2021届高考数学解答题核心素养题型10 圆锥曲线综合问题(专项训练)(解析版)

专题10 圆锥曲线综合问题

(2)直线l：y＝kx－1与C1的左支有两个相异的公共点，求k的取值范围．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．

【答案】见解析

所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2

3

＝1.

(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝kx ＋2，x 24＋y

2

3

＝1得(4k 2＋3)x 2

＋16kx ＋4＝0，

因为Δ＝16(12k 2－3)＞0，所以k 2

＞14，则x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝44k 2＋3.因为∠AOB 为锐角，所以OA →·OB →

＞

0，即x 1x 2＋y 1y 2＞0，所以x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＞0，所以(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＞0，即(1＋k 2

)·44k 2

＋3＋2k ·

－16k 4k 2

＋3＋4＞0，解得k 2＜43.又k 2＞14，所以14＜k 2

＜43，解得－233＜k ＜－12或12＜k ＜233

.所以直线l 的斜率k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23

3

，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，233

3．在平面直角坐标系xOy 中，过点C (2,0)的直线与抛物线y 2

＝4x 相交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，

y 2)．

(1)求证：y 1y 2为定值；

(2)是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程和弦长；如果不存在，说明理由． 【答案】见解析

【解析】(1)证明：设直线AB 的方程为my ＝x －2，由⎩

⎪⎨⎪⎧

my ＝x －2，

y 2

＝4x 得y 2

－4my －8＝0，所以y 1y 2＝－8.

因此有y 1y 2＝－8为定值．

(2)设存在直线l ：x ＝a 满足条件，则AC 的中点E ⎝

⎛⎭

⎪⎫x 1＋22，y 12，|AC |＝(x 1－2)2＋y 21

.点A 在抛物线上，所

以y 21＝4x 1，因此以AC 为直径的圆的半径r ＝12|AC |＝12(x 1－2)2＋y 2

1＝12

x 21＋4，又点E 到直线x ＝a 的距离

d ＝⎪⎪⎪⎪

⎪

⎪x 1＋22－a .故直线l 被圆截得的弦长为2

r 2－d 2＝2

14(x 21＋4)－⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 1＋22－a 2＝

x 21＋4－(x 1＋2－2a )2＝

－4+(1－a )x 1＋8a －4a 2

.当1－a ＝0，即a ＝1时，弦长为定值2，这时直线方程为x ＝1.

4．已知长轴长为4的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P ⎝ ⎛⎭

⎪⎫263，1，点F 是椭圆的右焦点．

(1)求椭圆方程；

(2)是否存在x 轴上的定点D ，使得过D 的直线l 交椭圆于A ，B 两点．设点E 为点B 关于x 轴的对称点，且

A ，F ，E 三点共线？若存在，求出D 点坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】见解析

(1)求椭圆C 的方程；

(2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且AP →·AQ →

＝0，求证：直线l 过定点，并求出该定点

N 的坐标．

【答案】见解析

6kx ＝0，解得x ＝0或x ＝－6k 1＋3k 2，因此P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 1＋3k 2，－6k 21＋3k 2＋1，即⎝ ⎛⎭

⎪⎫－6k 1＋3k 2，1－3k 2

1＋3k 2.将上

式中的k 换成－1k ，得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫6k k 2＋3，k 2

－3k 2＋3.所以直线l 的方程为y ＝k 2－3k 2＋3－1－3k 2

1＋3k 26k k 2＋3＋6k 1＋3k

2

·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －6k k 2＋3＋k 2－3k 2＋3

，化简得

直线l 的方程为y ＝k 2－14k x －12.因此直线l 过定点N ⎝

⎛⎭⎪⎫0，－12. 6．(2019·湖南师大附中期中)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b

2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长为2，且椭圆C 的顶点在圆M ：x

2

＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －

222＝1

2

上． (1)求椭圆C 的方程；

(2)过椭圆的上焦点作相互垂直的弦AB ，CD ，求|AB |＋|CD |的最小值． 【答案】见解析

【解析】(1)由题意可知2b ＝2，b ＝1.又椭圆C 的顶点在圆M 上，则a ＝2，故椭圆C 的方程为y 2

2＋x 2

＝1.

(2)当直线AB 的斜率不存在或为零时，|AB |＋|CD |＝32；当直线AB 的斜率存在，且不为零时，设直线AB

的方程为y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝kx ＋1，y 2

2

＋x 2

＝1，消去y ，整理得(k 2＋2)x 2

＋2kx －1＝0，

则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2，故|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2

－4x 1x 2＝22(k 2

＋1)k 2＋2.同理可得|CD |＝

22(k 2

＋1)2k 2＋1，所以|AB |＋|CD |＝62(k 2

＋1)2

(2k 2＋1)(k 2

＋2).令t ＝k 2＋1，则t ＞1,0＜1t ＜1，所以|AB |＋|CD |＝62t

2

(2t －1)(t ＋1)＝

62⎝ ⎛

⎭⎪⎫2－1t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1t ＝62－⎝ ⎛

⎭

⎪⎫1t －122＋94，当0＜1t ＜1时，2＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －122＋94≤9

4，所以823≤|AB |＋

|CD |＜32，综上可知，823≤|AB |＋|CD |≤32，所以|AB |＋|CD |的最小值8 2

3.