-一元二次方程的解法 ppt课件
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即 x2 a （a≥0）则x叫做a的平
方根，表示为： x a
下列各数有平方根吗?若有,你能求出它
的平方根吗?
25 ;
0
wk.baidu.com
;
25 16
; 2 ; - 3 ;3 4
例题解析： 例1 解方程 先移项，得
x2 4 0
x2 4
可见，上面的
x2 4 实际 上就是求4的平 方根。
所以 x 4
x 2
(x 2)(3x 5) 0
x+2=0或3x－5=0
∴ x1=-2 , x2=
5 3
(2)9x2 6x 1 0
解：原方程可变形为
（3x 1）2 0
所以3x 1 0.
所以x1
x2
=-
1 3
.
归纳：用因式分解法解一元二次方程的步骤
1 . 方程右边不为零的化为 零 。 2 . 将方程左边分解成两个一次因式 的 乘积。 3 . 至少 有一个 一次因式为零，得到 两个一元一次方程。 4 . 两个 一元一次方程的解 就是原方 程的解。
93m 52 3 0
3m
52
1 3
无论m取何值，3m 52 0;
此方程无解。
方程 ax2 c 0 a 0 一定有解吗?
a0
x2
c a
;
1当
c a
0时，方程的根是x
c a
;
2当
c a
0时，原方程无实数根。
提问：下列方程有解吗？
(1) x 42 3; (2) 3x 12 3;
解：方程的两边同时除以x，得 x 1.
原方程的解为x 1.
这样解是否正确呢？ 方程的两边同时除以同一个不等于零的
数，所得的方程与原方程 同解。
2、下面的解法正确吗？如果不正确，错误在 哪？
解方程 (x 5)(x 2) 18 解： 原方程化为
(x 5)(x 2) 3 6 ( )
由x 5 3，得x 8; 由x 2 6，得x 4. 原方程的解为x1 8或x2 4.
以上解某些一元二次方程的方法叫 做因式分解法。
初试锋芒 解下列方程：
（1）16x2 25 0
（2）4x2 9 0
例3 解下列方程：
(1)3x(x 2) 5(x 2)
(2)9x2 6x 1 0
(1)3x(x 2) 5(x 2)
解：移项，得
3x(x 2) 5(x 2) 0
共同回顾:一元二次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最 高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
a≠0
ax2+bx+c=0
3、判断一个方程是否是一元二次方程，按顺序要把 握三点： ①：方程是整式方程；②：只含有一个未知数 ③：可化为ax2+bx+c=0（ a≠0 ）的形式
将方程化成
(x a)2 b
(b≥0）的形 式,再求解
(2) 12(2 x)2 9 0
解下列方程：
1x2 9 0;
2t2 450
316x2 490; 42x32 5;
5x52 360; 66x12 25;
1、用直接开方法解方程：
你会变 吗？
32x 52 12 22x 52 4
2、用直接开方法解方程：
拓展练习2：解方程
解下列方程：
(1) (x＋1)(x+2)=2 (2) (2a－3)2=(a－2)(3a－4)
(3) 2 y2=3y
(4) (4x－3)2=(x+3)2
(5) x2 3 x(3 2x) x(3x 1)
3
2
3
小结
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1. 方程右边不为零的化为 零 。 2 .将方程左边分解成两个一次因式 的 乘积。 3 .至少 有一个 一次因式为零，得到 两个一元一次方程。 4 .两个 一元一次方程的解 就是原方 程的解。
归纳 小结
用直接开平方法可解下列类型 的一元二次方程：
x 2 b b 0或 x a 2 b b 0.
根据平方根的定义，要特别注意： 由于负数没有平方根， 所以，当b<0时，原方程无解。
（第2课时）
知识回顾
用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：
x2 b b 0或 x a2 b b 0;
1. 判断下列方程是否一元二次方程？
1）2x2 ＋3x－1＝0 x
2） x 2－y＝0
3）ax2＋bx c＝0 4）(m2 1)x2 2x - 3＝0
2．m何值时，方程 (m 1)x 4m 2 27mx 5 0
是关于χ的一元二次方程?
合作学习 共同回顾
一个数x的平方等于a，这个数x叫做a的什 么？
根据平方根的定义，要特别注意： 由于负数没有平方根， 所以当b<0时，原方程无解。
知识回顾
大胆猜测：使下列式子成立的x为多少？
(1)x(x 2)AB0=0A=0x或1 Ｂ0＝, ０x2 2
(2)(x 2)(x 3) 0 x1 2, x2 3
(3)(3x
2)(2x
1)
0
x1
2 3
,
x2
1 2
例 解方程x2 4 0。
解: (直接开平方法):
x 4,
x1 2, x2 2.
例2：解方程x2- 4=0. 另解：原方程可变形为
(x+2)(x－2)=0
x+2=0 或 x－2=0
我们观察可以
发现 x2 4 0
可以使用平方 差公式
∴ x1=-2 ,x2=2
x2－4=（x－2）（x＋2）
（第3课时）
复习练习： 1、选择合理的方法解下列方程
(1) 2x2 4
(2) x 12 6 (3) x 22 1 0
２、请说出完全平方公式
x a2 x2 2ax ___a_2__
x a2 x2 2ax ___a_2__
３、根据完全平方公式填空(格式如题(1))
解题步骤演示
例 (x+3)(x－1)=5 解：原方程可变形为 方程x2右+2边x－化8为=零0
左边分解(x成－两2个)(x一+4次)=因0 式 的乘积 至少有一个一x次－因2式=为0零或得x到+两4=个0一元一次方程
两个一元∴一x次1方=2程,的x2解=就-4是原方程的解
拓展练习1：辨析
(1)、x2 x
x1 2 ; x2 2
以上解某些一元二次方程的方法叫 做直接开平方法。
初试锋芒 用直接开平方法解下列方程：
（1） y2 121 0 ;
（2） x2 2 0
(3) 16x2 25 0
（4）
2x2
1 2
0;
将方程化成
x2 b
(b≥0）的形 式,再求解
再显身手
例2 解方程:
(1) x 12 4 0
方根，表示为： x a
下列各数有平方根吗?若有,你能求出它
的平方根吗?
25 ;
0
wk.baidu.com
;
25 16
; 2 ; - 3 ;3 4
例题解析： 例1 解方程 先移项，得
x2 4 0
x2 4
可见，上面的
x2 4 实际 上就是求4的平 方根。
所以 x 4
x 2
(x 2)(3x 5) 0
x+2=0或3x－5=0
∴ x1=-2 , x2=
5 3
(2)9x2 6x 1 0
解：原方程可变形为
（3x 1）2 0
所以3x 1 0.
所以x1
x2
=-
1 3
.
归纳：用因式分解法解一元二次方程的步骤
1 . 方程右边不为零的化为 零 。 2 . 将方程左边分解成两个一次因式 的 乘积。 3 . 至少 有一个 一次因式为零，得到 两个一元一次方程。 4 . 两个 一元一次方程的解 就是原方 程的解。
93m 52 3 0
3m
52
1 3
无论m取何值，3m 52 0;
此方程无解。
方程 ax2 c 0 a 0 一定有解吗?
a0
x2
c a
;
1当
c a
0时，方程的根是x
c a
;
2当
c a
0时，原方程无实数根。
提问：下列方程有解吗？
(1) x 42 3; (2) 3x 12 3;
解：方程的两边同时除以x，得 x 1.
原方程的解为x 1.
这样解是否正确呢？ 方程的两边同时除以同一个不等于零的
数，所得的方程与原方程 同解。
2、下面的解法正确吗？如果不正确，错误在 哪？
解方程 (x 5)(x 2) 18 解： 原方程化为
(x 5)(x 2) 3 6 ( )
由x 5 3，得x 8; 由x 2 6，得x 4. 原方程的解为x1 8或x2 4.
以上解某些一元二次方程的方法叫 做因式分解法。
初试锋芒 解下列方程：
（1）16x2 25 0
（2）4x2 9 0
例3 解下列方程：
(1)3x(x 2) 5(x 2)
(2)9x2 6x 1 0
(1)3x(x 2) 5(x 2)
解：移项，得
3x(x 2) 5(x 2) 0
共同回顾:一元二次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最 高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
a≠0
ax2+bx+c=0
3、判断一个方程是否是一元二次方程，按顺序要把 握三点： ①：方程是整式方程；②：只含有一个未知数 ③：可化为ax2+bx+c=0（ a≠0 ）的形式
将方程化成
(x a)2 b
(b≥0）的形 式,再求解
(2) 12(2 x)2 9 0
解下列方程：
1x2 9 0;
2t2 450
316x2 490; 42x32 5;
5x52 360; 66x12 25;
1、用直接开方法解方程：
你会变 吗？
32x 52 12 22x 52 4
2、用直接开方法解方程：
拓展练习2：解方程
解下列方程：
(1) (x＋1)(x+2)=2 (2) (2a－3)2=(a－2)(3a－4)
(3) 2 y2=3y
(4) (4x－3)2=(x+3)2
(5) x2 3 x(3 2x) x(3x 1)
3
2
3
小结
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1. 方程右边不为零的化为 零 。 2 .将方程左边分解成两个一次因式 的 乘积。 3 .至少 有一个 一次因式为零，得到 两个一元一次方程。 4 .两个 一元一次方程的解 就是原方 程的解。
归纳 小结
用直接开平方法可解下列类型 的一元二次方程：
x 2 b b 0或 x a 2 b b 0.
根据平方根的定义，要特别注意： 由于负数没有平方根， 所以，当b<0时，原方程无解。
（第2课时）
知识回顾
用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：
x2 b b 0或 x a2 b b 0;
1. 判断下列方程是否一元二次方程？
1）2x2 ＋3x－1＝0 x
2） x 2－y＝0
3）ax2＋bx c＝0 4）(m2 1)x2 2x - 3＝0
2．m何值时，方程 (m 1)x 4m 2 27mx 5 0
是关于χ的一元二次方程?
合作学习 共同回顾
一个数x的平方等于a，这个数x叫做a的什 么？
根据平方根的定义，要特别注意： 由于负数没有平方根， 所以当b<0时，原方程无解。
知识回顾
大胆猜测：使下列式子成立的x为多少？
(1)x(x 2)AB0=0A=0x或1 Ｂ0＝, ０x2 2
(2)(x 2)(x 3) 0 x1 2, x2 3
(3)(3x
2)(2x
1)
0
x1
2 3
,
x2
1 2
例 解方程x2 4 0。
解: (直接开平方法):
x 4,
x1 2, x2 2.
例2：解方程x2- 4=0. 另解：原方程可变形为
(x+2)(x－2)=0
x+2=0 或 x－2=0
我们观察可以
发现 x2 4 0
可以使用平方 差公式
∴ x1=-2 ,x2=2
x2－4=（x－2）（x＋2）
（第3课时）
复习练习： 1、选择合理的方法解下列方程
(1) 2x2 4
(2) x 12 6 (3) x 22 1 0
２、请说出完全平方公式
x a2 x2 2ax ___a_2__
x a2 x2 2ax ___a_2__
３、根据完全平方公式填空(格式如题(1))
解题步骤演示
例 (x+3)(x－1)=5 解：原方程可变形为 方程x2右+2边x－化8为=零0
左边分解(x成－两2个)(x一+4次)=因0 式 的乘积 至少有一个一x次－因2式=为0零或得x到+两4=个0一元一次方程
两个一元∴一x次1方=2程,的x2解=就-4是原方程的解
拓展练习1：辨析
(1)、x2 x
x1 2 ; x2 2
以上解某些一元二次方程的方法叫 做直接开平方法。
初试锋芒 用直接开平方法解下列方程：
（1） y2 121 0 ;
（2） x2 2 0
(3) 16x2 25 0
（4）
2x2
1 2
0;
将方程化成
x2 b
(b≥0）的形 式,再求解
再显身手
例2 解方程:
(1) x 12 4 0