数列解题技巧归纳总结 打印

数列解题技巧归纳总结基础知识：1．数列、项的概念：按一定 次序 排列的一列数，叫做 数列 ，其中的每一个数叫做数列的项 ． 2．数列的项的性质：① 有序性 ；② 确定性 ；③ 可重复性 ．3．数列的表示：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表示项的位置序号，因此数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，（…），简记作 {a n } ．其中a n 是该数列的第 n 项，列表法、 图象法、 符号法、 列举法、 解析法、 公式法（通项公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法． 4．数列的一般性质：①单调性 ；②周期性 ． 5．数列的分类：①按项的数量分： 有穷数列 、 无穷数列 ；②按相邻项的大小关系分：递增数列 、递减数列 、常数列、摆动数列 、其他； ③按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他； ④按项的变化范围分：有界数列、无界数列．6．数列的通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与它的序号n 之间的函数关系可以用一个公式a n =f （n ）（n ∈N +或其有限子集{1，2，3，…，n}） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 通项公式 ．数列的项是指数列中一个确定的数，是函数值，而序号是指数列中项的位置，是自变量的值．由通项公式可知数列的图象是 散点图 ，点的横坐标是 项的序号值 ，纵坐标是 各项的值 ．不是所有的数列都有通项公式，数列的通项公式在形式上未必唯一．7．数列的递推公式：如果已知数列{a n }的第一项（或前几项），且任一项a n 与它的前一项a n -1（或前几项a n-1，a n -2，…）间关系可以用一个公式 a n =f （a 1n -）（n =2，3，…） （或 a n =f （a 1n -,a 2n -）(n=3，4，5，…)，…）来表示，那么这个公式叫做这个数列的 递推公式 ．8．数列的求和公式：设S n 表示数列{a n }和前n 项和，即S n =1ni i a =∑=a 1+a 2+…+a n ，如果S n 与项数n 之间的函数关系可以用一个公式 S n = f （n ）（n =1，2，3，…） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 求和公式 ． 9．通项公式与求和公式的关系：通项公式a n 与求和公式S n 的关系可表示为：11(1)(n 2)n n n S n a S S -=⎧=⎨-≥⎩等差数列与等比数列：等差数列 等比数列文字定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。

符号定义 1n n a a d +-=1(0)n na q q a +=≠分类递增数列：0d >递减数列：0d <递增数列：1101001a q a q >><<<，或，常数数列：0d =递减数列：1101001a q a q <<><<，或， 摆动数列：0q < 常数数列：1q =通项 1(1)()n m a a n d pn q a n m d =+-=+=+-其中1,p d q a d ==-11n n mn m a a qa q--==（0q ≠）前n 项和 211()(1)22n n n a a n n dS na pn qn +-==+=+其中1,22d d p q a ==-11(1)(1)1(1)n n a q q S q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩中项,,2a b c b a c =+成等差的充要条件:2,,a b c b ac =成等比的必要不充分条件：主要性质等和性：等差数列{}n a若m n p q +=+则m n p q a a a a +=+ 推论：若2m n p +=则2m n p a a a +=2n k n k n a a a +-+=12132n n n a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅即：首尾颠倒相加，则和相等等积性：等比数列{}n a 若mn p q+=+则m n p q a a a a ⋅=⋅推论：若2m n p +=则2()m n p a a a ⋅=2()n k n k n a a a +-⋅=12132n n n a a a a a a --⋅=⋅=⋅=⋅⋅⋅即：首尾颠倒相乘，则积相等其 它1、等差数列中连续m 项的和，组成的新数列是等差数列。

即：232,,,m m m m m s s s s s --⋅⋅⋅等差，公差为2m d 则有323()mm m s s s =-2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。

如：14710,,,,a a a a ⋅⋅⋅（下标成等差数列） 3、{}{},n n a b 等差，则{}2n a ，{}21n a -，{}n ka b +，{}n n pa qb +也等差。

4、等差数列{}n a 的通项公式是n 的一次函数，即：n a dn c =+(0≠d )1、等比数列中连续项的和，组成的新数列是等比数列。

即：232,,,m m m m m s s s s s --⋅⋅⋅等比，公比为mq 。

2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。

如：14710,,,,a a a a ⋅⋅⋅（下标成等差数列） 3、{}{},n n a b 等比，则{}2n a ，{}21n a -，{}n ka 也等比。

其中0k ≠4、等比数列的通项公式类似于n 的指数函数，即：nn a cq =，其中1a c q=等比数列的前n 项和公式是一个平移加振性 质等差数列{}n a 的前n 项和公式是一个没有常数项的n 的二次函数， 即：2n S An Bn =+(0≠d ) 5、项数为奇数21n -的等差数列有：1s n s n =-奇偶n s s a a -==奇偶中21(21)n n s n a -=-项数为偶数2n 的等差数列有：1n n s a s a +=奇偶，s s nd -=偶奇21()n n n s n a a +=+6、,n m a m a n ==则0m n a += n m s s =则0()m n s n m +=≠,n m s m s n ==则()m n s m n +=-+幅的n 的指数函数，即：(1)n n s cq c q =-≠ 5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。

证明方法证明一个数列为等差数列的方法： 1、定义法：1()n n a a d +-=常数 2、中项法：112(2)n n n a a a n -++=≥证明一个数列为等比数列的方法： 1、定义法：1()n na q a +=常数2、中项法：11(2,0)n n n n a a a n a -+⋅=≥≠2（） 设元技巧三数等差：,,a d a a d -+四数等差：3,,,3a d a d a d a d --++三数等比：2,,,,a a aq a aq aq q或四数等比：23,,,a aq aq aq联系1、若数列{}n a 是等差数列，则数列{}na C 是等比数列，公比为dC，其中C 是常数，d 是{}n a 的公差。

2、若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}log a n a 是等差数列，公差为log a q ，其中a 是常数且0,1a a >≠，q 是{}n a 的公比。

数列的项na 与前n 项和n S 的关系：11(1)(2)n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。

2、错项相减法：适用于差比数列（如果{}n a 等差，{}n b 等比，那么{}n n a b 叫做差比数列）即把每一项都乘以{}n b 的公比q ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。

3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。

适用于数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭和11n n a a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭（其中{}n a 等差） 可裂项为：111111()n n nn a a d a a ++=-⋅，1111()n n n n a a da a ++=-+等差数列前n 项和的最值问题：1、若等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d <，则前n 项和n S 有最大值。

（ⅰ）若已知通项n a ，则n S 最大⇔10n n a a +≥⎧⎨≤⎩；（ⅱ）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2q p-的非零自然数时n S 最大；2、若等差数列{}n a 的首项10a <，公差0d >，则前n 项和n S 有最小值 （ⅰ）若已知通项n a ，则n S 最小⇔10n n a a +≤⎧⎨≥⎩；（ⅱ）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2q p-的非零自然数时n S 最小；数列通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥。

已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。

⑶已知条件中既有n S 还有n a ，有时先求n S ，再求n a ；有时也可直接求n a 。

⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-1a +(2)n ≥。

⑸已知1()n na f n a +=求n a ，用累乘法：121121nn n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥。

⑹已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）。

特别地，（1）形如1n n a ka b -=+、1n n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a ；形如1n n n a ka k -=+的递推数列都可以除以n k 得到一个等差数列后，再求n a 。

（2）形如11n n n a a ka b--=+的递推数列都可以用倒数法求通项。

（3）形如1k n n a a +=的递推数列都可以用对数法求通项。