2)求 a1＋ a2＋⋯＋ a10；22(3) 求 ( a0＋a2＋a4＋⋯＋a10) － ( a1＋a3＋⋯＋a7＋a9) .反思与感悟与二式系数有关，包含求张开式中二式系数最大的、各的二式系数或系数的和、奇数也许偶数的二式系数或系数的和以及各系数的的和，主要方法是法，通察张开式右的构特色和所求式子的关系，确立字母所的，有后获得的式子比所求式子多一或少一，此要求出一，而在求奇数也许偶数的二式系数或系数的和，常常要两次，再由方程求出果．追踪 5 若 (x 2＋ 1)( － 3)9＝0＋1(－2) ＋2(x－ 2)2＋3(－2)3＋⋯＋a11(x－ 2) 11，x a a x a a xa ＋a ＋a ＋⋯＋ a的 ________．123111． 4 名大学生到三家企聘，每名大学生至多被一家企用，每家企最少用一名大学生的状况有 ________种．a2．已知关于x的二式x＋n 张开式的二式系数之和32，常数80，a3x的 ________．3．六个人从左至右排成一行，最左端只好排甲或乙，最右端不可以排甲，不一样样的排法共有 ________种．4．若 (1 ＋x＋x2) 6＝a0＋a1x＋a2x2＋⋯＋a12x12，a2＋a4＋⋯＋a12＝ ________.5．航天在太空授，准行号0,1,2,3,4,5的六，向全球人民普及太空知，此中 0 号不可以放在第一，最后一的号小于它前方相一的号，序的排方法种数 ________． ( 用数字作答 )1．摆列与合(1)摆列与合的区在于摆列是有序的，而合是无序的．(2)摆列平时分无量制条件和有限制条件，于有限制条件的摆列，平时从以下两种门路考：①元素解析法：先考特别元素的要求，再考其余元素．②地点解析法：先考特别地点的要求，再考其余地点．(3)摆列与合合用是本章内容的重点与点，一般方法是先分，后分配．2．二式定理(1)与二式定理有关，包含定理的正向用、逆向用，型如明整除性、近似算、明一些的合恒等式等，此主若是要构造二式，合理用张开式．(2) 与通公式有关，主若是求特定，比方常数、有理、x 的某次等，此要特注意二张开式中第r ＋1的通公式是 T r＋1＝Crn a n－r b r( r＝ 0,1 ，⋯，n) ，此中二式系数是 Crn，而不是Crn＋ 1，是一个极易点．(3)与二式系数有关，包含求张开式中二式系数最大的、各的二式系数或系数的和、奇数也许偶数的二式系数或系数的和以及各系数的的和等主要方法是法．答案精析知梳理1．m1＋m2＋⋯＋m n2．m1×m2×⋯×m n3． ( n－m＋ 1)!!!! 1 C! C!n n－ 11n－ k k n*4． (1)C0n a＋ C1n a b ＋⋯＋Ckn a b ＋⋯＋Cn b ( n∈N )例 1解方法一A， B代表2位老傅．A， B都不在内的派方法有C45C4＝ 5( 种 ) ，，都在内且当工的派方法有C2C25C4＝ 10( 种 ) ，A BA， B都在内且当工的派方法有C2C45C24＝ 30( 种 ) ，A， B都在内且一人当工，一人当工的派方法有A2C35C34＝80( 种 ) ，A， B有一人在内且当工的派方法有C12C35C4＝ 20( 种 ) ，A， B有一人在内且当工的派方法有C12C45C34＝ 40( 种 ) ，因此共有 C45C4＋ C2C25C4＋C2C45C24＋A2C35C34＋ C12C35C4＋ C12C45C34＝ 185( 种) ．方法二 5 名男工有 4 名被上的方法有 C45C4＋ C45C34C12＋ C45C24C2＝ 75( 种 ) ，5 名男工有 3 名被上的方法有C35C12C4＋C35C34A2＝ 100( 种 ) ，5 名男工有 2 名被上的方法有C25C2C4＝10( 种 ) ，因此共有75＋ 100＋ 10＝185( 种 ) ．方法三 4 名女工都被上的方法有C4C45＋ C4C35C12＋C4C25C2＝ 35( 种 ) ，4 名女工有 3 名被上的方法有C34C12C45＋C34C35A2＝ 120( 种 ) ，4 名女工有 2 名被上的方法有C24C2C45＝30( 种 ) ，因此共有35＋ 120＋ 30＝185( 种 ) ．追踪 1 60解析 1 与 3 是特别元素，以此分准行分．分三：①没有数字 1 和3 ，有A34个；②只有 1 和3 中的一个，有2A24个；③同有 1 和3，把 3 排在 1 的前方，再从其余 4 个数字中 1 个数字插入 3 个空中间的 1 个即可，有 C14·C31个．因此足条件的三位数共有A34＋ 2A24＋ C14·C31＝ 60( 个) ．例2 83解析若从正面考，需分当a3＝9， a2可以取8,7,6,5,4,3，共 6；当 a3＝8，a2 可以取7,6,5,4,3,2，共6；⋯分多，而其立面a3－a2>6包含的状况少，当a ＝9 ，a取 2，a取 1 一种状况，利用正反思想解决．321会集S 的含有三个元素的子集的个数C39 ＝ 84. 在些含有三个元素的子会集能足a 1<2< 3且3－ 2>6的会集只有{1,2,9}，故足意的会集A的个数84－ 1＝ 83.a a a a追踪 230解析从 4 人中出两个人作一个元素有C24种方法，同其余两个元素在三个地点上摆列有C24A3＝36( 种 ) 方案，此中有不切合条件的，即学生甲、乙同参加同一有A3种果，∴不一样样的参方案共有36－6＝30( 种) ．例 3排，有解(1) 第一步先将 4 个舞蹈目捆起来，看作 1 个目，与 6 个演唱目一起A7＝ 5 040( 种 ) 方法；第二步再松， 4 个目排序，有A4＝ 24( 种 ) 方法．依据分步数原理，一共有 5 040 ×24＝ 120 960( 种 ) 安排序．(2)第一步将 6 个演唱目排成一列 ( 以下中的“□” ) ，一共有 A6＝720( 种 ) 方法．×□×□×□×□×□×□×第二步再将 4 个舞蹈目排在一一尾或两个演唱目中，相当于7 个“×” 4个来排，一共有 A47＝ 840( 种 ) 方法．依据分步数原理，一共有720×84 0＝ 604 800(种 ) 安排序．(3) 若所有目没有序要求，所有摆列，有A12种排法，但本来的目已定好序，A12需要除掉，因此目演出的方式有A10＝ A212＝ 132( 种 ) 摆列．追踪 3130解析由“ 1≤ | x1| ＋ | x2|＋ | x3| ＋ | x4| ＋ | x5| ≤ 3”考x1，x2，x3，x4，x5 的可能取，会集 M＝{0}， N＝{－1,1}．当 x1，x2，x3， x4， x5中有2个取 0，其余 3 个从N中取，共有3C25×2种方法；当 x，x2，x3， x4， x5中有 3个取 0，其余 2 个从N中取，共有21C35×2种方法；当 x1，x2，x3， x4， x5中有 4个取 0，其余 1 个从N中取，共有C45× 2 种方法．故共有32种 ) 方法，即足意的元素个数130. C25×2＋ C35×2＋ C45× 2＝ 130(例 4 解(1)由 C4n( － 2)4∶ C2n( － 2)2＝56∶ 3，解得n＝ 10，2因通 T r＋1＝Cr10( x)10－ r －r3xr5－5 rCr10 x6， r ＝0,1,2，⋯，10.＝(－2)5r当 5－整数，r可取 0,6 ， 6于是有理T1＝ x5和 T7＝13 440.(2)第 r ＋1系数的最大，Cr102r ≥C10r－12r － 1，Cr102r ≥C10r＋ 12r ＋ 1，r≤22，3解得又因 r ∈{1,2,3，⋯，9}，19r ≥3，－5因此 r ＝7，当 r ＝7， T ＝－15 360x6，8又因当r ＝0 ，1＝x5，T当 r ＝10，－10－10T11＝(－2)10 x3＝1 024x 3，T ＝－15 360x－5因此系数的最大的6.8(3) 原式＝ 10＋ 9C210＋ 81C30＋⋯＋ 910－1C109C10＋ 92C210＋ 93C310＋⋯＋ 910C10＝9C010＋ 9C10＋92C210＋93C310＋⋯＋ 910C10－ 1＝9＝!＝!.追踪 4解 (1)令 x＝1，得二式5x－1n 张开式中各系数之和(5 － 1) n＝ 4n，x各二式系数之和2n，由意，得n n n4 ＝16·2，因此 2 ＝ 16，n＝ 4.(2) 通T r＋1＝ Cr4(5 x)4－ r1r －x高中数学第一章计数原理章末复习课教学设计苏教版选修23word 格式r4－r4－ 3r· x2 ,＝ ( － 1) Cr45张开式中二 式系数最大的 是第3T 3＝ ( －1) 2C2452x ＝ 150x .3(3) 由 (2) ，得 4－ 2r ∈ Z( r ＝ 0,1,2,3,4) ，即 r ＝ 0,2,4 ，因此张开式中所有x 的有理1＝ ( －1) 0C0454 x 4＝ 625 4，Tx22x ＝ 150x ，T 3＝ ( －1) C2455＝ ( －1) 4C450x － 2＝ x －2.T例 5 解 (1)( x 2－ 3x ＋ 2) 5＝ ( x － 1) 5( x － 2) 5，a 2 是张开式中 x 2 的系数，∴ a 2＝ C5( － 1) 5C35( － 2) 3＋ C45( －1) 4·C 5(4 －2) 4＋ C35( － 1) 3·C 5( － 2) 5＝ 800.(2) 令 x ＝ 1，代入已知式，可得a 0＋ a 1＋ a 2＋⋯＋ a 10＝ 0，而令 x ＝ 0，得 a 0＝ 32，∴ a 1＋ a 2＋⋯＋ a 10＝－ 32.(3) 令 x ＝－ 1，可得( a 0＋ a 2＋a 4＋⋯＋ a 10) － ( a 1＋ a 3＋⋯＋ a 7＋ a 9) ＝ 65，再由 ( a 0＋ a 2＋ a 4＋⋯＋ a 10) ＋ ( a 1＋ a 3＋⋯＋ a 7＋ a 9) ＝0，把 两个等式相乘可得，( a 0＋ a 2＋a 4＋⋯＋ a 10) 2－ ( a 1＋ a 3＋⋯＋ a 7＋a 9) 2＝ 65× 0＝ 0.追踪5 5解析令 x ＝ 2，得 a 0＝ (2 2＋ 1)(2 － 3) 9＝－ 5，令 x ＝ 3， a 0＋a 1＋ a 2＋ a 3＋⋯＋ a 11＝ (3 2＋1)(3 － 3) 9＝0，因此 a 1＋ a 2＋ a 3＋⋯＋ a 11＝－ a 0＝ 5.当堂1．。
四川省成都市高中数学第一章计数原理1.1计数原理习题课教案新人教A版选修2-3
四川省成都市高中数学 第一章 计数原理 1.1 计数原理习题课教案 新人教A版选修2-3
主备人
备课成员
教材分析
《四川省成都市高中数学》教材中第一章“计数原理”的1.1节，以新人教A版选修2-3为基准，旨在帮助学生掌握基本的计数原理及其应用。本节习题课围绕排列组合的基础知识，通过典型例题和练习，深化学生对计数原理的理解，特别是加强排列、组合的区分与应用，强化学生的逻辑思维和问题解决能力，紧密联系课本内容，注重培养学生的实际应用能力。通过本节课的学习，学生将能熟练运用计数原理解决生活中的实际问题，为后续学习概率论等数学知识打下坚实基础。
- 逐步求解：对于复杂问题，可以分步骤求解，逐步得到最终结果。
- 实践应用：将所学知识应用于实际问题，加深对计数原理的理解。
重点题型整理
1. 题型一：排列问题
问题：从甲、乙、丙、丁四个同学中选出3个人进行篮球比赛，问共有多少种不同的比赛组合？
解答：这是一个排列问题，因为比赛组合的顺序是重要的。根据排列的计数原理，共有P(4, 3) = 4 × 3 × 2 = 24种不同的比赛组合。
首先，我们来看一下计数原理的基本概念。计数原理主要包括加法原理和乘法原理。加法原理指的是，如果完成一个任务有m种方法，另一个任务有n种方法，那么这两个任务一起完成就有m+n种方法。乘法原理指的是，如果完成一个任务需要分成k个步骤，每个步骤有n_i种方法，那么完成整个任务就有n_1 × n_2 × … × n_k种方法。
高中数学第一章计数原理章末复习课学案苏教版选修2_320181031
第一章计数原理学习目标 1.归纳整理本章的知识要点.2.能结合具体问题的特征，合理选择两个计数原理来分析和解决一些简单的实际问题.3.理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数和组合数公式，掌握组合数的两个性质，并能用它们解决实际问题.4.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能应用它们解决与二项展开式有关的计算和证明问题．1．分类计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝____________________种不同的方法．2．分步计数原理完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N＝____________________________种不同的方法．3．排列数与组合数公式及性质4.二项式定理(1)二项式定理的内容：(a＋b)n＝______________________________________________________________.(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k，k∈{0,1,2，…，n}．(3)二项式系数的性质：①与首末两端等距离的两个二项式系数相等；②若n 为偶数，中间一项⎝ ⎛⎭⎪⎫第n2＋1项的二项式系数最大；若n 为奇数，中间两项⎝ ⎛⎭⎪⎫第n ＋12项和第n ＋12＋1项的二项式系数相等且最大．③C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ；C 0n ＋C 2n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋…＝2n －1.类型一 数学思想方法在求解计数问题中的应用 命题角度1 分类讨论思想例1 车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？反思与感悟 解含有约束条件的排列、组合问题，应按元素的性质进行分类，分类时需要满足两个条件：(1)类与类之间要互斥(保证不重复)．(2)总数要完备(保证不遗漏)． 跟踪训练1 从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有________个．(用数字作答) 命题角度2 “正难则反”思想例2 设集合S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{a 1，a 2，a 3}是S 的子集，且a 1，a 2，a 3满足a 1<a 2<a 3，a 3－a 2≤6，那么满足条件的集合A 的个数为________．反思与感悟对于正面处理较复杂或不易求解的问题，常常从问题的对立面去思考．跟踪训练2 由甲、乙、丙、丁4名学生参加数学、写作、英语三科竞赛，每科至少1人(且每人仅报一科)，若学生甲、乙不能同时参加同一竞赛，则不同的参赛方案共有________种．类型二排列与组合的综合应用例3 在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目．(1)当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？(3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？反思与感悟排列与组合的综合问题，首先要分清何时为排列，何时为组合．对含有特殊元素的排列、组合问题，一般先进行组合，再进行排列．对特殊元素的位置有要求时，在组合选取时，就要进行分类讨论，分类的原则是不重、不漏．在用间接法计数时，要注意考虑全面，排除干净．跟踪训练3 设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为___________________________． 类型三 二项式定理及其应用命题角度1 二项展开式的特定项问题例4 已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －23x n 的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3. (1)求展开式中的所有有理项； (2)求展开式中系数绝对值最大的项； (3)求n ＋9C 2n ＋81C 3n ＋…＋9n －1C nn的值．反思与感悟 (1)确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可解得所要求的二项式中的有关元素．(2)确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项．(3)求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数．(4)求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入．(5)确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数的性质． 跟踪训练4 已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫5x －1x n展开式中各项系数之和是各项二项式系数之和的16倍．(1)求n ；(2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求展开式中所有x 的有理项．命题角度2 二项展开式的“赋值”问题 例5 若(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10. (1)求a 2；(2)求a 1＋a 2＋…＋a 10；(3)求(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 7＋a 9)2.反思与感悟 与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和，主要方法是赋值法，通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系，确定给字母所赋的值，有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项，此时要专门求出这一项，而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时，往往要两次赋值，再由方程组求出结果． 跟踪训练5 若(x 2＋1)(x －3)9＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3＋…＋a 11(x －2)11，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11的值为________．1．4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有________种．2．已知关于x 的二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x n 展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为________．3．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种．4．若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________.5．航天员拟在太空授课，准备进行标号为0,1,2,3,4,5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为________．(用数字作答)1．排列与组合(1)排列与组合的区别在于排列是有序的，而组合是无序的．(2)排列问题通常分为无限制条件和有限制条件，对于有限制条件的排列问题，通常从以下两种途径考虑：①元素分析法：先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素． ②位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)排列与组合综合应用是本章内容的重点与难点，一般方法是先分组，后分配．2．二项式定理(1)与二项式定理有关，包括定理的正向应用、逆向应用，题型如证明整除性、近似计算、证明一些简单的组合恒等式等，此时主要是要构造二项式，合理应用展开式．(2)与通项公式有关，主要是求特定项，比如常数项、有理项、x的某次幂等，此时要特别注意二项展开式中第r＋1项的通项公式是T r＋1＝C r n a n－r b r(r＝0,1，…，n)，其中二项式系数是C r n，而不是C r＋1n，这是一个极易错点．(3)与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和等主要方法是赋值法．答案精析知识梳理1．m1＋m2＋…＋m n2．m1×m2×…×m n3．(n－m＋1)n！(n－m)！A m nA m mn(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！n！m！(n－m)！1 C n－mn Cmn＋14．(1)C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n (n∈N*)题型探究例1 解方法一设A，B代表2位老师傅．A，B都不在内的选派方法有C45C44＝5(种)，A，B都在内且当钳工的选派方法有C22C25C44＝10(种)，A，B都在内且当车工的选派方法有C22C45C24＝30(种)，A，B都在内且一人当钳工，一人当车工的选派方法有A22C35C34＝80(种)，A，B有一人在内且当钳工的选派方法有C12C35C44＝20(种)，A，B有一人在内且当车工的选派方法有C12C45C34＝40(种)，所以共有C45C44＋C22C25C44＋C22C45C24＋A22C35C34＋C12C35C44＋C12C45C34＝185(种)．方法二5名男钳工有4名被选上的方法有C45C44＋C45C34C12＋C45C24C22＝75(种)，5名男钳工有3名被选上的方法有C35C12C44＋C35C34A22＝100(种)，5名男钳工有2名被选上的方法有C25C22C44＝10(种)，所以共有75＋100＋10＝185(种)．方法三4名女车工都被选上的方法有C44C45＋C44C35C12＋C44C25C22＝35(种)，4名女车工有3名被选上的方法有C34C12C45＋C34C35A22＝120(种)，4名女车工有2名被选上的方法有C24C22C45＝30(种)，所以共有35＋120＋30＝185(种)．跟踪训练1 60解析1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类．分三类：①没有数字1和3时，有A34个；②只有1和3中的一个时，有2A24个；③同时有1和3时，把3排在1的前面，再从其余4个数字中选1个数字插入3个空当中的1个即可，有C14·C13个．所以满足条件的三位数共有A34＋2A24＋C14·C13＝60(个)．例2 83解析若从正面考虑，需分当a3＝9时，a2可以取8,7,6,5,4,3，共6类；当a3＝8时，a2可以取7,6,5,4,3,2，共6类；…分类较多，而其对立面a3－a2>6包含的情况较少，当a3＝9时，a2取2，a1取1一种情况，利用正难则反思想解决．集合S的含有三个元素的子集的个数为C39＝84.在这些含有三个元素的子集中能满足a1<a2<a3且a3－a2>6的集合只有{1,2,9}，故满足题意的集合A的个数为84－1＝83.跟踪训练2 30解析从4人中选出两个人作为一个元素有C24种方法，同其他两个元素在三个位置上排列有C24A33＝36(种)方案，其中有不符合条件的，即学生甲、乙同时参加同一竞赛有A33种结果，∴不同的参赛方案共有36－6＝30(种)．例3 解(1)第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A77＝5 040(种)方法；第二步再松绑，给4个节目排序，有A44＝24(种)方法．根据分步计数原理，一共有5 040×24＝120 960(种)安排顺序．(2)第一步将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，一共有A66＝720(种)方法．×□×□×□×□×□×□×第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个演唱节目中间，这样相当于7个“×”选4个来排，一共有A47＝840(种)方法．根据分步计数原理，一共有720×840＝ 604 800(种)安排顺序．(3)若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A1212种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有A1212A1010＝A212＝132(种)排列．跟踪训练3 130解析由“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”考虑x1，x2，x3，x4，x5的可能取值，设集合M＝{0}，N＝{－1,1}．当x1，x2，x3，x4，x5中有2个取值为0时，另外3个从N中取，共有C25×23种方法；当x1，x2，x3，x4，x5中有3个取值为0时，另外2个从N中取，共有C35×22种方法；当x1，x2，x3，x4，x5中有4个取值为0时，另外1个从N中取，共有C45×2种方法．故总共有C25×23＋C35×22＋C45×2＝130(种)方法，即满足题意的元素个数为130.例4 解(1)由C4n(－2)4∶C2n(－2)2＝56∶3，解得n＝10，因为通项T r ＋1＝C r 10(x )10－r ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－23x r＝(－2)r C r10556rx－，r ＝0,1,2， (10)当5－5r6为整数时，r 可取0,6，于是有理项为T 1＝x 5和T 7＝13 440. (2)设第r ＋1项系数的绝对值最大，则⎩⎪⎨⎪⎧C r102r≥C r －1102r －1，C r 102r≥C r ＋1102r ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ≤223，r ≥193，又因为r ∈{1,2,3，…，9}，所以r ＝7，当r ＝7时，T 8＝－15 36056x －，又因为当r ＝0时，T 1＝x 5， 当r ＝10时，T 11＝(－2)10103x－＝1 024103x－，所以系数的绝对值最大的项为T 8＝－15 36056x －.(3)原式＝10＋9C 210＋81C 310＋…＋910－1C 1010＝9C 110＋92C 210＋93C 310＋…＋910C 10109＝C 010＋9C 110＋92C 210＋93C 310＋…＋910C 1010－19＝(1＋9)10－19＝1010－19.跟踪训练4 解 (1)令x ＝1，得二项式⎝⎛⎭⎪⎫5x －1x n展开式中各项系数之和为(5－1)n ＝4n，各项二项式系数之和为2n，由题意，得4n ＝16·2n ，所以2n＝16，n ＝4. (2)通项T r ＋1＝C r4(5x )4－r⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r 454－r·342,rx－展开式中二项式系数最大的项是第3项T 3＝(－1)2C 2452x ＝150x .(3)由(2)，得4－32r ∈Z (r ＝0,1,2,3,4)，即r ＝0,2,4，所以展开式中所有x 的有理项为 T 1＝(－1)0C 0454x 4＝625x 4，T 3＝(－1)2C 2452x ＝150x ，T 5＝(－1)4C 4450x －2＝x－2. 例5 解 (1)(x 2－3x ＋2)5＝(x －1)5(x －2)5， a 2是展开式中x 2的系数，∴a 2＝C 55(－1)5C 35(－2)3＋C 45(－1)4·C 45(－2)4＋C 35(－1)3·C 55(－2)5＝800.(2)令x ＝1，代入已知式，可得 a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝0，而令x ＝0，得a 0＝32，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝－32.(3)令x ＝－1，可得(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)－(a 1＋a 3＋…＋a 7＋a 9)＝65，再由(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)＋(a 1＋a 3＋…＋a 7＋a 9)＝0，把这两个等式相乘可得，(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 7＋a 9)2＝65×0＝0.跟踪训练5 5解析 令x ＝2，得a 0＝(22＋1)(2－3)9＝－5，令x ＝3，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝(32＋1)(3－3)9＝0，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝－a 0＝5.当堂训练1．60 2.2 3.216 4.364 5.300 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
计数原理教案
计数原理教案计数原理是数学中的一个重要概念，也是初中数学教学中的重点内容。
通过计数原理的学习，可以帮助学生建立起正确的计数思维方式，培养他们的逻辑思维能力和数学解决问题的能力。
本教案将围绕计数原理展开，通过生动的案例和简洁的语言，帮助学生更好地理解和掌握计数原理的相关知识。
一、引入。
我们身边的事物都是可以计数的，比如教室里的学生人数、家庭里的家庭成员人数等等。
但是当事物的数量非常大时，我们就需要运用计数原理来进行计数。
比如，如果一个班有8个男生和10个女生，那么这个班一共有多少种不同的座位排列方式呢？这就需要我们用到计数原理来解决。
二、基本概念。
1. 排列。
排列是指从给定的元素中按照一定的顺序取出若干个元素，如从A、B、C中取出2个字母进行排列，可以有AB、BA、AC、CA、BC、CB等不同的排列方式。
2. 组合。
组合是指从给定的元素中按照一定的顺序取出若干个元素，但不考虑元素的顺序，如从A、B、C中取出2个字母进行组合，只有AB、AC、BC三种组合方式。
三、案例分析。
1. 排列的应用。
假设有5本不同的数学书和4本不同的英语书，现在要从这些书中挑选3本书放在书架上，问一共有多少种不同的放法？解，根据排列的计数原理，可以得到答案为543=60种不同的放法。
2. 组合的应用。
假设有8个不同的水果，现在要从中选取4种水果放在果盘上，问一共有多少种不同的选择方式？解，根据组合的计数原理，可以得到答案为C（8，4）=70种不同的选择方式。
四、教学方法。
1. 生动案例法。
通过生活中的例子，引导学生理解计数原理的概念和应用，激发学生的学习兴趣，增强他们的学习体验。
2. 互动讨论法。
在课堂上引导学生进行小组讨论，共同探讨计数原理的相关问题，培养学生的合作意识和团队精神，激发他们的思维能力。
3. 练习巩固法。
通过大量的练习题，帮助学生巩固计数原理的相关知识，提高他们的计算能力和解决问题的能力。
五、教学反思。
在教学过程中，我们要注重培养学生的数学思维方式，引导他们从实际问题中学习，提高他们的数学素养和解决问题的能力。
2021年秋高中数学第一章计数原理阶段复习课第1课计数原理学案新人教A版选修23
2021年秋高中数学第一章计数原理阶段复习课第1课计数原理学案新人教A 版选修23[核心速填] (建议用时5分钟)1．分类加法计数原理：完成一件事能够有n 类方法，在第一类方法中有m 1种不同的方法，在第二类方法中有m 2种不同的方法，…，在第n 类方法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的方法．2．分步乘法计数原理：完成一件事需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，…，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有N ＝m 1×m 2×…×m n 种不同的方法．3．排列数与组合数公式及性质排列数公式A mn ＝n (n －1)(n －2)…(n－m ＋1)＝n ！n －m ！组合数公式C m n＝A m nA m m＝n n －1n －2…n －m ＋1m ！＝n ！m ！n －m ！(1)二项式定理的内容 (a ＋b )n＝C 0n a n＋C 1n an －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)． (2)通项公式：T k ＋1＝C k n an －k b k，k ∈{0,1,2，…，n }，(3)二项式系数C kn (k ∈{0,1,2，…，n })的性质 ①与首末两端等距离的两个二项式系数相等；②若n 为偶数，中间一项⎝ ⎛⎭⎪⎫第n2＋1项的二项式系数最大；若n 为奇数，中间两项⎝ ⎛⎭⎪⎫第n ＋12项和第n ＋12＋1项的二项式系数相等且最大．③C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ；C 0n ＋C 2n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋…＝2n －1.[体系构建]通过前面的学习与核心知识的填写，请把本课的知识点以网络构建的形式展现出来．[题型探究]两个计数原理对问题进行分类或者分步进行分析求解．(1)“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给情况．“分步”表现为必须把各步骤均完成，才能完成所给情况，因此准确明白得两个原理的关键在于弄清分类加法计数原理强调完成一件情况的几类方法互不干扰，不论哪一类方法中的哪一种方法都能够独立完成事件．(2)分步乘法计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成事件，步与步之间互不阻碍，即前一步用什么方法不阻碍后一步采取什么方法.(1)方程x2m＋y2n＝1表示焦点在y轴上的椭圆，其中m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，那么如此的椭圆的个数是________．(2)某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、两个不同的宣传广告、一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且宣传广告与公益广告不能连续播放，两个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？【导学号：95032096】(1)20[以m的值为标准分类，分五类：第一类：m＝1时，使n＞m，n有6种选择；第二类：m＝2时，使n＞m，n有5种选择；第三类：n＝3时，使n＞m，n有4种选择；第四类：n＝4时，使n＞m，n有3种选择；第五类：n＝5时，使n＞m，n有2种选择；因此共有6＋5＋4＋3＋2＝20种方法．](2)[解]用1,2,3,4,5,6表示广告的播放顺序，则完成这件事有三类方法．第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是2,4,6.分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．第二类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1,4,6，分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1,3,6，同样分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．由分类加法计数原理得：6个广告不同的播放方式有36＋36＋36＝108种．[延伸探究] 若本例(1)中条件“y轴”改为“x轴”，试求满足条件的椭圆的个数．[解]因为方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m＞n＞0.以m的取值进行分类．当m＝1时，n值不存在；当m＝2时，n可取1，只有1种选择；当m＝3时，n可取1,2，有2种选择；当m＝4时，n可取1,2,3，有3种选择；当m＝5时，n可取1,2,3,4，有4种选择；由分类加法计数原理可知，符合条件的椭圆共有10个．才算完成，只有满足了上述条件，才能用分步乘法计数原理．2．使用两个原明白得决问题时应注意的问题关于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们能够恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰．[跟踪训练]1．有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情形下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．[解](1)每人都能够从这三个竞赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有选法36＝729(种)．(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120(种)．(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都能够从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法63＝216(种)．排列、组合的应用本质，利用排列、组合的知识解决．(1)5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体竞赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(用数字作答)(2)在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目．①当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？②当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？③若已定好节目单，后来情形有变，需加上诗朗诵和快板2个栏目，但不能改变原先节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？【导学号：95032097】[思路探究]按照“专门元素先排法”分步进行，先专门后一样．[解](1)①只有1名老队员的排法有C12C23A33＝36种．②有2名老队员的排法有C22C13C12A22＝12种．因此共有36＋12＝48种．(2)①第一步，先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A 77＝5 040种方法；第二步，再松绑，给4个节目排序，有A 44＝24种方法．依照分步乘法计数原理，一共有5 040×24＝120 960种．②第一步，将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，一共有A 66＝720种方法． ×□×□×□×□×□×□×第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“×”的位置)，如此相当于7个“×”选4个来排，一共有A 47＝7×6×5×4＝840种．依照分步乘法计数原理，一共有720×840＝604 800种．③若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A 1212种排法，但原先的节目已定好顺序，需要排除，因此节目演出的方式有A 1212A 1010＝A 212＝132种排法．2．(1)我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架飞机预备着舰．假如甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．48种(2)3名教师与4名学生排成一横排照相，求①3名教师必须排在一起的不同排法有多少种？②3名教师必须在中间(在3,4,5位置上)的不同排法有多少种？③3名教师不能相邻的不同排法有多少种？C [(1)法一：将甲、乙两机“捆绑”看作一个元素，与除去丙、丁两机外的另一架飞机进行全排列，再将丙、丁两机“插空”排入，共有A 22·A 22·A 23＝24种不同着舰方法．法二：先对甲、乙两机“捆绑”在一起看作整体，该整体有两种着舰方法，现在相当于只有4架舰载机，这4架舰载机有A 44种着舰方法，其中有A 22·A 33种方法丙丁两机相邻着舰，利用分步乘法计数原理得2×()A 44－A 22·A 33＝24种．](2)①3名教师的排法有A 33，把3名教师作为一个整体与4个学生共5个元素的全排列共有A 55种，则共有A 33A 55＝720(种)．②3名教师的排法有A 33，4个学生在4个位子上的全排列共有A 44种，则共有A 33A 44＝144(种)． ③先4个学生全排列，再在五个空位中任选3个排3名教师，共A 44A 35＝1 440(种)．二项式定理的应用r ＋1r n n －r r数的变化，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用．(1)已知(1＋kx 2)6(k 是正整数)的展开式中x 8的系数小于120，则k ＝________.(2)已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫5x －1x n 展开式中各项系数之和是各项二项式系数之和的16倍.【导学号：95032098】①求n ；②求展开式中二项式系数最大的项； ③求展开式中所有x 的有理项．(1)1 [(1＋kx 2)6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(kx 2)r ＝C r 6k r x 2r ，令2r ＝8得r ＝4，∴x 8的系数为C 46·k 4＝15k 4∴15k 4＜120.也即k 4＜8，又k 是正整数．故k 只能取1.](2)[解] ①令x ＝1得二项式⎝⎛⎭⎪⎫5x －1x n展开式中各项系数之和为(5－1)n ＝4n，各项二项式系数之和为2n，由题意得，4n＝16·2n，因此2n＝16，n ＝4.②通项T r ＋1＝C r4(5x )4－r⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r 454－r x4－32r .展开式中二项式系数最大的项是第3项：T 3＝(－1)2C 2452x ＝150x .③由②得：4－32r ∈Z .(r ＝0,1,2,3,4)，即r ＝0,2,4，因此展开式中所有x的有理项为T1＝(－1)0C0454x4＝625x4，T3＝(－1)2C2452x＝150x，T5＝(－1)4C4450x－2＝x－2.[规律方法]应用二项式定明白得题要注意的问题(1)通项公式表示的是第“r＋1”项，而不是第“r”项．(2)展开式中第r＋1项的二项式系数C r n与第r＋1项的系数，在一样情形下是不相同的，在具体求各项的系数时，一样先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出差错．(3)它表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项也随之确定．关于一个具体的二项式，它的展开式中的项T r＋1依靠于r.[跟踪训练]3．(1)若二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x＋ax7的展开式中1x3的系数是84，则实数a＝( ) A．2 B．54C．1 D．24(2)已知(1＋x＋x2)⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x3n(n∈N*)的展开式中没有常数项，且2≤n≤8，则n＝________.(1)C(2)5[(1)二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x＋ax7的展开式的通项公式为T r＋1＝C r7(2x)7－r⎝⎛⎭⎪⎫axr＝C r727－r a r x7－2r，令7－2r＝－3，得r＝5.故展开式中1x3的系数是C5722a5＝84，解得a＝1.(2)⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x3n展开式的通项是T r＋1＝C r n x n－r⎝⎛⎭⎪⎫1x3r＝C r n x n－4r，r＝0,1,2，…，n，由于(1＋x＋x2)⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x3n的展开式中没有常数项，因此C r n x n－4r，x C r n x n－4r＝C r n x n－4r＋1和x2C r n x n－4r＝C rn xn－4r＋2都不是常数，则n－4r≠0，n－4r＋1≠0，n－4r＋2≠0，又因为2≤n≤8，因此n≠2,3,4,6,7,8，故取n＝5.]二项式定理中的“赋值”问题012311则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________．(2)设(2－3x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值．①a0.②a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100.③a1＋a3＋a5＋…＋a99.④(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2.⑤|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.【导学号：95032099】[思路探究]转化为利用二项展开式的通项公式求相应二项式的某些项的问题．(1)5[对已知条件式中令x＝2，得a0＝(4＋1)×(－1)＝－5；令x＝3得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝(9＋1)×0＝0；∴a1＋a2＋a3＋…＋a11＝5.](2)①令x＝0，则展开式为a0＝2100.②令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－3)100，(*)因此a1＋a2＋…＋a100＝(2－3)100－2100.③令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋3)100.与②中(*)式联立相减得a1＋a3＋…＋a99＝2－3100－2＋31002.④原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)][(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)·(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝[(2－3)(2＋3)]100＝1100＝1.⑤因为T r＋1＝(－1)r C r1002100－r(3)r x r，因此a2k－1＜0(k∈N＋)．因此|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋3)100.[规律方法]赋值法的应用规律与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和，要紧方法是赋值法，通过观看展开式右边的结构特点和所求式子的关系，确定给字母所赋的值，有时赋值4．(1)已知(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n.若a 1＋a 2＋…＋a n－1＝29－n ，那么自然数n 的值为( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3(2)若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________. (1)C (2)364 [(1)令x ＝1得2＋22＋23＋ (2)＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n 即2－2n ＋11－2＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ，即2n ＋1－2＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n 令x ＝0得a 0＝1＋1＋1＋…＋1＝n ，∵a n ＝1，∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2n ＋1－n －3，∴2n ＋1－n －3＝29－n ，解得n ＝4，故选C. (2)令x ＝0得，a 0＝1.∴当x ＝1时，a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＋a 12＝36； ① 当x ＝－1时，a 0－a 1＋a 2＋…－a 11＋a 12＝1； ②①＋②得2(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12)＝730， ∴a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 12＝364.]。
教学设计3: 第一章 章末复习
第一章计数原理章末复习一、教学目标1. 掌握加法原理及乘法原理，并能运用这两个原理分析和解决一些简单的问题．2. 理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题．3. 掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题． 二、课前回顾1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法 3．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mn A 表示5．排列数公式：(1)(2)(1)mn A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）6乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘定0!1=．7．排列数的另一个计算公式：mn A =!()!n n m -8合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合9．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号m n C 表示． 10．组合数公式：(1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C mn -=),,(n m N m n ≤∈*且组合数的性质1：m n n m n C C -=．规定：10=n C ；12．组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m nC1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n nr n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，（2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++.2．二项展开式的通项公式：1r n r rr n T C a b -+= 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性4项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除15．二项式系数的性质：（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n mn n C C -=）．直线2nr =是图象的对称轴． （2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2n nC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC-，12n nC+取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++，令1x =，则0122n r nn n n n n C C C C C =++++++ 三、课堂学习与探究例１（1）6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种.（2）在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有______种.【解析】 (1) +⋅3526C C 3502536=⋅C C 种方法. (2) 433333=⨯⨯⨯种. 例2.(1)有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，有__种不同排法 (2) 5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为______ (3).某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（ ）种.（A ）5040 （B ）1260 （C ）210 （D ）630【解析】(1) 8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题.这样共有：5638=C 排法. (2)首先把5本书转化成4本书，然后分给4个人.第一步：从5本书中任意取出2本捆绑成一本书，有25C 种方法；第二步：再把4本书分给4个学生，有44A 种方法.由乘法原理，共有⋅25C 24044=A 种方法，故选B. (3) 6302332527=A C C例3.（1）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有_____个 .（2）已知02=-b ax 是关于x 的一元二次方程，其中a 、}4,3,2,1{∈b ，求解集不同的一元二次方程的个数.(3) 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有________种.【解析】（1）任一个五位的奇数都符合要求，共有363233=⨯⨯A 个；四位数时如图，最后一位只能是1或3有两种取法，又因为第1位不能是0，在最后一位取定后只有3种取法，剩下3个数排中间两个位置有23A 种排法，共有363223=⨯⨯A 个.共有72个，选D.（2）共有11213=-个解集不同的一元二次方程.（3）用间接法.先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即：37333444=⨯⨯-⨯⨯种方案.例4（1）现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（ ）种.（A ）5536A A ⋅ （B ）336688A A A ⋅- （C ）3335A A ⋅ （D ）4688A A -（2）(全国高考题)如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色， 要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择 ，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）【解析】（1）在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙三人不相邻的方法数，即336688A A A ⋅-，故选B.（2）当使用四种颜色时，由前面的误解知有48种着色方法；当仅使用三种颜色时：从4种颜色中选取3种有34C 种方法，先着色第一区域，有3种方法，剩下2种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第2、4区域，另一种颜色涂第3、5区域，有2种着色方法，由乘法原理有242334=⨯⨯C 种.综上共有：722448=+种. 例5.已知n2)x 2x (-的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项.【解析】依题意2n 4n 2n 4n C 14C 33:14C :C =⇒= ∴3n(n -1)(n -2)(n -3)/4!=4n(n -1)/2!⇒n=10设第r+1项为常数项，又 2r 510r10r r 2r 10r 101r xC )2()x2()x (C T --+-=-=令2r 02r 510=⇒=-，.180)2(C T 221012=-=∴+此所求常数项为180 例6 已知n x x 223)(+的展开式的系数和比n x )13(-的展开式的系数和大992,求n xx 2)12(-的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.【解析】由题意992222=-n n ,解得5=n . ①101(2)x x-的展开式中第6项的二项式系数最大,13254即8064)1()2(55510156-=-⋅⋅==+xx C T T .②设第1+r 项的系数的绝对值最大,则r r rr r r r r x C xx C T 2101010101012)1()1()2(---+⋅⋅⋅-=-⋅⋅=∴⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅--+-+---110110101011011010102222r r r r r r r r C C C C ,得⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-110101101022r r r r C C C C ,即⎩⎨⎧-≥+≥-r r r r 10)1(2211∴31138≤≤r ,∴3=r ,故系数的绝对值最大的是第4项四、课后提升与拓展 1.（2014广东理）设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件 “1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为( )A.60B.90C.120D.1301234511122252551311225254:1,2,31:C 10;:C 40;:C C C 80.104080130, D.x x x x x C C A C C ++++=+=+=++=提示可取和为的元素个数为和为2的元素个数为和为3的元素个数为故满足条件的元素总的个数为选2.（2014广东理）从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为3671016:67,36,136,.6C C =【答案】提示要使为取出的个数中的中位数则取出的数中必有个不大于另外个不小于故所求概率为3.写出n 33)x21x (-的展开式的第r+1项.【解析】2311(2rn rr n rrr r nn T C C x--+⎛⎫==- ⎪⎝⎭4.求()732x x+的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.【解析】展开式的第4项的二项式系数3735C =，第4项的系数3372280C =5. 求42)43(-+x x 的展开式中x 的系数【解析】（法一）42)43(-+x x 42]4)3[(-+=x x02412344(3)(3)4C x x C x x =+-+⋅22224(3)4C x x ++⋅3234444(3)44C x x C -+⋅+⋅，显然，上式中只有第四项中含x 的项，∴展开式中含x 的项的系数是76843334-=⋅⋅-C（法二）：42)43(-+x x 4)]4)(1[(+-=x x 44)4()1(+-=x x)(4434224314404C x C x C x C x C +-+-=0413222334444444(4444)C x C x C x C x C +⋅+⋅+⋅+⋅∴展开式中含x 的项的系数是34C -334444C +768-=．五、课堂小结1注意区别“恰好”与“至少”从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有多少种 2特殊元素（或位置）优先安排将5列车停在5条不同的轨道上，其中a 列车不停在第一轨道上，b 列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有种 3“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有多少种 4、混合问题，先“组”后“排”对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？5. 二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用.六、板书设计：（略）七、教后记：。
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第一章 计数原理复习导学案一． 学习目标 1．掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简单的应用问题． 2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． 3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应 用问题．4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． 二． 知识网络项式系数性质第一课 两个原理一．知识梳理1． 分类计数原理（也称加法原理） ：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法 中有 m 1种不同的方法，在第二类办法中有 m 2 种不同的方法，⋯⋯，在第 n 类办法中有 m n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ 种不同的方法．2．分步计数原理（也称乘法原理） ：做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 m 1种不同的方法，做第二步有 m 2种不同的方法，⋯⋯，做 n 步有 m n 种不同的方法，那么完 成这件事共有 N ＝ 种不同的方法．3．解题方法：枚举法、插空法、隔板法．二．基础自测1. 有一项活动需在 3名老师， 8 名男同学和 5名女同学中选人参加， （1）若只需一人参加， 有多少种不同的选法？（ 2 ）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？3）若只需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同的选法？2. ( 09重庆卷)将 4名大学生分配到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分 配方案有 种(用数字作答) ．3. 如图所示，用五种不同的颜色分别给 A 、B 、 C 、D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同排列组合 二项式定理二项式定通项公式应用应用两个计数原理颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有种.4.(09 全国卷)甲组有5名男同学，3 名女同学；乙组有6 名男同学、2 名女同学。
若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1 名女同学的不同选法共有5.(09 浙江卷)甲、乙、丙3人站到共有7 级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 (用数字作答) ．三．典例剖析例1 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？练习：1. 从1 到20 这20 个整数中, 任取两个相加, 使其和大于20, 共有几种取法?例2 已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2}, P(a, b) 表示平面上的点( a, b∈ M), 问:(1)P 可表示平面上多少个不同的点?(2)P 可表示平面上多少个第二象限的点?(3)P 可表示多少个不在直线y=x 上的点?练习：2.某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元. 某人想先选定吉利号18，然后从01至17中选3个连续的号，从19 至29中选2 个连续的号，从30 至36 中选1 个号组成一注. 若这个人要把这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？例 3 （16分）现有高一四个班学生 34人,其中一、二、三、四班各 7人、8人、9 人、 10 人，他们自愿组成数学课外小组 .（ 1 ）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（ 2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？ （3）推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？练习： 3.某校高中部，高一有 6个班，高二有 7个班，高三有 8 个班，学校利用星期六组 织学生到某厂进行社会实践活动 .（ 1 ）任选 1 个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？ （2）三个年级各选一个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？（ 3 ）选 2 个班的学生参加社会实践，要求这 2 个班不同年级，有多少种不同的选法？四．自主检测 ．选择题1（．09北京卷理）用 0到 9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（A ． 324B ．328C ．3602. （08·全国Ⅰ文） 将 1，2，3 填入 3×3 的方格中，要求每行、每列都 没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有（ ）A ．6 种B ．12种C ．24种D ．48种3. （ 2009四川卷文） 2 位男生和 3位女生共 5 位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3位 女生中有且只D ． 648有两位女生相邻，则不同排法的种数是A. 60B. 48C. 42D. 36二、填空题4.5 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有种.答案325. 某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“××××××× 9999”共10 000 个号码，公司规定：凡卡号的后四位中带有数字“4”或“ 7”的一律作为优惠卡，则这组号码中“优惠卡”共有个.答案5 9046.若一个m, n 均为非负整数的有序数对（m,n），在做m+n的加法时各位均不会进位，则称（m, n）为“简单的”有序数对，m+n 称为有序数对（m, n）的值，那么值为1 942 的“简单的”有序数对的个数是.答案300三、解答题7.（1）4 名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4 名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？8.用5 种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？9.在平面直角坐标系内，点P（a，b）的坐标满足a≠b, 且a,b 都是集合{1,2,3,4,5,6} 的元素,又点P到原点的距离| OP| ≥5.求这样的点P的个数.10.将3 种作物种植在如图所示的5 块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？第二课排列与组合二．基础自测1.（09北京卷文）用数字1，2，3，4，5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为2.（09湖北卷文）从5名志愿者中选派4 人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有3.停车场每排恰有10 个停车位. 当有7 辆不同型号的车已停放在同一排后，恰有3 个空车位连在一起的排法有种. （用式子表示）4.在100 件产品中有6 件次品，现从中任取3 件产品，至少有1 件次品的不同取法种数是（用式子表示）.5.如图，用6种不同的颜色给图中的4 个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3 种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）.三．典例剖析例1 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端.练习：1. 用0、1、2、3、4、5 这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：（1）奇数；（2）偶数；（3）大于3 125 的数.例2 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2 名；（2）至少有1 名女运动员；（3）队长中至少有1 人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.练习：2.某医院有内科医生12名，外科医生8 名，现选派5 名参加赈灾医疗队，其中（1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？（2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？（3）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？（4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？例3 4 个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内（1）恰有1 个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1 个盒内有2 个球，共有几种放法？（3）恰有2 个盒不放球，共有几种放法？练习： 3. 有 6 本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？ （1）分成 1本、2本、 3本三组； （ 2）分给甲、乙、丙三人，其中一人 1 本，一人 2 本，一人 3本； （3）分成每组都是 2 本的三组； （4）分给甲、乙、丙三人，每人2 本.四．自主检测 一．选择题1. （08上海）组合数 C rn （n >r ≥1，n 、r ∈Z ）恒等于（）2. （09全国卷Ⅱ）甲、乙两人从 4门课程中各选修 2 门。
则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有（ ）A. 6 种B. 12 种C. 30 种D. 36 种3. （ 09辽宁卷）从 5 名男医生、 4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中 男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）（A ）70 种 （B ） 80种（C ） 100种（D ）140 种 二、填空题4. 将编号为 1，2，3，4，5的五个球放入编号为 1，2，3，4，5 的五个盒子里，每个盒子 内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同投放方法共有种.5. 平面 内有四个点，平面 内有五个点，从这九个点中任取三个，最多可确定 个平面，任取四点，最多可确定 个四面体 . （用数字作答）6．（06 陕西卷 ）某校从 8名教师中选派 4 名教师同时去 4个边远地区支教 （每地 1人），其 中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有 种 ． 三、解答题7. 某外商计划在 4 个候选城市投资 3 个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过 2 个，求该外商不同的投资方案有多少种？8. 课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女各指定一名队长，现从 中选 5 人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？B ． ( n +1)( r +1)C r n--11r +1 r -1nr Cn -1（1）只有一名女生；（2）两队长当选；（3）至少有一名队长当选；（4）至多有两名女生当选.9.已知平面∥ ，在内有4 个点，在内有6 个点.（1）过这10 个点中的3 点作一平面，最多可作多少个不同平面？（2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？（3）上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？10.有两排座位，前排11 个座位，后排12 个座位，现安排2 人就座，规定前排中间的3 个座位不能坐，并且这2 人不左右相邻，共有多少种不同排法？第三课 二项式定理一．知识梳理1．（a ＋b ）n＝（n ∈N ），这个公式称做二项式定理，右边的多项式叫做（a ＋b ）n的二项展开式，其中的系数 叫做二项式系数．式中的 叫做二项展开式的 通项，用 T r ＋1表示，即通项公式 T r＋1＝是表示展开式的第 r ＋1 项．2．二项式定理中，二项式系数的性质有：① 在二项式展开式中，与首末两项“等距离”的两项二项式系数相等，即：0 n 1 n 1 2 n 2 C n C n ,C n C n ,C n C n② 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇 数，中间两项的二项式系数相等并且最大， 即当n 是偶数时， n+1是奇数， 展开式共有 n+1 项，中间一项，即：第 项的二项式系数最大，为；当 n 是奇数时， n+1 是偶数，展开式共有 n+1项，中间两项，即第 项及每 项，它们的二项式系数最大，为 ③ 二项式系数的和等于 ————————— ，即 ———————————— ④ 二项展开式中，偶数项系数和等于奇数项的系数和＝ 即 ⑤ 展开式中相邻两项的二项式系数的比是：C nk 1:C nkn k : k 13．二项式定理主要有以下应用① 近似计算② 解决有关整除或求余数问题③ 用二项式定理证明一些特殊的不等式和推导组合公式（其做法称为“赋值法” ） 注意二项式定理只能解决一些与自然数有关的问题 ④ 杨辉三角形 二，基础自测1. 在（ 1+x ） （n ∈N ） 的二项展开式中，若只有 x 的系数最大，则 n= .12.在（a 2-2a 3 ）n的展开式中，则下列说法错误的有 个.①没有常数项②当且仅当 n=2 时，展开式中有常数项 ③ 当且仅当 n=5 时，展开式中有常数项④ 当 n=5k （ k ∈N *） 时，展开式中有常数项3.若多项式 C n( x+1)n-C 1n (x+1)n-1+⋯+(-1) rC r n (x+1)n-r+⋯+(-1) nC nn =a 0x n +a 1x n-1+⋯+a n-1x+a n ,则 a 0+a 1+⋯ +a n-1+a n = .21 5 44. (09 浙江卷理)在二项式 (x2) 5的展开式中，含 x 4 的项的系数是 。