泛函中三大定理的认识

泛函中三大定理及其应用

泛函分析科学体系的建立得益于20世纪初关于巴拿赫空间的三大基本定理，即Hahn-Banach 定理，共鸣定理和开映射、逆算子及闭图像定理。其中：一致有界定理，该定理描述一族有界算子的性质；谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学数学描述中起核心作用；罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem ）研究了如何保范地将某算子从某子空间延拓到整个空间。另一个相关结果则是描述对偶空间非平凡性的；开映射定理和闭图像定理。

1、Hahn-Banach 延拓定理

定理：设G 为线性赋范空间X 的线性子空间，f 是G 上的任一线性有界泛函，则存在X 上的线性有界泛函F ，满足：

(1) 当x G ∈时，()()F x f x =； (2) X

G

F f

=；

其中X

F

表示F 作为X 上的线性泛函时的范数；G

f 表示G 上的线性泛函的范数．

延拓定理被应用于Riesz 定理、Liouville 定理的证明及二次共轭空间等的研究中．

2、逆算子定理

在微积分课程中介绍过反函数的概念，并且知道“单调函数必存在反函数”，将此概念和结论推广到更一般的空间．

定义1逆算子(广义上)：设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，G X ⊂，算子T ：G Y →，T 的定义域为()D T G =；值域为()R T ．用1T -表示从()()R T D T →的逆映射(蕴含T 是单射)，则称1T -为T 的逆算子(invertiable operator)．

定义2正则算子：设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，若算子T ：

()G X Y ⊂→满足

(1)T 是可逆算子； (2) T 是满射，即()R T Y =； (3) 1T -是线性有界算子， 则称T 为正则算子(normal operator)．

注： ①若T 是线性算子，1T -是线性算子吗？②若T 是线性有界算子，1T -是线性有界算子吗？

性质1 若T ：()G X Y ⊂→是线性算子，则1T -是线性算子．

证明 ：12,y y Y ∈，,αβ∈K ，由T 线性性知：

1111212(())T T y y T y T y αβαβ---+--1111212()TT y y TT y TT y αβαβ---=+--

1212()y y y y αβαβ=+--0=

由于T 可逆，即T 不是零算子，于是1111212()T y y T y T y αβαβ---+=+，故1T -是线性算子．□

定理2逆算子定理：设T 是Banach 空间X 到Banach 空间Y 上的双射(既单又满)、线性有界算子，则1T -是线性有界算子．

例1 设线性赋范空间X 上有两个范数1⋅和2⋅，如果1(,)X ⋅和2(,)X ⋅均是Banach 空间，而且2⋅比1⋅强，那么范数1⋅和2⋅等价．(等价范数定理)

证明：设I 是从由2(,)X ⋅到1(,)X ⋅上的恒等映射，由于范数2⋅比1⋅强，所以存在0M >，使得x X ∀∈有

112

Ix x M x

=≤

于是I 是线性有界算子，加之I 既是单射又满射，因此根据逆算子定理知1

I -是线性有界算子，即存在0M'>，使得x X ∀∈有

1212

I x x M'x -=≤．

故范数1⋅和2⋅等价。

3、一致有界原理

定义1一致有界：设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，()F B X Y ⊂→，如果

{ }T T F ∈是有界集，则称算子族F

为一致有界．

定理1 共鸣定理：设X 是Banach 空间，Y 是线性赋范空间，算子族()F B X Y ⊂→，

那么：

{ }T T F ∈是有界集(F 一致有界)⇔x X ∀∈，{ }Tx T F ∈为有界集．

证明：(1) 必要性⇒ 因为{ }T T F ∈是有界集，所以存在0M >，T F ∀∈，有T M ≤，于是x X ∀∈，不妨设x a =，那么

Tx T x M x M a ≤≤≤⋅

因此{ }Tx T F ∈为有界集．

(2) 充分性⇐x X ∀∈，定义sup F

T F

x

x Tx ∈+，显然F ⋅是X 上的范数且比⋅强，

下面证明(,)F X ⋅完备．

如果sup ()0m n

m n m n F

T F

x x x x T x x ∈-=-+-→(,)m n →∞，由X 是Banach 空间知存在

x X ∈，使得

0n x x -→()n →∞．

又因为0ε∀>，N ∃∈N ，使得只要,m n N ≥，便有

sup m n T F

Tx Tx ε∈-<．

从而T F ∀∈有

n n m m Tx Tx Tx Tx Tx Tx -=-+-n m m Tx Tx T x x ≤-+-0→()n →∞．

因此得sup ()0n n T F

x x T x x ∈-+-→()n →∞，即0n F

x x

-→，可见(,)F X ⋅完备．

根据等价范数定理知范数F ⋅和⋅等价，从而存在0M >，使得x X ∀∈有

sup sup F

T F

T F

Tx x Tx x

M x ∈∈≤+=≤

于是可得T F ∀∈有T M ≤．□

注： 共鸣定理也称为一致有界定理(或原理)，由共鸣定理知，当F 不一致有界时，即sup{ }T T F ∈=∞，则存在0x X ∈，使得0sup{ }Tx T F ∈=∞，称0x 为算子族F 的共鸣点。

例2 设无穷矩阵

111212122212

j j i i ij

a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪

⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

满足2

1

ij i a ∞

=<∞∑，1,2,3,

j =，并对任何212(,,,,)i x x x x l =∈有

Tx xA =1112121

2221212

(,,

,,)j j i i i ij

a a a a a a x x x a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪

⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

12(,,,,)i y y y =2y l =∈

其中1

j i ij i y x a ∞

==∑，1,2,

j =，证明算子T 是线性连续算子．

例3 (Fourier 级数的发散问题) 存在一个周期为2π的实值连续函数，它的Fourier 级数在0t =点发散.

证明 ： 记周期是2π的实值连续函数全体为2C π，对于2f C π∈，f 导出的Fourier 级数

为：01

1

(cos sin )2n n n a a nt b nt ∞

=++∑，其中

1

()cos d n a f t nt t π

π

π

-

=

⎰ (0,1,2,

n =)；1

()sin d n b f t nt t π

ππ

-

=

⎰ (1,2,3,

n =).

当0t =时，级数为01

1

2n n a a ∞

=+∑，前1n +项部分和为

01

1

11()()[12cos ]d 22n

n

n n n n S f a a f t nt t π

π

π-

===

+=+∑∑⎰