二维连续型随机变量及其概率密度

2 F (x, y) f (x, y) xy
5
这表示若 f (x, y) 在点 (x, y) 连续，则当 x, y 很小时,
P{x X x x, y Y y y} f (x, y)xy
即 (X ,Y)落在小长方形 (x, x x](y, y y] 内的概率近似 地等于 f (x, y)xy
我们指出，如果随机变量 X、Y相互独立，则任一 变量的条件概率密度等于其边缘概率密度.事实上，
这时我们有
fX
Y (x
y)
f (x, y) fY ( y)
fX (x) fY ( y) fY ( y)
fX (x)
fY
X (y
x)
f (x, y) fX (x)
fX (x) fY ( y) fX (x)
1
S
D
,
(x, y) D ,
0,
其它
其中SD 为区域 D 的面积，则称 (X,Y) 服从 D
区域上的均匀分布．特别地，设 (X,Y) 在以圆
点为中心、r 为半径的圆域 R 上服从均匀分
布，求二维联合概率密度.
解：
8
例2 设二维随机变量 (X ,Y) 具有概率密度
2e(2x y) , x 0, y 0
其它
0
问随机变量和是否相互独立的？
解：
34
例11 二维正态随机变量 (X,Y)的概率密度为
f (x, y)
1
1
(
x
1
)2
2
(x 1)(y2 ) ( y
2 )2
e 2(1
2
)
12
1 2Leabharlann 2 2,2 1 2 1 2
( x, y )
求证 X、Y 相互独立等价于 0.
解：
38
二维正态随机变量 (X ,Y)，X 和 Y 相互独立充分必要条 件为 0.
内的概率
解：
12
二、 二维连续型随机变量的边缘分布
与二维离散型随机变量类似，在等式
f(
量
x,
X
xy
y的) 边缘分f (布u,v函)dv数du
中，令
fX (x)
y
d dx
FX (x)
得连续型随机变
f (x, y)dy
由此得随机变量 X 的边缘概率密度函数
x
FX (x) F(x,)
f (u, v)dudv
的分布函数， 则称随机变量 ( X1, X 2 , , X m和) (Y1,Y2 , ,Yn )
是相互独立的.
44
我们不加证明地给出以下定理，它在数理统计中是 很有用的.
定理 设( X1, X 2 , , X m ) 和 (Y1,Y2 , ,Yn ) 相互独立，X i (i 1,2, , m) 和Yj ( j 1,2, , n)相互独立，又若 h, g 是连续函数， 则 h(X1, X 2, , X m ) 和 g(Y1,Y2 , ,Yn ) 相互独立.
（1）
f (x, y)
fX Y (x y)
0 fY ( y)
（2）
f X Y (x y)dx
f (x, y)dx 1
fY ( y)
fY ( y)
f (x, y)dx 1
24
类似地，规定在条件{X x}下 Y的条件分布 为一个连续型分布，它的概率密度函数和分布 函数分别为
fY X ( y
数就随之确定.
41
例如 (X1, X 2 , , X n )关于 X1 、关于 (X1, X 2 ) 的边 缘分布函数分别为
FX1 (x1) F (x1, ,L , )
F ,X1 X2 (x1, x2 ) F (x1, x2 , ,L , )
42
又若 f (x1, x2 , , xn )为(X1, X 2 , , X n ) 的概率密度函数.则
定义 设二维连续型随机变量 (X ,Y)的概率密度
为 f (x, y), (X ,Y) 关于Y 的边缘密度为 fY ( y).若对
于固定的 y，fY ( y) 0 则称 下 X 的条件概率密度，
f (x, y) fY (y)
为在Y
y
的条件
记为
f (x, y)
fX Y (x y) fY ( y)
称
则称 (X1, X 2 , , X m )是相互独立的.
43
若对于所有的 x1, x2 , , xm ; y1, y2 , , yn
有 F(x1, x2 , , xm , y1, y2 , yn )
F1(x1, x2 ,L , xm )F2 ( y1, y2 ,L , yn )
其中 F, F1, F2 依次为随机变量 ( X1, X 2 , , X m ), (Y1,Y2 , ,Yn和) (X1, X 2 , , X m ,Y1,Y2 , ,Yn )
x
f X Y (x y)dx
x f (x, y) dx
fY ( y)
(3.5)
为在Y y 的条件下的 X 条件分布函数，
23
记为 P{X x Y y} 或 FX Y (x y)
即
FX Y (x y) P{X x
Y y}
x f (x, y)dx fY ( y)
显然，条件概率密度满足条件：
fY ( y)
39
以上所述关于二维随机变量的一些概念，容易推广
到 n 维随机变量的情况. 上面说过，对 n 个实数 x1, x2 , , xn , n 元函数
F (x1, x2 ,L , xn ) P{X1 x1, X 2 x2 ,L , X n xn},
称为 n 维随机变量 (X1, X 2 , , X n ) 的联合分布函数
3
按定义，概率密度具有以下性质
(1) f (x, y) 0
(2)
f (x, y)dxdy F (,) 1
(3) 设G 是 xoy 平面上的区域，点G 落在 (X ,Y)
内的概率为 P{(X ,Y ) G} f (x, y)dxdy
G
(4)若 f (x, y) 在点 (x, y) 连续，则有
几何上 z f (x, y)表示空间的一个 曲面．由性质（2）知，介于它 和 xoy 平面的空间区域的体积为 1．由性质（3），P{(X ,Y) G} 的值等于以 G 为底，以 z f (x, y) 为顶面的曲顶柱体体积．（如 图3-4）
6
例1
若二维随机变量 (X ,Y)具有概率密度
f
(x,
y)
2F (x, y) f (x, y) xy
4
由性质（4）和（1.1），如图3-3，在 f (x, y) 的连续点处有
lim P{x X x x, y Y y y}
x0
xy
y0
lim 1 [F (x x, y y) x0 xy
y0
F (x x, y) F (x, y y) F (x, y)]
若对所有的 x, y有 P{X x,Y y} P{X x}P{Y y}
即
F (x, y) FX (x)FY ( y)
（3.7）
则称随机变量是相互独立的.
上面（3.7）式两边分别对 x 和 y 各微分一次，
即得
f (x, y) fX (x) fY ( y)
（3.8）
从而，随机变量是相互独立的充分必要条件为（3.8）
x)
f (x, y) fX (x)
(3.6)
y f (x, y)
FY X ( y x)
dy fX (x)
这里 f X (x) 为 (X ,Y) 关于 X 的边缘密度.
25
例 7 随机变量 (X ,Y) 在矩形域 a x b,c y d 服从均匀分布，求 X 及 Y 的条件概率密度.
解：
随机变量 Y 取得可能值 y j 的条件下，随机变量 X
取它的任一可能值 x i 的条件概率 P{X xi Y y j},i 1,2,
由上述随机事件的条件概率公式可得：
P{X
xi
Y
y j}
P(X xi ,Y P(Y y j )
yj)
pij p j
，i 1, 2,L
22
这就启发我们，对于二维连续型分布，规定在条 件{Y y}下 X 的条件分布为如下连续型分布：
几乎处处成立.此处“几乎处处成立”的含义是：在平
面上除去“面积”为零的集合外处处成立.
31
例9 设二维随机变量 (X ,Y)在 x 2 y 2 r 2 上服从均匀 分布，问 X 与 Y 是否相互独立？
解：
例10 设二维随机变量 (X ,Y) 具有概率密度
f
(x,
y)
2e(2 0,
x
y)
,
x
0、y
27
例8 设二维随机变量 (X,Y) 在以圆点为中心、r 为半 径的圆域 R上服从均匀分布，分别求关于 X 及 Y 的条件概率密度.
解：
30
四、 二维连续型随机变量的相互独立性
定义： 设 F(x, y) 及FX (x) ，FY ( y)分别是二维随
机变量 ( X ,Y ) 的联合分布函数和边缘分布函数.
解：
15
例5 设二维随机变量 (X,Y)的概率密度函数为
4.8y(2 x), 0 x 1, 0 y x
f (x, y) 0,
,
其它
求边缘概率密度.
解：
17
例6 设二维随机变量 (X ,Y)的联合概率密度为
f (x, y)
1
2 1 2
1 2
exp
1 2(1
2
)
(x
1
2 1
或简称分布函数，它也具有类似于二维随机变量的 分布函数的性质.