一元二次方程的四种解法
二次方程四种解法
一元二次方程解法一、直接开平方法解一元二次方程 ①形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解.②形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解两根例1.用直接开平方法解方程(1) ； (2) ； （3）3－（3x －1）2＝0； （4）（2x-5）2-2=0；例2.用配方法解方程配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成(1) ； (2) ； (3) ； (4) ；例4.用因式分解法解方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.（1）022=-x x （2） 092=-x (3)x （2x-3）=（3x+2）（2x-3） （4） 9)3(22=+-x x（5）01282=+-x x （6）3312+=-x x (7)361232=-x x （8） 03072=--x x23270x -=22 1.505x -=12242x x +=27304x x --=2483xx -=-2441018x x x++=-例4.用公式法解方程3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并不是最简单的，一定要注意方法的选用. ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,2x②当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根： . ③当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根.(1) ； (2) ； (3) ； (4) ；例5.用适当方法求解（1）x (x －5)＋6＝0； （2）9x2－12x ＋4＝0； （3）(x －1)2－4（x ＋3）2＝0.（4）2（t-1）2+t=1 （5）014442=-x2230x x --=23290x x --=22y -=212016x x -+=112842+=++x x x 练习1.用直接开平方法解方程(1)8142=x (2) 169)5(2=+x （3）01492=-x(2) (4)2130)3-(2-2=+x （2）()162812=-x （3）()025122=-+x2.用公式法解方程（1）01032=-+x x（2）04122=--x x（3） （4）092432=+-x3.用配方法解方程（1）04322=--x x （2）016102=++x x （3）05632=++x x （4）01142=--x x(5)9642=-x x (6)x 2+4x -12=0 (7)x x 4232=- (8)01522=+-x x4.用因式分解法解方程（1）)1(4)1(3-=-x x x （2）016102=++x x （3）()()1314-=-x x x（4）0)23()32(2=-+-x x （5）()()03342=-+-x x x (6)x 2+4x -12=0（7） 0542=--x x （8） 03072=--x x (9) 0822=--x x4、任选方法解下列方程（1）01072=+-x x （2） x x 22= （3）0432=-y y。
一元二次方程的解法大全
一元二次方程的解法大全【直接开平方法解一元二次方程】把方程ax2+c = 0(a ≠ 0),这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
例：用直接开平方法解方程：21. 9X2-25= 0;2. (3x+2) 2-4= 0;3* (x+ 73)2 = 4V⅛4. (2x+3) 2= 3(4x+3).解：1 . 9X2-25= 09X2= 2525V2. (3x+2) 2-4= 0(3x+2) 2= 43x+2 = ± 23x = -2± 2—2 士2X ~…宜1 = 0, =—工(x+ √3) 2=4√3X;X2+ 2√3+ 3=4√3≡J2-2√3X+3=0当孤C异号时』两边同时开平方得琵=± ” -(X- √3) 2 = OE- 73= O• ∙ Xι X2 3.4. (2x+3) 2= 3(4x+3)4X2+12X+9=12x+94x2= 0• ∙ X1 X 0.【配方法解一元二次方程】将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c = 0（a ≠ 0）;把常数项移到方程的右边，如ax2+bx = -c;方程的两边都除-X=——;方程的两边都加上一次项系数一半的平方，⅛∏x a ÷—X以二次项系数，使二次项系数为 1 ,如x2+- ■+ （丄）i;把方程的左边变形为一次二项式的完2a a 2a全平方，右边合并或一个常数，如（"云）—一^厂；方程的两边同h 宀∕⅛⅛ 2 —4 津；时开平方.得到两个一元一次方程，;分别解这2a 2a两个一元一次方程，求出两个根,例：用配方法解下列方程：1. x2-4x-3 = 0; 2 . 6x2+x = 35;3. 4x2+4x+1 = 7; 4 . 2x2-3x-3= 0.2解：1 . X -4x-3= 0x2-4x = 32X -4x+4 = 3+4(X-2)2=7χ-2= + √7X = 2+ √7,-∖X I== 2 + r衍=2 一-/L2. 6x2+x= 35X + -X =—6 6 1 I o 35 16 6 14 ’ k 2 S41 仗卡——)2 =——' 12z 144 1 2912 ^ 121 29X — + 1Ξ ^1Ξ7 5 V — V •=—-=- Al λ Jl ATl ^'3. 4X 2+4X +1 = 73 √33—=+ -------4 一 4 3辰 4~ 4【公式法解一元二次方程】一元二次方程 ax 2+bx+c = 0(a-k 4- — 4sr 尹0),朋配方祛所求出的两WX l =和衍="纤瓦(b-4ac >0),有2a 1 √7X = ---- + ---2 2+T i 花__厂已4. 2X 2-3X -3= 0_ T 2 2广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a, b, C的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法称为公式法，耐巴怎二-- —-(b2~4ac≥0)叫做ax a +bx+ C二=0(a ≠ 0)的求根公式。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一元二次方程的解法一、知识要点：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基础，应引起同学们的重视。
一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
二、方法、例题精讲：1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=m± .例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)2=7×∴(3x+1)2=5∴3x+1=±(注意不要丢解)∴x=∴原方程的解为x1=,x2=（2）解：9x2-24x+16=11∴(3x-4)2=11∴3x-4=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2=2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c将二次项系数化为1：x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=当b2-4ac≥0时，x+ =±∴x=(这就是求根公式)例2．用配方法解方程3x2-4x-2=0解：将常数项移到方程右边3x2-4x=2将二次项系数化为1：x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2配方：(x-)2=直接开平方得：x-=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2= .3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
一元二次方程的解法总结
x a 0或x a 0
x1 a
形如
2
x2 a
的式子运用完全平方公式得：
x2 2ax a 2 0
( x a) 0 x1 x2 a 或 x1 x2 a
例题讲解
例1 解下列方程
16(2 x) 9 0 （1） 解：原方程变形为： 9 2 (2 x) 16
解：提公因式得：
(3x 2)( x 6) 0
(3x 5)( x 2) 0
3x 5 0或x 2 0
3x 2 0或x 6 0
2 x1 3
5 x1 3
x2 6
x2 2
平方差公式与完全平方公式
形如
x2 a2 0 运用平方差公式得：
2
（2） x( x 2) 1 0 解：原方程变形为：
直接开平方得：
x2 2 x 1 0
( x 1)2 0
3 2 x 4 11 5 x2 x1 4 4
x1 x2 1
2 十字相乘法
步骤：
1 二次项系数为1的情况：
将一元二次方程常数项进行分解成两个数(式)p , q的乘 积的形式，且p + q = 一次项系数。
例题讲解
例1. 用配方法解下列方程
x2+6x-7=0
解：
x 6x 7 2 x 6x 9 7 9 2 x 3 16 x 3 4 x1 1 x2 7
2
例题讲解
例2. 用配方法解下列方程
2x2+8x-5=0
5 解： x 4x 2 5 2 x 4x 4 4 2
一元二次方程四种解法
一元二次方程解法【知识梳理】1. 对一元二次方程的概念及根的考察；2. 一元二次方程的求解；一元二次方程的解法一元二次方程的求解的最根本的思路是“降次”.（1）直接开方法：()m x m m x ±=⇒≥=,02（2）配方法：02=++c bx ax 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒ （3）求根公式法：条件()04,02≥-≠ac b a 且 aac b b x 242-±-= （4）因式分解法：()()021=--x x x x一元二次方程的求解直接开方法：由应用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0），那么x=±p 转化为应用直接开平方法解形如（mx+n ）2=p （p ≥0），那么mx+n=±p ，达到降次转化之目的．若p ＜0则方程无解。
（注：两边同时开平方的时候记得不要忘记加上±号，两根相等时记得要写成x 1=x 2=…；而不是x= ） 例1：直接开方解方程：2x 2-8=0 3592=-x ()0962=-+x配方法：1)现将已知方程化为一般形式；2)化二次项系数为1；3)常数项移到右边；4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；5)变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±q ；如果q ＜0,方程无实根． 例1：配方法解方程0462=++x x 03422=-+x x 0142=++x x例2. 试说明：无论x 取何值，代数式542+-x x 的值总大于0，再求出当x 取何值时，代数式542+-x x 的值最小？最小值是多少？公式法（用公式法解一元二次方程是记得要先把方程化成一般式）要点：找出a,b,c 判断：ac b 42-=∆ 应用：aac b b x 242-±-= 例1、用公式法解下列方程（1）解方程x 2-2x-1=0 （2）解方程：-x 2+3x-2=0；变式：用公式法解下列方程（1）3x 2+2x-5=0 （2） x 222-x+1=0．不解方程说明方程根的情况（1） x 2+x-3=0 （2）x （x+8）=16．因式分解的方法：提公因式法、公式法和十字相乘法.1.乘法公式：（1）平方差公式：22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式：222()2a b a ab b +=++；222()2a b a ab b -=-+.2.十字相乘法：（1）二次项系数为1的二次三项式2x px q ++中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成:()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22. 题型一：因式分解【例1】（1））（）（3x 3x x +=+； （2） 016x 2=— （3）09a 1242=++a ；题型二：十字相乘法分解因式【例1】（1）232x x ++=0； （2）212x x --=0； （3）2215x x +-=0.题型三：解一元二次方程【例1】用适当的方法解下列方程：（1）2410x x ++=； （2）210x x +-=； （3）22310x x -+=.【变式练习1】解下列一元二次方程：（1）21304x x ++=； （2）2420x x -+=；（3）2200x x --=； （4）24920x x -+=.【作业布置】（时间：20分；总分：60）用合适的方法解下列方程．（1）3y 2-6y=0 （2）x 2+2x-3=0．（3）x 2+35=12x （4）（x-3）2+9（x-3）=0（5）220x x -=； （6）2430x x +-=；(7） 22)3(4)23(-=+x x (8) )2(5)2(3+=+x x x。
一元二次方程的解法及应用
一元二次方程的解法及应用一元二次方程是数学中常见的二次多项式方程，其一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
解一元二次方程的方法通常有因式分解法、配方法和求根公式法等。
本文将依次介绍这几种解法，并探讨一元二次方程在实际生活中的应用。
一、因式分解法对于一元二次方程ax²+bx+c=0，当其可以因式分解成两个一次因式的乘积时，可以直接利用因式分解法求解。
具体步骤如下：1. 将方程转化为标准形式，即将方程两边移项合并同类项，使等式右边为0；2. 对方程进行因式分解，将二次项拆分为两个一次项的乘积；3. 令得到的每个一次项等于0，解出方程；4. 检查解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。
例如，对于方程3x²+7x+2=0，可以进行因式分解得到(3x+1)(x+2)=0，解得x=-1/3和x=-2。
二、配方法配方法是通过变形将一元二次方程转化为一个完全平方的形式，进而求解方程。
其主要步骤如下：1. 将方程转化为标准形式；2. 将方程的一次项系数b通过添加或减去一个适当的常数c/2a使其成为一个完全平方；3. 将方程的左边转化为一个完全平方，即将一次项的系数与1/2a相乘后平方；4. 将方程的两边开平方，解出方程。
例如，对于方程x²+4x-3=0，可以通过配方法将其变形为(x+2)²-7=0，进而解得x=-2+√7和x=-2-√7。
三、求根公式法求根公式法也称为根号公式法，适用于任何一元二次方程的解法。
一元二次方程ax²+bx+c=0的解可通过求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/2a得到。
具体步骤如下：1. 将方程的系数代入求根公式，并计算出方程的两个解；2. 验证解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。
例如，对于方程2x²-5x+2=0，代入求根公式得到x=1和x=2/2。
一元二次方程的解法大全
一元二次方程的解法大全【直接开平方法解一元二次方程】把方程ax2+c＝0(a≠0)，这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
例：用直接开平方法解方程：1．9x2-25＝0；2．(3x+2)2-4＝0；4．(2x+3)2＝3(4x+3)．解：1．9x2-25＝09x2＝252．(3x+2)2-4＝0(3x+2)2＝43x+2＝±23x＝-2±2∴x1＝x2＝3．4．(2x+3)2＝3(4x+3)4x2+12x+9＝12x+94x2＝0∴x1＝x＝0．【配方法解一元二次方程】将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c；方程的两边都除以二次项系数，使二次项系数为1，如x2+例：用配方法解下列方程：1．x2-4x-3＝0； 2．6x2+x＝35；3．4x2+4x+1＝7； 4．2x2-3x-3＝0．解：1．x2-4x-3＝0x2-4x＝3x2-4x+4＝3+4(x-2)2＝72．6x2+x＝353．4x2+4x+1＝74．2x2-3x-3＝0【公式法解一元二次方程】一元二次方程ax2+bx+c＝0(a广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a，b，c的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法＝0(a≠0)的求根公式。
例：用公式法解一元二次方程：2．2x2+7x-4＝0；4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0，求x)．2．2x2+7x-4＝0∵a＝2，b＝7，c＝-4．b2-4ac＝72-4×2×(-4)＝49+32＝814．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0)x2-3ax+2a2-ab-b2＝0∵a＝1，b＝-3a，c＝2a2-ab-b2b2-4ac＝(-3a)2-4×1×(2a2+ab-b2)＝9a2-8a2-4ab+4b2＝a2-4ab+4b2＝(a-2b)2当(a-2b≥0)时，得【不完全的一元二次方程的解法】在不完全的一元二次方程中，一次项与常数至少缺一项。
一元二次方程的解法详细解析
一元二次方程的解法详细解析只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
标准形式:ax²+bx+c=0(a≠0)一元二次方程有4种解法，即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
下面小编和你具体讲解一元二次方程的四种解法例析。
一元二次方程的解法例析【一元二次方程要点综述】：【要点综述】：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。
在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。
根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。
一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。
因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为的形式，那么这个方程就是一元二次方程。
下面再讲一元二次方程的解法。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
如下表：方法适合方程类型注意事项直接开平方法≥0时有解，＜0时无解。
配方法二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方。
公式法≥0时，方程有解；＜0时，方程无解。
先化为一般形式再用公式。
因式分解法方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积。
方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式。
【举例解析】例1：已知，解关于的方程。
分析：注意满足的的值将使原方程成为哪一类方程。
解：由得：或，当时，原方程为，即，解得. 当时，原方程为，即，解得，. 说明：由本题可见，只有项系数不为0，且为最高次项时，方程才是一元二次方程，才能使用一元二次方程的解法，题中对一元二次方程的描述是不完整的，应该说明最高次项系数不为0。
通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明，即形如的方程叫作关于的一元二次方程。
一元二次方程解法的四种途径
一元二次方程解法的四种途径引言一元二次方程是数学中的重要概念，它是形如 $ax^2 + bx + c = 0$ 的方程，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是已知常数，而 $x$ 是未知变量。
解一元二次方程有助于我们解决很多实际问题，因此研究多种途径解决一元二次方程是非常重要的。
本文将介绍一元二次方程解法的四种途径，分别是公式法、因式分解法、配方法和图像法。
1. 公式法公式法是求解一元二次方程最常用的方法之一。
一元二次方程的通解公式是：$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$其中，$a$、$b$ 和 $c$ 分别是方程中的系数。
通过带入相应的数值和计算，我们可以得到方程的解。
2. 因式分解法一元二次方程有时可以通过因式分解来求解。
对于形如 $ax^2+ bx + c = 0$ 的方程，如果存在两个数 $m$ 和 $n$，使得 $ax^2 +bx + c = a(x - m)(x - n)$ 成立，那么方程的解就是 $x = m$ 和 $x = n$。
因此，我们可以通过因式分解的方法将方程转化为两个一次方程，然后解得方程的解。
3. 配方法配方法是解一元二次方程的另一种常见方法。
当方程的次数大于2时，我们可以通过配方法将其转化为二次方程来求解。
配方法的步骤如下：1. 将方程中的一次项系数截平方并加入到方程两侧，使方程右侧变为一个完全平方；2. 将方程右侧的完全平方进行开方，得到一个一次方程；3. 解一次方程，得到方程的解。
4. 图像法图像法是一种直观的解一元二次方程的方法。
我们可以通过绘制一元二次方程的图像来得到方程的解。
对于一元二次方程 $y =ax^2 + bx + c$，我们可以绘制出其图像，并通过图像的交点与横轴的交点来得到方程的解。
结论本文介绍了一元二次方程解法的四种途径，包括公式法、因式分解法、配方法和图像法。
每种方法都有其独特的特点和适用范围，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解一元二次方程。
一元二次方程的四种解法
一元二次方程的解法(1) 一元二次方程的概念一、考点、热点回顾1、一元二次方程必须同时满足的三个条件:⑴⑵⑶2、一元二次方程的一般形式：二、典型例题例1：判断下列方程是否为一元二次方程：® x2+x = \ ®x~ = 1 ®x2 -2x + 3y = 0 @x2 - 3 = (x-l)(x-4)⑤ax2+bx + c = 0 ®mx2 =0 (m是不为零常数)例2：—元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.(l)x2-l Ox-900 = 0 (2)5x2 +10—2.2 = 0⑶ 2X2-15=0 (4)X2 + 3x = 0(5) (x + 2)2 =3 (6) (x + 3)(x-3) = 0例3：当加 _______ 时，关于x的方程(m+2) x s +3mx+l=0是一元二次方程。
三、课堂练习1、下列方程中，关于x的一元二次方程是()A.3(X +1)2=2(X+1)B； +丄一 2 = 0xT yC.ax2 + 加 + <? = 0D.x1 + 2x = x，-12、用换元法解方程(X2+X):+(X:+X)=6时，如果设x'+x = y,那么原方程可变形为()A、y:+y—6=0B、y2—y—6 = 01 / 15C、y:—y+6 = 0D、y'+y+6 = 03、已知两数的积是12,这两数的平方和是25,以这两数为根的一元二次方程是4、已知关于x的一元二次方程十一伙+ l)x_6 = 0的一个根是2,求k的值.四、课后练习1•将方程3乂(乂_1) = 5(乂+ 2)化成一元二次方程的一般形式，得____ ;其中二次项系数是_ ; 一次项系数是 __________ ;常数项是_________ .2.方程伙-4)，+5x + 2& + 3 = 0是一元二次方程，则£就满足的条件是____________ .3.已知m是方程x'-x-2二0的一个根，则代数式mJn二 __________4.在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为wm,则乳满足的方程是( )(A) x2+130A--1400 = 0 (B) x2 +65x-35O = O(C) x2 -130x-1400 = 0 (D) x2 -65x-350 = 05.关于x的方程(加-3)，+心+加=0,在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？(2) 一直接开方法一、考点、热点回顾1、了解形如x2=a(a>0)或(x+h)= k(k^0)的一元二次方程的解法一一直接开平方法小结：如果一个一元二次方程具有(x + /»)2=n(n>0)的形式，那么就可以用直接开平方法求解。
一元二次方程详细解法大全
判别式法解一元二次方程详细过程7x2−4x−3=0a=7;b=−4;c=−3确定各项系数∆=b2−4ac=(−4)2−4×7×(−3)=16+84=100x1=−b+√∆2a x2=−b−√∆2a必背公式代入数值：x1=4+√1002×7=4+1014=1414=1x2=4−√1002×7=4−1014=−614=−37若∆<0，则方程无解。
此方法为解一元二次方程的万能方法。
配方法解一元二次方程详细过程7x2−4x−3=0x2−47x−37=0 除以7，二次项系数化1x2−2×27×x−37=0x2−2×27×x+(27)2−(27)2−37=0x2−2×27×x+(27)2−(27)2−37=0绿色部分为完全平方公式(x−27)2−(27)2−37=0(x−27)2=2549①x−27=±57x1=57+27=1 x2=−57+27=−37此方法为解一元二次方程的万能方法若上面①式中等号右边为负数，方程无解。
十字相乘法解一元二次方程详细过程7x2−4x−3=0二次项系数：7一次项系数：-4常数项：-3对二次项系数和常数项进行拆分7= 7 × 1−3=3 × −1交叉相乘之和等于中间一次项系数7×(−1)+3×1=−7+3=−4则该方程可写为：(7x+3)(x−1)=0则方程的解为：7x+3=0 或 x−1=0x1=−37x2=1此方程为解一元二次方程最快速的方法但仅适用于有解且解为整数或分数的方程当解为根式时不能用。
上面讲的都是普通一元二次方程的解法对于一些特殊的一元二次方程，则还有一些特殊的解法，下面为同学们一一列举1.无常数项型ax2+bx=0例如：5x2+3x=0把一个x提到“( )”外面得到：x(5x+3)=0x=0 或5x+3=0x1=0 x2=−3 52.无一次项型ax2+c=0例如：5x2−7=05x2=7x2=75x=±√7 53.完全平方型(ax+b)2=c例如：(5x+3)2=95x+3=±35x=3 或 5x=−3x1=35 x2=−35。
一元二次方程4种解法
一元二次方程4种解法
一元二次方程的4种解法是：一般式、工具方法、因式分解法和
求根公式法。
一、一般式：
一般式又称“把头挑出来法”或“十字相乘法”。
在这种方法中，首先把一元二次方程化为化简的一般式，如ax^2+bx+c=0，然后分别根
据a, b, c 的意义，将系数和常数参数代入系数表中，仿照公式的形
式完成无穷多种可能的解答，最后通过对称性和排除法的方法排除不
符合要求的解，从而得出结论。
二、工具方法：
工具方法就是联立矩阵等数学工具，来快速解决一元二次方程，
尤其是在涉及数量较大的情况下，使用矩阵来解决更加有利。
只要建
立好系数矩阵，就可以根据其特点，按照一定步骤，使用乘法、加法、分解等技巧，求得矩阵解，从而获得满足一元二次方程的解。
三、因式分解法：
因式分解法是把原方程转换成两个一元一次方程的形式，然后分
别求解，最后将解代入原方程，检验是否仍然满足原方程。
首先，将
原方程化成两个一元一次方程的形式，例如：ax^2+bx+c=0，我们把它
化为 (ax+m)(ax+n)=0，其中m和n分别是ax+m=0及ax+n=0的解。
然后，我们可以把m和n代入到原方程中，检验是否是原方程的解，即
看是否能使原方程成立。
四、求根公式法：
求根公式法是根据一元二次方程的特征，用公式求解一元二次方
程解。
一元二次方程有两个解，因此也有对应的两个求根公式，即复
根公式：x_1=(-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a)和x_2=(-b-sqrt(b^2-
4ac))/(2a)。
通过将常数值代入到公式，就可以求出一元二次方程的解。
一元二次方程全部解法
一元二次方程全部解法一元二次方程是高中数学中常见的一个概念，它由形如ax^2+bx+c=0的方程组成，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
解一元二次方程的方法有多种，包括公式法、配方法、因式分解法等。
本文将以一元二次方程的全部解法为题，详细介绍这些解法的原理和步骤。
一、公式法解一元二次方程公式法是解一元二次方程最常用的方法之一。
对于方程ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数，可以使用以下公式求解：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)该公式中的±表示两个解，分别对应方程的两个根。
当b^2-4ac大于0时，方程有两个不相等的实数根；当b^2-4ac等于0时，方程有两个相等的实数根；当b^2-4ac小于0时，方程没有实数根，但可以有两个共轭复数根。
解一元二次方程的步骤如下：1. 根据方程的系数a、b、c，计算出b^2-4ac的值；2. 判断b^2-4ac的正负情况，确定方程的解的性质；3. 使用上述公式计算方程的解。
二、配方法解一元二次方程配方法也是解一元二次方程常用的方法之一。
对于方程ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数，可以通过配方法将方程转化为完全平方的形式，从而求解方程。
配方法的步骤如下：1. 将方程的常数项c拆分成两个数的乘积，使得这两个数的和等于方程的一次项系数b；2. 将方程的二次项系数a移到方程的一边，并在另一边配方；3. 将配方后的表达式转化为完全平方；4. 对方程两边同时开根号，得到方程的解。
三、因式分解法解一元二次方程对于一些特殊的一元二次方程，可以通过因式分解的方法来求解。
这种方法适用于方程的二次项系数为1的情况。
因式分解法的步骤如下：1. 将方程移项，使方程等于0；2. 将方程分解为两个一次因式的乘积；3. 令每个一次因式等于0，解出方程的根。
四、其他方法解一元二次方程除了公式法、配方法和因式分解法外，还有一些其他的方法可以用来解一元二次方程。
一元二次方程的解法归纳总结
一元二次方程的解法归纳总结一元二次方程的解法是每一个中学生都必须掌握的,共有 5 种解法,其中直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法是教材上重点讲解的四种方法,并没有提到换元法,我们在这次归纳总结中给于详细的讲解.另外,还将介绍某些特殊的一元二次方程的解法.在上面提到的四种解一元二次方程的方法中,直接开平方法是最直接的方法,因式分解法是最简单的方法,配方法是最基本的方法,而公式法是最万能的方法.我们要根据一元二次方程的特点选择合适的解法,如一元二次方程缺少一次项,选择用直接开平方法求解;一元二次方程缺少常数项,选择用因式分解法（缺常选因）求解.一、直接开平方法解形如x2 p （p≥0）和ax b 2 c（c ≥0）的一元二次方程,用直接开平方法. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤:（1）把一元二次方程化为x2 p （p≥0）或ax b 2 c（c ≥0）的形式;（2）直接开平方, 把方程转化为两个一元一次方程;（3）分别解这两个一元一次方程, 得到一元二次方程的两个解. 注意:（1）直接开平方法是最直接的解一元二次方程的方法, 并不适合所有的一元二次方程的求解;（2）对于一元二次方程x2 p,当p 0时,方程无解;（3）对于一元二次方程ax b 2 c:①当 c 0时, 一元二次方程有两个不相等的实数根;②当 c 0时, 一元二次方程有两个相等的实数根;③当 c 0 时, 一元二次方程没有实数根.例 1. 解下列方程:（1）x2 2 0; （2）16x2 81 0.分析:观察到两个方程的特点,都可以化为x2 p（p≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解. 当一元二次方程缺少一次项时, 考虑使用直接开平方法求解.解:( 1) x 2 2 x2∴x 1 2,x 22;2 281（2）16x 2 81,x 21681 9 x 16 4∴9 9 ∴ x1,x 2.44例 2. 解下列方程 :22（1） x 3 2 9 0; （2）12 2 x 2 9 0.分析:观察到两个方程的特点 ,都可以化为 ax b 2 c （ c ≥0）的形式 ,所有选择用直接开 平方法求解 . 解:( 1) x 3 2 9 x 3 3∴ x 3 3 或 x 3 322)12 x 2 2 9293x 2 2 192 34 ∴ x 2 3 342 33∴ x 2 或 x 2 2233∴x 1 2 , x 2 2 1 2 2习题 2. 若 x 2 y 2 12 4,则 x 2 y 2___________________习题 1. 下列方程中 ,不能用直接开平方法求解的是A ) x 2 3 0B ) x 1 240C ) x 22 02D ) x 1 222习题 3. 若a,b为方程x2 4 x 1 1的两根,且a b,则 a b（A5 （B）4 （C）1（D）3）习题4. 解下列方程:（1）2x 8 2 16 ;（2） 29 3x 2 64.习题 5. 解下列方程:1）4x 1 2 9 0 ;习题 6. 对于实数p,q ,我们用符号min p,q 表示p,q两数中较小的数,如min 1,2 1.（1）min 2 , 3 _____________ ;（2）若min x 1 2, x2 1,则x ______________.习题7. 已知直角三角形的两边长x, y满足x2 16 y2 9 0 ,求这个直角三角形第三边的长.（注意分类讨论第三边的长）、因式分解法 因式分解法解一元二次方程的一般步骤是 : （1）移项 把方程的右边化为 0;（2）化积 将方程的左边分解为两个一次因式的乘积 ; （3）转化 令每个因式等于 0, 得到两个一元一次方程 ;（4）求解 解这两个一元一次方程 , 得到一元二次方程的两个解 例 1. 用因式分解法解方程 : x 2 3x . 解:x 2 3x 0 x x 3 0 ∴ x 0 或 x 3 0∴x 1 0,x 2 3.解 : x 1 x 1 2x 0∴x 1 1, x 2 1.例 3. 解方程 :3x 2 12x 12. 解:3x 2 12x 12 0 3 x 2 4x 4 0 3 x 2 2 0∴x 1 x 2 2.例 4. 解方程 :x 2 x 3x 3. 解:x 2 x 3x 3 0∴x 11,x 2 3.因式分解法解高次方程 例 5. 解方程 : x 2 1 2 3 x 2 1 0. 解: x 2 1 x 2 1 3 0例 2. 用因式分解法解方程 2: x 1 22x x 1 0.x2 1 x 2 4 0x 1 x 1 x 2 x 2 0∴ x 1 0 或x 1 0或x 2 0 或x 2 0∴x11, x2 1,x32, x4 2.例 6. 解方程: x2 3 2 4 x2 3 0.解: x2 3 x2 3 4 022x2 3 x2 1 0x2 3 x 1 x 1 0∵ x2 3 0∴ x 1 x 1 0∴ x 1 0 或x 1 0∴x1 1,x2 1.用十字相乘法分解因式解方程对于一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 , 当b2 4ac ≥0 且的值为完全平方数时可以用十字相乘法分解因式解方程.例7. 解方程:x2 5x 6 0.分析: 5 2 4 6 25 24 1,其结果为完全平方数,可以使用十字相乘法分解因式解: x 2 x 3 0∴ x 2 0 或x 3 0∴ x1 2,x2 3.例 8. 解方程 :2x 2 7x 3 0. 分析 : 72 4 2 3 49 24 25, 其结果为完全平方数 , 可以使用十字相乘法分解因式.解 : 2x 1 x 3 0 ∴ 2x 1 0 或 x 3 0例 9. 设方程 2013x 2 2014 2012x 1 0的较大根为 a ,方程 x 2 2011x 2012 0 的较 小根为 b ,求 a b 的值 .2 解 : 2013x 22014 2012x 1 0 22013x 22013 1 2013 1 x 1 0 2 2 220132x 2 20132 x x 1 02 20132x x 1 x 1 0 x 1 20132 x 1 0 ∴ x 1 0 或 20132 x 1 01∴ x11,x 2 21220132∵ a 是该方程的较大根 ∴ a 12x 2 2011x 2012 0 x 1 x 2012 0 ∴ x 1 0 或 x 2012 0 ∴ x 1 1, x 2 2012 ∵ b 是该方程的较小根 ∴ b 2012∴ a b 1 2012 2013.1∴x 1 2 ,x 23.习题 1. 方程x2 2x的根是___________ .习题 2. 方程x x 2 x 2 0 的根是 ________________ .习题 3. 方程x2 4x 4 0 的解是______________ .习题 4. 方程x 2 x 3 x 2 的解是 _________________习题 5. 如果x 2 x 1 x 1 ,那么x 的值为（A）2 或1 （B）0或1（C）2（D）1习题 6. 方程x x 2 x 的根是_________ .习题7. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x 2 6x 的周长为_________ .习题8. 解下列方程:（1）3x x 2 2 2 x ;（2）x2 3 2 x 1 ;22 （3）x 2 4x 4 3 2x ;2（4）2x2 4x 2 .0的根,则该三角形习题9. 解下列方程:22）x 2 5x 4 0 .2习题 10. 解方程 : 2x 1 2 2 2x 1 1 0 .、配方法解用配方法解一元二次方程 ax 2 bx c 0 a 0 共分六步 :一移、二化、三配、四开、五转、 六解 .1）一移 把常数项移到方程的右边 ,注意变号 ;ax 2 bx c2）二化 在方程的左右两边同时除以二次项系数a ,化二次项系数为 1;x 2 b x c aa3）三配 即配方 ,把方程的左边配成完全平方的形式 ,需要在方程的左右两边同时加上次项系数一半的平方 ;说明 :由上面配方的结果可以确定一元二次方程有实数根的条件和求根公式bx abc 2a a2ab 2 4ac4a 2（4）四开直接开平方 ; b b 24acx（注意 2a2a（5）五转 把第（ 4）步得到的bb 2 4acbx 或x2a 2a2a（6）解 解这两个一元一次方程2:当b 2 4ac ≥ 0 时方程有实数根）元一次方程 ;b b 2 4ac 2ab b 2 4ac2ax 12b a2b 2 4ac2a,x 2,得到一元二次方程的两个解22一元二次方程 ax 2 bx c 0 a 0 有实数根的条件是b 2 4ac ≥0, 求根公式为b b 2 4acx . 2a例 1. 用配方法解方程 :x 2 4x 1 0 . 解:x 2 4x 1 2 x 24x 4 1 4 2x 2 5 x 2 5∴ x 2 5 或 x 2 5 ∴ x 1 2 5, x 2 2 5 . 例 2. 解方程 :3x 2 2x 3 0 .分析:按照用配方法解一元二次方程的一般步骤 ,在移项之后 , 要化二次项系数为“ 1 解:3x 2 2x 3x2 2x 1 322 1 1 x 2x139 921210 x3 91 10x331 10 1 10∴x 或 x3 3 3 3 1 10 1 10∴ x 1 ,x 21 3 323 3 例 3. 用配方法解关于 x 的方程 :22x px q 0 ( p4q ≥ 0) .解:x 2 px q 222p p x px q44 x p p 2 4q x 2 4p p 2 4qx pp 2 3 4q ,x p p 2 4qx2 2 ,x 2 2 p 2 4q ≥022p p 4q p p 4q∴ x12,x22说明:p 2 4q ≥0 既是二次根式 p 2 4q 有意义的条件 ,也是一元二次方程 x 2 px q 0有实数根的前提 . 因此把 p 2 4q 叫做一元二次方程 x 2 px q 0 的根的判别式 . 习题 1. 用配方法解方程 x 2 4x 1 0,配方后的方程是【 】22（A ） x 2 2 3（B ） x 2 2 3 22（C ） x 2 2 5（D ） x 2 2 5习题 2. 若方程 x 2 8x m 0 可以通过配方写成 x n 2 6 的形式 ,那么 x 2 8x m 5 可以配成2（A ） x n 5 2 12（ B ） x n 2 12（ D ） x n 2 1122） 3x 2 6x 1 0;2 4） 4x 212x 1 0 .2（C ） x n 5 2 11 习题 3. 用配方法解方程 （1） x 2 x 1 0; 3 x 2 5x 6 0;四、公式法元二次方程的求根公式b b 2 4ac x2a例 1. 证明一元二次方程的求根公式 分析 :用配方法可以证明一元二次方程的求根公式bb2 4ac( b 2 4ac ≥0).2a注意:当b 2 4 ac ≥ 0时,一元二次方程 ax 2 bx c 0（a 0 ）有实数根 ;当b 2 4ac 0时, 二次根式 b 2 4ac 无意义 ,方程无实数根 .公式法解一元二次方程的一般步骤 : 用公式法解一元二次方程的一般步骤是 : （1）把一元二次方程化为一般形式 ; （2）确定 a,b,c 的值, 包括符号 ;（3）当 b 2 4ac ≥0时,把 a,b,c 的值代入求根公式求解 ;当b 2 4ac 0时,方程无实数根 .证明 :ax 2 bx c 0ax 2 bx c a b 2 4ba 22 b x a b x a b 2 b 2a c b 2 a 4a 2 x 2a 4ac4a2b b 2 4ac2a ∴ x b 2ab 2 4ac 或x 2a b b 2 4ac2a2ab b 2 4ac ∴ x 1 2a , x 2b b 2 4ac2a元二次方程 ax 2bx c 0 （ a 0 ）的求根公式为 :当 b 2 4ac 0 时 ,元二次方程无实数根2b4ac ≥ 0)即一元 次方程 ax 2 bx c 0（ a 0）的根为例 1. 用公式法解方程 :2x 3 x 6 0 . 分析:用公式法解一元二次方程时要先将方程化为一般形式 ,并正确确定 a,b,c 的值 ,包括符 号.解:a 2,b 1,c 6 ∴ b 2 4ac 12 4 2 6 494 173∴x 1,x 242例 2. 解下列方程 :解:( 1) x 2 4x 2 0 22b 24ac 42 4 2 242 6,x 2 2 6 ;2) 4x 2 12x 9 022b 24ac 122 4 4 9 144 144 03 ax 2bx c 0 （ a 0 ）有两个相等的实数根 .x 1 0.4 322 2.次方程获得的启示a 0 ）,可以用 a,b,c 的值确定方程解的情况以及方12 0 12 0 ∴x 83∴x 1 x 21 22说明:当b 2 4ac 0 时,一元二次方程对于一元二次方程 ax 2 bx c 01 49 1 7 ∴x 1) x 2 4x 2;22) 4x 2 4x 10 1 8x .4 24 4 2 6 ∴x26b 2 4ac 有意义的条件即为方程有解的条件:当程的解,并且求根公式里面的二次根式∴x 1 3,x 2 4.b 2 4ac ≥0 时,二次根式 b 2 4ac ,一元二次方程有实数根 ;当b 2 4ac 0时,二次根式 b 2 4ac 无意义 ,一元二次方程无实数根 .（1）当 b 2 4ac 0 时,一元二次方程有两个不相等的实数根 ;（2）当 b 2 4ac 0 时,方程有两个相等的实数根 .把 b 2 4ac 叫做一元二次方程根的判别式 ,用 “ ”表示 ,所以 b 2 4ac .在不解方程的前提下 ,可以由 的符号确定一元二次方程根的情况 . 习题 1. 解方程 :1)求 a 2 4a 2018的值 ;1 2a a2 a 2 2a 1 12a 1 a a a1) 2x 2 x 6 ;22) 4x 2 3x 1 x 2 ;3) x 2 2x 2 0 ;4) 2x x 2 1 .习题 2. 已知 a 是一元二次方程 x 2 4x 1 0 的两个实数根中较小的根2）化简并求值五、换元法解某些高次方程或具有一定结构特点的方程时 ,我们可以通过整体换元的方法 ,把方程转 化为一元二次方程进行求解 ,从而达到降次或变复杂为简单的目的 .换元法的实质是换元 ,关键是构造元和设元 ,体现的是转化化归思想 . 用换元法解某些高次方程 例 1. 解方程 :x 4 2x 2 3 0.分析 : 这是一元四次方程 , 可设 x 2 y （注意 : y ≥0）, 这样通过换元就把原方程转化为关于 y 的一元二次方程 . 解:设 x 2 y ,则有 : y ≥0 ∴ y 2 2y 3 0∴ y 1 1, y 2 3∵ y ≥0∴ y 3 （ y 1 舍去） ∴ x 2 3用换元法解具有一定结构特点的方程 例 2. 解方程 : x 2 2 3 x 2 2 0.分析 : 注意到该方程中整体 x 2 出现了两次 , 可整体设元 , 从结构上简化方程 解:设 x 2 t ,则有 :t 2 3t 2 0∴t 1 1,t 2 2∴ x 2 1 或 x 2 2∴x 13,x 2 3.∴x 1 3,x 2 4.例 3. 解方程 : x 2 x 8 x 2 x 12 0.分析 : 本题中的方程若展开整理 , 则得到的是一个高次方程 , 但方程本身具有非常明显的结 构特点 , 可整体换元 , 不用展开即可得到一个简洁的一元二次方程 . 解:设 x 2 x y ,则有 : y 2 8y 12 0 y 2 y 6 0∴y 2 0 或y 6 0 ∴y 1 2,y 2 6∴ x 2 x 2 或 x 2 x 6解方程 x 2 x 2得: x 1 1,x 2 2 ; 解方程 x 2 x 6 得: x 1 2,x 2 3综上 ,原方程的解为 x 1 1,x 2 2,x 3 2,x 4 3.原方程转化为关于 t 的整式方程 , 且为一元二次方程 . x 1 2 解:设 x 21 t ,则有 : t 2 1 x 2t 整理得 :t 2 t 2 0∴t 1 1,t 2 2x 1 2由 2 1得: x 2x 1 0 ,此时方程无解 ;x x 1 1由 2 2得:2x 2x 10,解之得 :x 1 ,x 21.x 221综上 ,原方程的解为 x 1 1,x 2 1.1 2 211 例 5. 解方程 :x 22 x 0.x 2x2分析 : 设 x 1 y , 则 x 2 12x 1 2 y 2 2.xx 2x2 x 1 2x 2 例 4. 解方程 : x 1 2x2x x 1 x2分析 : 方程中 x 1 与 x x 11.x 2x 1x1互为倒数 , 若设 x 1 t , 则x11 1, 经过这样的换元 , 最后可把 t1或 x 2 1x2x211解:x 22 x 0 x 2x1 21 x x2 0 xx设 x 1 y ,则有 : y y 2 0 x y 1 y 2 0 ∴ y 1 0 或 y 2 0 ∴ y 1 1, y 2 211 ∴x 1 或 x 2xx 12 由 x 1得: x 2 x 1 0,此时方程无解 ; x 12 由 x 2得: x 2 2x 1 0,解之得 :x 1 x 2 1. x综上 ,原方程的解为 x 1 x 2 1.211 1本题变式 : 已知实数 x 满足 x 212x 10,那么 x1的值是【 】 x 2xx（A ）1或 2（B ） 1或 2 （C ）1 （D ） 2例 6. 已知 x 2 y 2 x 2 y 2 1 12 ,求 x 2 y 2 的值 .分析:整体设元 :设 x 2 y 2 m ,则 m ≥ 0,据此注意根的取舍 . 解:设 x 2 y 2 m ,则有 :m ≥0 ∴m m 1 12 整理得 :m 2 m 12 0 解之得 :m 1 3,m 2 4∵ m ≥ 0 ∴ m 3 22∴ x 2 y 2 的值为 3.习题 1. 解下列方程 :22习题 2. 解方程 : x 2 x 22 1.x 2 x习题 3. 阅读下面的材料 ,回答问题 :解方程 x 4 5x 2 4 0 ,这是一个一元四次方程 ,根据该方程的特点 ,它的解法通常是 : 设 x 2 y ,则原方程变形为 : y 2 5y 4 0 ①解之得 :y 1 1, y 2 4当 y 1时, x 2 1,解之得 : x 1 ;2当 y 4时,x 2 4,解之得 : x 2.综上 ,原方程的解为 : x 1 1, x 2 1, x 3 2, x 4 2 .（1）在由原方程得到方程 ①的过程中 ,利用 ________ 法达到 ________ 的目的 ,体现了数学的转化思想 ;（2）解方程 : x 2 x 2 4 x 2 x 12 0 .1) x 2 x 2 x 2 x 6 ;22) x 1 5 x 1 6 0 .特殊一元二次方程的解法举例某些方程的解需采用特殊的处理和方法,下面列举几例.例 1. 解方程: x2 5x 1 x2 5x 7 7.分析:若把该方程展开并整理,会得到一个一元四次方程, 这不是我们想看到的结果. 可使用换元法解该方程: 设x2 5x 1 t , 这样就能把原方程转化为关于t 的一元二次方程解:设x2 5x 1 t ,则原方程可转化为:t t 6 7∴ t 2 6t 7 0t 1 t 7 0∴ t 1 0或t 7 0∴ t1 1,t 27∴ x2 5x 1 1 或x2 5x 1 7由x2 5x 1 1得:x2 5x 0,解之得:x1 0,x25;由x2 5x 1 7 得:x2 5x 8 0 ,此时方程无解.综上,原方程的解为x1 0,x2 5.例 2. 解方程:x 2 x 2 0.解法1:当x ≥0,原方程可化为: x2 x 2 0,解之得:x 1（x 2舍去）;当x 0 时,原方程可化为:x2 x 2 0,解之得:x 1（x 2 舍去）.综上所述,原方程的解为x1 1,x2 1.解法2:原方程可化为: x 2 x 2 0∴ x 1 x 2 0∵ x 2 0∴ x 1 0, x 1∴x1 1, x2 1∴原方程的解为x1 1, x2 1.解法3:(图象法)原方程可化为: x 2 2 x设 f (x) x2 2,g(x) x ,在同一平面直角坐标系中画出二者的图象如图所示∵两个函数的图象有两个交点1,1 和1,1∴方程x2 2 x 有两个实数根,且根为x1 1, x2 1 ∴原方程的解为x11, x2 1 .习题 1. 参照例 2 的解法,解方程: x2 6x x 3 3 0 .例 3. 解方程: x 1 x 2 x 3 x 4 48 .解: x 1 x 4 x 2 x 3 48∴ x 2 5x 4 x 2 5x 6 48设x2 5x 5 t ,则有: t 1 t 1 48∴ t2 1 48,t 2 49∴ t1 7, t 2 7第 21 页 5x 5 7时,解之得: x 15 33,x 2 5 33 ; 22当 x 2 5x 5 7 时,此时方程无解 . 综上所述 ,原方程的解为 x 1 5 233,x 2 5 233习题 2. 方程 x 2 2 x 4 27 0的所有根的和为 ________________ 1 1 1 习题 3. 已知实数 x 满足 x 2 2 x 0 ,那么 x 的值是 x 2x x （A ）1或 2 （B ） 1或 2（C ）1 【】 D ） 2。
一元二次方程四大解法
解一元二次方程有四种常见的方法，分别是：
1. 因式分解法：将一元二次方程进行因式分解，将方程化简为两个一次方程相乘的形式，然后解出方程的根。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，可以因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0，然后解出x 的值为-2 和-3。
2. 完全平方法：将一元二次方程表示成完全平方的形式，然后解方程。
例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，可以写成(x + 3)^2 = 0，然后解出x 的值为-3。
3. 公式法：利用求根公式解一元二次方程。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c 是已知常数，而x 是未知数。
根据求根公式x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / (2a)，可以计算出方程的根。
需要注意的是，当判别式b^2 - 4ac 小于0 时，方程没有实数根。
4. 完全平方差法：将一元二次方程表示成两个平方数之差的形式，然后解方程。
例如，对于方程x^2 - 4x - 5 = 0，可以写成(x - 2)^2 - 9 = 0，然后解出x 的值为 2 ±3。
以上是解一元二次方程的四种常见方法。
根据具体的方程形式和求解需求，选择适合的方法进行求解。
希望以上信息对你有所帮助。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法[知识要点表解]一元二次方程的解法是本章的重点内容，课本中实际上介绍了四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。
学法建议本节篇幅大，本节内容是本章的重要内容，也是中学的主要内容，在初中代数中占有重要地位。
公式法是本节重点。
难点是配方法，学好本节的关键是掌握一元二次方程各种解法适合的类型。
公式法是通法，一定要熟练掌握。
释疑解难 1、“配方法”中，为什么方程的两边要加上一次项系数的一半的平方？答：目的是使方程左边变成一个完全平方式.x 2±mx 可以写成x 2±2x •2m .对照完全平方公式，a 2+2ab+b 2=(a±b)2可知，x 2相当于a 2，2x •2m 相当于2ab,b 相当于2m ,b 2相当于（2m ）2.既然a 2+2ab 再配上b 2可以配成完平方式，x 2±mx 再配上（2m）2就可以配成完全平方式，这就是方程的两边要加上一次项系数的一半的平方的原因。
值得一提一是，方程两边都加一次项系数的绝对值的一半的平方更好，这样写成完全平方就不会在符号上出现错误。
如课本由x 2-27x=-23配方得： x 2-27x+（-47）2=-23+（47）2 .例6 用配方法证明：无论x 为何实数，代数式x 2-4x+4.5的值恒大于零。
[分析]本题不是用配方法解一元二次方程，所用的配方法与已学的配方法大同小异。
“大同”指思路一致，好都构造一个完全平方式。
“小异”指具体实施方法有区别，前者在等号两边同加一个相同的数，后者在等号一边加上一个数又减去这个数。
具体办法如下：[解答] x 2+4x+4.5=(x2+22)-22+4.5=(x-2)2+0.5 ,∵(x-2)2≥0,∴(z-2)2+0.5>, ∴x 不论为何实数，代数式x 2+4x+4.5的值恒大于零。
[能力层面训练]1、填空：（1）x 2+6x+________=(x+_______)2;（2）x 2-5x+_________=(x-_______)2;（3）x 2+2m+________=(x+_______)2;（4）x 2-3m+________=(x-_______)2.2、用直接开平方法解下列方程：（1）x 2=8; (2)3x 2=0; (3)3x 2-4x-7=0; (4)4(1-x)2-9=0.3、用配方法解下列方程：（1）x 2-4x-1=0; (2).3x 2+21x-1=0; (3)3x 2-4x-7=0; (4)2x 2-2m 2=mx. 4、用公式法解下列方程：（1）6x 2-13x-5=0; (2)(x+2)2=2x+4; (3)mnx 2-(m 2+n 2)x+mn=0; (4)x 2-(1+23)x+3-3=0.5、用因式分解法解下列方程：（1）（x+1）2-2=0; (2)(x+2)2=2x+4; (3)x 2=5x; (4)x 2-5x+2=0.6、用适当方法解下列方程：（1）（x-1）(2+x)=4; (2)(x+3)2=3(4x+3); (3)(2x+1)2-3(2x+1)+2=0; (4)2x 2-mx=m 2.7、解方程：（精确到0.01）（1）x 2+x-1=0; (2)x 2+4x+1=0 (3)2x 2-8x=7;8、 x 为何值时，下列各组两个代数式的值相等？（1）x(3x-2)和4（2-3x ）; (2)32x-和232x +41-x ； （3）x 2和x; (4)2x 2-2m 2和mx.能力提高9、若6y 2-5xy+x 2=0,求证： x=2y 或者x=3y .10、若方程x 2+6x+5a=0的一个根是32-，求a 的值和方程的另一个根。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一、知识要点：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基础，应引起同学们的重视。
一元二次方程的一般形式为：ax^2（2为次数，即X的平方）+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
二、方法、例题精讲：1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±.例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)2=7×∴(3x+1)2=5∴3x+1=±(注意不要丢解)∴x=∴原方程的解为x1=,x2=（2）解：9x2-24x+16=11∴(3x-4)2=11∴3x-4=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2=2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c将二次项系数化为1：x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=当b2-4ac≥0时，x+ =±∴x=(这就是求根公式)例2．用配方法解方程3x2-4x-2=0解：将常数项移到方程右边3x2-4x=2将二次项系数化为1：x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2配方：(x-)2=直接开平方得：x-=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2= .3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac ≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) , (b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。
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龙文教育个性化辅导教案提纲教师:陈燕玲学生:年级九日期: 星期: 时段: 课题一元二次方程的概念及解法学情分析教学目标与考点分析1.掌握一元二次方程的概念及其一般形式，能指出一元二次方程的各项及其系数。
2 能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。
体会解决问题方法的多样性。
教学重点难点教学重点: 掌握常用四种一元二次方程的解法。
教学难点: 灵活选用适当方法解一元二次方程教学方法讲解法合作探究法教学过程一、一元二次方程的概念：问题（1）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．整理，得：________．归纳：（1）只含一个未知数x；（2）最高次数是2次的；（3）•整式方程．因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．例1．将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.例2．将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．练习:判断下列方程是否为一元二次方程？(1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-5x=0 (4) x2-4=(x+2) 2(5) ax2+bx+c=0例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．练习:一、选择题1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5x=0A．1个B．2个C．3个D．4个2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（）．A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，63．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数二、填空题1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．2．一元二次方程的一般形式是__________．3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．三、综合提高题1、a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=3x-（x+1）是一元二次方程？2、关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？3、方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？4、当m为何值时,方程(m+1)x／4m／-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程二、一元二次方程的解：复习：方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．（只含有一个未知数的方程的解，又叫方程的根）例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．例2.若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值练习:关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a的值例3．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0三、一元二次方程的解法（一）、直接开平方法问题1．填空（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．问题2：目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？方程x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．解一元二次方程的共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•这种思想称为“降次转化思想”．由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±p转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±p，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解练习：一、选择题1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-22．方程3x2+9=0的根为（）．A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根二、填空题1．若8x2-16=0，则x的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．a +b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．3．如果a、b为实数，满足34三、综合提高题1．解关于x的方程（x+m）2=n．（二）、配方法1、解下列方程（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 (4) 4x2+16x=-7上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=±p或mx+n=±p（p≥0）．如：4x2+16x+16=（2x+4）2 ,你能把4x2+16x=-7化成（2x+4）2=9吗?2、要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少？转化：x2+6x-16=0移项→x2+6x=16两边加（6/2）2使左边配成x2+2bx+b2的形式→ x2+6x+32=16+9左边写成平方形式→（x+3）2=•25 •降次→x+3=±5 即x+3=5或x+3=-5解一次方程→x1=2，x2= -8可以验证：x1=2，x2= -8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m，常为8m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．通过配方使左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程化为一般形式；（2）二次项系数化为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．例1．用配方法解下列关于x的方程（1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x-12=0例2．解下列方程（1）2x2+1=3x （2）3x2-6x+4=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0例3求证:无论y取何值时,代数式-3 y2+8y-6恒小于0例4、用配方法解方程：ax2+bx+c=0（a≠0）练习：一、选择题1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（）．A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-32．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）．3．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（）．A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或94．配方法解方程2x2-43x-2=0应把它先变形为（）．A．（x-13）2=89B．（x-23）2=0 C．（x-13）2=89D．（x-13）2=1095．下列方程中，一定有实数解的是（）．A．x2+1=0 B．（2x+1）2=0 C．（2x+1）2+3=0 D．（12x-a）2=a6．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（）．A ．1B ．2C ．-1D ．-2 二、填空题1．方程x 2+4x-5=0的解是________．2．代数式2221x x x ---的值为0，则x 的值为________． 3．如果16（x-y ）2+40（x-y ）+25=0，那么x 与y 的关系是________． 4．已知（x+y ）（x+y+2）-8=0，求x+y 的值，若设x+y=z ，则原方程可变为_______，•所以求出z 的值即为x+y 的值，所以x+y 的值为______． 三、综合提高题1．用配方法解方程．（1）9y 2-18y-4=0 （2）x 2+3=23x2．已知：x 2+4x+y 2-6y+13=0，求222x yx y -+的值．3．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．4．如果x 2-4x+y 2+6y+2z ++13=0，求（xy ）z 的值．5、求证：无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y 2-2x-4y+16的值总是正数（三）公式法由上例4可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=242b b ac a-±-就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。
) （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 公式的理解（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．A ．x 2-8x+（-4）2=31B ．x 2-8x+（-4）2=1C ．x 2+8x+42=1D ．x 2-4x+4=-11例1．用公式法解下列方程．（1）2x 2-x-1=0 （2）x 2+1.5=-3x (3) x 2-2x+ 12=0例2．某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22m x++（m-2）x-1=0提出了下列问题．若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程．应用公式法解一元二次方程的步骤:1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0. 2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。