一元二次方程的解法五(十字相乘法)
第5课 一元二次方程的解法——十字相乘
第5课 一元二次方程的解法（5）——十字相乘法班别： 姓名： 学号：一、问题引领1、掌握运用十字相乘法进行因式分解；2、提高运用所学知识解决数学问题的能力。
二、启发交流填空：=++)3)(4(x x =+-)2)(5(x x =--)6)(1(x x三、自主探索试一试：1272++x x =（ ）（ ） 1032--x x =（ ）（ ） 672+-x x =（ ）（ ）可见，形如ab x b a x +++)(2的多项式可使用公式进行因式分解，这种方法我们又称为十字相乘法。
想一想：怎样的多项式能用十字相乘法进行因式分解呢？形如ab x b a x +++)(2的多项式的特征： ① 项式② 二次项系数为 ③ 常数项为两数之④ 一次项系数为这两个数之四、探究升华例题：用十字相乘法解下列方程（1）0652=++x x ；（2）0652=+-x x ；（3）0652=-+x x ；（4）0652=--x x 解：（1）0652=++x x（2）0652=+-x x（3）0652=-+x x（4）0652=--x x方法点拨：形如ab x b a x +++)(2的多项式因式分解，关键在常数项的分解。
当常数项是正数时，它分解成两个 号因数，它们和一次项系数的符号 ；当常数项是负数时，它分解成两个 号因数，其中绝对值较大的因数和一次项系数符号 。
五、基础训练1、用十字形成法解下列方程（1）022=-+x x （2）01522=--x x（3）0342=++x x （4）01072=+-a a（5）03652=--p p （6）0822=-+t t（7）0892=++x x （8）024102=+-x x（9）01032=-+x x （10）02832=--x x2、（1）如果)5)(9(452+-=-+x x mx x ，则___.m =（2）若))(3(152n x x mx x ++=-+，则m 的值为 ，n 的值为六、拓展训练1、用十字相乘法解下列方程 （1）028)1(11)1(2=++++x x（2）0652222=--x y x y x（3）07824=+-a a七、中考链接（2007年临沂市）如果34-x 是多项式a x x ++542的一个因式，则a 等于（ ）A 、 -6B 、 6C 、 -9D 、9。
一元二次方程的解法----十字相乘法教案
一元二次方程的解法——十字相乘法班级________姓名________学号________一、学习目标：1、利用十字相乘法分解因式2、利用十字相乘法解一元二次方程二、典例精析例1、用十字相乘法分解因式（1）x2＋5x＋6（2）x2—5x＋6（3）x2＋5x—6 （4）x2—5x—6（5）x2—5xy＋6y2 (6)(x＋y)2—5（x＋y）—6练习：（1）x2—7x＋10 （2）y2＋y—2（3）x2—12x—13 （4）m2—5m＋4例2、用十字相乘法解一元二次方程（1）x2＋5x＋6=0 （2）y2＋y—2=0（3）（x＋3)(x—1)=5 （4）t(t＋3)=28 练习：（1）x2＋7x＋12 =0(2) x2—5x＋6=0 （3）(x＋2)(x—1)=10例3、用十字相乘法解关于x的方程：(1)(x—2)2—2 (x—2) —3=0 * (2)(x2—3x)2—2(x2—3x) —8=0练习：（1）024)1(5)1(2=-+-+xx（2）0)(22222=--+nmxnmx★例4、已知x2—5xy＋6y2 =0（y≠0），求yxxy+的值。
四、课后作业1、m2＋7m—18=(m＋a) (m＋b),则a,b的符号为（）A、a,b异号B、a,b异号且绝对值大的为负C、a, b同号D、a,b同号且绝对值大的为正2、在下列各式中，（1）x2＋7x＋6（2）x2＋4x＋3（3）x2＋6x＋8（4）x2＋7x ＋10 （5）x2＋15x＋44有相同因式的是（）A、（1）（2）B、（3）（5）C、（2）（5）D、（1）（2）、（3）（4）、（3）（5）3、x2＋2x—3，x2—4x＋3，x2＋5x—6的公因式是（）A、x—3B、3—xC、x ＋1D、x—14、若y2＋py＋q=（y—4）（y＋7），则p= ，q= .5、分解因式：（1）x2＋7 x—8 （2）y2—2y—15（3）（x＋3y）2—4(x＋3y)—326、用十字相乘法解一元二次方程（1）x2—3x—10 =0 （2）x2＋3x—10 =0（3）x2—6x—40 =0 （4）x2—10x＋16 =0（5）x2—3x—4 =0 （6）m2—3m—18=0 7、用十字相乘法解关于x的一元二次方程：（1）(x＋1)(x＋3)=15 （2）(x＋2)(x—3)=14（3）03422=+-aaxx(5) (x—2)2＋3(x—2) —4=0（4）x2—3xy—18y2=0 * (6) (x2—x)2—4(x2—x) —12=08、已知：△ABC的两边长为2和3，第三边的长是x2—7x＋10=0的根，求△ABC的周长.9、已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：()xx xx xx n x n n2222101202230310-=<>+-=<>+-=<>+--=<>……（1）请解上述一元二次方程<1>、<2>、<3>、<n>；（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可.。
一元二次方程的解法
loge
十字相乘法
总结：
a1a2 x 2 (a1c2 a2 c1 ) x c1c2 0
(a1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ c1 )(a2 x c2 ) 0
x1 c1 c ; x2 2 a1 a2
loge
十字相乘法
练习： 1、x2-x-12=0 -12=1*-12=-1*12=3*-4=-3*4 2、6x2-11x-35=0 6=1*6=2*3 -35=1*-35=-1*35=5*-7=-5*7
一元二次方程的解法
十字相乘法
因式分解
x2-3x
提取公因式x x2-3x=0 使x（x-3）=0 x=0或者x-3=0 x2=3 x（x-3） x1=0
十字相乘法 步骤：
1、将二次项系数和常数项分别拆成两个整数的积
2、交叉相乘，使所得的两个积的和等于一次项系数
3、将方程左边表示为两个一次项的乘积
4、用因式分解法解方程
（x+4）（x-7）=0
loge
x1=-4；x2=7
1 2
十字相乘法
2、二次项系数不为1的情况: 将二次项系数分成两个数（式）a，b的乘积的形式，常数项分解 成p，q的乘积的形式，且aq+bp=一次项系数。 分解结果为（ax+p）（bx+q）=0 （ax+p）（bx+q）=0
p q x1 ; x2 a b
1x
1x
3
-4
（x+3）（x-4）=0
（2x-7）（3x+5）=0
x1 7 5 ; x2 2 3
x1 3; x2 4
loge
十字相乘法
3、-6x2+11x+35=0 6x2-11x-35=0
十字相乘解一元二次方程方法
十字相乘解一元二次方程方法【原创版3篇】篇1 目录1.十字相乘法简介2.十字相乘法解一元二次方程的基本步骤3.示例：用十字相乘法解一元二次方程4.总结与拓展篇1正文【1.十字相乘法简介】十字相乘法是一种求解一元二次方程的简便方法，它是一种基于因式分解的解法。
这种方法之所以被称为“十字相乘”，是因为在分解因式的过程中，需要将常数项和一次项分别写在十字的两边，并通过交叉相乘得到二次项的系数。
【2.十字相乘法解一元二次方程的基本步骤】1) 确定一元二次方程的标准形式：ax + bx + c = 02) 计算判别式：Δ = b - 4ac3) 根据判别式的值判断方程的根的情况：- Δ > 0：方程有两个不相等的实根- Δ = 0：方程有两个相等的实根- Δ < 0：方程无实根4) 根据一元二次方程的求根公式，计算出方程的两个根：x1,2 = (-b ±√Δ) / (2a)5) 用十字相乘法分解因式：将根的形式代入原方程，得到一个关于 a、b、c 的因式分解式6) 根据因式分解式，得出方程的两个根【3.示例：用十字相乘法解一元二次方程】示例：求解方程 2x - 3x - 2 = 01) 确定方程的标准形式：2x - 3x - 2 = 0，a = 2, b = -3, c = -22) 计算判别式：Δ = (-3) - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 253) 根据判别式的值判断方程的根的情况：Δ > 0，方程有两个不相等的实根4) 根据求根公式，计算出方程的两个根：x1,2 = (3 ±√25) / (2* 2) = (3 ± 5) / 4，x1 = 1, x2 = -2/2 = -15) 用十字相乘法分解因式：将根的形式代入原方程，得到 2(x - 1)(x+ 2) = 06) 根据因式分解式，得出方程的两个根：x1 = 1, x2 = -2【4.总结与拓展】十字相乘法作为一种解一元二次方程的简便方法，在实际应用中具有较高的价值。
一元二次方程的解法十字相乘法
一元二次方程的解法十字相乘法1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数.2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式.（2）用十字相乘法来解一元二次方程.3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快,能够节约时间,而且运用算量不大,不容易出错.4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单,但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单.2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目.3、十字相乘法比较难学.5、十字相乘法解题实例：1)、用十字相乘法解一些简单常见的题目例1把m²+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12,-2×6,-3×4,-4×3,-6×2,-12×1当-12分成-2×6时,才符合本题因为1 -21 ╳6所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）例2把5x²+6x-8分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8,-2×4,-4×2,-8×1.当二次项系数分为1×5,常数项分为-4×2时,才符合本题因为1 25 ╳-4所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）例3解方程x²-8x+15=0分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式,则15可分成1×15,3×5. 因为1 -31 ╳-5所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0所以x1=3 x2=5例4、解方程6x²-5x-25=0分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式,则6可以分为1×6,2×3,-25可以分成-1×25,-5×5,-25×1.因为2 -53 ╳5所以原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0所以x1=5/2 x2=-5/32)、用十字相乘法解一些比较难的题目例5把14x²-67xy+18y²分解因式分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14,2×7,18y²可分为y.18y ,2y.9y ,3y.6y因为2 -9y7 ╳-2y所以14x²-67xy+18y²= (2x-9y)(7x-2y)例6 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式分析：在本题中,要把这个多项式整理成二次三项式的形式解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3=10x²-（27y+1）x -（28y²-25y+3）4y -37y ╳-1=10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）=[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）] 2 -（7y –1）5 ╳4y - 3=（2x -7y +1）（5x +4y -3）说明：在本题中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解为（4y-3）（7y -1）,再用十字相乘法把10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解为[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）]解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-3=（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3 2 -7y=[（2x -7y）+1] [（5x -4y）-3] 5 ╳4y=（2x -7y+1）（5x -4y -3）2 x -7y 15 x - 4y ╳-3说明:在本题中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3用十字相乘法分解为[（2x -7y）+1] [（5x -4y）-3].例7：解关于x方程：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0分析：2a²–ab-b²可以用十字相乘法进行因式分解x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0x²- 3ax +（2a²–ab - b²）=0x²- 3ax +（2a+b）（a-b）=0 1 -b2 ╳+b[x-（2a+b）][ x-（a-b）]=0 1 -（2a+b）1 ╳-（a-b）所以x1=2a+b x2=a-b。
十字法解一元二次方程的解法
十字相乘法是一种用于解一元二次方程的方法。
它可以有效地将二次方程的二次项和一次项进行分解，并重新组合成两个一次因式的乘积。
下面是一个用1500字回答十字相乘法解一元二次方程的详细步骤：一、十字相乘法的基本原理十字相乘法是一种基于二次项系数和常数项系数的特性，将二次方程进行分解的方法。
其基本原理是将二次方程的二次项和一次项进行分解，然后将它们与常数项进行组合，形成一个十字交叉的形状。
通过这种方式，可以将方程重新组合成两个一次因式的乘积，从而得到方程的解。
二、十字相乘法解一元二次方程的步骤1. 将二次方程化简为一般形式：将二次方程化简为ax2 + bx + c = 0（a≠0）的形式。
2. 分解二次项和一次项系数：将二次项系数和一次项系数分别分解为两个因数的乘积。
3. 交叉相乘：将两个因数分别交叉相乘，并将它们的和等于一次项系数（即b）。
4. 重新组合：将交叉相乘得到的两个数分别与常数项c相加，得到两个一次因式（即x2+mx+n）。
5. 验证：通过将这两个一次因式相乘，得到原方程的左边，右边为零，从而验证解的正确性。
三、具体步骤示例假设我们有一个一元二次方程：x2 + 3x - 4 = 0。
首先，我们将方程化简为一般形式：x2 + 3x - 4 = 0。
然后，我们将二次项系数和一次项系数分解为两个因数的乘积：x2 = (x+1)(x-4)。
接着，我们将两个因数分别交叉相乘：x+1 = (x+m) + n。
再接着，我们将交叉相乘得到的两个数分别与常数项-4相加：m+n-4 = 3，从而得到两个一次因式(x+1)和(x-4)。
最后，我们将这两个一次因式相乘得到原方程的左边为12，右边为零，从而验证了方程的解为x=1或x=4。
四、注意事项在使用十字相乘法解一元二次方程时，需要注意以下几点：1. 只有当二次项系数和常数项系数可以分解为两个因数的乘积时，才能使用十字相乘法。
2. 交叉相乘时需要注意符号，以确保得到的和等于一次项系数。
一元二次方程的解法-十字相乘法
首先观察一元二次方程的形式，确定二次 项系数和常数项系数。
根据二次项系数和常数项系数，将方程左 侧转化为两个一次项的乘积。
求解一次项系数
求解未知数
通过交叉相乘的方法，求解出一次项系数 。
将求得的一次项系数代入原方程，解出未 知数。
注意事项
适用范围
十字相乘法适用于解形式为 $ax^2+bx+c=0$的一元二次方
概念
十字相乘法基于因式分解的思想，通过将一元二次方程转化为两个一元一次方 程，进而求解未知数。
重要性及应用领域
重要性
十字相乘法是一元二次方程的重要解法之一，它能够直接求得方程的解，避免了 复杂的计算和求解过程。
应用领域
十字相乘法广泛应用于数学、物理、工程等领域，尤其在解决实际问题中，如代 数问题、几何问题、概率统计等，都经常需要使用到一元二次方程的解法，而十 字相乘法是其中的一种常用方法。
一元二次方程的解法-十相乘法原理 • 实例解析 • 与其他解法的比较 • 练习与巩固 • 总结与展望
01 引言
定义与概念
定义
十字相乘法是一种解一元二次方程的数学方法，通过将方程左侧的二次项和常 数项进行拆分，然后与右侧的一次项进行交叉相乘，得到两个一次方程，从而 求解一元二次方程。
02 十字相乘法原理
原理概述
十字相乘法是一种解一元二次方程的简便方法，通过将方程左侧的二次项和常数 项进行拆分，然后交叉相乘，得到两个一次项，从而找到方程的解。
该方法基于一元二次方程的因式分解，通过将方程左侧转化为两个一次项的乘积 ，简化了解的过程。
具体步骤
确定二次项系数和常数项系数
进行因式分解
与因式分解法的比较
适用范围
解一元二次方程(知识点考点)九年级数学上册知识点考点(解析版)
解一元二次方程（知识点考点一站到底）知识点☀笔记一元二次方程的解法一元二次方程的四种解法：（1） 直接开平方法：如果()20x k k =≥，则x k =（2） 配方法：要先把二次项系数化为1，然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方式，右边是非负常数的形式，然后用直接开平方法求解；（3） 公式法：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的求根公式是24b b ac x -±-=()240b ac -≥； （4） 因式分解法：如果()()0x a x b --=则12,x a x b ==。
温馨提示：一元二次方程四种解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的频率最高，在具体应用时，要注意选择最恰当的方法解。
根的判别式 定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a-+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b ac x a a -+= 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,24b b ac x -±-=． ②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根． 考点☀梳理解题指导：① 形如（x ＋m ）2＝n （n ≥0）的方程可用直接开平方法；② 当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法；③ 若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解法；④ 如果方程不能用直接开平方法和因式分解法求解，则用公式法.⑤ 十字相乘法例如：解方程：x 2＋3x －4＝0.第1种拆法：4x －x ＝3x （正确），第2种拆法：2x －2x ＝0（错误），所以x 2＋3x －4＝（x ＋4）（x －1）＝0，即x ＋4＝0或x －1＝0，所以x 1＝－4，x 2＝1.⑥ 换元法在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.考点1：直接开方法解一元二次方程必备知识点：①直接开平方法：如果()20x k k =≥，则x k =题型1 直接开方法解一元二次方程例1．（2022·新疆·沙雅县第五中学七年级期中）解方程：()216125x +=． 【答案】114x =，294x =- 【分析】方程两边同时除以16，再开平方来求解．【详解】解：方程两边同时除以16得()225116x +=， 开平方得514x +=±， 解得114x =，294x =-． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，理解直接开平方法是解答关键．例2．（2022·陕西安康·九年级期末）解方程：1250x --=． 【答案】16x =，24x =-【分析】由()21250x --=，得出2125x ，开方得15x -=±，即可解出【详解】∵()21250x --=，∵2125x ，∵15x -=或15x -=-，则16x =，24x =-．【点睛】本题考查直接开方法求解一元二次方程，将题给式子移项，化为2x a =的形式，再利用数的开放直接求解．练习1．（2022·广东·可园中学七年级期中）解方程：24(3)250x --=．【答案】1112x =，212x =【分析】利用直接开平方法求解即可．【详解】解：24(3)250x --=，24(3)25x -=，225(3)4x -=， 532x ∴-=±， 1112x ∴=，212x =． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．【答案】x 1＝16，x 2＝﹣14【分析】根据直接开平方法进行求解即可．【详解】解：∵（x ﹣1）2＝225，∵x ﹣1＝±15，解得x 1＝16，x 2＝﹣14．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．练习3．（2022·江苏·九年级专题练习）解方程：2x 2＝6 【答案】x 13=，x 23=-【分析】直接开平方即可一元二次方程．【详解】解：226x =，23x =，3x ∴=±，13x ∴=，23x =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．练习4．（2022·北京·通州区运河中学八年级阶段练习）用开平方法解方程：316m =． 【答案】134m =+，234m =-【分析】根据开平方法解一元二次方程即可求解．【详解】解：()2316m -=，34m -=±，34m =±， ∴134m =+，234m =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．考点2：配方法解一元二次方程必备知识点：①当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法；题型2 配方法解一元二次方程例1．（2022·安徽合肥·八年级期末）用配方法解方程：21090x x -+= 【答案】19x =，21x =【分析】利用解一元二次方程-配方法：先把二次项系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进行计算即可．【详解】解：21090x x -+=，2109x x -=-，21025925x x -+=-+，2(5)16x -=，54x -=±，54x -=或54x -=-，19x =，21x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程-配方法的步骤． 例2．（2021·河南南阳·九年级期中）用配方法解方程23210x x +-=． 【答案】11x =-，213x = 【分析】先将原方程配方，然后再整体运用直接开平方法，最后求出x 即可．【详解】解：原方程可化为：22133x x += 22221113333x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21439x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 1233x +=±， 11x =-，213x =． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用配方法解一元二次方程是解答本题的关键．【答案】x 1＝32，x 2＝﹣4 【分析】移项，方程两边都除以2，再配方，开方，即可得出两个方程，再求出方程的解即可．【详解】解：2x 2+5x ﹣12＝0，移项，得2x 2+5x ＝12，x 2+52x ＝6， 配方，得x 2+52x +2516＝6+2516，即（x +54）2＝12116， 开方，得x +54＝±114， 解得：x 1＝32，x 2＝﹣4． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．【答案】11x =，23x =【分析】利用配方法解答，即可求解．【详解】解：2430x x -+=，配方得∵()221x -=，解得∵21x -=±，即11x =，23x =．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法是解题的关键． 练习3．（2022·安徽合肥·八年级期末）解方程：x 2-6x =8 【答案】12317,317x x =+=-【分析】利用配方法解一元二次方程即可得．【详解】解：268x x -=，26989x x -+=+，2(3)17x -=，317x -=±，317x =±，即方程的解为12317,317x x =+=-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法（如直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等）是解题关键．【答案】x 1＝162+，x 2＝162- 【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方．【详解】解：2x 2﹣4x ﹣1＝0x 2﹣2x 12-=0 x 2﹣2x +112=+1 （x ﹣1）232=∵x 1＝162+，x 2＝162-． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．例1．（2022·广西贺州·八年级期中）请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的223x x +-最小值．()22222232111314x x x x x +-=+⋅+--=+- ()210x +≥∴当x =－1时，223x x +-有最小值－4请根据上述方法，解答下列问题：(1)(()2222352332x x x x x a b ++=+++=++，则a ＝__________，b ＝__________； (2)若代数式227x kx -+的最小值为3，求k 的值． 【答案】(1)3，2(2)2k =±【分析】（1）根据配方法直接作答即可；（2）根据题中材料告知的方法，先配方，再根据平方的非负性求解即可．（1）解：2235x x ++()222332x x =+⨯++ ()232x =++，3,2a b ∴==，故答案为：3，2；（2）解：227x kx -+22227x kx k k =-+-+()227x k k =--+， ∵2)0x k -≥（， ∵()227x k k --+的最小值是27k -+，∵代数式227x kx -+有最小值3，∵273k -+=，即24k =，∵2k =±．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及平方的非负性，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．练习1．（2022·山东泰安·八年级期中）在学了乘法公式“222()2a b a ab b ±=±+”的应用后，王老师提出问题：求代数式245x x ++的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；解：22222454225(2)1x x x x x ++=++-+=++，∵2(2)0x +≥，∵2(2)11x ++≥．当2(2)0x +=时，2(2)1x ++的值最小，最小值是1．∵245x x ++的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题：(1)直接写出2(1)3x -+的最小值为_____．(2)求代数式21032x x ++的最小值． (3)你认为代数式21253x x -++有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值． (4)若27110x x y -+-=，求x ＋y 的最小值．【答案】(1)3(2)21032x x ++的最小值是7；(3)21253x x -++有最大值，最大值是8； (4)x +y 的最小值是2．【分析】（1）根据偶次方的非负性可求得；（2）根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得；（3）根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得；（4）根据7x －x 2+y －11=0，用x 表示出y ，写出x +y ，先根据题意用配方法和偶次方的非负性可求． （1）解：()213x -+，当x ＝1时，2(1)3x -+有最小值，是3；故答案为：3；（2）解：222221032105532(5)7x x x x x ++=++-+=++．∵2(05)x +≥，∵2(5)77x ++≥，当2(5)0x +=时，2(5)7x ++的值最小，最小值是7．∵21032x x ++的最小值是7；（3）解：21253x x -++有最大值，理由如下： ∵21253x x -++ 21(6)53x x =--+ =21(699)53x x --+-+ 21(69)353x x =--+++ 2133()8x =-++． 当21(3)03x -+=时，21(3)83x -++有最大值，最大值是8， ∵21253x x -++有最大值，最大值是8； （4）解：∵27110x x y -+-=，∵2711y x x =-++，∵22222271161163311(3)2x y x x x x x x x x +=-++=-+=-+-+=-+，∵2(3)0x -≥，∵2(3)22x -+≥，当2(3)0x -=时，2(3)2x -+的值最小，最小值是2．∵x +y 的最小值是2．【点睛】本题考查了配方法的应用和偶次方为非负数，解题的关键是能够将代数式配成完全平方式的形式．265x x ++22223335x x =+⋅⋅+-+2(3)4x =+-∵ ()230x +≥，∵ 当x =-3时，代数式265x x ++的最小值为-4．请根据上述的方法，解答下列问题：(1) 2261()x x x m n +-=++，则mn 的值为_______．(2)求代数式2265x x --+的最大值．(3)若代数式226x kx ++的最小值为2，求k 的值． 【答案】(1)-30(2)最大值为11(3)k =42±【分析】（1）利用配方法根据一次项的系数求出m 与n 的值，再相乘即可；（2）先提出代数式的负号，再进行配方，最后根据偶次方的非负性求出代数式的最大值即可； （3）先将代数式中的二次线系数提出来化为1，再进行配方，根据最小值为2求出k 的值即可．(1)解：261x x +-22223331x x =+⋅⋅+--2(3)10x =+-2()x m n =++ 解得m =3，n =-10，∵mn =-30．(2)解： 2265x x --+2(26)7x x =-++222(26(6)(6)5x x ⎡⎤=-+⋅⋅+-+⎣⎦2(6)11x =-++∵2(6)0x +≥，∵2(6)0x -+≤，∵代数式2265x x --+的最大值为11．解：226x kx ++22()62k x x =++ 22222()()6444k k k x x ⎡⎤=+⋅⋅+-+⎢⎥⎣⎦ 222()648k k x =+-+ ∵2()04k x +≥， ∵代数式226x kx ++有最小值为268k -． ∵代数式226x kx ++的最小值为2，∵2628k -=． 解得：k =42±．【点睛】本题考查的是将多项式进行配方化为完全平方式的形式，再利用偶次方的非负性求代数式的最大或最小值，准确的进行配方是解题的关键．已知2226100m m n n ++-+=，求m 和n 的值．解：将左边分组配方：()()2221690m m n n +++-+=．即()()22130m n ++-=． ∵()210m +≥，()230n -≥，且和为0， ∵()210m +=且()230n -=，∵m ＝－1，n ＝－3．利用以上解法，解下列问题：(1)已知：224250x x y y ++-+=，求x 和y 的值．(2)已知a ，b ，c 是ABC 的三边长，满足228625a b a b +=+-且ABC 为直角三角形，求c ． 【答案】(1)x ＝－2，y ＝1(2)5或7【分析】（1）先将等式左边化为两个完全平方式，根据非负数的和为零可得x 和y 的值；（2）同理可得a 和b 的值，再分类讨论，由勾股定理可得c 的值．（1）解：∵224250x x y y ++-+=∵()()22210x y ++-=∵x ＋2＝0，y －1＝0∵x ＝－2，y ＝1．（2）∵228625a b a b +=+-∵2286250a b a b +--+=∵()()22430a b -+-=∵a －4＝0，b －3＝0∵a ＝4，b ＝3∵ABC 是直角三角形∵22345c =+=或22437c =-=∵c 的值为5或7．【点睛】此题考查配方法的应用和非负数的性质，解题的关键是要学会拼凑出完全平方式． 练习4．（2022·江西上饶·八年级期末）在理解例题的基础上，完成下列两个问题： 例题：若2222440m mn n n ++-+=，求m 和n 的值；解：由题意得：()()2222440m mn n n n +++-+=，∵22()(2)0m n n ++-=，∵020m n n +=⎧⎨-=⎩，解得22m n =-⎧⎨=⎩． (1)若22228160x xy y y ++++=，求2x y -（）的值；(2)若22126450a b a b +-++=，求32a b -的值． 【答案】(1)64 (2)24【分析】（1）已知等式整理后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出x 与y 的值，代入原式计算即可得到结果；（2）已知等式整理后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出a 与b 的值，代入原式计算即可得到结果． (1)由题意得：22228160x xy y y y +++++= ∵()()2240x y y +++=∵040x y y +=⎧⎨+=⎩解得：44x y =⎧⎨=-⎩∵()()224464x y -=+=． (2)由题意得：221236690a a b b -++++= ∵()()22630a b -++=∵6030a b -=⎧⎨+=⎩解得：63a b =⎧⎨=-⎩∵33322262162439a ab b -====-（）．【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及负整数指数幂，熟练掌握完全平方公式及运算法则是解本题的关键．考点3：公式法解一元二次方程必备知识点：①如果方程不能用直接开平方法和因式分解法求解，则用公式法. 题型3 公式法解一元二次方程例1．（2022·北京·通州区运河中学八年级阶段练习）用开平方法解方程：(2316m =．【答案】134m =+，234m =-【分析】根据开平方法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：()2316m -=，34m -=±， 34m =±，∴134m =+，234m =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【答案】11193x +=，21193x -=【分析】先找出a ，b ，c ，再求出24b ac ∆=-的值，根据求根公式即可求出答案． 【详解】解：∵23260x x --=， ∵3a =，2b =-，6c =-，∵()()224243676b ac ∆=-=--⨯⨯-=，∵()()22224364223b b ac x a±--⨯⨯--±-==⨯22196±=1193±=∵11193x +=，21193x -=【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有提公因式法、公式法，因式分解法等，根据方程的系数特点灵活选择恰当的方法进行求解是解题的关键．练习1．（2021·上海市南汇第四中学八年级期末）解方程：x 2﹣25x ﹣4＝0． 【答案】x 1＝5+3，x 2＝5﹣3【分析】先找出各项系数，求出判别式，根据一元二次方程的求根公式计算即可． 【详解】解：a ＝1，b ＝﹣25，c ＝﹣4， Δ＝b 2﹣4ac ＝（﹣25）2﹣4×1×（﹣4）＝36＞0， 方程有两个不等的实数根，x ＝24253653221b b ac a -±-±==±⨯，即x 1＝5+3，x 2＝5﹣3．【点睛】本题考查用公式法求解一元二次方程，熟练掌握根据方程的特点，选择恰当解法是解题的关键． 390x x --=【答案】13352x +=，23352x -=【分析】根据公式法即可求解． 【详解】解：∵1a =，3b =-，9b =-， ∵93645∆=+=>0，∵243453352212b b ac x a -±-±±===⨯， ∵13352x +=，23352x -=． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握解方程的方法是解题的关键． (1)5x 2－6x ＋1=0（公式法） (2)x 2＋8x －2=0（公式法） 【答案】(1)121,15x x ==(2)12432,432x x =+=-【分析】（1）根据题意，用公式法解一元二次方程； （2）根据题意，用配方法解一元二次方程即可求解．（1）解：5x 2－6x ＋1=0中，5,6,1a b c ==-=，24362016b ac ∴∆=-=-=，2464210b b ac x a -±-±∴==，解得：121,15x x ==；（2）x 2＋8x －2=0，28=2x x +，281618x x ++=，()2418x +=，432x +=±，解得：12432,432x x =+=-． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． (1)2219x x -+= ; (2)22310x x -+=． 【答案】(1)124,2x x ==- (2)1211,2x x ==【分析】（1）用直角开平方法解答即可； （2）用求根公式解答即可．（1）解：2219x x -+=，原方程可化为2(1)9x -=，直接开平方，得13x -=±，∵124,2x x ==-． （2）22310x x -+=，∵981∆=-=>0，∵方程有两个不相等的实数根，12314x ±=，，1211,2x x ==． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题关键是能够正确地选择恰当的解题方法．必备知识点：①若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解法； 题型4 因式分解法解一元二次方程例1．（2022·安徽合肥·八年级期末）解方程：23543x x x【答案】121,4x x =-=【分析】先整理可得2340x x --=，再利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】解：23543xx x∵239120x x ，即2340x x --=， ∵()()140x x +-=， 解得：121,4x x =-=【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法，因式分解法，公式法，配方法是解题的关键．例2．（2022·安徽安庆·八年级期末）解方程：2212x x x -=-． 【答案】12x =或1x =- 【分析】用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：2x 2-x =1-2x ， ∵2x 2+x -1=0，∵（2x -1）（x +1）=0， 2x -1=0或x +1=0， ∵12x =或1x =-． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的方法是解题的关键． 练习1．（2022·安徽合肥·八年级期末）解一元二次方程：()()323x x -=-． 【答案】x 1=3，x 2=5【分析】通过移项，因式分解再求方程的解即可． 【详解】解：（x -3）2=2（x -3） 移项得（x -3）2-2（x -3）=0，因式分解得（x -3）（x -3-2）=0， （x -3）（x -5）=0， ∵x 1=3，x 2=5．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，关键是运用因式分解使解方程变得更简洁． 练习2．（2022·上海市罗星中学八年级期末）解方程：24830x x -+=【答案】1231,22x x ==【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】24830x x -+= (23)(21)0x x --=∵230x -=或210x -=1231,22x x ==【点睛】本题考查解一元二次方程，选择合适的方法是解题的关键． (1)()()22311-=-x x (2)()3122x x x -=- 【答案】(1)10x =，212x = (2)123x =，21x =【分析】（1）利用平方差公式分解因式后求解； （2）利用提公因式分解因式后求解． （1）解：()()22311-=-x x()()223110x x ---=()()3113110x x x x -+---+=()2420x x -=10x =，212x =． （2）()3122x x x -=-()()31210x x x ---=()()3210x x --=∵320x -=或10x -=， 解得，123x =，21x =．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． (1)2x x = (2)21090x x ++=【答案】(1)10x =，21x =； (2)11x =-，29x =-【分析】（1）利用移项，提公因式求解即可； （2）利用因式分解法求解即可．（1）解：∵2x x =，∵20x x -=，∵x (x -1)=0，∵x =0或x -1=0，∵10x =，21x =； （2）∵21090x x ++=，∵(x +1)(x +9)=0，∵x +1=0或x +9=0，∵11x =-，29x =-【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．考点5：换元法解一元二次方程必备知识点：①在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.题型5 换元法解一元二次方程例1．（2022·全国·九年级专题练习）解方程：()()2226x x x x +++=．【答案】122,1x x ==-【分析】利用换元法可将原方程降次求解，再根据分类讨论思想对一元二次方程求解即可． 【详解】解：设x 2＋x ＝y ，则原方程变形为y 2＋y －6＝0， 解得：y 1＝－3，y 2＝2．①当y ＝2时，x 2＋x ＝2，即x 2＋x －2＝0， 解得：x 1＝－2，x 2＝1；②当y ＝－3时，x 2＋x ＝－3，即x 2＋x ＋3＝0， ∵∵＝12－4×1×3＝1－12＝－11＜0， ∵此方程无解；∵原方程的解为x 1＝－2，x 2＝1．【点睛】本题考查了因式分解法，公式法解一元二次方程，能够掌握换元法将原方程降次，熟练运用公式法，因式分解法解一元二次方程是解决本题的关键．例2．（2022·江苏·九年级课时练习）转化是数学解题的一种极其重要的数学思想，实质是把新知识转化为旧知识，把未知转化为已知，把复杂的问题转化为简单的问题．例如，解方程x 4－3x 2－4＝0时，我们就可以通过换元法，设x 2＝y ，将原方程转化为y 2－3y －4＝0，解方程得到y 1＝－1，y 2＝4，因为x 2＝y ≥0，所以y ＝－1舍去，所以得到x 2＝4，所以x 1＝2，x 2＝－2．请参考例题解法，解方程：223320x x x x ＋－+=． 【答案】x 1＝1，x 2＝－4【分析】利用题中给出的方法设23x x +=y ，把方程转化为含y 的一元二次方程，求出y 的值，再求解无理方程，求出x 的值．【详解】解：设23x x +＝y ，则x 2＋3x =y 2， 原方程可化为：y 2－y －2＝0， ∵y 1＝－1，y 2＝2 ， ∵23x x +＝y ≥0， ∵y 1＝－1舍去 ， ∵23x x +＝2， ∵x 2＋3x ＝4， ∵x 2＋3x －4＝0， ∵x 1＝1，x 2＝－4．【点睛】本题考查了解一元二次方程及换元法，掌握换元法的一般步骤是解决本题的关键，换元法的一般步骤：设元(未知数)，换元，解元，还原四步．解方程42540x x -+=，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设2x y =，那么42x y =，于是原方程可变为2540y y -+=①，解得11y =，24y =． 当1y =时，21x =，1x ∴=±；当4y =时，24x =，2x ∴=±； ∴原方程有四个根：11x =，21x =-，32x =，42x =-．仿照上面方法，解方程：222(3)4(3)30x x x x +++=+． 【答案】1352x -+=，2352x --=．【分析】设x 2+3x =y ，则原方程变为y 2+4y +3=0，求出y =-1，或y =-3，再分别解方程即可． 【详解】解：设x 2+3x =y ，则原方程变为y 2+4y +3=0， ∵（y +1）（y +3）=0， 解得y =-1，或y =-3，当y =-1时，x 2+3x =-1，即x 2+3x +1=0，解得x =12353522x x -+--==，，当y =-3时，x 2+3x =-3，即x 2+3x +3=0，因为∆=32-4×3<0，所以方程没有实数根，舍去； ∵原方程有两个根：1352x -+=，2352x --=．【点睛】此题考查了换元法解一元二次方程，正确理解已知中的解题方法并仿照解题是解题的关键． (1)2x -2x =99(2)2(21)x -+3（2x -1）=0 (3)22()x x --5（2x -x ）+6=0． 【答案】(1)111x =，29x =- (2)112x =，21x =- (3)12x =，21x =-，31132x +=，41132x -=【分析】（1）根据配方法求解即可； （2）根据因式分解求解即可；（3）先令x 2-x =y ，得到关于y 的一元二次方程，然后根据因式分解法求出y ，再把y 的值代入x 2-x =y 求解即可． (1)解：2x -2x =99， ∵2x -2x +1=99+1 ∵2(1)100x -=， ∵110x -=±， ∵111x =，29x =-； (2)解：2(21)x -+3（2x -1）=0，∵(21)[(21)3]0x x --+=，即(21)(22)0x x -+=， ∵210x -=或220x +=， ∵112x =，21x =-； (3)解：22()x x --5（2x -x ）+6=0， 令2x x y -=，则原方程为2560y y -+=∵(2)(3)0y y --=， ∵20y -=或30y -=， ∵y =2或3当y =2时，22x x -=， ∵220x x --= ∵(2)(1)0x x -+=， ∵x -2=0或x +1=0， ∵12x =，21x =-； 当y =3时，23-=x x ， ∵230x x --=， ∵1141(3)11322x ±-⨯⨯-±==， ∵31132x +=，41132x -=． 综上所述，12x =，21x =-，31132x +=，41132x -=．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 阅读材料：像13x x -=这样，根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程． 13;x x --；两边平方：x ﹣1＝9﹣6x ＋x 2. 解这个一元二次方程：x 1＝2，x 2＝5检验所得到的两个根，只有 是原无理方程的根． 理解应用：解无理方程1122x x +=． 【答案】2x ＝；x ＝3【分析】阅读材料：通过检验可确定原方程的解； 理解应用：先移项得到1212x x -=+，再两边平方得到一个一元二次方程，然后解这个一元二次方程，然后进行检验确定原无理方程的根． 【详解】解：阅读材料： 经检验2x ＝是原方程的解； 故答案为：2x ＝； 理解应用：移项：1212x x -=+， 两边平方：()214414x x x -+=+，解得154x =，23x =， 经检验原无理方程的根为3x ＝．【点睛】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 必备知识点：①根的判别式：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b acx a a -+=±也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,24b b acx -±-=． ②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．题型6 根的判别式的应用例1．（2022·江苏扬州·八年级期末）已知关于x 的一元二次方程2312200kx k x k k ．(1)求证：无论x 取何值，此方程总有两个实数根； (2)若该方程的两根都是整数，求整数k 的值． 【答案】(1)见解析 (2)±1【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；（2）用公式法求出方程的两根，1211,2x x k=-=-，再由该方程的两根都是整数，且k 为整数，可得11k -为整数，即可求解． （1）解：根据题意得：231422k k k2296188k k k k =++--221k k =-+()210k =-≥∵无论x 取何值，此方程总有两个实数根；（2）解：2312200kxk x k k ， ∵()()3112k k x k-+±-=， ∵1211,2x x k=-=-， ∵该方程的两根都是整数，且k 为整数，∵11k-为整数， ∵整数k 为±1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根；当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根是解题的关键．例2．（2022·安徽滁州·八年级期末）已知关于x 的方程()．(1)小明同学说：“无论m 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．”你认为他说的有道理吗？请说明理由．(2)若方程的一个根是－2，求另一个根及m 的值． 【答案】(1)有道理，理由见解析(2)另一个根为2，5m =-【分析】（1）根据Δ=b 2-4ac ＞0，即可得证；（2）将x =-2代入方程，求出m 的值，再将m =-5代入方程，解方程即可确定方程的另一个根．（1）解：有道理，理由如下：∵()()()222245416213120b ac m m m m m ∆=-=+-+=++=++>∵无论m 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．（2）解：将2x =-代入方程得()42510m m -+++=解得5m =-∵原方程为240x -=∵2x =±∵另一个根为2，5m =-．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．练习1．（2022·江苏南京·八年级期末）已知关于x 的一元二次方程2x 2﹣3mx +m 2+m ﹣3＝0（m 为常数）．(1)求证：无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根：(2)若x ＝2是方程的根，则m 的值为_____． 【答案】(1)见解析(2)552m +=或552-【分析】（1）先计算判别式的值得到∆=（m -2）2+8>0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）将x =2代入方程，解方程即可．（1）解：∵∆=9m 2-4×2（m 2+m -3）=（m -2）2+8>0，∵无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）将x =2代入方程，得8-6m +m 2+m ﹣3＝0，整理得，m 2-5m +5＝0，解得552m +=或552-， 故答案为：552m +=或552-． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式∆=b 2-4ac ：当∆＞0，方程有两个不相等的实数根；当∆=0，方程有两个相等的实数根；当∆＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程． 210x kx k ++-=方程总有两个不相等的实数根．【答案】见解析【分析】根据Δ=2224(2)41(1)40b ac k k -=-⨯⨯-=＞判断即可．【详解】∵关于x 的方程22210x kx k ++-=，a =1，b =2k ，c =21k -，∵Δ=2224(2)41(1)40b ac k k -=-⨯⨯-=＞，∵无论k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 练习3．（2022·山东青岛·八年级期中）已知关于x 的一元二次方程250x mx m -+-=．(1)求证：无论m 取何值，方程一定有两个不相等的实数根；(2)若方程有一根为25m 的值．【答案】(1)见解析(2)4m =【分析】（1）根据根的判别式求出∆的值，即可得到结论；（2）把x =25+代入方程，得出关于m 的方程，解之可得．（1）证明：24(5)m m ∆=--2420m m =-+24416m m =-++2(2)16m =-+∵2(2)160m ∆=-+>∵方程一定有两个不相等的实数根．（2）将25x =+代入原方程，得2(25)(25)50m m +-++-=(15)445m +=+∵4m =【点睛】此题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式Δ＝b 2−4ac ：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．练习4．（2021·河南南阳·九年级期中）已知关于x 的方程220x k x k -++=(1)求证：无论k 取何值，该方程总有实数根；(2)若等腰ABC 的一边长1a =，另两边b 、c 恰好是该方程的两个根，求三角形另外两边的长．【答案】(1)见解析(2)三角形另外两边长为2，2【分析】（1）检验根的判别式的正负情况即可得证．（2）∵ABC 是等腰三角形，若b =c ，即∆=0，解出k 后代入方程，解方程可得另外两边长；若a 是腰，则a ＝1是方程的根，把1代入方程解出k 后，再解出方程另一个解，检验是否符合三角形三边关系即可． （1）证明：2(2)42k k ∆=+-⨯2448k k k =++-2(2)0k =-≥所以此方程总有实根．（2）解：①若b c =，则此方程有两个相等实根此时20k -=，则2k =，原方程为：2440x x -+=，122x x ==，∵另外两边长为2和2，②若a c =，则1a =是方程2(2)20x k x k -++=的根，∵21(2)20k k -++=，∵1k =，原方程为2320x x -+=，解得：11x =，22x =，而1、1、2为边不能构成三角形．所以，三角形另外两边长为2，2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、等腰三角形存在性、三角形三边关系等知识点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．。
一元二次方程的解法十字相乘法
对于多项式 x2 +(a+b)x+ab
x
a
步骤：
1.竖分二次项与常数项；
x
b
2.交叉相乘，积相加；
3.检验确定，横写因式。
x2 ax＋bx=(a+b)x ab
即：x 2＋(a＋b)x＋ab=(x＋a)(x＋b)
十字相乘法： 借助十字交叉线分解因式的方法
对于二次三项式的分解因式， 借用一个十字叉帮助我们分解因式， 这种方法叫做十字相乘法。
=(x-2)(x+5)
当常数项是负数 时，分解的两个 数异号，其中绝 对值较大数符号 与一次项系数符 号相一致。
因式分解时，不但要 注意首尾分解，而且 需十分注意一次项系 数，才能保证因式分 解的正确性。
练习 因式分解：
(1) x2 + 5x+ 6
(2)
课后练习：分解因式 (x-y)2+(x-y)-6
总结：
二次多项式x2+px+q在分解因式时： 如果常数项q是正数，那么把它分解成两个 同号因数，它们的符号与一次项系数p的符 号相同；
如果常数项q是负数，那么把它分解成两个 异号因数，其中绝对值较大的因数与一次 项系数p的符号相同； 对于分解的两个因数，还要看它们的和是 不是等于一次项系数。
总结：
2.
3.
4.
1.2 一元二次方程的解法
——十字相乘法
复习回顾
一、计算：
(1) (x+1)(x+ 2)
(2)
(3)
(4) 总结：
复习回顾
反过来： (1)
(2)
(3)
(4) 所以：
= (x+1)(x+2)
一元二次方程的解法十字相乘法技巧
一元二次方程的解法——十字相乘法技巧一元二次方程是初中数学中的重要内容，其解法多种多样，其中一种经典的解法就是十字相乘法。
本文将详细介绍一元二次方程的十字相乘法技巧，让读者能更加深入地理解和掌握这一解题方法。
一、什么是一元二次方程1. 一元二次方程的定义一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，它的一般形式可以表示为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为已知数，并且a≠0。
解一元二次方程即是求出方程的根，即满足方程的x取值。
2. 一元二次方程的解法解一元二次方程有多种方法，如因式分解法、配方法、公式法和图像法等，其中十字相乘法是一种较为经典和常用的解题方法，特别适合于无法直接因式分解出解的一元二次方程。
二、十字相乘法的基本思想1. 十字相乘法的定义十字相乘法又称“九宫勾叉法”，是一种通过分解和配方，将一元二次方程转换成完全平方式来求解的方法。
其基本思想是在解一元二次方程时，通过对方程的b项进行分解，找到两个数，使得它们的和为b，乘积为ac。
2. 十字相乘法的步骤（1）计算ac的值，找出两个数的乘积等于ac；（2）将b进行拆分，找出两个数的和等于b；（3）根据找到的两个数，将原方程改写为完全平方并进行化简；（4）利用完全平方式，解方程并求得方程的根。
三、十字相乘法的应用举例为了更直观地理解十字相乘法的应用，下面通过一个具体的例子来说明其解题过程。
1. 例题：求解方程x²+6x+5=0的根。
2. 解题步骤：（1）计算ac的值，即a=1，c=5，则ac=1×5=5；（2）找出两个数的乘积等于5且和等于6，即找出的两个数为1和5；（3）根据找到的两个数，将原方程改写为完全平方形式，得到(x+1)×(x+5)=0；（4）利用完全平方式，解方程(x+1)(x+5)=0，得到方程的根为x=-1和x=-5。
四、十字相乘法的总结通过以上介绍，我们可以看到十字相乘法在解一元二次方程中的重要性和灵活性。
一元二次方程的解法归纳总结
一元二次方程的解法归纳总结一元二次方程的解法是每一个中学生都必须掌握的,共有5种解法,其中直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法是教材上重点讲解的四种方法,并没有提到换元法,我们在这次归纳总结中给于详细的讲解.另外,还将介绍某些特殊的一元二次方程的解法.在上面提到的四种解一元二次方程的方法中,直接开平方法是最直接的方法,因式分解法是最简单的方法,配方法是最基本的方法,而公式法是最万能的方法.我们要根据一元二次方程的特点选择合适的解法,如一元二次方程缺少一次项,选择用直接开平方法求解;一元二次方程缺少常数项,选择用因式分解法（缺常选因）求解.一、直接开平方法解形如p x =2（p ≥0）和()c b ax =+2（c ≥0）的一元二次方程,用直接开平方法. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤:（1）把一元二次方程化为p x =2（p ≥0）或()c b ax =+2（c ≥0）的形式; （2）直接开平方,把方程转化为两个一元一次方程;（3）分别解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.注意:（1）直接开平方法是最直接的解一元二次方程的方法,并不适合所有的一元二次方程的求解;（2）对于一元二次方程p x =2,当0<p 时,方程无解;（3）对于一元二次方程()c b ax =+2: ①当0>c 时,一元二次方程有两个不相等的实数根;②当0=c 时,一元二次方程有两个相等的实数根;③当0<c 时,一元二次方程没有实数根.例1. 解下列方程:（1）022=-x ; （2）081162=-x .分析:观察到两个方程的特点,都可以化为p x =2（p ≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.当一元二次方程缺少一次项时,考虑使用直接开平方法求解.解:（1）22=x2±=x ∴2,221-==x x ;（2）1681,811622==x x 491681±=±=x ∴49,4921-==x x . 例2. 解下列方程:（1）()0932=--x ; （2）()092122=--x . 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为()c b ax =+2（c ≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.解:（1）()932=-x 33±=-x∴33=-x 或33-=-x∴0,621==x x ;（2）()92122=-x ()4312922==-x ∴23432±=±=-x ∴232=-x 或232-=-x ∴232,23221-=+=x x . 习题1. 下列方程中,不能用直接开平方法求解的是 【 】（A ）032=-x （B ）()0412=--x （C ）022=+x （D ）()()2221-=+x 习题2. 若()41222=-+y x ,则=+22y x _________.习题3. 若b a ,为方程()1142=+-x x 的两根,且b a >,则=ba 【 】 （A ）5- （B ）4- （C ）1 （D ）3习题4. 解下列方程:（1）()16822=-x ; （2）()642392=-x .习题5. 解下列方程:（1）()09142=--x ; （2）4312=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x .习题6. 对于实数q p ,,我们用符号{}q p ,min 表示q p ,两数中较小的数,如{}12,1min =.（1）{}=--3,2min _________;（2）若(){}1,1min 22=-x x ,则=x _________. 习题7. 已知直角三角形的两边长y x ,满足091622=-+-y x ,求这个直角三角形第三边的长.（注意分类讨论第三边的长）二、因式分解法因式分解法解一元二次方程的一般步骤是:（1）移项 把方程的右边化为0;（2）化积 将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;（3）转化 令每个因式等于0,得到两个一元一次方程;（4）求解 解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.例1. 用因式分解法解方程:x x 32=.解:032=-x x()03=-x x∴0=x 或03=-x∴3,021==x x .例2. 用因式分解法解方程:()()01212=---x x x . 解:()()0211=---x x x()()()()011011=+-=---x x x x ∴01=-x 或01=+x∴1,121-==x x .例3. 解方程:121232-=-x x .解:0121232=+-x x()()023044322=-=+-x x x∴221==x x .例4. 解方程:332+=+x x x .解:()0332=+-+x x x()()()()0310131=-+=+-+x x x x x∴01=+x 或03=-x∴3,121=-=x x .因式分解法解高次方程例5. 解方程:()()0131222=---x x . 解:()()031122=---x x()()()()()()022*******=-+-+=--x x x x x x∴01=+x 或01=-x 或02=+x 或02=-x∴2,2,1,14321=-==-=x x x x .例6. 解方程:()()0343222=+-+x x . 解:()()043322=-++x x()()()()()0113013222=-++=-+x x x x x∵032>+x∴()()011=-+x x∴01=+x 或01=-x∴1,121=-=x x .用十字相乘法分解因式解方程对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax ,当ac b 42-=∆≥0且∆的值为完全平方数时,可以用十字相乘法分解因式解方程.例7. 解方程:0652=+-x x .分析:()124256452=-=⨯--=∆,其结果为完全平方数,可以使用十字相乘法分解因式. 解:()()032=--x x∴02=-x 或03=-x∴3,221==x x .例8. 解方程:03722=++x x .分析:25244932472=-=⨯⨯-=∆,其结果为完全平方数,可以使用十字相乘法分解因式.解:()()0312=++x x∴012=+x 或03=+x ∴211-=x ,32-=x . 例9. 设方程()012012201420132=-⨯-x x 的较大根为a ,方程020*******=-+x x 的较小根为b ,求b a -的值.解:()012012201420132=-⨯-x x ()()()()()()()0120131011201301201320130112013120132013222222=+-=-+-=-+-=--⨯+-x x x x x x x x x x∴01=-x 或0120132=+x ∴22120131,1-==x x ∵a 是该方程的较大根∴1=a020*******=-+x x()()020121=+-x x∴01=-x 或02012=+x∴2012,121-==x x∵b 是该方程的较小根∴2012-=b∴()201320121=--=-b a .习题1. 方程x x 22=的根是__________.习题2. 方程()022=-+-x x x 的根是__________.习题3. 方程0442=+-x x 的解是__________.习题4. 方程()()232+=-+x x x 的解是__________.习题5. 如果()0211+=--x x x ,那么x 的值为 【 】 （A ）2或1- （B ）0或1（C ）2 （D ）1-习题6. 方程()x x x =-2的根是__________.习题7. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程0862=+-x x 的根,则该三角形的周长为__________.习题8. 解下列方程:（1）()()x x x -=-2223; （2）()1232+=+x x ;（3）()222344x x x -=+-; （4）2422-=-x x .习题9. 解下列方程:（1）0322=--x x ; （2）0452=+-x x .习题10. 解方程:()()01122122=++++x x .三、配方法解用配方法解一元二次方程02=++c bx ax ()0≠a 共分六步:一移、二化、三配、四开、五转、六解.（1）一移 把常数项移到方程的右边,注意变号;c bx ax -=+2（2）二化 在方程的左右两边同时除以二次项系数a ,化二次项系数为1;ac x a b x -=+2 （3）三配 即配方,把方程的左边配成完全平方的形式,需要在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方;22222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++a b a c a b x a b x 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ （4）四开 直接开平方; aac b a b x 2422-±=+ （注意:当ac b 42-=∆≥0时方程有实数根） （5）五转 把第（4）步得到的结果转化为两个一元一次方程;a acb a b x 2422-=+或aac b a b x 2422--=+ （6）解 解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.aac b b x a ac b b x 24,242221---=-+-=. 说明:由上面配方的结果可以确定一元二次方程有实数根的条件和求根公式:一元二次方程02=++c bx ax ()0≠a 有实数根的条件是ac b 42-=∆≥0,求根公式为:aac b b x 242-±-=. 例1. 用配方法解方程:0142=--x x .解:142=-x x()5252414422±=-=-+=+-x x x x ∴52=-x 或52-=-x ∴52,5221-=+=x x .例2. 解方程:03232=-+x x .分析:按照用配方法解一元二次方程的一般步骤,在移项之后,要化二次项系数为“1”. 解:3232=+x x910319119132132222=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+x x x x x 31031±=+x ∴31031=+x 或31031-=+x ∴31031,3103121--=+-=x x . 例3. 用配方法解关于x 的方程:02=++q px x （q p 42-≥0）.解:q px x -=+224244244222222q p p x q p p x p q p px x -±=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++∴242,24222q p p x q p p x --=+-=+ ∵q p 42-≥0 ∴24,242221q p p x q p p x ---=-+-=. 说明: q p 42-≥0既是二次根式q p 42-有意义的条件,也是一元二次方程02=++q px x 有实数根的前提.因此把q p 42-叫做一元二次方程02=++q px x 的根的判别式.习题1. 用配方法解方程0142=++x x ,配方后的方程是 【 】（A ）()322=+x （B ）()322=-x （C ）()522=-x （D ）()522=+x 习题 2. 若方程082=+-m x x 可以通过配方写成()62=-n x 的形式,那么582=++m x x 可以配成 【 】（A ）()152=+-n x （B ）()12=+n x （C ）()1152=+-n x （D ）()112=+n x 习题3. 用配方法解方程:（1）012=-+x x ; （2）01632=+-x x ;（3）0652=--x x ; （4）011242=--x x .四、公式法一元二次方程的求根公式一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的求根公式为:aac b b x 242-±-=（ac b 42-≥0） 当042<-ac b 时,一元二次方程无实数根.例1. 证明一元二次方程的求根公式.分析:用配方法可以证明一元二次方程的求根公式.证明:02=++c bx axaac b a b x a ac b a b x ab ac a b x a b x ac x a b x cbx ax 2424424422222222222-±=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++-=+-=+ ∴a ac b a b x 2422-=+或aac b a b x 2422--=+ ∴aac b b x a ac b b x 24,242221---=-+-= 即一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的根为a ac b b x 242-±-=（ac b 42-≥0）. 注意:当ac b 42-≥0时,一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）有实数根;当042<-ac b 时,二次根式ac b 42-无意义,方程无实数根.公式法解一元二次方程的一般步骤:用公式法解一元二次方程的一般步骤是:（1）把一元二次方程化为一般形式;（2）确定c b a ,,的值,包括符号;（3）当ac b 42-≥0时,把c b a ,,的值代入求根公式求解;当042<-ac b 时,方程无实数根.例1. 用公式法解方程:0622=-+x x .分析:用公式法解一元二次方程时要先将方程化为一般形式,并正确确定c b a ,,的值,包括符号.解:6,1,2-===c b a∴()496241422=-⨯⨯-=-ac b ∴4714491±-=±-=x ∴2471,2347121-=--==+-=x x . 例2. 解下列方程:（1）242=+x x ; （2）x x x 8110442-=++.解:（1）0242=-+x x()24244422=-⨯-=-ac b ∴6226242244±-=±-=±-=x ∴62,6221--=+-=x x ;（2）091242=++x x014414494412422=-=⨯⨯-=-ac b ∴80128012±-=±-=x ∴2321-==x x . 说明:当042=-ac b 时,一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个相等的实数根. 例3. 解方程:0162=+-x x .解:()3243646422=-=--=-ac b ∴22322462326±=±=±=x ∴223,22321-=+=x x .用公式法解一元二次方程获得的启示对于一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）,可以用c b a ,,的值确定方程解的情况以及方程的解,并且求根公式里面的二次根式ac b 42-有意义的条件即为方程有解的条件:当ac b 42-≥0时,二次根式ac b 42-,一元二次方程有实数根;当042<-ac b 时,二次根式ac b 42-无意义,一元二次方程无实数根.（1）当042>-ac b 时,一元二次方程有两个不相等的实数根;（2）当042=-ac b 时,方程有两个相等的实数根.把ac b 42-叫做一元二次方程根的判别式,用“∆”表示,所以ac b 42-=∆.在不解方程的前提下,可以由∆的符号确定一元二次方程根的情况.习题1. 解方程:（1）622=-x x ; （2）21342-=--x x x ;（3）0222=+-x x ; （4）()122-=+x x .习题2. 已知a 是一元二次方程0142=+-x x 的两个实数根中较小的根.（1）求201842+-a a 的值; （2）化简并求值:aa a a a a a a 112121222--+---+-.五、换元法解某些高次方程或具有一定结构特点的方程时,我们可以通过整体换元的方法,把方程转化为一元二次方程进行求解,从而达到降次或变复杂为简单的目的.换元法的实质是换元,关键是构造元和设元,体现的是转化化归思想.用换元法解某些高次方程例1. 解方程:03224=--x x .分析:这是一元四次方程,可设y x =2（注意:y ≥0）,这样通过换元就把原方程转化为关于 y 的一元二次方程.解:设y x =2,则有:y ≥0∴0322=--y y()()031=-+y y∴01=+y 或03=-y∴3,121=-=y y∵y ≥0∴3=y （1-=y 舍去）∴32=x ∴3,321-==x x .用换元法解具有一定结构特点的方程例2. 解方程:()()022322=+---x x . 分析:注意到该方程中整体()2-x 出现了两次,可整体设元,从结构上简化方程.解:设t x =-2,则有:0232=+-t t()()021=--t t∴01=-t 或02=-t∴2,121==t t∴12=-x 或22=-x∴4,321==x x .例3. 解方程:()()0128222=+---x x x x . 分析:本题中的方程若展开整理,则得到的是一个高次方程,但方程本身具有非常明显的结构特点,可整体换元,不用展开即可得到一个简洁的一元二次方程.解:设y x x =-2,则有:01282=+-y y()()062=--y y∴02=-y 或06=-y∴6,221==y y∴22=-x x 或62=-x x解方程22=-x x 得:2,121=-=x x ;解方程62=-x x 得:3,221=-=x x综上,原方程的解为3,2,2,14321=-==-=x x x x .例4. 解方程:112122=+-+x x x x . 分析:方程中21xx +与12+x x 互为倒数,若设t x x =+21,则t x x 112=+,经过这样的换元,最后可把原方程转化为关于t 的整式方程,且为一元二次方程.解:设t x x =+21,则有:12=-tt 整理得:022=--t t()()021=-+t t∴2,121=-=t t ∴112-=+x x 或212=+x x 由112-=+xx 得:012=++x x ,此时方程无解; 由212=+xx 得:0122=--x x ,解之得:1,2121=-=x x . 综上,原方程的解为1,2121=-=x x .例5. 解方程:01122=+++xx x x .分析:设y x x =+1,则22112222-=-⎪⎭⎫⎝⎛+=+y x x x x .解:01122=+++x x x x02112=-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x 设y x x =+1,则有:022=-+y y()()021=+-y y∴01=-y 或02=+y∴2,121-==y y ∴11=+x x 或21-=+x x 由11=+x x 得:012=+-x x ,此时方程无解; 由21-=+x x 得:0122=++x x ,解之得:121-==x x .综上,原方程的解为121-==x x .本题变式: 已知实数x 满足01122=+++x x x x ,那么x x 1+的值是【 】 （A ）1或2- （B ）1-或2 （C ）1 （D ）2-例6. 已知()()1212222=+++y x y x ,求22y x +的值.分析:整体设元:设m y x =+22,则m ≥0,据此注意根的取舍.解:设m y x =+22,则有:m ≥0∴()121=+m m整理得:0122=-+m m解之得:4,321-==m m∵m ≥0 ∴3=m∴22y x +的值为3.习题1. 解下列方程:（1）()()6222=+++x x x x ; （2）()()061512=+---x x .习题2. 解方程:1222=---xx x x .习题3. 阅读下面的材料,回答问题:解方程04524=+-x x ,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是: 设y x =2,则原方程变形为:0452=+-y y ①解之得:4,121==y y当1=y 时,12=x ,解之得:1±=x ;当4=y 时,42=x ,解之得:2±=x .综上,原方程的解为:2,2,1,14321-==-==x x x x .（1）在由原方程得到方程①的过程中,利用_________法达到_________的目的,体现了数学的转化思想;（2）解方程:()()0124222=-+-+x x x x .特殊一元二次方程的解法举例某些方程的解需采用特殊的处理和方法,下面列举几例.例1. 解方程:()()7751522=++++x x x x .分析:若把该方程展开并整理,会得到一个一元四次方程,这不是我们想看到的结果.可使用换元法解该方程:设t x x =++152,这样就能把原方程转化为关于t 的一元二次方程. 解:设t x x =++152,则原方程可转化为:()76=+t t∴0762=-+t t()()071=+-t t∴01=-t 或07=+t∴7,121-==t t∴1152=++x x 或7152-=++x x由1152=++x x 得:052=+x x ,解之得:5,021-==x x ;由7152-=++x x 得:0852=++x x ,此时方程无解.综上,原方程的解为5,021-==x x .例2. 解方程:022=-+x x .解法1:当x ≥0,原方程可化为:022=-+x x ,解之得:1=x （2-=x 舍去）;当0<x 时,原方程可化为:022=--x x ,解之得:1-=x （2=x 舍去）.综上所述,原方程的解为1,121-==x x .解法2:原方程可化为:022=-+x x ∴()()021=+-x x ∵02>+x ∴1,01==-x x∴1,121-==x x∴原方程的解为1,121-==x x .解法3:（图象法）原方程可化为:x x =+-22 设x x g x x f =+-=)(,2)(2,在同一平面直角坐标系中画出二者的图象如图所示.∵两个函数的图象有两个交点()1,1-和()1,1 ∴方程x x =+-22有两个实数根,且根为1,121=-=x x∴原方程的解为1,121=-=x x .习题1. 参照例2的解法,解方程:03362=+---x x x .例3. 解方程:()()()()484321=----x x x x .解:()()()()483241=----x x x x∴()()48654522=+-+-x x x x设t x x =+-552,则有:()()4811=+-t t∴49,48122==-t t∴7,721-==t t当7552=+-x x 时,解之得:2335,233521-=+=x x ; 当7552-=+-x x 时,此时方程无解.综上所述,原方程的解为2335,233521-=+=x x . 习题2. 方程027422=-+-x x 的所有根的和为_________.习题3. 已知实数x 满足01122=+++x x x x ,那么x x 1+的值是 【 】 （A ）1或2-（B ）1-或2 （C ）1（D ）2-。
解一元二次方程的方法十字相乘法
解一元二次方程的方法十字相乘法一、什么是一元二次方程？一元二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知数，x为未知数，a≠0。
二、十字相乘法的思路十字相乘法（也叫配方法）是解一元二次方程的一种常用方法。
其思路是通过把x的系数b拆分成两个因数，每个因数与a相乘得到两个新的乘积，然后再寻找这两个乘积的和能否与c相加得到0，如果能，则把方程拆分成两个一次方程进一步求解。
三、详细步骤1. 将一元二次方程的形式化表示为ax² + bx + c = 0。
2. 将b拆分成两个数p和q，满足p + q = b，且p和q的积等于ac。
3. 列出一个新的二次方程(ax² + px) + (qx + c) = 0；这个新方程的实质是把原方程中的bx项分解成px和qx两项，把原来的一元二次方程变成两个一次方程。
4. 分别解出新方程中的两个一次方程。
5. 根据结果确定原方程是否有实数根，如果有，则输出解集；如果没有，则说明原方程的解是纯虚数。
四、举例说明假设要求解一元二次方程2x² + 5x - 3 = 0，按照十字相乘法的步骤，我们可以这么做：1. 把方程的形式化表示为2x² + 5x - 3 = 0。
2. 拆分系数b为2个数，即2和3，同时满足2 + 3 = 5，且2 × 3 = 6 =2 × 1 × 3。
3. 根据拆分得到的2个系数1和3，重写原方程为2x² + x + 3x - 3 = 0。
4. 把新方程转化成2个一次方程：(2x² + x) + (3x - 3) = 0。
5. 分别解出这两个一次方程：x(2x + 1) + 3(2x + 1) = 0，即(2x + 1)(x + 3) = 0。
6. 根据解出的方程得到x = -3/2或x = -1/2，所以原方程的解集为{-3/2，-1/2}。
一元二次方程4种解法
一元二次方程4种解法
一元二次方程的4种解法是：一般式、工具方法、因式分解法和
求根公式法。
一、一般式：
一般式又称“把头挑出来法”或“十字相乘法”。
在这种方法中，首先把一元二次方程化为化简的一般式，如ax^2+bx+c=0，然后分别根
据a, b, c 的意义，将系数和常数参数代入系数表中，仿照公式的形
式完成无穷多种可能的解答，最后通过对称性和排除法的方法排除不
符合要求的解，从而得出结论。
二、工具方法：
工具方法就是联立矩阵等数学工具，来快速解决一元二次方程，
尤其是在涉及数量较大的情况下，使用矩阵来解决更加有利。
只要建
立好系数矩阵，就可以根据其特点，按照一定步骤，使用乘法、加法、分解等技巧，求得矩阵解，从而获得满足一元二次方程的解。
三、因式分解法：
因式分解法是把原方程转换成两个一元一次方程的形式，然后分
别求解，最后将解代入原方程，检验是否仍然满足原方程。
首先，将
原方程化成两个一元一次方程的形式，例如：ax^2+bx+c=0，我们把它
化为 (ax+m)(ax+n)=0，其中m和n分别是ax+m=0及ax+n=0的解。
然后，我们可以把m和n代入到原方程中，检验是否是原方程的解，即
看是否能使原方程成立。
四、求根公式法：
求根公式法是根据一元二次方程的特征，用公式求解一元二次方
程解。
一元二次方程有两个解，因此也有对应的两个求根公式，即复
根公式：x_1=(-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a)和x_2=(-b-sqrt(b^2-
4ac))/(2a)。
通过将常数值代入到公式，就可以求出一元二次方程的解。
一元二次不等式及其解法
b b 4ac x ; 2a
2
b 4ac b2 , 顶点 坐标 2a 4a
b x 2a
一元二次不等式
定义：只含有一个未知数，未知数的最高次 数是2的不等式，叫一元二次不等式。
一般形式： ax bx c 0 或 ax bx c （ 0 a 0)
a 0 1 a 3 (3a 1)(a 1) 0
例、若函数 f ( x) kx 2 6kx (k 8) 的定义
域为R，求实数k的取值范围。
解：显然k=0时满足，而k<0时不满足，
k 0 0 k 1 2 36k 4k (k 8) 0
对应的一元二次方程的根为x1＝a，x2＝－2a，
(1)当a＞0时，x1＞x2， 不等式的解集为{x|－2a＜x＜a}. (2)当a＝0时，原不等式化为x2＜0，无解. (3)当a＜0时，x1＜x2，
不等式的解集为{x|a＜x＜－2a}.
综上所述，原不等式的解集为： a＞0时，{x|－2a＜x＜a} a＝0时，∅ a＜0时，{x|a＜x＜－2a}12分
2 2
一元二次不等式 的解集： 所有满足不等式的自变量x的取值集合。
问题:某同学要把自己的计算机接入因特网,现有两家 ISP 公司可供 选择,公司 A 每小时收费 1.5 元;公司 B 的收费原则如图所示,即在用 户上网的第 1 个小时内收费 1.7 元, 第 2 个小时内收费 1.6 元,以后 每小时减少 0.1 元(若用户一次上网时间超过 17 小时,按 17 小时计 算),请问该同学应选择哪家公司.
x 5x 0
2
不等式的解集
x 0 x 5
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一元二次方程的解法有：(注：以下^ 是平方的意思。
）一、直接开平方法。
如：x^2-4=0解：x^2=4x=±2(因为x是4的平方根）∴x1=2,x2=-2二、配方法。
如：x^2-4x+3=0解：x^2-4x=-3配方，得(配一次项系数一半的平方）x^2-2*2*x+2^2=-3+2^2(方程两边同时加上2^2，原式的值不变）（x-2)^2=1【方程左边完全平方公式得到（x-2)^2】x-2=±1x=±1+2∴x1=1,x2=3三、公式法。
（公式法的公式是由配方法推导来的）-b±∫b^2-4ac(-b加减后面是根号下b^2-4ac)公式为：x=-------------------------------------------（用中2a文吧，希望你能理解：2a分之-b±根号下b^2-4ac)利用公式法首先要明确什么是a、b、c。
其实它们就是最标准的二元一次方程的形式：ax^2+bx+c=0△=b2-4ac称为该方程的根的判别式。
当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac<0时，方程没有实数根。
有些时候，做到b2-4ac<0时，需要讨论△，因为根号下的数字是非负数，<0也就没有实数根，也就没有做的意义了。
a代表二次项的系数，b代表着一次项系数，c是常数项注意：用公式法解一元二次方程时首先要化成一般形式，也就是ax^2+bx+c=0的形式，然后才能做。
解题时按照上面的公式，把数字带入计算就OK了。
这对任何一元二次方程都可以操作。
四、十字相乘法。
（这种方法在初中教材上没有，但是老师还是带着说了一点。
相信在高中已经学过了，我就简单的说一下。
）十字相乘简单的说就是交叉相乘，把常数项分解成积等于常数项，和为一次项的系数。
如：x^2+3x+2=0x +1x +2（十字相乘时可以写成这种形式，因为，1*2等于2，且1+2等于3，符合原方程。
一元二次方程的十字相乘解法
一元二次方程的十字相乘解法一元二次方程是数学中的重要概念之一，在许多实际问题中都有应用。
解一元二次方程的方法有很多种，其中最常用且简便的方法是十字相乘法。
本文将全面介绍十字相乘法的原理和步骤，帮助读者更好地理解和应用这一方法。
首先，我们来看一个一元二次方程的一般形式：ax² + bx + c = 0，其中a、b、c是已知的实数，a ≠ 0。
我们的目标是求出方程的根，即解方程。
十字相乘法的核心思想是将方程中的二次项系数和常数项相乘，然后将得到的结果分解成两个数的乘积。
这两个数将代表方程的两个根。
具体步骤如下：第一步，将方程写成(a₁x + b₁)(a₂x + b₂) = 0 的形式。
将方程中二次项的系数乘以常数项的系数，即a * c = a₁ * a₂。
第二步，寻找两个数a₁和a₂，使得它们的乘积等于a * c，且它们的和等于一次项系数的相反数(-b)。
这一步需要观察和计算，可以通过试错法快速找到合适的数值。
第三步，利用十字相乘的原理，将方程分解为两个一次方程，即(a₁x + b₁)(a₂x + b₂) = 0。
其中一次方程为a₁x + b₁ = 0，另一个一次方程为a₂x + b₂ = 0。
解这两个一次方程，得到x的值。
第四步，验证求得的x值是否满足原方程。
将x代入原方程，检查等式是否成立。
十字相乘法的优点是简单易懂，适用于任何一元二次方程。
通过这种方法求解方程，不仅能够快速得到根的值，还可以对方程的性质进行一定的分析。
需要注意的是，十字相乘法只适用于能够被分解为两个一次因式的二次方程。
在实际应用中，可能会遇到无解或只有一个实数解的情况，这时需要特别注意。
总结一下，十字相乘法是一种求解一元二次方程的常用方法，它通过将二次项系数和常数项相乘，然后分解成两个数的乘积，进而求解方程的根。
这种方法简便易行，适用范围广泛，能有效地应用于实际问题的解决。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和掌握十字相乘法，为解决一元二次方程提供指导意义。
一元二次方程解法
∴x=[(-b±√（b²-4ac)]/（2a)∴原方程的解为x?=,x?= .4．因式分解法（十字相乘法）：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
（老教材中这种方法称为十字相乘法）例4．用因式分解法解下列方程：⑴ (x+3）（x-6）=-8 ⑵ 2x²+3x=0 ⑶ 6x²+5x-50=0 （选学）⑷x²-4x+4=0 （选学）⑴解：（x+3）（x-6）=-8化简整理得x²-3x-10=0（方程左边为二次三项式，右边为零）（x-5）（x+2）=0（方程左边分解因式）∴x-5=0或x+2=0（转化成两个一元一次方程）∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
⑵解：2x²+3x=0 x（2x+3）=0（用提公因式法将方程左边分解因式）∴x=0或2x+3=0 （转化成两个一元一次方程）∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
⑶解：6x²+5x-50=0（2x-5）（3x+10）=0 （十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错）∴2x-5=0或3x+10=0∴x1=,x2=- 是原方程的解。
⑷解：x²-4x+4 =0（∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）（x-2）（x-2）=0∴x1=2,x2=2是原方程的解。
小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。
公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。
可以用十字相乘法解的一元二次方程
可以用十字相乘法解的一元二次方程一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b和c是已知的实数常数，且a≠0。
解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法和求根公式法等，而十字相乘法是一种基于配方法的解法。
我们来看一个具体的例子：解方程x^2+5x+6=0。
通过十字相乘法，我们可以将方程的常数项6分解为两个数之积，这两个数的和等于方程的一次项系数5。
根据这个特点，我们可以快速找到这两个数，即2和3。
然后，我们将方程重新写成(x+2)(x+3)=0的形式。
根据乘法的零乘性质，我们知道只要方程中的任一因子等于0，整个方程就成立。
所以，我们可以得到两个方程x+2=0和x+3=0。
解这两个方程，我们可以得到x=-2和x=-3。
因此，方程x^2+5x+6=0的解为x=-2和x=-3。
现在，我们来详细分析十字相乘法的原理。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们需要将常数项c分解为两个数之积，这两个数的和等于方程的一次项系数b。
假设这两个数分别为m和n，那么我们可以得到一个等式：mn=c。
然后，我们通过观察一次项系数b的正负来确定m和n的符号。
若b>0，则m和n同号；若b<0，则m和n 异号。
接下来，我们将方程重新写成(ax^2+mx+nx+c=0)的形式，并进行配方法。
我们可以将方程分解为(a*x^2+mx)+(nx+c)=0，然后进行因式分解，得到(x(a*x+m))+(n*x+c)=0。
根据乘法的零乘性质，我们知道只要方程中的任一因子等于0，整个方程就成立。
所以，我们可以得到两个方程x(a*x+m)=0和n*x+c=0。
解这两个方程，我们就可以得到一元二次方程的解。
除了解一元二次方程外，十字相乘法还可以用于判断一元二次方程的根的性质。
根据十字相乘法的原理，我们可以将方程的常数项c 分解为两个数之积，这两个数的和等于方程的一次项系数b。
若这两个数都为正数或都为负数，则方程的两个根都为负数；若这两个数一个为正数一个为负数，则方程的两个根一个为正数一个为负数；若这两个数都为零，则方程的两个根都为零。
人教版九年级数学课件《一元二次方程的解法(五)十字相乘法》
45可以分成哪
-15可以分成哪
两个整数的积？
两个整数的积？
(1) x2 14x 45 0
(2) x2 2x 15 0
x
9
x
-5
x
5x 9x=14x
5
x
-5x 3x=-2x
3
解： (x+9)(x 5) 0 x+9=0或x 5 0
解：(x-5)(x 3) 0 x-5 0或x 3 0
解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．
知识精讲
计算：
(1) (x 5)(x 9)
x2 14x 45
(2) (x 12)(x 5) x2 7x 60
(3) (x 23)(x 6) x2 29x 138
人教版数学九年级上册
(4) (x 4)(x 18) x2 14x 72
人教版数学九年级上册
(2)x2 8x 15 0
解：(x 5)(x 3) 0 x 5=0或x 3 0
x1=5，x2 3.
针对练习
解下列一元二次方程
(1)x2 5x 6 0
解：(x 3)(x 2)=0 x 3=0或x 2=0
x1=3，x2 2.
人教版数学九年级上册
(2)x2 7x 12 0
通过上面的运算我们可以发现什么规律？
(x a)(x b) x2 (a b)x ab
知识精讲
反过来：
(1) x2 14x 45
(x 5)(x 9)
人教版数学九年级上册
(2) x2 7x 60 (x 12)(x 5)
(3) x2 29x 138 (x 23)(x 6)
小结梳理
十字相乘法解一元二次方程