数列解题技巧归纳总结 打印

数列解题技巧归纳总结

基础知识：

1．数列、项的概念：按一定 次序 排列的一列数，叫做 数列 ，其中的每一个数叫做数列的项 ． 2．数列的项的性质：① 有序性 ；② 确定性 ；③ 可重复性 ．

3．数列的表示：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表示项的位置序号，因此数列的一般形

式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，（…），简记作 {a n } ．其中a n 是该数列的第 n 项，列表法、 图象法、 符号法、 列举法、 解析法、 公式法（通项公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法． 4．数列的一般性质：①单调性 ；②周期性 ． 5．数列的分类：

①按项的数量分： 有穷数列 、 无穷数列 ；

②按相邻项的大小关系分：递增数列 、递减数列 、常数列、摆动数列 、其他； ③按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他； ④按项的变化范围分：有界数列、无界数列．

6．数列的通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与它的序号n 之间的函数关系可以用一个公式a n =f （n ）（n ∈N +

或其有限子集{1，2，3，…，n}） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 通项公式 ．数列的项是指数列中一个确定的数，是函数值，而序号是指数列中项的位置，是自变量的值．由通项公式可知数列的图象是 散点图 ，点的横坐标是 项的序号值 ，纵坐标是 各项的值 ．不是所有的数列都有通项公式，数列的通项公式在形式上未必唯一．

7．数列的递推公式：如果已知数列{a n }的第一项（或前几项），且任一项a n 与它的前一项a n -1（或前几项a n-1，

a n -2，…）间关系可以用一个公式 a n =f （a 1n -）（n =2，3，…） （或 a n =f （a 1n -,a 2n -）(n=3，4，5，…)，…）

来表示，那么这个公式叫做这个数列的 递推公式 ．

8．数列的求和公式：设S n 表示数列{a n }和前n 项和，即S n =1

n

i i a =∑=a 1+a 2+…+a n ，如果S n 与项数n 之间的函数

关系可以用一个公式 S n = f （n ）（n =1，2，3，…） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 求和公式 ． 9．通项公式与求和公式的关系：

通项公式a n 与求和公式S n 的关系可表示为：11(1)(n 2)

n n n S n a S S -=⎧=⎨-≥⎩

等差数列与等比数列：

等差数列 等比数列

文字定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。

符号定义 1n n a a d +-=

1(0)n n

a q q a +=≠

分类

递增数列：0d >

递减数列：0d <

递增数列：1101001a q a q >><<<，或，

常数数列：0d =

递减数列：1101001a q a q <<><<，或， 摆动数列：0q < 常数数列：1q =

通项 1(1)()n m a a n d pn q a n m d =+-=+=+-

其中1,p d q a d ==-

1

1n n m

n m a a q

a q

--==（0q ≠）

前n 项

和 2

11()

(1)2

2

n n n a a n n d

S na pn qn +-=

=+

=+

其中1,2

2

d d p q a =

=-

11

(1)

(1)1(1)n n a q q S q na q ⎧-≠⎪

=-⎨⎪=⎩

中项

,,2a b c b a c =+成等差的充要条件:

2

,,a b c b ac =成等比的必要不充分条件：

主

要性质

等和性：等差数列{}n a

若m n p q +=+则m n p q a a a a +=+ 推论：若2m n p +=则2m n p a a a +=

2n k n k n a a a +-+=

12132n n n a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅

即：首尾颠倒相加，则和相等

等积性：等比数列{}n a 若m

n p q

+=+则m n p q a a a a ⋅=⋅

推论：若2m n p +=则2

()m n p a a a ⋅=

2

()

n k n k n a a a +-⋅=

12132n n n a a a a a a --⋅=⋅=⋅=⋅⋅⋅

即：首尾颠倒相乘，则积相等

其 它

1、等差数列中连续m 项的和，组成的新数列是等差数列。即：

232,,,m m m m m s s s s s --⋅⋅⋅等差，公差为

2

m d 则有323()m

m m s s s =-

2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。

如：14710,,,,a a a a ⋅⋅⋅（下标成等差数列） 3、{}{},n n a b 等差，则{}2n a ，{}21n a -，

{}n ka b +，{}n n pa qb +也等差。

4、等差数列{}n a 的通项公式是n 的一次函数，即：n a dn c =+(0≠d )

1、等比数列中连续项的和，组成的新数列是等比数列。即：232,,,m m m m m s s s s s --⋅⋅⋅等比，公比为m

q 。

2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。

如：14710,,,,a a a a ⋅⋅⋅（下标成等差数列） 3、{}{},n n a b 等比，则{}2n a ，{}21n a -，{}n ka 也等比。其中0k ≠

4、等比数列的通项公式类似于n 的指数函数，

即：n

n a cq =，其中1a c q

=

等比数列的前n 项和公式是一个平移加振